Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình

Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Xuất phát từ mục đích của việc dạy và học toán ở trường Trung học phổ
thông.
Trong dạy học ta luôn coi mục đích chủ yếu của bài tập toán là hình thành
và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến
thức đã học vào thực tiễn. Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh
phương pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết.
Trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi tuyển sinh vào Đại học, cao
đẳng thường xuất hiện các bài toán về giải phương trình, hệ phương trình, bất
phương trình, hệ bất phương trình. Với mỗi bài toán này thường có nhiều cách
giải hay, độc đáo. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số là một trong các phương
pháp rất có hiệu quả để giải phương trình, bất phương trình.
Trong những năm học trước đây, khi chưa sử dụng cách làm này thì chất
lượng học tập của học sinh ở phần này rất thấp, kết quả kiểm tra 3 lớp 12I, 12M.
12H của năm học 2007 - 2008 như sau:
Lớp
Số
HS
Điểm 8
đến 10
Điểm 6.5
đến dưới 8
Điểm 5 đến
dưới 6.5
Điểm 2 đến
dưới 5
Điểm dưới
2
SL % SL % SL % SL % SL %

12I 45 3 6.7 6 13.4 17 37.7 13 28.8 6 13.4
12M 45 2 4.4 7 15.4 16 35.5 12 26.6 8 18.0
12H 45 2 4.4 6 13.4 18 40.0 13 28.8 6 13.4
Tổng
135 7 5.2 19 14.1 51 37.8 38 28.1 20 14.8
Vấn đề đặt ra là: Làm thế nào để nâng cao chất lượng giảng dạy và kết
quả học tập của học sinh?
Năm học 2010 - 2011, được nhà trường, tổ chuyên môn phân công giảng
môn toán ở ba lớp 12E, 12B, 12N, tôi đã chuẩn bị một chuyên đề xem như một
đề tài cải tiến phương pháp dạy học “ Hướng dẫn học sinh sử dụng tính đơn điệu
của hàm số vào bài toán Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ
bất phương trình” với mong muốn nâng cao hiệu quả giảng dạy cũng như kết
quả học tập của học sinh về nội dung kiến thức quan trong này.
Phần 2: CÁC GIẢI PHÁP CẢI TIẾN
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT.
Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
1
Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
1. Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến: Giả sử K là một khoảng ,
một đoạn hoặc nửa khoảng và f là hàm số xác định trên K.
Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x∀ ∈ < ⇒ <
Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x∀ ∈ < ⇒ >
2. Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Nếu f’(x)
0 x I≥ ∀ ∈
(hoặc f’(x)
0 x I≤ ∀ ∈

) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f
đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I.
Chú ý: Khoảng I của định lý có thể thay bởi một đoạn hoặc một nửa khoảng.
Khi đó phải bổ sung giả thiết “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khỏng đó”
Chẳng hạn: Nếu hàm số f liên tục trên [a; b] và có đạo hàm f’(x) > 0 trên (a; b)
thì hàm số f đồng biến trên [a; b]. Tương tự cho hàm số nghịch biến.
3. Sử dụng thêm kết quả:
* Nếu hàm số f(x) đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì đồ thị của nó nếu
cắt đường thẳng y = a ( a
∈
R) thì cắt tại một điểm duy nhất.
* Nếu hàn số f(x) đồng biến và g(x) nghịch biến (hoặc ngược lại) trên
cùng một miền xác định thì đồ thị của hai hàm y = f(x) và y = g(x) nếu cắt nhau
thì chúng cắt nhau tại một điểm duy nhất, từ đó phương trình f(x) = g(x) chỉ có
thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm.
* Nếu f(t) là hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì f(x)= f(y)
⇔
x = y
* Nếu f(x) là hàm nghịch biến trên D thì f(x)
≤
f(x
0
) khi và chỉ khi x
≥
x
0
* Nếu f(x) là hàm đồng biến trên D thì f(x)
≤
f(x
0

