VỀ BÀI TOÁN XÂY DỰNG BẢNG QUYẾT ĐỊNH NHẤT QUÁN TRONG LÝ THUYẾT TẬP THÔ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (269.28 KB, 6 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

VỀ BÀI TOÁN XÂY DỰNG BẢNG QUYẾT ĐỊNH NHẤT QUÁN TRONG LÝ THUYẾT TẬP THÔ

Vũ Đức Thi

Đại học Quốc gia Hà Nội

TÓM TẮT: Việc nghiên cứu các tập rút gọn trong lí thuyết tập thơ nói chung và các tập rút gọn trong bảng quyết định nhất

quán nói riêng được nhiều nhà khoa học trên thế giới thực hiện. Đối với bảng quyết định nhất quán, chúng ta đã có một thuật tốn có độ phức tạp thời gian tính đa thức tìm một tập rút gọn bất kỳ. Đồng thời, việc tìm các thuộc tính dư thừa (thuộc tính không tham gia một tập rút gọn nào) cũng được thực hiện bởi một thuật tốn thời gian tính đa thức. Tuy vậy, việc tìm tất cả các tập rút gọn trong bảng quyết định nhất quán là bài toán có độ phức tạp thời gian tính hàm mũ. Chúng tơi chỉ ra rằng việc tìm tập rút gọn có lực lượng bé nhất không thể thực hiện được bằng một thuật tốn có thời gian tính đa thức. Có nghĩa là cho đến nay, việc tìm tập này là khơng khả thi trên hệ thống máy tính. Đặc biệt, người ta đã chứng minh được việc nghiên cứu các tập rút gọn trong bảng quyết định nhất quán tương đương với việc nghiên cứu hệ Sperner. Đây là hệ tổ hợp đã được nhiều nhà khoa học trên thế giới nghiên cứu và phát triển.

Trong bài báo này, chúng tơi chứng minh bài tốn xây dựng bảng quyết định nhất quán từ hệ Sperner K cho trước sao cho tập các rút gọn của nó chính là K có độ phức tạp hàm mũ.

Từ khóa: Sperner system, reduct set, consistent decision table.

Việc tìm kiếm các tập rút gọn đóng vai trị quan trọng trong việc xử lí thơng tin trên bảng quyết định. Mục tiêu của rút gọn thuộc tính là loại bỏ các thuộc tính dư thừa để tìm ra các thuộc tính cơ bản phục vụ cho việc xử lí thơng tin. Về thực chất, việc rút gọn thuộc tính là tìm tập con nhỏ nhất của tập các thuộc tính để bảo tồn thơng tin phân lớp trên bảng quyết định. Trong bài báo này chúng tôi chỉ đề cập tới các bảng quyết định nhất quán. Trên thực tiễn, tùy theo từng bài toán cụ thể, chúng ta có thể chuyển bảng quyết định khơng nhất qn về bảng quyết định nhất quán. Mục tiêu chính của bài báo này là chứng minh xuất phát từ hệ Sperner K cho trước, bài toán xây dựng bảng quyết định nhất quán sao cho tập các rút gọn của nó chính là K có độ phức tạp hàm mũ.

Trước hết chúng tơi trình bày một số các khái niệm cơ bản cần thiết cho việc trình bày các kết quả chính của bài báo

1. Những khái niệm cơ bản

Mục này cung cấp một số khái niệm cơ bản được dùng trong bài báo. Các khái niệm này có thể xem trong [ 1, 3, 4, 6].

Định nghĩa 1.1. Hệ thông tin là một bộ bốn S = ( U, A, V, f ) trong đó U là tập hữu hạn, khác rỗng các đối

tượng; A là tập hữu hạn, khác rỗng các thuộc tính; a

Thơng thường D = {d} chứa một thuộc tính.

Định nghĩa 1.3. Cho bảng quyết định nhất quán

DS=(U C,∪D V f, ,)

và tập thuộc tính

R⊆C

. R được gọi là tập rút gọn nếu:

- với mọi cặp đối tượng u, v thì R(u) = R(v) kéo theo D(u) = D(v);

- với mọi E là tập con thực sự của R thì tồn tại cặp u, v để E(u) = E(v) không kéo theo.

