Chuyên đề quan hệ vuông góc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (679.23 KB, 25 trang )
QUAN H
VUÔNG GÓC
DOWNLOAD
DOWNLOAD TI ONTHIDAIHOC24H.COM
GV : NGUYN ĐC KIÊN
1
BI 1: VECTO TRONG KHễNG GIAN
A . Lí THUYT
1. nh ngha v cỏc phộp toỏn
nh ngha, tớnh cht, cỏc phộp tn v vect trong khụng gian c xõy dng hn tn tng t nh
trong mt phng.
Lu ý:
+ Q u i t c ba im: Cho ba im A, B, C bt k, ta cú:
AB B C A C
+ Q u i t c hỡnh bỡnh hnh: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, ta cú:
AB AD AC
+ Q u i t c hỡnh hp: Cho hỡnh hp ABCD.ABCD, ta cú:
' '
AB A D A A A C
+ H t h c trung im on thng: Cho I l trung im ca on thng AB, O tu ý.
Ta cú:
0IA IB
;
2
OA OB OI
+ H thc trng tõm tam giỏc: Cho G l trng tõm ca tam giỏc ABC, O tu ý. Ta cú:
0; 3
GA GB GC OA OB OC OG
+ H thc trng tõm t din: Cho G l trng tõm ca t din ABCD, O tu ý. Ta cú:
0; 4
GA GB GC GD OA OB OC OD OG
+ iu kin hai vect cựng phng:
( 0) ! :
a vaứb cuứng phửụng a k R b ka
+ im M chia on thng AB theo t s k (k 1), O tu ý. Ta cú:
;
1
OA kOB
MA kMB OM
k
2. S ng phng ca ba vect
Ba vect c gi l ng phng nu cỏc giỏ ca chỳng cựng song song vi mt mt phng.
iu kin ba vect ng phng: Cho ba vect
, ,a b c
, trong ú
a vaứb
khụng cựng phng. Khi
ú:
, ,a b c
ng phng ! m, n R:
c ma nb
Cho ba vect
, ,a b c
khụng ng phng,
x
tu ý .
Khi ú: ! m, n, p R:
x ma nb pc
3. Tớch vụ hng ca hai vect
Gúc gia hai vect trong khụng gian:
0 0
, ( , ) ( 0 180 )
AB u AC v u v BAC BAC
Khi xỏc nh gúc ca 2 vecto ko cựng gc ta phi c gng a v cựng gc xỏc nh gúc bng cỏch
dng vecto bng vecto ban u
Tớch vụ hng ca hai vect trong khụng gian:
+ Cho
, 0u v
. Khi ú:
. .
.cos(, )u v u v u v
+ Vi
0 0
u hoaởc v
. Qui c:
.
0u v
2
+
. 0
u v u v
B. BÀI TẬP
DẠNG 1: Chứng minh đẳng thức vecto
Pp: Dùng các quy tắc, công thức đã học để cm:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là một hình chữ nhật.
Chứng minh rằng:
a.
S A S C S B S D
b.
2 2 2 2
SA SC SB SD
Giải
a. Gọi O là tâm của hình chữ nhật. Vì OA – OC nên:
2
S A S C SO
(1)
Vì OB = OD nên
2
S B SD SO
(2)
So sánh (1) và (2) ta suy ra
S A S C S B S D
b. Ta có:
2 2
2
( ) 2 .
SA SO OA SO OA SO OA
Mà
0
O A O C
nên
2 2 2 2 2
2
SA SC SO OA O C
Tương tự ta có:
2 2 2 2 2
2
SB SD SO OB OD
Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có
OA O B OC OD
Từ đó suy ra
2 2 2 2
SA SC SB SD
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của đoạn MN.
Chứng minh rằng:
a.
2
AD BC AC BD MN
b.
0
GA GB GC GD
c.
4
P A PB PC P D PG
với P là một điểm bất kì.