) khi và chỉ khi x
≤
x
0
.
B. NỘI DUNG
I. Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số.
1. Phương trình:
Cách giải: Đưa phương trình về dạng f(x) = a (a
R∈
)
Xét sự biến thiên của f(x)
f(x) đơn điệu
f(x
0
) = a
suy ra x
0
là nghiệm duy nhất
Ví dụ 1: Giải phương trình:
1 3 2 1 3 2x x x+ + + + − = +
Giải: ĐK: x
1
2
≥
Xét hàm f(x) =
1 3 2 1x x x+ + + + −
với x
1
;

2
 
∈ +∞
÷

 
Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
2
Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
f’(x) =






+∞∈∀>
−
+
+
+
+
;
2
1
0
122
1
32
1

12
1
x
xxx
Hàm số f(x) liên tục trên
1
;
2
 
+∞
÷

 
Vậy hàm số f(x) đồng biến trên
1
;
2
 
+∞
÷

 
Lại có f(1) = 3 +
2
nên đồ thị hàm số f(x) cắt đồ thị hàm hằng y = 3 +
2
tại
một điểm duy nhất có hoành độ x = 1. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy
nhất x = 1.
Nhận xét: ở ví dụ này nếu dùng phương pháp khử căn bằng phương pháp luỹ

thừa hay đặt ẩn phụ thì dẫn đến phức tạp, sử dụng phương pháp hàm số là
phương pháp đơn giản nhất.
Ví dụ 2: Giải phương trình: x
5
+ x
3
-
1 3 4 0x− + =
Giải: Xét hàm số f(x) =
5 3
1 3 4x x x+ − − +
=0 với x
1
3
≤
f’(x) = 5x
4
+3x
2
+
3 1
0
3
2 1 3
x
x
> ∀ <
−
f(x) liên tục trên
1

;
3
 
+∞
÷

 
. Vậy f(x) là hàm đồng biến khi x
1
;
3
 
∈ −∞


 
, f(-1) = 0
suy ra đồ thị hàm số f(x) cắt đường thẳng y = 0 tại một điểm duy nhất có hoành
độ x = -1.
Vậy x = -1 là một nghiệm duy nhất của phương trình.
Nhận xét: ở ví dụ này lựa chọn phương pháp sử dụng chiều biến thiên của hàm
số là phương pháp có hiệu quả, các phương pháp khác như đặt ẩn phụ hay luỹ
thừa đều phải đưa đến phương trình bậc cao biến đổi phức tạp.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2 2
15 3 2 8x x x+ = − + +
(1)
Giải: (1)
2 2
( ) 3 2 8 15 0f x x x x⇔ = − + + − + =

(2)
Hàm số f(x) xác định
x R∀ ∈
. Xét hai khả năng sau:
a, Nếu x
2
3 2 0
3
x≤ ⇒ − ≤
Mặt khác
2 2
8 15 0x x x R+ − + < ∀ ∈
Do đó f(x) <0 khi x
2 2
3 3
x≤ ⇒ ≤
không thể là nghiệm của (2).
b, Nếu x >
2
3
khi đó f’(x) = 3 + x
2 2
1 1 2
0( )
3
8 15
Dox
x x
 
− > >

 ÷
+ +
 
Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
3
Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
Vậy f(x) đồng biến khi x >
2
3
Mặt khác f(1) = 0. Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của (1)
Bài tập áp dụg: Giải các phương trình sau:
a.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 1 3 6 4 6 2 1 3 2x x x x x x+ − − + = − + − + +
b.
2
1 1 2
4
x
x x+ + − = − +
c.
2 2 4 2
1 2 1 2 2( 1) (2 4 1)x x x x x x x+ − + − − = − − +
d. 2x
4
+ (1-2x)
4
=
1
27

2. Bất phương trình
Cách giải:
Bước 1: Đưa bất phương trình về dạng f(x) > a hoặc f(x) < a hoặc f(x)
a≥
hoặc
f(x)
≤
a
Bước 2: Xét sự biến thiên của f(x)
Bước 3: Xác định được a = f(x
0
)
Bước 4: Sử dụng dịnh nghĩa hàm đồng biến ,nghịch biến suy ra nghiệm của bất
phương trình.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
9 5 2 4x x+ > − +
(1)
Giải: ĐK: x
2≥ −
(1)
9 2 4 5x x⇔ + + + >
Xét hàm số f(x) =
9 2 4x x+ + +
với x
2−≥
f’(x) =
1 2
0 2
2 9 2 2 4
x

