Luận văn thạc sĩ Toán học: Phân loại các hệ phương trình trong toán học phổ thông

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (16.17 MB, 120 trang )

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ

“PHÂN LOẠI CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG TỐN

HỌC PHO THONG”

HOC VIEN: LE VAN LUU

CHUYEN NGANH: Phuong pháp toán sơ cấpMÃ SỐ: 60460113 _

CÁN BỘ HƯỚNG DÂN: PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn

HÀ NỘI - 2015

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Lời cảm ơn

<small>Luận văn được hoàn thành dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn MinhTuấn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc của tôi trongsuốt q trình làm luận văn. Từ tận đáy lịng em xin cảm bày tổ sự biết ơn sâu sắc đếnthầy.</small>

<small>Toi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới: các thầy cơ khoa Tốn-Cơ-Tin học; Phịng sauđại học Trường Dại Học Khoa Học Tự Nhiên, Dại Học Quốc Gia Hà Nội; Các thầy cơgiáo đã tham gia giảng dạy khóa cao học chun ngành phương pháp tốn cơ cấp khóa2013-2015; Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Siêu Hưng Yên đã</small>

<small>tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hồn thành luận văn của mình.</small>

<small>Mặc dù đã cố gắng rất nhiều và rất nghiêm túc trong quá trình tìm tịi, nghiên cứunhưng do thời gian và trình độ cịn hạn chế nên những nội dụng được trình bày trongluận văn cịn rất khiêm tốn và khơng tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong</small>

nhận được sự đóng góp của q thầy cơ và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn

<small>thiện hơn.</small>

<small>Hà Nội, tháng 9 năm 2015Tác giả</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Mục lục

Mở đầu

1 Phương trình đại số bậc ba và bốn

<small>1.1 Phương trình đại số bậc ba... cv.</small>

<small>1.2 Phương trình đại số bac bốn... SẺ.</small>

1.2.1 Phương trình dang (x —a)'+(a—b)'=e. 0... ee

<small>122 Phuong trình dạng ... 0.0.2.0... 0.00004</small>

<small>1.2.3 Phương trình với hệ số phan hồi...</small>

<small>1.2.4 Phương trình dạng t4 = at? + ØfLÀ... ..</small>

<small>1.2.5 Phương trình dang ax’ + ba? + cx? +-dzr+e=0,a40 ...</small>

<small>2 Hệ phương trình thường gap</small>2.1 Hệ phương trình bậc nhấthaiẩn ... co<small>2.2 Hệ phương trình đối xứng ... TQ so2.2.1 Hệ phương trình đối xứng loại một ...-</small>

<small>2.2.2 Hệ phương trình đối xứng loại </small>

<small>hai...-2.3 Hệ phương trình dang cẤp ... TQ va</small>2.3.1 Hệ phương trình chứa một phương trình đẳng cấp...

2.3.2 Hệ phương trình đẳng cẤp ... cuc<small>2.4 Hệ phương trình bậc hai tổng quát ... cố.</small>2.5 Hệ phương trình bậc cao nhiều ẩn số ...

<small>2.5.1 Hệ phương trình hốn vị vịng quanh ...</small>

2.5.2 Hệ phương trình bậc cao nhiều ẩnsỐ ...

<small>2.6 Hệ phương trình chứa căn, hệ phương trình mũ và logarit...</small>

<small>2.6.1 Hệ phương trình chứa căn ... 2. ee ee2.6.2 Hệ phương trình mũ và logarit... ee.3 Hệ phương trình khơng mẫu mực</small>3.1 Phuong pháp biến đổi tương đương .. 2... ..

<small>3.1.1 Phương pháp cộng ... ca3.1.2 Phương phépthé...0.. 0.00.00 Q 00000 eae3.1.3 Phương pháp phân tích thành nhân tử ...</small>

CC tO œ œ Gœ

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Mở dau

Hệ phương trình là một trong những nội dung trọng tâm, phổ biến có vị trí đặcbiệt quan trọng trong chương trình tốn học phổ thơng. No xuất hiện nhiều trong

các kỳ thi hoc sinh giỏi cũng như kỳ thi tuyển sinh vào đại học và cao dang. Học

sinh phải đối mặt với rất nhiều những dạng tốn về hệ phương trình mà việc phân

loại chúng chưa được liệt kê đầy đủ trong sách giáo khoa. Đó là các hệ phươngtrình bậc nhất, hệ phương trình đối xứng loại một, hệ phương trình đối xứng loại

hai, hệ phương trình dang cấp, hệ phương trình bac hai tổng quát,...

