MẶT PHẲNG LOBACHEVSKY

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.24 MB, 48 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN

------

TRẦN THỊ HẰNG

MẶT PHẲNG LOBACHEVSKY

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5 năm 2018

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN

TH.S. ĐOÀN THỊ TUYẾT LÊ

MSCB: 26643

Quảng Nam, tháng 5 năm 2018

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

LỜI CẢM ƠN

Qua quá trình học tập và rèn luyện trong 4 năm tại giảng đường trường đại học Quảng Nam, dưới sự dìu dắt, chỉ bảo tận tình của quý Thầy Cô giáo, bản thân tơi đã tích lũy cho mình rất nhiều kiến thức và kinh nghiệm quý báu về cả chuyên môn lẫn nghiệp vụ sư phạm. Khóa luận này chính là thành quả quan trọng của q trình đó. Khóa luận được hoàn thành dưới sự quan tâm, giúp đỡ nhiệt tình, đầy trách nhiệm của Cơ giáo ThS. Đồn Thị Tuyết Lê. Qua đây, tôi xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc và lịng kính trọng tới Cơ và gửi đến Cô lời cảm ơn chân thành nhất.

Tôi xin gởi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu nhà trường, quý thầy cô giáo đặc biệt là quý thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Quảng Nam và các thầy cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Đại học sư phạm Toán K14STH02 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập và nghiên cứu.

Tôi cũng xin được gởi lời cảm ơn đến tất cả những người thân và bạn bè đã luôn ở bên cạnh, giúp đỡ, cổ vũ tinh thần và động viên tơi trong suốt q trình vừa qua.

Khơng có thành cơng nào mà khơng có sự nổ lực của chính bản thân mình cùng với sự quan tâm, giúp đỡ của những người xung quanh. Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn.

Mặc dù bản thân tôi đã rất cố gắng và nổ lực trong quá trình nghiên cứu luận văn này nhưng với thời gian có hạn, năng lực nghiên cứu lại hạn chế nên không thể nào tránh những thiếu sót. Vì vậy, tơi rất mong nhận được sự nhận xét, những ý kiến đóng góp q báu của q thầy cơ để bài khóa luận được hồn thiện hơn.

Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 Sinh viên thực hiện

Trần Thị Hằng

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp: “Mặt phẳng Lobachevsky” là kết

quả nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả nghiên cứu trong khóa luận là trung thực và chưa từng được công bố trong bất cứ cơng trình nghiên cứu.

Quảng Nam, tháng 5 năm 2018

Sinh viên thực hiện

Trần Thị Hằng

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

MỤC LỤC

Phần 1. MỞ ĐẦU ... 1

1.1. Lý do chọn đề tài ... 1

1.2. Mục tiêu nghiên cứu ... 2

1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ... 2

1.4. Phương pháp nghiên cứu ... 2

1.3.1. Góc ngồi của tam giác ... 5

1.3.2. Trường hợp bằng nhau của tam giác ... 6

1.3.3. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác bất kỳ ... 7

1.3.4. Bất đẳng thức trong tam giác ... 8

1.3.5. Tổng các góc trong một tam giác ... 10

1.3.6. Đồng quy trong tam giác ... 12

1.3.7. Góc khuyết trong tam giác ... 15

Chương 2. MẶT PHẲNG LOBACHEVSKY ... 22

2.1. Tam giác trong mặt phẳng Lobachevsky ... 23

2.1.1. Tổng các góc trong một tam giác ... 23

2.1.2. Tam giác đồng dạng ... 24

2.2. Tứ giác Saccherri ... 25

2.3. Đường thẳng song song trong mặt phẳng Lobachevsky ... 27

2.4. Tam giác tiệm cận ... 36

2.5. Đường tròn ngoại tiếp của một tam giác trong phẳng Lobachevsky ... 37

Phần 3. KẾT LUẬN ... 41

Phần 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO ... 42

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

Phần 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài

Hình học được ra đời như một khoa học thực nghiệm về đo đạc ruộng đất, độ dài các đường, đo diện tích các mảnh đất, đo thể tích các thùng chứa… Tất cả những cơng trình xuất hiện vào thời kỳ này (từ thế kỷ thứ VI đến thế kỷ thứ III TCN) được tổng kết lại một cách đầy đủ trong một tác phẩm bất hủ của Euclid có tên là “Cơ bản”. Về phương pháp, chúng ta thấy Euclid đã cố gắng xây dựng mơn hình học bằng cách thức mà ngày nay chúng ta gọi là phương pháp tiên đề. Sau các định nghĩa, Euclid đã trình bày các định đề và tiên đề là những mệnh đề mà sự đúng đắn của nó được thừa nhận, khơng chứng minh.

