Đề cương hình học toán chuyên trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH </b>

<b>CHUN ĐỀ TỐN CHUN HỌC KỲ I </b>

<b><small> Họ và tên: ... Lớp: ... </small></b>

<b><small>LƯU HÀNH NỘI BỘ </small></b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<b>Tiết 1,2: Hàng điểm điều hòa </b>

Sau khái niệm vectơ, chúng ta biết điều kiện để hai vectơ cùng phương. Từ đó khái niệm trục số, độ dài đại số được thiết lập và khi xét mối quan hệ giữa các điểm, chúng ta biết đến tỉ số đơn, tỷ số kép (của hàng điểm hay chùm đường thẳng). Từ đó khái niệm hàng điểm điều hòa được thiết lập và mở ra cho hình học phẳng một hướng rộng lớn trong việc chứng minh và sáng tạo các bài tốn hình học. Qua một số tiết dưới đây hi vọng phần nào các em nắm được thế mạnh của phương pháp này trong việc giải quyết các bài tốn hình học phẳng từ đo có cái nhìn sâu sắc hơn về hình học phẳng.

<b>A. Lý thuyết 1. Hàng điểm </b>

♥ Bộ bốn điểm đơi một khác nhau, có kể đến thứ tự, cùng thuộc một đường thẳng được

Nếu <i>A a B b C c D d thì </i>( ), ( ), ( ), ( )



<i>ABCD</i>



 <i>^a</i>^<i>^{c a}</i>: ^<i>^d</i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<b>3. Hàng điểm điều hòa </b>

<b>♥ Định nghĩa: Nếu </b>



<i>ABCD</i>



 1 thì hàng điểm <i>A B C D</i>, , , <b> được gọi là hàng điểm </b>

<i>CBDB</i>

Khi đó ta nói: cặp điểm <i>A B</i>, và cặp điểm <i>C D</i>, là hai cặp điểm liên hợp điều hòa.

<b> Lưu ý: Nếu </b>



<i>ABCD</i>



 1 thì



<i>CDAB</i>

 

 <i>BADC</i>

 

 <i>DCBA</i>

 

 <i>BACD</i>

 

 <i>ABDC</i>



 1

<b>♥ Biểu thức tọa độ đối với hàng điểm điều hòa </b>

<b> Hệ thức 1: Nếu </b><i>A a B b C c D d thì </i>( ), ( ), ( ), ( )



<i>ABCD</i>



  1 2



<i>ab</i><i>cd</i>

 

 <i>a</i><i>b c</i>



<i>d </i>



<b> Chứng minh </b>

Chọn một điểm O bất kỳ trên trục là gốc

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<b>♥ Những hàng điểm điều hịa cơ bản </b>

<b> ♥ Định lí 1. Nếu </b><i>AD AE</i>, theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác <i>ABC thì </i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<b> Để chứng minh định lý nầy ta cần sử dụng 3 bổ đề sau </b>

<i><b> Bổ đề 1. Qua điểm S khơng thuộc đường trịn </b></i>

 

<i>O , kẻ một đường thẳng cắt </i>

 

<i>O tại </i>

<i>M N</i>. Khi đó <i>SM SN</i>. <i>SO</i>² <i>R </i>²

<b> Bổ đề 2. Nếu các đường thẳng </b><i>AB CD</i>, <i> cắt nhau tại S khácA B C D</i>, , , thì <i>A B C D</i>, , ,

cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi <i>SA SB</i>. <i>SC SD</i>. .

<b> Bổ đề 3. Nếu các đường thẳng </b><i>AB SC</i>, cắt nhau tại <i>S khácA B</i>, thì đường trịn ngoại

<i>tiếp tam giác ABC tiếp xúc với SC khi và chỉ khi SA SB</i>. <i>SC . </i>²

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

<b>Chứng minh </b>

<i> Gọi H là hình chiếu của O trên MN và K</i> <i>SO</i><i>AB </i>

Do <i>_IKO</i>_<i>_{IHO (cùng bằng 90}</i> <small>0</small>

<i>). Suy ra tứ giác OHIK nội tiếp </i>

Theo các bổ đề trên và theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta suy ra: <i>SM SN</i>. <i>SA</i>² <i>SK SO</i>. <i>SI SH</i>.