x x
+ > ∀ > −
+ +
f(x) liên tục trên
[
)
2;− +∞
Suy ra f(x) đồng biến trên
[
)
2;− +∞
Mặt khác f(0) = 5
Bất phương trình f(x) > 5 hay f(x) > f(0)
⇔
x > 0
Vậy bất phương trình có nghiệm x
( )
+∞∈ ;0
.
3. Hệ phương trình.
Dạng 1: Một phương trình của hệ có dạng f(x) = f(y), phương trình còn lại giúp
ta giới hạn điều kiện x, y trên đó hàm số f đơn điệu, từ đó suy ra x = y.
Cách giải : Xác định điều kiện của x và y từ một trong hai phương trình
Đưa một trong hai phương trình về dạng f(x) = f(y)
Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
4
Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
Xét sự biến thiên của hàm số đặc trưmg f(t)
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
3 3

8 4
5 5
1
x y y x
x y

− = −


+ =


(1)
(2)
Giải: Từ (2) có
8 4
1; 1 1; 1x y x y≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
Xét hàm số f(t) = t
3
- 5t với t
[ ]
1;1∈ −
f’(t) = 3t
2
-5 < 0
[ ]
1;1t∀ ∈ −
Do đó f(t) nghịch biến trên [-1; 1]
Do đó f(x) = f(y)
⇔

x = y
Thay x = y vào (1) ta được x
8
+ y
4
-1 = 0
Suy ra y = x =
4
5 1
2
−
±
là nghiệm của hệ phương trình.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0
(1)
(2)
1 3 2 2 0
x y y x
x x y y

− + − − =


+ − − − + =


Giải: ĐK:

1 0
0 2
x
y
− ≤ ≤


≤ ≤

(1) tương đương với x
3
- 3x -2 = y
3
-3y
2
⇔
(x + 1)
2
(x - 2) = y
2
(y - 3)
⇔
(x + 1)
2
(x + 1 - 3) = y
2
(y - 3)
⇔
f(x + 1) = f(y)
Xét hàm số f(t) = t

2
(t - 3) với 0
≤
t
≤
2
f’(t) = 3t
2
- 6t = 0
⇔
t = 0; t = 2
Ta có bảng biến thiên: t 0 2
f’(t) -
f(t) 0
- 4
Từ bảng biến thiên suy ra f(t) nghịch biến trên [0; 2]
Do đó f(x + 1) = f(y)
⇔
x + 1 = y
Thay y = x + 1 vào (1) ta được:
x
2
+
2 2
1 3 1 2 0x x− − − + =

⇔
x
2
+ 2 = 2

( )
2
2 2 2
1 2 4(1 )x x x− ⇔ + = −

⇔
x
4
+ 8x
2
= 0
⇔
x = 0 khi đó y = 1
Hệ có nghiệm ( x = 0; y = 1)
Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
5
Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
Dạng 2: Hệ đối xứng loại 2 mà khi giải thường dẫn đến một trong hai phương
trình của hệ có dạng f(x) = 0 hoặc f(x) = f(y), trong đó f là hàm đơn điệu
Cách giải
+ Xét sự biến thiên của hàm số f(t)
+ Xét x > y đi đến mâu thuẫn
+ Xét x < y đi đến mâu thuẫn
+ xét x = y suy ra nghiệm
Cách giải 1: Xét hàm số f(t) = t
3
- 2t
2
+ 2t + 1, t
R∈

f’(t) = 3t
2
- 4t + 2 > 0
t R∀ ∈
f(t) đồng biến trên R
do đó với x > y ta có f(x) > f( y)
Kết hợp với hệ ta có 2y > 2x
⇔
y > x
Điều này mâu thuẫn với giả thiết x > y
Tương tự với x < y
⇒
f(x) < f(y)
⇔
2y < 2x
⇔
y < x mâu thuẫn với x < y
vậy x = y
Với x = y phương trình (1) trở thành x
3
- 2x
2
+ 1 = 0
⇔
(x - 1)(x
2
-2x - 1) = 0
⇔
x = 1; x =
1 5±

khi đó hệ có nghiệm (1; 1), (
1 5;1 5),(1 5;1 5)+ + − +
Cách giải 2: Trừ từng vế tương ứng của (1) cho (2) ta được:
x
3
- y
3
- 2(x
2
- y
2
) + 4(x - y) = 0
⇔
(x - y)[x
2
+ xy + y
2
- 2(x + y) + 4] = 0
⇔
2 2
2( ) 4 0
y x
x xy y x y
=


