rèո luyệո kĩ ոăոg giải toáո cho học siոh lớp 11 troոg dạy học chủ đề giới hạո của hàm số luận văn thạc sĩ sư phạm toán học

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC QUÔC GIA HÀ NỘI

<b>NGUYỄN TRUNG HIẾU</b>

<b>TRONGDẠY HỌCCHỦ ĐÈ GIỚIHẠN CỦA HÀM SÓ</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Cuối cùng, xin cảm ơn tập thể lóp Cao học Tốn 2 đã ln giúp đờ, hồ trợ tơi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Tôi đã học hỏi được nhiều điều từ các học viên tronglớp.

Hà Nội, ngày 26 tháng 12 năm 2023Học _• viên thực _{• •}hiện

<small>1</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<small>Nhiệm vụ nghiên cứu...2</small>

<small>Khách thể, đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu... 2</small>

<small>Khách thể nghiên cứu...2</small>

<small>Đối tượng nghiên cứu...2</small>

<small>Phạm vi nghiên cứu... 2</small>

<small>Vấn đề nghiên cứu... 2</small>

<small>Giả thuyết khoa học...3</small>

<small>Phương pháp nghiên cứu...3</small>

<small>Những đóng góp của luận văn... 4</small>

<small>Cấu trúc luận văn...4</small>

<small>CHƯƠNG 1. Cơ SỞ Lí LUẬN VÀ THỰC TIỄN...5</small>

<small>1.2. Kĩ năng giải Toán...13</small>

<small>1.2.1. Khái niệm kĩ năng giải toán...13</small>

<small>1.2.2. Các kĩ năng giải toán cần thiết trong nội dung giới hạn hàm số... 14</small>

<small>1.2.3. Rèn luyện kĩ năng giải toán... 14</small>

<small>1.2.4. Các mức độ của kĩ năng giải toán...15</small>

<small>1.2.5. Vai trò, ý nghĩa của rèn luyện kĩ năng giải tốn...15</small>

<small>1.3. Thực tiễn dạy học giải các bài tốn tìm giới hạn trong chương trình Tốn 11...16</small>

<small>1.3.1. u cầu cần đạt, nội dung giới hạn hàm số lớp 11... 16</small>

<small>1.3.2. Những kĩ năng cở bản thuộc nội dung chương giới hạn lớp 11... 17</small>

<small>1.3.3. Tìm hiểu thực trạng dạy học nội dung giới hạn của hàm số ở các trường phổ thông.... 18</small>

<small>1.3.4. Cách thức rèn luyện kĩ năng giải toán chủ đề giới hạn hàm số...24</small>

<small>Kết luận chương 1...26</small>

<small>CHƯƠNG 2. CÁC Kĩ NĂNG GIẢI TOÁN TIM GIỚI HẠN CỦA HÀM số...27</small>

<small>• •11</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<small>2.1. Kĩ năng tính giới hạn của hàm số dạng</small> ⁰⁰ <small>27</small>

<small>2.2. Kĩ năng tính giới hạn của hàm số dạng 37</small>

<small>2.3. Kĩ năng tính giới hạn của hàm số dạng </small><i><small>00 — 00...</small></i> <small>56</small>

<small>2.4. Kĩ năng tính giới hạn của hàm số dạng 0 • </small><i><small>00...</small></i> <small>66</small>

<small>Kết luận chương 2...71</small>

<small>CHƯƠNG 3. THỤC NGHIỆM SƯ PHẠM... 72</small>

<small>3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm... 72</small>

<small>3.1.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm...72</small>

<small>3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm... 72</small>

<small>3.2. Hoạt động thực nghiệm sư phạm... 73</small>

<small>3.2.1. Địa điểm đối tượng và bố trí thực nghiệm...73</small>

<small>3.2.2. Chuẩn bị... 73</small>

<small>3.2.3. Nội dung thực nghiệm sư phạm...74</small>

<small>3.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm... 75</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<b>MỞ ĐÀU</b>

<b>Lí do chọn đêtài</b>

Trong chương trình giáo dục phổ thơng hiện nay, việc rèn luyện kĩ năng, tư duy và khả năng sáng tạo của học sinh có vai trị vồ cùng quan trọng, góp phần phát triển phẩm chất và năng lực của học sinh. Thơng qua các chủ đề Tốn học, học sinh được rèn luyện các kĩ

năng cần thiết khi giải tốn, qua đó, HS từng bước phát triển năng lực của bản thân.

Trong chương trình Tốn lớp 11, chủ đề Giới hạn - Hàm số liên tục là một chủ đề quan trọng, đánh dấu sự mở đầu trong việc học tập và nghiên cứu mạch Một số yếu tố Giải tíchtrong Tốn phồ thơng. Giới hạn của hàm số có vai trị vơ cùng quan trọng khi mang tính kết nối giữa giữa mạch Đại số và Một số yếu tố Giải tích. Các bài tốn Giới hạn của hàm số từ cơ bản đến nâng cao rất đa dạng, phong phú, là nền tảng để học các nội dung trong mạch Một số yếu tố giải tích sau này, thường xuyên gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thơng, thi học sinh giỏi tốn cấp quốc gia, quốc tế cũng như trong các bài khảo sát đánh giá năng lực.

Thực tế khi học sang chương Giới hạn - hàm số liên tục, HS thường gặp khó khăn khi giải các bài tốn chú đề Giới hạn của hàm số. HS có thể thuộc các định lí, hệ quả nhưng lạikhơng biết cách vận dụng để giải toán hoặc vận dụng vào giải toán một cách máy móc,khơng có định hướng.

Đối với GV, việc hướng dẫn HS giải toán chủ đề Giới hạn của hàm số cũng thườnggặp một số hạn chế trong việc rèn luyện các kì năng giải tốn. Việc đó địi hởi phải tìm raphương pháp hiệu quả hơn, thuận tiện hơn trong việc giải các bài toán chú đề Giới hạn củahàm số.

Nhằm hiểu thấu đáo hơn về kĩ năng giải các bài toán chù đề Giới hạn củahàm số và dưới sự hướng dẫn, định hướng của thầy giáo <i>TS</i> Lê Đình Định, tơi quyết định chọn đề tài <b>"Rèn luyện kĩ nănggiải tốn cho học sinh lóp 11trong dạy học chủđề Giói hạn của</b>_♦_•<b> hàm số" cho</b> luận văn thạc _• sĩ cùa mình.

1

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

- Hệ thống hóa cơ sở lí luận về kĩ năng giải toán

- Nghiên cứu kĩ năng giải toán nội dung Giới hạn của hàm số.

- Nghiên cứu nội dung, mục tiêu dạy học của bài Giới hạn của hàm số.

- Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kĩ nàng giải toán bài Giới hạn cùa hàm số cho học sinh lớp 11 THPT.

- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiếm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài.

<b>Khách thể, đối tượngnghiên cứuvàphạm vi nghiên cứu</b>

<b>Kháchthể nghiên cún</b>

- Tình hình dạy học ở trường THPT Phùng Khắc Khoan.

<b>Đối tượng nghiên cún</b>

- Quá trình dạy học nội dung bài Giới hạn của hàm số.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<b>Giả thuyêt khoa học</b>

Nếu vận dụng các kĩ năng được hệ thống trong luận văn thì sè rèn luyện cho HS lớp11 kĩ năng giải toán thồng qua các bài toán giới hạn của hàm số, góp phần nâng cao hiệu quả quá trình dạy Đại số và Một số yếu tố Giải tích ở THPT.