Giải:
a. Ta có:
MN MA A D DN
và
MN MB BC CN
Suy ra:
2 ( ) ( )
MN MA MB AD BC DN CN
V ì
0
MA MB DN CN
nên
2
MN AD BC
Ta suy ra:
2
A D BC A C BD MN
b. Vì
2 , 2 , 0
GA GB GM GC GD GN GM GN
nên
0
G A G B GC
c. Với điểm P bất kì, từ kết quả trên ta có:
Hình 6.2
O
D
C
B
A
S
Hình 6.3
D
C
B
G
N
M
A
3
( ) ( ) ( ) ( ) 0
PA PG PB PG PC PG PD PG
Do đó:
4
P A P B P C PD P G
DẠNG 2. chứng minh 3 vecto đồng phẳng và phân tích một vecto theo 3 vecto ko đồng phẳng
Pp :
Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:
+ Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.
+ Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:
Nếu c ó m, n R:
c ma nb
t h ì
, ,a b c
đồng phẳng
Để phân tích một vectơ
x
theo ba vectơ
, ,a b c
không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho:
x ma nb pc
BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh
AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M,N sao cho
( 0)
AM BN
k k
A C B D
. Chứng minh rằng ba vectơ
, ,
PQ PM PN
đồng phẳng.
Giải:
Vì Q là trung điểm của cạnh DC nên ta có:
1 1
( ) [( ) ( )
2 2
1
[( ) ( )]
2
PQ PC PD AC A P BD B P
AC BD AP BP
V ì
0
AP BP
nên
1
( ) 0
2
P Q AC B D
Theo giả thiết ta có
1
AC
AM
k
và
1
B D
BN
k
Do đó
1
( )
2
P Q AM BN
k
V ì :
A M AP PM
và
B N B P PN
nên
1
( )
2
P Q A P P M B P PN
k
V ậy:
1 1
2
P Q
2
P M PN
k k
Từ hệ thức trên ta suy ra ba vectơ
, ,
P Q PM PN
đồng phẳng
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1.
Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngồi mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho
2
MS MA
và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho
1
2
N B N C
. Chứng minh rằng ba vectơ
, ,
AB MN SC
đồng phẳng.
HD: Chứng minh
2 1
3
MN
3
AB SC
.
2.
Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AE, CG, AD,
DH, GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của NG và JH.
a) Chứng minh ba vectơ
, ,
MN FH PQ
đồng phẳng.
Q
P
Hình 6.4
D
C
B
G
N
M
A
4
b) Chứng minh ba vectơ
, ,
IL JK AH
đồng p h ẳ n g .
HD: a)
, ,
MN F H PQ
có giá cùng song song với (ABCD).
b)
, ,
IL JK AH
có giá cùng song song với (BDG).
3.
Cho hình lăng trụ ABC.DEF. Gọi G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của AE, EC, CD, BC, BE.
a) Chứng minh ba vectơ
, ,
AJ GI HK
đồng phẳng.
b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên AF và CE sao cho
1
3
FM CN
FA CE
. Các đường thẳng vẽ từ M và N
song song với CF lần lượt cắt DF và E F t ạ i P v à Q. Chứng minh ba vectơ
, ,
MN PQ CF
đồng phẳng.
4.
Cho hình hộp ABCD.ABC D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD ; G và G lầ n l ư ợ t l à
trọng tâm của các tứ diện ADMN và BCCD . Chứng minh rằng đường thẳng GG và mặt phẳng
(ABBA) song song với nhau.
HD: Chứng minh
1
' 5 '
8
GG AB AA
, ', '
AB A A GG
đồng phẳng.
5.
Cho ba vectơ
, ,a b c
không đồng phẳng và vectơ
d
.
a) Cho
d ma nb
với m và n 0. Chứng minh các bộ ba vectơ sau không đồng phẳng:
i )
, ,b c d
ii)
, ,a c d
b) Cho
d ma nb pc
với m, n và p 0. Chứng minh các bộ ba vectơ sau không đồng phẳng: i)
, ,a b d
ii)
, ,b c d
iii)
, ,a c d
HD: Sử dụng phương pháp phản chứng.