+ + − + + =

Với y = x thay vào (1) ta được x
3

- 2x
2
+1 = 0
⇔
x = 1; x =
1 5±
suy ra nghiệm
của hệ
Với x
2
+ xy + y
2
-2(x + y) + 4 = 0
⇔
y
2
+(x -2)y + x
2
-2x + 4 =0 (1a)
coi (1a) là phương trình bậc hai ẩn y ta có
2 2
( 2) 4( 2 4)x x x∆ = − − − +
= -3x
2
+ 4x -12 < 0 với mọi x
Suy ra phương trình (1 a) vô nghiệm
Nhận xét : Cách giải 2 trong nhiều trường hợp rất phức tạp . Sử dụng cách giải
1 là cách làm đơn giản.
Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
6

Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
Bài tập áp dụng:
Giải các hệ phương trình sau:
a,
5 2 7
2 5 7
x y
x y

+ + − =


− + + =


b,
2
2 2
(4 1) ( 3) 5 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x

+ + − − =


+ + − =


II.PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔ GA RIT - HỆ HỖN HỢP.
1. Phương trình.
Cách giải:
+ Đưa phương trình về dạng f(x) = a
+ Xét sự biến thiên của f(x)
+ Kết luận nghiệm
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2
x
= 1 + 3
2
x
(1)
(1)
⇔
f(x) =
1 3
1
2 2
x
x
 
 
+ =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Xét f’(x) =
1 1 3 3

ln ln 0
2 2 2 2
x
x
x R
 
 
+ > ∀ ∈
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Suy ra f(x) nghịch biến trên R
Mặt khác f(1) = 1 nêm đồ thị của f(x0 cắt đường thẳng y = 1 tại duy nhất một
điểm có hoành độ x = 1 hay phương trình có nghiệm duy nhất.
Nhận xét: ở bài toán này chỉ có thể dùng phương pháp hàm số.
Ví dụ 2; Giải phương trình: 2
3 2
8 14
x
x x
−
= − + −
Giải: ĐK x
3
≤
Phương trình đã cho tương đương với
3 2
2 8 14 0

x
x x
−
+ − + =
Xét hàm số f(x) = 2
3 x−
+x
2
- 8x +14
f’(x) = -
1
2 8 0 3
2 3
x x
x
+ − < ∀ <
−
f(x) liên tục trên
(
]
;3−∞
suy ra f(x) nghịch biến trên
(
]
;3−∞
Mặt khác f(3) = 0, vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình: log
3
12 8
( ) logx x x+ =

Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
7
Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
Giải: ĐK: x > 0
Đặt t = log
2 3 2
3
8
8 8 8
t t t
x x x x⇔ = ⇒ = ⇒ =
Phương trình (1) trở thành log
12
(
)
3 2
8 8
t t
t+ =
3
8 64 12
t t
t⇒ + =
3
8 64
1
12 12
t
t
 

 
⇔ + =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
2 1
1
3 3
t t
   
⇔ + =
 ÷  ÷
   
Đặt f(t) =
2 1
3 3
t t
   
+
 ÷  ÷
   
f’(t) =
2 2 1 1
ln ln 0
3 3 3 3
t t
t R
   

+ < ∀ ∈
 ÷  ÷
   
f(t) nghịch biến trên R
f(1) = 1 suy ra phương trình f(t) = 1 có nghiệm duy nhất t = 1
Với t = 1 suy ra
8 64x x= ⇒ =
2. Bất phương trình:
Cách giải
+ Đưa bất phương trình về dạng f(x)
a≤
; f(x)
≥
a
+ Xét sự biến thiên của hàm số, sử dụng định nghĩa hàm đồng biến,
nghịch biến để kết luận nghiệm của phương trình
Ví dụ 1; Giải bất phương trình: log
2
(
2 2
3
5 5 1) log ( 5 7) 2x x x x− + + + − + ≤
(1)
Giải: ĐK: x
2
- 5x + 5
≥
0
5 5 5 5
4 4

