VNU-HUS MAT3500: LÝ THUYẾT SỐ CƠ BẢN I

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

VNU-HUS MAT3500: Toán rời rạc

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo môđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số ngun tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

<i>Đồng dư theo môđun m</i>

Biểu diễn số nguyên

<i>Biểu diễn theo hệ b-phân</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<small>Lý thuyết số cơ bản I</small>

<small>Hồng Anh Đức</small>

<small>2Giới thiệu</small>

<small>Tính chia hết và phéptốn mơđun</small>

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo môđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số ngun tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

Giới thiệu

mối liên hệ giữa các loại số

<small>quan trọng nhất là</small> <i><small>các số nguyên dương (positive integers)</small></i>

<small>đặc biệt là</small> <i><small>các số nguyên tố (prime numbers)</small></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<small>3Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo môđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số ngun tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

Tính chia hết và phép tốn mơđun

<small>Định nghĩa và tính chất cơ bản</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<small>Lý thuyết số cơ bản I</small>

<small>Hoàng Anh Đức</small>

<small>Giới thiệu</small>

<small>Tính chia hết và phéptốn mơđun</small>

<small>4Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo môđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số ngunâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số ngun tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

<small>5Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo môđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số ngun tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

Tính chia hết và phép tốn mơđun

<small>Định nghĩa và tính chất cơ bản</small>

<i>(divisor), q làthương (quotient), và r làsố dư (remainder)</i>

<i>Ta cũng viết q = a div d và r = a mod d. Chú ý rằng với dcố định, a div d và a mod d là các hàm từ Z đến Z</i>

<i>Ta có q = ⌊a/d⌋ và r = a − dq = a − d⌊a/d⌋</i>

Ví dụ 1

−11 div 3 = − 4 và −11 mod 3 = 1

<i>không thỏa mãn 0 ≤ r < d)</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<small>Lý thuyết số cơ bản I</small>

<small>Hồng Anh Đức</small>

<small>Giới thiệu</small>

<small>Tính chia hết và phéptốn mơđun</small>

<small>6Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo mơđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa môđun</small>

<small>Số nguyên tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<small>7</small> <i><small>Đồng dư theo mơđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa môđun</small>

<small>Số nguyên tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

Tính chia hết và phép tốn mơđun

<i><small>Đồng dư theo môđun m</small></i>

<i>ký hiệu a ≡ b (mod m), khi và chỉ khi m | (a − b)</i>

<i>b = q</i>₂<i>m + r. Do đó, a − b = (q</i>₁ <i>− q</i>₂<i>)m, nghĩa là m | (a − b)</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<small>Lý thuyết số cơ bản I</small>

<small>Hồng Anh Đức</small>

<small>Giới thiệu</small>

<small>Tính chia hết và phéptốn mơđun</small>

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<small>8</small> <i><small>Đồng dư theo môđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số ngun tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

Tính chia hết và phép tốn mơđun

<i><small>Đồng dư theo mơđun m</small></i>

Bài tập 2

<i>Chứng minh rằng quan hệđồng dư theo môđun m“≡</i>

<b>Định lý 4</b>

<i>Với a, b ∈ Z và m ∈ Z</i>⁺<i>, a ≡ b (mod m) khi và chỉ khi tồn tạik ∈ Z sao cho a = b + km</i>

Chứng minh.

<i>là tồn tại k ∈ Z sao cho a − b = km hay a = b + km</i>

<i>và do đó m | (a − b). Theo định nghĩa, a ≡ b (mod m)</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<small>9</small> <i><small>Đồng dư theo môđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số ngunâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số ngun tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

Tính chia hết và phép tốn mơđun

<i><small>Đồng dư theo mơđun m</small></i>

<b>Định lý 5</b>

<i>Với a, b, c, d ∈ Z và m ∈ Z</i>⁺<i>, nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d</i>

<i>(a + b) mod m = ((a mod m) + (b mod m)) mod m</i>

<i>ab mod m = ((a mod m)(b mod m)) mod m</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

<small>Lý thuyết số cơ bản I</small>

<small>Hồng Anh Đức</small>

<small>Giới thiệu</small>

<small>Tính chia hết và phéptốn mơđun</small>

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<small>10</small> <i><small>Đồng dư theo môđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số ngun tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

