PHÂN LOẠI VÀ GIẢI BÀI TẬP DAO ĐỘNG CƠ VÀ DAO ĐỘNG ĐIỆN

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>PHÂN LOẠI VÀ GIẢI BÀI TẬP DAO </b>

<i><b>ĐỘNG CƠ VÀ DAO ĐỘNG ĐIỆN </b></i>

<i><b> </b></i>

<b>KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC</b>

<i><b>Quảng Nam, tháng 4 năm 2015 </b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

1

<b>LỜI CAM ĐOAN </b>

Tôi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi. Các bài tập tôi đã tự giải và tham khảo nêu trong khóa luận này là trung thực, được các tác giả cho phép sử dụng và chưa được công bố trong bất kì một cơng trình nào khác.

<b> </b> <i>Quảng Nam, tháng 04 năm 2016 </i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường Đại học Quảng Nam, các Thầy Cô giáo trong Khoa Lí – Hóa – Sinh đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi và các bạn sinh viên khác trong quá trình học tập cũng như thực hiện khóa luận này.

Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thành viên trong gia đình, người thân đã ln động viên, đưa ra những lời khun trong lúc tơi gặp khó khăn và cảm ơn các bạn học cùng lớp Đại học Vật lí K12 đã có những ý kiến đóng góp trong q trình thực hiện đề tài.

Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô đã giành thời gian để đọc, nhận xét và chấm điểm khóa luận để giúp cho khóa luận tốt nghiệp của tơi có thể hồn chỉnh hơn.

Tuy đã cố gắng và nổ lực rất nhiều, song do hạn chế về năng lực và thời gian nghiên cứu nên đề tài khơng thể tránh khỏi những thiếu sót, vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ để tơi có thể hồn thiện hơn đề tài nghiên cứu của mình.

<i> Tác giả khóa luận </i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

3

<b>DANH MỤC HÌNH VẼ </b>

Hình 1.1. Dao động của con lắc lị xo ... ...10

Hình 1.2. Đồ thị biểu diển sự phụ thuộc của li độ, vận tốc và gia tốc vào thời gian ...6

Hình 1.3. Dao động trong con lắc đơn ... 7

<b>Hình 1.9. Dao động điện cưỡng bức ... 17 </b>

Hình 2.1. Vật trượt trên mặt phẳngnghiêng...25

Hình 2.2. Mạch LC ...26

Hình 2.3. Dao động của con lắc đơn...28

Hình 2.4. Vật dao động trên mặt phẳng ngang...35

Hình 3.1. Hệ con lắc lị xo...47

Hình 3.2. Con lắc lò xo trong bài tậ 1...53

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

4 MỤC LỤC

I. MỞ ĐẦU ... 7

1.1. Lí do chọn đề tài ... 7

1.2. Mục tiêu của đề tài ... 8

1.3. Đối tượng nghiên cứu... 8

1.4. Phạm vi nghiên cứu: ... 8

1.5. Phương pháp nghiên cứu ... 9

1.6. Giả thuyết khoa học ... 9

1.7. Đóng góp của đề tài ... 9

1.8. Cấu trúc đề tài ... 9

II. NỘI DUNG... 10

Chương 1. CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ DAO ĐỘNG CƠ VÀ DAO ĐỘNG ĐIỆN ... 10

1.1. Dao động điều hòa tự do ... 10

1.1.1. Dao động điều hòa của con lắc lò xo ... 10

1.1.2. Dao động điều hòa của con lắc đơn ... 13

1.1.3. Dao động điều hịa của con lắc vật lí ... 14

1.1.4. Dao động điều hòa của mạch LC ... 15

1.2. Dao động tắt dần ... 17

1.2.1. Dao động cơ tắt dần ... 17

1.2.2. Dao động điện từ tắt dần ... 20

1.3. Dao động cưỡng bức ... 22

1.3.1. Dao động cơ học cưỡng bức ... 22

1.3.2. Dao động điện cưỡng bức ... 23

1.4. Cộng hưởng trong dao động cơ học ... 24

1.4.1. Cộng hưởng li độ ... 24

1.4.2. Cộng hưởng vận tốc ... 24

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

2.1. Các dạng bài tập dao động điều hịa ... 27

2.1.1. Dạng 1. Viết phương trình dao động ... 27

2.1.2. Dạng 2. Chứng minh chuyển động của một vật là dao động điều hòa bằng phương pháp động lực học ... 31

2.1.3. Dạng 3. Xác định năng lượng ... 33

2.1.4. Dạng 4. Bài tập về sự tương tự điện – cơ ... 36

2.2. Các dạng bài tập dao động tắt dần ... 37

2.2.1. Dạng 1. Phương trình dao động tắt dần khi ma sát nhỏ ... 37

2.2.2. Dạng 2. Xác định các đại lượng của dao động tắt dần khi ma sát nhỏ ... 39

2.2.3. Dạng 3. Tính số dao động thực hiện ... 41

2.3. Các dạng bài tập dao động cưỡng bức ... 42

2.3.1. Dạng 1. Viết phương trình dao động ... 42

2.3.2. Dạng 2. Bài toán về cộng hưởng trong dao động cơ học ... 44

2.3.3. Dạng 3. Bài toán về cộng hưởng trong dao động điện từ ... 48

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ... 50

Chương 3. BÀI TẬP ÁP DỤNG ... 51

3.1. Các dạng bài tập của dao động điều hòa ... 51

3.1.1. Dạng 1. Viết phương trình dao động ... 51

3.1.2. Dạng 2. Chứng minh chuyển động của một vật là dao động điều hòa bằng phương pháp động lực học ... 53

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

6

3.1.3. Dạng 3. Xác định dạng năng lượng trong dao động điều hòa ... 55

3.1.4. Dạng 4. Bài tập về sự tương tự điện – cơ ... 56

3.2. Các dạng bài tập dao động tắt dần ... 57

3.2.1. Dạng 1. Phương trình dao động tắt dần khi ma sát nhỏ ... 57

3.2.2. Dạng 2. Xác định các đại lượng của dao động tắt dần khi ma sát nhỏ ... 58

3.2.3. Dạng 3. Tính số dao động thực hiện ... 59

3.3. Các dạng bài tập dao động cưỡng bức ... 60

3.3.1. Dạng 1. Viết phương trình dao động ... 60

3.3.2. Dạng 2. Bài toán về cộng hưởng ... 62

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Vật lí học là mơn khoa học gắn liền với nhiều hiện tượng tự nhiên cũng như trong cuộc sống hằng ngày và trong kĩ thuật. Bản chất của quá trình học Vật lí là nghiên cứu các sự vật, hiện tượng trong tự nhiên. Trong đó việc nghiên cứu về dao động cho ta nhiều kiến thức khá gần gũi với thực tế, qua đó đưa ra được nhiều ứng dụng thành công trong khoa học, kĩ thuật và cuộc sống.

Mảng kiến thức về dao động được nghiên cứu khá nhiều trong chương trình trung học phổ thơng, đại học và các bậc cao hơn. Dựa vào bản chất vật lí của q trình dao động người ta phân thành các loại dao động như dao động cơ học - nghiên cứu dao động của con lắc, dao động của sợi dây, của các bộ phận đồng hồ, của các máy móc, các cơng trình xây dựng…và dao động điện từ - nghiên cứu dao động của các dòng điện trong mạch điện xoay chiều, dao động của các vectơ cường độ dòng điện 𝐸⃗ và cảm ứng từ 𝐵⃗ của trường điện từ biến thiên...

Khi nghiên cứu dao động cơ và dao động điện ta thấy mặc dù chúng có bản chất vật lí hồn tồn khác nhau nhưng chúng có những đặc điểm chung và hơn nữa chúng tuân theo cùng một quy luật biến đổi khá thú vị. Một cách tiếp cận chung trong việc nghiên cứu dao động trong các hệ vật lí khác nhau cho phép xem xét dao động cơ học, dao động điện từ theo cùng một quan điểm.

Với cách tiếp cận như vậy, chúng ta có thể nghiên cứu cùng một lúc nhiều loại dao động mà không cần phải tách riêng dao động cơ và dao động điện, từ đó tìm ra các dạng bài tập và phương pháp giải tương tự giữa dao động cơ và dao động điện, thuận lợi cho việc học tập và nghiên cứu.

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

8 Giải bài tập là khâu quan trọng không thể thiếu trong việc nâng cao chất lượng học tập bộ môn vật lí. Việc giải bài tập khơng những nhằm mục đích giải tốn, mà cịn có ý nghĩa to lớn trong việc rèn luyện cho người học kĩ năng vận dụng kiến thức, kĩ năng tính tốn, suy luận logic để giải quyết những vấn đề trong thực tế đời sống. Thông qua hoạt động giải bài tập, người học khơng những củng cố lí thuyết và tìm ra lời giải một cách chính xác mà cịn hướng người học cách suy nghĩ, lập luận để hiểu rõ bản chất vấn đề và có cái nhìn đúng đắn khoa học. Khi làm bài tập người học phải nhớ lại những kiến thức đã học, phải đào sâu khía cạnh nào đó của kiến thức hoặc phải tổng hợp nhiều kiến thức trong một chương hay nhiều chương, từ đó phân thành các dạng bài tập để vận dụng.

Việc tìm hiểu dao động cơ và dao động điện giúp người học tìm ra được sự tương tự của điện - cơ trong dao động. Khi nắm rõ sự tương tự của dao động cơ và dao động điện thì việc phân loại và giải bài tập về hai loại dao động này rất cần thiết, giúp người học hiểu sâu và đơn giản hóa việc giải bài tập hai dao động này.