- Phương pháp nghiên cứu lí luận:

• Phân tích tài liệu: Nghiên cứu các tài liệu tham khảo, sách giáo khoa, tài liệu đào tạo, và nghiên cứu trước đây về giáo dục toán học và việc giải toán về giới hạn của hàm số.

- Phương pháp điều tra quan sát:

• Xây dựng và sử dụng những mẫu phiếu điều tra về tình hình dạy và học bài Giới hạn của hàm số (điều tra qua giáo viên và điều tra qua HS).

• Dự giờ, trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp trong trường và các đồng nghiệpở trường khác.

• Điều tra thực trạng tiếp thu kiến thức về bài Giới hạn của hàm số.- Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

• Thiết kế các hoạt động thực nghiệm: Xây dựng các hoạt động giảng dạy và rèn luyệnkĩ năng giải toán về giới hạn của hàm số dựa trên các nguyên tắc sư phạm và kiến thứcchuyên môn. Thiết kế các bài tập, ví dụ minh họa, và hoạt động thực hành phù hợp vớimục tiêu học tập và nhu cầu của học sinh.

• Thực hiện thử nghiệm trong lớp học: Áp dụng các hoạt động và phương pháp giảngdạy đã thiết kế vào thực tiễn trong lớp học. Quan sát và ghi nhận các phản hồi từ giáo viênvà học sinh trong q trình thực hiện.

• Thu thập dữ liệu: Thu thập dữ liệu về hiệu quả của các hoạt động giảng dạy và rèn luyện thông qua việc quan sát, ghi chú, bảng ghi, cuộc trò chuyện, hoặc cuộc khảo sát.

3

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

• Phân tích và đánh giá: Phân tích dữ liệu thu thập được đê đánh giá hiệu quả của cáchoạt động giảng dạy và rèn luyện. Xác định các điếm mạnh, điềm yếu, cơ hội và thách thức trong quá trình giảng dạy và học tập.

- Phương pháp phân tích thống kê tốn học và kiếm định giả thuyết khoa học:

• Thu thập dữ liệu: Thu thập dữ liệu từ các hoạt động giảng dạy và rèn luyện, bao gồm điếm số của học sinh, kết quả của các bài kiểm tra, và các phản hồi từ giáo viên và học

• Mơ tả dừ liệu: Mô tả dữ liệu thu thập được bằng cách sử dụng các độ đo thống kê cơ bản như điểm trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn để hiểu về phân phối và tính biếnđộng của dữ liệu.

• Kiểm định giả thuyết: Sử dụng phương pháp kiểm định giả thuyết t-test, để kiểm tra tính đáng tin cậy của các kết quả và đưa ra kết luận về sự khác biệt giữa lớp thực nghiệmvà lớp đối chứng.

• Tổng hợp kết quả và đưa ra kết luận: Tổng hợp kết quả của phân tích thống kê và kiểm định giả thuyết để đưa ra kết luận về hiệu quả của các phương pháp giảng dạy và hoạt động rèn luyện kĩ năng giải tốn.

<b>Những đóng góp của luận văn</b>

Đề tài có giá trị về mặt lí thuyết. Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên ngành sư phạm tốn nói riêng và sinh viên ngành Tốn nói chung, giáoviên phổ thông và các đối tượng quan tâm đến các kiến thức mạch Giải tích, chủ đề Giới

hạn nói chung và bài Giới hạn của hàm số nói riêng.

<b>Cấu trúcluận văn</b>

<b>Mở đầu</b>

<b>Chương2: Các</b> kĩ năng giải toán trong việc tìm giới hạn của hàm sơ.

<b>Chương 3: Thực nghiệm</b> sư phạm.

<b>Kết luận</b>

4

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<b>CHƯƠNG 1. CơSỞ LÍLUẬN VÀ THỤ CTIỄN</b>

<b>1.1. Các vấnđề chungvề kĩ năng1.1.1. Khái niệm kĩ năng</b>

Trong cuộc sống, con người liên tục được học hỏi, trau dồi nhừng tri thức mới, nhữngkinh nghiệm từ thế hệ trước đế lại. Đồng thời, chúng ta cũng liên tục phải thực hiện các

nhiệm vụ từ sự phát triển bản thân và từ yêu cầu của xã hội. Các nhiệm vụ từ cơ bản đến phức tạp đều đòi hỏi chúng ta vận dụng một số vốn tri thức, kinh nghiệm nhất định để giảiquyết. Điều cơ bản là chúng ta phải khéo léo và linh hoạt khi vận dụng các lí thuyết cơ bản đề đưa vào từng trường họp cụ thế. Thông qua quá trinh học hỏi và vận dụng như vậy, con người dần hình thành các khả năng vận dụng lí thuyết cần thiết để giải quyết các vấn đề gặp phải. Các khả năng đó được gọi chung lại là kĩ năng.

Theo Từ điên <i>tiếng Việt</i> [24, tr 426], "kĩ năng<i> là khả năng vận dụng những kiến thứcthunhận được trong một lĩnh vựcnàođỏ vàothực tế".</i>

Khi nghiên cứu về kĩ năng, có rất nhiều quan điểm đã được đưa ra, tùy thuộc vào quan điếm của từng người và tùy vào mỗi lĩnh vực, khái niệm kĩ năng chưa thực sự thống nhấtthành một khái niệm chung. Chắng hạn trong lĩnh vực tâm lí học đề cập một số khái niệmvề kĩ năng được sử dụng như sau:

Trong <i>Tâm líhọcđạicương</i> [2, tr 149], tác giả Nguyễn Quang uẩn định nghĩa <i>"kĩnăng là năng lực sử dụng cácdữ kiện,các tri thức haykhải niệm đãcó, năng lựcvậndụng chủng đếphát hiện những thuộc tính, bảnchất của sựvật và giải quyết thành cơngnhững nhiệm </i>

<i>vụ lí luậnhay thựchành xácđịnh".</i>

<i>Trong Tâmlí học lứa tuổi vàTâm lỉ học Sư phạm</i> [6, tr 131], tác giả Lê Văn Hồng cho rằng<i> "kĩ nănglà khả năng vận dụng kiếnthức (khảiniệm, cáchthức, phươngphảp) đêgiảiquyết một nhiêm vụmới</i>

Trong khi đó, p. A. Rudich đưa ra quan điếm: <i>"kĩ năng là động tác màcơ sở của nólàsự vận dụng thực tế các kiến thức đã tiếp thu đêđạtđược kết quả trong một hình thức hoạt</i>

5

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

động vật chất cụ thế. Với quan niệm như vậy thuận lợi cho việc hình thành những kĩ năngvận động, những thao tác kĩ thuật,...

Quan niệm thứ hai coi kĩ năng là khả năng thực hiện một công việc hay việc thực hiệnmột hoạt động nào đó một cách có chất lượng và hiệu quả theo yêu cầu, theo mục đích xácđịnh trong những điều kiện nhất định (thời gian, phương tiện, môi trường hoạt động, nguồn lực,...). Hoặc kĩ năng là khả năng của con người thực hiện cơng việc một cách có hiệu quả và chất lượng trong một khoảng thời gian thích hợp, trong những điều kiện nhất định, dựavào tri thức và thói quen hình thành được. Như vậy, quan niệm kĩ nàng là quan niệm rộnghơn, khơng chỉ coi kì năng đơn thuần là hành động vật chất hay là động tác cụ thể, mà còn bao gồm cả hành động trí óc. Theo từ điến, "kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ liệu, cáctri thức hay các khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng đế phát hiện nhừng thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành cơng nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định"

Như vậy, dù phát biếu dưới góc độ nào, các tác giả đều thống nhất rằng, kĩ năng là khảnăng vận dụng các kiến thức, kinh nghiệm đà học đề giải quyết nhiệm vụ đặt ra. Nói đếnkĩ năng là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạttới mục đích đã định.