Tính chia hết và phép tốn mơđun

<i><small>Đồng dư theo mơđun m</small></i>

Ta có thể định nghĩa các toán tử số học trên tập

<i><small>a +mb = (a + b) mod m</small></i><small>; và</small>

<i><small>a ·mb = (a · b) mod m</small></i><small>,</small>

trong đó các phép tốn + và · ở vế phải là các phép toán

<i>cộng và nhân theo mơđun m</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo môđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<small>11</small> <i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số ngunâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số ngun tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

Biểu diễn số nguyên

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<i><b><small>Hệ cơ số 2 (nhị phân (binary)): sử dụng 2 chữ số 0, 1</small></b></i>

<small>(dùng trong tất cả các hệ thống máy tính hiện đại)</small>

<b><small>Hệ cơ số 8 (hệ bát phân (octal)): sử dụng 8 chữ số</small></b>

<i><small>0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7</small></i> <small>(tương ứng với các nhóm 3 bit)</small>

<b><small>Hệ cơ số 16 (hệ thập lục phân (hexadecimal)): sử dụng</small></b>

<small>16</small> <i><small>chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (tương</small></i>

<small>ứng với các nhóm 4 bit)</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

<small>Lý thuyết số cơ bản I</small>

<small>Hoàng Anh Đức</small>

<small>Giới thiệu</small>

<small>Tính chia hết và phéptốn mơđun</small>

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo môđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<small>12</small> <i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số ngunâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số nguyên tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

Biểu diễn số nguyên

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<i>Để chuyển một số nguyên n sang hệ b phân với b > 1:</i>

Bài tập 3

<i>Mơ tả thuật tốn trên bằng mã giả</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo môđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<small>13</small> <i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số ngun tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

Biểu diễn số nguyên

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<i>Chuyển một số nguyên n sang hệ b phân với b > 1:</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

<small>Lý thuyết số cơ bản I</small>

<small>Hồng Anh Đức</small>

<small>Giới thiệu</small>

<small>Tính chia hết và phéptốn mơđun</small>

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo môđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<small>14</small> <i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số ngun tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

Biểu diễn số nguyên

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

Ví dụ 3

12345 = 8 · 1543 + 11543 = 8 · 192 + 7

192 = 8 · 24 + 024 = 8 · 3 + 0

3 = 8 · 0 + 3

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo mơđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<small>15</small> <i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số ngun tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

Biểu diễn số nguyên

<small>Chuyển đổi giữa các hệ nhị phân, bát phân, và thập lục phân</small>

Chuyển đổi giữa hệ nhị phân và hệ bát phân (hoặc hệ thập lụcphân) rất dễ thực hiện

Mỗi chữ số trong hệ bát phân tương ứng với một khối 3 bittrong biểu diễn nhị phân

Mỗi chữ số trong hệ thập lục phân tương ứng với một khối

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

<small>Lý thuyết số cơ bản I</small>

<small>Hồng Anh Đức</small>

<small>Giới thiệu</small>

<small>Tính chia hết và phéptốn mơđun</small>

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo môđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>16Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số ngun tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

Cộng hai chữ số nhị phân tiếp theo và nhớ

Tiếp tục cộng hai chữ số nhị phân tiếp theo và nhớ để xácđịnh chữ số tiếp theo (tính từ bên phải) trong biểu diễn nhị

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo môđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>17Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số ngun tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

Biểu diễn số nguyên

<small>Cộng và nhân các số nhị phân</small>

<b>Thuật toán 2: Cộng hai số nhị phân</b>

<i><b>Input: a = (a</b>_n−1. . . a</i>₀)₂<i>, b = (b_n−1. . . b</i>₀)₂: biểu diễn nhị

<i>phân của các số nguyên dương a, b</i>

<i><b>Output: s = (s</b>_ns_n−1. . . s</i>₀): biểu diễn nhị phân của

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

<small>Lý thuyết số cơ bản I</small>

<small>Hồng Anh Đức</small>

<small>Giới thiệu</small>

<small>Tính chia hết và phéptốn mơđun</small>

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo môđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>18Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số ngun tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

01110111

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo mơđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>19Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa môđun</small>

<small>Số nguyên tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

<i>Phương trình này cho ta cách tính ab:</i>

Mỗi lần nhân một số hạng với 2, ta dịch chuyển biểu diễnnhị phân của số đó sang trái một đơn vị và thêm 0 vào

đi của biểu diễn. Nói cách khác, ta có thể thu được biểu

đi của biểu diễn

<i>Cuối cùng, ta nhận được ab bằng cách cộng biểu diễn nhị</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