<i><b>Xuất phát từ những lý do trên tôi chọn đề tài “Phân loại và giải bài tập dao động cơ và dao động điện” để làm khóa luận tốt nghiệp. Một mặt giúp tôi cũng </b></i>

như các bạn sinh viên tiếp cận được phương pháp tự nghiên cứu, tự phân dạng các bài tập của dao động cơ và dao động điện, mặt khác giúp học sinh phổ thơng có thêm tài liệu tham khảo giúp tìm ra mối liên hệ logic giữa các chương trong dao động để có thể nắm và vận dụng kiến thức một cách hiệu quả nhất.

<b>1.2. Mục tiêu của đề tài </b>

- Tìm hiểu dao động cơ và dao động điện.

- Phân dạng và giải được các bài tập dao động cơ và dao động điện.

<b>1.3. Đối tượng nghiên cứu </b>

- Dao động cơ học điều hòa, dao động cơ học tắt dần, dao động cơ học cộng

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

9 Dao động cơ và dao động điện.

<b>1.5. Phương pháp nghiên cứu </b>

- Phương pháp lí thuyết: Tổng hợp và phân tích lý thuyết về dao động cơ và dao động điện.

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Phương pháp quan sát, phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

- Phương pháp phân dạng bài tập.

<b>1.6. Giả thuyết khoa học </b>

Nếu đề tài thành cơng thì sẽ trở thành tài liệu bổ ích cho người học trong việc nghiên cứu và giải bài tập liên quan đến dao động cơ và dao động điện.

<b>1.7. Đóng góp của đề tài </b>

Qua đề tài “ Phân loại và phương pháp giải bài tập dao động cơ và dao động điện” có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo trong học phần “Dao động và sóng” của sinh viên và học sinh lớp 12 trong chương “Dao động cơ và dao động

<b>điện từ”. </b>

<b>1.8. Cấu trúc đề tài I. MỞ ĐẦU </b>

II. NỘI DUNG

Chương 1. CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ DAO ĐỘNG CƠ VÀ DAO ĐỘNG ĐIỆN

Chương 2. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP DAO ĐỘNG CƠ VÀ DAO ĐỘNG ĐIỆN

Chương 3. BÀI TẬP VẬN DỤNG III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

10

<b>II. NỘI DUNG </b>

<b>Chương 1. CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ DAO ĐỘNG CƠ VÀ DAO ĐỘNG ĐIỆN </b>

<b>1.1. Dao động điều hòa tự do </b>

<b>1.1.1. Dao động điều hòa của con lắc lò xo </b>

<b>1.1.1.1. Thiết lập phương trình động lực học của vật dao động trong con lắc lò xo </b>

Xét dao động của con lắc lò xo thẳng đứng gồm một vật nặng có khối lượng m gắn vào đầu một lị xo có khối lượng khơng đáng kể, đầu kia của lị xo được treo cố định.

Hình 1.1. Dao động của con lắc lò xo Xét vật ở vị trí cân bằng O, gồm các lực tác dụng lên vật:

+ Trọng lực : 𝑃⃗ = 𝑚𝑔

+ Lực đàn hồi của lò xo: 𝐹 _đℎ = −𝑘. 𝛥𝑙 Áp dụng định luật II Newton ta có: 𝑃⃗ + 𝐹 _đℎ = 0 ⇔ 𝑚𝑔 − 𝑘. 𝛥𝑙 = 0 ⇔ 𝑚𝑔 = 𝑘. 𝛥𝑙

Xét vật ở vị trí có li độ x bất kì, lực tác dụng lên vật gồm: + Trọng lực : 𝑃⃗ = 𝑚𝑔

+ Lực đàn hồi của lò xo: 𝐹 _đℎ = −𝑘. (∆𝑙 + 𝑥 ) Áp dụng định luật II Newton ta có: 𝑃⃗ + 𝐹 _đℎ = 𝑚𝑎 ⇔ 𝑚𝑔 − 𝑘. (𝛥𝑙 + 𝑥 ) = 𝑚𝑎 ⇔ −𝑘. 𝑥 = 𝑚𝑎

⇔ −𝑘. 𝑥 = 𝑚𝑎 ⇔ ^𝑑²^𝑥<small>𝑑𝑡</small>² + ^𝑘

<small>𝑚</small>𝑥 = 0

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

11 Đặt 𝜔<small>2</small> = ^𝑘

Phương trình (1.2) này cho biết sự phụ thuộc của li độ x của vật nặng vào thời gian, đó chính là phương trình chuyển động của vật.

<b>1.1.1.2. Các đại lượng đặc trưng của con lắc lò xo dao động điều hòa </b>

 x là li độ hay độ lệch của vật ra khỏi vị trí cân bằng.

 A là li độ cực đại, và được gọi là biên độ của dao động, đó là giá trị của li độ x ứng với lúc cos (ωt + 𝜑) = 1. Biên độ luôn luôn dương.

 ω gọi là tần số góc của dao động

ω = √^km

Đối số của hàm sin: 𝜔𝑡 + 𝜑 được gọi là pha của dao động vào thời điểm t, pha là một góc.

 Vào thời điểm 𝑡 = 0 thì pha có giá trị bằng φ. Vì vậy φ gọi là pha ban đầu của dao động.

 Dao động điều hòa là một chuyển động tuần hồn với chu kì T, giai đoạn chuyển động trong một chu kì T có khi được gọi là một dao động. Số dao động υ được gọi là tần số của dao động.

<small>𝑇</small> = ^𝜔<small>2π</small>  Vận tốc trong dao động điều hòa: 𝑣 = ^𝑑𝑥

<small>𝑑𝑡</small> = 𝑥^′ = 𝜔𝐴𝑐𝑜𝑠(ωt + φ) = 𝜔𝐴𝑠𝑖𝑛(ωt + φ + ^𝜋<small>2</small>)  Gia tốc trong dao động điều hòa

𝑥<small>′′</small> = ^𝑑<small>2𝑥</small>

<small>𝑑𝑡</small>² = −𝜔<small>2</small>sin(ωt + φ)

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

12 Hình 1.2. Đồ thị biểu diển sự phụ thuộc của li độ, vận tốc và gia tốc vào thời gian

<b>1.1.1.3. Năng lượng của con lắc lò xo dao động điều hòa </b>

Xét vật nặng trong con lắc lò xo, vật dao động với tần số góc ω và biên độ A, li độ của vật là:

Lực đàn hồi của lò xo tác dụng lên vật là F =−kx. Dưới tác dụng của lực này, thế năng của vật (cũng chính là thế năng đàn hồi của lò xo) là:

𝑊_𝑡 =¹2^{𝑘. 𝑥}

<small>2</small>Thay x từ (1.3) vào ta có: 𝑊_𝑡 = ¹

<small>2</small> k𝐴<small>2</small>𝑐𝑜𝑠<small>2</small>(ωt + φ) Mà ω<small>2</small> = ^𝑘

<small>𝑚</small> tức là 𝑘 = 𝑚𝜔², do đó: 𝑊_𝑡 = ¹

Đây là biểu thức của thế năng phụ thuộc vào thời gian. Theo định nghĩa, động năng của vật nặng là: 𝑊_đ = ¹

<small>2</small> mv² Vận tốc v có thể tính theo cơng thức:

v = 𝑥^, = − ωAsin(ωt + φ) Thay vào biểu thức trên của động năng ta có: 𝑊_đ =¹

<small>2</small>𝑚𝐴²ω²𝑠𝑖𝑛²(ωt + φ) (1.5) Đây là biểu thức của động năng phụ thuộc vào thời gian.

Cơ năng W của vật nặng, đó cũng là cơ năng của con lắc lò xo: W = 𝑊_đ + 𝑊_𝑡 = ¹

<small>2</small>ω<small>2</small>[𝑐𝑜𝑠<small>2</small>(ωt + φ) + 𝑠𝑖𝑛<small>2</small>(ωt + φ) ] Suy ra: 𝑊 = ¹

Chú ý rằng 𝑘 = 𝑚𝜔<small>2</small>, ta có: W = ¹

<small>2</small> k𝐴²

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

13 Như vậy, cơ năng W không phụ thuộc thời gian. Vậy, cơ năng của vật nặng dao động, tức cũng là cơ năng của con lắc lò xo được bảo tồn.

<b>1.1.2. Dao động điều hịa của con lắc đơn </b>

<b>1.1.2.1. Thiết lập phương trình động lực học của vật dao động trong con lắc đơn </b>

Xét con lắc đơn gồm một vật nặng có kích thước nhỏ, có khối lượng m, treo ở đầu một sợi dây mềm khơng dãn có khối lượng khơng đáng kể.

Hình 1.3. Dao động trong con lắc đơn Xét vật ở vị trí M, các lực tác dụng lên vật là:

+ Trọng lực: 𝑃⃗ = 𝑚𝑔 + Lực căng dây: 𝑇⃗

Ta phân tích trọng lực 𝑃⃗ thành hai thành phần: 𝑃⃗ = 𝑃⃗ _𝑛+ 𝑃⃗ _𝑡

Thành phần 𝑃⃗ _𝑛 của trọng lực và lực căng dây 𝑇⃗ cùng tác dụng lên vật, nhưng vì chúng vng góc với quỹ đạo nên khơng làm thay đổi tốc độ của vật. Hợp lực của chúng là lực hướng tâm giữ cho vật chuyển động trên quỹ đạo tròn.

Thành phần 𝑃⃗ _𝑡 của trọng lực ln có khuynh hướng kéo vật về vị trí cân bằng O.

Với những dao động nhỏ, tức là li độ 𝛼 ≪ 1 rad, còn li độ cong 𝑠 ≪ 1, thì có thể coi gần đúng cung OM là đoạn thẳng.

