dạy học chủ đề thống kê và xác suất trong chương trình toán 9 igcse cambridge theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (7.93 MB, 137 trang )

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>ĐẠI HỌC QUOC GIA HA NỌI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC</b>

<b>NGUYỄN THÁI HIẾN</b>

<b>DẠY HỌC CHỦ ĐÈ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT TRONG </b>

<b>CHNG TRÌNH TỐN 9 IGCSE CAMBRIDGE THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG Lực MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC</b>

<b>CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯONG PHÁP DẠY HỌC Bộ MƠN TỐN </b>

<b>Ngưịi hướng dân khoa học: GS.TS. Lê Anh Vinh</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Lời đâu tiên, Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn tới GS.TS Lê Anh Vinh, người không ngừng lan tỏa tinh thần nhiệt huyết và hồ trợ tận tình, giúp tơi vượt qua những thách thức khó khăn, từng bước một, để hoàn thành bài luận văn này. Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn đặc biệt đến các thầy cô tại Trường Đại học Giáo dục, những người khơng chỉ truyền đạt kiến thức mà cịn truyền đạt đam mê và tình yêu thương trong giảng dạy. Sự tận tâm của các thầy cô đã là nguồn động viên khơng ngừng, giúp tơi vượt qua những khó khăn và phát triến bản thân trong quá trình học tập.

Tôi muốn gửi lời cám ơn sâu sắc tới trường TH School vì sự hỗ trợ và điều kiện thuận lợi mà nhà trường đã tạo ra để tơi có thể thực hiện các bài dạy thực nghiệm và cũng như các cuộc khảo sát cần thiết cho luận văn.

Tôi muốn gửi lời cảm ơn đặc biệt đến vợ tôi và gia đình mình. Họ ln là nguồn động viên vững chắc, là nguồn đầy năng lượng tích cực, giúp tơi duy trì tinh thần lạc quan và tập trung hồn thành khóa học thạc sĩ tốt nhất có thể của

Xin chân thành cảm ơn!

<i>Hà Nội, ngày ... thảng ... năm 2023</i>

Tác gia

<b>Nguyễn Thái Hiến</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

CNTT Công nghệ thông tinGDPT Giáo dục phổ thông

HS Học sinh <sub>•</sub>

IGCSE International General Certificate of Secondary EducationMHH Mơ hình hóa

MHHTH MƠ hình hóa Tốn học

NL MHHTH Năng lực Mơ hình hóa Tốn học

THCS Trung học cơ sở

THPT Trung học phổ thôngTK-XS Thống kê & Xác suất

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Bảng 1.1: Mục tiêu học tập trong chưong trình IMYC

Bảng 1.2 Mục tiêu cần đạt khi học chù đề Thống kê, chương trình Tốn 9IGCSE

Bảng 1.3 Mục tiêu cần đạt khi học chủ đề Xác suất, chương trình Tốn 9 IGCSEBảng 2.1 Thống kê tỉ lệ phiếu điều tra

Bảng 4.1 Bảng mô tả điểm trước khi tiến hành thực nghiệm

Bảng 4.2. Bảng phân phối tần số điểm của lớp thực nghiệm và đối chứngBảng 4.3. Bàng mô tả điểm sau khi tiến hành thực nghiệm

Bảng 4.4. Kết quả phân tích ANOVA

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Sơ đồ 1.1: Sơ đồ đơn giản biểu diễn MHHSơ đồ 1.2: Quy trình MHH

Sơ đồ 1.3: Bổn bước trong MHH

Sơ đồ 1.4: Sơ đồ MHH bảy bước của Blum & LeiBSơ đồ 1.5: Quá trình MHHTH

Sơ đồ 1.6: Quá trình hoạt động thống kê

Sơ đồ 1.7: Các bước dạy học mơ hình hóa Tốn học

Biểu đồ 4.1 : Biểu đồ so sánh điểm khảo sát trước khi tiến hành thực nghiệmBiểu đồ 4.2 : Biểu đồ so sánh điểm khảo sát sau khi tiến hành thực nghiệm

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

4.1 Khách thể nghiên cứu... 3

4.2 Đối tượng nghiên cứu... 3

5. Phạm vi nghiên cúư... 3

6. Câu hòi nghiên cứu... 3

7. Giả thuyết khoa học... 4

8. Phương pháp nghiên cứu... 4

8.1 Các phương pháp nghiên cứu lý thuyết... 4

8.2 Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn... 4

8.3 Các phương pháp xử lý thông tin... 4

9. Cấu trúc của luận văn... 4

<b>CHƯƠNG 1: Cơ SỞ LÝ LUẬN VÈ DẠY HỌC THEO HƯỚNG PHÁT TRIẺN NĂNG Lực MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC TRONG CHỦ ĐỀTHỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT...5</b>

1.1 Một số khái niệm...5

1.1.1 Năng lực... 5

1.1.2 Mơ hình... 6

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

1.1.3 Mơ hình tốn học... 7

1.1.4 Mơ hình hóa tốn học...8

1.2 Quy trình của mơ hình hóa tốn học...8

1.3 Năng lực mơ hình hóa tốn học...12

1.4 Mơ hình hóa tốn học trong TK - xs...13

1.4.1 Mơ hình hóa tốn học trong Xác suất... 13

1.4.2 Các hoạt động trong Thống kê... 16

1.5 Dạy học bằng mơ hình hóa tốn học...17

1.5.1 Mục đích của dạy học mơ hình hóa tốn học...17

1.5.2 Các bước dạy học mơ hình hóa tốn học...18

1.5.3 Yêu cầu trong dạy học MHHTH... 20

1.5.3.1 Yêu cầu đối với người dạy trong dạy học MHHTH...20

1.5.3.2 Yêu cầu đối với người học trong dạy học MHHTH...21

1.6 Nội dung toán học về thống kê và xác suất trong chương trình tốn IGCSE và kiến thức ẩn tàng ở các cấp học trước... 22

1.6.1 Mạch kiến thức ẩn tàng ở tiểu học... 23

1.6.2 Mạch kiến thức về Thống kê và Xác suất ớ chương trình bậc THCS.... 24

1.7 Một số các bài toán thường gặp khi học chủ đề TK - xs trong chương trình IGCSE... 29

1.7.1 Các bài toán về chủ đề thống kê trong chương trình 1GCSE...29

1.7.2 Các bài tốn về chủ đề xác suất trong chương trình IGCSE...31

1.7.3 Các bài tốn có sự kết hợp giữa chủ đề thống kê và xác suất trong chươngtrình IGCSE... 32

TIÊU KẾT CHƯƠNG 1...34

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

<b>CHƯƠNG 2. THỰC TRẠNG VÈ DẠY HỌC CHỦ ĐÈ TK - xs TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN 9 IGCSE CAMBRIDGE THEO HƯỚNG PHÁT </b>

<b>TRIỂN MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC... 35</b>

2.1 Mục tiêu khảo sát... 35

2.2 Phương pháp khảo sát...35

2.3 Đối tượng khảo sát...35

2.4 Nội dung khảo sát...35

2.5 Kết quả khảo sát... 36

2.5.1 Kết quả khảo sát dành cho GV...36

2.5.2 Kết quả khảo sát dành cho HS...40

2.5.3 Phân tích kết quả khảo sát... 42

TIỂU KẾT CHƯƠNG II...45

<b>CHƯƠNG 3 : BIỆN PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐÈ THỐNG KÊ VÀ XÁC <sub>• • •</sub>SUẤT THEO CHƯƠNG TRÌNH TOÁN IGCSE CAMBRIDGE LỚP 9 THEO HƯỚNG PHÁT TRIÉN NĂNG Lực MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC... 46</b>

3.1 Định hướng xây dựng các biện pháp DH MHHTH trong dạy học Xác suất vàThống kê cho học sinh lớp 9 IGCSE Cambridge... 46

3.2 Biện pháp 1: Sử dụng các ví dụ và bài tập chứa tình huống thực tế để rèn luyện các kỹ năng mơ hình hóa Tốn học cho học sinh...47

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

TIỀU KẾT CHƯƠNG III...67

<b>CHƯƠNG 4. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM... 68</b>

4.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm... 68

4.2 Đối tượng thực nghiệm...68

4.3 Nội dung và thời gian thực nghiệm... 68

4.4 Tổ chức thực nghiệm...69

4.5 Kết quả thực nghiệm...70

4.5.1 Phân tích kết quả bài kiểm tra trước thực nghiệm...70

4.5.2 Phân tích kết quả bài kiểm tra sau thực nghiệm...72

4.5.2.1 Phân tích định lượng kết quả... 72

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Theo như chương trình Giáo dục phồ thơng mơn Tốn được ban hành kèm trong thơng tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo, nội dung môn Tốn thường mang tính logic, trừu tượng, khái qt. Do đó, để hiểu và học được Tốn, chưoug trình Tốn ở trường phổ thông cần bảo đảm sự cân đối giữa “học” kiến thức và “vận dụng” kiến thức vào giải quyết vấn đề cụ thể. Bên cạnh đó, Tốn là môn học bắt buộc từ lớp 1 đến lớp

12. Nội dung giáo dục toán học được phân chia theo hai giai đoạn:

thống những khái niệm, ngun lí, quy tắc tốn học cần thiết nhất cho tất cả mọi người, làm nền tảng cho việc học tập ờ các trình độ học tập tiếp theo hoặc có thể

sử dụng trong cuộc sống hằng ngày.

