ỨNG DỤNG ĐA THỨC ĐỐI XỨNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 10 ĐIỂM

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (538.67 KB, 45 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOA: TOÁN - TIN ------

KHAMMY DOUANGLANGKHAM

ỨNG DỤNG ĐA THỨC ĐỐI XỨNG

ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOA: TỐN - TIN ------

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA 2018 – 2022

Cán bộ hướng dẫn Th.S. VÕ VĂN MINH MSCB: T34-15.110-14100

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Quảng Nam, ban lãnh đạo khoa Tốn – Tin nói chung và các thầy cơ trong khoa nói riêng đã quan tâm và nhiệt tình hướng dẫn em hồn thành khóa luận tốt nghiệp.

Song do hạn chế về mặt kiến thức của bản thân nên khóa luận khơng tránh khỏi những sai sót rất mong sự đóng góp của q thầy cơ và các bạn để khóa luận hồn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn.

Quảng Nam, tháng 5 năm 2022

Khammy Douanglangkham

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

2.1. Phương trình hệ số đối xứng và phương trình hồi quy (cịn gọi là phương trình thuận nghịch): ... 18

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

Phần 1. MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Đa thức có vị trí rất quan trọng, là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của Đại số, hơn nữa cũng là lĩnh vực nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà tốn học khác. Trong các kì thi học sinh giỏi tốn quốc gia và Olympic tốn, các bài tốn về đa thức được đề cập đến thường là những bài tốn khó như giải phương trình và hệ phương trình bậc cao, phân tích đa thức thành nhân tử, chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức, các bài tốn trong các lĩnh vực này liên quan đến đa thức đối xứng.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu:

Trình bày một số khái niệm của ứng dụng đa thức đối xứng để giải phương trình và hệ phương trình, rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân.

3.2. Phạm vi nghiên cứu:

Khóa luận tốt nghiệp tập trung nghiên cứu lí thuyết về đa thức đối xứng, các ứng dụng đa thức đối xứng để giải phương trình và hệ phương trình.

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

4. Phương pháp nghiên cứu

- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức, thảo luận với bạn bè và trao đổi với thầy hướng dẫn.

- Tổng hợp kiến thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hồn thành khóa luận.

5. Đóng góp của đề tài

Khóa luận đã tổng hợp kiến thức và làm rõ nội dung về ứng dụng đa thức đối xứng đề giải phương trình và hệ phương trình.

6. Cấu trúc của đề tài

Ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận được trình bày theo 2 chương:

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Chương I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC ĐỐI XỨNG

1.1. Đa thức đối xứng hai biến:

1.1.1. Các khái niệm cơ bản:

Định nghĩa 1: Một đơn thức (x, y) của các biến độc lập x, y được hiểu là hàm

Định nghĩa 2: Hai đơn thức của các biến x, y được gọi là đồng dạng nếu bậc của x và y tương ứng ở hai đơn thức là bằng nhau và hệ số của hai đơn thức là khác

nhau. - Hai đơn thức được gọi là đồng dạng nếu chúng có

Ví dụ: 5 , 9 là hai đơn thức đồng dạng.

Định nghĩa 3: Giả sử , là hai đơn thức của các biến x, y. Ta nói

rằng đơn thức trội hơn đơn thức theo thứ tự của các biến x y nếu k > m, hoặc k = m và l > n.

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Định nghĩa 4: Một hàm số P(x, y) được gọi là một đa thức theo các biến số x, y nếu

nó có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hữu hạn các đơn thức. Như vậy đa

thức P(x, y) theo các biến số x, y là hàm số có dạng ( , ) = ∑ - Bậc lớn nhất của các đơn thức trong đa thức được gọi là bậc của đa thức. Ví dụ: Đa thức ( , ) = − 2 + 6 có bậc 12.