<small>Việc phân loại các hệ phương trình cũng như việc tìm lời giải các hệ và việc xây</small>

dựng các hệ là niềm đam mê của khơng ít người, đặc biệt những người trực tiếp

giảng dạy. Chính vì vậy để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập, tác giả đã chọn

đề tài "Phân loại các hệ phương trành trong tốn học phổ thơng" làm đề tài nghiên

cứu của luận văn. Dé tài nhằm một phần nào đó đáp ứng mong muan của bản thân

về một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc giảng dạycủa mình trong nhà trường phổ thông.

Luận văn này đề cập đến việc phân loại các hệ phương trình trong chương trình

tốn phổ thơng, từ đó giúp học sinh có cách nhìn nhận sâu sắc hơn về các bài toán

liên quan đến hệ phương trình. Luận văn được chia thành ba chương. Chương 1 đềcập đến hương trình bậc ba và phương trình bậc bốn. Chương 2 phân loại có hệ

thống một số hệ phương trình thường gặp. Chương 3 nêu một số phương pháp giải

điển hình cho hệ phương trình khơng mẫu mực. Hy vọng đây sẽ là một tài liệu hữu

ích trong giảng dạy cũng như học tập của thầy, cô và các em học sinh.

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Bài toán 1.1. Giải phương trình (1.1) khi biết một nghiệm: x = zp.

Lời giải. Theo giả thiết

axe + bưa + cro +d = 0.

<small>Phương trình (1.1) tương đương với các phương trình sau</small>

ax? + bx? + ca + d = arg + bx? + cap +d;a (x3 x3) b (2? x) c(x — x9) = 0;

x — 19) (ax? + (arg + b)# + ax? + brp + e) = 0.

Xét A = (azg + 0)? — 4a (az2 + bxo + c) .

1) Nếu A < 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = zo.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Nhận xét 1.1. 1) Nếu zo là nghiệm của (1.1) thì điều kiện cần và đủ để (1.1) có

<small>ba nghiệm phân biệt là:</small>

ax, + (aro + b)z0 + axe + bro + c # 0

2) Nêu 2 là nghiệm của (1.1) thì có thể phân tích ax + ba? + cx +d = f (x) (x — 20),

<small>trong đó ƒ (z) là tam thức bậc hai.</small>

3) Nếu a1, x2, 73 là các nghiệm của (1.1) thi

Bài toán 1.2. Giải phương trình 4x3 — 3z = m với |m| < 1.

C€OSŒ = COS (3.5) = Acos”S — 3cos >

<small>Do vậy phương trình có ba nghiệm: a1 = cos}, rg = cOsSS““, 13 = cos*4*.</small>

Bài toán 1.3. a) Dat x = 4 (a + +) , a #0. Chứng minh dang thức

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

<small>Phương trình đại số bậc ba va bốn</small>

Đặt a = z+ Vo? — 1 thì z = $(a+ 4) và z3 = š(a3 + 3a + 3 + 4). Suy ra

da — Br = 5(a® + 8á + = +4) — F(a =) = 5 (a8 + 4).

b) Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất. That vậy, phương trình khongcó nghiệm ap € [—1; 1] vì nếu zo € [—1; 1] thì đặt xo = cosy suy ra

|4z” — 3z| = |4cos* yp — 3 cos ¿| = |cos3y| < 1 < |m|.

Giả sử phương trình có nghiệm 2), |x| > 1, 4z3 — 321 = m. Khi đó

r= $ (Vins Vie 14 Vn Vinh =1).

Bài toán 1.4. Giải phương trình: 4z + 3z = m.

Loi giải. Nhận xét rằng x = x là nghiệm của phương trình thì đó là nghiệm duynhất. That vậy, xét z > zọ, khi đó 4z + 3z > 4z} +32, =m. Tương tu, với # < x9thì 4z3 + 3z < 4z} + 3z =m.