<i>Giai đoạn giáo dục định hướng nghề nghiệp: Mơn Tốn giúp HS có cái nhìn </i>

tương đối tổng qt về tốn học, hiểu được vai trị và những ứng dụng của toán học trong thực tiễn, những ngành nghề có liên quan đến tốn học để HS có cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như có khả năng tự mình tìm hiểu những vấn đề có liên quan đến toán học trong suốt cuộc đời. Bên cạnh nội dung giáo dục cốt lõi, trong mồi năm học, HS (đặc biệt là những HS có định hướng khoa học tự nhiên và công nghệ) được chọn học một số chuyên đề học tập. Các chuyên đề này nhằm tăng cường kiến thức về toán học, kĩ năng vận dụng kiến thức toán vào thực tiền, đáp ứng sở thích, nhu cầu và định hướng nghề nghiệp của HS.

Do vậy, một trong các mục tiêu của giáo dục phổ thơng đặt ra đó là phát triến và nâng cao các kĩ nãng vận dụng kiến thức vào các tình huống học tập, nghiên cứu,

vào thực tiễn đời sống.

Thống kê và Xác suất là một nội dung Toán học được đưa vào chương trình học của giáo dục phổ thông Việt Nam. Hiện nay, các kiến thức thuộc về nội dung này đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực và các ngành khoa học khác nhau. Các tri thức về thống kê đã được ứng dụng một cách rộng rãi.

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Chương trình IGCSE của Cambridge là một chương trình nổi tiếng trên thế giới. So sánh với chương trình GDPT 2018 của Việt Nam, chương trình Tốn trong IGCSE của Cambridge có nhiều điểm tương đồng về mạch kiến thức nói chung và về phần TK - xs nói riêng như: thu thập và tồ chức dữ liệu, phân tích và xử lý dữ liệu, tính xác suất của biến cố.

Tuy nhiên trong phần TK - xs, đối với HS cùng cấp độ (lớp 9), Chương trình Tốn IGCSE có kiến thức nhiều và rộng hơn. Các kiến thức về TK-SX có tính ứng dụng triệt để trong các môn học khác và thực hành trong đời sống, giúp HS sau khi học xong chương trình có thế hiếu và áp dụng được các khái niệm cơ bản, có nền tảng vững chắc từ đó nâng cao khả năng thành cơng trong trên con đường học tập của mình hoặc thậm chí ngay cả khi HS đó chọn đi học nghề thay vì tiếp tục chương trình bậc THPT. Bên cạnh đó, theo Jonas and Thomas (tr. Xii) mơ hình hóa là một trong bảy kĩ năng mà học sinh tại Sweden và một số nước phát triển cần phải luyện tập và phát triến trong khi học toán. Do vậy, tác giả tin rằng phương pháp mơ hình hóa sẽ là một trong những phương pháp quan trọng cần phải sử dụng thường xun trong Tốn học.

Qua tìm hiếu, tác giả thấy có rất nhiều đề tài nghiên cứu về dạy học XS-TK cũng như dạy học phát triển năng lực Mơ hình hóa Tốn học, chẳng hạn như luận văn Thạc sĩ về “Dạy học Toán bằng tiếng Anh qua chủ đề Thống kê theo chương trình Cambridge cho HS bậc THCS” của Phạm Thị La - Đại học Quốc gia Hà Nội (2020), Luận án tiến sĩ “Dạy học mơ hình hóa tốn học trong mơn Xác suất và thống kê cho sinh viên ngành Kinh tế-Quẳn trị kinh doanh” của Đồng Thị Hồng Ngọc (2022) - Đại học Thái Nguyên , tạp chí khoa học - số 42/2020 “Phát triển Năng lực MHHTH trong dạy học đại số lớp 7 chủ đề Đại lượng tỉ lệ thuận” của

Hoàng Phương Quỳnh Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội và một số nguồn tài liệu trên thư viện ĐH Quốc gia Hà Nội, nhưng chưa có đề tài nào trùng với đề tài nghiên cứu mà tác giả dự kiến, đó là “ Dạy học chủ đề Thống kê và Xác suất trong chương trình 1GCSE Cambridge theo định hướng phát triển năng lực MHHTH”. Chính vì vậy, tác giả chọn đề tài nghiên cứu này nhằm đề

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

xuất một số biện pháp phát triển NL MHH cho HS thông qua dạy học chủ đề “Thống kê và Xác suất” sử dụng chương trình IGCSE cùa Cambridge.

<b>2. Mục đích nghiên cứu</b>

Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực trạng để vận dụng vào dạy học chủ đề TK - xs trong chương trình Tốn 9 Cambridge nhằm nâng cao chất lượng dạy học theo hướng phát triển năng lực mơ hình hố Toán học của HS.

<b>3. Nhiệm vụ nghiên cứu</b>

- Nghiên cứu các lý thuyết và các phương pháp dạy học tích cực định hướng phát triển năng lực; các năng lực chung và chun biệt trong mơn Tốn cần phát triển cho HS trung học cơ sở, đặc biệt là năng lực mơ hình hố.

- Nghiên cứu nội dung chương trình Tốn 9 của Việt Nam và quốc tế nói chung và chủ đề TK - xs nói riêng theo chương trình Phổ thơng 2018 và chương trình Cambridge.

<b>4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu</b>

<i><b>4.1 Khách thể nghiên cứu</b></i>

Dạy học theo định hướng phát triển năng lực của HS.

<i><b>4.2 Đối tượng nghiên cứu</b></i>

Phương pháp, kĩ thuật dạy học nhằm phát triển năng lực mơ hình hố tốn học của HS.

<b>5. Phạm vi nghiên cứu</b>

- Chủ đề TK - xs trong chương trinh Toán học 9 Cambridge.

- Thực nghiệm sư phạm tại trường Liên cap TH School, Hà Nội.

<b>6. Câu hỏi nghiên cứu</b>

Câu hởi 1: Năng lực mơ hình hố Tốn học là gì? Dạy học phát triển năng lực mơ hình hố Tốn học như thế nào?

Câu hởi 2: Chủ đề TK - xs trong chương trình Tốn 9 Cambridge có phù hợp để phát triển năng lực mơ hình hóa Tốn học khơng?

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Câu hởi 3: Những phương pháp, kĩ thuật dạy học nào phù hợp với dạy học chủ đê TK - xs trong chương trình Tốn học 9 Cambridge đề phát triền năng lực mơ hình hố Tốn học của HS.

<b>7. Giả thuyết khoa học</b>

Dựa trên cơ sở mục tiêu và nhiệm vụ của chù đề TK - xs trong chương trình Tốn 9 Cambridge, Nếu dạy học chủ đề TK - xs bằng các biện pháp theo hướng phát triển năng lực mơ hình hố Tốn học thì sẽ giúp HS liên kết được khả năng vận dụng Toán học vào thực tế và ngược lại, giúp HS có thế vận dụng tối đa kiến thức Toán vào giải quyết các vấn đề trong cuộc sống.

<b>8. Phương pháp nghiên cứu</b>

<b>8.1 Các phương pháp nghiên cứu lý thuyết</b>

Thu thập thơng tin từ các tài liệu có liên quan đến vấn đề nghiên cứu. Sau đó, phân tích, tống hợp, phân loại, hệ thống hoá, khái quát hoá... trong nghiên cứu tổng quan các tài liệu đó.

<b>8.2 Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn</b>

Thu thập Số liệu thực tế liên quan đến vấn đề nghiên cứu. Sau đó, phân tích, tổng họp, phân loại, hệ thống hóa, khái quát hóa... trong nghiên cứu tổng quan các tài liệu đó.

<b>8.3 Các phương pháp xử lý thông tin</b>

Sừ dụng các phương pháp thống kê toán học sau khi thực nghiệm sư phạm để phân tích kết quả, từ đó khang định tính khả thi và hiệu quá của các biện pháp.