<b>Đặcđiểm củakĩ năn</b>

Dựa trên khái niệm, tác giả đưa ra một số đặc điểm của kĩ năng như sau:

- Kĩ năng được hình thành dựa trên cơ sở lí thuyết. Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựatrên một hoặc một nhóm kiến thức cụ thế. Đe tạo nên một kĩ năng từ một cơ sở lí thuyết,ta cần hiếu mục đích cùa việc tạo nên kĩ nàng đó, đồng thời biết cách thức tạo quy trình các thao tác đế hình thành kĩ năng, cũng như cần phải nắm được các yếu tố điều kiện cóthế ảnh hưởng đến các thao tác đó.

- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách củahành động.

- Kĩ năng của con người không phải là yếu tố bất biến trong suốt cuộc đời mà phụ thuộc vào người học thơng qua chính hoạt động của họ trong mối quan hệ của họ với cộng đồng.

6

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Tuy nhiên thực tiễn giáo dục cho thấy, học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc vậndụng những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được đế giải quyết dấu hiệu bản chấtcủa đối tượng, từ đó phát hiện nhừng mối liên hệ bản chất giừa tri thức đã có với đối tượngđó. Trong trường hợp này, tri thức không biến thành công cụ cũa hoạt động nhận thức, vànhư vậy khối kiến thức mà họ có là khơ cứng, khơng gắn với thực tiễn, khơng biến thànhcơ sở của các kĩ năng.

Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh nhừng thuộc tính khácnhau và những thuộc tính bản chất của các sự vật. Như vậy đế tri thức trở thành cơ sở lựachọn đúng đắn cho các hành động thì cần biết lựa chọn tri thức một cách đúng đắn và hợp

lí, nói cách khác, cần lựa chọn tri thức phản ánh thuộc tính bản chất, phù hợp với mục tiêu của hành động.

<b>Ví dụ 1.1. </b>Tìm giới hạn sau lim

nhân cúa hiện tượng đó là do kĩ nãng của học sinh chưa được hình thành.

7

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

<b>1.1.2. Sự hình thànhkĩ năng</b>

Theo từ điển giáo dục học, để hình thành được kĩ năng trước hết cần có kiến thức làmcơ sở cho việc hiều biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hànhđộng theo đúng mục đích, yêu cầu... Do kiến thức là cơ sở của kĩ năng cho nên tùy theo kiến thức học sinh cần nắm được mà có những yêu cầu rèn luyện kĩ nàng tương ứng.

Kĩ năng chỉ được hình thành thơng qua q trình tư duy đế giải quyết các nhiệm vụ đặtra. Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chù thể thường phải biến đơi, phân tích đối tượng đế tách ra các khía cạnh và những thuộc tính mới. Quá trình tư dưy điền ra nhờ cácthao tác phân tích, tống hợp trừu tượng hóa và khái qt hóa cho tới khi hình thành đượcmơ hình về một mặt nào đó của đối tượng mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài tốnđã cho.

Con đường hình thành kĩ năng rất phong phú và nó phụ thuộc vào các tham số như:Kiến thức xác định kĩ năng, yêu cầu rèn luyện kĩ năng, mức độ tích cực, chủ động của họcsinh... Tác giả đề xuất ba con đường để hình thành kĩ năng cho học sinh:

<b>Conđường thứ1: Truyền thụ cho </b>học sinh những trí thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài tốn vận dụng những tri thức đó. Từ đó, học sinh sẽ phải tìm tịicách giải, bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm (Thử các phươngpháp rồi tìm ra phương pháp tối ưư), qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng,

những phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt động.

<b>Conđường thứ 2: Dạy</b> cho học sinh nhận biết những dấu hiệu mà từ đó có thể xácđịnh được đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối giải đó vào bài tốn cụ thể.

<b>Con đưị’ngthứ 3:</b> Dạy cho học sinh chủ yếu là các hoạt động tâm lí cần thiết đối vớiviệc vận dụng tri thức. Trong trường họp này giáo viên không những chỉ cho học sinh tìm hiểu các mốc định hướng đề chọn lựa các dấu hiệu và thao tác mà còn tố chức các hoạt động cho học sinh trong việc cải biến sử dụng thơng tin thu được đế giải bài tốn đặt ra.

8

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Thực chất của sự hình thành kĩ năng là tạo dựng cho học sinh khả năng nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin chứa đựng trong bài tốn.

Khi hình thành kĩ năng cho học sinh cần tiến hành:

- Giúp học sinh biết cách tìm tịi để nhận ra các yếu tố đà cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng.

- Giúp học sinh hình thành một mơ hình khái qt đế giải các bài toán cùng loại.

- Xác lập được mối liên quan giữa bài tốn mơ hình khái qt và kiến thức tương ứng.

<b>1.1.3. Các yếu tốảnhhưởng đến sự hình thànhkĩ năng</b>

Sự hình thành kĩ năng bị ảnh hưởng bởi các yếu tố sau đây:

- Độ phức tạp của hệ thống thao tác vận dụng kiến thức: Đe hình thành kĩ năng, ta cần tạo và hướng dẫn học sinh thực hiện nhiệm vụ thông qua một hoặc một nhóm các thao tác. Nếu các thao tác này có độ phức tạp quá cao sẽ gây cản trở trong việc hình thành kĩ năng.Ngay cả việc ghi nhớ đúng trình tự thao tác cũng đã phần nhiều ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng. Tuy nhiên trên thực tế vẫn sẽ có một số nhiệm vụ địi hỏi một quy trình thao tác vận dụng kiến thức phức tạp. Đe học sinh có thế giải quyết được các nhiệm vụ kiểu vậy

một cách thuận lợi, có một số cách giáo viên có thề áp dụng như: chia nhỏ nhiệm vụ thànhcác đơn vị nhiệm vụ đơn giản hơn, từ đó chia nhở nhóm thao tác vận dụng nhàm dễ ghi nhớ và dễ thực hiện hơn; rèn luyện cho học sinh các nhiệm vụ tương tự với độ phức tạp ở mức thấp hơn, từ đó nâng dần trình độ kĩ năng của học sinh lên mức nhiệm vụ mong muốn. Quan trọng nhất là cần thiết kế các nhiệm vụ phù hợp với năng lực học sinh, tránh giao cácnhiệm vụ phức tạp khó khăn cho những học sinh không đủ năng lực.

- Thông tin, dữ kiện chứa đựng trong các nhiệm vụ: Một nhiệm vụ có nội dung cụ thể, thơng tin và dữ kiện đưa ra vừa đủ và tường minh sẽ tập trung được vào một nhóm cácthao tác mà giáo viên mong muốn học sinh thực hiện. Khi đó sự hình thành kĩ năng sẽthuận lợi và nhanh chóng. Đối với các kiếu nhiệm vụ có tính mở, học sinh sẽ cần nhiềuthời gian hơn khi phải tự xác định nhiệm vụ và lựa chọn các kĩ năng phù hợp. Nếu nhiệm

9

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

vụ được mô tả một cách mơ hô hoặc chứa quá nhiêu thông tin, hoặc chứa thông tin gâynhiễu có thể cản trở đến sự hình thành kì năng của học sinh, thậm chí có thể làm chệch hướng tư duy có ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng của học sinh.

