dạy học mô hình hóa chủ đề hàm số bậc hai cho học sinh lớp 10 trung học phổ thông thông qua sử dụng các bài toán thực tiễn luận văn thạc sĩ sư phạm toán học

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (7.07 MB, 107 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

• • •

vũ PHƯƠNG NAM

DẠY HỌC MƠ HÌNH HĨA

CHỦ ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI CHO HỌC SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA sử DỤNG

CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN

LUẬN VẲN THẠC sĩ sư PHẠM TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC Bộ MƠN TỐN HỌC • • •

Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Đức Hiệp

HÀ NỘI - 2024

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam kêt răng các kêt quả trình bày trong luận văn này khơng bị trùng với các bài luận văn truớc đây. Nguồn tài liệu được tìm kiếm cho việc hồn thành luận văn là các nguồn tài liệu mở. Các trích dẫn sử dụng trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2023

rp r • 9 "I /\

Tác giả luận văn

Vũ Phương Nam

1

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

LỜI CẢM ƠN

Để có thể hồn thành được luận văn này, ngoài sự nồ lực cố gắng của bản thân tìm tịi, nghiên cứu, sáng tạo, khơng thể thiếu sự giúp đỡ, động viên, hướng dẫn của thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cám ơn thầy cô giáo Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn trong suốt q trình tơi học tập và nghiên cứu tại trường.

Với sự trân trọng và lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến PGS.TS. Phạm Đức Hiệp - Giàng viên Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đõ’ tơi trong q trình nghiên cứu và hồn thành luận văn này.

Xin cảm ơn gia đình, nhà trường, các thầy cô, đồng nghiệp và các em học sinh trường trung học phổ thông Nguyễn Huệ đã luôn ủng hộ, động viên, giúp đờ tơi.

Mặc dù có nhiều sự cố gắng song luận văn vẫn khơng tránh khỏi sự thiếu sót. Kính nhờ sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp và những bạn quan tâm tới vấn đề này để luận văn được hoàn thiện hơn.

Xin trân trọng cảm ơn !

Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2023

Tác giả luận văn

Vũ Phương Nam

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

1. Lý do chọn đề tài... 1

1.1 Xuất phát từ yêu cầu đồi mới của nền giáo dục... 1

1.2. Xuất phát từ nhu cầu cùa người dạy và người học...2

1.3. Xuất phát từ đặc điểm môn học và chương trình sách giáo khoa trung học phổ thơng... 2

2. Mục đích nghiên cứu... 2

3. Giả thuyết khoa học...

2

4. Nhiệm vụ nghiên cứu...

2

5. Khách thế và đối tượng, phạm vi nghiên cứu...

2

5.1. Khách thể nghiên cứu...

2

5.2. Đối tượng nghiên cứu...

2

5.3. Phạm vi nghiên cứu...

2

6. Phương pháp nghiên cứu...

4

7. Cấu trúc của luận văn...

4

Chương 1... 5

Cơ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN... 5

1.1. Mơ hình hóa tốn học...í1.1.1. Mơ hình... í1.1.2. Mơ hình tốn học...

1.1.3. Mơ hình hóa tốn học...

1.1.4. Q trình mơ hình hóa tốn học1.2. Dạy học mơ hình hóa tốn học....

111

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

1.2.1. Dạy học mơ hình hóa tốn học...18

1.2.2. Đặc điểm dạy học mơ hình hóa...23

1.2.3. Năng lực mơ hình hóa tốn học trong chương trình giáo dục phố thơng mơn Tốn năm 2018...25

1.3. Thực trạng dạy học mơ hình hóa chủ đề Hàm số bậc hai cho học sinh lớp 10 trung học phố thông thông qua các bài toán thực tiễn...30

1.4. Kết luận chương 1... 31

CHƯƠNG 2... 32

DẠY HỌC MƠ HÌNH HĨA CHỦ ĐÈ “HÀM SỐ BẬC HAI” CHO HỌC SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỐ THÔNG THƠNG QUA CÁC BÀI TỐN THỰC TIỄN...32

2.1. Định hướng xây dựng biện pháp... 32

2.2. Thiết kế một số bài toán thực tiễn dạy học chủ đề Hàm số bậc hai theo hướng mơ hình hóa cho học sinh trung học phổ thơng...35

2.2.1. Biện pháp 1: Xây dựng mơ hình tốn học dựa trên những sự vật thực tế có dáng điệu của parabol...35

2.2.3. Biện pháp 3: Tạo tình huống yêu cầu chuyển đổi các vấn đề thực tiễn có mục đích tối ưu dưới dạng ngơn ngữ tốn học...55

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

3.5. Phân tích kết quả thực nghiệm... 66

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

DANH MỰC BẢNG, BIÉU

Sơ đồ 1.1. Quá trình mơ hình hóa tốn học (theo Blum, 2007)... 15

Sơ đồ 1.2. Q trình mơ hình hóa tốn học mở rộng với sự hỗ trợ công nghệ(theo Greefrath, 2016) 16Sơ đồ 1.3: Q trình mơ hình hóa Tốn học...20

Sơ đồ 1.4: Cơ chế điều chỉnh q trình mơ hình hóa... 21

Bảng 1.1 Bảng các yêu cầu cần đạt của học sinh khi học hàm số bậc hai theo chương trình giáo dục phổ thông mới... 29

Bảng 1.2 Bảng các biêu hiện của năng lực mơ hình hóa của học sinh khi họchàm sơ bậc hai...

Hình 2.1.1. ứng dụng của parabol trong xây dựng...

Hình 2.1.2. ửng dụng của parabol trong xây dựng...

Hình 2.1.3. ứng dụng của parabol trong chế tạo mặt kínhHình 2.1.4. ứng dụng của parabol trong chuyển động...

Hình 2.1. Hình minh họa cho ví dụ 2.1303333343436Hình 2.2. Đồ thị minh họa cho ví dụ 2.1Hình 2.3 Hình minh họa ví dụ 2.2... 39

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

MỎ ĐÀU

1.1 Xuất phát từ yêu cầu đối mới của nền giảo dục

Trong q trình hội nhập và tồn cầu hóa hiện nay, mọi khía cạnh của xã hội ngày càng phát triến, việc đổi mới giáo dục là yêu cầu cần thiết, mang tính quan trọng và đang là mối quan tâm của các cấp, ngành, các nhà khoa học và toàn xã hội, nhà nước ta. Trong đó Đảng và Nhà nước ta đặc biệt chú trọng việc đổi mới nội dung, chương trình, đối mới phương pháp dạy học, đổi mới phương pháp kiểm tra, đánh giá. Nền giáo dục - đào tạo đang trên đà đổi mới căn bản và tồn diện, địi hỏi giáo dục phổ thơng cần chuyển từ nền giáo dục theo hướng tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực người học. Trong đó, phát huy tính sáng tạo, tích cực và tự lực, phát triến năng lực hành động, năng lực hợp tác của người học là định hướng quan trọng trong đối mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông.

Theo Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể, trong dạy học Tốn, một trong những năng lực cần hình thành cho học sinh là năng lực mơ hình hóa tốn học. Theo Tạp chí Giáo dục số 380, các thành tố của năng lực mơ hình hóa trong dạy học Tốn gồm: Đơn giản giả thiết toán học, loại bỏ các yếu tố phi toán học, xử lý điều kiện của bài tốn; Làm rõ mục tiêu bài tốn, hiểu tính thực tế của bài toán; Thiết lập vấn đề từ tình huống thực tế; Xác định

biển, tham số, hằng số liên quan, tìm mối liên hệ giữa các biển số; - Lựa chọn mơ hình tốn học; Biểu diễn mơ hình bằng biểu đồ, đồ thị, xử lý số liệu thực tê; Liên hệ lại vân đê trong thực tiên. Vậy, những yêu câu cân đạt của năng lực này thể hiện thông qua việc thực hiện các hoạt động sau: Sử dụng các mơ hình tốn học (gồm cơng thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ...) để mơ tả các tình huống đặt ra trong bài tốn thực tế; Giải quyết các vấn đề toán học trong mơ hình được thiết lập; Thực hiện và đánh giá lời giải trong bối cảnh thực tiễn và cải tiến mơ hình nếu phương án giải quyết khơng phù hợp với

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

thực tiễn. Thông qua hoạt động mơ hình hóa tốn học đề mơ tả các tình huống đưa ra, giải quyết các bài tốn thực tiễn, giúp học sinh không những nắm vừng kiến thức, mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn mà cịn hình thành và phát triển năng lực mơ hình hóa cho các em.