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm 4 chương:

Chương 1. Cơ sở lý luận về dạy học theo hướng phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học trong chủ đề thong kê và xác suất

Chương 2. Cơ sở thực tiễn và thực trạng về dạy học chủ đề TK - xs trong chương trình tốn 9 IGCSE Cambridge theo hướng phát triển mơ hình hóa tốn học

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Chương 3: Biện pháp dạy học chủ đê thơng kê và xác st theo chương trình tốn IGCSE Cambridge lớp 9 theo hướng phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học

Chương 4. Thực nghiệm sư phạm

<b>CHƯƠNG 1: Cơ SỞ LÝ LUẬN VỀ DẠY HỌC THEO HƯỚNG PHÁT TRIÉN NÀNG Lực MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC TRONG CHỦ ĐÈ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT</b>

<b>Năng lực (competency) có nguồn gốc tiếng La tinh “competentia”. Theo từ điển </b>

Cambridge, “Năng lực” được sử dụng với nghĩa miêu tả một kĩ năng quan trọng để hồn thành một cơng việc, nhiệm vụ. Nhìn chung, khái niệm năng lực được

hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau.

Theo Nach Klieme (2003): “Năng lực thể hiện qua khả năng thực hiện thành công các nhiệm vụ, giải quyết các vấn đề, hay các tình huống này sinh, trên cơ sở

vận dụng các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính tâm lí khác như động cơ, ý chí, quan niệm giá trị, suy nghĩ thấu đáo và sự sẵn sàng hành động.

Trong tiếng Việt, theo Vũ Xuân Thái (1999), Năng lực là một từ Hán-Việt, trong đó “Năng là làm nối việc, lực là sức mạnh; Năng lực là sức mạnh làm nối việc nào đó”. Nhìn chung, năng lực chỉ khả năng của con người có thể thực hiện một

số việc nào đó.

Như vậy, tuy rằng khó có thể thống nhất định nghĩa chung về năng lực, các nhà nghiên cứu tại Việt Nam và thế giới, nhưng cũng có những điểm tương đồng trong định nghĩa năng lực: năng lực là tổng hợp các tri thức, kĩ năng của con người nhằm thực hiện có hiệu quả một cơng việc nhất định.

Trong luận văn này, tác giả sử dụng khái niệm năng lực dựa trên Chương trình giáo dục phổ thơng tống thể 2018: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

như hứng thú, niêm tin, ý chí, ... thực hiện thành công một loại hoạt động nhât định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.”

Theo từ điển Việt, mơ hình khơng chỉ là một khái niệm giới hạn vào việc mô tả hình dạng của vật thề một cách thu nhỏ. Nó mở rộng ra nhiều lĩnh vực khác nhau, từ mô hình máy bay đến mơ hình triển lãm nhà, đều là những biếu hiện của sự

sáng tạo và nghiên cứu, mô phỏng cấu tạo và hoạt động của đối tượng một cách chi tiết.

Ngôn ngữ cũng không giữ lại mơ hình chỉ trong phạm vi hình ảnh vật thế. Trong ngơn ngữ, mơ hình trở thành một khái niệm trừu tượng, biểu tượng hóa tiêu chuẩn hay mẫu mực của một hệ thống ngôn ngữ, từ hệ thống âm vị đến ngừ pháp. Trên lĩnh vực khoa học dừ liệu và trí tuệ nhân tạo, mơ hình khơng chỉ là sản phẩm của sự sáng tạo, mà còn là kết quả của việc xử lý dữ liệu thông qua các kỷ thuật học máy và học sâu. Nó giúp chúng ta khám phá ra các quy luật, mối quan hệ giữa các đặc trưng của dữ liệu đầu vào và đầu ra, mở ra những cánh cửa mới trong lĩnh vực này.

Bên cạnh đó, quan điếm của Gilbert và đồng nghiệp (2000) mở rộng thêm sự đa chiều của mơ hình. Họ xem xét mơ hình như một bản đồ phức tạp hoặc biểu diễn đơn giản hóa của một đối tượng, có thể xuất phát từ trí tưởng tượng và hình dung ý tưởng. Điều này làm nổi bật khía cạnh sáng tạo của mơ hình, biểu hiện bên ngoài của cấu trúc tồn tại ngoài đời thực, và thậm chí cả tình huống thực tế bên trong tâm trí con người.

Nhìn chung, mơ hình khơng chỉ là một khái niệm mơ tả đơn thuần về hình dạng hay cấu trúc, mà cịn là cơng cụ mạnh mẽ của sự sáng tạo và hiếu biết. Từ các mô hình đơn giản trong cuộc sống hàng ngày đến những khái niệm trim tượng trong ngôn ngữ và sức mạnh của nó trong lĩnh vực khoa học dữ liệu, mơ hình là một phần quan trọng của quá trình nghiên cứu và sáng tạo. Như vậy, việc hiểu rõ về mơ hình khơng chỉ giúp chúng ta mở rộng kiến thức, mà còn mở ra những cánh cửa mới của tri thức và sự sáng tạo.

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Theo Kai Velten (2009), mơ hình tốn học có thể được mơ tả bởi một bộ ba (S,Q,M), trong đó:

s (System) đại diện cho một hệ thống;

Q (Question) một câu hỏi liên quan đến hệ thống S;

M (Set of mathematical statement) là một tập họp các câu lệnh tốn học có thế được sử dụng để trả lời câu hỏi.

Kí hiệu bộ ba (S,Q,M) nhấn mạnh về thứ tự thời gian mà các phần của mơ hình hóa tốn học thường xuất hiện. Thơng thường, ta có một hệ thống được đưa ra trước tiên, sau đó có một câu hởi liên quan đến hệ thống đó, và sau đó một mơ hình tốn học được phát triền. Mồi thành phần trong bộ ba (S, Q, M) đều là một phần khơng thể thiết của tồn bộ. M hiển nhiên là rất quan trọng. Nếu khơng có S,

ta sẽ không đưa ra được câu hỏi Q. Nếu khơng có câu hởi Q thì sẽ khơng có gì để làm ra một mơ hình tốn học.

Theo N.D. Nam (2016) mở rộng định nghĩa về mơ hình tốn học, tập trung vào khái niệm mơ hình Tốn học - mơ hình hóa tốn học. Đối với ơng, mơ hình Tốn học khơng chỉ là một biếu diễn trừu tượng, mà là một cấu trúc toán học đặc biệt, bao gồm ký hiệu, mối quan hệ toán học và mơ tà chi tiết về các thuộc tính của đối tượng nghiên cứu. Mơ hình tốn học được xây dựng dựa trên quy tắc toán học, tạo nên một cơ sở vững chắc cho việc nghiên cứu và mô tả các hiện tượng phức tạp.

Tóm lại, mơ hình tốn học không chỉ là một khái niệm trừu tượng, mà là một cơng cụ hữu ích trong việc hiếu và phân tích các hệ thống phức tạp. Định nghĩa của Kai Velten và N.D. Nam làm nối bật tính đa chiều và đa dạng của mơ hình tốn học, từ sự tương tác thời gian đến cấu trúc toán học chi tiết. Sự hiểu biết sâu sắc về mơ hình khơng chì mờ ra những hướng nghiên cứu mới mà cịn là chìa khóa để giải quyết những thách thức phức tạp trong thế giới toán học và khoa học tự nhiên.

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Theo Swetz & Hartzer (1991) Mơ hình hóa tốn học có thể định nghĩa là một quá trình bao gồm các dự đoán về các mối quan hệ, quan sát hiện tượng, thực hiện phân tích tốn học, xử lý kết quả tốn học và giải thích lại các mơ hình.

Blum and Niss (1991) miêu tả mơ hình hóa tốn học như một chuỗi tiến trình giải thích các vấn đề trong đời sống thực. Trong mơ hình hóa tốn học, một chủ đề được thảo luận chi tiết và được biểu diễn dưới hình thức tốn học khác nhau. Theo nghĩa này, mơ hình tốn học là một quy trình giải quyết vấn đề đa chiều.

Nguyễn Danh Nam (2016), đã dựa vào quan điểm cùa Edwards và Hamson (2001) để đưa ra khái niệm mơ hình hóa tốn học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề tốn học thơng qua việc thiết lập và giải quyết các mơ hình tốn học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mơ hình nếu cách giải quyết khơng thể chấp nhận.

Berry và Hauston (1995) cũng chỉ ra rằng mô hình hóa Tốn học có thể được biểu diễn đơn giản như một sự tương tác giữa cuộc sống đời thường và thế giới Toán

học. Sơ đồ 1.1 dưới đây miêu tả chi tiết cho điều này.

<i><b>So’ đồ 1.1 Sơ đồ đơn giản biểu diễn MHH (Berry & Houston, 1995, tr.24) </b></i>

Vậy, mơ hình hóa Tốn học là q trình sử dụng ngơn ngữ Tốn học đế chuyền đổi một bài toán thực tế sang một bài toán thuần túy, kết quả được viết dưới dạng công thức. Ngược lại; sử dụng kết quả của bài toán dưới dạng công thức ấy để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.