Do <i>H là trung điểm của MN nên theo hệ thức Maclaurin ta suy ra </i>



<i>SIMN</i>



 1 

<b>B. Ví dụ áp dụng </b>

<b>Bài 1. Cho A nằm ngồi đường trịn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC trong đó B,C là </b>

hai tiếp điểm . Kẻ cát tuyến AMN bất kì trong đó N nằm giữa A và M. AO cắt đoạn BC và cung nhỏ <i>BC lần lượt tại K và E. Chứng minh rằng ME là phân giác của KMA. </i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<b>Bài 2. Cho hai đường tròn </b>(<i>O và </i>₁) (<i>O cắt nhau tại hai điểm E và F. Lấy A trên tia EF </i>₂)kéo dài và kẻ tiếp tuyến AM, AN với (<i>O , tiếp tuyến AP, AQ với </i>₁) (<i>O . Khi đó MN. </i>₂)PQ, EF đồng quy.

<b>Bài 2. Từ điểm S ngồi đường trịn (O), kẻ tới (O) các tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến </b>

SMN (SM < SN). Đườn thẳng qua M, song song với SA theo thứ tự cắt AB, AN tại E, F. Chứng minh rằng ME = EF.

<b>Bài 3. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O). M,N,P,Q lần lượt là các tiếp </b>

điểm của AB,BC,CD,DA với đường tròn. Gọi K là giao điểm của MQ với NP và I là giao điểm của MP với QN. Chứng minh rằng ( , , , )<i>D B I K</i>  1.

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<b>Tiết 3,4: Hàng điểm điều hòa (tiếp) </b>

<b>Bài 1. D, E, F theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp của tam giác ABC với </b>

các cạnh BC, CA, AB. H là hình chiếu của D trên EF. Chứng minh <i>_BHD</i>_<i>_CHD</i>_.

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

<b>Bài 3. Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB tại D, E, F. </b>

DI cắt EF tại M. Chứng minh AM đi qua trung điểm BC.

<b>Bài 1. Cho tam giác ABC bất kì. Lấy một điểm I trong đường tròn sao cho </b>

<i>IAB</i> <i>IBC và IAC</i> <i>ICB . Lấy V là một điểm trên AI sao cho </i><i>BVC</i> 90⁰. Chứng minh rằng BV là phân giác của <i>ABI</i> và CV là phân giác của <i>ACI . </i>

<b>Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A; D  AC và E đối xứng với A qua BD, F là giao </b>

điểm của đường thẳng qua D vng góc với BC và CE. Chứng minh rằng AF; DE; BC đồng quy.

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

<b>Tiết 5,6: Hàng điểm điều hòa Bài 1. Cho tứ giác </b><i>ABCD nội tiếp có </i>

<i>ADBCE ABCDF ACEFR BDEFQ </i>

Gọi <i>M N</i>, lần lượt là trung điểm của <i>AC BD</i>, .

a) Chứng minh rằng <i>M N R S</i>, , , cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh rằng <i>EF</i> là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (<i>EMN</i>),(<i>FMN </i>).

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

<b>Bài 3. Cho tam giac ABC nhọn nội tiếp (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. </b>

Gọi K là trung điểm BC. Các tiếp tuyến với (O) tại B, C cắt nhau tại J. Gọi {P} = EF  BC, chứng minh rằng DJ  OP.

<b>Bài 1. Cho tam giác </b><i>ABC có D E F</i>, , lần lượt là tiếp điểm trên <i>BC CA AB</i>, , của đường

<i>tròn nội tiếp tam giác. Gọi X là một điểm bên trong tam giác ABC sao cho đường tròn nội tiếp tam giác XBC tiếp xúc với BC tại D, tiếp xúc với XB XC theo thứ tự tại ,</i>, <i>Y Z . </i>

Chứng minh <i>E F Y Z</i>, , , đồng viên.

<b>Bài 2. Từ một điểm A nằm ngồi đường trịn tâm O, kẻ tiếp tuyến AB và cát tuyến AIK </b>

đến (O) với B là tiếp điểm, I nằm giữa A và K. Đường thẳng qua K vng góc với OA cắt tia AB, IB lần lượt tại C,E. Chứng minh rằng C là trung điểm của KE.