Định nghĩa 5: Đa thức P(x,y) được gọi là đa thức đối xứng của hai biến x, y nếu

nó khơng thay đổi khi đổi chỗ của x và y bất kỳ, nghĩa là: P(x, y) = P(y, x)

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Giả sử định lý đã đúng với m < k. Khi đó và lần lượt là các đa thức

bậc k - 1, k - 2 của , . Theo cơng thức (1) ta suy ra là đa thức bậc k của

 Số mũ của giảm dần đều hai đơn vị từ k xuống 0 hoặc 1 tùy theo k chẵn hay k

 Số mũ của tăng dần đều một đơn vị, từ 0 đến [ ]

 Các hệ số trong biểu diễn của đan dấu. Hệ số thứ 1, 3, 5, ... là dương, còn các hệ số thứ 2, 2, 6,... là âm.

1.1.3. Các định lý về đa thức đối xứng hai biến:

Định lý 2: (Định lý cơ bản) Mọi đa thức đối xứng P(x, y) của các biến x, y đều

có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức ( , ) theo các biến = + và = , nghĩa là: ( , ) = ( , )

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Chứng minh:

 Xét trường hợp đơn thức có dạng khi đó ta có = ( ) =  Xét trường hợp đơn thức dạng ( ≠ ):

Vì ( , ) là đa thức đối xứng nên có số hạng dạng . Khơng mất tính

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

1.2. Đa thức đối xứng ba biến:

1.2.1. Các khái niệm cơ bản:

Định nghĩa 9: Một đơn thức ( , , ) của các biến , , được hiểu là hàm số có dạng:

Định nghĩa 12: Đa thức đối xứng ( , , ) được gọi là thuần nhất bậc m, nếu:

( , , ) = ( , , ), ∀ ≠ 0

Ví dụ: ( , , ) = + + là đa thức thuần nhất bậc 2 vì

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Định nghĩa 13: Các đa thức = + + , = + + , = được gọi là các đa thức đối xứng cơ bản của các biến , , .

1.2.2. Tổng lũy thừa và tổng nghịch đảo:

Định nghĩa 14: Các đa thức = + + ( ∈ ℤ) được gọi là tổng lũy thừa bậc k của các biến , , .

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Như vậy, để tìm quỹ đạo của đơn thức ta bổ sung vào đơn thức đó tất cả các hốn vị của , , . Với ≠ ≠ , ta có:

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Vậy quỹ đạo của đơn thức dạng ( ) và biểu diễn được dưới dạng đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản. Tương tự cho ( ) và ( ).

Vậy quỹ đạo của mọi đơn thức có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản.

1.2.3. Các định lý của đa thức đối xứng ba biến:

Định lý 7: Mọi đa thức đối xứng ba biến , , đều có thể biểu diễn dưới dạng đa thức theo các biến = + + ; = + + ; = .

Chứng minh:

Giả sử ( , , ) là đa thức đối xứng và là một trong các số hạng của ( , , ) do tính đối xứng nên ( , , ) chứa quỹ đạo ( ) với thừa số chung là .

Ta có: ( , , ) = . ( ) + ( , , ).

Trong đó, ( , , ) là đa thức đối xứng nào đó với ít số hạng hơn ( , , ).

Tương tự, đối với ( , , ) ta cũng có cơng thức như trên. Qua hữu hạn bước như trên ta có thể phân tích đa thức ( , , ) thành tổng các quỹ đạo. Theo định lý 6, mỗi quỹ đạo lại là một đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản, do đó mọi đa thức đối xứng đều có thể biểu diễn ở dạng đa thức theo các đa thức đối xứng cơ bản.

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Ví dụ: ( , , ) = + + = ( + + ) − 2( + + ) = − 2 .

Định lý 8: (Tính duy nhất) Nếu hai đa thức ( , , ) và ( , , ) khi thay = + + ; = + + ; = cho ta cùng một đa thức đối xứng ( , , ) thì chúng phải trùng nhau, nghĩa là ( , , ) =

( , , ) .

Để biểu diễn một đa thức đối xứng qua các đối xứng cơ bản, một cách tổng quát ta tiến hành theo các bước trong chứng minh định lý 7. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp đa thức là thuần nhất, ta có thể dùng phương pháp hệ số bất định. Cơ sở của phương pháp này là mệnh đề sau.