<b>1.2 Quy trình của mơ hình hóa tốn học</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

MHHTH thường được mô tả như một quá trình băt đâu từ một vân đê trong tình huống thực tế. Sau đó, vấn đề được trừu tượng hóa thành biểu diễn tốn học và được giải quyết bằng cách sử dụng các quy trình tốn học. Người thực hiện MHHTH sẽ dựa vào kết quả toán học để đưa ra phương pháp giải quyết vấn đề ban đầu. Tuy nhiên, khơng tồn tại một q trình nghiêm ngặt nào để thực hiện MHHTH và tìm ra giải pháp cho vấn đề được đưa ra. Sau đây, tác giả sẽ đưa ra một số sơ đồ MHH tiêu biểu.

Vào năm 1979, Polkak là người đưa ra một trong những sơ đồ về quá trình MHH đầu tiên biểu diễn sự chuyển đổi giữa toán học và thực tế.

<i><b>Sff đồ 1.2 Quy trình MHH (Polkak, 1979)</b></i>

Trong sơ đồ này ta thấy từ một mơ hình trong thực tế, người MHH thực hiện “phiên dịch” sang ngơn ngữ tốn học hay tạo ra một mơ hình tốn, rồi giải bài tốn trong mơ hình đó và áp dụng kết quả đối với tình huống ban đầu. Chiều của các mũi tên biểu diễn một vòng lặp, cho phép đi quanh sơ đồ giữa thế giới thực và thế giới toán học nhiều lần.

Lesh and Doerr (2003) nêu ra bốn bước để mơ hình hóa tốn học, được miêu tả rõ trong sơ đồ 1.3 sau.

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

<i><b>Sư đô 1.3 Bôn bước trong MHH (Lesh & Doerr, 2003, tr.17)</b></i>

Dựa vào vào so đồ trên, bước đều tiên của MHH là “Mơ tả”, là q trình chuyển từ tình huống hàng ngày được cung cấp từ cuộc sống thực sang mơ hình. Ở bước thứ hai, “sửa đồi”, các hoạt động liên quan tới tình huống vấn đề được tiến hành và các giả định được đưa về mơ hình dựa trên q trình mơ tả. Bước thứ ba là bước “dự đốn”, liên quan đến ước tính và chuyển đổi. Ở giai đoạn này, giải pháp hiệu quả nhất cho vấn đề được lựa chọn sau khi đánh giá các kết quả có thể có và được áp dụng vào cuộc sống thực. Trong giai đoạn kiểm chứng cuối cùng, độ chính xác, hữu ích của mơ hình được kiểm tra. Chu trình mơ hình tốn học (xem hình 1.2) có thể lặp lại nhiều lần trong q trình mơ hình hóa. Khác với việc giải các bài tốn theo cách truyền thống, q trình MHHTH khơng phải là tuyến tính (Lesh & Harel, 2003). Trong q trình lặp lại chu trình, HS có thế hiểu nhiều khía cạnh khác nhau của tình huống vấn đề tạo ra các cách suy nghĩ khác nhau và quyết định mơ hình phù hợp nhất. Nói cách khác, học sinh đang trong quá trình MHH hình thành các kết quả với các sửa đổi cần thiết, kiểm tra tính phù hợp của chúng và điều chỉnh chúng để tìm ra kết quả phù hợp nhất. Trong quá trình này, học sinh học cách đánh giá ý tưởng của mình, thảo luận ý kiến với bạn bè và gián tiếp với nhau một cách thích hợp.

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

Trong khi Lesh & Doerr (2003) đưa ra q trình bơn bước (xem sơ đơ 1.2) trong khi MHHTH thì Blum & LeiB (2007) đã sử dụng sáu bước để MHHTH. Sơ đồ dưới đây sẽ miêu tả cụ thể về sáu bước mà Blum &LeiB đã dùng.

<b><small>real situation</small></b>

<small>& problem</small>

<b><small>mathematicsrest of the world</small></b>

<small>1 Constructing</small>

<small>2 Simplifying Struchjnng</small>

<i><b>Sơ đồ 1.4 Sơ đồ MHH bảy bước cửa Blum & Leifi (2007)</b></i>

Trong hình 1.4, a đại diện cho một tình huống thực tế.

Trong quá trình “1”, tình huống thực tế này được hiểu và một mơ hình tình huống hoặc khái niệm được xây dựng.

Trong quá trình thứ “2”, việc đơn giản hóa cần thiết được thực hiện bằng cách loại bỏ các biến và tình huống khơng cần thiết. Sau đó, mơ hình thực tế xuất hiện. Trong q trình “3”, mơ hình thực tế được biểu diễn thơng qua tốn học bằng cách tạo, lựa chọn cách biếu diễn tốn học, mơ tả mối quan hệ giữa các biến trong mơi trường tốn học.

Q trình “4” được chỉ định cho cơng việc tốn học nhằm đạt được kết quả có ý nghĩa.

Kết quả tốn học thu được sẽ được đánh giá và giải thích để đạt được kết quả thực tế trong quy trình “5”.

Quá trình “6”, kiểm tra đánh giá kết quả, lặp lại các bước trên nếu kết quả chưa tối ưu.

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

Quá trình “7”, sử dụng kết quả đạt đuợc sau các bước để áp dụng và các bài toán trong thực tiễn.

Tóm lại, Khơng có quy trình nghiêm ngặt nào để thực hiện MHHTH. Quá trình MHHTH đặc trưng bởi việc liên kết giữa thế giới thực và thế giới tốn học. Chu trình MHHTH cho phép đi quanh giữa việc mơ hình hóa và giải quyết tốn học,

va co the lặp lại nhiêu lân đê hiêu sâu hơn vê vân đê và tìm ra các giai pháp tơiun.

Năng lực mơ hình hóa tốn học: Có nhiều định nghĩa khác nhau về năng lực mơ hình hóa Tốn học. Các tác giả (Nguyễn Thị Nga, 2014; Nguyễn Danh Nam,

2016) coi năng lực mơ hình hóa tốn học như là khả năng vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn, hay là khả năng áp dụng những hiểu biết tốn học để chuyển một tình huống thực tiễn về dạng Tốn học. Các tác giả đều có những quan điểm khá tương đồng khi cho rằng, các thành tố của năng lực tốn học hóa tình huống thực tiễn của học sinh trung học phổ thông bao gồm:

- Năng lực thu nhận thơng tin tốn học từ tình huống thực tiễn: Khả năng quan sát tình huống thực tiễn; khả năng tưởng tượng, chuyển đổi các ý tưởng từ thực tiễn

thành các yếu tố toán học; khả năng ước lượng, dự đốn các kết quả có thế xảy ra của tình huống.

- Năng lực định hướng đến các yếu tố trung tâm của tình huống: Khả năng xác định yếu tố trọng tâm của tình huống; khả năng thiết lập mối quan hệ giữa các yếu tố, đánh giá mức độ phụ thuộc của các yếu tố; khả năng loại bỏ những gì khơng bản chất.

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ tốn học: Khà năng sử dụng ngơn ngữ tự nhiên ngắn gọn, chính xác để diễn đạt các tình huống; Khả năng sử dụng ngơn ngữ tốn học để chuyển đồi các bài toán thực tiễn sang dạng toán học và giải bài tốn đó.

- Năng lực xây dựng mơ hình tốn học: Khả năng phát hiện ra yếu tố trọng tâm của tình huống thực tiễn; khả năng biểu diễn các đại lượng thực tế bằng ngơn ngữ tốn học; Khả năng biểu đạt các mối quan hệ giữa các đại lượng bằng các mệnh

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

đề toán học, các biểu thức chứa biến, đồ thị, biểu đồ,Khả năng khái qt hóa các tình huống thực tiễn theo quan điểm của toán học.

- Năng lực làm việc với mơ hình tốn học: Khả năng giải tốn trên mơ hình, dựa vào lời giải bài tốn nêu ra được kết quả của mơ hình; Khả năng biến đổi mơ hình tốn học theo ý cá nhân; Khả năng dùng mơ hình phán đốn tình huống thực tiễn.- Năng lực kiểm tra, đánh giá, điều chỉnh mơ hình: Khả năng kiểm tra, đối chiếu kết quả; khả năng phê phán, phát hiện giới hạn của mô hình; khả năng vận dụng suy luận có lí vào việc đưa ra các mơ hình tốn cho tình huống thực tiễn và biết so sánh tìm ra mơ hình hợp lí hcm. Tuy nhiên, thực tế nhiều tác giả cũng cho rằng, không thề đồng nhất năng lực mô hình hóa với năng lực Tốn học hóa các tình huống thực tiễn.