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

<b>Tiết 7,8: Hàng điểm điều hòa </b>

<b>Bài 1. Cho đường tròn (O), day cung BC khác đường kính. Điểm A thuộc cung lớn BC. </b>

Lấy S đối xứng O qua BC. Lấy T trên OS sao cho AT, AS đối xứng nhau qua phân giác góc  BAC. Chứng minh T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC.

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

<b>Bài 2. Cho </b>ABC đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA và AB tương ứng tại D, E, F. Đường thẳng EF cắt BC tại G. Đường trịn đường kính GD cắt (I) tại R (R D). Gọi P, Q (P  R, Q  R) tương ứng là giao của (I) với BR, CR. Hai đường thẳng BQ và CP cắt nhau tại X. Đường tròn (CDE) cắt QR tại M và đường tròn (BDF) cắt PR tại N. Chứng minh rằng PM, QN và RX đồng quy.

<b>Bài 1. Cho tam giác ABC có I, J lần lượt là tâm đường trịn nội tiếp và bàng tiếp góc A. </b>

Qua I, J lần lượt kẻ các đường thẳng DE, FG song song với BC với D, F thuộc đường thẳng AB và E, G thuộc đường thẳng AC. Chứng minh rằng : ¹ ¹ ²

<b>Bài 2. Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. EF cắt BC tại </b>

G. Đường tròn tâm K đường kính BC cắt đường trung trực của BC tại L. Đường trịn ngoại tiếp tam giác GDL có tâm N cắt tia CL tại điểm thứ hai M. MK cắt (N) tại P, CN cắt (K) tại Q. Chứng minh M, P, Q, Cđồng viên.

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

<b>Tiết 9, 10: Chùm điều hòa A. Lý thuyết </b>

<b>1. Chùm đường thẳng và tỉ số kép của nó a) Các định nghĩa </b>

<b> Định nghĩa 1: Tập hợp các đường thẳng cùng đi qua một điểm được gọi là một </b>

<b>chùm đầy đủ đường thẳng. </b>

<b> Định nghĩa 2: Bộ bốn đường thẳng đơi một khác nhau, có kể đến thứ tự, cùng thuộc một chùm đầy đủ đường thẳng được gọi là một chùm đường thẳng. </b>

<b>b) Các định lý </b>

<b>♥ Định lý 4: Cho </b>a, b,c,d là chùm đường thẳng tâm O. Đường thẳng <small></small> không đi qua

O, theo thứ tự cắt a,b,c,d tại A,B,C, D. Đường thẳng ' không đi qua O, theo thứ tự

cắt a, b,c tại A', B',C'. Khi đó: '/ /d



ABCD



^{C' A'}

C' B'

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

<b>♥ Định lý 5: Cho </b>a, b,c,d là chùm đường thẳng tâm O. Đường thẳng <small></small> không đi qua

O, theo thứ tự cắt a,b,c,d tại A,B,C, D. Đường thẳng ' không đi qua O, theo thứ tự cắt a, b,c,d tại A',B',C',D'. Khi đó:



ABCD

 

 A' B'C' D'



<b> Định nghĩa 3: Số khơng đổi </b>



ABCD



nói trên được gọi là tỉ số kép của chùm

a, b,c,d và được kí hiệu là



abcd



.

<b>2. Phép chiếu xuyên tâm </b>

<b>a) Định nghĩa: Cho hai đường thẳng </b> , ' và điểm S không thuộc  , '. Gọi <small>K</small> là điểm thuộc <small></small> sao cho SK / / ' . Gọi f là ánh xạ đi từ tập hợp các điểm thuộc \ K

 

tới tập hợp các điểm thuộc ' , xác định như sau: f M

 

M' sao cho S,M,M' thẳng hàng. Ánh xạ f<b> được gọi là phép chiếu xuyên tâm đi từ </b>\ K

 

tới '. Điểm S được gọi là tâm của f.

<b> Lưu ý: </b>

+ Nếu phép chiếu xuyên tâm f biến hàng điểm A,B,C,D thành hàng điểm

A', B',C',D' thì



ABCD

 

 A' B' C' D'



(hay phép chiếu xuyên tâm bảo toàn tỉ số kép).