<small>Lý thuyết số cơ bản I</small>

<small>Hoàng Anh Đức</small>

<small>Giới thiệu</small>

<small>Tính chia hết và phéptốn mơđun</small>

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo mơđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số ngun</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>20Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số ngunâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số nguyên tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

Biểu diễn số nguyên

<small>Cộng và nhân các số nhị phân</small>

<b>Thuật toán 3: Nhân hai số nhị phân</b>

<i><b>Input: a = (a</b>_n−1. . . a</i>₀)₂<i>, b = (b_n−1. . . b</i>₀)₂: biểu diễn nhị

<i>phân của các số nguyên dương a, b</i>

<i><b>Output: biểu diễn nhị phân của p = ab</b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo mơđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>21Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa môđun</small>

<small>Số nguyên tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

11110

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

<small>Lý thuyết số cơ bản I</small>

<small>Hồng Anh Đức</small>

<small>Giới thiệu</small>

<small>Tính chia hết và phéptốn mơđun</small>

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo mơđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>22Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phân</small>

<small>Tính lũy thừa môđun</small>

<small>Số nguyên tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

Biểu diễn số nguyên

<small>Biểu diễn các số nguyên âm theo hệ nhị phân</small>

Trong hệ nhị phân, các số âm có thể được biểu diễn thơng

<i>Trong trường hợp này, một chuỗi nhị phân n bit có thể biểu</i>

Bit ngoài cùng bên trái dùng để biểu diễn dấu (0 là dương,

Khi biểu diễn bằng ký hiệu phần bù hai, nếu

<i>a = (a_n−1. . . a</i>₀)₂ <i>thì −a = (a_n−1. . . a</i>₀)₂ + 1, trong đó

<i>a_n−1. . . a</i>₀ <i>là phần bù của a_n−1. . . a</i>₀ thu được thơng qua

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo môđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số ngunâm theo hệ nhị phân</small>

<small>23Tính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số ngun tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

Tính chia hết và phép tốn mơđun

<small>Tính lũy thừa mơđun</small>

Trong các thuật tốn mã hóa hiện đại, một bài tốn quan

<i>cận này cũng không thực tế, do ta cần thực hiện n − 1phép nhân các số nguyên và n có thể rất lớn</i>

<i>diễn nhị phân của n</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

<small>Lý thuyết số cơ bản I</small>

<small>Hồng Anh Đức</small>

<small>Giới thiệu</small>

<small>Tính chia hết và phéptốn mơđun</small>

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo môđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phân</small>

<small>24Tính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số ngun tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

Tính chia hết và phép tốn mơđun

<small>Tính lũy thừa mơđun</small>

Sau đó ta chỉ cần nhân các giá trị này với nhau để tạo

Quan trọng là, sau mỗi bước nhân, để tăng tính hiệu quả

<i>tiếp tục thực hiện tính tốn</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo mơđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số ngun</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số ngunâm theo hệ nhị phân</small>

<small>25Tính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số nguyên tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<small>Số nguyên tốƯớc chung lớn nhất</small>

Tính chia hết và phép tốn mơđun

<small>Tính lũy thừa mơđun</small>

<b>Thuật tốn 4: Tính lũy thừa mơđun nhanh</b>

<i><b>Input: b: số ngun, n = (a</b>_k−1a_k−2. . . a</i>₁<i>a</i>₀)₂: biểu diễn nhị

<i>phân của số nguyên dương n, m: số nguyên dương</i>

<i><b>Output: b</b>ⁿmod m</i>

<b><small>2</small></b> <i>b2i := b mod m// b</i>²<i>ⁱ, đầu tiên i = 0</i>

<b><small>3</small></b> <i><b>for i := 0 to k − 1 do</b>// xét tất cả k bit của n</i>

<b><small>4</small></b> <i><b>if a</b>_i</i> = 1 <b>then</b>

<b><small>5</small></b> <i>x := (x · b2i) mod m</i>

<b><small>6</small></b> <i>b2i := (b2i · b2i) mod m_{// b}</i>²<i>ⁱ⁺¹= (b</i>²<i>ⁱ) · (b</i>²<i>ⁱ</i>)

<b><small>7</small></b> <i><b>return x</b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

<small>Lý thuyết số cơ bản I</small>

<small>Hồng Anh Đức</small>

<small>Giới thiệu</small>

<small>Tính chia hết và phéptốn mơđun</small>

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo mơđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa môđun</small>

<small>Số nguyên tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<i>nếu các ước số dương duy nhất của p là 1 và chính nó</i>

<i><small>Ví dụ: 2, 3, 5, 11, . . .</small></i>

Các số nguyên lớn hơn 1 và không phải là số nguyên tố

Bài tập 4

<i>Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố và p | ab với</i>

<i>a, b ∈ Z</i>⁺ <i>thì p | a hoặc p | b. Phát biểu này có đúng với p là hợp</i>

<i><b>số hay khơng? (Gợi ý: Sử dụng Định lý Bézout (Định lý 12)) sẽ</b></i>

<i>đề cập ở phần sau)</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo môđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số ngunâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số ngun tố và Ướcchung lớn nhất</small>

Gợi ý.