Trong luận văn này, tác giả đồng ý với định nghĩa của Nguyễn Thị Nga và Nguyễn Danh Nam, nhấn mạnh rằng năng lực mơ hình hóa có sự đa dạng và phức tạp nhất định, không thể hồn tồn đồng nhất với năng lực Tốn học hóa tình huống thực tiễn.

<b>1.4 Mơ hình hóa tốn học trong TK - xs</b>

<i><b>1.4.1 Mơ hình hóa tốn học trong xác suất</b></i>

Theo Pfunnkuck (2016) MHH xs là các hệ thống thế giới thực để hiểu và đưa ra

dự đốn vê hệ thơng đó. Việc giải thích và mơ tả các biên trong tập dữ liệu gơc và bàng các cách giải thích, tiếp cận khác nhau sẽ giúp cho mơ hình được xây dựng dễ hiểu và có thể dự đốn được kết quả. Pffannkuck và cộng sự đã đưa ra quá trình MHH trong xác suất như sau:

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

<i><small>Data —► parametervalues</small></i>

<i><b>Sff đồ 1.5 Quá trình MHHTH (theo Pffannkuch, 2016)</b></i>

Problem/Situation (Vấn đề/Tình huống): Bắt đầu một quá trình MHHTH trong xác suất đều từ một tình huống/vấn đề nào đó, tình huống/vấn đề này có thể tồn tại trong thế giới thực hoặc là không. Những người làm nhiệm vụ mơ hình hóa các hệ thống trong thế giới thực cần phải có những hiểu biết nhất định vấn đề đang thực hiện.

Want to know (muốn biết): Khi một vấn đề hoặc tình huống được xác định, một câu hỏi “want to know” cung cấp động lực cho quá trình MHH xác suất, trong Pfannkuck (2016), Imogen đã minh họa ý tưởng này bằng câu chuyện vườn Monet của cô. Trong chuyến tham quan vườn, cô nhận ra rằng khách xếp hàng rất dài để được vào thăm quan. Cô đặt ra câu hỏi là vậy mất bao lâu để mình chuyển lên đầu hàng và vào thăm quan? Tương tự vậy, một trường họp khác, khi có hạn hán xảy ra, rất khó để cấy cày, người nơng dân sẽ đặt ra câu hởi như: Tơi có nên bán bớt số bị trong đàn sớm khơng? Tơi có nên mua thức ăn sớm đế dự trừ không? Những câu hịi này ảnh hưởng gián tiếp tới q trình MHH xác suất vì chúng xác định quyết định nào hay dự đốn nào mơ hình ngẫu nhiên cần cung cấp thông tin.

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

Assumptions (giả định) Giai đoạn giả định trong chu kỳ bao gôm ý tưởng vê động lực hệ thống và nhìn thấy cấu trúc trong hệ thống vấn đề. Một mơ hình là một sự ước lượng của hiện thực và cần có một số giả định để quyết định giả định nào là phù hợp nhất. Sự tích lũy kinh nghiệm, kiến thức chuyên môn và kiến thức theo ngữ cảnh sẽ cung cấp các giả thuyết về MHH. Đối với cùng một tình huống/vấn đề có thế có rất nhiều các mơ hình sừ dụng được nhưng việc lựa chọn mơ hình nào sẽ bị ảnh hưởng bởi mục tiêu cuối cùng của q trình MHHTH.

Build the stochastic model (Xây dựng mơ hình) Theo nghiên cứu của Pfunnkuck và cộng sự, mơ hình xác suất trong đời thực sẽ bị ảnh hưởng và chi phối bởi các vấn đề cần giải quyết có liên quan. Trong một số trường hợp, các vấn đề sẽ được phân tách thành các vấn đề nhở hơn, các mơ hình nhỏ hơn được xây dựng để trở thành các mơ hình phụ. Sau đó các mơ hình phụ sẽ được kết nối với nhau. Thơng tin có thể chuyển từ phần này sang phần khác, và thông tin mới được sử dụng để cập nhật mơ hình. Xây dựng mơ hình cũng có thể liên quan tới việc sử dụng dữ liệu để ước tính các tham số. Ví dụ như việc mơ hình hóa lượng nước đồ vào hồ thủy điện, có một số kịch bản dựa trên khí hậu cần xem xét, mồi kịch bản có ảnh hưởng khác nhau đối với lượng nước đổ vào. Một phần trong q trình xây dựng mơ hình liên quan đến gán một xác suất cho mỗi kịch bản này thu thập các dữ liệu được ghi chép cùng thời điểm trong các năm trước.

Test the model (kiểm tra mơ hình) Trong q trình mơ phởng được thực hiện, dữ liệu được tạo ra bởi mơ hình có thể được so sánh với dữ liệu thực đề xem xét liệu mơ hình có tạo ra dữ liệu có các thuộc tính và đặc điếm tương tự hay khơng. Neu các mô phỏng được thực hiện dưới các điều kiện khác nhau, ta có thế tìm hiếu xem liệu dừ liệu được tạo ra bởi mơ hình có hợp lý hay khơng. Vì một mơ hình có thể hoạt động tốt trong một trường hợp điều kiện nhất định, nhưng khơng hoạt động đảng kể trong các tình huống khác nhau. Nếu có sự khác biệt giữa dữ liệu thực và dữ liệu được tạo ra bởi mơ hình, có thể mơ hình vẫn chưa phù hợp với mục đích và cần xem lại các giả định cơ bản của mơ hình, hoặc cần thêm vào thơng tin hoặc dừ liệu. Do đó, kết quả của giai đoạn kiểm tra mơ hình có thể dẫn đến việc xem xét lại giai đoạn xây dựng già thuyết. Ngoài việc kiểm tra mức độ

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

phù hợp của mơ hình, điêu quan trọng là phải xem xét ngữ cảnh khi đưa ra quyêt định xem từ kết quả của mơ hình có đưa ra quyết định phù hợp hay khơng.

Use the model (Sử dụng mơ hình) Một quyết định dựa trên kết quả của một mơ hình xác suất sẽ chưa hẳn là quyết định tốt nhất bởi mơ hình được xây dựng với mục đích tối ưu hóa một tình huống cụ thể nào đó. Do vậy, mơ hình chỉ là sự gần đúng nhất với thế giới thực. Pffunnkuck nhấn mạnh vai trò của người dùng mơ hình xác suất sẽ quyết định đến tư duy xác suất và cách tiếp cận quá trình

MHHTH của người đó.

<i><b>1.4.2 Các hoạt động trong thơng kê</b></i>

Theo Hồng Nam Hải, Xác suất có liên quan chặt chẽ đến suy luận thống kê, mặc dù chúng có sự khác biệt. Thống kê được xây dựng từ tập các dừ liệu, mà dữ liệu có thể có tính ngẫu nhiên hoặc là kết quả của phép thử ngẫu nhiên, chúng mang

tính khơng chắc chắn. Mục đích của nghiên cứu thống kê là thu thập những thông tin định lượng về sự vật, hiện tượng trong điều kiện lịch sử cụ thể, trên cơ sở đó

phát hiện bản chất, quy luật phát triển của sự vật, hiện tượng để cung cấp cho các đối tượng cần sử dụng.

Các hoạt động thông kê (sơ đô 1.6) thường phải trải qua một quá trình 6 bước cơng việc kế tiếp nhau và có quan hệ chặt chẽ với nhau theo 3 giai đoạn chính: Điều tra thống kê (giai đoạn 1); xử lí số liệu thống kê (giai đoạn 2); phân tích thống kê (giai đoạn 3). Mũi tên (<—) thể hiện cho tư duy phản ánh giữa các giai đoạn. Neu như bộ dừ liệu khơng phù hợp thì có thể điều tra lại và thực hiện tiếp quá trình, hoặc kết quả phân tích khơng có ý nghĩa thống kê thì sẽ kiểm tra lại

giai đoạn xử lý số liệu hoặc các bước tiến hành trước đó để sửa đối, điều chỉnh và thực hiện lại quá trình. Cuối cùng, đối chiếu, so sánh và kiểm tra kết quả nghiên

cứu có phù hợp với mục đích nghiên cứu ban đầu hay không?

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

<b>Sơ đồ 1.6. Quá trình hoạt động thống kê (theo Hồng Nam Hải, 2013)</b>

Đặc thù của xác suất đỏ là sự ngầu nhiên, sự khơng chắc chắn, với thống kê đó là việc nghiên cứu trên bộ các dữ liệu thu thập được. Luôn có sự kết nối giữa hai lĩnh vực này nên mục tiêu cuối cùng nội dung TK - xs không những là khả năng suy diễn từ Toán học sang thực tiễn và ngược lại mà còn là từ thực tiễn dự đoán tương lai, kiểm định kết quả đã dự đốn trong q khứ.

Dạy học mơ hình hóa tốn học là dạy học học cách thức xây dựng MHHTH của thực tiễn. Như vậy tri thức cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình giải quyết vấn đề thực tiễn.