Trong chng trình mơn Tốn ờ lớp 10, một phần kiến thức có mối liên hệ chặt chẽ với các hiện tượng thực tiễn và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học; có thể biểu diễn đồ thị của hàm số thơng qua hình vẽ, sơ đồ là “Hàm số bậc hai”. Vì vậy, việc nghiên cứu dạy học mơ hình hóa cho học sinh trong dạy học nội dung “Hàm số bậc hai” là rất thiết thực.

1.2. Xuất phát từ nhu cầu của người dạy và người học

Trong quá trình học tập và rèn luyện mơn Tốn, bên cạnh mong muốn làm chủ tri thức, người học cịn mong muốn có được những kĩ năng, năng lực nhất định nhằm giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác. Người dạy cũng có nguyện vọng truyền đạt tri thức, kích thích sự hứng thú, say mê nghiên cứu, rèn luyện những kĩ năng, năng lực cho người học nhằm tạo ra những con người mới tồn diện.

1.3. Xuẩt phát từ đặc điếm mơn học và chương trình sách giáo khoa trung học phổ thơng

Tốn học liên hệ mật thiết với cuộc sống hàng ngày. Nhờ vào áp dụng kiến thức và kỳ năng cơ bản của Toán học, mọi người đã giải quyết các vấn đề thực tế một cách có hệ thống và chính xác hơn, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển. Ở trường trung học phổ thơng, Tốn học cịn góp phần hình thành và phát triển nhân cách và tính cách của học sinh, phát triển kiến thức, kỳ năng quan trọng và tạo cho học sinh cơ hội để trải nghiệm, áp dụng toán học vào cuộc sống thực tiễn, giữa tư duy toán học, toán học và thực hành tốn học.

Nội dung mơn Tốn có đặc thù là trừu tượng, khái quát. Do đó đế học được và áp dụng được Tốn thì người học cần cân đối giữa việc học lý thuyết và vận dụng thực hành.

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

2.Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu cơ sở lý luận và đề xuất một số biện pháp sư phạm đề dạy học nội dung “Hàm sổ bậc hai” theo hướng mơ hình hóa một số bài tốn thực tiễn cho học sinh trung học phổ thơng và góp phần nâng cao chất lượng dạy và học mơn Tốn.

Neu thiết kế chủ đề có thêm các bài tốn thực tế cho học sinh tìm tịi, mơ hình hóa, hoạt động trong dạy học chủ đề “Hàm số bậc hai” thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề “Hàm số bậc hai”, tăng hứng thú học tập bộ mơn Tốn cho học sinh.

- Nghiên cứu hệ thống các quan điểm lý luận về dạy học mơ hình hóa.

- Nghiên cứu nội dung chương trình “Hàm số bậc hai” trong chương trình THPT, thực trạng dạy học mơ hình hóa chủ đề “Hàm số bậc hai” cho

Việc dạy học mơ hình hóa chủ đề Hàm số bậc hai cho học sinh THPT.

5.2. Đối tượng nghiên cứu

Dạy học mô hình hóa cho học sinh trung học phổ thơng thơng qua các bài toán thực tế trong dạy học chủ đề Hàm số bậc hai.

Quá trình dạy học chủ đề Hàm số bậc hai trong chương trình trung học phổ thơng theo quan điểm mơ hình hóa.

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

6.Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu mở về giáo dục học mơn

tốn, lý luận và phương pháp dạy học bộ mơn tốn, các sách, tạp chí khoa học tốn các cơng trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.

- Điều tra quan sát: Dự giờ và quan sát việc dạy học trực tiếp của giáo

viên trên lớp. Phòng vấn các giáo viên trực tiếp trong q trình giảng dạy mơn Tốn ở trường trung học phổ thông, phát phiếu hỏi giáo viên và học sinh để tìm hiểu thực trạng vấn đề dạy học tích họp ở trường trung học phổ thông. Tổng kết các câu trả lời và kinh nghiệm để tìm ra những kết luận khoa học cần thiết cho luận văn.

- Thực nghiệm sư phạm: Thể hiện các biện pháp sư phạm đã đề ra qua

một số giờ dạy thực nghiệm ở một số lớp học thực nghiệm và lớp học đối chứng trên cùng một lóp đối tượng.

Ngồi phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung luận văn gồm ba chương:

- Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn

- Chương 2. Dạy học mơ hình hóa chủ đề “Hàm số bậc hai” cho học sinh lớp 10 trung học phổ thông thông qua các bài toán thực tiễn

- Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Chương 1

Cơ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1.1. Mơ hình

Theo Lesh và Thomas ([23], tr. 7), mơ hình là một hệ thống dùng để mơ tả lại (thiết kế hoặc giải thích) một hệ thống nhằm giải quyết một số mục đích được chỉ định rõ ràng.

Một hệ thống là một tập hợp các đối tượng liên quan, có thể là thực hoặc ảo, vật chất hoặc tinh thần, đon giản hoặc phức tạp. Cấu trúc của một hệ thống là một tập hợp các mối quan hệ giữa các đối tượng của nó. Bản thân hệ thống được gọi là tham chiếu của mơ hình.

Theo Mason và cộng sự của minh (trích dẫn theo [12], tr. 15), mơ hình được mơ tả như một thứ dùng để thay thế qua đó mơ tả và thấy được các đặc trưng của sự vật hoặc sự việc trên thực tế. Thơng qua mơ hình ta có thế thao tác, khám phá đặc điểm, thuộc tính, tính chất của đối tượng cần nghiên cứu mà khơng phải tìm kiếm đối tượng thật, về trực giác, mơ hình thường được tư duy theo ý nghĩa vật lý, tức là một bản sao của đối tượng thực tế, chỉ khác về kích thước. Bên cạnh đó, N.D.Nam ([12], tr. 16) đưa ra khái niệm mơ hình là tập hợp các quy tắc biểu diễn một sự vật, hiện tượng diễn ra trong suy nghĩ của người quan sát.

Tuy nhiên, theo góc nhìn của Greefrath và các cộng sự ([24], tr. 9), mơ hình được coi là sự biểu diễn một cách đơn giản hóa các vấn đề trong thực tế, tức là, các mơ hình chỉ phản ánh được một phần khía cạnh nào đó ở một mục tiêu nào đó. Đối với mồi mục tiêu, phần quan sát của thực tế thường bị loại bỏ, không được xem xét đến và các mối quan hệ giữa các yếu tố trong thực tiễn thì bị hạn chế trong q trình biểu diễn bằng mơ hình.

Theo L.T.H. Châu [1]: “Mơ hình là một mầu, một đại diện, một minh

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

họa được thiết kế để mô tả cấu trúc của hệ thống, cách vận hành của một hoặc các sự vật, hiện tượng thuộc hệ thống này”. Tác giả chì ra rằng khái niệm mơ hình cũng được hiểu theo hai nghĩa: nghĩa thứ nhất là coi như một bản sao và nghĩa thứ hai là cái thu được từ việc diễn đạt các đặc trưng chủ yếu của một tình huống theo một ngơn ngữ nào đó.

Như vậy, có hai quan điểm về định nghĩa mơ hình: một là mơ hình là một mẫu vật, một đại diện minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của sự vật, hệ thống, hai là mơ hình được coi là một bản sao của các vấn đề mang tính lý thuyết. Khi mơ hình là đồ vật thì gọi là mơ hình vật chất, cịn khi mơ hình là tư duy thì gọi là mơ hình lý thuyết (hay mơ hình quan niệm).

Thường thì ta sẽ áp dụng cả hai mơ hình trong nghiên cứu.Chức năng chung của mơ hình bao gồm:

- Tái tạo sự vật, quá trình đã từng tồn tại hoặc đang có thật, ví dụ mơ hình hệ mặt trời, mơ hình kim tự tháp, ... Chức năng này của mơ hình được dùng đê dạy học, đào tạo, minh họa, giải thích,... hoặc khái qt hóa đê người khác có thể hiểu được sự vật khi nó khơng tồn tại trực tiếp trước mắt.

- Phản ánh bằng dự đoán, suy luận, giả tưởng về sự vật sẽ xuất hiện hoặc mong muốn sẽ có. Chức năng này của mơ hình được sử dụng trong nghiên cứu. Khi mơ hình được khai thác chức năng này , nó giúp tiến trình nghiên cứu, logic nghiên cứu, kết quả thực nghiệm, xác lập giả thuyết minh

bạch hơn, chi tiết hơn, cụ thể hơn.

Nếu căn cứ vào chức năng của mơ hình thì ta có thể phân loại các mơ hình như sau:

- Mơ hình cấu trúc hay tổ chức.

- Mơ hình vận hành hay hoạt động.