6.
Cho ba vectơ
, ,a b c
khác
0
và ba số thực m, n, p 0. Chứng minh rằng ba vectơ
, ,
x ma nb y pb mc z nc pa
đồng phẳng.
HD: Chứng minh
0
px ny mz
.
7.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có
' , ,
AA a AB b AC c
. Hãy phân tích các vectơ
' , '
B C BC
theo
các vectơ
, ,a b c
.
HD: a)
'
B C c a b
b)
'
B C a c b
.
8.
Cho tứ diện OABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Phân tích vectơ
OG
theo các ba
, ,
OA OB OC
.
b) Gọi D là trọng tâm của tứ diện OABC. Phân tích vectơ
OD
theo ba vectơ
, ,
OAOBOC
.
HD: a)
1
3
OG OA OB OC
b)
1
4
OD OA OB OC
.
9.
Cho hình hộp OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp .
a) Phân tích hai vectơ
OI vaø AG
theo ba vectơ
, ,
OA OC OD
.
b) Phân tích vectơ
B I
theo ba vectơ
, ,
F E F G F I
.
HD: a)
1
2
OI OA OC OD
,
AG OA OC OD
. b)
B I FE F G FI
.
10.
Cho hình lập phương ABCD.EFGH.
a) Phân tích vectơ
AE
theo ba vectơ
, ,
AC A F AH
.
b) Phân tích vectơ
AG
theo ba vectơ
, ,
AC A F AH
.
HD: a)
1
2
AE AF AH AC
b)
1
2
AG AF AH AC
.
5
DẠNG 3. Hai đường thẳng vuông góc
PP:
Chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó bằng 90
0
.
Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó vuông góc với nhau.
Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …).
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện là AB và CD, AC và DB vuông góc với nhau.
Chứng minh rằng
a)
. . . 0
AB CD AC DB ADBC
b) cặp cạnh đối diện còn lại là AD và BC cũng vuông góc với nhau.
Giải:
a):
. . . 0
A B CD A C DB AD BC
Ta có:
. .( ) . . ( 1 )
. .( ) . . (2)
. .( ) . . (3
ABCD AB AD AC AB AD AB AC
AC D B AC AB AD AC AB AC AD
ADBC AD AC AB AD AC AD AB
)
Từ (1), (2), (3) ta suy ra
. . . 0
A B CD A C DB AD BC
b) theo câu a, nế u A B CD nghĩa là
. 0
AB CD
và AC DB nghĩa là
. 0
ACDB
thì từ hệ thức (4) ta suy ra
. 0
AD B C
nghĩa là A D BC.
Bài 2:( VD2 trang 170 TT vân anh)
Bài 3 ( VD1: trang 385 L H Đ)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1.
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và
ASB BSC CSA
. Chứng minh rằng SA BC, SB
AC, SC AB.
HD: Chứng minh
.S A B C
= 0
2.
Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD.
a) Chứng minh AO vuông góc với CD.
b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM.
HD: b)
3
cos( , )
6
AC BM
.
3.
Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c.
a) CMR đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện thì vuông góc với 2 cạnh đó.
b) Tính góc hợp bởi các cạnh đối của tứ diện.
HD: b)
2 2 2 2 2 2
2 2 2
arccos ; arccos ; arccos
a c b c a b
b a c
.
4.
Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân tại
A, M là điểm trên cạnh AD (M A và D). Mặt phẳng (P) qua M song song với mp(SAB) cắt BC, SC,
SD lần lượt tại N, P, Q.
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.
b) Đặt AM = x. Tính diện tích của MNPQ theo a và x.
6
5.
Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC BD, AB
CD, AD CB.