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

Cho

r={h

1

,...,h

m

}

là một quan hệ trên tập thuộc tính

R={a

1

,...,a

n

}

. Phụ thuộc hàm (PTH) trên R là

một dãy ký tự có dạng A→ B với A, B ⊆ R. PTH A→ B thỏa mãn quan hệ r trên R nếu

(∀h h

i

,

j

∈r) ( (∀ ∈aA h a) ( )(

i

=h a

j

( ))⇒ ∀ ∈(bB h b) ( )(

i

=h b

j

( )) )

. Đặt

F

r

={(A B,): ,A B⊆R A,→B}

là họ đầy đủ các PTH thỏa mãn quan hệ r. Ký hiệu

P R( )

là tập các tập con của R. Cho

F=P R( ) ( )×P R

. Ta nói rằng F là một họ f trên R nếu với mọi

A B C D, , ,⊆R

( ) (1A A,)∈F.

( ) (3A B,)∈F A,⊆C D,⊆ ⇒B(C D,)∈F.

Rõ ràng là Fr là một họ f trên R. Nếu F là một họ f trên R thì có một quan hệ r trên R sao cho Fr = F. Ký hiệu

F

+là tập tất cả các PTH được dẫn xuất từ F bằng việc áp dụng các quy tắc

( ) ( )1−4

Sơ đồ quan hệ (SĐQH) s là một cặp

<R F,>

với R là tập thuộc tính và F là tập các phụ thuộc hàm trên R. Ký

hiệu

A

+

={a A:→{ }a∈F

+

}

,

A

+ được gọi là bao đóng của A trên s. Dễ thấy

A→ ∈BF

+ khi và chỉ khi

B⊆A

+

. Tương tự ký hiệu

A

r+

={a A:→{ }a∈F

+

}

,

A

r+ được gọi là bao đóng của A trên quan hệ r.

Cho

s= <R F,>

là SĐQH trên R,

a∈R

. Đặt



as

= ⊆{AR A:→{ }a,∃B B:(→{ }a)(B⊂A)}

. Khi đó, sa



được gọi là họ các tập tối thiểu của thuộc

Dễ thấy



−1 cũng là một hệ Sperner trên R. Nếu



là một hệ Sperner trên R đóng vai trị là tập các khóa tối

thiểu của quan hệ r (hoặc SĐQH s) thì



−1 là họ tất cả các tập khơng phải khóa lớn nhất của r (hoặc của s), gọi là tập

các phản khóa. Nếu



là một hệ Sperner trên R đóng vai trị là họ các tập tối thiểu của thuộc tính a trên r (hoặc trên

s), hay

 =

ar (hoặc sa

 

), thì 1

{ }

r 1

−−

=

−−

=



) là họ tất cả các tập lớn nhất không phải là tập tối thiểu của thuộc tính a, được định nghĩa như sau [1] :

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

Chúng ta có thể thấy khái niệm tập tối thiểu của thuộc tính trên quan hệ r tương đương khái niệm tập rút gọn trong bảng quyết định nhất quán.

2. Kết quả

Trong phần này, chúng tơi trình bày các kết quả của bài báo. Đầu tiên, chúng tơi trình bày một bổ đề cần thiết sau.

Bổ đề 2.1. [5] Cho bảng quyết định nhất quán

DS=(U C,∪{ }d, ,V f)

với

C={c c

1

,

2

,...,c

n

}

,



là họ các tập tối thiểu của thuộc tính

{ }d

trên quan hệ r.

Định lí 2.2. [2] Cho trước bảng quyết định DS = (U, C ∪ {d}, V, f) thì (Kdr) -1 là hệ Sperner trên C. Ngược lại nếu K là hệ Sperner trên C thì tồn tại một bảng quyết định nhất quán DS = (U, C ∪ {d}, V, f) để K= (Kdr) -1.

Trên cơ sở Định lí 2.2, nếu K là hệ Sperner trên C. Giả sử K = { A1,…,Am }. Chúng ta xây dựng bảng quyết định DS = (U, C∪{d}, V, f) như sau:

U = {u0, u1,…, um} với mọi c ∈ C : c(u0) = 0 và d(u0) = 0. Với mọi i, i = 1,…m và c là phần tử của C. Chúng ta đặt c(ui) = 0 nếu c ∈ Ai. Ngược lại c(ui) = i. Đặt d(ui) = i. Với R = C ∪ {d}.

Có thể thấy K= (Kdr

) -1 .

Sau đây, chúng tôi đưa ra một thuật tốn từ một hệ Sperner bất kỳ tìm tập phản khóa của nó.

Thuật tốn 2.3 [8] (Tìm tập phản khóa)

Vào: 𝐾 = {𝐵1, … , 𝐵𝑛} là hệ Sperner trên R. Ra: 𝐾−1

Bước 1: Ta đặt 𝐾1= {𝑅 − {𝑎}: 𝑎 ∈ 𝐵1}. Hiển nhiên 𝐾1= {𝐵1}−1.