- Mơ hình ngun lý chung (thường là các học thuyết, lý thuyết).Nếu căn cứ vào công cụ hay phương tiện tạo dựng mơ hình thì có thề nói về các loại mơ hình sau:

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

- Mơ hình tốn học, ví dụ mơ hình tốn học tam giác vng, mơ hình tốn học khối đa diện, ... Loại mơ hình này phổ biến ở mọi lĩnh vực nghiên cứu, quản lý, kinh doanh, tài chính, qn sự,...

- Mơ hình logic hoặc đồ họa, ví dụ các sơ đồ, biểu đồ, hình vẽ, đồ thị, ma trận được sử dụng đế mô tả sự vật, q trình nào đó.

/. 1.2. Mơ hình tốn học

Theo Ang Keng Cheng [25], một mơ hình tốn học là một hình thức tốn học của các vấn đề thực tiễn (có thể phức tạp) hoặc các tình huống trong thế giới thực, được thực hiện bằng cách đơn giản hóa hay trừu tượng hóa, tức là những vấn đề thực tiễn có thể được chuyển đồi thành vấn đề mang tính chất tốn học. Theo đó, các vấn đề toán học được giải quyết bằng việc sử dụng tất cả các cơng cụ, giải pháp tốn học.

N.D.Nam ([12], tr. 16) dựa trên định nghĩa về mơ hình lý thuyết để đưa ra quan điểm về mơ hình tốn học, khi các quy tắc tạo nên mơ hình là quy tắc tốn học thì một mơ hình tốn được tạo ra. Theo tác giả, mơ hình tốn học là một cấu trúc toán học gồm các ký hiệu, mối quan hệ tốn học biểu diễn, mơ tả các thuộc tính của đối tượng nghiên cứu.

Theo L.T.H. Châu [1], mơ hình tốn học là sự mơ tả bàng tốn học cho một hệ thống ngồi tốn học với những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống này.

Mơ hình tốn học là một mơ hình trừu tượng sử dụng ngơn ngữ của tốn học để mơ phỏng về một vật thể, quá trình,... hay một hệ thống nào đó. Mơ hình tốn học được sử dụng đặc biệt nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và kỳ thuật (sinh học, vật lý, kỹ thuật điện tử, cơ học, ...) đồng thời có cả trong khoa học xã hội (xã hội học, kinh tế, khoa học chính trị, ...). Nguyễn Cảnh Tồn cho rằng: “Mơ hình tốn học khác các mô hỉnh trong các khoa học khác ở chồ nó bỏ các thuộc tính về “chất” mà chỉ cần một ngơn ngữ nào đó chính xác để diễn tả đúng nhũng quan hệ số lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

quan hệ sô lượng khác” [12],

về mặt nhận thức, mô hình tốn học là sản phẩm của q trình tư duy, ra đời bởi nhu cầu trừu tượng hóa các đổi tượng cụ thể. Mơ hình tốn học được sử dụng để mơ tả các tình huống trong thực tiễn hoặc các tình huống phi tốn học theo các định dạng tốn học. Mơ hình tốn học được tạo ra để xử lý • • • • • • • Jcác dữ liệu thực mà có thể quản lý được. Do đó, chỉ một số dữ kiện trong thực tể mới có thể chuyền được vào tốn học thơng qua mơ hình hóa và được phát triển trong q trình mơ hình hóa. Các mơ hình khác nhau về tính hiệu quả hay độ phức tạp phụ thuộc vào sự hiểu biết tốn học và thơng qua việc sử dụng chúng để giãi quyết vấn đề.

Theo Shafi’i [26], có sự đối lập giữa mức độ đơn giản của việc tính

tốn với độ chính xác của mơ hình. Một mơ hình càng sát với thực tế thì cơng cụ tính tốn được sử dụng càng phức tạp.

Herzt [27] đưa ra ba tiêu chí để lựa chọn một mơ hình tốn học sử dụng đế giải quyết vấn đề thực tiễn nào đó là tính chấp nhận được, tính chính xác và tính phù hợp.

Tinh chấp nhận được: Một mơ hình tốn học được chấp nhận nếu nó

khơng mâu thuẫn với các nguyên tắc về tư duy logic.

Tính chính xác: Một mơ hình tốn học chính xác nếu mơ hình thế hiện • • •ở các mối quan hệ trong thế giới thực đều được biểu diễn trên mơ hình.

Tính phù hợp: Herzt cho rằng một mơ hình được coi là phù hợp nếu mơ hình mơ tả nội dung thích hợp cùng những thơng tin liên quan tới nó. Neu một mơ hình được lựa chọn phù họp, nó có thể đánh giá, dự đoán được các vấn đề thực tiễn.

Theo Meyer [28] khi đo lường một mơ hình cần thực hiện sáu nguyên tắc: Độ chính xác, mức độ rõ ràng, độ mạnh của mơ hình, tính mơ tả thực tế, tính tổng quát và hiệu quả.

Tính chính xác: kết quả đưa ra từ mơ hình là đúng hoặc gần đúng.

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Tính mơ tả thực tế: dựa trên các giả thuyết đúng.

Tính rõ ràng: dự đốn và mơ hình lựa chọn phải đồng nhất.

Tính mạnh: ít bị ảnh hưởng bởi lỗi của bộ dữ liệu ban đầu.

Tính tổng qt: áp dụng được với nhiều tình huống.

Tính hiệu quả: kết quả cuối cùng có ý nghĩa hoặc có thế gợi mở cho việc sử dụng những mơ hình khác.

Sử dụng một mơ hình có sẵn thì chưa thực sự có hiệu quả trong việc giải quyết một tình huống nào đó, hoặc cũng có thể có các mơ hình có sẵn hiệu quả hơn để sử dụng trong cùng một tinh huống. Do đó, việc dựa vào một số ngun tắc đánh giá mơ hình từ đó lựa chọn mơ hình thích họp nhất cho việc giải quyết vấn đề.

Như vậy, theo quan điểm của tác giả thì một mơ hình tốn học là một tập hợp các ký hiệu và các mối quan hệ toán học, nó đại diện cho một tình huống, một hiện tượng thực tiễn hoặc một vấn đề nào đó cần nghiên cứu. Trong mồi một tình huống đưa ra, việc xây dựng hay lựa chọn, đánh giá, kiểm tra một mô hình là quan trọng để đưa ra lời giải cuối cùng hợp lý nhất.

1.1.3. Mơ hình hóa tốn học* Mơ hình hóa

Tác giả xem xét trong mơi trường tốn học và cho thấy mơ hình hóa là một q trình chuyển đồi giữa thực tiễn và tốn học và nó được lặp đi lặp lại

nhiều lần.

Theo Hestenes ([23], tr. 34), cấu trúc của một chu kỳ mơ hình hóa bao gồm bốn giai đoạn chính: xây dựng mơ hình, phân tích, xác nhận và triển khai. Tuy nhiên, Hestenes nhấn mạnh rằng các giai đoạn có thể khác nhau trong mỗi chu kỳ, phụ thuộc vào mục tiêu của người thực hiện mơ hình hóa. Hơn nữa, các giai đoạn không nhất thiết phải được thực hiện theo thứ tự tuyến tính.

Xây dựng mơ hình: phối hợp tất cả các công cụ khác nhau để xây dựng một mô hình khoa học hồn chỉnh tương ứng với tình huống thực tế.

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Phân tích mơ hình: giai đoạn này liên quan đên việc khai thác thông tin một mơ hình, chẳng hạn như giải thích các yếu tố, dự đoán thử nghiệm, hoặc trả lời những vấn đề về các đối tượng được mơ hình hóa, thực hiện giải quyết vấn đề,...

Xác nhận mơ hình: liên quan đến việc đánh giá tính đầy đủ của mơ hình để mơ tả đặc điểm của hệ thống, quy trình cần tìm hiểu ban đầu.

Triên khai mơ hình: Gồm việc điều chỉnh một mơ hình trong bối cảnh khác đế mơ tả các hệ thống, quy trình tương ứng phù hợp với bối cảnh đó.

Mơ hình hóa là bước đầu tiên và cần thiết trong việc áp dụng toán học. Vì mơ hình hóa khơng phản ánh đúng - sai, quá trình lại diễn ra từ từ theo từng bước nên thuận lợi cho việc sáng tạo và cải tiến. Từ đó, nhóm các nhà nghiên cứu đưa ra định nghĩa mơ hình hóa như một q trình trong đó tồn tại những hệ thống khái niệm và sử dụng những mơ hình để sáng tạo và phát triền mơ hình mới trong bối cảnh mới.

