skkn cấp tỉnh phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh thông qua tìm lời giải các bài toán thực tế liên qua đến ứng dụng của đạo hàm

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (717.79 KB, 25 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

MỤC LỤC

1. Mở đầu...1

1.1. Lí do chọn đề tài...1

1.2. Mục đích nghiên cứu...2

1.3. Đối tượng nghiên cứu...2

1.4. Phương pháp nghiên cứu...2

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm...2

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm...2

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm...4

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề...4

2.3.2. Dạng 1 : Các bài tốn thực tế đã được mơ hình hóa bằng một hàm số tốn học...5

2.3.2. Dạng 2 : Các bài tốn thực tế mà mơ hình thực tiễn chưa chuyển về mơ hình tốn học...8

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

1. Mở đầu

1.1. Lí do chọn đề tài.

Trong bối cảnh đổi mới giáo dục hiện nay, chương trình giáo dục phổ thông 2018 đượcthiết kế với mục tiêu phát triển tồn diện cho học sinh, khơng chỉ về kiến thức mà còn về kỹnăng và phẩm chất cá nhân. Một trong những điểm nổi bật của chương trình này là việc tíchhợp các bài tốn thực tế vào giảng dạy tốn học.

Các bài tốn thực tế khơng chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức tốn học mà cịn tạo cơhội cho các em áp dụng những kiến thức này vào cuộc sống hàng ngày. Qua việc giải quyếtcác bài tốn có liên quan đến các tình huống thực tế, học sinh sẽ hiểu rõ hơn về mối quan hệgiữa toán học và thế giới xung quanh. Đồng thời, các em cũng được phát triển kỹ năng tư duylogic, kỹ năng giải quyết vấn đề, và khả năng làm việc độc lập cũng như làm việc nhóm.

Chương trình giáo dục phổ thông 2018 chú trọng đến sự liên kết giữa lý thuyết và thựctiễn, giúp học sinh thấy được sự hữu ích của tốn học trong nhiều lĩnh vực khác nhau nhưkhoa học, kỹ thuật, kinh tế và đời sống hàng ngày. Các bài toán thực tế được thiết kế đa dạng,phong phú, phù hợp với từng lứa tuổi và từng cấp học, đảm bảo tính hấp dẫn và khả năng ứngdụng cao.

Việc giảng dạy các bài toán thực tế cịn giúp giáo viên có cơ hội đổi mới phương phápgiảng dạy, sử dụng các phương pháp dạy học tích cực như dạy học dựa trên vấn đề, dạy họctheo dự án. Điều này không chỉ làm cho giờ học tốn trở nên sinh động, thú vị hơn mà cịngiúp học sinh phát huy tối đa tiềm năng của bản thân, chuẩn bị tốt hơn cho tương lai.

Chương trình giáo dục phổ thông 2018 được xây dựng với mục tiêu phát triển toàn diệncho học sinh. Một trong những năng lực cốt lõi mà chương trình hướng đến là năng lực mơhình hóa tốn học. Đây là năng lực khơng chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức toán học màcịn giúp các em áp dụng tốn học vào việc giải quyết các vấn đề thực tiễn một cách hiệu quảvà sáng tạo.

Mơ hình hóa tốn học là q trình sử dụng ngơn ngữ và phương pháp tốn học để biểudiễn, phân tích và giải quyết các vấn đề từ thực tế. Nó bao gồm việc xây dựng các mơ hìnhtốn học từ các hiện tượng thực tế, sau đó sử dụng các cơng cụ và kỹ thuật tốn học để phântích và đưa ra giải pháp. Điều này khơng chỉ giúp học sinh hiểu sâu hơn về bản chất của cáckhái niệm tốn học mà cịn rèn luyện cho các em kỹ năng tư duy logic, phân tích và giải quyếtvấn đề. Đặc biệt, việc sử dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế là một phương pháphiệu quả để phát triển năng lực này.

Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng nhất trong giải tích, cho phép chúng tanghiên cứu sự biến đổi và tốc độ thay đổi của các hàm số. Khả năng sử dụng đạo hàm để phântích và tối ưu hóa các vấn đề thực tế khơng chỉ giúp học sinh hiểu sâu hơn về bản chất của cáckhái niệm tốn học mà cịn rèn luyện kỹ năng tư duy, lập luận và giải quyết vấn đề một cáchlogic và hệ thống.