Bước q+1: (q < m). Ta giả thiết rằng 𝐾𝑞= 𝐹𝑞 ∪ �𝑋1, … , 𝑋𝑡𝑞�, ở đây 𝑋1, … , 𝑋𝑡𝑞 chứa 𝐵𝑞+1 và 𝐹𝑞=�𝐴 ∈ 𝐾𝑞∶ 𝐵𝑞+1 ⊈ 𝐴�. Đối với mỗi i (i = 1, ..., 𝑡𝑞) ta tìm các phản khóa của �𝐵𝑞+1� trên 𝑋𝑖tương tự như 𝐾1. Kí pháp chúng là 𝐴1𝑖, … , 𝐴𝑟𝑖𝑖 . Đặt 𝐾𝑞+1= 𝐹𝑞 ∪ � 𝐴𝑖𝑝∶ 𝐴 ∈ 𝐹𝑞 𝑘é𝑜 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝐴𝑝𝑖 ⊄ 𝐴 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡𝑞. 1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑟𝑖�. Cuối cùng ta đặt 𝐾−1= 𝐾𝑚.

Định lý 2.4 [8]

Với mọi q (1 ≤ 𝑞 ≤ 𝑚), 𝐾𝑞 = �𝐵1, … , 𝐵𝑞� −1có nghĩa là 𝐾𝑚= 𝐾−1.

Rõ ràng, K và 𝐾−1là xác định duy nhất lẫn nhau và từ định nghĩa của 𝐾−1 có thể thấy thuật tốn của chúng ta không phụ thuộc vào thứ tự của dãy 𝐵1, … , 𝐵𝑚. Đặt 𝐾𝑞= 𝐹𝑞 ∪ �𝑋1, … , 𝑋𝑡𝑞� và 𝑙𝑞 (1 ≤ 𝑞 ≤ 𝑚 − 1) là số các phần tử 𝐾𝑞.

Trên cơ sở này ta có:

Mệnh đề 2.5.

Độ phức tạp thời gian tồi nhất của Thuật toán 2.3 là Θ(|𝑅|2∑𝑚−1𝑡𝑞. 𝑢𝑞)𝑞−1 . Ở đây: 𝑢𝑞= �𝑙1 , 𝑛ế𝑢 𝑙𝑞− 𝑡𝑞 , nếu 𝑙𝑞 > 𝑡𝑞

𝑞= 𝑡𝑞

Rõ ràng trong mỗi bước thuật tốn ta có 𝐾𝑞 là hệ Sperner trên R. Ta biết rằng ([8]) kích thước của hệ Sperner bất kỳ trên R không vượt quá 𝐶𝑛[𝑛/2], ở đây n = |𝑅|. Có thể thấy 𝐶𝑛[𝑛/2] xấp xỉ bằng 2𝑛+1/2/(𝛱. 𝑛1/2). Từ đó độ phức tạp thời gian tồi nhất của thuật tốn trên khơng nhiều hơn hàm số mũ theo n. Trong trường hợp mà 𝑙𝑞≤ 𝑙𝑚 (q = 1,..., m-1), dễ thấy rằng độ phức tạp thuật tốn khơng lớn hơn Θ(|𝑅|2 |𝐾| |𝐾−1|2). Như vậy, trong các trường hợp này độ phức tạp của Thuật tốn 2.3 tìm 𝐾−1là đa thức theo |𝑅|, |𝐾|, 𝑣à |𝐾−1|. Có thể thấy nếu số lượng các phần tử của K là nhỏ thì Thuật tốn 2.3 rất hiệu quả, nó chỉ đòi hỏi thời gian đa thức theo |𝑅|.

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

Định lí 2.6 [9]. Cho trước bảng quyết định nhất quán DS = (U, C ∪ {d}, V, f) thì

PRED C( )

(họ tất cả các tập rút gọn của C) là hệ Sperner trên C. Ngược lại nếu K là hệ Sperner trên C thì tồn tại một bảng quyết định nhất quán

DS = (U, C ∪ {d}, V, f) để K= PRED (C).