Theo hình 1.2 cho thấy lực 𝑃⃗ _𝑡 có độ lớn 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 và ln hướng về 0, nên: 𝑃_𝑡 = −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼

Ngồi ra, 𝛼 ≪ 1 rad nên có thể coi gần đúng 𝑠𝑖𝑛𝛼 ≈ 𝛼. Áp dụng định luật II Niu-ton, ta có:

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

14 𝑚𝑠<small>′′</small>= −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 ≈ −𝑚𝑔𝛼 = −𝑚𝑔^𝑠

<small>𝑙</small>Từ đó, suy ra: 𝑠^′′+ ^𝑔

<small>𝑙</small> 𝑠 = 0 Đặt 𝜔 = √^𝑔

<b>1.1.3. Dao động điều hịa của con lắc vật lí </b>

<b>1.1.3.1. Thiết lập phương trình động lực học của con lắc vật lí dao động điều hịa </b>

Xét con lắc vật lí quay xung quanh trục nằm ngang 0, dưới tác dụng của trọng lực (trọng lực 𝑅⃗ của trục không gây ra chuyển động quay vì 𝑁⃗⃗ có giá đi qua trục).

Hình 1.4. Con lắc vật lí Lực tác dụng lên vật rắn: 𝑃⃗ , 𝑁⃗⃗ .

Phương trình chuyển động quay của vật: 𝑀⃗⃗ = I x 𝛽 Trong đó: 𝛽 : gia tốc góc

𝑀⃗⃗ = 𝑑 x 𝑃⃗ : momen của lực đối với trục quay đi qua Q I = 𝐼_𝐶 + 𝑚𝑑² : momen quán tính của vật rắn đối với trục đi qua Q Vì trọng lực 𝑃⃗ ln kéo vật về vị trí cân bằng M = −𝑑. 𝑃. 𝑠𝑖𝑛𝛼

Khi đó, ta có: −𝑑. 𝑃. 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝐼. 𝛽 ⇔ −𝑑. 𝑃. 𝛼 = 𝐼.^𝑑²^𝛼

<small>𝐼</small> . 𝛼 = 0

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

15 Đặt 𝜔₀<small>2</small> = ^𝑚𝑔𝑑

<b>1.1.4. Dao động điều hịa của mạch LC </b>

<b>1.1.4.1. Thiết lập phương trình dao động điện điều hịa </b>

Xét một mạch điện kín gồm một tụ điện có điện dung C và một cuộn dây có

<b>độ tự cảm L, điện trở thuần của cuộn dây bằng 0, gọi là mạch LC. </b>

Dòng điện trong mạch biến thiên tạo nên suất điện động cảm ứng e trong cuộn dây:

𝑒 = −𝐿^𝑑𝑖

<small>𝑑𝑡</small>= −𝐿^𝑑²^𝑞<small>𝑑𝑡2</small>

Suất điện động cảm ứng này bằng hiệu điện thế ở hai đầu cuộn dây tức là bằng hiệu điện thế giữa hai bản A và B của tụ điện (^𝑞

<small>𝐶</small>). −𝐿^𝑑²^𝑞

<small>𝑑𝑡</small>² =^𝑞<small>𝐶</small> Ta có: 𝐿𝑞<small>′′</small>+ ^𝑞

<small>𝐶</small> = 0

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

16 Hay: 𝑞^′′+ ¹

<small>𝐿𝐶</small>𝑞 = 0 Đặt ω = ¹

<small>√𝐿𝐶</small>, ta có phương trình: 𝑞<small>′′</small>+ ω²𝑞 = 0 (1.11) Đây là phương trình điện động lực học của dao động điện trong mạch LC. Phương trình này có nghiệm:

Trong đó: 𝑄 = √𝑄₁<small>2</small>+ 𝑄₂², φ = 𝑎𝑟𝑐^𝑄¹

<small>𝑄</small>₂, ω = ¹<small>√𝐿𝐶</small>

<b>1.1.4.2. Các đại lượng đặc trưng của dao động điện </b>

 q là giá trị đại số điện tích của bản cực  Q là điện tích cực đại (biên độ)

 Tần số góc riêng: 𝜔₀ = ¹<small>√𝐿𝐶</small>  Chu kì riêng: 𝑇 = ^2𝜋

<small>𝜔</small> = 2𝜋√𝐿𝐶  Tần số riêng: 𝑓 = <small>1</small>

<small>𝑇</small>= ¹<small>2𝜋√𝐿𝐶</small>

 i là giá trị đại số của cường độ dòng điện chạy trong mạch. Biết rằng cường độ dòng điện là đạo hàm của điện tích theo thời gian:

𝑖 =^𝑑𝑞

<small>𝑑𝑡</small> = 𝑞<small>′</small> = −ωQcos(ωt + φ)  Gia tốc trong dao động điện điều hòa 𝑞^′′ = ^𝑑²^𝑞

<small>𝑑𝑡2</small> = −𝜔²𝑠𝑖𝑛(ωt + φ)

<b>1.1.4.3. Năng lượng trong dao động điện điều hòa </b>

Khi xảy ra quá trình dao động điện trong mạch LC, điện tích q của bản A tụ điện biến thiên theo thời gian theo quy luật:

𝑞 = 𝑄𝑠𝑖𝑛(ωt + φ)

Giữa hai bản tụ điện có điện trường, năng lượng 𝑊_𝐶 của điện trường có biểu thức như sau: 𝑊_𝐶= ¹

<small>𝐶</small> = ^𝑄<small>2</small>

<small>2</small> 𝑠𝑖𝑛<small>2</small>(ωt + φ) = ^𝑄²

<small>2𝐶</small>𝑠𝑖𝑛<small>2</small>(ωt + φ) Năng lượng điện từ toàn phần W của mạch LC:

𝑊 = 𝑊_𝐶 + 𝑊_𝐿 = ^𝑄<small>2</small>

<small>2𝐶</small>(𝑐𝑜𝑠<small>2</small>(ωt + φ) + 𝑠𝑖𝑛<small>2</small>(ωt + φ)) = ^𝑄

<small>2𝐶</small> = ¹

<small>2</small>L𝜔<small>2</small>𝑄<small>2</small> = hằng số.

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

17 Từ biểu thức này ta thấy rằng trong q trình dao động điện, năng lượng tồn phần W của dao động khơng đổi (được bảo tồn), có sự chuyển hóa qua lại giữa năng lượng 𝑊_𝐶 của điện trường và năng lượng 𝑊_𝐿 của từ trường.

<b>1.2. Dao động tắt dần 1.2.1. Dao động cơ tắt dần </b>

<b>1.2.1.1. Phương trình vi phân của dao động cơ tắt dần </b>

Xét con lắc lị xo có khối lượng m, chuyển động trong môi trường nhớt dọc theo trục Ox.

Hình 1.6. Dao động của con lắc tắt dần * Xét vật ở li độ x bất kì, lực tác dụng lên vật:

+ Trọng lực: 𝑃⃗ = m𝑔

+ Lực đàn hồi∶ 𝐹 _đℎ = −𝑘(∆𝑙⃗⃗⃗ + 𝑥 ) + Lực ma sát nhớt: 𝐹 _𝑛 = 𝜂𝑣

Áp dụng định luật II Newton ta có: 𝑃⃗ + 𝐹 _đℎ+ 𝐹 _𝑛 = 𝑚𝑎 + ↔ 𝑃⃗ − 𝑘(∆𝑙⃗⃗⃗ + 𝑥 ) + η𝑣 ⃗⃗⃗ = m𝑎 (1.13)

Chiếu (1.13) lên chiều dương (chiều hướng xuống) , ta có: ↔ 𝑃 − 𝑘(∆𝑙 + x) – ηv = ma

↔ −kx − η𝑥^′ = m𝑥^′′↔ 𝑥^′′+ ^η

<small>𝑚</small>𝑥^′ + ^𝑘

<small>𝑚</small>𝑥 = 0 Đặt β = ^η

<small>2𝑚</small> , 𝜔₀ = √^𝑘<small>𝑚</small>

Suy ra: 𝑥^′′+ 2β𝑥^′ + 𝜔₀𝑥 = 0 (1.14) Đây là phương trình động lực học của dao động cơ (con lắc lò xo) tắt dần. Để khảo sát dao động tắt dần ta tìm nghiệm của phương trình vi phân (1.14) tuyến tính bậc hai thuần nhất có hệ số là hằng số.

Nếu tìm nghiệm dưới dạng x = 𝑒<small>𝑟𝑡</small> thì sẽ dẫn đến phương trình đặc trưng của phương trình (1.14): 𝑟<small>2</small>+ 2βr + 𝜔₀² = 0 (1.15)

Biệt thức ∆^′ của phương trình này là: ∆^′ = 𝛽² − 𝜔₀²

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

18 Tùy theo giá trị của ∆<small>′</small> chúng ta phân biệt ba trường hợp để xem xét.

(1) ∆<small>′</small> < 0 tức là β <𝜔₀ ma sát nhỏ (hệ số lực cản η nhỏ) (2) ∆<small>′</small>= 0 tức là β = 𝜔₀ trường hợp tới hạn

(3) ∆^′ > 0 tức là β >𝜔₀ ma sát lớn (hệ số lực cản η lớn) a) Dao động tắt dần khi ma sát nhỏ

Khi β < 𝜔₀ tức là ^η

<small>2𝑚</small> < √^𝑘

<small>𝑚</small> , nghĩa là khi hệ số lực cản nhỏ hơn giá trị η < 2√𝑘𝑚 thì biệt thức ∆^′ của phương trình đặc trưng có giá trị âm. Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức:

𝑟₁ = − β + 𝑖√𝜔₀² − 𝛽<small>2</small> 𝑟₂ = − β − 𝑖√𝜔₀² − 𝛽<small>2</small>

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân có dạng :

𝑥 = 𝑒^−𝛽𝑡(𝐷₁𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝐷₂𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡) (1.16) Trong đó: 𝜔 = √𝜔₀<small>2</small> − 𝛽<small>2</small> = √^𝑘

<small>𝑚</small>− ^𝜂²<small>4𝑚</small>²

Còn 𝐷₁, 𝐷₂ là hai hằng số bất kì, phụ thuộc vào điều kiện ban đầu. Để thuận tiện ta có thể biến đổi lượng trong đấu ngoặc bằng cách đặt: 𝐷₁ = 𝐴₀sinφ, 𝐷₂ = 𝐴₀cosφ

𝐷₁cosωt + 𝐷₂sinωt = 𝐴₀sinφcosωt + 𝐴₀cosφsinωt = 𝐴₀sin(ωt + φ)

Và biểu thức (1.16) trở thành x = 𝑒<small>−𝛽𝑡</small>𝐴₀sin (ωt + φ) (1.17) Đường biểu diển x(t) vẽ ở hình 1.7.