Theo N.D.Nam ([12], tr. 16), q trình tạo ra các mơ hình áp dụng trong việc giải quyết các vấn đề tốn học là mơ hình hóa.

Như vậy, theo tác giả, mơ hình hóa là q trình gồm các bước có thê được lặp đi lặp lại: đơn giản hóa vấn đề/tình huống, xây dựng/sử dụng mơ hình, làm việc với mơ hình và xác minh kết quả. Mơ hình hóa sử dụng trong

nghiên cứu này được coi như là một phương tiện để giải quyết vấn đề.

* Mơ hình hóa tốn học

Có nhiều định nghĩa và mơ tả của mơ hình hóa tốn học.

Theo từ điển bách khoa tồn thư, mơ hình hóa là sự chuyển đổi trừu tượng một thực tiễn cụ thể nhằm mục đích mơ tả thế giới trực giác hoặc thế giới đã được quan niệm hóa bàng ngơn ngữ tự nhiên. Mơ hình hóa là một trong những phương pháp nghiên cứu khoa học để định hướng nghiên cứu, thiết kế nghiên cứu, tiến hành các hoạt động nghiên cứu, tức là dựa vào mơ hình mà mình tạo ra để nghiên cứu đối tượng thực.

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Mơ hình hóa tốn học là sự chuyển đổi giữa thực tiền và tốn học. Mơ hình hóa tốn học là quá trình biểu diễn lại những vấn đề thực tiễn theo ngơn ngữ tốn học trong việc tìm kiếm phương án giải quyết vấn đề đó.

Mơ hình hóa tốn học thường được sử dụng trong trường hợp khơng thể quan sát trực tiếp hoặc tác động đến đối tượng thực hoặc cần hình dung ra được đối tượng khi đối tượng chưa xuất hiện, hoặc khi khái quát những thuộc tính bản chất của đối tượng và loại bỏ những đặc điểm phụ, không cần thiết, những yếu tố nhiễu để tập trung phân tích bản chất sự việc hơn, hoặc khi thiết kế tiến trình và các hoạt động nghiên cứu hoặc khi trình bày, tranh luận, giải thích,...

Cơ sớ logic cơ bản là phép loại suy (theo logic và quan sát thực mà tước bỏ dần các yếu tố ngoại lai, yếu tố gây nhiễu để giữ lại những thuộc tính bản chất). Tất nhiên mơ hình hóa tốn học phụ thuộc nhiều vào lĩnh vực nghiên cứu cụ thể. Có rất nhiều vấn đề khoa học khơng thể dựa vào mơ hình hóa hồn tồn mà phải quan sát thêm, đánh giá tác động trực tiếp mới thu được dữ liệu thực và giải quyết được Vấn đề. Nghĩa là chỉ sử dụng mơ hình

hóa ở giai đoạn hoặc nhiệm vụ nào đó phù hợp.

Edwards và Hamson [15] đưa ra khái niệm “mơ hình hóa tốn học là q trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề tốn học thơng qua việc thiết lập và giải quyết các mơ hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong tình huống thực tế, cải tiến mơ hình nếu cách giải quyết khơng thể chấp

nhận”. Nó đồng nghĩa với việc mơ hình hóa tốn học chính là q trình giải quyết vấn đề thực tế bằng công cụ và ngơn ngữ tốn học. vấn đề của tình huống thực tế được chuyển đồi sang vấn đề toán học phù hợp và ngược lại.

Theo Aristides c. Barreto (2010): “Mơ hình tốn học là một mơ hình trừu tượng sử dụng ngơn ngữ tốn học (các đồ thị, phương trình, hệ phương trình, hàm số, các ký hiệu tốn học, ...) để biểu diễn và mô tả đặc điểm của

một sự vật, hiện tượng hay một đối tượng thực được nghiên cứu”.

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Theo L.T.H Châu [1]: Mô hình tốn học là việc giải thích một hệ thơng ngồi tốn học bằng ngơn ngừ tốn học với những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống này. Q trình mơ hình hóa tốn học là q trình xây dựng một mơ hình tốn học cho vấn đề ngồi tốn học, giải quyết vấn đề bàng ngơn ngừ tốn học trong mơ hình đó, rồi kiểm tra và đánh giá kết quả trong ngữ cảnh thực tiễn, cải tiến mơ hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận.

Theo Haines và Crouch ([23], tr. 418), mơ hình hóa tốn học là một q trình tuần hồn, trong đó các vấn đề trong thế giới thực được tóm tắt, tốn học hóa, thực hiện các phương án giải quyết và đánh giá qua sáu giai đoạn: nêu vấn đề trong thực tiễn; xây dựng mơ hình; giải tốn; giải thích kết quả; đánh giá phương án giải quyết vừa thực hiện; điều chỉnh mơ hình trước khi đưa ra kết luận cuối cùng cho vấn đề ban đầu và lặp lại chu trình. Có thể bao gồm một giai đoạn thứ bảy: làm báo cáo sau giai đoạn năm. Tuy vậy, các nhà nghiên cứu đưa ra rằng, q trình mơ hình hóa tốn học khơng nhất thiết phải trải qua đầy đủ các giai đoạn như vậy.

Galbraith và Stillman [29] tin rằng việc áp dụng mơ hình hóa ở trường học trung học phổ thơng cần liên tục đối chiếu với bối cảnh thực tiễn ở các giai đoạn cùa q trình mơ hình hóa mà không chi thực hiện tại giai đoạn 5: đánh giá một giải pháp, hoặc giai đoạn 6: tinh chỉnh mơ hình.

Theo Shafi’i [26], một mơ hình hóa tốn học là một mơ hình được tạo ra bởi các cơng cụ tốn học. Và do đó, ơng cho rằng bằng việc một mơ hình hóa tốn học giúp cho người học hiểu được phương pháp tạo ra mơ hình. Các loại một mơ hình hóa tốn học được Shafi’i đưa ra như sau:

- Mơ hình hóa định lượng: được coi là phương pháp truyền thống, dựa trên lý thuyết gần đúng, phân tích thống kê và phân tích số,... Loại mơ hình hóa này thường khá là rõ ràng và sử dụng bộ dữ liệu cụ thế thu được từ các phép đo thực nghiệm. Kết quả của mô hình hóa định lượng thì thường được xử lý bởi các nhà tốn học hoặc có sự trợ giúp của phần mềm tốn học.

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

- Mơ hình hóa định tỉnh: sử dụng để mơ hình hóa các tình huống thực

1 /\ _ r 4- J?1_ ? • 1 .11 • _ 1 . \ 1 1/\4- Ạ 1 .Ặ 1 1_ W _1y ._ > •

tê, nó được mơ tả bởi bộ dữ liệu chưa rõ ràng, không đông nhât hoặc là rời rạc. Các biến không được đại diện bởi số mà bàng các dấu hiệu. Mơ hình hóa định tính thường chứa khơng nhiều tốn học nhưng nó là phương pháp trợ giúp q trình giảng dạy tốn học bởi định hướng ban đầu để thực hiện mơ hình hóa gắn liền với các ngun tắc mơ hình hóa và phân tích trục quan.

Hiện nay có rất nhiều định nghĩa mơ tả khái niệm Mơ hình hóa tốn

học được chia sẻ trong lĩnh vực giáo dục toán học, tùy vào quan điểm mà tác giả lựa chọn. Nói một cách đơn giản Mổ hình hỏa tốn học được hiểu là sử dụng các cơng cụ tốn học đê mơ phỏng các tình huống thực tiền, thê hiện các tình huống đó dưới dạng ngơn ngữ tốn học, đưa bài toán thực tiền thành bài toán phù họp. Quá trình mơ phỏng và chuyển đổi giữa tỉnh huống thực tế

và tình huống tốn học phải tn theo những yêu cầu nhất định với những quy tắc đặc biệt để xây dựng được giả thuyết tốn học, từ đó để học sinh dễ dàng quan sát, nhìn nhận các vấn đề thực tiễn. Mơ hình hóa tốn học là một hoạt động phức tạp, chuyển đổi giữa thực tế và tốn học theo cả hai chiều vì vậy địi hỏi học sinh phải có nhiều năng lực khác nhau trong các lĩnh vực toán học khác nhau, đồng thời có kiến thức liên quan đến tình huống thực tiễn.