Trên cơ sở Định lí 2.2, Thuật tốn 2.3, Định lí 2.6, chúng ta có kết quả sau:

Thuật toán 2.7. (Xây dựng bảng quyết định)

Vào: K = { A1,…,Ap } là một hệ Sperner trên C = {c1, ..., cn}

Ra: Bảng quyết định nhất quán DS = (U, C ∪ {d}, V, f) sao cho K= PRED (C) Bước 1: Trên cơ sở thuật toán 2.3, từ K chúng ta xây dựng tập phản khóa K-1 . Giả sử K-1

= { B1,...,Bm}.

Bước 2: Chúng ta xây dựng bảng quyết định nhất quán DS = ( U, C∪{d}, V, f) như sau:

U = {u0, u1,…, um} với mọi c ∈ C : c(u0) = 0 và d(u0) = 0. Với mọi i, i = 1,… m và c là phần tử của C. Chúng ta đặt c(ui) = 0 nếu c ∈ Bi. Ngược lại c(ui) = i. Đặt d(ui) = i.

Có thể thấy, trên cơ sở Bổ đề 2.1 và Định lí 2.2, chúng ta có K-1

= (Kdr) -1. Trên cơ sở này và dựa trên định nghĩa của hệ Sperner, tập phản khóa và định nghĩa các tập rút gọn của bảng quyết định nhất quán, chúng ta có K = PRED (C).

Từ Mệnh đề 2.5, do phải xây dựng tập K-1 từ K, chúng ta thấy độ phức tạp tồi nhất của thuật toán này là hàm

mũ với lực lượng của C.

K = { A1,…,Ap } là một hệ Sperner trên C và K = PRED (C) thì K-1 = Md

Nhận xét 2.9. Cho bảng quyết định nhất quán

DS=(U C,∪{ }d, ,V f)

với

C={c c

1

,

2

,...,c

n

}

,

Cho K là một hệ Sperner trên C và K = PRED (C).

1.

Có thể thấy, theo định nghĩa của Er , chúng ta có |Er | = m (m -1)/2 . Theo định nghĩa của Md, chúng ta có |Md | < m(m-1)/2 . Theo Mệnh đề 2.8 ta có | K-1|< m(m-1)/2

2.

Nếu chúng ta đặt t = min { m: | U | = m, ở đây DS = < U, C {d}, V, f > có K = PRED (C) }. Khi đó | K-1

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

R = X1 X2 … Xm W trong đó: |Xi| = 3, Xi∩ Xj = ∅, m = [ n/3], |W| = 0, hoặc |W| = 1, hoặc |W| = 2.

Xét K = {A : |A| = 2, A là tập con thực sự của Xi với một i nào đó } nếu |W| = 0.

K = {A : |A| = 2, A là tập con thực sự của Xi với một i nào đó với 1 i

Chúng ta có thể thấy |K-1| > 3 [n/4]. Như vậy |K-1| là hàm mũ với n.Kết quả đã được chứng minh.

Định lí 2.11. Bài tốn cho trước một hệ Sperner K trên

C={c c

1

,

2

,...,c

n

}

, bài tốn tìm bảng quyết định nhất qn DS = (U, A = C {d}, V, f) sao cho K = PRED(C) có độ phức tạp tính tốn là hàm mũ theo lực lượng của C.

Theo Nhận xét 2.9, nếu chúng ta đặt t = min { m: | U | = m, ở đây DS = < U, C {d}, V, f > có K = PRED

(C)}. Khi đó (2 | K-1| ) ½ < t. Có nghĩa là từ cách phân đoạn trên chúng ta có t > 3 [n/8] .

Như vậy, đối với tập thuộc tính C không rỗng bất kỳ ta luôn chỉ ra một hệ Sperner K trên C có lực lượng tuyến tính với n, thì mọi bảng quyết định nhất qn DS = (U, C {d}, V, f) sao cho PRED (C) = K có lực lượng của U luôn là hàm mũ theo lực lượng của C.

Kết quả đã được chứng minh.

Lời cảm ơn: Chúng tôi xin cảm ơn sự tài trợ của đề tài” Nghiên cứu thiết kế xây dựng bức tường lửa chuyên

dụng tích hợp kỹ thuật mật mã của ngành Cơ yếu” mã số 01/2018/KCM.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Demetrovics J., Thi V. D., Quang H. M., Anh N. V. “An Method to reduce the size of consistent decision tables”. Acta Cybernetica V 23, pp. 1039- 1054, 2018.

[2] Demetrovics J., Thi V. D., Duong T. H., Giang N. L. “On the time complexity of the problem related to reduct of consistent decision tables”. SERDICA J. of computing. Bugarian Academy of Sciences Vol. 9, No. 2, pp. 101-110, 2015.