Hình 1.7. Dao động tắt dần b) Quá trình biến đổi khi ma sát lớn

Bây giờ ta xét quá trình biến đổi của hệ dao động theo phương trình vi phân (1.14) khi β > 𝜔₀(∆^′ = 𝛽² − 𝜔₀² > 0), tức là khi η > 2√𝑘𝑚.

Khi đó phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (1.15) sẽ là:

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

19 𝑟₁ = − β + √𝛽<small>2</small>− 𝜔₀<small>2</small> = − 𝛽 + q

𝑟₂= − β − √𝛽<small>2</small>− 𝜔₀<small>2</small> = − 𝛽 − q

Với 𝑞 = √𝛽<small>2</small>− 𝜔₀² > 0 là một số thực. Nghiệm tổng quát có dạng:

Khi ∆<small>′</small>= 0 nghiệm của phương trình vi phân (1.14) có dạng: x = (𝐶₁+ 𝐶₂t)𝑒<small>−𝛽𝑡</small>

<b>1.2.1.2. Các đại lượng đặc trưng của dao động cơ tắt dần khi ma sát nhỏ </b>

 Chu kì của dao động tắt dần

Dao động tắt dần biểu diển bởi phương trình (1.17) khơng phải là tuần hồn, vì các giá trị cực đại của x giảm dần, giá trị sau nhỏ hơn giá trị trước. Người ta gọi đó là q trình giả tuần hồn hay q trình tắt yếu.

Tuy vậy, nếu xét một thời điểm θ lúc x (θ) và đang giảm thì ta thấy rằng vào thời điểm θ + T với T = ^2𝜋

<small>𝜔</small>, 𝜔 cho bởi (1.16) thì x(θ + T) = 0 và đang giảm. Khoảng thời gian T giữa hai lần liên tiếp x = 0 và đang giảm gọi là chu kì quy ước.

 Tần số góc của dao động tắt dần

Đại lượng ω cho bởi (1.16) gọi là tần số góc (quy ước). Giá trị ω này đặc trưng cho hệ dao động mà ta xét và gọi là tần số góc của dao động tự do hay tần số riêng của hệ dao động khi có ma sát.

 Biên độ của dao động tắt dần A(t) = 𝐴₀𝑒<small>−𝛽𝑡</small>

Biên độ này cũng mang ý nghĩa quy ước như chu kì và tần số, vì thực ra A(t) khơng phải là giá trị cực đại của x, nó chỉ trùng với x khi sin(ωt + φ) đạt giá trị cực đại và bằng đơn vị.

 Hệ số tắt dần của dao động tắt dần

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

20 Biên độ A(t) giảm càng nhanh theo thời gian nếu hệ số 𝛽 ở hàm mũ càng lớn, vì thế đại lượng 𝛽 = ^η

<small>2𝑚</small> gọi là hệ số tắt dần.  Thời gian hồi phục

Khoảng thời gian τ mà sau đó biên độ của dao động giảm đi e lần (e = 2,718) gọi là thời gian hồi phục τ = ¹

<small>𝛽</small>.  Loga đối số tắt dần

Giảm lượng loga đối số tắt dần là đại lượng không thứ nguyên δ bằng logarit tự nhiên của tỉ số giữa biên độ của dao động tắt dần tại các thời điểm t và t + T (T là chu kì quy ước).

δ = ln ^𝐴(𝑡)

<small>𝐴(𝑡+𝑇)</small> = βT = ^𝑇<small>τ</small> = ¹

<small>𝑁</small> với N là số dao động được thực hiện trong thời gian biên độ dao động giảm đi e lần.

 Hệ số phẩm chất Q

Hệ số phẩm chất của hệ dao động là đại lượng không thứ nguyên Q bằng tích 2π với tỉ số của năng lượng W(t) của hệ dao động tại thời điểm bất kì t và độ giảm năng lượng này sau một chu kì dao động.

Q = 2π ^𝐴²^(𝑡)

<small>𝐴</small>²<small>(𝑡− 𝐴</small>²<small>(𝑡+𝑇)</small>= ^2π<small>1− 𝑒</small>^−2δ

Khi ma sát nhỏ, dao động tắt dần chậm thì δ << 1, khi đó: 𝑒^−2δ ≈ 1 –(1 – 2δ) = 2δ và hệ số phẩm chất 𝑄 ≈ ^𝜋

Khi ma sát nhỏ thì: 𝜔 = √𝜔₀<small>2</small> − 𝛽<small>2</small> và ta quy ước T xấp xỉ bằng chu kì 𝑇₀của dao động tự do không tắt dần.

𝑄 ≈ ^𝜋<small>δ</small> ≈ ^𝜋

<b>1.2.2.1. Phương trình vi phân của dao động điện tắt dần </b>

Xét dao động điện trong mạch RLC nối tiếp. Cường độ i liên quan với điện tích q như sau: Trong khoảng thời gian dt dòng điện chuyển một điện tích idt đến

<b>tích thêm vào bản A, vậy 𝑖𝑑𝑡 = 𝑑𝑞, ta suy ra: 𝑖 =</b> ^𝑑𝑞

<small>𝑑𝑡</small><b>. </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

21 Hình 1.8. Dao động điện tắt dần

Dòng điện trong mạch biến thiên tạo nên suất điện động cảm ứng e trong cuộn dây:

𝑒 = −𝐿^𝑑𝑖

<small>𝑑𝑡</small> = −𝐿^𝑑²^𝑞<small>𝑑𝑡2</small>

Hiệu điện thế ở hai đầu A và B của cuộn dây có độ tự cảm L và điện trở thuần R là: 𝑢_𝐴𝐵 = e − 𝑅_𝑖 = −L𝑞^′′ − R𝑞^′ hiệu điện thế này bằng ^𝑞

<small>𝐶</small> −𝐿𝑞^′′− R𝑞^′ = ^𝑞

<small>2𝐿</small>, 𝜔₀<small>2</small> = ¹<small>𝐿𝐶</small>

Dao động tắt dần trong mạch RLC cũng là dao động tự do vì tác dụng của điện trở là tác dụng bên trong của hệ (mạch RLC).

<b>1.2.2.2. Các đại lượng đặc trưng của dao động điện tắt dần </b>

 Hệ số phẩm chất Q

Hệ số phẩm chất của hệ dao động là đại lượng không thứ nguyên Q bằng tích 2π với tỉ số của năng lượng W(t) của hệ dao động tại thời điểm bất kì t và độ giảm năng lượng này sau một chu kì (quy ước) dao động.

Q = 2π ^𝐴²^(𝑡)

<small>𝐴2(𝑡− 𝐴2(𝑡+𝑇)</small>= ^2π<small>1− 𝑒−2δ</small>

Khi ma sát nhỏ, dao động tắt dần chậm thì δ << 1, khi đó: 𝑒<small>−2δ</small> ≈ 1 –(1 – 2δ) = 2δ và hệ số phẩm chất 𝑄 ≈ ^𝜋

<small>δ</small>.

Khi ma sát nhỏ thì: 𝜔 = √𝜔₀<small>2</small> − 𝛽<small>2</small> ≈ 𝜔₀ và ta quy ước T xấp xỉ bằng chu kì 𝑇₀ của dao động tự do không tắt dần.

𝑄 ≈ ^𝜋<small>δ</small> ≈ ^𝜋

<small>β𝑇</small>₀Đối với mạch RLC thì 𝜔₀ = ¹

<small>√𝐿𝐶</small> và 𝛽 = ^𝑅

<small>2𝐿</small>, ta sẽ có: 𝑄 = ¹<small>𝑅</small>√^𝐿

<small>𝐶</small>.

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

22

<b>1.3. Dao động cưỡng bức </b>

<b>1.3.1. Dao động cơ học cưỡng bức </b>

<b>1.3.1.1. Phương trình vi phân của dao động cơ học cưỡng bức </b>

Xét hệ dao động tắt dần gồm vật nặng có khối lượng m trong con lắc lị x có độ cứng k, đặt trong môi trường nhớt η.

Tác dụng của ngoại lực biến thiên dọc theo trục x: 𝐹_𝑥 = 𝐹₀ cosΩt Xét vật tại vị trí cân bằng 0: 𝑃 = 𝐹_0đℎ = 𝑘𝛥l

Xét vật tại vị trí có li độ x bất kỳ, bao gồm các lực tác dụng: Trọng lực 𝑃⃗ , lực đàn hồi 𝐹 _đℎ = −k(∆l + x), 𝐹 _đℎ = −η𝑣 , 𝐹 .