Lý do mà tốn học ln chiếm thời lượng lớn trong chương trinh giáo dục ở các nước trên thế giới là vì những lợi ích to lớn của tốn học áp dụng được trong thực tiễn, được áp dụng dưới nhiều hình thức khác nhau trong nhiều mơn học như vật lý, hóa học, sinh học, kĩ thuật, trong cơng việc và trong cuộc sống hàng ngày của mỗi người. Ngồi việc dạy tốn cần giúp học sinh phát triển kỹ năng kết nối các kiến thức đó để giãi quyết những vấn đề thực tiễn thì cịn cung cấp cho học sinh những kiến thức và kỹ năng liên quan tới tốn học như khái niệm, định lý, cơng thức, quy tắc. Mơ hình hóa tốn học và q trình mơ hình hóa tốn học là những cơng cụ cần thiết khi sử dụng toán học để giải quyết các vấn đề nằm ngồi lĩnh vực tốn học. Đối với học

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

sinh, mơ hình hóa toán học là cần thiết bởi những lý do sau đây:

- Cho phép học sinh hiểu được mối liên hệ giữa tốn học với cuộc sống mơi trường xung quanh và các môn khoa học khác, giúp cho việc học toán trở nên thú vị và ý nghĩa hơn.

- Trang bị cho học sinh khả năng sử dụng toán học đế giải quyết các vấn đề xuất hiện trong nhũng tình huống thực tiễn. Khi đó học sinh có thể thấy được tính hữu ích của tốn học trong thực tế, khả năng sử dụng tốn học vào các tình huống ngồi tốn khơng phải là kết q tự động của sự thành thạo tốn học thuần túy mà địi hịi phải có sự chuẩn bị và rèn luyện.

- Góp phàn tạo nên một bức tranh tồn diện và phong phú của toán học, giúp học sinh thấy được đó khơng chỉ là một ngành khoa học mà cịn là một phần của lịch sử văn hóa lồi người.

- Các ví dụ thực tiễn dùng để hình thành và củng cố nội dung toán học, điều này giúp học sinh hiểu sâu các chủ đề hoặc phát triển thái độ tích cực của

các em đối với tốn học, từ đó tạo động cơ thúc đấy việc học tốn.

- Là một cơng cụ phù họp góp phần phát triển các năng lực toán học của học sinh như suy luận, tìm tịi, khám phám, sáng tạo, giải quyết các vấn đề trong cuộc sống.

1.1.4. Q trình mơ hình hóa tốn học

Q trinh mơ hình hóa các tình huống hay bài tốn thực tế sử dụng các cơng cụ Tốn học phổ biến như thuật tốn, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hàm sổ, đồ thị hàm sổ,...

Mơ hình hóa tốn học thường được biểu diễn như một quá trình bắt đầu với một vấn đề đặt ra trong tình huống thực tiễn, tiếp theo tình huống được trừu tượng hóa thành các biểu diễn tốn học và được giải quyết thơng qua sử dụng các q trình tốn học. Người thực hiện mơ hình hóa dựa trên kết quả tốn có được để đưa ra phương pháp giải quyết đối với vấn đề ban đầu, tuy nhiên nếu cách giải quyết không phù hợp với ngữ cảnh thực tế thì quá trình

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

trên được lặp lại. Các nhà nghiên cứu giáo dục thường sử dụng những sơ đô khác nhau, tùy thuộc vào cách tiếp cận, mục đích nghiên cứu,... để chỉ ra bản chất của q trình mơ hình hóa, nhưng tất cả sơ đồ đều nhằm minh họa các bước chính trong một q trình, các giai đoạn có thể được lặp đi lặp lại để thực hiện hoàn chỉnh quá trình mơ hình hóa tốn học nhằm mục tiêu giải quyết vấn đề đặt ra.

Quả trình mơ hình hóa theo nghiên cứu của Blum (2007)

rest ofthe world

Sơ đồ 1.1. Quá trình mơ hình hóa tốn học (theo Blunt, 2007)

Sơ đồ 1.1 do Blum đưa ra được coi là cơ sở cho hầu hết các hoạt động mơ hình hóa tốn học. Với sơ đồ này, Blum cho thấy tầm quan trọng của việc

làm thế nào để xuất phát từ tình huống thực có thể xây dựng được mơ hình

tình huống và phân biệt rõ chúng mơ hình thực. Từ đó, Blum đưa ra q trình mơ hình hóa toán học gồm 7 bước [31 ]

Bước 1: Nhận biết được tình huống thực tế, khám phá, mơ tả và xây dựng mơ hình cho tình huống.

Bước 2: Đơn giản hóa tình huống, xác định các biến và lựa chọn các

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

biên phù hợp vào mô hình thực cùa tình hng.

Bước 3: Chuyển mơ hình thực tiễn sang mơ hình tốn bằng cách tạo, lựa chọn các cách biểu diễn tốn học, mơ tả các biến trong mơi trường tốn học.

Bước 4: Làm việc trong mơi trường tốn để đưa ra kết luận, nếu mơ hình chưa hợp lý thì xác định lại các biến và các mối quan hệ ở bước 3.

Bước 5: Diễn giải kết quả trong ngữ cảnh thực.

Bước 6: Kiềm tra và đánh giá kết quả, thực hiện lặp lại các bước trên nếu kết quả chưa tối ưu.

Bước 7: Áp dụng mơ hình cho các tình huống tương tự

Q trình mơ hình hóa theo nghiên cứu của Greefrath

Theo Greefrath ([31], tr. 22), các chức năng khác nhau của máy tính và cơng nghệ kỹ thuật số có thể hỗ trợ trong q trình thực hiện mơ hình hóa. Do đó, dựa trên q trình mơ hình hóa tốn học của Blum và LeiB, Greefrath đưa ra sơ đồ mở rộng như sau:

Thẻ £101Toan ho<

Kêt quả trên máy

Công nghe

Sơ đồ 1.2. Q trình mơ hình hóa tốn học mở rộng vói sự hỗ trợ cơng nghệ (theo Greefrath, 2016)

Trong q trình này, các giai đoạn quan trọng là

1. Tình huống thực tế của vấn đề phải được hiểu và chuyển đổi sang ngơn ngữ tốn học.

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

2. Các biểu diễn toán học tiếp tục được chuyển đổi sang ngơn ngữ của máy tính, hay nói cách khác là một mơ hình máy tính cụ thế phải được xây dựng.

3. Kết quả có được trong mơi trường cơng nghệ phải được chuyển đổi ngược lại vào môi trường toán học.

4. Chuyển đổi kết quả toán thu được sang kết quả trong tình huống thực tế ban đầu.

Các miền: thế giới thực, tốn học, cơng nghệ trong chu trình trên có ảnh hường qua lại lẫn nhau. Sự phát triển của một mơ hình tốn học trong mơi trường công nghệ một mặt phụ thuộc vào kiến thức về tình huống và kiến thức tốn, mặt khác chịu ảnh hưởng bởi khả năng sử dụng công nghệ. Sử

dụng cơng nghệ trong q trình MHH giúp đơn giản hóa q trình, mở rộng khả năng dự đốn, thứ nghiệm các phương án giải quyết các mơ hình tốn học mà đơi khi sẽ rất khó thực hiện nếu chỉ dùng giấy viết thơng thường. Tuy nhiên mơ hình mà Greefrath đưa ra chỉ thể hiện vai trò hỗ trợ cùa CNTT trong mơi trường tốn học: phân tích, xử lý số liệu và giải tốn.

Q trình mơ hình hóa theo Swetz & Hartzler ([30])

Giai đoạn 1: Nhận biết vấn đề thực tiễn, phác thảo tình huống và phát hiện được các yếu tố quan trọng (tham số) có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn.

Giai đoạn 2: Lập giả thiết về mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài tốn sử dụng ngơn ngữ Tốn học, từ đó thiết lập mơ hình Tốn học tương ứng.

Giai đoạn 3: Mơ hình hóa bài tốn và phân tích mơ hình bằng cách áp dụng các phương pháp và công cụ Toán học cụ thế, phù hợp.

Giai đoạn 4: Đưa ra kết quả, đối chiếu mơ hình và kết quả với thực

tiễn, từ đó đưa ra kết luận.

Tổng quát, khi thực hiện mơ hình hóa, tùy thuộc vào cách tiếp cận, mức độ phức tạp của tình huống thực tiễn được xem xét, hoặc mục đích nghiên

cứu,... mà quá trình mơ hình hóa được thực hiện theo giai đoạn/bước khác nhau. Nhưng tất cả các sơ đồ về quá trình thực hiện mơ hình hóa tốn học đều xuất phát từ vấn đề thực tiễn (hoặc tình huống thực), chuyển đổi sang thành

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

các vân đê tốn học, giải qut chúng trong mơi trường tốn học và kêt thúc là lời giải/ quyết định tối ưu trong thực tiễn đó hoặc lặp lại q trình ờ một ngữ cảnh mới nhằm đối chiếu dự đoán trước đó.