[3] Demetrovics J. and Thi V.D., “Some remarks on generating Armstrong and inferring functional dependencies relation”, Acta Cybernetica 12, pp. 167-180, 1995.

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

[4] Nguyen Long Giang, Vu Duc Thi, “Some Problems Concerning Condition Attributes and Reducts in Decision Tables”, Proceeding of the Fifth National Symposium Fundamental and Applied Information Technology Research (FAIR), Bien Hoa, Dong Nai, pp. 142-152, 2011.

[5] Nguyễn Long Giang, Vũ Đức Thi, “Thuật tốn tìm tất cả các rút gọn trong bảng quyết định”, Tạp chí Tin học và Điều khiển học, T.27, S.3, tr. 199-205, 2011.

[6] Pawlak Z., “Rough sets: Theoretical Aspects of Reasoning About Data”, Kluwer Academic Publishers, 1991. [7] Vũ Đức Thi, “Một vấn đề thuật toán liên quan đến tập rút gọn trong bảng quyết định nhất quán”. Kỷ yếu hội nghị

quốc gia về nghiên cứu cơ bản và ứng dụng công nghệ thông tin lần thứ XI, Hà Nội, tr. 150-157, 2018. [8] Vu Duc Thi, “Minimal keys and antikeys”, Acta Cybernetica 7, 4, pp. 361-371, 1986.

[9] Vũ Đức Thi, “Về một vấn đề tương đương liên quan đến tập rút gọn trong bảng quyết định” Kỷ yếu hội nghị nghiên cứu cơ bản và ứng dụng công nghệ thông tin - FAIR 12, Đại học Huế, trang 534- 538, 2019.

ON THE PROBLEM RELATED TO BULLD THE CONSISTENT DECISION TABLES

</div>

VỀ BÀI TOÁN XÂY DỰNG BẢNG QUYẾT ĐỊNH NHẤT QUÁN TRONG LÝ THUYẾT TẬP THÔ

<b>VỀ BÀI TOÁN XÂY DỰNG BẢNG QUYẾT ĐỊNH NHẤT QUÁN TRONG LÝ THUYẾT TẬP THÔ </b>

<i>DS</i>=(<i>U C</i>,∪<i>D V f</i>, ,)

<i>R</i>⊆<i>C</i>

<i>r</i>={<i>h</i>

,...,<i>h</i>

}

<i>R</i>={<i>a</i>

,...,<i>a</i>

}

(∀<i>h h</i>

,

∈<i>r</i>) ( (∀ ∈<i>aA h a</i>) ( )(

=<i>h a</i>

( ))⇒ ∀ ∈(<i>bB h b</i>) ( )(

=<i>h b</i>

( )) )

<i>F</i>

={(<i>A B</i>,): ,<i>A B</i>⊆<i>R A</i>,→<i>B</i>}

<i>P R</i>( )

<i>F</i>=<i>P R</i>( ) ( )×<i>P R</i>

<i>A B C D</i>, , ,⊆<i>R</i>

( ) (1<i>A A</i>,)∈<i>F</i>.

( ) (3<i>A B</i>,)∈<i>F A</i>,⊆<i>C D</i>,⊆ ⇒<i>B</i>(<i>C D</i>,)∈<i>F</i>.

<i>F</i>

( ) ( )1−4

<<i>R F</i>,>

<i>A</i>

={<i>a A</i>:→{ }<i>a</i>∈<i>F</i>

}

<i>A</i>

<i>A</i>→ ∈<i>BF</i>

<i>B</i>⊆<i>A</i>

<i>A</i>

={<i>a A</i>:→{ }<i>a</i>∈<i>F</i>

}

<i>A</i>

<i>s</i>= <<i>R F</i>,>

<i>a</i>∈<i>R</i>



= ⊆{<i>AR A</i>:→{ }<i>a</i>,∃<i>B B</i>:(→{ }<i>a</i>)(<i>B</i>⊂<i>A</i>)}











 =

 

{ }

=

=



<i>DS</i>=(<i>U C</i>,∪{ }<i>d</i>, ,<i>V f</i>)

<i>C</i>={<i>c c</i>

,

,...,<i>c</i>

}



{ }<i>d</i>

<i>PRED C</i>( )

<i>DS</i>=(<i>U C</i>,∪{ }<i>d</i>, ,<i>V f</i>)

<i>C</i>={<i>c c</i>

,

,...,<i>c</i>

}

1.

2.

<i>C</i>={<i>c c</i>

,

,...,<i>c</i>

}

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về