Mệnh đề 1: Cho ( , , ) là một đa thức đối xứng thuần nhất bậc . Khi đó. ( , , ) được biểu diễn qua các đa thức đối xứng cơ sở theo cơng thức:

Dưới đây là một số trường hợp riêng của mệnh đề: ( , , ) = ;

Trong đó, ( = 1,2, . . . ) là các hằng số được xác định duy nhất và để tìm các hệ số này ta cho , , nhận các giá trị cụ thể nào đó, thiết lập hệ phương trình với ẩn là ( = 1,2, . . . ) giải hệ phương trình ta tìm được .

Ví dụ: Biểu diễn đa thức sau đây theo các đa thức đối xứng cơ bản ( , , ) = ( − ) ( − ) ( − )

Do ( , , ) là đa thức thuần nhất bậc 6 nên theo mệnh đề trên ta có:

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Nhận thấy rằng ( , , ) có bậc cao nhất đối với từng biến là 4 nên ta có = = 0. Để tìm các hệ số cịn lại, ta cho ( , , )lần lượt nhận các giá trị (0,1, −1), (0,1,1), (1,1, −2), (−1,1,1), (1,1,1) ta tìm được:

= 1, = −4, = −4, = −27, = 18.

Vậy ta có kết quả ( , , ) = − 4 − 4 − 27 + 18 . Giả sử ( , , ), ( , , ), ( , , )là các đa thức đối xứng 3 ẩn. Xét hệ phương trình

( , , ) = 0( , , ) = 0( , , ) = 0

( )

Hệ phương trình ( ) thường đơn giản hơn hệ ( ) và có thể dễ dàng tìm được nghiệm , , . Sau khi tìm được các giá trị của , , , cần phải tìm các giá trị của các ẩn số , , . Điều này dễ dàng thực hiện được nhờ định lý sau đây.

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

=== ; =

và ngồi ra khơng cịn các nghiệm nào khác. Ngược lại, nếu = , = , = là nghiệm của hệ ( ) thì các số , , là nghiệm của phương trình ( ).

Chứng minh. Giả sử , , là các nghiệm của phương trình ( ). Khi đó ta có

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

+ + + = 0( )

Vì σ ≥ 0( = 1, 2, 3) nên phương trình ( ) khơng thể có nghiệm dương. Từ đó suy ra , , là các số không âm. Định lý được chứng minh.

1.3. Đa thức đối xứng biến:

1.3.1. Các khái niệm cơ bản:

Định nghĩa 16: Giả sử = ( , , . . . , ) ∈ ℝ , đa thức

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Kí hiệu = + +. . . + ; ∈ ℤ được gọi là tổng lũy thừa và

, ,…,⋯

là các đa thức đối xứng cơ bản của các biến , … , . Chẳng hạn, với = 4 ta có:

= .

Định nghĩa 19: Đa thức với số hạng tối thiểu, mỗi số hạng là một đơn thức có

dạng … được gọi là quỹ đạo của đơn thức và được kí hiệu

1.3.3. Các định lý của đa thức đối xứng n biến:

Định lý 12: (Định lý tồn tại) Giả sử ( , , . . . , ) là đa thức đối xứng của

biến. Khi đó, tồn tại đa thức ( )sao cho nếu thay

thì ta nhận được đa thức ( , , . . . , ).

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Định lý 13: (Tính duy nhất) Nếu hai đa thức ( , , … , ) và ( , , … , ) sau khi thay = + + ⋯ + , … , = … cho ta cùng một đa thức đối xứng ( , , . . . , ) thì , ,… , ≡ ( , , … , )

Cách chứng minh ba định lý trên hoàn toàn tương tự đối với trường hợp hai biến và ba biến.