Tuy nhiên, nhiều học sinh hiện nay gặp khó khăn trong việc mơ hình hóa các bài tốn thựctế. Khó khăn này xuất phát từ việc chuyển đổi từ ngơn ngữ của vấn đề thực tế sang ngơn ngữtốn học, xây dựng các mơ hình phù hợp và giải quyết chúng bằng các cơng cụ tốn học. Đểkhắc phục điều này, việc rèn luyện giải các bài toán thực tế liên quan đến đạo hàm được xemlà một phương pháp hữu hiệu.

Thơng qua q trình tìm tịi lời giải các bài tốn thực tế, học sinh khơng chỉ được trảinghiệm việc áp dụng kiến thức toán học vào các tình huống cụ thể mà cịn phát triển khả năngtư duy sáng tạo và kỹ năng giải quyết vấn đề. Đồng thời, việc này cũng giúp các em hiểu rõhơn về sự liên kết giữa toán học và các lĩnh vực khác trong cuộc sống, từ đó tạo động lực họctập và khám phá thế giới xung quanh.

Vì vậy, nhằm giúp các em học sinh lớp 12 học tập một cách chủ động và làm tốt các bàitoán thực tế trong đề thi TN THPT năm 2024 đồng thời giúp học sinh lớp 12 năm học 2025tiếp cận mục tiêu của chương trình giáo dục phổ thơng mới, tơi mạnh dạn viết sáng kiến kinh

nghiệm với đề tài:

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

“Phát triển năng lực mơ hình hố tốn học cho học sinh thơng qua hướng dẫn tìm lờigiải các bài toán thực tế liên quan đến ứng dụng của đạo hàm ”

1.2. Mục đích nghiên cứu.

Mục đích nghiên cứu nhằm phát triển năng lực mơ hình hố tốn học cho học sinh trongcác bài toán thực tế giúp các em có khả năng lấy được điểm cao trong kỳ thi Tốt nghiệpTHPT năm 2024 đồng thời giúp đồng nghiệp trong tổ chun mơn có thêm nguồn tài liệutham khảo trong giảng dạy theo chương trình giáo dục phổ thơng mới 2018.

1.3. Đối tượng nghiên cứu.

Tìm lời giải cho các bài toán thực tế liên quan đến ứng dụng của đạo hàm xuất hiện trongcác đề thi Tốt nghiệp THPT và nội dung chương trình giáo dục 2018 ở mơn Tốn cấp THPT.

1.4. Phương pháp nghiên cứu.

-Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo.-Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy.

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: lấy phiếu thăm dò về mức độ hứng thú, thống kêđiểm kiểm tra của học sinh hai lớp thực nghiệm và đối chứng.

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

2.1.1 Khái niệm mơ hình hố Tốn học và năng lực mơ hình hố Tốn học.

Trong chương trình giáo dục phổ thông 2018, việc phát triển năng lực mô hình hóa tốnhọc cho học sinh là một trong những mục tiêu quan trọng. Mơ hình hóa tốn học khơng chỉgiúp học sinh hiểu sâu hơn về kiến thức toán học mà cịn giúp các em áp dụng tốn học vàogiải quyết các vấn đề thực tiễn một cách hiệu quả. Việc rèn luyện giải các bài toán thực tế làphương pháp hữu ích để phát triển năng lực này.

Khái niệm mơ hình hóa tốn học:

Mơ hình hóa tốn học là q trình sử dụng ngơn ngữ và phương pháp tốn học để biểudiễn, phân tích và giải quyết các vấn đề từ thực tế. Quá trình này bao gồm việc xây dựng cácmơ hình tốn học (dưới dạng các phương trình, bất phương trình, hàm số, đồ thị,...) từ cáchiện tượng thực tế, sau đó sử dụng các cơng cụ và kỹ thuật tốn học để phân tích và đưa ragiải pháp cho các vấn đề đó.

Vai trị của bài tốn thực tế trong mơ hình hóa tốn học:

 Tạo động lực học tập: Bài toán thực tế giúp học sinh thấy được sự liên quan và ứng

dụng của tốn học trong cuộc sống hàng ngày, từ đó tạo động lực học tập và khám phátoán học.