1.2.1. Dạy học mơ hình hóa tốn học

Henry Pollak là một trong những người đầu tiên trong lĩnh vực ứng dụng và mơ hình hóa trong giáo dục toán học. Ngay từ những năm sáu mươi của thế kỷ trước, ông đã nghiên cứu việc áp dụng mô hình hóa trong giảng dạy tốn học. Dạy học mơ hình hóa tốn học giúp cho sự quan tâm của học

sinh đối với toán sẽ trở nên lâu dài hơn.

Trong giáo dục, dạy học mơ hình hóa được đề cập đến như một phương pháp dạy học đổi mới, cung cấp cho học sinh những quan sát thực tế, những cách tiếp cận thực tế thông qua lý thuyết, giúp học sinh nắm được khái niệm của vấn đề, giúp học sinh đọc hiểu, thiết lập và giải quyết các vấn đề cụ thể dựa trên các tình huống thực tế. Mơ hình hóa cũng giống như một phương pháp nghiên cứu khoa học, giúp học sinh biết cách nghiên cứu và ứng dụng các mơ hình tốn học vào thực tiễn.

Trong nhũng năm trở lại đây, sử dụng mơ hình hóa trong dạy học tốn học ngày càng được quan tâm. Nhiều ý kiến khác nhau về dạy học mơ hình hóa được đưa ra, tuy nhiên đều xoay quanh hai mục đích của dạy học mơ hình hóa

Mơ hình hóa là một phương tiện dạy học tốn học. Người học sẽ tiếp

thu và vận dụng những khái niệm toán học khi thực hiện giải quyết các tình huống thực tiễn thơng qua q trình mơ hình hóa các tình huống thực tiền đó.

Mơ hình hóa là mục đích của dạy học tốn (cải thiện năng lực mơ hình hóa cho người học): năng lực mơ hình hóa là một năng lực cơ bản và mục đích giảng dạy toán học là trang bị cho người học năng lực này để giải quyết vấn đề trong toán học và trong các ngành học khác trên thực tiễn.

Theo các nghiên cún ([12], tr.86, [1J), dạy học mơ hình hóa tốn học sẽ làm rõ nhất vai trị động cơ cùa các bài toán thực tiễn. Đây là quá trình người dạy tổ chức các hoạt động giúp người học xây dựng mơ hình tốn học đế giải

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

quyết các vấn đề trong thực tiễn.

Trong khi dạy học mơ hình với mục đích là nhấn mạnh vào kết quả (là các mơ hình) thì trọng tâm của dạy học mơ hình hóa tốn học là quá trình người dạy hướng dẫn người học đưa ra những miêu tả phù hợp với tình huống thực tiễn. Khi đó, việc dạy học mơ hình hóa tốn học sẽ bắt đầu từ một vấn đề thực tiễn và theo đó là q trình từng bước hướng tới giải pháp cụ thể.

Một số mục tiêu cơ bản của dạy học mơ hình hóa tốn học đó là: các • • • J • •mục tiêu về hành vi (behavioral objectives') như các sự việc và kỳ năng cơ bản nhận biết sự việc đó; mục tiêu của q trình (process objectives) đạt được

là các kỳ năng, kỳ xảo; mục tiêu mang tính ảnh hưởng (affective objectives)

như thái độ, niềm tin, cảm giác; mục tiêu về nhận thức (cognitive objectives) như nhận biết các loại mơ hình, hệ thống khái niệm đe xây dựng, mơ tả, giải thích, vận dụng và kiểm tra các mơ hình tốn học.

Dạy học mơ hình hóa là phương pháp xây dựng mơ hình tốn học nhằm diễn đạt và mơ tả các bài toán thực tiễn. Qua các lần thực nghiệm, kiếm chứng và nghiên cứu, các nhà giáo dục học đã nhận thấy rằng phương pháp dạy học mơ hình hóa trong q trình dạy học tốn có vai trị quan trọng. Phương pháp này giúp học sinh quen với việc sử dụng các lại dừ liệu khác nhau, lựa chọn và sử dụng cơng cụ khác nhau, phương pháp tốn học phù họp để giải quyết các bài toán thực tế, qua đó giúp học sinh hiểu sâu hơn và nắm chắc kiến thức, nắm được cách xây dựng mối quan hệ giữa thực tế và lý thuyết. Do vậy giáo viên càn phát triển hơn về cách xây dựng dạy học mơ hình hóa cho học sinh.

Q trình phát hiện và giải quyết vấn đề với mơ hình hóa có những đặc điểm tương đồng nhau giúp rèn luyện cho học sinh những kỳ năng toán học cần thiết. Do đó hỗ trợ và bổ sung cho nhau. Quy trình mơ hình hóa tốn học được xem là khép kín vì nó được dùng để mơ tả và giải quyết các tình huống được nảy sinh từ thực tiễn và kết quả của nó được dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn. Sử dụng mơ hình hóa ở trường phổ thơng nhằm giúp học sinh giải quyết vấn đề bằng cách

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

- Thu thập thơng tin, hiêu và phân tích các kiên thức Toán học.- Vận dụng Toán học để mơ hình hóa các tình huống thục tiễn.

- Áp dụng được lý thuyết Toán học để giải bài toán sau khi mơ hìnhhóa.

Do vậy mơ hình hóa tốn học được cụ thê hóa theo sơ đơ sau đây

Vân đê thực tê

Mơ hình tốn học

Giải pháp tốn học

thực tiên khơng)

Châp nhận giải pháp

Sơ đơ 1.3: Q trình mơ hình hóa Tốn học

Tuy nhiên, trong thực tê dạy học ờ trường phô thơng, quy trình mơ hình hóa ở trên ln có sự điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và làm vấn

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

đề trở nên dễ hiểu hơn đối với học sinh phổ thông. Cơ chế này thể hiện mối quan hệ mật thiết giữa Toán học và các vấn đề thực tiễn (Sơ đồ 1.4).

Từ đó, các bước tổ chức hoạt động mơ hình hóa trong q trình dạy học mơn Tốn được đề xuất như sau:

- Bước 1: Tìm hiểu, mơ tả cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giả thiết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế.

- Bước 2: Thiết lập mối quan hệ giữa các giả thiết đã đưa ra. Xây dựng bài tốn bằng các ngơn ngữ Tốn học phù hợp để mơ tả tình huống thực tiễn.

- Bước 3: Sử dụng các công cụ Tốn học thích hợp để giải quyết bài tốn.

- Bước 4: Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mơ hình hóa Tốn học trong thực tiễn. Kiểm điểm tính hợp lý và tối ưu của mơ hình đã xây dựng. Neu chưa hợp lý, quay lại bước 3.

- Bước 5: Thơng báo, giải thích, dự đốn, cải tiến mơ hình.

Thực tiễnMối liên hệ Tốn Tốn học • • •học và thực tiễn

> r n

Sư đơ 1.4: Cơ chê điêu chỉnh q trình mơ hình hóa

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Nhăm vận hành linh hoạt quy trình mơ hình hóa, giáo viên cân hướng dẫn học sinh nắm được các yêu cầu cụ thể sau đây :

- Bước 1 (Nhận biết được tình huống thực tiễn): Nhận biết rõ vấn đề thực tiễn gặp phải, từ đó xây dựng giả thuyết sau đó mơ tả và diễn đạt vấn đề bằng công cụ và ngôn ngừ tốn học. Đây là q trình chuyển giao tình huống thực tế và tốn học bằng cách xây dựng mơ hình hóa tương ứng.

- Bước 2 (Giải bài tốn): Sử dụng kiến thức tốn học thích hợp để giải quyết bài tốn đã được tốn học hóa. Để giải quyết được bài tốn, học sinh cần phải có phương pháp thích hợp, cơng cụ tốn học tối ưu để giải quyết bài toán một cách hiệu quả nhất.

- Bước 3 (Thơng hiểu): Giải thích được lời giải của bài tốn với tình huống thực tiễn ban đầu.

- Bước 4 (Đối chiểu): Đối chiếu giả thuyết ban đầu đưa ra, học sinh cần phát hiện ưu và nhược điểm của kết quả tốn học vào tình huống thực tiễn, tìm hiều những hạn chế của mơ hình tốn học, lời giải của bài tốn, xem xét lại cơng cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu đế cải tiến mơ hình, xây dựng mơ hình mới. Ở bước này xảy ra hai trường hợp:

Trường họp 1: Kết quả tính tốn và mơ hình phù hợp với thực tiễn. Khi

đó cơng nhận cách đặt vấn đề, mơ hình tốn học đã xây dựng.