Đặt z= 4 (a — +) , a#0. Khi đó dé dàng kiểm tra dang thức

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

3 _ np = _a bg 2a3 ab c

<small>Ta có các trường hợp sau:</small>

1) Nếu p =0 thì phương trình có nghiệm duy nhất y = ÿ⁄4.

2) Nếu p > 0 thì đặt y = 24/§z. Khi đó ta được phương trình

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<small>Phương trình đại số bậc ba va bốn</small>

1.2 Phương trình đại số bậc bốn

Trong phần sẽ nêu phương pháp chung để phân tích đa thức bậc bốn tổng quát

thành tích hai tam thức bậc hai. Đối với một số dạng đa thức bậc bốn đặc biệt có

những phép biến đổi phù hợp và đơn giản hơn, khơng địi hỏi phải vận dụng tồn

bộ thuật tốn tổng quát.

1.2.1 Phương trình dang (x — a)’ + (x — b)` =<.

Đặt z= ¿+ th, a= ab Khi đó phương trình trở thành

(t+a)'+(t-a)' =¢;

2/! + 12074? + 2a4 —c=0.

Day là phương trình đã biết cách giải.

Bài tốn 1.6. Giải phương trình (x — 3)* + (z— 5)“ = 82.

<small>Lời giải. Đặt x = +4. Khi đó phương trình đã cho trở thành các phương trình sau</small>

(y+1)° + (y—-1)* = 82;

„2 + 6y? — 40 = 0.

<small>Giải phương trình tìm được = 2 và y = —2</small>

<small>Do vậy phương trình đã cho có hai nghiệm z = 2, r= 6.</small>

<small>1.2.2 Phuong trình dang</small>

<small>Dat u = (x + a) (+ + đ) suy ra (4 + b) (œ +c) = u + be — ad. Khi đó phương trình trở</small>

thanh u(u + bc — ad) = m hay u? + (be — ađ)u — ma = 0. Day là phương trình đã biết

<small>Bài tốn 1.7. Giải phương trình x (x + 1)(z + 2) (+ + 3) =8.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Ta tìm được z = —. Do vậy phương trình có nghiệm z = 35

1.2.3. Phương trình với hệ số phản hồi.

€ LẦU

av‘ + br? + cx? + dự +e =0, -Ñ:

ax* + bx? + cx? + bax 4 aa? = 0;

(x? + a2“ + bz(+? + a) + (e— 2aa)x? = 0.

Nhận xét z = 0 khơng thỏa mãn phương trình. Chia hai về phương trình cho 2? tađưa phương trình đã cho về hệ phương trình

t= x

<small>Hay hệ phương trình</small>

at? + bt + e— 2aœ = 0+2 —tr+a=0.

Nhận xét 1.2. Dặc biệt khi a = e,b = đ phương trình ban đầu trở thành phương

trình đối xứng ax* + br? + cx? + bx +a = 0. Khi a = e,b = —d phương trình ban đầu

trở thành phương trình nửa đối xứng az' + br? + cx? — bx +a = 0.

Bài tốn 1.8. Giải phương trình: z† + 323 — 62? + 6z + 4 = 0.

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

<small>Phương trình đại số bậc ba va bốn</small>

Loi giải. Dé thay x = 0 không là nghiệm của phương trình. Xét x # 0 chia hai về

phương trình cho z7 ta được

Đặt =z+ 2, (| > 2) suy rat? =2?+4+44. Phương trình đã cho trở thành

Suy ra phương trình ban đầu tương đương với

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Ta thay a = 1 thỏa mãn, vậy có thể viết phương trình dưới dang

(z7 + 1)" = 52? + 10+ + 5;

(0? +1)? = [v5(@@+)).

<small>Ta có hai trường hợp:</small>

Trường hợp 1. z?— 5z — 5 +1 =0 hay «= v5+V L†4v5 VIL4V5,

Trường hợp 2. +2 + 5z + W5-+1=0 vô nghiệm.