 Phát triển tư duy: Giải quyết các bài toán thực tế yêu cầu học sinh phải tư duy logic,

phân tích vấn đề, lập luận và đưa ra các giả thuyết. Quá trình này giúp các em pháttriển kỹ năng tư duy toán học.

 Ứng dụng kiến thức: Các bài toán thực tế yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức toán

học đã học để giải quyết vấn đề. Điều này giúp củng cố kiến thức và làm cho việc họctoán trở nên có ý nghĩa hơn.

Năng lực mơ hình hóa tốn học là khả năng của học sinh trong việc chuyển đổi các tình

huống thực tế hoặc các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày thành ngơn ngữ tốn học, sử dụngcác cơng cụ và phương pháp tốn học để phân tích, giải quyết và diễn giải kết quả. Năng lựcnày bao gồm một loạt các kỹ năng và kiến thức giúp học sinh hiểu rõ và ứng dụng toán họcvào các tình huống cụ thể.

Cụ thể, năng lực mơ hình hóa tốn học bao gồm các thành phần chính sau:

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

o Chuyển đổi vấn đề thực tế thành một mơ hình tốn học bằng cách sử dụng cáccơng cụ và phương pháp tốn học. Điều này có thể bao gồm việc thiết lập cácphương trình, bất phương trình, hàm số hoặc các cấu trúc toán học khác.

Sử dụng cơng cụ tốn học để giải quyết mơ hình:

o Sử dụng các phương pháp và cơng cụ tốn học như giải tích, đại số, xác suất,thống kê, v.v., để giải quyết mơ hình đã thiết lập.

Phân tích và diễn giải kết quả:

o Đánh giá kết quả thu được từ mô hình tốn học và diễn giải chúng trong bốicảnh của vấn đề thực tế. Học sinh cần xác định xem các kết quả có hợp lý vàkhả thi hay khơng.

Điều chỉnh mơ hình:

o Nếu cần thiết, điều chỉnh mơ hình để phản ánh chính xác hơn vấn đề thực tế.Điều này có thể bao gồm việc thay đổi các giả định, điều chỉnh các biến sốhoặc sử dụng các phương pháp tốn học khác.

Trình bày và giao tiếp kết quả:

o Trình bày q trình và kết quả của việc mơ hình hóa một cách rõ ràng và logic,sử dụng ngơn ngữ tốn học và ngơn ngữ thơng thường để truyền đạt đến ngườikhác.

Phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học giúp học sinh không chỉ nắm vững kiến thức tốnhọc mà cịn có khả năng áp dụng chúng vào các tình huống thực tế, từ đó nâng cao khả năngtư duy, giải quyết vấn đề và sáng tạo. Đây là một trong những mục tiêu quan trọng củachương trình giáo dục phổ thông 2018, nhằm chuẩn bị cho học sinh những kỹ năng cần thiếttrong cuộc sống và công việc sau này.

2.1.2 Ứng dụng của đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.Định nghĩa:

 Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của f x

( )

 Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f x

( )

Định lý về sự tồn tại GTLN – GTNN: “ Nếu hàm số liên tục trên đoạn é ùê úë û thì đạt giá trịa b;

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó “.

x a bx a b

f xf aa b

f xf b

é ùỴ ê úë ûé ùỴ ê úë û

ïïïé ùÞ íê ú

x a bx a b

f xf ba b

f xf a

é ùỴ ê úë ûé ùỴ ê úë û

ïïïé ựị ớờ ỳ

ùùùợ

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

2.2. Thc trng vn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Mơ hình hóa tốn học là một trong những năng lực cốt lõi được nhấn mạnh trong chươngtrình giáo dục phổ thơng 2018. Việc áp dụng toán học vào giải quyết các bài tốn thực tếkhơng chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về kiến thức mà còn phát triển kỹ năng tư duy và khảnăng giải quyết vấn đề. Tuy nhiên, trong q trình học tập, nhiều học sinh gặp khó khăn khithực hiện mơ hình hóa các bài tốn thực tế. Bài viết này sẽ phân tích thực trạng này và đề xuấtmột số giải pháp khắc phục.