Trường họp 2: Mơ hình và kết quả khơng phù họp với thực tiễn. Khi đó cần đưa ra nguyên nhân và hạn chế của q trình hơ hình hóa. Mơ hình tốn học xây dựng đã phù hợp chưa, đã phản ảnh đầy đủ thực tế chưa? Neu chưa, cần điều chỉnh lại cho phù hợp.

Trong q trình thực hiện mơ hình hóa tốn học, bước 4 đóng vai trị quan trọng trong việc đánh giá tồn bộ q trình thực hiện mơ hình hóa tốn học nhằm giải quyết vấn đề thực tiễn đưa ra có hợp lý hay khơng? Neu như kết quả khơng phù hợp với thực tiễn thì có nghĩa là người thực hiện mơ hình hóa tốn học chưa có sự chính xác ở một hay một vài bước nào đó.

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

Dạy học mơ hình hóa tốn học là là một phương pháp giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bàng công cụ và ngôn ngữ tốn học. ớ trường phổ thơng mơ hình hóa diễn tả mối quan hộ giữa các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội với nội dung kiến thức toán học trong sách giáo khoa thơng qua ngơn ngừ tốn học, từ đó có thế thấy dạy học mơ hình hóa giúp học sinh phát triển sự thơng hiểu các khái niệm và q trình tốn học, hệ thống hóa các khái niệm, ý tưởng Toán học và nắm được cách xây dựng mồi quan hệ giữa các ý tưởng đó. Cách tiếp cận kiến thức này giúp việc học tốn của học sinh trở nên có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say

mê tốn học.

Do đó giáo viên có thể sử dụng mơ hình giãi thích, giúp học sinh hiểu về các hiện tượng trong thực tế cuộc sống và tính ứng dụng thực tiễn của toán học bằng tri thức toán học. Trong dạy học mơ hình hóa có thể được thể hiện bởi các dự án học tập, giáo viên chia học sinh thành các nhóm nhỏ để cùng tìm tịi, khám phá thế giới bằng phương tiện toán học với sự hướng dẫn của giáo viên. Mơ hình hóa được sử dụng để giải quyết các vấn đề thực tiễn như một phương tiện để dạy và học tốn ở trường phố thơng bởi vì nó là mơi trường để học sinh tìm hiểu, khám phá các kiến thức toán học cũng như các

kiến thức liên mơn khác.

Việc sử dụng mơ hình hóa nhằm mục đích sau:

- Để hiểu: Muốn hiểu được các ý tưởng thì ta càn hình dung được nó, tức là hình thành một hình ảnh xác thực và giản lược về đối tượng được tìm hiểu. Nhờ vào mơ hình mà ta có thể nhận thức vấn đề đơn giản và nhanh

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

- Để hồn chỉnh: Nhờ sự minh bạch của mơ hình mà ta có thể dễ dàng nhận thấy vấn đề đã phù họp với nhu cầu hay chưa, đã đầy đủ và chặt chẽ chưa, từ đó hồn thiện tiếp. Thêm nữa, mơ hình cịn giúp ta kiểm định, mơ phỏng và thực hiện.

Do đó mơ hình hóa phải có những đặc điểm sau:- Dễ đọc.

- Dễ hiểu.

- Dễ trao đổi.- Xác thực.

- Chặt chẽ.- Đầy đủ.

- Dễ thực hiện.

Ông muốn cắt ra một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất để làm mái che bể cá. Hỏi ông nên cắt tấm tôn như nào cho phù hợp mong muốn ?

Bước 1 (Tốn học hóa, hiểu tình huống thực tể)

Mơ phóng bài tốn bằng hình vẽ

Gọi các điểm A,B,C,D,0 như hình vẽ.Diện tích hình chữ nhật là s = AB.BC.Bước 2 (Giải bài tốn)

Đặt BC = x(0<x<l). Khi đó AB = 2ƠB = 2^1 - X2. Diện tích hình

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

chữ nhật là S' = 2x V1 — X2 = 2 Jx2 (1 - X2 j.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

Vậy s lớn nhất bằng 1 khi và chỉ khi X2Bước 3 (Thông hiểu)

Học sinh hiểu được vì diện tích s lớn nhất khi X = -T~, nên cắt tấm tôn

sao cho cạnh BC =I-y-. Nhung làm sao đê dựng được cạnh BC = ——, đó là 4 2A/ /,

đường kính là cạnh tấm tơn tại A và ổ. Ta có được ABCD là hình chữ nhật thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bước 4 (Đối chiếu)

Việc cắt miếng tơn như lời giải bài tốn đưa ra là hợp lý, khi đó diện tích hình chữ nhật là lớn nhất và quy trình cắt được hình chữ nhật là khả thi. Trong thực tế hình dạng miếng tơn sử dụng để cắt có thể là một hình khác mà khi tìm mối liên hệ giữa các cạnh của hình chữ nhật khó khăn hơn.

thơng mơn Tốn năm 2018

* Năng lực mỏ hình hóa tốn học

Có nhiều định nghĩa về năng lực mơ hình hóa tốn học, có nhiều tác giả

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

cho răng năng lực mơ hình hóa tốn học như là khả năng vận dụng kiên thức toán học vào thực tiễn, hay là khả năng áp dụng những hiểu biết toán học để mơ tã một tình huống thực tiễn về dạng tốn học. Do đó trọng tâm cùa hoạt động mơ hình hóa tốn học là việc xây dựng được mơ hình tốn học cho bài tốn đó. Năng lực mơ hình hóa tốn học tình huống thực tiễn của học sinh phụ thuộc hồn tồn vào trình độ tốn học và sự hiếu biết của bản thân về thế giới xung quanh. Các thành tố của năng lực mơ hình hóa của học sinh trung học phổ thơng bao gồm :

- Năng lực thu nhận thơng tin tốn học từ tình huống thực tiễn : Khả năng tưởng tượng, quan sát tinh huống thực tiễn, chuyển đổi các ý tưởng từ thực tiễn sang ngơn ngữ Tốn học; khả năng ước lượng, dự đốn các khả năng

có thể xảy ra.

- Năng lực định hướng đến các yếu tố trọng tâm của tình huống: khả năng xác định các yếu tố quan trọng của tình huống, khả năng thiết lập các mối liên hệ giữa các yếu tố đó, đánh giá mức độ phụ thuộc, khả năng loại bị những gì khơng bản chất, khả năng nêu ra bài tốn có nội dung thực tiễn.

- Năng lực sử dụng ngơn ngữ tự nhiên và ngơn ngữ tốn học: Khả năng sử dụng ngơn ngữ xúc tích, ngắn gọn, chính xác để mơ tả các tình huống; khả năng sử dụng ngơn ngữ Tốn học để chuyển đổi các tình huống thực tiễn sang

dạng tốn học.

- Năng lực xây dựng mơ hình tốn học: khả năng phát hiện ra các yếu tổ trọng tâm, khả năng biểu diễn các đại lượng thực tế bằng ngôn ngữ toán học, biểu diễn các mối quan hệ giữa các đại lượng.

- Năng lực làm việc mới mơ hình tốn học: khả năng giải tốn trên mơ hình tốn học và nêu ra được kết quả của mơ hình thơng qua bài tốn, khả năng dùng mơ hình phán đốn tình huống thực tiễn.

- Năng lực kiềm tra, đánh giá, điều chỉnh mơ hình: khả năng kiểm tra, kiểm định kết quả thu được, khả năng vận dụng suy luận có lý vào

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

việc đưa ra các mơ hình tốn học cho tình hng thực tiên và so sánh tìm mơ hình hợp lý hơn.

Tuy nhiên, thực tế nhiều tác giả cũng cho rằng khơng thể đồng nhất năng lực mơ hình hóa tốn học với năng lực tốn học hóa các tình huống thực tiễn. Theo Blum và Jensen, năng lực mơ hình hóa là khả năng thực hiện đầy

đủ các giai đoạn của quả trình mơ hình hóa một tình huống cho trước. Các

thành tố của năng lực mơ hình hóa tốn học bao gồm(1) Đơn giản giả thuyết;

(2) Làm rõ mục tiêu;(3) Thiết lập vấn đề;

(4) Xác định được biến số, tham số, hằng số;(5) Thiết lập mệnh đề toán học;

- “Giải quyết được những vấn đề toán học trong mơ hình được thiết lập.”- “Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến

được mơ hình nếu cách giải quyết khơng phù hợp, hướng tới lý giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính tốn có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không). Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hóa, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bố sung thêm giả thiết,

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

tổng quát hóa, ...) để đưa đến những bài toán giải được.”