Định đề 5 của Euclid đóng vai trị đặc biệt trong lịch sử phát triển hình học nói riêng và tốn học nói chung. Khi nghiên cứu tập “Cơ bản”, các nhà khoa học đều băn khoăn: Định đề 5 có thật là một định đề hay khơng? Hay nó có thể được chứng minh như là một định lý? Có vẻ như chính Euclid cũng băn khoăn như vậy, bởi vì ơng đã cố trì hỗn việc áp dụng định lý đó vào việc chứng minh các định lý. Mãi cho đến định lý thứ 29, khi không thể dừng được, ông mới sử dụng nó vào chứng minh.

Thế là các nhà toán học đã cố gắng tìm cách chứng minh định đề 5. Hầu hết các nhà khoa học đều thất bại. Cuối cùng vào ngày 6/2/1826 vấn đề đã được giải quyết bởi nhà toán học người Nga Lobachevsky khi ơng trình bày nghiên cứu của mình tại khoa Tốn Lí trường đại học Kazan (Nga). Lobachevsky đã chứng minh rằng không thể chứng minh được định đề 5. Định đề 5 đúng là một định đề chứ không phải là một định lý. Ông đã giữ nguyên các định đề các định đề của Euclid và thay định đề 5 bằng một định đề phủ định và dựa vào đó chứng minh các định lý của hệ thống hình học mới.

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Ngày nay, chúng ta gọi hình học mà Lobachevsky xây dựng là hình học phi Euclid hay là hình học Lobachevsky. Mặt phẳng Lobachevsky là một phần của hình học Lobachevsky. Vì vậy, để tìm hiểu kỹ hơn và sâu hơn về

vấn đề này, tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: “Mặt phẳng

Lobachevsky”.

1.2. Mục tiêu nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu nhằm giúp cho người đọc nắm được những kiến thức cơ bản về hình học Lobachevsky.Từ đó, đi sâu vào nghiên cứu một số điểm đặc trưng của hình học Lobachevsky.

1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Hình học Lobachevsky. Phạm vi nghiên cứu: Mặt phẳng Lobachevsky.

1.4. Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp các kiến thức. - Trao đổi, thảo luận với chuyên gia.

1.5. Đóng góp của đề tài

Khóa luận sau khi hồn thành có thể là tài liệu tham khảo cho các sinh

viên khác nếu họ muốn nghiên cứu về chuyên đề này khi học hình học vi phân.

1.6. Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo thì nội dung của luận văn gồm có 2 chương:

Chương 1: Hình học Trung hịa. Chương 2: Hình học Lobachevsky.

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Phần 2. NỘI DUNG

Chương 1. HÌNH HỌC TRUNG HỊA

Hình học Trung hịa là hình học được bắt nguồn từ bốn định đề đầu tiên của Euclid. Vì chính Euclid đã không sử dụng định đề 5 để chứng minh 28 định lý đầu tiên trong tập “Cơ bản” nên những định lý này có thể được xem như là nền tảng của hình học Trung hịa. Chúng ta sẽ thấy rằng hình học Euclid và hình học Lobachevsky đều chứa được hình học Trung hịa, tức là các định lý của hình học Trung hòa đều đúng trong cả hai loại hình học trên. Ở đây, chúng ta chỉ nghiên cứu hình học Trung hòa ở mức độ đủ để cung cấp nền tảng cho hình học Lobachevsky.

1.1. Các khái niệm

Hình học Trung hịa được hình thành dựa trên 4 định đề:

1. Từ một điểm bất kỳ này đến điểm bất kỳ khác ta có thể vẽ được một đường thẳng.

2. Một đường thẳng có thể kéo dài mãi về cả hai phía.

3. Với một điểm bất kỳ làm tâm và với bán kính tùy ý, có thể vẽ được một đường tròn.

4. Tất cả các góc vng đều bằng nhau.

Vì vậy, trong hình học Trung hịa, các khái niệm về điểm, đường thẳng, góc, tam giác, hai tam giác bằng nhau, tam giác đều, tam giác cân….được định nghĩa như trong hình học Euclid.

1.2. Hai đường thẳng song song

Hình học Trung hòa là bắt nguồn từ 4 định đề đầu tiên của Euclid, đúng cả trong hình học Euclid và hình học Lobachevsky nên hai đường thẳng song song trong hình học Trung hịa cũng giống như trong hình học Euclid.

Định lý 1.2.1.

Nếu hai đường thẳng bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba sao cho cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song.