x
− +
⇔ ≤ ≤
Đặt t =
2
5 5( 0)x x t− + ≥
Bất phương trình trở thành: log
2
(t + 1) +log
3
(t
2
+ 2)
≤
2
Xét hàm số f(t) = log
2
(t + 1) + log
3
(t
2
+ 2) với t
≥
0
f’(t) =
2
1 2
0 0
( 1) ln 2 ( 2)ln 3
t

t
t t
+ > ∀ ≥
+ +
Hàm số đồng biến trên
[
)
0;+∞
Mặt khác ta có f(1) = 2
Do đó bất phương trình f(t)
≤
2 hay f(t)
≤
f(1)
Tương đương với t
≤
1
Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
8
Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
Với t
≤
1 ta có
2
5 5 1x x− + ≤
2
5 4 0 1 2 4x x x⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
Nhận xét: Bất phương trình (1) chứa biểu thức của hai lô ga rit không cùng cơ
số và chứa căn thức nên sử dụng phương pháp đặt ẩn số phụ két hợp phương
pháp hàm số là cách làm đơn giản nhất.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 2
2
2
2
log (4 2) 1
x
x x
−
− − − ≥
(1)
Giải: ĐK: 4x - x
2
-2
2
0 4 2 0 2 2 2 2x x x≥ ⇔ − + ≤ ⇔ − ≤ ≤ +
Bất phương trình (1) tương đương với log
2
[4x - x
2
- 2]
2
2
x−
≥
2
2
2
log 2 2 2
x
x

−
 
⇔ − − ≥
 
Đặt t =
2x −
với
0 2t≤ <
(1a)
Bất phương trình trở thành: log
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 log 2 2 0
t t
t t− ≥ ⇔ − − ≥
đặt f(t) = log
2
(2 - t
2
) -2
t

f’(t) = -
( )
2
2
2 ln 2 0 0; 2
(2 )ln 2
t

t
t
t
− < ∀ ∈
−
f(t) liên tục trên
)
0; 2


Suy ra f(t) nghịch biến trên [0;
2)
, mà f(0) = 0 do đó f(t)
0
≥
hay f(t)
(0)f≥
khi
và chỉ khi t
0≤
. kết hợp với điều kiện (1a) ta có t = 0
Với t = 0 ta có
2 0 2x x− = ⇔ =
Nhận xét: Đối với loại bài toán này thông thường ta sử dụng phương pháp đặt
ẩn phụ sau đó xét sự biến thiên của hàm số mới.
Bài tập áp dụng:
1, Giải các phương trình sau:
a, 3
x
+ 4

x
+ 5
x
= 50
b, x + x
log
2
3
+ x
log
2
5
c, 2
x+1
- 4
x
= x - 1
d, log(x
2
-6x + 5) = log(x - 1) + 6 -x
e, 3.25
x-2
+ (3x - 10).5
x-2
+ 3 - x = 0
g, (x + 2)log
2
3 3
( 1) 4( 1)log ( 1) 16 0x x x+ + + + − =
h,

2
1
2 2
x x
e e x
−
+
= +
với x
0
≥
i, ln(1+x)= x-
2
2
x
với x
0
≥
k, log
3
(x
2
+ x + 1) - log
3
x = 2x -x
2
Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
9
Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
2. Giải các bất phương trình:

a,
1 1 1
2 3 1
6 3 2
x x x
     
+ + <
 ÷  ÷  ÷
     
b, log
7
x < log
3
(
2)x +
c, log
3
x +
log 3
1 5
2 2
x
 
≥
 ÷
 
d, log
4
(x
2

- x - 8)
3. Hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và lô ga rit.
Đối với hệ hỗn hợp cần xem xét rút x hoặc y từ phương trình nào.
Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình:
( )
2
4
2 2
3 4 5
(1)
21
(2)
1 log log 1
2
x
x
x x