<small>V5+W 1†4v5.Do vậy phương trình có hai nghiệm z = 5</small>

1.2.5 Phương trình dạng az + bz + c#z?+ dư +e=0,a#0

Đặt x = — +t. Khi đó phương trình trở thành t* = at? + 6t+.. Dây là phương

trình đã biết cỏch gii.

Bi toỏn 1.10. Gii phng trỡnh: ô4 Đz3 + 20a? — 12z — 9 = 0.

<small>Loi giải. Dat z =t+2. Khi đó phương trình đã cho trở thành các phương trình sau</small>

(t + 2)! — 8( + 2)” + 200 + 2)? — 12(t + 2) -9 =0;

tt = 4t? — 4t +1;

tt = (2t— 1)”:

t? = 2t—1 hoặc t? = —2f + 1.

Giải phương trình tìm được t = 1 vat = —1 + V2.

Do vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x = 3; z= 1+ v2.

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Bước 2. + Nếu D z 0 hệ có nghiệm duy nhất: z = 2; y = 7.

+ Nếu D =0, D; £0 hoặc D, # 0 thì hệ vơ nghiệm.

+ Nếu D =D, = Dạ =0 thì hệ có vơ số nghiệm (z;y) thỏa mãn: ax + by = c.

<small>Bài toán 2.1. Giải và biện luận hệ phương trình</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

+ Nếu a? # 4 hay a # +2 hệ có nghiệm duy nhất z = 4 = —;z#z; y= oy = at}

+ Nếu a= —2 suy ra: D=0, D„ #0 hệ vô nghiệm.

+ Nếu a = 2 suy ra D = D; = D„ =0 hệ có vơ số nghiệm (z;) thỏa mãn z + = 1.

Bài tốn 2.2. Tìm m để 2 phương trình sau có nghiệm chung

#2 + (2m —1)a+m?—2=0, z?— (2m + 1)z— m— 2=0.

Lời giải. Dat y = z?, y > 0, ta xét hệ phương trình

(2m — 1)z + = 2—m?

p= (arty 1 | =a

Dy, = 2—m* 1 = —m (m + 1)

| 2-1 2-m2|_- 2

Dy=| a dam [ai (-2m? +m+7).

+ Nếu m #0 > D0 hệ có nghiệm duy nhất

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

<small>Hệ phương trình thường gặp</small>

9m? — 2m — 27 = 0.

Ta tìm được m = L261

+ Nếu m = 0 suy ra D = D, = D, = 0 hệ phương trình có vơ số (z;) thỏa man

<small>y —x = 2, và hệ phương trình có nghiệm chung là</small>

Vậy các giá trị tìm được của m là n = Ú, m= LÈ2 v51,

Bài toán 2.3. Biện luận theo m giá trị nhỏ nhất của biểu thức

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

<small>Hệ phương trình thường gặp</small>

uy ra min A = : khi x — 2y = 1,

Nhận xét 2.1. Bằng phương pháp xét hệ phương trình bậc nhất hai an ta tim

được giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. Tương tự ta tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

2.2_ Hệ phương trình đối xứng

2.2.1 Hệ phương trình đối xứng loại một

Định nghĩa 2.2. Hệ phương trình đối xứng loại một có dạng tổng qt

<small>trong đó</small>

<small>Phương pháp giải.</small>

Bước 1. Đặt điều kiện nếu có.

Bước 2. Dat S = z +, P = z.ụ với điều kiện S? > 4P.

Bước 3. Biểu diễn ƒ(z;y) và g(x;y) qua S,P ta có hệ phương trình mới

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

<small>Hệ phương trình thường gặp</small>

của hệ, nên để hệ có nghiệm duy nhất thì z = y.

+ Điều kiện để hệ có nghiệm là S2 > 4P. Nếu S$? = 4P thì hệ có nghiệm duy nhất

L=y= Ỹ. + Trong mục này ta xét cả các ví dụ hệ đối xứng ba an.