BÀI 2: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
d (P) d a, a (P)
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
, ( ),
( )
,
a b P a b O
d P
d a d b
3. Tính chất
Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là m ặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm
của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
( )
( )
a b
P b
P a
( ), ( )
a b
a b
a P b P
( ) ( )
( )
( )
P Q
a Q
a P
( ) ( )
( ) )
( ) ,()
P Q
P Q
P a Q a
( )
( )
a P
b a
b P
( )
)
,()
a P
a P
a b P b
4. Định lí ba đường vuông góc
Cho
( ),
( )a P b P
, a là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b a b a
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nếu d (P) thì
,()d P
= 90
0
.
Nế u
( )d P
thì
,()d P
=
, 'd d
với d là hình chiếu của d trê n ( P ) .
Chú ý: 0
0
,()d P
90
0
.
B. BÀI TẬP
DẠNG 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp. Hai đường thẳng vuộng góc
Pp : chứng minh đường thẳng vuông góc với mp
1. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với 2
đường thẳng b và c cắt nhau nằm trong mặt
phẳng ( ) .
( ), ( ), c
( )
,
b c b x
a
a b a c
2. Chứng minh đường thẳng a song song với b
và b vuông góc với mặt phẳng ( ).
//
( )
( )
a b
a
b
3. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với
mp() và () song song ( )
( )//( )
( )
( )
a
a
4. Chứng minh a là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( )
7
5. Chứng minh đường thẳng a nằm trong ( ) và
vuông góc với giao tuyến b của hai mặt phẳng
( ) và () vuông góc nhau.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
a
b a
a b
6. Chứng minh đường thẳng a là giao tuyến của
hai mặt phẳng () và() cùng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba ( ).
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
a
a
Pp: chứng minh đường t h ẳng vuông góc với đường thẳng
1. Dùng định nghĩa :
( , )
90
o
a b a b
2. Dùng tích vô hướng
V ới
u,v
là vectơ chỉ phương của a và b thì a b
u v.
= 0
3. Chứng minh đường thẳng a vuông góc đường
thẳng c song song với b
//b c
a b
a c
4. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt
phẳng ( ) chứa đường thẳng b.
( )
( )
a
a b
b
5. Chứng minh a và b đồng phẳng rồi áp dụng tính chất trong hình học phẳng như : Pytago đảo, trung tu yến
tam giác cân, tính chất đường cao, …
6. Chứng minh a nằm trong mp ( ) và a vuông góc
với hình chiếu b’ của b trên m ặt phẳng ( ) (định lí 3
đvg)
( )
( )
'
a
a b
a b b
c h
7. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với một
mp (P) và (P) song song với đường thẳng b
( )
//( )
a P
a b
b P
Bài tập
Bài 1. Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có ABC là tam giác vuông tại B.
a. Chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng (SAB) và BC SB.
b. Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH SC.
Bài 2. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy
(ABCD). Gọi H và K l ần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB và SD.
a. Chứng minh BC (SAB), CD (SAD), BD (SAC)
b. Chứng minh SC (AHK) và HK (SAC).
Bài 3. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SC, SB = SD.
8
a. Chứng minh đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Chứng minh MN (SAC).
Bài 4: (ĐH Khối B năm 2002)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’. Chứng
minh:
'
MP C N
.
Giải:
Gọi E là trung điểm CC’. Ta có: ME// A’D’,
( ' ' )
MP MED A
(1)
Hai tam giác vuông C’CN và D’C’E bằng nhau
0
' ' ' ' ' 90 ' '
CNC C ED CC N C NC C N E D
(2)
Do ME // BC
( ' ' ) '
ME CDD C ME C N
(3)
Từ (2) và (3)
' ( ' ' ) '
C N MED A C N MP
Bài 5: (ĐH Khối A năm 2007)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bê n
SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB,
BC, CD. Chứng minh AM
BP.