-Khó khăn trong việc hiểu và xác định vấn đề thực tế

Một trong những khó khăn đầu tiên mà học sinh gặp phải là việc hiểu và xác định đúng vấnđề thực tế. Nhiều học sinh chưa có khả năng nhận diện các yếu tố quan trọng của vấn đề vàxác định mối quan hệ giữa chúng. Điều này dẫn đến việc xây dựng mơ hình khơng chính xáchoặc khơng đầy đủ.

-Thiếu kỹ năng tư duy trừu tượng và logic

Mơ hình hóa tốn học địi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy trừu tượng và logic. Tuynhiên, nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc chuyển đổi từ một tình huống cụ thể sang cácbiểu thức toán học. Điều này đặc biệt khó khăn khi học sinh phải làm việc với các khái niệmtrừu tượng và phức tạp.

-Thiếu kinh nghiệm và kỹ năng áp dụng cơng cụ tốn học

Học sinh thường thiếu kinh nghiệm và kỹ năng sử dụng các công cụ tốn học cần thiết choq trình mơ hình hóa. Ví dụ, việc sử dụng các cơng cụ số học, hình học, và giải tích để thiếtlập và giải quyết các mơ hình tốn học địi hỏi kỹ năng mà nhiều học sinh chưa được rènluyện đầy đủ.

-Khó khăn trong việc kiểm tra và điều chỉnh mơ hình

Một vấn đề khác là nhiều học sinh không biết cách kiểm tra và điều chỉnh mơ hình sau khiđã thiết lập. Họ thiếu kỹ năng phân tích và đánh giá kết quả, dẫn đến việc sử dụng mơ hìnhkhơng hiệu quả hoặc sai lệch.

-Thiếu sự hướng dẫn và hỗ trợ từ giáo viên

Giáo viên đóng vai trị quan trọng trong việc hướng dẫn học sinh phát triển năng lực mơhình hóa tốn học. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, giáo viên chưa đủ thời gian hoặc chưađược trang bị đầy đủ phương pháp giảng dạy để hỗ trợ học sinh. Điều này làm cho học sinhkhó có thể tiến bộ trong việc mơ hình hóa bài tốn thực tế.

-Tâm lý e ngại và thiếu tự tin

Nhiều học sinh cảm thấy e ngại và thiếu tự tin khi phải giải quyết các bài tốn thực tế. Sựphức tạp của các tình huống thực tế và áp lực từ việc phải tìm ra giải pháp đúng làm cho họcsinh dễ nản lòng và từ bỏ.

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Để khắc phục những khó khăn trên, cần có những giải pháp đồng bộ từ nhiều phía:

-Tăng cường hướng dẫn và hỗ trợ từ giáo viên:

Giáo viên cần được đào tạo và trang bị các phương pháp giảng dạy mới để hỗ trợ học sinhtrong q trình mơ hình hóa tốn học. Cần tạo ra mơi trường học tập thân thiện, khuyến khíchhọc sinh đặt câu hỏi và thảo luận.

-Phát triển kỹ năng tư duy trừu tượng và logic:

Các bài tập và hoạt động học tập cần được thiết kế để phát triển kỹ năng tư duy trừu tượngvà logic cho học sinh. Cần tạo điều kiện cho học sinh thực hành và áp dụng các kiến thức tốnhọc vào các tình huống thực tế.

-Cung cấp các công cụ và tài liệu hỗ trợ:

Cần cung cấp cho học sinh các công cụ và tài liệu hỗ trợ để họ có thể thực hành mơ hìnhhóa tốn học một cách hiệu quả. Ví dụ, sử dụng phần mềm tốn học, ứng dụng cơng nghệthơng tin trong giảng dạy và học tập.

-Khuyến khích và tạo động lực cho học sinh:

Cần khuyến khích và tạo động lực cho học sinh bằng cách ghi nhận những nỗ lực và thànhcông của họ. Tạo ra các hoạt động học tập thú vị và hấp dẫn để học sinh thấy được sự hứngthú và giá trị của việc học toán.

-Tăng cường hợp tác và trao đổi kinh nghiệm:

Tạo điều kiện cho học sinh hợp tác và trao đổi kinh nghiệm với nhau. Các hoạt động nhóm,dự án học tập có thể giúp học sinh học hỏi lẫn nhau và phát triển kỹ năng mơ hình hóa tốnhọc.