- Tâm thế và thói quen của học sinh cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng. Một học sinh sẵn sàng thực hiện nhiệm vụ và sẵn sàng thực hành các thao tác vận dụng kiếnthức đế giải quyết vấn đề sẽ dề dàng hình thành các kĩ năng hơn một học sinh chưa sẫnsàng, không tự muốn thực hiện nhiệm vụ. Một học sinh tự cảm thấy khơng có nhu cầu giảiquyết vấn đề, thậm chí đang có tư tưởng bị ép buộc sè rất khó đế hình thành kĩ năng ngaycả là đơn giản nhất. Bên cạnh đó, nhừng thói quen tốt như làm bài tập về nhà đầy đủ, thường xuyên hay đọc trước nội dung bài học cũng sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh hình thành kĩ năng nhanh chóng, thuần thục. Và ngược lại, các thói quen khơng tốt nhưkhơng làm bài tập về nhà, khơng biết cũng như khơng quan tâm mình sắp học những gìcũng sẽ gây khó khăn trong q trình hình thành kĩ năng của học sinh do học sinh không biết mình sẽ phải chuẩn bị những thao tác, những kĩ năng nào cho các nhiệm vụ sắp tới. Vì thế, cần tạo tâm thế thuận lợi, những thói quen tích cực trong học tập cho học sinh, nhờ đó sẽ có tác động giúp học sinh trong việc hình thành kĩ năng.

<b>1.1.4. Cácmứcđộcủa kĩ năn</b>

Theo K.K.Platonov, G.G.Golubev, có năm mức độ hình thành kT năng như sau:

<b>Mứcđộ 1: Kĩ</b> năng ban đầu.

Đầu tiên, học sinh biết được mục đích cùa nhiệm vụ, đối chiếu mục đích với quan sát quá trình làm mẫu/ trình diền của giáo viên đế biết được cách thức thực hiện hành động.

Sau đó học sinh thực hành từng bước dưới sự chỉ dẫn của giáo viên, từ đó kĩ năng ban đầu được hình thành nhưng học sinh chưa tự tin và tập trung chú ỷ rất căng thẳng.

<b>Mức độ2: Kĩ</b> năng chưa khéo léo.

Học sinh đã có kĩ năng ban đầu tiếp tục thực hành theo kế hoạch đến giai đoạn được

biết, mà<i> hiếu được mục </i>đích, cách thức thực hiện hành động, phối hợp vận dụng kiến thức và kĩ năng, kĩ xảo đã có.

10

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

Hành động được tiến hành còn biếu hiện vụng về. Lúc này kĩ năng đạt được ở mức độchưa khéo léo. Nếu gián đoạn trong tập luyện, kì năng này dễ mai một. Vì thế một số học

sinh nghỉ học thực hành một vài buổi (vì các lí do nhất định) sẽ phải luyện tập lại vất vả mới làm lại được các phần thực hành trước đó.

<b>Mức độ3: Kĩ năng tương</b> đối ổn định

Học sinh hiểu rõ ràng về cách thức hành động. Năng lực tư duy thực hành khá nhạybén. Cùng với việc tập luyện, giảm dần sự vụng về và nâng dần sự khéo léo, học sinh cókĩ năng ổn định dần. Học sinh đà vận dụng được kĩ năng vào một số tình huống thực tế.

Trong giai đoạn này nếu có sự gián đoạn luyện tập thì ảnh hưởng chỉ có ở mức độ nhất định đến sự suy giảm kĩ năng. Khi tập luyện trở lại, học sinh nhanh chóng khơi phục được mức kĩ năng đã đạt được trước đó.

<b>Mức độ4: Kĩ </b>năng thành thạo

Học sinh được bước vào giai đoạn luyện tập độc lập với sự giám sát của giáo viên. Saumột thời gian tập luyện nhất định, nhờ việc tiến hành hàng loạt các thao tác tư duy thựchành và phát huy năng lực thực hiện cúa bản thân, học sinh cảm nhận về bản thân sâu sắcđến mức độ tự tin, do đó biết vận dụng sáng tạo kĩ năng của mình. Học sinh có kĩ năngphát triển và ổn định cao, khá bền vững, gọi là kĩ năng thành thạo. Sự gián đoạn trong

luyện tập ảnh hưởng không nhiều đến sự suy giảm kĩ năng.

<b>Mức độ 5: Kĩ </b>năng thuần thục và có nhiều kĩ xảo

Học sinh tiếp tục được luyện tập độc lập với sự giám sát giảm dần của giáo viên, về mặt nhận thức, học sinh thực hiện tốt việc phân tích, tổng hợp, đánh giá các vấn đề liên quan đến kì năng. Năng lực tư duy thực hành và sáng tạo thực hành thề hiện rõ và rất linh hoạt. Với mức độ này học sinh dễ dàng thực hiện hành động một cách chính xác và nhanh chóng, tiết kiệm được sức lực. Học sinh biết sử dụng một cách hợp lí và có hiệu quả kĩ

năng của mình cho cơng việc, phối họp sử dụng sáng tạo kĩ năng mới với các kĩ năng khácvào hoạt động lao động một cách tổng thể nên có chất lượng sản phẩm đảm bảo và ổn định.

Lúc này có thể nói rằng kĩ năng của sinh viên phát triển đạt đến mức kĩ năng thuần thục11

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

và có nhiều kĩ xảo. Mức kĩ năng này có sự ốn định và bền vững hơn cả, mặc dù sự ốn địnhvà bền vững đó là khơng tuyệt đối.

Cần chú ý, kill các học sinh có đuợc kĩ năng ở các mức 4 và 5 nhu trình bày trên đâylà có sự tự tin cao. u cầu cao nhất của dạy học thực hành là đào tạo học sinh vừa thànhthạo kĩ nàng vừa tự tin. Tự tin trong hoạt động nghề nghiệp sau này là biếu hiện tâm lí rất quan trọng của người lao động. Nó được hình thành và phát triến trên cơ sở thực hành sao cho:

- Có kĩ năng phát triển hợp lí.

- Có khả năng nhìn nhận được mối quan hệ giữa mỗi kĩ năng và công việc như một tổng thể.

- Có khả nàng điều chỉnh được các sai sót khi tập luyện.

- Có khả năng hợp tác với các bạn học khi thực hành nghề.Theo Nguyễn Thị Hải Yến và các tác giả [25]:

- Mức độ thấp nhất của kĩ năng thế hiện ở việc thực hiện thao tác hành động một cáchrập khn, máy móc theo sự chỉ dẫn. Các mức độ cao hơn của kĩ năng đạt được khi có sự

<i><b><small>• _ A W __ _ _ _ Ã </small></b></i><b><small>4- Ạ _ </small></b><small>á'</small><b><small> .1. Ã 9 1-2 _ _ 1- ' __ 1- -1- Ạ rT^1_ Ạ 1 _ 4- < 4- 5</small></b>

gia tăng vê độ chính xác, tính trơi chảy cùa hành động. Thêm vào đó, mức độ kì năng càngcao thì nhận thức của người học về cách thức hành động, về ý nghĩa của hành động trong bối cảnh thực ngày càng tăng. Tuy nhiên, đối với kĩ năng phức tạp như đánh giá quá trinh,việc bắt đầu từ thao tác máy móc theo người hướng dẫn mà khơng dựa trên sự hiểu biết vềvai trò và ý nghĩa của hành động là khơng hợp lí và khơng có ý nghĩa về mặt sư phạm. Do đó, chúng tơi xác định rằng ngay từ cấp độ thấp nhất, người học cũng cần được trang bị

những hiểu biết cơ bản về ý nghĩa của hành động.