Một câu hỏi đặt ra đó là “tại sao Tốn học thuần túy khơng đủ để đạt được mục <i><b><sub>• </sub><sub>• </sub><sub>• </sub><sub>• </sub><sub>ụ </sub><sub><</sub></b></i>tiêu như một mơn học trong trường?”. Niss (1996) đã phân tích giáo dục Tốn học từ quan điểm lịch sử và đương đại, cho thấy về bản chất, có một vài lý do cơ bản cho việc giáo dục Toán học tồn tại như sau:

-Toán học được xem như một công cụ mạnh mẽ đế hiểu và làm chủ các tình huống thực tế hiện tại hoặc tương lai tốt hơn.

- Tốn học là một cơng cụ để phát triển các năng lực chung.17

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

- Toán học là một phần quan trọng của văn hóa và xã hội, và một thế giới riêng biệt của nó.

Những lý do trên, việc học Tốn khơng phải chỉ để giải những bài toán thuần túy trong sách mà mục tiêu của việc học tốn cịn phải giúp người học phát triển các kĩ

năng cần thiết đe tham gia vào xã hội loài người và trở thành một cơng dân có trách nhiệm.

Dựa vào nền tảng này, ta có thể đưa ra ba lý do để MHHTH được đưa vào giảng dạy trong các nhà trường Blum & Niss (1991).

Lý do “ứng dụng”: Để hiểu và làm chủ các tình huống thực tế, các ví dụ ứng dụng và mơ hình phù hợp phải được xử lý một cách rõ ràng. Ví dụ về các bài tốn có tính thực dụng cao như các bài tốn về mua sắm, thuế, lưu lượng giao thơng, tính cước đi xe taxi.

Lý do “định hình”: Năng lực có thể được nâng cao thông qua việc tham gia và các hoạt động mơ hình hóa. Ví dụ như giúp người học có trí tuệ phong phú kèm theo sự phát triển về tri giác.

Lý do “tâm lý”: các ví dụ thực tế có thể góp phần làm tăng sự quan tâm của học sinh đối với Toán học, tạo động lực, giúp hiếu các vấn đề tốt hơn và ghi nhớ lâu hơn. Ví dụ như khi các bài tốn được miêu tả bằng các mơ hình thực, các hình ảnh miêu tả sinh động với mục đích giúp hiểu rõ hơn về một chủ đề Toán học cụ thể.

Bên cạnh đó, Henry Polkak (1969) cũng là một trong những người đầu tiên trong lĩnh vực ứng dụng MHH trong giáo dục Toán học. Ngay từ đầu những năm 60 của thế kỷ trước, ông đã nghiên cứu việc áp dụng MHHTH trong việc giăng dạy. Theo ông, MHHTH giúp cho sự quan tâm của học sinh đối với mơn Tốn trở nên lâu dài.

Theo N. D. Nam (2016, tr.86), quy trình DH MHHTH tiến hành như sau. vấn đề thực tiễn —> xây dựng mơ hình Tốn học —> Trả lời cho bài tốn thực tiễn —> Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa, định lý hay công thức

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

—> Vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một mơ hình tốn học phù hợp. Cụ thể, quy trình gồm 7 bước:

Bước 4: Phát triển kiến thức của bài học

Đưa ra khái niệm, định nghĩa, định lý hoặc tính chất liên quan chặt chẽ đến vấn đề cần giải quyết.

Bước 5: Trình bày ví dụ tương tự

Nêu ra vấn đề tương tự. Trình bày ứng dụng của tốn học. Hướng dẫn sử dụng các phương tiện hỗ trợ: máy tính, máy vi tính.

Bước 6: Thiết lập mơ hình tốn học và giải bài toán

Giải bài toán trong vấn đề nghiên cứu ban đầu. Tồng qt hóa bài tốn.Bước 7: Hiểu lời giải và cải tiến mơ hình

u cầu người học đánh giá lời giải.

Đối với bậc THCS, mục tiêu của các tri thức Tốn học đó là nhấn mạnh vào ứng dụng toán học trong thực tiễn, nội dung cần truyền đạt chỉ dừng lại ở mức cơ bản, bài tốn được đưa ra ở mức độ khơng q phức tạp và thời gian dạy học mồi tiết có hạn do vậy, tác già sẽ tóm gọn lại các bước dạy học MHHTH chủ đề XS-TK

thành 5 bước sau:

Bước 1: Phát hiện vấn đề/tình huống

GV cần dạy cho HS phát hiện được những tình huống thực của cuộc sống, có thể gợi ý cho người học những kiến thức về tình huống đó.

Bước 2: Thiết lập bài tốn toán học

GV cần dạy cho HS biết chuyển đổi từ ngơn ngữ thực sang ngơn ngừ tốn học.Bước 3: Tìm kiếm chiến lược giải bài toán Toán học

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

GV cân dạy cho HS hoặc tạo cơ hội cho HS tìm kiêm các chiên lược giải thích hợp, hiệu quả, ... để có thể giải các bài tốn toán học.

Bước 4: Chuyển sang kết quả thực

GV cần dạy cho HS biết chuyển đổi lại từ ngơn ngừ tốn học sang ngơn ngừ thực để có thể biểu diễn được kết quả tốn học trong thực tiễn. Từ đó, giúp HS hiểu được ý nghĩa lời giải, kết quả thu được của vấn đề/tình huống cần giải quyết ban đầu trong thực tiễn.

Bước 5: Đánh giá lời giải

Yêu cầu HS hiểu giá trị số của kết quả, đánh giá giá trị thực tiễn từ đó kiềm tra, điều chỉnh giả thuyết và mơ hình đã sử dụng nếu kết quả chưa thực sự tối ưu.

<small>Phát hiên vấn đề/tlnh huống</small>

<b><small>Bưởc2Thiểt </small></b><small>lặp bài toán </small>

<i>1.5.3.1 Yêu cầu đối với người dạy trong dạy học MHHTH</i>

Một trong những điều kiện cần đối với người dạy trong dạy học MHHTH đó là quản lý lớp học hiệu quả và tập trung vào học viên (Kunter and Voss 2013).

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

Theo Schoenfield (1992) Giáo viên cần hiểu được tầm quan trọng của việc kích hoạt người học từ mặt nhận thức, đồng thời cũng cần khuyến khích các hoạt động cùa học sinh. MHH không phải là một môn thể thao chỉ để xem, ta chỉ có thể mong đợi hiệu quả học tập khi học sinh tham gia tích cực vào việc học. Giáo viên cần phải cẩn thận giữa HS làm việc độc lập và có sự hỗ trợ của GV. Điều quan trọng trong việc giảng dạy là duy trì một sự cân bằng liên tục giữa sự độc lập của học sinh và sự hướng dẫn của giáo viên.

Theo Leikin and Levav-Waynberg (2007), giáo viên nên khuyến khích các giải pháp cá nhân cho nhiệm vụ mơ hình hóa. Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy hàng ngày, các giáo viên thường thiên về các giải pháp của mình cung cấp cho học sinh mà chính mình lại khơng hề nhận ra. Trong dự án thực hiện tại MultiMa, hai đơn vị giảng dạy tập trung vào tính độc lập với nhiệm vụ mơ hình hóa được so sánh, trong đó một đơn vị, HS được yêu càu rõ ràng phải đưa ra nhiều giải pháp. Ket quả cho thấy những học sinh đã phát triển nhiều giải pháp có sự tiến bộ trong học tập cao hơn. Không chỉ việc giảng dạy mà cả việc đánh giá cũng phải phản ánh đủng mục tiêu và các ứng dụng của mơ hình hóa. Như chúng ta đã biết, bài kiểm tra có nhiều chức năng, trong đó có thiết lập tiêu chuẩn và minh họa mục tiêu định ra, để chuẩn đoán điểm mạnh, điểm yếu cùa học sinh để biết cách giúp đỡ

học sinh tốt hơn - theo Houston (2007).

Tổng họp lại, Yêu cầu cho người dạy trong dạy học MHHTH bao gồm:

Quản lý lớp hiệu quả và tập trung vào học viên. Hiểu rõ tầm quan trọng của việc kích thích sự tương tác và khuyến khích hoạt động tích cực của học sinh. Duy trì sự cân bằng giữa sự độc lập và hướng dẫn. Khuyến khích giải pháp cá nhân và độc lập trong nhiệm vụ mơ hình hóa và phản ánh đúng mục tiêu và ứng dụng của mô hình hóa trong đánh giá.

<i>1.5.3.2 u cầu đổi với người học trong dạy học MHHTH</i>

Người học không phải chỉ cần nhớ được nội dung kiến thức mà còn phải được kích hoạt về mặt nhận thức bản chất vấn đề bên trong. Tất cả các hoạt động của học sinh nên đi kèm với việc suy ngẫm và phản chiếu sau khi hoàn thành, với mục tiêu nâng cao các chiến lược học tập phù hợp.