Qua thực tế giảng dạy, tơi nhận thấy các bài tốn thực tế liên quan đến việc sự dụng đạo hàmcó thể chia thành 2 phần lớn:

Một là, các bài toán thực tế đã được mơ hình hóa bằng một hàm số tốn học. Qua

các ví dụ minh họa sau đây, tác giả sẽ chỉ ra cho bạn đọc những dạng toán thường gặp là gì ?Các lĩnh vực khoa học khác đã ứng dụng đạo hàm như thế nào trong việc giải quyết bài toánmà họ đã đặt ra ?

Hai là, các bài toán thực tế mà mơ hình thực tiễn chưa chuyển về mơ hình tốnhọc. Như chúng ta biết, để có thể ứng dụng đạo của hàm số thì trước tiên ta phải “thiết lập

được hàm số”. Như vậy ta có thể mơ tả quy trình mơ hình hóa dưới đây

Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của q trình mơ hình hóa như sau:

Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình Tốn học chovấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngơn ngữ Tốn học” cho mơ hình mô phỏng

thực tiễn. Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có thể có nhiều mơ hình tốn học khác nhau,tùy theo các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ giữa chúng được xem là quan trọng ta đi

đến việc biểu diễn chúng dưới dạng các biến số, tìm các điều kiện tồn tại của chúng cũngnhư sự ràng buộc, liên hệ với các giả thiết của đề bài.

Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như trong kinh tế, đời sống,trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học,... Ta thiết lập hồn chỉnh hàm sốphụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến. (Ở đây trong nội dung đang xét ta chỉ xét với tính

huống 1 biến).

Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài toán hình

thành ở bước 2. Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợpvới bài toán thực tế đã cho chưa .

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

2.3.2. Dạng 1 : Các bài toán thực tế đã được mơ hình hóa bằng một hàm số tốn học.

Ví dụ 1.( Bài tốn vật lý) Một chất điểm chuyển động theo quy luật s t

( )

=6t2- t3- 9t+1,s tính theo mét, t tính theo giây. Trong 5 giây đầu tiên, thời điểm t mà tại đó vận tốc củachuyển động đạt giá trị lớn nhất là:

A. t = . 3 B.t = .1 C.t = . 2 D. t = . 4 Phân tích:

● Với kiến thức Vật lý đã học, ta biết v t

( )

=s t'

( )

. Do đó để tìm giá trị lớn nhất trong 5 giâyđầu tiên tỴ ê úé ùë û thì ta chỉ cần vận dụng kiến thức đạo hàm đã học.0;5

Hướng dẫn giải

( )

12 32 9, '

( )

6 12, '

( )

0 2

v t =s t = t- t - v t = - t+ v t = Û t=.Lập bảng biến thiên ta có:

 Bình luận: Ứng dụng của đạo hàm trong Vật lý là rất đa dạng nhưng đặc biệt thể hiện rõ

nét nhất chính là qua các bài toán chuyển động khi liên quan đến các đại lượng quãngđường, vận tốc và thời gian. Không chỉ riêng ở các bài tốn chuyển động như vậy, ta cịn bắtgặp các ứng dụng đạo hàm trong Vật lý ở các bài toán khác. Mời bạn đọc tiếp tục theo dõicác bài tốn tiếp theo sau để hiểu rõ hơn.

Ví dụ 2. Khi cá hồi bơi với tốc độ v km h

(

)

ngược dòng nước, năng lượng sản ra của nótrên một đơn vị thời gian là v 3

( )

J

, đơn vị là Jun. Người ta thấy rằng, khi cá di cư cố gắngcực tiểu hóa năng lượng tổng thể để bơi một cách nhất định. Nếu vận tốc dịng nước là

- trong đó q là hằng số dương. Để giảm thiểu tối đa năng lượng khi bơi

quãng đường L thì tốc độ v cần thỏa mãn

av =

 Phân tích: Do bài tốn đã cho ta sẵn hàm E v

( )

qv3 L

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

 Bình luận: trong thực tế, khi khảo sát việc bơi ngược dòng của những chú cá này, ta thấy

tốc độ của chúng gần gấp 1,5 lần tốc độ của dịng nước.