Áp dụng định luật II Newton: 𝑃⃗ + 𝐹 _đℎ + 𝐹 _𝑛 + 𝐹 = 𝑚𝑎 (1.19) Chiếu (1.19) lên trục x, ta có: P − k(∆l + x) − η𝑣 + 𝐹_𝑥 = 𝑚𝑎

⇔ −𝑘𝑥 − η𝑥<small>′</small>+ 𝐹₀cosΩt = m𝑥<small>′′</small> ⇔ 𝑥^′′+ ^η

<small>𝑚</small>𝑥^′ + ^𝑘

<small>𝑚</small>𝑥 = ^𝐹<small>0</small>

<small>𝑚</small>cosΩt ⇔ 𝑥^′′+ 2β𝑥^′ + 𝜔₀²x =^𝐹⁰

Với β = ^η

<small>2𝑚</small>, 𝜔₀ = √^𝑘<small>𝑚</small>

Phương trình (1.20) là phương trình vi phân của dao động cưỡng bức. Nghiệm của phương trình vi phân: 𝑥 = 𝑥₁+ 𝑥₂ (1.21) 𝑥₁: nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất:

𝑥<small>′′</small>+ 2β𝑥<small>′</small> + 𝜔₀<small>2</small>x = 0 𝑥₂: nghiệm tổng quát của phương trình (1.20) 𝑥₁ = 𝐴₀𝑒^−𝛽𝑡sin(ωt + 𝜑₀)

x ≈ 𝑥₂= 𝐴₀cos(Ωt + φ) (1.25) đó là dao động cưỡng bức.

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

23

<b>1.3.2. Dao động điện cưỡng bức </b>

<b>1.3.2.1. Phương trình vi phân của dao động điện cưỡng bức </b>

Xét mạch RLC như hình. Nếu ta đặt vào mạch này một hiệu điện thế xoay chiều có tần số góc Ω thì trong mạch có dao động điện. Dao động điện xảy ra trong mạch dưới tác dụng của một hiệu điện thế từ ngoài đặt vào gọi là dao động điện cưỡng bức.

Hình 1.9. Dao động điện cưỡng bức Áp dụng định luật Kirchoff II ta có:

u + iR + L^𝑑𝑖

<small>𝑑𝑡</small>− ξ(t) = 0 ⇔ ^𝑞

<small>𝐶</small>+ R𝑞^′ + L𝑞^′′ = ξ₀cosΩt ⇔ 𝑞^′′+ ^𝑅

<small>𝐿</small>𝑞^′+ ¹

<small>𝐿𝐶</small>𝑞 = ^ξ⁰

<small>𝐿</small> cosΩt Đặt β = ^𝑅

<small>2𝐿</small>; 𝜔<small>2</small> = ¹<small>𝐿𝐶</small>

Suy ra: 𝑞<small>′′</small>+ 2β𝑞<small>′</small> + 𝜔<small>2</small>𝑞 = ^ξ<small>0</small>

<small>𝐿</small> cosΩt (1.26)  Nghiệm của phương trình vi phân (1.26):

𝑞 = 𝑞₁+ 𝑞₂ (1.27) 𝑞₁: nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất

𝑞<small>′′</small>+ 2β𝑞<small>′</small>+ 𝜔₀<small>2</small>q = 0

𝑞₂: nghiệm tổng quát của phương trình (1.30) 𝑞₁= 𝑞₀𝑒^−𝛽𝑡sin(ωt + 𝜑₀)

𝑞₂ = 𝑞₀cos(Ωt + φ) (1.28) Thay (1.28) phương trình (1.27) được nghiệm đúng nếu:

𝑞₀ = ^ξ<small>0</small>

<small>𝐿√(𝜔</small>₀<small>− 𝛺2)</small>²<small>+4𝛽2𝛺2</small>

(1.29) tan φ = − ^2𝛽𝛺

<small>𝜔</small>₀<small> −𝛺</small>² (1.30)

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

24 Sau giai đoạn chuyển tiếp thì số hạng thứ nhất rất nhỏ chỉ cịn lại số hạng thứ hai:

𝑞 ≈ 𝑞₂ = 𝑞₀cos(Ωt + φ) (1.31) Đây là phương trình dao động điện từ cưỡng bức.

<b>1.4. Cộng hưởng trong dao động cơ học 1.4.1. Cộng hưởng li độ </b>

Biên độ A của li độ x trong dao động cưỡng bức phụ thuộc vào tần số góc Ω của ngoại lực theo cơng thức 𝐴 = ^𝐹⁰

<small>𝑚√(𝜔</small>₀<small> − 𝛺2)</small>²<small>+4𝛽2𝛺2</small>

. Biên độ A đạt giá trị cực đại khi mẫu số ở vế phải của (1.30) cực tiểu, tức là khi:

<small>𝑑𝛺</small>[(𝜔₀<small>2</small> − 𝛺<small>2</small>)<small>2</small>+ 4𝛽<small>2</small>𝛺<small>2</small>] = 0 Hay: −4Ω(𝜔₀² − 𝛺²) + 8𝛽²Ω = 0

<small>𝜔</small> là giảm lượng loga tắt dần.

Nếu β << 𝜔₀ (lực ma sát rất nhỏ η<< 2√𝑘𝑚) thì 𝛺_𝑐ℎ ≈ 𝜔 ≈ 𝜔₀. Trong trường hợp này thì độ lệch pha giữa li độ x và ngoại lực có giá trị là: φ (𝛺_𝑐ℎ) ≈ −^𝜋

<small>2</small> và biên độ cực đại có giá trị:

𝐴_𝑚𝑎𝑥 ≈ 𝑄𝐴₀ Q là hệ số phẩm chất (= ^𝜋

<small>𝛿</small>) và 𝐴₀ = ^𝐹⁰

<small>𝑚𝜔</small>₀ = ^𝐹⁰<small>𝑘</small>.

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

25 𝑡𝑎𝑛α = −cotg φ =^𝜔⁰

<small>2</small>− 𝛺²2𝛽𝛺

Từ công thức (1.32) ta thấy rằng biên độ của vận tốc đạt giá trị cực đại khi: 𝛺 = 𝜔₀.

Với 𝐴_𝑎 = 𝐴𝛺<small>2</small>, 𝛶 = 𝜑 + 𝜋 Ta có: 𝐴_𝑎 = ^𝐹^𝑜^𝛺²

<small>𝑚√</small>^4𝜀2_𝛺2<small>+(</small>^𝜔02_𝛺2<small>−1)</small>²Khi 𝛺 ⇒ 0 ⇒ 𝐴_𝑎 = 0

Khi 𝛺 ⇒ ∞ ⇒ 𝐴_𝑎 =^𝐹⁰<small>𝑚</small>

<b>1.5. Cộng hưởng trong dao động điện từ 1.5.1. Cộng hưởng điện tích </b>

Trong mạch RLC chịu tác dụng của hiệu điện thế xoay chiều u với tần số góc Ω biến đổi thì hiện tượng cộng hưởng điện tích xảy ra khi:

Ω = 𝛺_𝑐ℎ = √¹

<small>𝐿𝐶</small>− ^𝑅²<small>2𝐿</small>²

Khi đó biên độ biến thiên điều hịa của điện tích q của bản tụ điện là cực đại, do đó biên độ của hiệu điện thế ^𝑞

<small>𝐶</small> (và hiệu điện thế hiệu dụng) giữa hai bản của tụ điện cũng là cực đại).

<b>1.5.2. Cộng hưởng cường độ dòng điện </b>

Trong mạch RLC chịu tác dụng của hiệu điện thế xoay chiều u với tần số góc Ω biến đổi, thì hiện tượng cộng hưởng cường độ dòng điện là tương ứng với cộng hưởng vận tốc trong dao động cơ học cưỡng bức. Biên độ của cường độ dòng điện chạy trong mạch RLC đạt giá trị cực đại khi: 𝛺 = 𝜔₀ = ¹

<small>√𝐿𝐶</small>.

Khi đó dịng điện cùng pha với hiệu điện thế đặt vào hai đầu đoạn mạch RLC.

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

Đối với dao động điều hịa tơi thiết lập được phương trình động lực học của vật dao động trong con lắc lò xo, con lắc đơn, con lắc vật lí; phân tích các đại lượng đặc trưng của dao động cơ điều hòa và năng lượng của con lắc lò xo dao động điều hòa. Sau đó, tơi thiết lập phương trình động lực học của mạch LC, phân tích các đại lượng đặc trưng của mạch LC và năng lượng trong dao động điện điều hịa. Từ đây, tơi chứng tỏ được phương trình động lực học của mạch LC có dạng đồng nhất với phương trình động lực học của dao động cơ. Sự tương ứng của từng cặp đại lượng (cơ và điện) cùng phát triển theo một quy luật.

Đối với dao động tắt dần và dao động cưỡng bức tôi cũng thực hiện tương tự như dao động điều hịa, tơi cũng chứng tỏ được phương trình vi phân của dao động cơ và dao động điện trong trường hợp tắt dần và cưỡng bức có dạng đồng nhất với nhau.