- Mức độ cao nhất của kĩ năng trong các thang đo của Dave, Harrow, Simpson vàDreyfrus đạt được chỉ khi có sự luyện tập và trải nghiệm trong bối cảnh thực tế lâu dài. Do đó, mức độ này khó có thể đạt được khi rèn luyện kĩ năng cho sV trong trường sư phạm.

Dựa trên quan điếm trên, Nguyền Thị Hải Yến và các tác giả xây dựng 3 mức độ kĩ năng với các biếu hiện như sau:

12

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

<b>Mửc độ 1: Mức</b> độ sơ khởi:

• Thực hiện các thao tác theo tuần tự khi có sự hướng dẫn, giám sát.

• Có sự hiếu biết sơ lược về hành động, tuy nhiên, vẫn xem hành động là các bước đơnlẻ rời rạc và khơng gắn với một ngữ cảnh thực

• Các thao tác hành động thuần thục và đạt tiêu chuấn cao thường xun.

• Có hiếu biết tồn diện về hành động và thực hiện hành động trong bối cảnh thực đạthiệu quả.

<b>1</b>

<b>^.2.</b><i>^{/^ > JTf*}</i><b>^Kĩ^năng^{W • ■? • npi F}^giải^Toán</b>

<b>1.2.1. Khái niệm kĩ năng giải toán</b>

Theo Polya: “Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứngminh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”. Kĩ năng giải toán được hiểu là kĩ năng vận dụng các tri thức Toán học để giải các bài tập Toán học

(bằng suy luận, chứng minh,...)

Như vậy, kĩ năng giải tốn có cơ sở là các tri thức Toán học (bao gồm kiến thức, kĩ năng, phương pháp). Sau khi nắm vừng lí thuyết, trong q trình luyện tập, củng cố kiếnthức Tốn học thì kĩ năng được hình thành, phát triến đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thế hóa kiến thức Tốn học, hoạt động học tập mơn Tốn. Kĩ năng Tốn học đượchình thành và phát triển thơng qua việc thực hiện các hoạt động Toán học, hoạt động học tập trong mơn Tốn. Kĩ năng cũng có thể được rút ngắn, bổ sung và thay đối trong quá trình hoạt động.

13

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

<b>1.2.2. Các kĩ năng giải tốn cân thiêt trongnội dung giới hạnhàmsơ</b>

Một u cầu quan trọng cần đạt được trong dạy học Toán là học sinh phải nắm vững kiến thức, có kĩ năng, kĩ xảo vận dụng trong thực hành giải toán. Tùy theo từng nội dung,kiến thức truyền thụ cho học sinh mà có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng tương ứng. Trongchương trình Tốn phổ thơng nội dung giới hạn hàm số, ta có thể chỉ ra một số kĩ năng Cần thiết khi giải toán.

1. Kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử.2. Kĩ năng đặt nhân tử chung.

3. Kĩ năng nhân liên hợp.

<b>1.2.3. Rèn luyệnkĩ năng giảitoán</b>

Các kĩ năng giải toán sẽ được cung cấp cho học sinh thông qua hai phương pháp cơbản sau:

- Phương pháp gián tiếp: Cung cấp cho học sinh một số các bài tốn có cùng cách giảiđế sau khi giải xong học sinh tự rút ra kĩ năng giải toán. Đây là phương pháp có hiệu quả

nhất nhưng mất nhiều thời gian, khó đánh giá và khơng đầy đù, phụ thuộc nhiều vào năng lực _{• •}trình độ_• của học sinh.

- Phương pháp trực tiếp: Giáo viên soạn thành những bài giảng về những kĩ năng một cách hệ thống và đầy đủ. Phương pháp này hiệu quả hơn và dễ nâng cao độ phức tạp củabài toán cần giải quyết.

Đe rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng nhừng vấn đề sau:- Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tịi để nhận xét ra yểu tố đà cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho học sinh biết cách phân tích đặcđiểm bài tốn.

- Yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho học sinh biết cách phân tích đặc điếm bài tốn.

14

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái qt và các kiến thức tương ứng.

Ngồi ra, cần tạo nhu cầu hứng thú cho học sinh, khắc phục những ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lí bàng cách rèn luyện các mặt sau:

- Nhìn bài tốn dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cách giải với nhauđể hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lí kiến thức.

- Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điếm của bài tốn.

- Tích cực suy nghĩ, tìm tịi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán.

<b>1.2.4. Các mứcđộcủa kĩ năng giải toán</b>

Dựa trên các mức độ của kĩ năng được nêu trong phần trên, tác giả chia kĩ năng giảitoán thành 3 mức độ như sau:

- Mức độ biết làm: Nắm được qui trình giải một bài tốn cơ bản nào đó tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa nhanh.

- Mức độ thành thạo: Biết giải nhanh, ngắn ngọn, chính xác theo cách giải như bài tậpmẫu nhưng chưa có nhiều biến đổi.

- Mức độ mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc đáo, kháclời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức kĩ năng, kĩ xảo khơng chỉ với các bài tốn cơbản mà với cả bài tốn mới.

<b>1.2.5. Vaitrị, ý nghĩacủarèn luyệnkĩ nănỉảỉ toán</b>

Rèn luyện kĩ nàng giải toán giúp học sinh:

- Nâng cao được mức độ kĩ năng giải toán của học sinh. Việc rèn luyện kĩ năng giảitoán thường xuyên và liên tục sẽ giúp học sinh đạt được các mức độ kĩ năng từ biết làm đến thành thạo và sau cùng là mềm dẻo, linh hoạt có sáng tạo.

- Kiện tồn hệ thống lí thuyết, liên hệ được lí thuyết với bài tập. Thông qua bài tập, họcsinh được xét cụ thể lí thuyết hơn, vì thế rèn luyện kĩ năng giải tốn thơng qua giải quyếtcác nhiệm vụ thông qua các bài tập, học sinh sẽ hiểu sâu sắc hơn các nội dung toán học,

15

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

liên hệ được các nội dung toán học với nhau, từ đó đưa ra được các nhận định phân dạng,hệ thống, tạo chiều sâu trong tư duy toán học.

- Phát triền các năng lực chung, các năng lực đặc thù của mơn tốn. Rèn luyện kĩ nănggiải tốn là con đường đơn giản nhưng hiệu quả giúp học sinh phát triển các phẩm chất,năng lực, từ đó giúp học sinh phát triến tư duy toán học.

<b>1.3. Thực tiễndạy học giải cácbài tốn tìm giớihạntrongchương trình Tốn 11</b>

Nội dung giới hạn cùa hàm sô thuộc chương IV - Giới hạn trong chương trình lớp 11.Chương này gơm 3 bài: Giới hạn của dãy sô, Giới hạn của hàm sô, Hàm sô liên tục.

Khái niệm giới hạn của hàm sô được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy sô.

Giới hạn của dãy sô các các khai niệm: giới hạn 0 , giới hạn là một sô thực, giới hạn là+OƠ, giới hạn <i>là -oo y</i> các định lí về giới hạn của dãy số.

Giới hạn của hàm số có các khái niệm: giới hạn của hàm số tại một điếm, tại vô cực, giới hạn một bên của hàm số, giới hạn vơ cực. Tiếp đó là các khái niệm: hàm số liên tục tại một điếm, trên một khoảng, một đoạn; các định lí về giới hạn của hàm

số; các quy tắc tìm giới hạn vơ cực; một vài tính chất cơ bản của hàm số liên tục.Các yêu cầu cần đạt của học sinh đối với nội dung giới hạn hàm số bao gồm:

- Nhận biết được khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số, giới hạn hữu hạn một phía của hàm số tại một điếm.