<small>Bài tốn 2.4. Giải hệ phương trình</small>

<small>Trường hợp. S+ P =6, SP =5 ta tìm được S=5, P=1 hoặc S= 1, P=5, nhưng</small>

do điều kiện nên ta chọn S = 5, P =1. Từ đó suy ra z,y là nghiệm của phương

hay t = Z+V21 hoặc t = 5-V21,

<small>Trường hợp. $+ P =5, SP = 6 ta tìm được S = 3, P= 2 hoặc S =2, P =3, nhưng</small>

do điều kiện nên ta chọn 8 = 3, P =2. Từ đó suy ra z,y là nghiệm của phương

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

<small>Vậy hệ phương trình có nghiệm (z;) = (4;4).</small>

Nhận xét 2.2. Không phải lúc nào ta cũng đặt tổng và tích của z, như là cáchđặt # = z+,P =x mà đôi khi ta đặt S,P bằng tổng và tích của hai biểu thức

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

ữ +b2=1

ab+a+b= a

(a +b)? — 2ab=12(a + b) + 2ab = Sài

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: (x;y) = (2; 4), (33:5)

-Nhận xét 2.3. Cách phân tích ở phương trình thứ hai là khó thấy. Bài tốn nàythực chất là suất phát từ hệ đối xứng thông thường nhưng qua các phép thế và

tách biểu thức nó trở nên phức tạp và việc biến đổi ngược lại thường phải mò mẫm.

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Lời giải. Điều kiện: ry # 0. Đặt u = we v= rn ta có các hệ phương trình sau

Đặt S=u+v,P =uo,(S2 > 4P), ta có các hệ phương trình sau

P= "35

Ta tìm được nghiệm (x;y) = (1; $).

<small>Từ đó có hai trường hợp sau:</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

<small>Hệ phương trình thường gặp</small>

Ta tim được nghiệm (x;y) = ($31).

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; y) = (1; x), (§: 1).

<small>Bài tốn 2.9. Giải hệ phương trình</small>

xy (y+1)+a7y? (y+ 2) + cy? — 30 = 0

ry 4 (1 + y 4 2) y-ll=0.

Lời giải. Biên đổi hệ phương trình đã cho trở thành

nên zy và z + là nghiệm của phương trình ¢? — 5t + 6 = 0 hay £ = 2 hodct = 3.

<small>Trong hai khả năng z+ = 2; z = 3 và z+ = 3 ;z = 2 thì chỉ có z+ = 3; ry = 2</small>

cho kết qua tìm được nghiệm (x;y) = (1;2), (2;1). Khả năng cịn lại vơ nghiệm.

<small>Trường hợp 2.</small>

{ #U(# + U) =5

nên zy và x+y là nghiệm của phương trình £2 — 6 + 5 = 0 hay t= 1 hoặc £ = 5ð.

<small>Trong hai khả năng z+ = 5; z = 1 và z+ = l;¡ z = 5 thì chỉ có z+ =5; z= 1</small>

cho kết quả tim được nghiệm (z;) = (SY?!; 5#ý?!), Khả năng cịn lại vơ nghiệm.

Vay hệ đã cho có nghiệm là (z;y) = (1:2), (2; 1), (S471, =y21) (=S% styl) ,

Nhận xét 2.4. Giải hệ phương trình đối xứng bằng phép đặt an phụ ta sẽ thấy

mặc dù hệ là đơn giản nhưng qua phép đặt an phụ biến đổi ta sẽ được hệ mới phứctạp hơn rất nhiều. Khi giải ta phải mò mẫn ngược lại ra an phụ. Hệ phương trình

<small>dưới đây có hình thức tương tự.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

<small>Hệ phương trình thường gặp</small>

<small>Bài tốn 2.10. Giải hệ phương trình</small>

z2? +? + 1= 5+z+ 2z

zụ?— 2u(1++?)=++2.Loi giải. Biên đổi hệ trở thành

{ ?+1+z(# T— 2) = 5z

(1 + 2)(z— 2y — 2) = 2z.

Nhận thấy z = 0 không thỏa mãn hệ phương trình trên. Khi x ¥ 0 chia cả hai

<small>phương trình của hệ trên cho z ta được hệ phương trình</small>

(44?) (¢ — 2y — 2) =2.