<i>Ta đã chứng minh bằng phương pháp quy nạp: nếu n > 1là một số ngun thì n có thể được biểu diễn dưới dạng</i>

tích của các số nguyên tố

Để chỉ ra tính “duy nhất”, ta chứng minh (bằng quy nạp):

Bài tập 5

<i>Chứng minh Định lý 7 theo gợi ý</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

<small>Lý thuyết số cơ bản I</small>

<small>Hồng Anh Đức</small>

<small>Giới thiệu</small>

<small>Tính chia hết và phéptốn mơđun</small>

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo mơđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số ngun tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<i>thỏa mãn 1 < a < n. Do đó, tồn tại số nguyên b > 1 saocho n = ab.</i>

Theo Định lý cơ bản của số học, ước số này là một sốnguyên tố hoặc có một ước nguyên tố nhỏ hơn nó. Trong

<i>cả hai trường hợp, n có một ước nguyên tố nhỏ hơn hoặc</i>

<i>n</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo mơđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa môđun</small>

<small>Số nguyên tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<i>Mệnh đề phản đảo của Định lý 8: Một số nguyên n > 1 là</i>

số ngun tố nếu nó khơng chia hết cho bất kỳ số nguyên

<i>(The Sieve of Eratosthenes)</i>

<i>xem n có chia hết cho i không</i>

<small>(1)</small> <i><small>Viết các số 2, . . . , n vào một danh sách. Gán i := 2</small></i>

<small>(2)</small> <i><small>Bỏ đi tất cả các bội của i trừ chính nó khỏi danh sách</small></i>

<small>(3)</small> <i><small>Gọi k là số nhỏ nhất hiện có trong danh sách thỏa mãn</small></i>

<i><small>k > i. Gán i := k</small></i>

<small>(4)</small> <i><small>Nếu i ></small></i> <small>√</small>

<i><small>n</small></i> <small>thì dừng lại, ngược lại thì quay lại bước (2)</small>

Việc kiểm tra xem một số có phải là số ngun tố haykhơng có thể được thực hiện trong thời gian đa

thức [Agrawal, Kayal, and Saxena 2004] (đa thức của sốbit sử dụng để mô tả số đầu vào)

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

<small>Lý thuyết số cơ bản I</small>

<small>Hồng Anh Đức</small>

<small>Giới thiệu</small>

<small>Tính chia hết và phéptốn mơđun</small>

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo mơđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa mơđun</small>

<small>Số ngun tố và Ướcchung lớn nhất</small>

Chứng minh (theo Euclid).

<i>Q = p</i>₁<i>p</i>₂ <i>. . . p_n</i> + 1

<i>Theo Định lý cơ bản của số học, (a) Q là một số nguyên tốhoặc (b) Q có thể được viết thành tích của ít nhất hai số</i>

nguyên tố

<i><b>(a) đúng: Do đó, Q là số nguyên tố. Theo định nghĩa,</b></i>

<i>Q /∈ {p</i>₁<i>, . . . , p_n</i>}, mâu thuẫn với giả thiết toàn bộ các số

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

<small>Định nghĩa và tính chất cơbản</small>

<i><small>Đồng dư theo mơđun m</small></i>

<small>Biểu diễn số nguyên</small>

<i><small>Biểu diễn theo hệ b-phân</small></i>

<small>Cộng và nhân các số nhịphân</small>

<small>Biểu diễn các số nguyênâm theo hệ nhị phânTính lũy thừa môđun</small>

<small>Số nguyên tố và Ướcchung lớn nhất</small>

<i>gcd(a, b), là số nguyên lớn nhất d thỏa mãn d | a và d | b</i>

<i>(relatively prime hoặc coprime)khi và chỉ khi gcd(a, b) = 1</i>

<i>Nếu các số nguyên dương a và b được phân tích thành</i>

</div>