Ví dụ 3. Một doanh nghiệp chun sản xuất một loại sản phẩm, biết nhu

cầu của thị trường và chi phí của loại sản phẩm này lần lượt là5000 ,

Q = - C Q

( )

=Q2+2200Q +500

, trong đó Q là số sản phẩm và P làgiá bán của một sản phẩm. Hãy xác định mức thuế t cần định trên một

đơn vị sản phẩm sản xuất ra sao cho thu được lợi nhuận là cao nhất. Phân tích: ta có thể tổng qt bài tốn như sau

● Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu trong một đơn vị thời gian là Q =Q P

( )

và hàm chi phí sản xuất trong một đơn vị thời gian là C =C Q

( )

. Xác định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm của xí nghiệp để thu được nhiều thuế nhất.

● Phương pháp giải: Giả sử mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t > .0Ta có Q =Q P

( )

Þ P =P Q

( )

Lợi nhuận của xí nghiệp là N =Q.P

( )

Q - C Q

( )

- Q t.

Xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức Q =Q t

( )

để N Q

( )

đạt giá trị lớn nhất.Do đó thuế thu được sẽ làT =tQ t.

( )

Gọi t là mức thuế cần định trên một đơn vị sản phẩm sao cho thuế thu

được là cao nhất. Ta có thuế mà doanh nghiệp phải nộp là T t

( )

=tQ. .Doanh thu mà doanh nghiệp có được sẽ là D Q

( )

=P Q. =

(

15000 3 .- Q Q

)

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Suy ra lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được sẽ là:L Q

( )

=D Q

( )

- C Q

( )

- T t

( )

16008 0

1600 0

tT t

 Bình luận: Trong thực tế, thì tùy vào các mặt hàng sản xuất từ xuất

khẩu đến nhập khẩu mà có thể chịu các loại thuế khác nhau. Trên đây chỉlà 1 tình huống ta xét tương ứng với mức thuế cần định cho sản phẩm đểđạt được lợi nhuận cao nhất.

Do bài toán đã cho sẵn hàm nên ta khơng q khó để vận dụng đạo hàmtìm giá trị lớn nhất của hàm số trên. Tuy nhiên với các bài toán cần phải cómột bước thiết lập hàm thì khơng dễ chút nào. Các bài toán tiếp theo ta sẽthấy rõ hơn.

2.3.2. Dạng 2 : Các bài tốn thực tế mà mơ hình thực tiễnchưa chuyển về mơ hình tốn học.

Ví dụ 4. Hai con tàu A và B đang ở cùng một vĩ tuyến và cách

nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu cùng khởi hành, tàu A chạy vềhướng Nam với 6 hải lý/giờ, còn tàu B chạy về vị trí hiện tại củatàu A với vận tốc 7 hải lý/giờ. Hãy xác định thời điểm mà

khoảng cách giữa hai tàu là lớn nhất ?  Phân tích:

cần hiểu đôi

chút về khái niệm vĩ tuyến và kinh tuyến ?Trên Trái Đất hay các hành tinh hoặc thiên

thể hình cầu, vĩ tuyến là một vòng tròn tưởng

tượng nối tất cả các điểm có cùng vĩ độ. TrênTrái Đất, vịng trịn này có hướngtừ đơng sang tây. Vị trí trên vĩ tuyến được xácđịnh bằng kinh độ. Một vĩ tuyến luôn vng

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

góc với một kinh tuyến tại giao điểm giữa chúng. Các vĩ tuyến ở gần cực Trái Đất có đườngkính nhỏ hơn. (theo wikipedia.org).

Kinh tuyến là một nửa đường tròn trên bề mặt Trái Đất, nối liền hai Địa cực, có độ dài

khoảng 20.000 km, chỉ hướng bắc-nam và cắt thẳng góc với đường xích đạo. Mặt phẳngcủa kinh tuyến 0° (chạy qua đài quan sát thiên văn tại Greenwich thuộc Luân Đôn) và kinhtuyến 180°, chia Trái Đất ra làm hai bán cầu – Bán cầu đông và Bán cầu tây.(theowikipedia.org).

● Như vậy khi các tàu, thuyền đi trên biển chúng ta sẽ dùng một đơn vị đo khoảng cách khác

là hải lý (1 hải lý = 1852 mét). Từ mơ hình và mơ tả của bài tốn ta có thể gọi t là thời gianmà sau khi xuất 2 tàu cách nhau một khoảng d.