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

- Giải quyêt được một sô vân đê thực tiên gàn với giới hạn hàm sô.

Đe phù hợp với nhận thức của học sinh, chúng ta không đưa ra định nghĩa dãy số cógiới hạn 0 bằng ngồn ngữ 6 <i>,</i> mà định nghĩa theo kiểu mô tả như sau: Ta nói rằng dày số

(í/n) có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số kếtừ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhở hơn số dương đó.

<b>Chú ý: Giới </b>hạn là một khái niệm khó, nhưng lại hết sức quan trọng, là nền tảng cho ngành Giải tích. Giới hạn của hàm số gắn kết chặt chẽ với nhiều nội dung khác trong chương trình tốn phổ thơng, có thể kể đến như:

- Chủ đề Hàm số và Đạo hàm: Hiếu biết về giới hạn của hàm số là cơ sở quan trọng cho việc hiếu định nghĩa và tính đạo hàm của hàm số. Việc tính giới hạn của tỉ số đạo hàm khi tiến đến một giá trị cụ thế cũng thường được sử dụng đế xác định độ dốc của một đườngcong tại một điểm.

- Chủ đề Tích phân: Trong tích phân, giới hạn của hàm số thường được sử dụng đề xácđịnh diện tích hình phắng giới hạn bởi các đường cong của hàm số trên một đoạn nhất định.

- Chủ đề Dãy và Chuỗi: Trong chương trình tốn phổ thơng, giới hạn của hàm số được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số. Vì thế để hiểu rõ lí thuyết giới hạn hàm số, ta đưa các nội dung cơ bản của giới hạn hàm số nghiên cứu thông qua giới hạn của dãy số.

- Chù đề Các phương trình và bất phương trình: Trong việc giải các phương trình và bất phương trình, việc hiểu biết về giới hạn của hàm số có thế giúp xác định giá trị của biến

số khi tiến gần về vơ cùng, từ đó giải quyết các bài tốn phức tạp hơn.

Ngồi ra, ở các chủ đê chuyên sâu bậc đại học, giới hạn của hàm sô thường được sử dụng trong việc chứng minh định lí của 1'Hơpital cũng như các chủ đề khác. Bên cạnh đó, giới hạn của hàm số cũng ứng dụng trong vật lí, kinh tế và lĩnh vực khác.

<b>1.3.2. Những kĩ năng cở bảnthuộc nội dung chương gióihạn lớp 11</b>

Để giúp học sinh có kĩ năng giải các bài tốn tìm giới hạn trong chương trình lớp 11trước hết học sinh phải được trang bị hệ thống kiến thức lí thuyết cơ bản và đầy đủ. Giáo

17

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

viên cân phân loại bài tập một cách hệ thông. Từ việc phân dạng bài tập, xác định kĩ năngcơ bản, giáo viên xây dựng cho học sinh qui trình giải các dạng tốn, từ đó giúp học sinhtích lũy được những kinh nghiệm thơng qua q trình giải một dạng tốn cụ thế. Vì vậytrong đề tài này, tôi đặc biệt quan tâm đến xây dựng một hệ thống hóa bài tập theo chủ đề,

sắp xếp hệ thống bài tập từ dễn đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Cụ thề là:- Kĩ nàng phân tích định nghĩa khái niệm.

- Kĩ năng phân tích nhừng sai lầm thường mắc phải trong q trình giải các bài tốn tìm giới hạn.

- Kĩ năng hệ thống hóa các dạng tốn tìm giới hạn.- Kĩ nàng tính tốn.

Vì vậy, chúng tôi tiến hành điều tra, phong vấn, lấy ý kiến học sinh và giáo viên trường THPT Phùng Khắc Khoan - Đống Đa - Hà Nội và các thầy cô giáo viên khác trên địa bànthành phố Hà Nội. Và 200 học sinh khối 11, khối 12 trong trường THPT Phùng Khắc

Khoan - Đống Đa - Hà Nội.

<b>Đôi với học sinh:</b>

18

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

<b>Câu hỏi1.</b> Em có thây hứng thú với chủ đê giới hạn hàm sô không?A. Rất hứng thú, u thích, muốn được tìm hiểu thêm. (61%)

B. Có một chút hứng thú. (39%)c. Khơng quan tâm. (0%)

<b>Câu hỏi 2. Em</b> thây giải bài toán giới hạn hàm sơ dạng có khó khơng?A. Rất khó, thường khơng giải được. (56%)

B. Khó nhưng vân có thê giải được một sơ dạng. (44%)c. Khơng khó hiểu, dễ học dễ nhớ. (0%)

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

A. Sai về kí hiệu, trình bày. (56%)

B. Nhầm lẫn, khơng phân biệt được giừa các dạng giới hạn. (66,5%)

c. Sai dấu, không nhớ các tính chất của các phép tốn cơ bản. (52,5%)

D. Làm sai do áp dụng máy móc, rập khn, không đúng dạng bài. (61%)

<b>Câu hỏi 7. </b>Em thấy càn tăng cường nhừng biện pháp nào đề khắc phục những khó khăn và rèn luyện kĩ năng giải tốn chủ đề giới hạn hàm số? <i><b><small>(Có thể chọnnhiềuđáp án)</small></b></i>

A. Phân tích kĩ khái niệm, định nghĩa, định lí. (65%)

B. Phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cụ thế. (100%)

c. Tăng cường các ví dụ từ đơn giản đến phức tạp theo từng dạng. (100%)

D. Phân tích các bài tốn chứa lỗi sai và chỉ ra các sai lầm thường gặp. (100%)

E. Sử dụng thêm các phương tiện dạy học, thiết bị dạy học (bảng phụ, phiếu bài tập,trình chiếu,...). (60%)

F. Rèn luyện các kĩ năng giải toán trong nội dung giới hạn hàm số. (87,5%)

<b>Phân tíchđịnh tính:</b> Qua kết quả của bài khảo sát, ta thấy học sinh có sự hứng thú vớichủ đề này (trong đó: 61% học sinh tỏ ra rất hứng thú và 39% học sinh cịn lại có quan tâm).

<b><small>Dộ hứng thú của I IS với chủ đêgiớihạn hàm sô</small></b>

<small>■Rất hửng thú</small>

<small>■ Cỏ một chút hứng thú Khơng có hửng thú</small>

Tuy nhiên, các em nhận thây đây là một chủ đê khó, trừu tượng, các em gặp nhiêu khókhăn trong việc tiếp thu và tìm phương hướng giải bài tập. Trung bình với mồi dạng tốn,có đến 2/3 số học sinh được khảo sát đều cho rằng các dạng tốn giới hạn q khó và các

20

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

em không tự giải được, 1/3 số học sinh còn lại chỉ làm được các bài tập cơ bản và vẫn còntương đối mơ hồ về phương pháp giải.

<small>■ Rất khó, khơng giải được</small>

<small>■ Khó, chỉ giải được mộtvài bài</small>

<small>■ Khơng khó</small>

Hầu hết học sinh cảm thấy việc phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cụ thể; cũng như tăng cường các ví dụ từ đơn giản đến phức tạp theo từng dạng và phân tích các bài tốn chứa lồi sai, chỉ ra các sai lầm thường gặp sẽ giúp các em hiểu bài hơn, học tập hiệu quả hơn.

<b>Đối vóigiáo viên</b>

<b>Câu hỏi 1. Thầy/cơ</b> hãy cho biết nhận định của mình về các khó khãn cũa học sinh khi học nội dung giới hạn hàm số

Khơng khó

Một chút khó khăn

Rất khókhănHọc sinh có gặp khó khăn trong việc hiểu các

định nghĩa, các định lí, qui tắc nội dung giới hạn hàm số khơng?