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

<b>b) Các định lý </b>

<b>♥ Định lý 6: Cho hai đường thẳng </b> , ' cắt nhau tại O. Các điểm A,B,C thuộc

<small></small>; các điểm A', B',C' thuộc '. Khi đó:

AA', BB',CC'<b> hoặc đồng quy hoặc đôi một song song </b>



OABC

 

 OA' B'C'



<b>♥ Định lý 7: Cho hai chùm </b>O ABCO'



và O' ABCO



. Khi đó:

A,B,C thẳng hàng  O ABCO'



O' ABCO



</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

<b>♥ Định lý 9: Với chùm điều hòa </b>a,b,c,d các điều kiện sau là tương đương i) cd

ii) c là một phân giác của các góc tạo bởi a,b

iii) d là một phân giác của các góc tạo bởi a,b

<b>B. Ví dụ áp dụng </b>

<b>Bài 1. Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA, AB </b>

tại D, E, F. AD lại cắt (I) tại K. BC∩EF = L. Chứng minh LK tiếp xúc với (I).

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

<b>Bài 2. Cho hai điểm A, B nằm trên đường tròn (O). C là điểm đối xứng của A qua B. </b>

Qua C, kẻ tới (O) tiếp tuyến CT. CT cắt tiếp tuyến với (O) tại A ở S. SB lại cắt (O) tại K. Chứng minh KT // AB.

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

<b>Bài 3. Cho tứ giác </b>ABCD nội tiếp đường tròn

 

O . AB,AC,AD theo thứ tự cắt

CD,DB,BC tại X, Y,Z. Chứng minh rằng O là trực tâm tam giác XYZ.

<b>Bài 1. Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. BO, CO theo thứ tự cắt AC, </b>

AB tại M, N. K là giao của OA và MN. H là hình chiếu của K trên BC. Chứng minh

<b>Bài 2. M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD của tứ giác nội tiếp ABCD. </b>

Các đường tròn (ABN), (CDM) theo thứ tự lại cắt CD, AB tại P, Q. Chứng minh rằng: AC, BD, PQ đồng quy.

<b>Bài 3. Đường thẳng </b><small></small> đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD, theo thứ tự cắt các đường thẳngBD,BC tại M, N. Chứng minh rằng: 1 1 1

<b>Bài 4. Các đường phân giác BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại I. Đường thẳng qua </b>

I, vng góc với EF theo thứ tự cắt BC, EF tại P, Q. Giả sử IP = 2IQ. Tính _BAC.

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

<b>Tiết 11,12: Chùm điều hòa (tiếp) </b>

<b>Bài 1. Cho tam giác ABC và tâm nội tiếp (I) tâm I. Gọi D là chân vng góc của I </b>

xuống BC, P là chân vng góc của I xuống AD. Chứng minh _{BPD CPD}_ _.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

<b>Bài 2. Cho tam giác ABC và các điểm </b>C , B ,A₁ ₁ ₁ là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC, BC sao cho 3 đường <small>CC , BB , AA</small>₁ ₁ ₁ đồng quy tại P. Tia <small>B A</small>₁ ₁và <small>B C</small>₁ ₁ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại <small>A ,C</small>₂ ₂. Chứng minh rằng A; C; giao điểm của <small>A C</small>₂ ₂ và <small>BB</small>₁; trung điểm của <small>A C</small>₂ ₂ cùng nằm trên một đường tròn.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

<b>Bài 3. Cho hai đường tròn (O</b><small>1</small>) và (O<small>2</small>) cắt nhau tại A,B. CD là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O<small>1</small>) và (O<small>2</small>) với C thuộc (O<small>1</small>) ; D thuộc (O<small>2</small>), B gần CD hơn A.

a) Gọi E là giao điểm của BC và AD, F là giao điểm của BD và AC. Chứng minh rằng EF song song với CD.

b) Gọi N là giao điểm của AB và EF. Lấy K trên đoạn thẳng CD sao cho BAC = DAK. Chứng minh rằng KE=KF.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

<b>Bài tập </b>

<b>Bài 1. Cho tam giác </b>ABC nội tiếp đường tròn

 

O . Đường tròn

 

I nội tiếp tam giác, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi H là hình chiếu vng góc của D trên EF; AH cắt lại đường tròn

 

O tại điểm thứ hai G. Tiếp tuyến với đường tròn

 

O tại G cắt BC tại T. Chứng minh rằng tam giác TDG cân.