𝑥^,, + 𝜔²𝑥 = 0

Với 𝜔 = √^𝑘<small>𝑚</small>

𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) 𝑣 = 𝑥<small>,</small> = −𝜔𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)

𝑊 = ¹2^𝑘𝑥

<small>2</small> +¹2^𝑚𝑣

<small>2</small> =¹2^𝑘𝐴

𝑞^,, + 𝜔²𝑞 = 0 Với 𝜔 = ¹

𝑞 = 𝑄𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) 𝑖 = 𝑞^, = −𝜔𝑄𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)

𝑊 =¹2

𝑞²𝐶 ⁺

<small>2</small> =¹2

𝑄²𝐶

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

27

<b>Chương 2. CÁC DẠNG BÀI TẬP DAO ĐỘNG CƠ VÀ DAO ĐỘNG ĐIỆN </b>

<i><b>2.1. Các dạng bài tập dao động điều hòa </b></i>

<b>2.1.1. Dạng 1. Viết phương trình dao động </b>

<i><b>2.1.1.1. Phương trình dao động cơ học điều hòa </b></i>

 Phương pháp giải a) Viết biểu thức của x

Bước 1: Phương trình dao động có dạng: x = A.cos(ωt + φ) hoặc x = A.sin(ωt + φ)

Bước 2: Tìm A, ω, φ

 Tìm ω: 𝜔 = 2𝜋𝑓, 𝜔 = ^2𝜋<small>𝑇</small> Tìm A: 𝐴 = ^𝑣<small>0</small>

Vật dao động điều hịa theo hàm cos:

+ Nếu v > 0: chọn (ωt + φ) mang giá trị âm. + Nếu v < 0: chọn (ωt + φ) mang giá trị dương. Vật dao động điều hòa theo hàm sin:

+ Nếu v > 0: chọn (ωt + φ) mang giá trị nhỏ (góc nhọn) + Nếu v < 0: chọn (ωt + φ) mang giá trị lớn (góc tù)

Bước 3: Thế A, ω, φ vừa tìm được vào phương trình x = A.cos(ωt + φ) hoặc x = A.sin(ωt + φ)

 Chú ý các trường hợp đặc biệt: Vật dao động điều hòa theo hàm cos:

+ Khi t = 0, vật qua vị trí cân bằng thì 𝜑 = ±^𝜋

<small>2</small>. Nếu chuyển động cùng chiều dương thì 𝜑 = +^𝜋

<small>2</small> và chuyển động ngược chiều dương thì 𝜑 = −^𝜋<small>2</small>.

+ Khi t = 0, vật có li độ cực đại (ở vị trí biên) thì φ = 0 hoặc φ = π. Nếu ở bên dương φ = 0, nếu ở bên âm φ = π.

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

28 Vật dao động điều hòa theo hàm sin:

+ Khi t = 0, vật qua vị trí cân bằng thì φ = 0 hoặc φ = π. Nếu chuyển động cùng chiều dương thì φ = 0 và chuyển động theo chiều âm thì φ = π.

+ Khi t = 0, vật có li độ cực đại (ở vị trí biên) thì 𝜑 = ±^𝜋

<small>2</small>. Nếu ở biên độ dương 𝜑 = ^𝜋

<small>2</small>, nếu ở biên độ âm 𝜑 = −^𝜋<small>2</small>. b) Viết biểu thức của v

v = 𝑥^′= − ωAsin(ωt + φ) = ωAcos(ωt + φ + ^𝜋<small>2</small>)

Vận tốc đạt giá trị cực đại 𝑣_𝑚𝑎𝑥 = 𝜔𝐴 khi vật qua vị trí cân bằng (x = 0) và đang đi theo chiều dương (v >0).

Vận tốc đạt giá trị cực đại 𝑣_𝑚𝑖𝑛 = −𝜔𝐴 khi vật qua vị trí cân bằng (x = 0) và đang đi theo chiều âm (v <0).

Vận tốc đạt tốc độ cực đại: |𝑣_𝑚𝑎𝑥 = ωA| khi vật qua vị trí cân bằng. Vận tốc đạt tốc độ cực tiểu: |𝑣_𝑚𝑖𝑛 | = 0 khi vật qua vị trí hai biên x = ±A. c) Viết biểu thức của a

a = −A𝜔<small>2</small>cos(ωt + φ) = A𝜔<small>2</small>cos(ωt + φ ± π) = −𝜔<small>2</small>x

Gia tốc đạt giá trị cực đại 𝑎_𝑚𝑎𝑥 = 𝜔<small>2</small>A khi vật qua vị trí biên âm x = −A. Gia tốc đạt giá trị cực tiểu 𝑎_𝑚𝑖𝑛 =− 𝜔²A khi vật qua vị trí biên dương x = A. Gia tốc đạt độ lớn cực đại |𝑎_𝑚𝑎𝑥| = 𝜔<small>2</small>A khi vật qua vị trí biên x = ±A. Gia tốc đạt độ lớn cực tiểu |𝑎_𝑚𝑖𝑛| = 0 khi vật qua vị trí cân bằng x = 0. d) Độ lệch pha giữa các đại lượng x, v, a

 Độ lệch pha giữa v và x Ta có: x = A.cos(ωt + φ)

Suy ra: v = 𝑥^′= − ωAsin(ωt + φ) = ωAcos(ωt+ φ + ^𝜋<small>2</small>). Vậy vận tốc v nhanh pha hơn li độ x một lượng ^𝜋

<small>2</small> (v vuông pha với x).  Độ lệch pha giữa a và x

Ta có: a = −𝜔<small>2</small>x = −A𝜔<small>2</small>cos(ωt + φ) = A𝜔<small>2</small>cos(ωt + φ ± π). Vậy gia tốc a ngược pha với li độ x.

 Độ lệch pha giữa v và a

Gia tốc a lệch pha với vận tốc v là ^𝜋

<small>2</small> (rad) (a vuông pha với v).  Ví dụ

Một con lắc lị xo gồm một vật nặng có khối lượng m = 0,4 kg gắn vào đầu một lị xo có độ cứng k = 40N/m. Vật nặng ở vị trí cân bằng. Dùng búa gõ vào quả nặng, truyền cho nó vận tốc ban đầu bằng 20 cm/s hướng dọc theo trục của lò xo.

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

29 a) Tính chu kì dao động của con lắc.

b) Viết phương trình dao động của vật nặng. c) Viết phương trình vận tốc của vật nặng.

d) Muốn cho biên độ dao động của vật nặng bằng 4 cm thì vận tốc ban đầu truyền cho vật phải bằng bao nhiêu?

Bài giải: a) Chu kì dao động của con lắc: 𝑇 =^2𝜋

<small>𝜔</small> = ^2𝜋<small>√</small>^𝑘

<small>𝑚</small>= ^2𝜋

<small>5</small>(𝑠) b) Dạng chung của phương trình dao động là: x = A.cos(ωt + φ) với 𝜔 = √^𝑘

<small>𝑚</small> = √⁴⁰

<small>0,4</small> = 10 (rad/s).

Chọn gốc thời gian t = 0 vào lúc gõ búa vào vật nặng ở vị trí cân bằng và chiều dương của trục là chiều vận tốc ban đầu. Ta có điều kiện ban đầu: khi t=𝑡₀thì v = 𝑥 ^,= 0,2 m/s.

Từ đó suy ra: Acos φ = 0, tức là 𝜑 = ± ^φ<small> 2</small>−10Asin φ = 0,2, tức là φ = −^π

<small>2</small>, A = ^0,2

<small>10</small>= 0,02 (m) Vậy x = 0,02cos(10t − ^φ

<small>2</small> ) (m)

c) Phương trình vận tốc: v = 𝑥^′=− ωAsin(ωt + φ) = −10.0,02. sin(10t −^π

<small>2</small>) (m/s)

d) Muốn cho biên độ A= 4 cm thì phải có : v(0)= ωA =10.0,04= 0,4 m/s.

<i><b> 2.1.1.2. Phương trình dao động điện điều hịa </b></i>

 Phương pháp giải a) Viết biểu thức của q

Ta thấy biểu thức của q và x là tương tự nhau: 𝑞 = 𝑄𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) và 𝑥 =𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)

Vậy để viết biểu thức của q trong dao động điện điều hòa ta áp dụng tương tự phương pháp như viết biểu thức của x trong phương trình dao động điều hịa.

Bước 1: Phương trình dao động có dạng: 𝑞 = 𝑄. cos (𝜔𝑡 + 𝜑) hoặc 𝑞 = 𝑄. sin (𝜔𝑡 + 𝜑)

Bước 2: Tìm Q, ω, φ

 Tìm ω: 𝜔 = 2𝜋𝑓, 𝜔 = ^2𝜋<small>𝑇</small> ,

 Tìm Q: Ta thường áp dụng cơng thức 𝑄 = 𝐶𝑈₀ hoặc 𝑄 = ^𝐼<small>0</small>

<small>𝜔</small>.

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

30  Tìm φ dựa vào điều kiện đầu: lúc t = 𝑡₀ (thường 𝑡₀=0). Thay điều kiện ban đầu vào phương trình căn bản q, i

𝑞 = 𝑄𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) 𝑖 = −𝜔𝑄𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) Ta có: 𝑞 = 𝑄𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑖 = −𝑄𝜔𝑠𝑖𝑛𝜑 Suy ra φ.

b) Viết biểu thức của i

Biểu thức của i trong dao động điện điều hòa tương tự như biểu thức của v trong dao động cơ điều hịa.

Ta có 𝑖 = 𝑞^′ = −𝜔𝑄𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) = 𝜔𝑄𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑 +^𝜋<small>2</small>) (A) c) Viết biểu thức của u

Ta có

<i>u </i> nên ta có thể suy ra biểu thức của u từ biểu thức của q. 𝑢 =^𝑄

<small>𝐶</small>cos (𝜔𝑡 + 𝜑) (V)  Ví dụ

Một mạch dao động điện từ lí tưởng gồm tụ điện có điện dung C= 10 pF và cuộn dây thuần cảm có độ từ cảm L =10 mH. Tụ điện được tích điện đến hiệu điện thế 12 V. Sau đó tụ điện phóng điện trong mạch. Lấy ² <small>10</small>_{và gốc thời gian lúc}

<i>tụ điện bắt đầu phóng điện. </i>

a) Viết biểu thức của điện tích.

b) Viết biểu thức của cường độ dòng điện. c) Viết biểu thức của điện áp tức thời trên tụ.