Trong nghiên cứu này, để phù hợp với thực tiễn giáo dục của Việt Nam trong giai đoạn hiện tại, chúng tôi sử dụng mô tả về năng lực mơ hình hóa của học sinh mà đã được xác định trong chương trình giáo dục phổ thơng 2018.

* Đặc điêm nội dung hàm số trong chương trình mơn tốn ở trường phơ thơng

Trong chương trình giáo dục phổ thông 2018, nội dung hàm số và đồ thị được dạy một cách tường minh cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Cụ thể:

- Lớp 8 : Học sinh được nghiên cứu về hàm số và đồ thị, hàm số bậc nhất y = ax + b (a ự: 0) và đồ thị. Hệ số góc của đường thẳng.

- Lớp 9 : Học sinh được nghiên cứu về hàm số y — ax2 (a * 0) và đồ thị.

- Lớp 10 : Học sinh được nghiên cứu về hàm số bậc hai, đồ thị hàm số bậc hai tống quát và ứng dụng.

- Lớp 11 : Học sinh được nghiên cứu về hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit.

- Lớp 12 : Học sinh được nghiên cứu về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

Như vậy hàm số bậc hai là nội dung mà học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương trình lóp 9 và 10. Nội dung chi tiết và các yêu cầu cần đạt của học sinh khi học hàm số bậc hai được quy định cụ thể trong chương trình giáo dục phổ thơng 2018.

Lóp õ-

Nội dungHàm số

Yêu cầu cần đạt

y = ax2 (a * 0) và đồ thị

Thiêt lập được bảng giá trị của hàm sô

</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với hàm số y = ax2 (a 0) và đồ thị

10 Hàm số bậc hai, đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng.

Thiết lập được bảng giá trị của hàm số bậc hai.

sinh khi học Hàm số bậc hai như sau:

</div>Trang 37<div class="page_container" data-page="37">

Lựa chọn được công thức xác định hàm sô bậc hai phù hợp với tình huống thực tiễn.

Thiết lập được bảng giá trị của hàm số bậc hai tương thích với tình huống cho trước, từ đó xác định được hàm số bậc hai tương ứng.

Đặt ẩn, xác định được mối tương quan giữa hàm số bậc hai với tình huống thực tiễn.

Giải quyết vấn đề tốn học trong mơ hình hàm số bậc hai vừa được thiết lập.

Liên hệ được lời giải trong hoàn cảnh thực tế và cải tiến được mơ hình khi các phương án giãi quyết khơng phù hợp.

Bảng Ĩ.2 Bảng các biểu hiện của năng lực mơ hình hóa của học sinh khi học hàm sổ bậc hai

lớp 10 trung học phổ thông thông qua các bài tốn thực tiễn

Khi dạy học sinh các mơ hình tốn học, có nhiều khả năng bị hạn chế. Học sinh có thể khơng thuận lợi để hiểu được vấn đề, gặp khó khăn trong việc xây dựng giả thiết và xác định các biến số quan trọng cần thiết để xây dựng các mơ hình tốn học. Thêm vào đỏ, học sinh cũng bị hạn chế bởi kiến thức tốn học và khả năng lựa chọn phương án thích hợp để giải quyết các vấn đề và giải thích bài toán. Sự hiểu biết về những hạn chế cung cấp cái nhìn sâu vào suy nghĩ và học tập của học sinh khi học sinh trải qua quá trình mơ hình hóa. Điều quan trọng là giáo viên cung cấp giàn ý và những câu hởi theo hướng gợi mở và định hướng để hướng dẫn học sinh khi họ trài qua các yếu tố khác nhau của quá trình mơ hình hóa tốn học. Giáo viên phải xác định được và bổ sung kiến thức và kỹ năng cần thiết cho học sinh để xây dựng được các mơ hình tốn học và giải quyết nó. Học sinh có thể làm việc theo dự án, nhóm, hợp tác và có thể sử dụng cơng nghệ đề giải quyết các vấn đề.

Các mơ hình chỉ là định dạng ban đầu và mơ hình hóa sẽ thực hiện

</div>Trang 38<div class="page_container" data-page="38">

những chu trình kiểm tra và sửa đổi. Có những mơ hình có thể tồn tại trong thời gian dài, có thể chia sẻ và tái sử dụng trong nhiều tình huống tương tự về cấu trúc. Trong q trình mơ hình hóa tốn học, có thể có nhiều cách biểu diễn mơ hình khác nhau nhưng chúng sẽ được sắp xếp, lựa chọn hoặc tích hợp lại với nhau. Sau đó, những cách biểu diễn này được phân tích, giải thích, thử nghiệm để từ đỏ có thể điều chỉnh, sửa đổi hoặc loại bỏ không sử dụng trong

các bước tiếp theo của q trình mơ hình hóa tốn học.

Như vậy, theo các nghiên cửu đã đưa ra, tại tất cả các giai đoạn thực hiện q trình mơ hình hóa tốn học thì học sinh đều gặp khó khăn. Những khó khăn thường tập trung ở các hoạt động: nhận biết tình huống, chuyển đổi ngôn ngữ, lập chiến lược giải và đánh giá quá trình giải quyết vấn đề bằng mơ hình hóa tốn học.

Chương 1 đã trình bày tương đối cụ thể và làm rõ được khái niệm mơ hình tốn học, giới thiệu phương pháp cũng như tầm quan trọng của dạy học mơ hình hóa cho học sinh trung học phổ thơng để học sinh giải quyết các bài

tốn có nội dung thực tiễn. Thêm nữa chương 1 chỉ ra rằng việc rèn luyện học sinh năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn là vấn đề có tính cần thiết và là một nhiệm vụ giáo dục của nước ta.

</div>Trang 39<div class="page_container" data-page="39">

CHƯƠNG 2

SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHĨ THƠNG THỊNG QUA CÁC BÀI TỐN THỤC TIỀN

Trong quá trình dạy học cho học sinh trung học phổ thơng, phương pháp dạy học mơ hình hóa là một phương pháp dạy học đổi mới. Đẻ xây dựng những hoạt động dạy học mơ hình hóa có ý nghĩa và phù hợp với học sinh, chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

- Mở đầu với một tình huống thực tế, tình huống phải phù hợp với đổi tượng học sinh và chứa đựng được nội dung toán học mà học sinh đã được học.

- Dự kiến được nhũng kiến thức, kĩ năng toán học mà học sinh càn có để sử dụng và thiết lập mơ hình tốn học và giải được bài tốn.

- Làm rõ ràng tình huống, tạo mối liên kết giữa tình huống thực tế với tốn học bang cách:

• Đơn giản hỏa, đặc biệt hóa, cụ thể hóa.• Đưa ra các giả thiết phù họp.

• Nhận ra các tham số trong tình huống đe biểu diễn các đặc điểm cần thiết.• Thu thập dữ liệu từ thực tế để cung cấp thêm thơng tin cho tình huống,

các dữ liệu này sẽ gợi ý loại mơ hình tốn phù hợp với tình huống.• Các câu hỏi được đặt ra một cách rõ ràng.

- Đối chiếu mô hình với thực tế và đưa ra kết luận cần thiết.

Trong thực tế, học sinh có thể bắt gặp rất nhiều những hình ảnh của đồ thị hàm số bậc hai, có thể kể đến hình ảnh các cây cầu. Người ta làm cầu có hình dạng parabol với bề lõm quay xuống dưới để lực mà cây cầu gánh chịu được chia đều sang hai bên chân cầu, đế giảm lực lên cả cây cầu và giúp cầu khó bị sập hơn. Vì trên mặt cầu hình dạng parabol thì xe ln có khuynh

</div>Trang 40<div class="page_container" data-page="40">

hướng đi theo phương tiếp tuyến của mặt cầu làm lực tác dụng lên mặt cầu càng nhở. Tại các công viên vui chơi giải trí, đường ray tàu lượn siêu tốc được thiết kế theo các cung đường parabol để tăng cảm giác mạnh cho người

chơi đồng thời tạo động lực cho tàu di chuyển.

Hình 2.1.1. ứng dụng của parabol trong xây dựng

Hình 2.1.2. ủng dụng của parabol trong xây dựng

Trong thiên văn, các kính thiên văn được chế tạo có dáng điệu vì bộ

phận quan trọng nhất của kính thiên văn phản xạ là gương cầu và gương cầu đó phải được chế tạo theo dạng parabol là tốt nhất. Khi đó thì kinh thiên văn mới phản chiếu chính xác nhất vật về tiêu điểm gương (tia tới song song với trục chính). Khơng những thế việc sử dụng dạng mặt cầu parabol cho đèn pin,

</div>