− ≥



 

+ − ≥ +
 ÷

 

Giải: (1) tương đương với: 3

x

2
4 5
x
≥ +
( )
1 5
4 5 3 4 1
3 3
x
x
x
x
 
 
⇒ + ≤ ⇔ + ≤
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Đặt f(x) =
5 1
4
3 3
x
x
 
 

+
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
với x
R∈
f’(x) =
5 5 1 1
ln 4 ln 0
3 3 3 3
x
x
x R
 
 
+ < ∀ ∈
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Do đó f(x) nghịch biến trên R
Nên f(x)
1 ( ) (2)hayf x f≤ ≤
khi và chỉ khi x
2≥
Bất phương trình (2) tương đương với:
1 + log

2
(21 - x) - log
2
2
4 4 4
2
log ( 1) 21 2 1 2 20x x x x x≥ + ⇔ − ≥ + ⇔ + ≤
Xét g(x) = x
4
+ 2x với x
[
)
2;∈ +∞
g’(x) = 4x
3
+ 2
[
)
2;x∀ ∈ +∞
Suy ra g(x) đồng biến trên
[
)
2;+∞
Mà g(2) = 20 do đó g(x)
20≤
hay g(x)
≤
g(2) khi và chỉ khi x
≤
2

Kết hợp x
2≥
và x
≤
2 ta có x = 2 là nghiệm.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
2 2
2
2
3 2
2010
2009
(1)
2010
(2)
3log ( 2 6) 2log ( 2) 1
y x
x
y
x y x y
−

+
=

+


+ + = + = +


Giải: ĐK
2 6 0
2 0
x y
x y
+ + >


+ + >

Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
10
Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
(1) tương đương với
2
2 2
2009
2
2010
log
2010
2009
log 2009
x
y x
y
+
− =
+
2 2 2 2

2009 2009
log ( 2010) log ( 2010)y x x y⇔ − = + − +
Xét hàm số f(t) = t + log
2009
(t + 2009) với t
0≥
f’(t) = 1 +
( )
1
0 0
2009 ln 2009
t
t
> ∀ ≥
−
Do đó f(t) đồng biến trên
[
)
0;+∞
Suy ra f(x
2
) = f(y
2
)
2 2
x y⇔ =
x y⇔ = ±
+ Với x = y ta có (2) trở thành: 3log
3
3(3x+6) = 2log

2
(2x+2) + 1
3 2
3log 29 2) 2log 2( 1) 1x x⇔ + = + +
[ ] [ ]
3 2
3 1 log ( 1) 2 1 log ( 1) 1x x⇔ + + = + + +
3 2
3log ( 2) 2log ( 1) 6x x u⇔ + = + =
2
3
2 3
1 2
u
u
x
x

+ =

⇔

+ =


4 4
3 2
8 1
2 1 3 8 1 9 1
9 9

u u u u
   
⇒ + = ⇔ + = ⇔ + =
 ÷  ÷
   
Nhận thấy u =1 là một nghiệm.
Xét f(u) =
4 4
8 1
9 9
   
+
 ÷  ÷
   
với u
R∈
f’(u) =
4 4
8 8 1 1
ln ln
9 9 9 9
   
+
 ÷  ÷
   
f’(u) < 0
u R
∀ ∈
Suy ra f(u) nghịch biến trên R
Do đó u = 1 là nghiệm duy nhất

Với u = 1 suy ra x = 7 khi đó y = 7
+ Với x = -y ta có (20 trở thành: 3log
3
(y + 6) = 2log
2
2 + 1 = 3
suy ra y + 6 = 3
3y⇔ = −
khi đó x = 3
Tóm lại hệ có nghiệm (x; y) là (3; -3), (7; -7)
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
2 2
ln(1 ) ln(1 )
(1)
(2)
12 20 0
x y x y
x xy y
+ − + = −