Học sinh có gặp khó khăn trong việc vận dụng lí thuyết giới hạn để giải quyết bài tập phần này khơng?

21

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

Học sinh có gặp khó khăn trong việc tìm giới

D. Sai do áp dụng máy móc, rập khn, sai dạng. (30%)E. Trình bày sai. (70%)

22

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

<b>Câu hỏi 3. </b>Theo thầy/cơ, ngun nhân của những sai lầm trên là gì? <i><b><small>(Có thế chọn nhiềuđáp án)</small></b></i>

A. Học sinh khồng học kĩ định nghĩa, định lí, qui tắc trước khi làm bài tập. (70%)B. Học sinh không đọc kĩ đề bài. (60%)

c. Học sinh không phân biệt được các dạng bài tập. (66%)

D. Học sinh thiếu các kĩ nãng giải các dạng tốn giới hạn. (70%)

<b>Câu hỏi 4.</b> Theo thầy/cơ, đế giải các dạng toán giới hạn, học sinh cần trang bị và rèn luyện các kĩ năng nào?

A. Kĩ năng tính tốn và sử dụng được cơng cụ tính tốn.B. Kĩ năng sử dụng được ngơn ngữ và kí hiệu.

c. Kĩ năng biến đổi biểu thức đại số, phương trình, hệ phương trình.D. Kĩ năng trình bày lời giải.

<b>Câu hỏi 5. Thầy/cơ </b>đã sử dụng biện pháp gì để khắc phục những khó khăn và lỗi sai thường gặp cùa học sinh?

A. Phân tích kĩ khái niệm, định nghĩa, định lí. (70%)

B. Thiết kế bài giảng, xây dựng phương pháp dạy học họp lí, phù hợp với từng lớp học. (70%)

c. Phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cụ thể. (70%)

D. Tăng cường các ví dụ từ đơn giản đến phức tạp theo từng dạng. (70%)

E. Phân tích các bài tốn chứa lỗi sai và chỉ ra các sai lầm thường gặp. (70%)

F. Sử dụng thêm các phương tiện dạy học, thiết bị dạy học (bảng phụ, phiếu bài tập,trình chiếu,...) (70%)

G. Rèn luyện các kĩ năng giải toán trong nội dung giới hạn hàm số. (70%)

23

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

<b>Phân tích định tính: </b>Trong q trình giảng dạy thực tế, giáo viên tốn gặp nhiều khókhăn để truyền tải kiến thức chú đề này đến với học sinh. Đa số các thầy cơ có nhận định rằng học sinh khó hiếu, khó nhớ các định nghĩa, định lí, lúng túng trong các việc tìm lờigiải và trình bày lời giải các bài toán trong chủ đề này, cụ thế là bài toán tính các dạng vơđịnh của giới hạn hàm số. Giải tích là bộ mơn mới lạ đối với học sinh trong cả cách tư duyvà trình bày. Các bài tốn Giải tích rất đa dạng và thường xuất hiện trong các đề thi học

sinh giỏi. Nói chung, đây là một chủ đề "khó nhàn" đối với cả học sinh và giáo viên. Bêncạnh đó, do hạn chế về mặt thời gian mà khối lượng kiến thức lại tương đối nặng, tư duyhọc sinh chưa tốt,... đa số các thầy cơ chọn phương pháp thuyết trình, vấn đáp trong giảngdạy. Do đó, các thầy cơ đều rất hứng thú với đề tài dạy học rèn luyện kĩ năng giải toán chủ đề tính giới hạn của hàm sổ.

Qua thực tế dạy học khái niệm giới hạn, chúng tôi nhận thấy rằng có nhiều học sinh cịn bỡ ngờ, chưa quen với cách định nghĩa các khái niệm Giải tích, khơng hiếu rồ bản chất các khái niệm, định lí, quy tắc tính giới hạn. Từ đó, dẫn đến những sai lầm khi giải bài tập,gặp nhiều khó khăn trong việc học chủ đề giới hạn và các chủ đề khác của Giải tích.

<b>1.3.4. Cách thứcrèn luyệnkĩ nănggiảitốnchủ đề giới hạn hàm số</b>

Dựa trên khảo sát thực trạng dạy học giải toán chủ đề giới hạn hàm số, tác giả đề xuất cách thức rèn luyện kĩ năng giải toán cho chủ đề này như sau :

<b>1.Hiểu rõlí thuyết: </b>Đầu tiên, cần đảm bảo học sinh hiểu rõ lí thuyết và các phươngpháp giải của từng dạng giới hạn.

<b>2. Thựchành nhiều bài tập: Thực</b> hành là chìa khóa quan trọng đế cải thiện kĩ nănggiải toán. Bắt đầu với các bài tập dễ và dần dần tăng độ khó. Quan trọng là khơng chỉ giảibài tập, mà cịn phải hiểu cách giải và lí do tại sao phương pháp đó hoạt động. Bên cạnh đó, cần đa dạng hóa các dạng bài toán, từ cơ bản đến phức tạp. Điều này giúp học sinh làmquen với các phương pháp giải khác nhau và mở rộng kiến thức, từ đó rèn luyện linh hoạt được các kĩ năng và phân biệt được các dạng giới hạn thường gặp.

<b>3. Sửdụng tài liệutham khảo: Giáo</b> viên cần đưa thêm các phiếu bài tập tự luyện đếhọc sinh tự thực hành ngoài giờ lên lớp, từ đó giúp học sinh hiểu sâu sắc các vấn đề. Bên

24

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

cạnh đó, giáo viên cũng cần hướng dẫn học sinh tìm kiếm và sử dụng các tài liệu tham khảo phong phú, bao gồm sách giáo khoa, sách tham khảo, bài giảng trực tuyến, video hướng dẫn, và các tài liệu khác để hỗ trọ quá trình học tập của học sinh.

<b>4. Làm thêm cácbài kiểm tra, đề thi minh họa: </b>đây là một cách tốt để chuẩn bị cho các kỳ thi hoặc bài kiếm tra, giúp học sinh làm quen với định dạng của các bài toán và tăngcường khả năng làm việc dưới áp lực thời gian.

<b>5. Tổchức làm việcnhóm: Giáo</b> viên có thề đưa ra các nhiệm vụ nhóm, thơng qua đó, học sinh tham gia thảo luận với nhau hoặc với giáo viên về các vấn đề học sinh gặp phải, từ đó tháo gỡ và khắc phục dần những hạn chế cùa học sinh. Thơng qua q trình làm việc

nhóm, học sinh cũng có thể tự đánh giá bản thân và đánh giá bạn bè trong nhóm, từ đó tạocơ sở để giáo viên đưa ra nhận định đánh giá chính xác hơn.

<b>6. Tự đánh giá và cải thiện: Giáo</b> viên cần thiết kế những hoạt động giúp học sinh cóthể xem xét lại các bài tốn đã giải và phân tích những lỗi phổ biến hoặc điểm yếu của của học sinh. Từ đó có thể phát hiện và tập trung vào việc cải thiện những hạn chế đó và điều chinh phương pháp giải của học sinh.

25

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

<b>Kêt luậnchương 1</b>

Rèn luyện kĩ năng giải tốn cho học sinh THPT có ý nghĩa hết sức quan trọng, gópphần trang bị cho HS những tri thức toán học cơ bản nhất đề phát triển các kĩ năng củacuộc sống.

Chương 1 của luận văn đã hệ thống lại và trình bày rõ ràng, làm sâu sắc thêm các vấnđề lí luận của việc dạy học rèn luyện kĩ năng cho học sinh giải bài toán tính giới hạn hàm

- Đưa ra cách thức rèn luyện kĩ năng giải toán chủ đề giới hạn hàm số.