<b>Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp (O) với E, F lần lượt thay đổi trên </b>

AC, AB sao cho AE = AF. Gọi D là giao điểm của EF và BC. Gọi K, L lần lượt là tâm (BDF) và (CDE). Gọi H là giao điểm của BE và CF. AH cắt BC tại S. G đối xứng D qua KL. Gọi T là điểm thuộc DG sao cho TS  BC. M là trung điểm của ST. Chứng minh rằng khi E, F thay đổi thì đường thẳng GM ln đi qua một điểm cố định.

<b>Bài 3. Cho ∆ABC nội tiếp (O). Các đường cao AH, BK, CL cắt nhau tại X. Gọi Q là </b>

trung điểm AC, P=BO ∩ AC, T = HL ∩ BK. Chứng minh TP// XQ.

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

<b>Tiết 13,14: Chùm điều hòa </b>

<b>Bài 1. Cho tam giác </b>ABC có AB AC và đường trịn nội tiếp (I) tiếp xúc với cạnh BC

tại D. Trên tia AD, lấy điểm M sao cho CM CD. Giả sử AD cắt (I) tại GD.

Đường thẳng GB cắt CM tại K. Chứng minh rằng M là trung điểm của CK.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

<b>Bài 2. Cho hình thang </b>ABCD có AB CD và BCBD. Đường thẳng đối xứng với CA

qua CD cắt AD,BD lần lượt tại E,F. Chứng minh rằng E là trung điểm của CF.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

<b>Bài 3. Cho tam giác </b>ABC nội tiếp (O) có T là giao điểm hai tiếp tuyến của (O) ở B,C.

vng góc với BC cắt AT ở N. Chứng minh rằng N thuộc đường trung bình của tam giác TDE.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

<b>Bài tập </b>

<b>Bài 1. Cho tam giác </b>ABC nội tiếp đường tròn

 

O . <small>D</small> là điểm đối xứng với A qua O. Tiếp tuyến với

 

O tại <small>D</small> cắt BC tại <small>E</small>. OE theo thứ tự cắt AB,AC tại M, N. Chứng minh rằng OM ON

<b>Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp (O). Một đường tròn (O’) thay đổi </b>

đi qua B, C, cắt AB, AC lần lượt tại E, F khác A. (AEF) cắt (O) tại K, K ≠ A. KE, KF lần lượt cắt (O) tại Q, P khác K. Gọi T = BQ  CP. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của BF, CE.

a) Chứng minh rằng A, O, T thẳng hàng. b) Chứng minh rằng KA tiếp xúc với (AMN).

<b>Bài 3. Cho (O) và hai điểm B, C thuộc (O) sao cho BC khơng là đường kính. Gọi T là </b>

giao điểm của hai tiếp tuyến tại B và C của (O). Qua T kẻ cát tuyến TDA. Đường thẳng qua A vng góc với AT cắt BC, (O) lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng:

a) QD ⊥ PT.

b) QC, BD, PT đồng quy

<b>Bài 4. Cho đường tròn (O;R) và một điểm I cố định ở trong đường trịn (I</b>O), đường thẳng qua I vng góc với OI cắt đường trịn tại C và D; A là một điểm nằm trên đường tròn, tia đối xứng với tia IA qua đường thẳng CD cắt đường tròn tại B. Gọi M là trung điểm của AB.

a) Chứng minh đường thẳng AB đi qua một điểm cố định L khi A thay đổi trên đường tròn (O;R).

b) Gọi N, P là giao điểm của đường thẳng OM với đường tròn (O). Đường thẳng CN và DP cắt nhau ở Q. Chứng minh rằng các điểm Q, N là những tâm của đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của tam giác CMD.

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

<b>Tiết 15, 16: Chùm điều hòa (tiếp) </b>

<b>Bài 1. Cho tam giác ABC. Đường trung tuyến AM, đường phân giác trong góc A là AN </b>

(N thuộc BC). Đường thẳng vng góc với AN tại N cắt AB tại P, cắt AM tại Q. Đường thẳng vng góc với AB tại P cắt AN tại I. Chứng minh rằng đường thẳng IQ vng góc với đường thẳng BC.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

<b>Bài 2. Cho tam giác </b>ABC nhọn với AB AC và trực tâm H. AH,BH,CHlần lượt cắt các cạnh BC,CA, AB tại D,E,F. <small>EF</small>cắt BCtại G. <small>K</small> là hình chiếu của <small>H</small> lên AG. AH

cắt EFtại L.Trung trực LD cắt GHtại P,N là trung điểm của EF. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác KGNvà DPL tiếp xúc nhau.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

<b>Bài tập </b>

<b>Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tâm nội tiếp I. Đường tròn bàng </b>

tiếp (L) tại đỉnh C của tam giác ABC tiếp xúc với AB tại M. MI cắt BC tại N. P là hình chiếu của C lên LB. Chứng minh rằng AI và PN cắt nhau trên đường tròn (O).