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

<b>1.6 Nội dung tốn học vê thơng kê và xác st trong chương trình Tốn IGCSE và kiến thức ấn tàng ở các cấp học trước</b>

Ở cấp tiểu học, chương trình quốc tế sẽ kéo dài từ lớp 1 đến lớp 6, trong khi ờ Việt Nam, học sinh sẽ hồn tất cấp tiểu học sau khi hồn thành lóp 5. Sự chênh lệch trong cách tố chức cấp học giữa các chương trình quốc tế và Việt Nam đặt ra một số điều chỉnh và điều chình cần thiết khi áp dụng chúng cho học sinh Việt Nam.

Bước vào cấp hai, chương trình quốc tế chia thành hai giai đoạn: giai đoạn Lower Secondary và giai đoạn Upper Secondary. Trong giai đoạn Lower Secondary, học sinh sẽ theo học trong ba năm. Sau đó, họ sẽ chuyển sang giai đoạn Upper Secondary kéo dài hai năm để chuẩn bị cho kỳ thi IGCSE (International General Certificate of Secondary Education - Chứng chi Giáo dục Trung học Quốc tế). IGCSE là một bằng cấp quốc tế được công nhận, thường được tổ chức vào cuối giai đoạn giáo dục trung học của học sinh, được cấp bởi Viện Kỳ thi Quốc tế của Đại học Cambridge (CIE). Chương trình học này đa dạng, bao gồm nhiều môn học và mang lại một trải nghiệm giáo dục toàn diện, đánh giá kỳ năng của học

sinh ở nhiều lĩnh vực như ngơn ngừ, tốn học, khoa học và nhân văn.

Sau khi có chứng chỉ IGCSE mơn Tốn, HS có thể lựa chọn tiếp tục học chun sâu mơn Tốn ở cap ba (High school). Hoặc kết thúc việc học mơn Tốn tại đây và lựa chọn học tổ hợp môn không có mơn Tốn ở cấp 3. Kỳ thi IGCSE được tổ chức ba lần mỗi năm vào tháng 3, tháng 5 hoặc tháng 11. Học sinh có cơ hội làm

lại bài kiếm tra đế cải thiện điểm số của mình nếu muốn. Một điểm đặc biệt là <sub>• • • • •</sub>học sinh có thể linh hoạt chọn học chương trình Upper Secondary trong một năm và tham gia kỳ thi IGCSE nếu đạt đủ năng lực. Tính linh hoạt của các chương trình quốc tế là điểm mạnh của chúng, giúp chúng được sử dụng để giảng dạy ở nhiều quốc gia tồn cầu.

Ví dụ, tại trường TH School, giáo dục tiếp theo chương trình quốc tế được thực hiện thơng qua việc sử dụng chương trình 1PC (International Primary Curriculum) cho học sinh cấp 1 và chương trình IMYC (International Middle Years Curriculum) cho học sinh cấp 2 (lóp 6, 7, 8). Học sinh ở cấp 3 (lớp 9, 10) sẽ tham

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

gia chương trình IGCSE thay vì sử dụng đây đú chương trình của Cambridge từ cấp một cho tới hết cấp ba. Mậc dù vậy, trường cam kết đảm bảo rằng học sinh sẽ được trang bị đầy đủ kiến thức để tham gia kỳ thi IGCSE. Trong phạm vi luận văn này, các bài dạy thực nghiệm sẽ được tiến hành tại trường TH School. Do đó, các phần tiếp theo của bài viết sẽ trình bày chi tiết về cấu trúc kiến thức và

chương trình giảng dạy hiện đang được áp dụng tại trường TH School.

Học sinh tiểu học từ lớp 1 tới lớp 5 của trường TH School sẽ học chương trình Tốn tích hợp với các chủ đề IPC (International Primary Curriculum) cung cấp cho học sinh các kỳ năng và kiến thức Toán học cơ bản và cân đối giữa các chủ đề số học, hình học, đo lường, xác suất và thống kê.

Đối với cấp độ tiểu học, học sinh được làm quen với thống kê và xác suất ngay từ bậc tiểu học.

Lớp 1: HS biết mô tả dữ liệu bằng ngôn ngừ quen thuộc, bao gồm việc tham chiếu với các từ khóa “ít hơn, nhiều hơn, nhiều nhất, ít nhất” để trả lời các câu hỏi không phải thống kê và thảo luận về các kết luận.

Lớp 2: HS biết mô tả dữ liệu bằng cách xác định các điềm tương đồng và sự biến

Lớp 4: HS hiểu dữ liệu bằng cách xác định sự tương đồng và biến đổi trong và giữa các tập dữ liệu để trả lời các câu hỏi thống kê. Thảo luận về kết luận, xem xét nguồn gốc của sự biến đổi.

Lớp 5: HS biết giải thích các dữ liệu bằng cách xác định các mẫu trong và giữa các tập dừ liệu để trả lời các câu hởi thống kê. Thảo luận về kết luận, xem xét các nguồn gốc của sự biến đổi.

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

<i>1.6.2 Mạch kiên thức vê Thông kê và xác suât ở chương trình bậc THCS</i>

Lên tới bậc trung học cơ sở, trường TH School lựa chọn giảng dạy theo chương trình IMYC (International Middle Years Curriculum) dành cho các lớp 6, 7, 8.

Sau khi kết thúc lớp 8, HS được lựa chọn học chương trình IGCSE trong chỉ một năm lớp 9 hoặc kéo dài trong hai năm học lớp 9 và 10. Bài luận văn này sử dụng phân phối chương trình IGCSE học trong một năm.

Trong chương trình Tốn lớp 6, 7, 8 IMYC, mục tiêu học sinh đạt được khi học về TK - xs sẽ chưa thành 3 mổc:

<i><b>và 8 (Mathematics Learning Goals, International Middle Year Curriculum,2022, tr 17-19)</b></i>

(lớp 6)

Mốc 2(lớp 7)

Mốc 3(lớp 7)

Thống kê

Có thể sắp xếp và phân loại các phần tử theo một hoặc hai tiêu chí. <sub>•</sub>

Có thể sắp xếp và phân loại các phần tử theo hai hoặc nhiều

tiêu chí.

Có khả năng giải thích một đồ thị có nhiều tập dữ liệu liên quan với một phần tử chung.

Có thể xây dựng các chữ tượng hình, biểu đồ kiểm đếm, biểu đồ cột và bàng.

Có thể xây dựng các chữ tượng hình, biểu đồ kiểm đếm, biểu đồ cột, biểu đồ đường và bảng.

Có thể xây dựng các chữ tượng hình, biểu đồ kiểm đếm, biểu đồ cột, biểu đồ đường, biểu đồ tròn và bảng.Có thể giải thích

các chữ tượng hình, biểu đồ kiểm đếm, biểu đồ thanh, biểu đồ thanh và bảng.

Có thể giải thích các chữ tượng hình, biểu đồ kiểm đếm, biểu đồ thanh, biểu đồ đường và bảng.

Có thể diễn giải các

biêu đơ của dừ liêu.<b><small>•</small></b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

Xác st

Có thê tìm được mode cho một tập dữ liệu.

Có thê tìm được các số mode và số trung vị cho một tập dữ liệu.

Có thê sử dụng một phương pháp cho trước để thu thập dữ liệu.

Có thê chọn một phương pháp thích hợp để thu thập dữ liệu và trả lời các câu hỏi.

Có thê tìm được các số mode và số trung vị, số trung bình cộng và phạm vi cho một tập dừ liệu.

Có thể thu thập dừ liệu định tính và định <sub>• • • </sub>lượng bằng cách đặt câu hỏi, đối chiếu các câu trả lời một cách thích hợp.

Có thê phân loại các sự kiện khơng thể xảy ra, chắc chắn hoặc ít nhiều có khả năng xảy ra.

Có khả năng sắp xếp các sự kiện theo mức độ không thể xảy ra, chắc chắn xảy ra hoặc khả năng xảy ra ít hơn hoặc nhiều hơn.

Có khả năng mơ tả xác suất của các sự kiện, bao gồm cả trường hợp xác suất bằng nhau.

Có khả năng thu thập thơng tin để đưa ra các dự đốn dựa trên xác suất.

Có khả năng nhận biết sự khác nhau, giữa xác suất lý thuyết và xác suất thực nghiệm.

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

Khi học chủ đê TK - xs trong chương trình Tốn 9 IGCSE, học sinh sẽ cân phải đạt được các mục tiêu trong hai bảng sau:

<i><b>Bảng 1.2 Mục tiêu cần đạt khi học chủ đề Thống kê, chương trình Tốn 9 IGCSE (Syllabus Cambridge IGCSE Mathematics 0580, 2023-2024)</b></i>

<b>Bàihọc <sub>•</sub></b>

Nhận thức về những hạn chế khi rút ra các kết luận từ dữ liệu đã cho.