Dựa trên những căn cứ lí luận trên, tác giả xác định phương hướng cho giải pháp rèn luyện kĩ năng giải các dạng tốn tìm giới hạn của hàm số cho học sinh THPT sẽ được trình bày trong chương 2

26

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

<b>CHƯƠNG 2. CÁC KĨ NĂNG GIẢI TỐN TÌMGIỚIHẠN CỦA HÀM SỐ</b>

<b>2.1. Kĩ năng tính ióì^hạn^của^hàm^số^dạng</b>

Cho hàm số _với lim/ (x) = 00 và lim <i>g (x)</i> = 00. Khi này, giới hạn của hàm

<b><small>X—>00 v 7 X—>00 v 7</small></b>

sẽ có dạng Đê tìm giới<b>²</b> hạn dạng này, ta chia làm các trường hợp sau:

<b>2.2.1.Trưòn họp</b><small>£</small> <b>là hàm phânthức hữu tỉ</b>

Cho .7 là hàm phân thức hữu tỉ, tức là / (x) và <i>g (x)</i> là các hàm đa thức. Đe giải

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

... „;Ai i;m (4x +1)3 (2x +1)4

<b>Vídụ2.2.</b> Tính giới hạn lim--- _ —--- .(3 + 2x)7

<b>Phân tích: </b>Phân thức hữu tỉ này có tử là tích <small>h</small>(<small>x</small>)-<small>v</small>(<small>x</small>) với <small>u</small>(<small>jc</small>) = (4<small>x</small> + 1)3 vàv(x) = (2x + l)4. Một Số học sinh với dạng ví dụ này có thề gặp khó khăn trong việc tìm bậc của tử. Vì thể ta cần hướng dần học sinh một cách rõ ràng với nhận xét sau:

<b>Nhận xét 2.1. Một </b>hàm sơ được cho bởi dạng tích các đa thức thì sẽ có lũy thừa bậccao nhất là tích các lũy thừa bậc cao nhất cùa các đa thức đó.

Ở ví dụ này, lũy thừa bậc cao nhất của w(x) là X3, lũy thừa bậc cao nhất cùa v(x) làX4, nên lũy thừa bậc cao nhất của tử là X3 -X4 = X7. Khi này, lũy thừa bậc cao nhất cúa cả tử và mâu là X , ta tiên hành đặt nhân tử chung là X cho cả tử và mâu. Tuy nhiên, cân lưuý nhân từ chung X7 trên tử là tích của X3 tù' w(x) và X4 từ v(x) nên khi đặt nhân tử chung trên tử, ta sẽ rút X3 từ í/(x) và X4 từ v(x) như sau

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

<b>Phân tích: Ở</b> ví dụ này, ta thấy bậc của tử và bậc của mẫu không giống nhau. Đến đâybắt đầu xuất hiện lỗi sai của học sinh khi đặt nhân tử chung là lũy thừa bậc cao nhất ra

ngoài. Học sinh thường mắc các sai lầm sau:

• Tử đặt nhân tử chung là bậc cao nhất cùa tử, mẫu đặt nhân tử chung là bậc cao nhấtcủa mẫu.

• Tử và mẫu đều đặt nhân tử chung là bậc cao nhất của tử (trong khi bậc của mẫu lớn hơn) hoặc ngược lại, tử và mẫu đặt nhân tử chung là bậc cao nhất của mẫu (trong khi bậc của tử lớn hơn).

Đến đây, học sinh thường sẽ bế tắc khơng xử lí được bài tốn, học sinh khơng hiểu bản chất vấn đề mà áp dụng rập khn máy móc thậm chí có thể đưa ra lời giải sai nghiêm trọng hơn. Đe tránh các lồi sai trên, giáo viên càn hướng dần và nhấn mạnh cho học sinh nếu <i>xk</i> là bậc cao nhất của tử và mẫu thì cần phải đặt nhân tử chung cho cả tử và mẫu là

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

<b>Ví dụ 2.4.</b> Tính giới hạn lim

X5 + <i>x'</i> + lOxX2 — 1

Phân tích: Ta thấy lũy thừa bậc cao nhất cùa tử là X5, còn lũy thừa bậc cao nhất của mẫu là X2, nên ta có thế đặt nhân tử chung của tử và mẫu là X5 và trình bày như sau:

<b>Lịi giải</b>

Ớ ví dụ trên, giới hạn của mẫu tiến đến 0 và nhỏ hơn 0 khi X tiến đến -00, nên khi làmđến đây, học sinh thường sẽ bối rối không biết nên kết luận thế nào. Đối với những bạn cótư duy khá trở lên có thế suy luận kết quả về GO nhưng cũng sẽ gặp khó khăn khi muốn trảvề kết quả chính xác là -00 hay +00.

Vì thế, ví dụ 2.4 có một hướng đi khác là chỉ đặt X2 là nhân tử chung như sau:

30

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

Suy ra

Mở rộng ra, những phân thức hữu tỉ có bậc của tử lớn hơn bậc cùa mẫu đều có chung tình trạng như vậy. Nên chúng ta sẽ khồng tiếp cận theo hướng tống quát của dạng này, mà tạo lối đi riêng như sau:

<b>Bước</b> 1: Xác định bậc cao nhất của mẫu.

<b>Bước 2: Đặt </b>nhân tử chung là bậc cao nhất của mẫu cho cả tử và mẫu, giản ước nhântử chung.

<b>Bước 3: Xét</b> giới hạn của tử và giới hạn của mâu và kêt luận.

Đối với hàm ^/(*)<?(*)

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

Trước hêt, cân trang bị cho học sinh tính được bậc của một căn thức. Giả sử bậc củacăn là <i>bậc m, bậc cao nhất của đa </i>thức trong căn là<i> bậc n</i>. Vậy khi đó bậc của căn thức sẽlà thương —.

<b>Ví dụ 2.7.</b>

có bậc là — = 1.<small>rill-1 00 Ấ.</small>

Tương tự như cách khử dạng — đôi với hàm phân thức hữu tỉ, ta đặt nhân tử chung là<small>00</small>

lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu, sau đó giản ước nhân tử chung và áp dụng các tínhchất của giới hạn hàm số để kết luận. Tuy nhiên, ở bước đặt nhân tử chung, ta sẽ cần đưalũy thừa bậc cao nhất trong căn ra ngoài căn. Đen đây giáo viên cần hướng dẫn học sinhhết sức lưu ý về dấu của lũy thừa khi đưa ra ngoài căn với nhận xét sau:

<b>Nhận xét 2.2.</b>

• Với n là số tự nhiên lẻ <i>thì yla"b = a\/b .</i>

khi ạặOkhi <i>a</i> < 0

<i><b><small>\ĩí A..</small></b></i> -> Q T.'..K i;m <small>a</small>/8<small>x</small>’ + 3x + 1

<b>Vií dụ 2.8. Tính</b> lim--- —-

<b><small>----%->+00 </small></b> X — 1

Phân tích: Lũy thừa bậc cao nhất của cả tử và mẫu là<i> X</i> nên ta sẽ đặt nhân tử chung là

<i>X.</i> Trước khi tính giới hạn, ta cần lưu ý cho học sinh cách đưa thừa số ra ngoài căn thức. Đầu tiên ta cần tiến hành đặt nhân tử chung là X3 trong căn thức

33

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

Với nêu <i>n</i> là sơ tự nhiên chăn thì<i> asjb =</i> ^khi

</div>