<b>Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD cắt đường trịn đường kính AC tại N, Q </b>

(Q nằm ngồi tam giác); đường cao CE cắt đường trịn đường kính AB tại M, P (P nằm ngồi tam giác). Gọi H là trực tâm tam giác ABC

a) Chứng minh PN, MQ , BC đồng quy tại điểm K. b) Chứng minh BM, CN và HK đồng quy.

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

<b>Tiết 17, 18: Tứ giác điều hòa </b>

<b>1) Định nghĩa </b>

Tứ giác nội tiếp <i>ABCD được gọi là điều hòa nếu tồn tại điểm M thuộc đường tròn </i>

ngoại tiếp tứ giác sao cho M(ACBD) = - 1.

Nhận xét: Tứ giác <i>ABCD</i> là điều hịa thì với mọi điểm M thuộc (O) ta đều có M(ACBD) = - 1.

<b>2) Tính chất </b>

<i>a) Tứ giác ABCD điều hòa</i><i>AB CD</i>. <i>AD CB </i>. .

<i>Nhận xét: 1) Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác điều hịa ABCD ta có: </i>

. 2 . 2 .

<i>AC BDAB CDAD CB</i>

2) Vì tính chất này tương đương với <i>^AB</i>  <i>^CB</i>

<i>ADCD</i>^{nên ta đã sử dụng thuật ngữ}

“Tứ giác điều hòa”.

b) Tứ giác <i>ABCD</i> điều hòa khi và chỉ khi  <i>_A</i>, <i>_C</i>,<i>BD đồng quy hoặc đơi một song </i>

song. Trong đó  <i>_A</i>, <i>_C</i> lần lượt là tiếp tuyến tại A và C của (O).

c) Tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O) có. Chứng minh rằng (O) trực giao với đường tròn Apollonius tỉ số k dựng trên đoạn AC.

d) Cho tứ giác điều hòa ABCD. Gọi N là giao điểm của AC và BD. Chứng minh

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

<b>3) Ví dụ áp dụng </b>

<b>Bài 1. Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O); M là giao điểm hai tiếp tuyến tại B, D </b>

của (O). Đường thẳng song song với MD kẻ qua C cắt DB, DA lần lượt ở H, K. Chứng minh rằng HC=HK.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

<b>Bài 2. Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O), gọi M là giao điểm hai tiếp tuyến tại B, </b>

D của (O) Gọi I là giao điểm của OM và BD. Khi ấy IB là phân giác của góc AIC. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

<b>Bài 3. Cho tam giác ABC, D là trung điểm của cạnh BC và E, Z là hình chiếu của D </b>

trên AB, AC. Gọi T là giao điểm của các tiếp tuyến tại E, Z của đường trịn đường kính AD. Chứng minh rằng: TB=TC.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

<b>Bài tập </b>

<b>Bài 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). </b>_{AB CD S}<small></small> , _AD<small></small>_{BC F}<small></small> , _AC<small></small>_{BD E}<small></small> . Tiếp tuyến SM, SN với đường tròn. Chứng minh rằng E, F, M, N thẳng hàng.

<b>Bài 2. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp (O). M, N, P, Q là tiếp điểm của (O) với AB, BC, </b>

CD, AD. Chứng minh rằng AC, BD, MP, NQ đồng quy.

<b>Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC. D là một điểm thuộc đoạn AC. Giả sử đường tròn </b>

ngoại tiếp tam giác ABD cắt đoạn thẳng BC tại E khác B. Tiếp tuyến tại B, D của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt nhau tại T. AT cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ở F khác A. Gọi M là trung điểm của AF và CF giao DE tại G, AG giao BC tại H, AE giao MD tại N. Chứng minh rằng HN // AT .