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Chứng minh:

Giả sử hai đường thẳng m và l phân biệt bị cắt bởi đường thẳng t tương ứng tại các điểm Avà B sao cho cặp góc so le trong bằng nhau giống hình vẽ

Gọi C là giao điểm của l và m, '

C là một điểm trên l sao cho B nằm giữa

ACBC , vì vậy '

ABCBAC điều này có nghĩa là '

BAC và BAC bù nhau. Do đó, '

CAC là góc bẹt và '

C nằm trên đường thẳng m.

Như vậy, đường thẳng m và l giao nhau tại hai điểm phân biệt (C và '

C ), điều này mâu thuẫn với tiên đề “Bất kỳ hai điểm phân biệt nào cũng thuộc một và chỉ một đường thẳng” nên m và l phải song song với nhau.

Vậy, nếu hai đường thẳng bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba sao cho một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau. Định lý này có hai hệ quả

D

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Giả sử rằng ACBCBD. Khi đó tồn tại tia CE nằm giữa tia CA và tia

CB sao cho các góc BCE và CBD bằng nhau.

D

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Ta có: CB cắt CE và BD tại hai điểm phân biệt mà lại có

BCECBD do đó CE và BD song song với nhau (theo định lý 1.2.1). Lại có: Tia CE nằm giữa tia CA và tia CB nên nó phải cắt đoạn AB

mà điều này mâu thuẫn với điều ta vừa chứng minh. Như vậy, DBCBCA.

Đối với góc ABC ta làm tương tự.

Như vậy, góc ngồi của một tam giác bất kỳ lớn hơn góc trong khơng kề với nó.

Đặc biệt, định lý này là chìa khóa để chứng minh trường hợp bằng nhau “góc - cạnh - góc” của hai tam giác.

1.3.2. Trường hợp bằng nhau của tam giác

Ta đã biết rằng hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau. Đối với hai tam giác bằng nhau thì có ba trường hợp, đó là: cạnh - cạnh - cạnh, cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh - góc.

Trường hợp cạnh - góc - cạnh, ta thừa nhận không chứng minh dựa theo hệ thống tiên đề của Euclid, ta chỉ chứng minh cho trường hợp góc - cạnh - góc.

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

A DB  ACB AC B ( điều này mâu thuẫn với định lý 1.3.1.1: Góc ngồi của một tam giác bất kỳ lớn hơn không kề với nó).

BAC B AC thì hai tam giác này bằng nhau.

1.3.3. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác bất kỳ

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Giả sử rằng ABC là góc lớn nhất và AB là cạnh lớn nhất của tam giác. Khi đó, tồn tại duy nhất một điểm D trên cạnh AB sao cho AD AC. Suy ra ACD cân tại A và ACDADC.

Lại có, theo định lý 1.3.1.1, ADCABC hay ACD ABC, mà

ACB ACDDCB suy ra ACBABC.

Hay ACB là góc lớn nhất và nằm đối diện với cạnh AB là cạnh lớn nhất của ABC.

Theo đó ta đã chứng minh được là nếu trong một tam giác bất kỳ thì góc lớn nhất nằm đối diện với cạnh lớn nhất.

1.3.4. Bất đẳng thức trong tam giác

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Từ (1) và (2) ta có BCDBDC suy ra BDBC (theo định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện).

Mà BDBAAD hay BDBAAC (do AD AC). Từ đó ta có BC ABAC (đpcm).

Như vậy, trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.

1.3.5. Tổng các góc trong một tam giác

D

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Các định lý trên trong hình học Trung hịa giống với các định lý, tính chất mà ta đã biết trong hình học Euclid. Sau đây, ta thấy một điểm khác giữa hình học Trung hịa và hình học Euclid: nếu trong hình học Euclid, tổng các góc trong một tam giác bằng 0

180 thì trong hình học Trung hịa, ta có kết quả sau

Định lý 1.3.5.2.

Tổng các góc trong một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng 0

180 .

Chứng minh:

Cho ABC, gọi D là trung điểm của BC, lấy E nằm trên AD sao cho

D là trung điểm của AE.

Ta có: ABD ECD và hai tam giác ABC và AEC có tổng số đo các góc bằng nhau.

Vì BAC BADEAC mà BAD AEC ( do ABD ECD) nên

BAC AECEAC. Như vậy, hoặc AEC hoặc EAC phải nhỏ hơn 1

2BAC. Giả sử tổng số đo các góc trong ABC lớn hơn 0

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Theo như cách dựng hình ở trên, ta có thể dựng được một tam giác với tổng số đo các góc bằng tổng số đo các góc trong ABC và một góc nhỏ hơn 1

2BAC.