● Khi đó d=A B1 12=AB12+AA12. Trong đó AA1 chính là quãng đường của tàu A điđược. Dựa vào gợi ý 2 tàu cách nhau ban đầu 5 hải lý theo đường vĩ tuyến, nên ta có thể tính

BAAv tSvt

Và AA1là quãng đường tàu A đi được AA1=v tA. =6t

Suy ra d= 85t2- 70t+25 . Đặt f t

( )

= 85t2- 70t+25

với t >0 .Bài tốn trở thành tìm min(0; )

( )

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

= ỗ ữỗ ữỗố ứ= ằ

(hi lý) Bình luận: Ta có thêm một cách khác để tìm minf(t) như sau:

. (hoặc sử dụng cực trị của parabol)

Ví dụ 5. Từ một tấm tơn hình chữ nhật có kích thước là a b´ với a< . Người ta cắt bỏ 4b

hình vng bằng nhau ở 4 góc rồi gị thành một hình hộp chữ nhật khơng có nắp. Hỏi cạnhcủa hình vng cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình hộp đó có thể tích lớn nhất ?

 Phân tích:

● Trước tiên, với câu hỏi của bài tốn thì ta nên đặt x chính là cạnh của hình vng cắt đi.

Như vậy ta cần tìm điều kiện giới hạn của biến số x . Do khi đó 1 cạnh của tấm nhôm sau khibị cắt trở thành 2 0

aa- x> Þ x<

nên ta có 0

< <

● Và đồng thời ta cũng có được cạnh của tấm nhơm cịn lại

là b- 2x> . Đến đây ta cần thiết lập cơng thức tính thể0

tích khối hộp V =x a

(

- 2x b

)(

- 2x

)

● Bài tốn trở thành tìm

( )

V x

ổ ửữỗ ữỗẻỗ ữữ

< <.

V x

ổ ửữỗ ữỗẻỗ ữữ

ỗố ứ

o hm V '=f x'

( )

=12x2- 4

(

a b x ab+

)

với mọi a b.,

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Do đó V =' 0 ln có hai nghiệm phân biệt

a b

abx x

● Dựa vào bảng biến thiên ta thấy V đạt giá trị lớn nhất khi

 Bình luận: Qua bài tốn

này ta cần lưu ý:

Một là, khâu tìm điều kiện cho biến cần đặt là cực kì quan trọng. Chúng ta khơng nên chỉ ghi

x > theo cách hiểu số đo đại số là một số dương.

Hai là, nếu không thuộc cơng thức tính thể tích khối hộp xem như bài tốn này khơng thể giải

quyết tiếp được. Điều này địi hỏi người giải phải biết cách vận dụng các kiến thức đã học vào bài toán thực tế.

Ba là, việc giải nghiệm từ phương trình V x ='

( )

cũng như lập bảng biến thiên của V x

( )

không hề đơn giản chút nào, đòi hỏi ở người giải phải có kỹ năng tốt trong biến đổi đại số.

Ví dụ 6. Có một cơ sở in sách xác định rằng: Diện tích của tồn

bộ trang sách là S cm

( )

2

. Do yêu cầu kỹ thuật nên dòng đầu vàdòng cuối đều phải cách mép (trên và dưới) trang sách là a cm

( )

.Lề bên trái và bên phải cũng phải cách mép trái và mép phải củatrang sách là b cm b a

( )(

)

được mơ tả như hình vẽ. Các kíchthước của trang sách là bao nhiêu để cho diện tích phần in cácchữ có giá trị lớn nhất. Khi đó hãy xác định tỷ số các kích thướccủa trang sách.

 Phân tích:

● Rõ ràng đây là một bài tốn vơ cùng thực tế mà ta thấy

hàng ngày. Khi cầm trên tay quyển sách này nếu bạn tinh ý sẽbiết ngay nó thuộc khổ 20 30x và một số cuốn sách của nhàsách Khang Việt cũng có ở khổ 16 24x. Như vậy họ đã tínhtốn như thế nào để có thể đưa được tỉ lệ giữa các kích thướccủa trang sách như vậy ? Chúng ta thử trở lại bài tốn này,giải quyết câu hỏi của nó để tìm câu trả lời nhé !

</div>