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

<b>Tiết 19, 20: Tứ giác điều hòa (tiếp) 4) Ứng dụng </b>

<b>Bài 1. Cho tam giác ABC không cân tại A, nội tiếp đường tròn (O), M là trung điểm </b>

của BC. Các đoạn N, P thuộc đoạn BC sao cho MN=MP. Các đường thẳng AM, AN, AP theo thứ tự cắt (O) tại X, Y, Z. Chứng minh rằng: BC, YZ và tiếp tuyến tại X của (O) đồng quy.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

<b>Bài 2. Cho tam giác ABC và điểm M . Các đường thẳng AM, BM, CM theo thứ tự cắt </b>

BC, CA, AB tại D, E, F. Lấy X thuộc BC sao cho  90<i><small>o</small></i>

<i>AMX</i> . Y, Z theo thứ tự là điểm đối xứng của M qua DE, DF. Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

<b>Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có A cố định và B, C thay đổi trên </b>

(O) và luôn song song với một đường thẳng cố định cho trước. Các tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau tại K. Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của AM với (O). Chứng minh rằng đường thẳng KN luôn đi qua một điểm cố định.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

<b>Bài 4. Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Lấy M thuộc </b>

(O), MA, MB cắt (O’) tại N, P. Gọi Q là trung điểm của NP. Chứng minh rằng MQ luôn đi qua một điểm cố định.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

<b>Bài tập </b>

<b>Bài 1. Cho tam giác ABC nhọn. Gọi D, M, H lần lượt là chân đường cao hạ từ A, trung </b>

điểm của BC, trực tâm tam giác ABC.Kẻ đường cao AK. Đường thẳng MH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là E. Đường thẳng ED cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là F. Chứng minh rằng <i>^BF</i>  <i>^AB</i>.

<b>Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn, </b> <i>AB</i><i>AC . D</i><i>AC sao cho BD</i> <i>AC , E</i><i>AB sao </i>

cho <i>CE</i> <i>AB . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, MD, ME. S</i><i>PN</i> <i>BC . Gọi T </i>

là điểm thuộc DE sao cho <i>AT</i> / /<i>BC . Chứng minh rằng ST tiếp xúc (ADE) </i>

<b>Bài 3. Trên mặt phẳng, cho đường tròn (O) và hai điểm cố định B, C trên đường tròn </b>

này sao cho BC khơng là đường kính của (O). Gọi A là một điểm di động trên đường tròn (O) và A không trùng với hai điểm B, C. Gọi D, K, J lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và E, M, N lần lượt là hình chiếu vng góc của A, B, C trên BC, DJ, DK. Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại M, N của đường tròn ngoại tiếp tam giác EMN luôn cắt nhau tại điểm T cố định khi A thay đổi trên (O).

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

<b>Tiết 21, 22: Tứ giác điều hòa (tiếp) c) Một số ứng dụng khác </b>

<b>Bài 1. Xét tam giác không cân ABC có đường trịn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh </b>

BC, AC, AB lần lượt tại D, E, F. Đường trịn bàng tiếp góc A tiếp xúc với cạnh BC tại N. Đặt T là giao điểm gần N của AN với đường tròn nội tiếp tam giác ABC, K là giao điểm của DT và EF. Chứng minh rằng AK // BC.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

<b>Bài 2. Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA tại D, </b>

E. AD cắt lại (I) tại P. Giả sử <i>BPC</i>90⁰. Chứng minh rằng <i>EA</i><i>AP</i><i>PD . </i>

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

<b>Bài 3. Cho tam giác ABC, đường cao AH, E là trung điểm của AH. Đường tròn nội tiếp </b>

(I) tiếp xúc với BC tại D. DE cắt lại (I) tại F. Chứng minh rằng FD là phân giác của góc BFC.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

<b>Bài tập </b>

<b>Bài 1. Cho tứ giác nội tiếp ABCD. Đặt </b><i>E</i> <i>AC</i><i>BD F</i>;  <i>AD</i><i>BC . M là trung điểm </i>

của CD. EF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB tại N (M, N thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AB). Chứng minh rằng: <i>^MA</i>  <i>^NA</i>

<i>MBNB</i>^.