Và 𝑄 = 𝐶𝑈₀ = 10. 10⁻¹². 12 = 1,2. 10⁻¹⁰ (C) Lúc 𝑡 = 0 thì ta có 𝑞 = 𝑄𝑐𝑜𝑠𝜑 ⇒ φ = 0 Vậy biểu thức của q là:

𝑞 = 1,2. 10⁻⁴𝑐𝑜𝑠10⁶𝜋𝑡 ( C)

b) Ta có 𝑖 = 𝑞^, = −1,2. 10⁻⁴𝑠𝑖𝑛10⁶𝜋𝑡 = 1,2. 10⁻⁴𝜋cos (10⁶𝜋𝑡 +^𝜋<small>2</small>) (A)



</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

Bài giải: Trường hợp mặt phẳng nghiêng góc α:

Hình 2.1 Vật trượt trên mặt phẳng nghiêng - Các lực tác dụng: 𝑚𝑔 , 𝑁⃗⃗ , 𝐹

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

32 Vậy: ∑𝐹 = −𝑘𝑥 : lực hồi phục

Áp dụng định luật II Newton ta suy ra phương trình vi phân: 𝑥^′′ = ^𝑘

𝑚^{𝑥 = −𝜔}<small>2</small>𝑥 Vậy vật dao dộng điều hòa. Chu kì dao động là:

T = ^2𝜋

<small>𝜔</small> = 2𝜋√^𝑚

<small>𝑘</small> = 2𝜋√ ¹<small>1.102</small>=^𝜋

<small>5</small> ≈ 0,63(𝑠).  Ví dụ 2

Xét một mạch điện LC gồm một tụ điện có điện dung C và một cuộn dây có độ tự cảm L, điện trở thuần của cuộn dây bằng không. Nếu ban đầu tụ điện được tích một điện lượng Q thì nó sẽ phóng điện qua cuộn dây, tạo thành dòng điện xoay chiều. Chứng tỏ dao động của mạch LC là dao động điều hịa.

Hình 2.2. Mạch LC Bài giải:

- Ban đầu bản A tích điện q, B: - q. ⇒ Phóng điện qua cuộn dây L.

Cường độ dòng điện qua cuộn dây: 𝑖 = ^𝑑𝑞<small>𝑑𝑡</small>

Cường độ dòng điện i tăng dần, suất điện động cảm ứng: 𝜉 = −𝐿^𝑑

Vì là mạch khép kín, bỏ qua điện trở của cuộn dây: 𝜉 = 𝑢̇_𝐿 = 𝑢₀ = ^𝑞<small>𝐶</small>Do đó: −𝐿^𝑑²^𝑞

<small>𝑑𝑡2</small> =^𝑞<small>𝐶</small>⇒ 𝑞<small>′′</small>+ ¹

<small>𝐿𝐶</small>𝑞 = 0. Đặt 𝜔 = ¹

<small>√𝐿𝐶</small>.

Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có nghiệm: 𝑞 = 𝑄. cos (𝜔𝑡 + φ)

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

33 Dao động điều hịa là q trình trong đó có những đại lượng vật lí biến đổi theo thời gian theo định luật dạng sin. Vậy quá trình phóng điện trong mạch LC dao động điều hịa.

<b>2.1.3. Dạng 3. Xác định năng lượng </b>

<b>2.1.3.1. Năng lượng trong dao động cơ học điều hòa </b>

 Phương pháp giải

Phương trình dao động có dạng : 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡₀+ 𝜑) Phương trình vận tốc: 𝑣 = −𝜔𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡₀+ 𝜑)

a. Thế năng được tính theo biểu thức 𝑊_𝑡= ¹

<small>2</small> k𝑥² =¹

<small>2</small> k𝐴²𝑐𝑜𝑠²(ωt + φ) Động năng được tính theo biểu thức

𝑊_đ = ¹

<small>2</small> m𝑣<small>2</small> =¹

<small>2</small> m𝐴<small>2</small>ω<small>2</small>𝑠𝑖𝑛<small>2</small>(ωt + φ) = ¹

<small>2</small> k𝐴<small>2</small>𝑠𝑖𝑛<small>2</small>(ωt + φ) b. Cơ năng được tính theo biểu thức

Khoảng thời gian để 𝑊_𝑡 = 𝑊_đ là ∆𝑡 = ^𝑇<small>4</small>.

Động năng, thế năng biến thiên tuần hoàn với tần số góc 2ω, tần số 2f, chu kì <small>𝑇</small>

<small>2</small>.

Khi 𝑊_𝑡 = n𝑊_đ ⇒ 𝑥 = ± ^𝐴<small>𝑛+1</small> Ví dụ 1

Vật có khối lượng m = 2kg gắn vào lò xo dao động điều hịa với chu kì T ≈ ^2𝜋

<small>3</small> s và biên độ dao động A = 10cm. a) Tính năng lượng dao động.

b) Chọn gốc thời gian là lúc vật ở vị trí biên. Lập biểu thức của động năng và thế năng của hệ.

Bài giải:

a) Tần số góc của dao động được tính theo cơng thức: T = ^2𝜋<small>𝜔</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

34 ⇒ 𝜔 = ^2𝜋

<small>𝑇</small>Năng lượng dao động: 𝑊 = ¹

<small>2</small>𝐴² =¹2^𝑚

𝑇<small>2</small> . 𝐴² =¹2^{. 2.}

4𝜋<small>2</small>. 9. 10². 10⁻⁴ = 0,09 (𝐽) b) Theo các điều kiện ban đầu ta định được: 𝜑 = ±^𝜋

<small>2</small> 𝑘𝑥²= ¹

<small>2</small> 𝑚𝐴²ω²𝑐𝑜𝑠²(ωt + φ) Suy ra: 𝑊_đ = ¹

<small>2</small> 2.2².^(2𝜋)²

<small>(2𝜋)2</small>. 3². 𝑠𝑖𝑛²(^(2𝜋)<small>2</small>

<small>(2𝜋)2</small>. 3²t ±^𝜋<small>2</small>) (J) 𝑊_𝑡 = ¹

<small>2</small> .2.2².^(2𝜋)²

<small>(2𝜋)2</small>. 3². 𝑐𝑜𝑠²(^(2𝜋)<small>2</small>

<small>(2𝜋)2</small>. 3²t ± ^𝜋<small>2</small>) (J)  Ví dụ 2

Con lắc đơn có chiều dài l = 100 cm dao động với biên độ góc nhỏ 𝛼_𝑚 = 0,1 rad. Vật nặng có khối lượng m = 28 kg. Gia tốc trọng trường tại nơi dao động là g = 10. Hãy lập biểu thức của động năng và thế năng của con lắc tại:

a) Vị trí biên b) Vị trí cân bằng c) Vị trí bất kì

Suy ra năng lượng dao động được bảo toàn.

Hình 2.3. Dao động của con lắc đơn Bài giải:

 Biểu thức của động năng và thế năng:

Áp dụng định luật động năng ta thiết lập được vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng góc α:

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

35 𝑣² = 2gl(cosα − cos𝛼_𝑚)

Chọn (𝐸_𝑡)₀ = 0: gốc thế năng. Suy ra:

a) Ở vị trí biên: 𝑊_đ = 0, 𝑊_𝑡 = mgl(1 −cos𝛼_𝑚) = 28.100.10<small>−2</small>(1 −cos0,1) = 28.(1 – cos 0,1) = 0,14 (J)

Năng lượng dao động (cơ năng): W = 𝑊_đ + 𝑊_𝑡 = mgl(1 −cos𝛼_𝑚)

= 28.100.10<small>−2</small>(1 −cos0,1) = 0,14 (J) b) Ở vị trí cân bằng:

𝑊_𝑡 = 0 𝑊_đ =¹

<small>2</small>𝑚𝑣_𝑚<small>2</small> = 𝑚𝑔𝑙(1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼) = 28.100. 10<small>−2</small>(1 − 𝑐𝑜𝑠0,1) = 0,14 (J) Năng lượng dao động (cơ năng): 𝑊 = 𝑊_đ+ 𝑊_𝑡 = 𝑚𝑔𝑙(1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼_𝑚) c) Ở vị trí bất kì có tọa độ góc α:

𝑊_đ =¹2^𝑚𝑣^𝑚

<small>2</small> = 𝑚𝑔𝑙(𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛼_𝑚) 𝑊_𝑡 = mgl(1 −cosα)

Năng lượng dao động (cơ năng):

𝑊 = 𝑊_đ + 𝑊_𝑡 = mgl(1 −cos𝛼_𝑚)= 28.100.10⁻²(1 −cos0,1) = 0,14(J) Vậy ở mọi vị trí ta ln có:

𝑊 = 𝑚𝑔𝑙(1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼_𝑚) = 0,14 (J) Nếu 𝛼_𝑚 bé có thể viết: W ≈ ¹

<small>2</small>𝑚𝑔𝑙𝛼_𝑚² =¹

<b>2.1.3.2. Năng lượng trong dao động điện điều hòa </b>

 Phương pháp giải

<b> Ta áp dụng tương tự bài tập về năng lượng của dao động điều hòa, năng </b>

lượng điện từ của mạch tương tự như cơ năng, năng lượng điện trường như thế năng, năng lượng từ trường như động năng,với cách tiếp cận như vậy thì ta dễ dàng suy ra cách giải với loại bài tập dạng này.

a) Năng lượng 𝑊_𝐶 của điện trường có biểu thức 𝑊_𝐶 = ¹

<small>𝐶</small> = ^𝑄<small>2</small>

<small>2𝐶</small>𝑐𝑜𝑠²(ωt + φ)

b) Năng lượng 𝑊_𝐿 của từ trường có biểu thức 𝑊_𝐿 = ¹

<small>2</small>𝐿𝑖<small>2</small> = ^𝐿ω<small>2𝑄</small>²

<small>2</small> 𝑠𝑖𝑛<small>2</small>(ωt + φ) = ^𝑄²

<small>2𝐶</small>𝑠𝑖𝑛<small>2</small>(ωt + φ) c) Năng lượng điện từ toàn phần W của mạch LC