Giải :
Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều nên SH
AD
Vì (SAD)
(ABCD), suy ra SH
(ABCD) suy ra SH
BP (1)
Dễ thấy hai tam giác vuông BPC và CHD bằng nhau, nên ta có
0
90
CBP DCH CBP HCB BP CH
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
B P SHC
(3)
Do HC // AN, MN // SC
/ /
SHC M A N
(4)
Từ (3) và (4) suy ra:
B P MAN AM B P
(đpcm)
Bài 6: (ĐH khối B năm 2007)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của điểm D qua trung điểm
của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, BC. Chứng minh
M N BD
Giải
Ta có SEAD là hình bình hành
/ /
S E D A
và SE = DA
SEBC cũng là hình bình hành
/ /SC EB
Gọi P là trung điểm của AB. Khi đó trong các tam giác EAB và
ABC ta có MP // EB, PN // AC.
Từ đó suy ra (MNP) // (SAC) (1)
Ta có
D B AC
và
SH (ABCD)
B D S H do
BD S AC
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
D B MNP B D MN
(đpcm)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1.
Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O. SA (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A trên SB, SC, SD.
a) CMR: BC (SAB), CD (SAD), BD (SAC).
H
M
N
P
A
C
B
D
S
N
P
N
M
E
H
D
C
B
A
S
9
b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra 3 đường thẳng AH, AI, AK cùng nằm trong
một mặt phẳng.
c) CMR: HK (SAC). Từ đó suy ra HK AI.
2.
Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA (ABC).
a) Chứng minh: BC (SAB).
b) Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh: AH SC.
3.
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết: SA = SC, SB = SD.
a) Chứng minh: SO (ABCD).
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CMR: IJ (SBD).
4.
Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: BC (AID).
b) Vẽ đường cao AH của AID. Chứng minh: AH (BCD).
5.
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của
điểm O trên mp(ABC). Chứng minh rằng:
a) BC (OAH).
b) H là trực tâm của tam giác ABC.
c)
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
.
d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn.
6.
Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là tam giác
vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của SIJ và chứng minh rằng SI (SCD), SJ (SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH AC.
c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho: BM SA. Tính AM theo a.
HD: a) a,
3
,
2 2
a a
c)
5
2
a
7.
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a
2
. Gọi
H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.
a) CMR: SH (ABCD).
b) Chứng minh: AC SK và CK SD.
8.
Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a
3
, mặt bên SBC vuông tại B, mặt
bên SCD vuông tại D có SD = a
5
.
a) Chứng minh: SA (ABCD) và tính SA.
b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là
hình chiếu của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mp(HIJ). CMR: AK
(SBC), AL (SCD).
c) Tính diện tích tứ giác AKHL.
HD: a) a
2
. c)
2
8
1 5
a
.
9.
Gọi I là 1 điểm bất kì ở trong đường tròn (O;R). CD là dây cung của (O) qua I. Trên đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R. Gọi E là điểm đối tâm
của D trên đường tròn (O). Chứng minh rằng:
a) Tam giác SDE vuông tại S.
b) SD CE.
c) Tam giác SCD vuông.
10.
Cho MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta lấy 2
điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và C C .
a) Chứng minh: CC (MBD).
b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. CMR: K là trực tâm của BCD.
11.
Cho hình tứ diện ABCD.
a) Chứng minh rằng: AB CD AC
2
– A D
2
= BC
2
– BD
2
.
10
b) Từ đó suy ra nếu một tứ diện có 2 cặp cạnh đối vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối còn lại cũng
vuông góc với nhau
DẠNG 2: góc giữa đường và mặt
Pp:
Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Tìm giao điểm O của a với (P).
Chon điểm A a và dựng AH (P). Khi đó
( ,() )AOH a P
BÀI TẬP
1.
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SO (ABCD). Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biế t
0
( ,( ) ) 60
MN ABCD
.
a) Tính MN và SO.
b) Tính góc giữa MN và (SBD).
HD: a) MN =
10
2
a
; SO =
30
2
a
b) sin
5
( ,( ) )
5
MN SBD
.
2.
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA (ABCD) và SA = a
6
. Tính góc
giữa :
a) SC và (ABCD) b) SC và (SAB) c) SB và (SAC) d) AC và (SBC)
HD: a) 60
0
b) arctan
1
7
c) arcsin
1
14
d) arcsin
21
7
.