Bài 3

Xây dựng và hiểu biểu đồ cột (bar charts), biểu đồ trịn (pie charts), biểu đồ hình vẽ (pictograms), biểu đồ thân-lá (stem-leaf diagram), biểu đồ phân phối tần số đơn giản (histograms), biểu đồ cột tần số với khoảng cách không đều nhau (unequal intervals diagrams), biểu đồ phân tán (scatter diagrams).

Bài 4

Tính số trung bình (mean), trung vị (median), phạm vi (range) cho dữ liệu cá nhân (individual) và rời rạc (discrete), và phân biệt mục đích sử dụng của chúng.

Bài 5 <sup>Tính tốn ước lượng của giá trị trung bình cho dữ liệu nhóm và liên </sup>tục ( grouped and continuous data).

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

Xây dựng và sử dụng biểu đồ tần số tích lũy (cumulative frequency diagrams), ước tính và giải thích số trung vị (median), phân vị Bài 6 (percentiles), tứ phân vị và phạm vi của tứ phân vị (quartiles and

interquartile range). Xây dựng và hiểu biểu đồ hộp và râu (box-and- whisker plots).

Hiểu ý nghĩa của tương quan dương (positive correlation), tương Bài 7 quan âm (negative correlation) và tương quan bàng không (zero

correlation) khi tham khảo biểu đồ phân tán (scatter diagram).

Bài 8

Bài 9

Bài 10

Vẽ, hiểu và sử dụng đường thích họp (lines of best fit) bằng mắt.

HS có khả năng thu thập, phân loại và trình bày dữ liệu thống kê.

Tính số trung bình (mean), trung vị (median), phạm vi (range) cho dừ Bài 12 liệu cá nhân (individual) và rời rạc (discrete), và phân biệt mục đích

sử dụng của chúng.

Bài 13 <sup>Tính tốn ước lượng của giá trị trung bình cho dừ liệu nhóm và liên </sup>tục ( grouped and continuous data).

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

Xây dựng và sử dụng biểu đồ tần số tích lũy (cumulative frequency diagrams), ước tính và giải thích số trung vị (median), phân vị Bài 14 (percentiles), tứ phân vị và phạm vi của tứ phân vị (quartiles and

interquartile range). Xây dựng và hiểu biểu đồ hộp và râu (box-and- whisker plots).

Hiểu ý nghĩa của tương quan dương (positive correlation), tương Bài 15 quan âm (negative correlation) và tương quan bằng không (zero

correlation) khi tham khảo biểu đồ phân tán (scatter diagram).

Bài 16 Vẽ, hiểu và sử dụng đường thích hợp (lines of best fit) bằng mắt.

<b>Băng 1.3 Mục tiêu cần đạt khi học chủ đề xác suất, chương trình Tốn 9 IGCSE (Syllabus Cambridge IGCSE Mathematics 0580, 2023-2024)</b>

<b>Bàihọc <sub>•</sub></b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

Bài 5

Bài 6

Tính xác suất của các sự kiện đơn giản kết hợp, sử dụng biểu đồ khả năng (possibility diagrams), biểu đồ cây và biểu đồ Venn (, tree

diagrams and Venn diagrams).

Trong biểu đồ khả năng, các kết quả sẽ được đại diện bàng các điểm trên lưới, và trong biếu đồ cây, các kết quả sẽ được viết ở cuối các

nhánh và xác suất sẽ được ghi bên cạnh các nhánh.

Tính xác suất có điều kiện bằng cách sử dụng biểu đồ Venn, biểu đồ cây và bảng.

Ví dụ: Gieo hai xúc xắc. Cho biết tổng số điểm trên hai xúc xắc là 7, tìm xác suất một trong những xúc xắc cho kết quả là số 2.

Cả hai chương trình IMYC và 1GCSE đêu cung câp tính linh hoạt cho giáo viên để thiết kế một tiến trình học thu hút, thách thức và tạo tương tác cho học sinh của mình. Khi cần thiết, GV có trách nhiệm lựa chọn các ngừ cảnh, chủ đề, tài liệu và ví dụ để hồ trợ việc học của HS cũng như sắp xếp lại các thứ tự bài học. Những lựa chọn này phải phù hợp với lứa tuối, nền văn hóa và bối cảnh học tập của HS, đồng thời tuân thủ các quy định của trường và yêu cầu pháp luật địa phương.

<b>1.7 Một số các bài toán thường gặp khi học chủ đề TK - xs trong chươngtrình IGCSE</b>

<b>1.7.1 Các bài tốn về chủ đề thống kê trong chương trình IGCSE</b>

- Bài tốn về bảng tần suất và biểu đồ hình (Frequency Tables and Pictograms):

Dựng một bảng tần số hoặc biểu đồ hình (pictograms) dựa trên dữ liệu được cung cấp. Giải thích một bảng tần số hoặc biểu đồ hình đã cho và trả lời các câu hởi dựa trên nó.

- Bài toán về biểu đồ cột (Bar Charts):

Tạo một biểu đồ cột để biểu diễn một tập dữ liệu. So sánh và giải thích những biểu đồ cột khác nhau. Trả lời các câu hỏi dựa trên thông tin được cung cấp trong biểu đồ cột.

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

- Bài tốn về biểu đồ trịn (Pie Charts):

Vẽ một biểu đồ tròn để biểu diễn dữ liệu theo các danh mục khác nhau hoặc tỷ <i><b><sub>• </sub><sub>• </sub><sub>• </sub><sub>• </sub><sub>J</sub></b></i>lệ phần trăm. Phân tích và giải thích các biểu đồ trịn đã cho để trà lời các câu hỏi.

- Bài toán về biểu đồ phân tán (Scatter Diagrams):

Vẽ các điểm dừ liệu trên biểu đồ phân tán và phân tích mối quan hệ giữa hai biến (ví dụ: tương quan dương, tương quan âm, khơng có tương quan). Vẽ đường thẳng phù hợp nhất (line of best fit) trên biểu đồ phân tán.

- Bài toán về biểu đồ cột (Histograms):

Tạo một biểu đồ cột từ một bảng tần số hoặc tập dừ liệu được cung cấp. Giải thích và phân tích biểu đồ cột để trả lời các câu hỏi về phân phối dữ liệu.

Biểu đồ cột với các cột không đồng đều (Histograms with Unequal Bars): Tính tốn mật độ tần số (frequency density) và sử dụng nó để vẽ biểu đồ cột với các cột khơng có chiều rộng bằng nhau.

- Đo lường trung tâm (Measures of Central Tendency):

Tính tốn giá trị trung bình (mean), số lần xuất hiện nhiều nhất (mode), và giá trị trung vị (median) của một tập dữ liệu được cung cấp. Áp dụng những đo lường này để trả lời các câu hỏi liên quan đến dữ liệu.

- Đo lường độ phân tán (Measures of Spread):

Tính tốn phạm vi (range) và phạm vi tứ phân vị (interquartile range) từ một tập dữ liệu. Stem-and-Leaf Diagrams (Biểu đồ cuống lá và lá): Xây dựng một biểu đồ cuống lá và lá từ dừ liệu thô.

- Dừ liệu được nhóm và biểu đồ tần số tích lũy (Grouped Data and Cumulative Frequency Diagrams):

Tính tốn tần số tích lũy (cumulative frequency) và sử dụng nó để vẽ biểu đồ tần số tích lũy. Tìm giá trị trung vị (median) và các phân vị (quartiles) từ biểu đồ tần số tích lũy.

- Biểu đồ hộp và râu (Box and Whisker Plots):

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

Tạo một biểu đồ hộp và râu từ một tập dừ liệu được cung cấp. Giải thích biểu đồ hộp và râu để đưa ra nhận định về phân phối dừ liệu.

<b>1.7.2 Các bài tốn về chủ đề xác suất trong chương trình IGCSE</b>

- Bài tốn tính tốn Xác suất (Calculating Probabilities):

+ Tính tốn xác suất của một sự kiện đơn lẻ (Calculate the probability of a single event).

Ví dụ: Tung xúc xăc đơng chât sáu mật.

- Bài toán sử dụng Biếu đồ Venn (Using Venn Diagrams):

Biểu diễn xác suất của các sự kiện bằng cách sử dụng biểu đồ Venn và trả lòi các câu hỏi dựa trên biểu đồ.

- Bài toán sử dụng biếu đồ xác suất (Using possibility Diagrams):

Tạo ra các biểu đồ có khả năng để hiển thị tất cả các kết quả có thể của một thí nghiệm hoặc tình huống.

</div>

dạy học chủ đề thống kê và xác suất trong chương trình toán 9 igcse cambridge theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về