− + =

Giải: ĐK
1 0 1
1 0 1
x x
y y
+ > > −
 

⇔
 
+ > > −
 
(2) tương đương với x = 2y hoặc x = 10y
(1) tương đương với ln(1+ x) - x = ln(1+ y) -y
Xét hàm số f(t) = ln(1+ x) - t với t > -1
Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
11
Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
f’(t) =
1
1 0 0
1 1
t
t
t t
− = − = ⇔ =
+ +
Ta có bảng biến thiên: t -1 0 +
∞
f’(t) + 0 -
f(t) 0
-
∞
Từ bảng biến thiên suy ra:
Nếu f(x) = f(y) khi và chỉ khi x
≠
y thì x, y trái dấu, điều này mâu thuẫn với x =
2y hoặc x = 10y

Vậy f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = y
Khi đó nghiệm của hệ là x = y = 0
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
3 2
3 2
2( 2 1) ( 1) (1)
(2)
4 1 ln( 2 ) 0
x x y x y
y x y x

+ − − = +


+ + + + =


Giải: ĐK: y
2
+2x > 0
(1) tương đương với 2x(x
2
+ 2) = (y + 1)(x
2
+ 2)
1 2y x⇔ + =
Thay vào (2) ta được: y
3
+ 2(y + 1) + 1 + ln(y
2

+ y + 1) = 0
⇔
y
3
+ 2y + 3 + ln(y
2
+ y + 1) = 0
Xét hàm số f(y) = y
3
+ 2y + 3 + ln(y
2
+ y + 1) ( y
)R∈
f’(y) = 3y
2
+ 2 +
2
2
2 2
2 1 2( 1) 1
3
1 1
y y
y
y y y y
+ + +
= +
+ = + +
f’(y) > 0 với mọi y
R∈

suy ra hàm số đồng biến trên R
Mà f(-1) = 0 nên y = -1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
4
6 2
1
log ( ) log
4
(1)
16
sin 1
x
(2)
1 os
4
os
16
x x x
x
c
c x
π
π
π

+ =





+

< −



Giải: ĐK x > 0
(1)
4 4
6 2
log ( ) logx x x⇔ + =
(2a)
Đặt t =
4 4
2
log 2
t
x x⇒ =
Phương trình (2a) trở thành log
6
(4
t
+ 2
t
) = t
⇔
4
t
+ 2
t

= 6
t

⇔

2 1
1
3 3
t t
   
+ =
 ÷  ÷
   
(3)
Hàm f(t) =
2 1
3 3
t t
   
+
 ÷  ÷
   
là hàm giảm trên R
Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
12
Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
Lại có f(1) = 1 nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất t = 1
Với t = 1 suy ra
4
2

log 1 16x x= ⇔ =
Thay x = 16 vào phương trình (2) ta được
sin 1
1 os -1<2
os
c
c
π
π
π
+
< − ⇔
(luôn đúng)
Vậy nghiệm của hệ đã cho là x = 16.
Bài tập áp dụng: Giải hệ phương trình:
1,
2 2
2 3
2 2
2 3
log (1 3 1 ) log (1 ) 2
log (1 3 1 ) log (1 ) 2
x y
y x

+ − = − +


+ − = − +



2,
2
3
3 2 0
3 3 0
x x
x x

− + ≤


− + ≥



III. Phương trình lượng giác.
Để giải một phương trình lượng giác, ta có thể biến đổi đưa phường trình về
dangjtichs hoặc đặt ẩn phụ hoặc đánh giá hai vế của phương trình. Ngoài những
phương pháp thông dungjtreen, ta có thể xét sự biến thiên của hàm số.
Ví dụ: Giải phương trình
1cossinsinsin
2
=+++ xxx
(1)
Giải: Phương trình (1) tương đương với
coxxx −=+
2
cossinsin
(2) với sinx

≥
0
+ Với sinx = 0 phương trình trở thành cosx = 0 hoặc cosx = 1
Suy ra x = k2
π
là nghiệm.
+ Với sinx > 0phương trình (2) có dạng f
( )
=xsin
f(-cosx)
Xét hàm số f(t) = t + t
2
với t > 0
f'(t) =2t + 1 > 0 với mọi t > 0
Hàm số f(t) đồng biến trên (0; +
∞
)
Do đó f
( )
=xsin
f(-cosx)
xsin⇔
= -cosx
Với -cosx
0≥
, bình phương hai vế ta được sin
2
x + sinx - 1 = 0
Giải ra ta được sinx
2