3.
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA (ABCD). Cạnh SC = a hợp với đáy góc
và hợp với mặt bên SAB góc .
a) Tính SA.
b) CMR: AB = a
cos( ).cos( )
.
HD: a) a.sin
4.
Cho hình chóp SABC, có ABC là tam giác cân, AB = AC = a,
B AC
. Biết SA, SB, SC đều hợp với
mặt phẳng (ABC) góc .
a) CMR: hình chiếu của S trên mp(ABC) là tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC.
b) Tính khoảng cá c h t ừ S đến mp(ABC).
HD: b)
.sin
2
cos
a
.
5.
Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy là tam giác đều cạnh a, AA (ABC). Đường chéo BC của mặt bên
BCCB hợp với (ABBA) góc 30
0
.
a) Tính AA.
b) Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến (BAC).
c) Gọi N là trung điểm của cạnh BB. Tính góc giữa MN và ( B A C).
HD: a) a
2
. b)
66
11
a
. c) arcsin
54
55
.
6.
Cho lăng trụ ABC.ABC , có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; AA (ABC). Đoạn nối trung
điểm M của AB và trung điểm N của BC có độ dà i b ằng a, MN hợp với đáy góc v à m ặ t b ên BCCB
góc .
a) Tính các cạnh đáy và cạnh bê n c ủa lăng trụ theo a và .
b) Chứng minh rằng: cos =
2
sin.
HD: a) AB = AC = 2a.cos
; BC = 2a
2
cos
; AA
= a.sin
.
11
DẠNG 3: Xác định thiết diện đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước
Pp :
Tìm 2 đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với đường thẳng đã cho, khi đó mặt phẳng cắt sẽ song song
(hoặc chứa) với 2 đường thẳng ấy.
BÀI TẬP
1.
Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình thang vuông tại A và B v ới AB = BC = a, AD = 2a; SA
(ABCD) và SA = 2a. Gọi M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với AB. Đặt
AM = x (0 < x < a).
a) Tìm thiết diện của hình chóp với (P). Thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x .
HD: a) Hình thang vuông b) S = 2a(a – x).
2.
Cho tứ diện SABC, có đáy là tam giác đều cạnh a; SA (ABC) và SA = 2a. Mặt phẳng (P) qua B và
vuông góc với SC. Tìm thiết diện của tứ diện với (P) và tính diện tích của thiết diện này.
HD: S =
2
1 5
20
a
.
3.
Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a. SA (ABC) và SA = a
3
. M là 1
điểm tuỳ ý trê n c ạnh AB, đặt AM = x (0 < x < a). Gọi (P) là m ặt phẳng qua M và vuông góc với AB.
a) Tìm thiết diện của tứ diện với (P).
b) Tính diện tích của thiết diện đó theo a và x. Tìm x để diện tích thiết diện có giá trị lớn nhất.
HD: b) S =
3
x(a – x); S lớn nhất khi x =
2
a
.
4.
Cho hình tứ diện SABC với ABC là tam giác đều cạnh a, SA (ABC) và SA = a. Tìm thiết diện của tứ
diện với mặt phẳng (P) và tính diện tích thiết diện trong các trường hợp sau:
a) (P) qua S và vuông góc với BC.
b) (P) qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC.
c) (P) qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB.
HD: a)
2
3
4
a
. b)
2
2
21
49
a
. c)
2
5
3
32
a
.
5.
Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA = a
2
. Vẽ đường cao AH
của tam giác SAB.
a) CMR:
2
3
SH
S B
.
b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. (P) cắt hình chóp theo thiế t d i ệ n l à hình gì? Tính
diện tích thi ết diện. HD: b) S =
2
5
6
1 8
a
HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
A.LÝ THUYẾT:
1.Góc giữa hai mặt phẳng:
a) Định nghĩa:
Góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng đó.