𝑊 = 𝑊_𝐶 + 𝑊_𝐿 = ^𝑄<small>2</small>

<small>2𝐶</small>(𝑐𝑜𝑠<small>2</small>(ωt + φ) + 𝑠𝑖𝑛<small>2</small>(ωt + φ))

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

36 = ^𝑄

<small>2𝐶</small> = ¹

<small>2</small>L𝜔<small>2</small>𝑄<small>2</small> = hằng số  Ví dụ

Mạch dao động LC lý tưởng có C = 5<small>F</small>, cuộn dây thuần cảm. Biết hiệu điện thế cực đại tại hai đầu tụ điện là U<small>o</small> = 4V. Tìm năng lượng từ trường trong mạch

<i>tại thời điểm hiệu điện thế ở hai đầu tụ điện bằng 2V. </i>

<b>Bài giải: </b>

Năng lượng của mạch là:

<i>W_tWW_đCU_o</i>² <i>Cu</i>² .5.10 ⁶(4² 2²) 3.10 ⁵<i>J</i>

<b>2.1.4. Dạng 4. Bài tập về sự tương tự điện – cơ </b>

+ Li độ x ⇔ q điện tích

+ Vận tốc v = 𝑥̇ ⇔ 𝑖 = 𝑞̇ cường độ dòng điện + Khối lượng m ⇔ L độ tự cảm

+ Độ cứng k ⇔ ¹

<small>𝐶</small> nghịch đảo điện dung

+ Lực F ⇔ e hoặc U suất điện động hoặc hiệu điện thế + Động năng 𝑊_đ =¹

<small>2</small>𝑚𝑥̇² ⇔ 𝑊_𝐿 =¹<small>2</small>𝐿𝑖²+ Thế năng 𝑊_𝑡 =¹

<small>2</small>𝑚𝑥² ⇔ 𝑊_𝐶 =¹<small>2</small>

c) Điện dung của mạch LC tương tự nếu L được chọn bằng 5,0H. Bài giải:

a) Độ cứng của lò xo: 𝑘 = ^𝐹^đℎ

<small>∆𝑙</small> = ⁸

<small>2.10−3</small> = 4000 (^𝑁<small>𝑚</small>)

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

37 Tần số góc của dao động: 𝜔 = √^𝑘

<small>𝑚</small>= √⁴⁰⁰⁰

<small>0,5</small> = 89(^𝑟𝑎𝑑<small>𝑠</small> ) b) Chu kì của dao động: 𝑇 =^2𝜋

<small>𝜔</small> = ^2𝜋

<small>89</small> = 70 (𝑚𝑠) c) Tương tự ta có tần số góc riêng: 𝜔 = ¹

<small>√𝐿𝐶</small>. Từ đây ta tính được điện dung trong mạch LC:

𝐶 = ¹𝜔<small>2</small>𝐿 ⁼

89<small>2</small>. 5 ^{= 2. 10}

<small>−5</small><b>(𝐹) = 25(𝜇𝐹) 2.2. Các dạng bài tập dao động tắt dần </b>

<b>2.2.1. Dạng 1. Phương trình dao động tắt dần khi ma sát nhỏ 2.2.1.1. Phương trình dao động cơ học tắt dần khi ma sát nhỏ </b>

 Phương pháp giải a) Viết biểu thức của li độ

Bước 1: Phương trình dao động có dạng: x = 𝑒<small>−β𝑡</small>. 𝐴₀.sin(ωt + φ) Bước 2: Tìm 𝐴₀, ω, φ, β

 Tìm ω: ω = 2πf , ω = ^2𝜋

<small>𝑇</small>, ω = √^𝑘<small>𝑚</small>− ( ^𝜂

<small>2𝑚</small>)² Tìm hệ số tắt dần β: β = ^𝜂

<small>2𝑚</small>, β = ¹<small>𝜏</small>

 Tìm 𝐴₀, φ dựa vào điều kiện đầu: lúc t = 𝑡₀ (thường 𝑡₀= 0). Thay điều kiện ban đầu vào phương trình căn bản x, v

x = 𝑒<small>−β𝑡</small>. 𝐴₀.sin(ωt + φ)

v = 𝑥<small>′</small>= 𝐴₀.[−β𝑡𝑒<small>−β𝑡</small>sin(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝑒<small>−β𝑡</small>𝜔𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) ] = 𝐴₀𝑒^−β𝑡[−β𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝜔𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)]

Suy ra φ, 𝐴₀ = ^𝑣⁰<small>𝜔</small>.

Bước 3: Thay các giá trị 𝐴₀, ω, φ, β vừa tìm được vào phương trình x = 𝑒<small>−β𝑡</small>. 𝐴₀.sin(ωt + φ)

b) Viết biểu thức của vận tốc

v = 𝑥^′= 𝐴₀.[−β𝑡𝑒^−β𝑡sin(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝑒^−β𝑡𝜔𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) ] = 𝐴₀𝑒<small>−β𝑡</small>[−β𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝜔𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)]

c) Viết biểu thức của gia tốc

a = 𝑥^′′= [β(𝐴₀β cos(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝐴₀𝜔𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) ) + 𝐴₀β𝜔²cos(𝜔𝑡 +𝜑)]𝑒<small>−β𝑡</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

38 = [(β𝐴₀β − 𝐴₀𝜔²)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝐴₀𝜔sin (𝜔𝑡 + 𝜑 )]𝑒^−β𝑡

 Ví dụ 1

Một con lắc lị xo dao động trong một chất lỏng chịu tác dụng bởi lực cản F = −ηv, η = 0,162 N.s/m. Vật dao động gắn với lị xo có khối lượng 750g. Hệ số đàn hồi của lò xo là k = 56 N/m. Hãy xác định:

a) Viết biểu thức của li độ x phụ thuộc thời gian. Cho biết khi t = 0 thì x = 0 và khi t = 1s thì x = 0,12m.

b) Viết biểu thức của vận tốc.

<small>2𝑚</small> = ^0,162

<small>2.750.10−3</small> = 0,108 (𝑠⁻¹)

Áp dụng điều kiện đầu của đề, ta có: t = 0, x = 0 = Acosφ → φ = −^𝜋<small>2</small>x = 𝐴₀𝑒<small>−β𝑡</small>sinωt

t = 1,00s, x = 𝐴₀𝑒<small>−β𝑡</small>sinω = 0,120m Suy ra: 𝐴₀= ^0,12𝑒

<small>𝑠𝑖𝑛ω</small> = ^0,12.𝑒<small>0,108</small>

<small>𝑠𝑖𝑛8,64</small> = 0,189 (m) Vậy x = 0,189𝑒<small>−0,108.𝑡</small>sin(8,64t) (m) b) Biểu thức của vận tốc:

v = 𝑥^′= 𝐴₀.[−β𝑡𝑒^−β𝑡sin(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝑒^−β𝑡𝜔𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) ] = 𝐴₀𝑒<small>−β𝑡</small>[−β𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝜔𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)]

= 0,189𝑒<small>−0,108.𝑡</small>[−0,108𝑠𝑖𝑛 (8,64𝑡 −^𝜋

<small>2</small>) + 8,64𝑐𝑜𝑠 (8,64𝑡 −^𝜋<small>2</small>) ]

<b>2.2.1.2. Phương trình dao động điện tắt dần khi ma sát nhỏ </b>

 Phương pháp giải

a) Viết biểu thức của điện tích

Bước 1: Biểu thức của điện tích có dạng: q = 𝑒<small>−β𝑡</small>.𝑞₀.cos(ωt + φ) Bước 2: Tìm 𝑞₀, ω, φ, β.

 Tìm ω: ω= 2πf, ω=^2𝜋

<small>𝑇</small>, ω=√¹<small>𝐿𝐶</small>− (^𝑅

<small>2𝐿</small>)² Tìm hệ số tắt dần β: β = ^𝑅

 𝑄, φ dựa vào điều kiện đầu của đề.

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

39 Bước 3: Thay các giá trị 𝑞₀, ω, φ, β vừa tìm được vào phương trình

q = 𝑒^−β𝑡. 𝑞₀.cos(ωt + φ)

b) Viết biểu thức của cường độ dòng điện

i = 𝑞^′= 𝑞₀.[−β𝑡𝑒^−β𝑡sin(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝑒^−β𝑡𝜔𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) ] = 𝑞₀. 𝑒^−β𝑡[−β𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝜔𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)]  Ví dụ

Một mạch dao động gồm có một tụ điện điện dung C = 2,5.10⁻⁶ F và một cuộn dây có hệ số tự cảm L = 120mH, điện trở thuần R = 40Ω. Viết biểu thức của điện tích trên một bản tụ điện trong mạch. Cho biết lúc đầu tiên tụ điện có điện tích 𝑞₀ = 40 μC.

ω = √𝜔₀<small>2</small>− 𝛽<small>2</small> = √¹<small>𝐿𝐶</small>− (^𝑅

<small>2𝐿</small>)² =√ ¹

<small>120.10−3.2,5.10−6</small>− ( ⁴⁰

<small>2.120.10−3</small>)² = √¹⁰

<small>𝑊(𝑡)−𝑊(𝑡+𝑇)</small>, Q = 2π ^𝐴²^(𝑡)

<small>𝐴</small>²<small>(𝑡)−𝐴2(𝑡+𝑇)</small> = 2𝜋 ¹<small>1−𝑒</small>^−2𝛿

Trường hợp ma sát nhỏ δ << 1, khi đó: 1 − 𝑒<small>−2𝛿</small>= 1 −(1 − 2𝛿) = 2𝛿 và hệ số phẩm chất Q ≈^𝜋

<small>𝛿</small>.

Lúc này, tần số góc 𝜔 = √𝜔₀<small>2</small>− 𝛽<small>2</small> ≈ 𝜔₀ và Tần số góc: 𝜔₀ = √^𝑘

<small>𝑚</small> Lơga đối số tắt dần: 𝛿 = 𝛽𝑇

</div>