Dat a= yal b=z—2—2, ta có hệ phương trình cơ bản sau

<small>Giải hệ phương trình cơ ban ta được a = 1; b= 2 hoặc a=2; b=1</small>

<small>Ta có hai trường hợp sau:</small>

<small>Giải hệ phương trình trên tìm được (x;y) = (1;—1), (13; ð).</small>

<small>Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; y) = (1;—I), (18; 5), (2;—1), (10;3).</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

<small>Hệ phương trình thường gặp</small>

Nhận xét 2.5. Hệ trên bản chất chính là hệ đối xứng rất đơn giản qua phép đặt

an phụ biến đổi mà thành. Ta xét các hệ sau có bản chất là hệ đối xứng cơ bản

Qua một số phép dat an phụ thành các hệ mới

4) Thay a= mel b=ax2+y+1 ta có hệ phương trình {

Tương tự xuất phat từ hệ đối xứng sau

a? +b? =5.

3 1)-3=0

Bài toán 2.11. (DH khói D.2009) Giải hệ phương trình

a+b? = 5.Dây là hệ phương trình đối xứng cơ bản.

Cách 2. Ta thấy z = 0 khơng thỏa mãn hệ phương trình đã cho. Khi x # 0 chia cảhai về của phương trình đầu của hệ cho z ta được hệ phương trình

(z+)- š+1=0.

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

<small>Trường hợp 1. a = 2; b= 1 ta tìm được nghiệm (2; y) = (1;1)</small>

Trường hợp 2.a = b= $ ta tìm được nghiệm (2; y) = (2:3)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (z;z) = (1; 1), (2; -3).

Nhận xét 2.6. Các hệ sau có bản chất là hê đối xứng cơ bản<small>a+b=3</small>

a+b? =5

Qua phép đặt an phụ mà thành các hệ mới sau

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

<small>Giải hệ phương trình trên ta được a+ b = 2, ab = 0 hoặc a+b = —10, ab = 48</small>

nhưng do điều kiện của tổng và tích (a + 6)? > 4ab từ đó ta tìm được a = 2; b= 0

<small>Ta có hai trường hợp:</small>

Trường hợp 1. a = 2; b= 0 ta tìm được nghiệm (x;y) = (+2; 32).

Trường hợp 2. a = 0; b= 2 ta tìm được nghiệm (x;y) = (+2; 32).

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (42: 2/2) : (+v5 5/2) .

<small>Bai toán 2.13. Giải hệ phương trình</small>

4z? + y? + 2 = Try

16x4y? + y* + 4 = 254 2(z2 — s>).

Loi giải. Nhận thay zy = 0 khơng thỏa mãn hệ phương trình đã cho. Xét zy 4 0

khi đó viết hệ phương trình dưới dạng

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

<small>Hệ phương trình thường gặp</small>

Từ đó ta tìm được (z;) = (3; 1), (4; 2).

<small>Vay hệ phương trình đã cho có nghiệm (2; y) = (1; 1), (1; 2), (</small>

BIO;1), (452).

<small>Bài toán 2.14. Giải hệ phương trình</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

Cách 3. Ap dụng bất đẳng thức a2 +b? > 2ab. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

+ Nếu z #1 thì hệ đã cho vơ nghiệm.

+ Nếu z = 1 thì ta tìm được z = 0;y = 0.

<small>Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (z; ; z) = (0;0; 1).</small>

<small>Bài toán 2.16. (Xem [3]) Giải hệ phương trình</small>

# + 1# + zz = —#Z = $

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

<small>Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là</small>

(x;y; z) = (ti; te; ta) , (ta; t3; te) , (to; t1; ta), (ta; ta; t1) , (tại t1; te) , (ts; tại H).,

<small>Bài toán 2.17. (Xem [3]) Giải hệ phương trình</small>

<small>#;;z là nghiệm của phương trình</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

<small>Hệ phương trình thường gặp</small>

Tìm giá trịn lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 7+ y.

Lời giải. Điều kiện x > —1; y > —2. Ta cần tìm tập giá trị của P, ta xét hệ phương

”. —1

Những giá trị trên của x;y để hệ có nghiệm chính là tập giá trị của P.