Tiếp tục thực hiện cách dựng hình như trên, ta có thể dựng được một tam giác có tổng số đo các góc bằng tổng số đo các góc trong ABC và có một góc nhỏ tùy ý, nhỏ hơn p. Theo định lý 1.3.4.1 thì tổng số đo của các góc trong ABC nhỏ hơn 0

180 p. Điều này mâu thuẫn với giả sử nên tổng số đo của các góc trong một tam giác phải nhỏ hơn hoặc bằng 0

180 . Vậy tổng các góc trong một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng 0

180 .

Nhận xét.

Ở định lý này có 2 hệ quả ta chấp nhận mà không cần chứng minh

1. Tổng số đo hai góc của một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng số đo của

góc ngồi khơng kề với chúng.

2. Tổng các góc trong một tứ giác có số đo nhỏ hơn hoặc bằng 0

360 . Như đã nói ở trên thì trong hình học Euclid, tổng các góc trong một tam giác có số đo bằng 0

180 và để chứng minh được tính chất này ta phải sử dụng tiên đề Euclid về đường thẳng song song.

1.3.6. Đồng quy trong tam giác

Đồng quy được định nghĩa là cùng gặp nhau tại một điểm. Từ đó ta có các định lý

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

 (do định lý đường trung trực của một đoạn thẳng: điểm

nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó).

Từ đó ta được OBOC.

Hay O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra ba đường trung trực của tam giác ABC cùng đi qua một điểm là điểm O và điểm O chính là tâm đường trịn ngoại tiếp của ABC.

Như vậy ta đã chứng minh được rằng ba đường trung trực của một tam giác cắt nhau tại một điểm (đồng quy tại một điểm) và điểm này là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

B

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Vì I thuộc BE nên ILIH. I thuộc CF nên IK IH.

Khi đó ta có ILIK hay I thuộc đường phân giác của góc A.

Suy ra ba đường phân giác của ABC đồng quy tại điểm I và I chính là tâm đường trịn nội tiếp của ABC.

KL

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Vậy, ba đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại một điểm (đồng quy tại một điểm) và điểm đó là tâm của đường tròn nội tiếp của tam giác.

1.3.7. Góc khuyết trong tam giác

Định nghĩa 1.3.7.1.

Góc khuyết của một tam giác bằng 0

180 trừ đi tổng số đo các góc trong tam giác đó.

Trong hình học Euclid, góc khuyết của mọi tam giác bằng 0. Ở đây, ta có hai tính chất của góc khuyết

Tính chất 1.3.7.1.

1. Trong tam giác ABC, với một điểm D bất kỳ trên cạnh AB, góc khuyết của tam giác ABC bằng tổng các góc khuyết của tam giác ACD và tam giác BCD.

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

180 .

2. Nếu tồn tại một tam giác có tổng các góc là 0

180 thì mọi tam giác có tổng các góc là 0

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

AB

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

khi đó tồn tại duy nhất một điểm F trên tia CE sao cho CF AD. Ta có

Vì góc khuyết của FEG bằng 0

0 nên góc khuyết của FKH bằng 0

0 . Ta suy ra tổng số đo các góc của FKHlà 0

180 . Như vậy, theo tính

chất 1, ta có tổng số đo các góc trong mọi tam giác đều bằng 0

180 .

FC

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

Tổng các góc trong tam giác cho thấy sự khác nhau rõ rệt của hai loại hình học: Euclid và Lobachevsky, đó là trong hình học Euclid thì góc khuyết của một tam giác bằng 0còn trong hình học Lobachevsky thì góc khuyết ln dương.

Trong phần 1.3.4, tổng các góc trong một tam giác đã nêu ra và chứng minh được rằng tổng các góc trong một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng 0

180 , đó là trong hình học Trung hịa cịn trong hình học Euclid thì tổng các góc trong một tam giác có số đo bằng 0

180 và để chứng minh được tính chất này ta phải sử dụng tiên đề Euclid về đường thẳng song song.

Bây giờ ta sẽ chứng minh định đề 5 của Euclid sẽ tương đương với tiên đề Euclid về đường song song.

Định đề 5:

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo thành hai góc trong cùng phía có tổng bé hơn hai vng thì hai đường thẳng đó cắt nhau về phía có hai góc đó.

Tiên đề Euclid về đường song song:

Trong mặt phẳng cho đường thẳng a và điểm A không thuộc đường thẳng a thì trong mặt phẳng đó có khơng q một đường thẳng b đi qua A

và khơng có điểm chung với a (đường thẳng b như thế gọi là song song với đường thẳng a).

</div>