1.4 Phương trình hệ số đối xứng và phương trình hồi quy (cịn gọi là phương trình thuận nghịch):

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

 Ngược lại: Giả sử ( ) có dạng ( ) = + + ⋯ + ;( ≠ 0) Với ≠ 0, thay x trong phương trình trên bằng , ta được

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Chương II. ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỐI XỨNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

2.1. Phương trình hệ số đối xứng và phương trình hồi quy (còn gọi là phương trình thuận nghịch):

Cách giải phương trình hệ số đối xứng và phương trình hồi quy:

Ta thấy đây là phương trình đối xứng theo các biến , khi đó ta có

. Bằng cách sử dụng định lý 1 (cơng thức Newtơn) biểu diễn đa thức đã cho theo các đa thức đối xứng cơ bản , sau đó giải tìm nghiệm của phương trình đã cho.

Như vậy, bằng cách trên ta đưa phương trình hệ số đối xứng (phương trình hồi quy) về dạng phương trình đối xứng để giải.

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

Bài 1. Giải phương trình

2 – 9 + 20 – 33 + 46 − 66 + 80 − 72 + 32 = 0. Giải: Đây là phương trình hồi quy với = 2, ta biểu diễn phương trình dưới dạng

2 – 9 + 20 – 33 + 46 − 33.2 + 20.2 − 9.2 + 2.2 = 0. Ta có = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho ta được

+ = +2 = 3 ⇔ [ = 1= 2

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Từ các phương trình trên ta tìm được các giá trị của là = 1; = 2. Bài 2. Giải phương trình:

9 18 100  200  0 Nghiệm của phương trình này là

      .

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

Giải: Đây là phương trình hệ số đối xứng bậc lẻ nên có thể đưa phương trình về dạng

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

= 02 + 5 = 0

− 8 = 0⇔

=−52= 2

Vì + = = + ⇒ | | ≥ 2 nên ta chỉ nhận hai giá trị: = ; = 2. Vậy, tìm nghiệm của phương trình đã cho ta giải các phương trình + = ; + = 2.

Từ các phương trình trên ta tìm được các giá trị là nghiệm của phương trình đã cho là:

= −2; = −1

2 ; = 1

2.2. Tìm nghiệm nguyên của các phương trình, hệ phương trình đối xứng Để giải các bài tốn tìm nghiệm ngun của các phương trình, hệ phương trình đối xứng ta biểu diễn phương trình, hệ phương trình đã cho theo các đa thức đối xứng cơ bản , , , …. kết hợp với một số điều kiện của , , , … ta tìm được các giá trị cụ thể của , , , … Khi đó x, y, z,… là nghiệm nguyên

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

Từ việc đặt = + , = , thì điều kiện tồn tại hai số , là ≥ 4 . Khi đó, ta có

∈ ℤ= −1 −

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

= 1= 0;

= 0= 1

 = 4, = 4,phương trình có các nghiệm ngun là: = 2

= 2 Vậy phương trình đã cho các nghiệm ngun là:

= 0= 0;

= 0= 1;

= 1= 0;

= 1= 2;

= 2= 1;

= 2= 2

Bài 6. Tìm các nghiệm nguyên dương của hệ phương trình

Giải: Đặt = + , = , hệ phương trình trở thành =

= 2= 1= 3

= 1= 2= 3

= 2= 2= 2

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

+ + = = − 3 + 3 Hệ phương trình đã cho trở thành

= 6

Từ đó, ta có x, y, z là nghiệm ngun của phương trình

= 1= 2= 3

Bài 8. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: x2  y2  xy 8

Giải: Phương trình ban đầu được viết lại:



x y



2 2xy



x y



8



. Khi đó phương trình trở thành



12 2



2



1  8



12 



1 8 2



2 (1) Để phương trình có nghiệm



12 4



2 (2)

 

  

Hệ này có hai nghiệm ( , ) ( 1, 2);( 2, 1)x y     

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

1

 

khi đó 04

 

khi đó 23

 

khi đó 56

Hệ này có hai nghiệm ( , ) (2,3);(3, 2)x y  Vậy phương trình có 8 nghiệm là:

2.3. Giải phương trình và hệ phương trình đối xứng

2.3.1. Phương trình và hệ phương trình đối xứng hai ẩn

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

= −1;

= −1= 2 ;

= −2= 1 ;

= 1= −2;

= 0 hoặc

== 2

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

Giải: Hệ phương trình đã cho không phải là hệ đối xứng, tuy nhiên bằng cách đặt:

= , = ta có hệ đối xứng

+1 = 4 Đặt + = , = , ta có hệ phương trình

= 1= 4 ⇒

= 1= 14

. =14

=2=

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

= 5= −2;

= −2= 5 Từ đó ta có nghiệm của hệ phương trình đã cho là

= 5= 2;

= −2= −5

= 3= 0;

= 0= 3 Từ đó ta có nghiệm của hệ phương trình đã cho là

= 9= 1;

= 0= √83

= 4 = 1

Từ kết quả trên ta tìm được các nghiệm của phương trình đã cho là = 1, = 4.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là = 1, = 4

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

b) + = 84.

Đặt = thì 19 − = + . Khi đó ta có hệ

( + ) = 84 Giải hệ phương trình trên, tìm được

= 3= 4;

= 4= 3;

= 6 + √29= 6 − √29;

= 6 − √29= 6 + √29 Từ kết quả trên ta tìm được các nghiệm của phương trình đã cho là

= 3, = 4, = 6 + √29, = 6 − √29. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

= 3, = 4, = 6 + √29, = 6 − √29.

) +

Giải: Với điều kiện | | > 1, đặt = ,√ = . Khi đó ta có hệ

+1 = 3512

5= 35

=35= 45

5, =45

</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là = , = . Bài 11. Giải hệ phương trình đối xứng sau:

+ 6 − 8 = 0 Hay

+ 12 − 16 = 0. Phương trình này có nghiệm là 2. Vậy vế trái có dạng

( − 2)( + 2 − 8). Phương trình + 2 − 8 = 0 có hai nghiệm 2 và – 4. + Với = 2 ta có = 0

Các hệ phương trình này có nghiệm là

</div>Trang 37<div class="page_container" data-page="37">

= 2= 0

= 0= 2

= −2 + √2= −2 − √2

= −2 − √2= −2 + √2

= 6− 2 = 14

= 6

Giải hệ (*) ta được = 6, = 11, = 6 Ta có , , là nghiệm của phương trình:

− 6 + 11 − 6 = 0 (**) Nghiệm của phương trình (**) là : X = 1, X= 2, X = 3

</div>Trang 38<div class="page_container" data-page="38">

( − 1)( − 15 + 6) = 0 Đa thức − 15 + 6 có hai nghiệm là 2 và 3. Vậy các số ngun cần tìm là 1; 2; 3.

Hệ phương trình đã cho trở thành = 6− 2 = 14

= 6

Giải hệ (*) ta được = 6, = 11, = 6 Ta có , , Là nghiệm của phương trình:

− 6 + 11 − 6 = 0 (**) Nghiệm của phương trình (**) là : X = 1, X= 2, X = 3

Vậy hệ phương trình có 6 nghiệm, mỗi bộ nghiệm là hốn vị của ba sơ 1, 2, 3.

</div>Trang 39<div class="page_container" data-page="39">

= 1

Giải hệ phương trình này có nghiệm = 1, = , = 1.Từ đó, ta có , , là nghiệm của phương trình

− 7

2 − 1 = 0 ⇔ ( − 1) −5

2 , 2,1

2, 1 , 1,122 ,

2, 1,2 ,1

2, 2,1 .

b)

+ + == 1

⎧ = 133= 13

3= 1

Giải hệ phương trình này ta tìm được = = , = 1. Từ đó, ta có , , là nghiệm của phương trình

</div>Trang 40<div class="page_container" data-page="40">

3 , 3,1,1

3 , 3,1

3, 1 , 1,13, 3 ,

3, 1,3 ,1

- Nếu |a| > |b| thì phương trình trên chỉ có một nghiệm thực u = a, do đó hệ đã

cho khơng có nghiệm thực. Trong phạm vi số phức, thì phương trình có các nghiệm

</div>

ỨNG DỤNG ĐA THỨC ĐỐI XỨNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 10 ĐIỂM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Phần 1. MỞ ĐẦU

Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Chương I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC ĐỐI XỨNG

Chương II. ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỐI XỨNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG



























Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về