<small>Đặt u=VJVr+1, u=v+2 (u>0; v>0), ta có các hệ phương trình sau</small>

t 1— 3u = 3ø — (02 — 2)

u2 + 0Ÿ — 3(u + 0) =u2+02=P+3;

<small>Hệ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2.2) có hai nghiệm khơng âm, tương</small>

đương các biến đổi sau

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 9 + 3v1ð; giá trị nhỏ nhất của P bằng 9412/21,

Nhận xét 2.7. Sử dụng điều kiện có nghiệm của hệ đối xứng ta có thể tìm được

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đối xứng. Ta xét bài toán

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

<small>Hệ phương trình thường gặp</small>

Bài tốn 2.19. (DH Khoi A 2006) Cho x;y # 0 thỏa mãn zy(#z +) = z?— zụ+ 12.

Tim giá trị lớn nhất của biểu thức A = ‡› + „:

Loi giải. Theo giả thiết

Đặt u=4, v= i (u;v # 0) ta xét hệ phương trình

+ 0 = tu — tru + 0Ÿ

u5 +09) = A.

Giải tương tự VD2.18 ta tìm được giá trị lớn nhất của A bằng 16.

2.2.2 Hệ phương trình đối xứng loại hai

Định nghĩa 2.3. Hệ đối zứng lại hai là hệ mà nếu ta thay x bởi ụ va y bởi x thà

phương trinh nay biến thành phương trinh kia va ngược lại.

<small>Phương pháp giải.</small>

Bước 1. Dat điều kiện.

Bước 2. Trừ theo về hai phương trình hoặc cộng theo về hai phương trình của hệ.Khi trừ theo về hai phương trình của hệ ta phân tích được về dạng

(z— y)h(2;y) = 0.

Bước 3. Lần lượt kết hợp z = y hoặc h(z;y) = 0 với một trong hai phương trình củahệ và giải tiếp.

Việc trừ theo về thường sử dụng các hằng đẳng thức hoặc nhãn liên hợp sau đây (

nếu chứa dấu căn ).

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; y) = (#z- ¬=-:Ở2— +5) .

<small>Bài tốn 2.21. Giải hệ phương trình</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

<small>Hệ phương trình thường gặp</small>

Trừ theo về hai phương trình của (2.3), ta được

(x — 0)( + — 2# +7) = 0.

Trường hợp 1. Nếu y = z thế vào phương trình đầu của hệ phương trình (2.3), ta

z2 — 5z + 6 = 0.

<small>Giải phương trình tìm được z = 2 va x = 3.</small>

Trường hợp 2. Nếu z+—2z+7 = 0. Cộng theo về hai phương trình của hệ phương<small>trình (2.3), ta được</small>

Giải hệ phương trình tìm được S = 5; P = 6 hoặc 9 = 1; P = 4. Đối chiếu điều kiện

<small>ta được S =5; P =6 từ đó tìm được nghiệm (2; y) = (2;3), (3; 2).Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; y) = (2;2), (3; 2), (2; 3), (3; 3).</small>

Nhận xét 2.8. Việc lấy tổng hai phương trình của hệ đưa về một đa thức đối xứng

rất có ý nghĩa khi ta thực hiện trừ hai về của phương trình của hệ mà phương trình

<small>Bài tốn 2.22. Giải hệ phương trình</small>

Vÿ2+91= V#=3+32.

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

<small>Loi giải. + Xét x = 0 khơng thỏa mãn hệ phương trình.</small>

+ Xét « £0. Biến đổi hệ phương trình đã cho trở thành các hệ phương trình sau

Đặt a=y+1, b= ‡, ta có hệ phương trình đối xứng loại hai sau3a + 52 = b3

th” (25)

Trừ theo về hai phương trình của hệ phương trình (2.5), ta được

3(b — a) = 8 — dở.

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

Loi giải. Ta thấy y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Khi y 4 0 biến đổi hệ

<small>phương trình đã cho trở thành các hệ phương trình sau</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

<small>Hệ phương trình thường gặp</small>

(a — 2)(3a? + 5a + 12) = 0.

<small>Ta tìm được a = 2. Từ đó hệ phương trình có nghiệm (z; y) = (1; 1).</small>

<small>Bài toán 2.25. Giải hệ phương trình</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

Vậy hệ phương trình có nghiệm (z;z) = (—1;—1), (3;Non Non>"—

pole`———w]e

>"

<small>Bài toán 2.27. Giải hệ phương trình</small>

</div>