<b>Bài 2. Cho tam giác ABC, P là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. Gọi B’, C’ lần </b>

lượt là điểm đối xứng với P qua AC, AB; E, F lần lượt là hình chiếu của P trên AC, AB. Gọi X là giao điểm khác A của hai đường tròn (AB’C’) và đường tròn đường kính AP. Chứng minh rằng tứ giác PEXF là tứ giác điều hòa.

<b>Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn không cân, nội tiếp (O). Hai tiếp tuyến của (O) tại B và </b>

C cắt nhau tại D. AO cắt BC tại E. Gọi M là trung điểm BC, AM cắt (O) tại điểm thứ

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

<b>Tiết 23, 24: Tứ giác điều hòa (tiếp) </b>

<b>Bài 1: Trong mặt phẳng cho hai đường tròn </b><i></i>₁ và <i></i>₂cắt nhau tại A, B. Một tiếp tuyến chung của hai đường tròn tiếp xúc với <i></i>₁ ở P và <i></i>₂ở T. Các tiếp tuyến tại P và T của đường tròn ngoại tiếp tam giác APT cắt nhau tại S. Gọi H là điểm đối xứng của B qua PT. Chứng minh rằng A, H, S thẳng hàng.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

<b>Bài 2: Trong mặt phẳng cho hai đường tròn </b><i></i>₁ tâm O và <i></i>₂ tâm O’ cắt nhau tại hai điểm A, B. Các tiếp tuyến tại A, B của <i></i>₁ cắt nhau tại K. Giả sử M là một điểm nằm trên <i></i>₁ nhưng không trùng với A và B. Đường thẳng AM cắt lại <i></i>₂ tại P, đường thẳng KM cắt <i></i>₁ tại C và đường thẳng AC cắt <i></i>₂ tại Q.

a) Chứng minh rằng trung điểm PQ thuộc đường thẳng MC.

b) Đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên <i></i>₁.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

<b>Bài 3. Từ điểm A nằm ngoài (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp điểm). Lấy </b>

T bất kì thuộc cung nhỏ BC. Kẻ TH vng góc với BC (tại H). Chứng minh TH là phân giác của góc <small>MHN</small>^ (M, N là giao điểm của tiếp tuyến tại T của (O) với AB, AC).

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

<b>Bài 4. Từ A nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm). AO cắt (O) ở </b>

D. Kẻ BX vng góc với CD (X thuộc CD). Gọi Y là trung điểm của XB, YD cắt (O) tại điểm thứ hai Z. Chứng minh rằng <i>AZC</i>90<i>^o</i>

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

<b>Bài tập </b>

<b>Bài 1. Cho tam giác ABC, đường cao AH, K là trung điểm của AH. Đường tròn nội tiếp </b>

(I) tiếp xúc với BC tại D. DK cắt lại (I) tại T. Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác TBC tiếp xúc với (I).

<b>Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đường cao AD, BE, CF. AA’ là đường kính </b>

của (O). A’B, A’C cắt AC, AB lần lượt ở M, N. P, Q thuộc EF sao cho PB, QC vng góc với BC. Đường thẳng qua A vng góc với QN, PM lần lượt cắt (O) tại X, Y. Tiếp tuyến của (O) tại X, Y cắt nhau tại J. Chứng minh rằng JA’ vng góc BC.

<b>Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (AB</b> AC). Tiếp tuyến với (O) tại A cắt BC tại D. DO theo thứ tự cắt AB, AC tại E, F. M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng AO, EN, FM đồng quy.

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

<b>Tiết 25, 26: Tứ giác điều hòa (tiếp) </b>

<b>Bài 1. Cho tam giác </b> <i>ABC nội tiếp </i>( )<i>O có T</i> là giao điểm hai tiếp tuyến của ( )<i>O ở </i>

<b>Bài 2. Cho đoạn thẳng </b><i>AD cố định và hai điểm B C</i>, thay đổi sao cho <i>D luôn là trung điểm của BC và B C A D</i>, , , không thẳng hàng. Gọi <i>M N</i>, lần lượt là hình chiếu của <i>D </i>

lên <i>AB AC . Gọi , ,</i>, <i>R S I lần lượt là trung điểm AB AC MN và RS cắt MN tại .</i>, , <i>K Gọi E là điểm đối xứng với D qua RS Chứng minh rằng đường trịn (</i>. <i>IKE ln đi qua </i>)hai điểm cố định.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

</div>