51+−
)(2
2
15
arcsin
2
2
15
arcsin
Zmmx
kx
∈
−
−=
+
−
=
⇔
ππ
π
( loại vì cosx >0)
Vậy phương trình có nghiệm x = k2
π
; x =
ππ
m2
2
15
arcsin +
−

−
với k, m
Z∈
Phần 3: KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
1. Kết quả:
Khi chưa thực hiện đề tài này, trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh
rất hay vướng mắc khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ
Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
13
Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình
phương trình và hệ bất phương trình. Sau khi nghiên cứu và áp dụng vào thực tế
giảng dạy theo đề tài này đã gây được hứng thú học tập cho học sinh và giúp học
sinh giải được nhiều bài toán khó đối với phương trình, hệ phương trình, bất
phương trình, hệ bất phương trình. Đây là những dạng toán thường xuất hiện
trong các đề thi đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp, giải quyết được
các dạng bài tập này nhằm giúp học sinh rèn luyện khả năng tư duy, phát huy
tính tích cực sáng tạo trong học toán và hơn nữa giúp học sinh hệ thống được
kiến thức và phương pháp giải để học sinh tự tin hơn khi chuẩn bị bước vào các
kỳ thi.
Thực tế khi thực hiện đề tài này, chất lượng môn học được nâng lên rõ rệt,
cụ thể qua kiểm tra đánh giá phần phương trình, hệ phương trình, bất phương
trình, hệ bất phương trình kết quả học tập của học sinh như sau:
Lớp
Số
HS
Điểm 8
đến 10
Điểm 6.5
đến dưới 8
Điểm 5 đến

dưới 6.5
Điểm 2 đến
dưới 5
Điểm dưới
2
SL % SL % SL % SL % SL %
12E 45 6 13.3 13 28.9 22 48.9 4 9.8 0 0
12B 45 8 17.8 15 33.3 19 42.2 3 6.7 0 0
12N 45 6 13.3 12 26.7 22 48.9 5 11.1 0 0
Tổng
135 20 14.8 40 29.6 63 46.7 12 8.9 0 0
Đối chiếu với kết quả của học sinh sau khi học phần này của năm học trước ( khi
chưa thực hiện đề tài này) thì chất lượng học sinh tăng lên rõ rệt. Tỉ lệ học sinh
yếu kém giảm từ 42,9% xuống còn 8,9%; tỉ lệ học sinh khá giỏi tăng từ 5,2% lên
8.9%. Do nắm được phương pháp làm bài, phương pháp học tập, nên các em đã
yêu thích môn toán hơn và nhiều em học tập tiến bộ rõ rệt, đặc biệt là khi học
phần phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình.
2. Bài học kinh nghiệm:
- Bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất
phương trình là dạng toán khó đối với học sinh, vì vậy khi giảng dạy phần này
cần lựa chọn phương pháp và rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, khả năng
hệ thống kiến thức.
- Trong thực tế, nhiều học sinh tiếp thu phương pháp giải rất nhanh nhưng
việc trình bày chưa chặt chẽ, chưa rõ ràng vì vậy giáo viên cần sửa cho học sinh
một cách tỉ mỉ.
- Chất lượng của học sinh phụ thuộc rất nhiều vào bài giảng của thầy, vì
vậy mỗi dạng toán cần có sự phân loại và hệ thống được các phương pháp giải.
Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
14
Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình

Trên đây là một số kinh nghiệm được rút ra từ thực tế giảng dạy môn toán
lớp 12 năm học 2010 - 2011. Trong khuôn khổ có hạn của đề tài không tránh
khỏi những hạn chế, thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến trao đổi, đóng góp của
lãnh đạo, của các bạn đồng nghiệp để đề tài đầy đủ hơn, góp phần vào việc nâng
cao chất lượng giảng dạy bộ môn toán lớp 12 ở trường THPT nói chung, trường
THPT Ba Đình huyện Nga Sơn nói riêng.
Xin chân thành cám ơn.
Nga Sơn, ngày 28 tháng 4 năm 2011
NGƯỜI THỰC HIỆN
Mai Thị Mơ
Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình
15