* Nhận xét: Nếu 2 mặt phẳng song song hoặc trùng nhauthì ta nói rằng góc giữa 2 mặt phẳng đó bằng 0
o
.
b)Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng cắt nhau:
Cho (P)
(Q) = c, lấy I bất kì thuộc c
Trong (P) qua I kẻ a
c.Trong (Q) qua I kẻ b
c.
Khi đó góc (P), (Q) = góc (a, b).
c)Diện tích hình chiếu của đa giác: S’ = S. cos
.
V ới S là diện tích đa giác nằm trong (P), S’ là diện tích hình chiếu vuông góc của đa giác đó trên (Q),
= góc ((P), (Q)).
2.Hai mặt phẳng vuông góc:
a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc của chúng bằng 90
o
.
12
+ Hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau, kí hiệu : (P)
(Q) hay (Q)
(P).
b)Tính chất :
* Điều kiện cần và đủ để 2 mặt phẳng vuông góc với nhau là m ặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng kia.
Tóm tắt : (P)
(Q)
)(:)( QaPa
.
* Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng n à o n ằm trong mặt phẳng này và vuông góc
với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Tóm tắt : (P)
(Q), (P)
(Q) = c, a
)(),( QacaP
* Nếu 2 mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm
A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).
Tóm tắt : (P)
(Q), A
)()(,),( PaQaAP
* Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau và cùn vuông góc với 1 mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt
phẳng đó .
Tóm tắt: (P)
)()()(),()(),( RaRQRPQ
* Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhất 1 mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt
phẳng (P).
Tóm tắ t : a
)()(,)(!)( PQaQP
3.Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương:
a)Hình lăng trụ đứng:
* Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.
* Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
b)Hình lăng trụ đều:
* Định nghĩa: Hình lăng tru đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
* Nhận xét: Các mặt bê n c ủa hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với mặt đáy
.
c)Hình hộp đứng:
* Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
* Nhận xét: Trong hình hộp đứng 4 mặt bên đều là hình chữ nhật.
d)Hình hộp chữ nhật:
* Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
* Nhận xét: Tất cả 6 mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.
e)Hình lập phương :
* Định nghĩa: Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
4.Hình chóp đều và hình chóp cụt đều:
a)Hình chóp đều:
* Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên b ằ n g
nhau.
* Nhận xét:
+ Đường vuông góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh gọi là đường cao của hình chóp.
+ Một hình chóp là hình chóp đều
đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của hình chóp
trùng với tâm của đáy.
+ Một hình chóp là hình chóp đều
đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo voéi mặt đáy các
góc bằng nhau.
b)Hình chóp cụt:
* Định nghĩa: Khi cắt hình chóp đều bởi 1 mặt phẳng song song với đáy để được 1 hình chóp cụt thì hình
chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.
* Nhận xét:
+ Hai đáy của hình chóp cụt đều là 2 đa giác đều đồng dạng với nhau.
+ Đoạn nối tâm 2 đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều.
+ Trong hình chóp cụt đều các mặt bên là những hình thang cân bằng nhau.
13
R
P
Q
p
q
B.BÀI TẬ P
DẠNG 1: Xác định góc giữa 2 mp
Pp: Phương pháp :
Xác định góc giữa hai mặt phẳng
Phương pháp :
Cách 1 : Dùng định nghĩa :
, ,
P Q a b
trong đó :
a P
b Q
Cách 2 : Dùng nhận xét :
, ,
R P Q
R P p P Q p q
R Q q
.
Cách 3 : Dùng hệ quả :
,
P
M Q
H hchM P Q M NH
H N m P Q
.
B. B ÀI TẬ P
1.
Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA (ABC) và SA = a.
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và A C .
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC).
HD: a)
( ),( )
SAC SBC
= 60
0
b) cos
3
( ( ),( ) )
10
SEF SBC
.
2.
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA (ABCD). Tính SA theo a để số đo của góc giữa hai mặt
phẳng (SCB) và (SCD) bằng 60
0
.
HD: SA = a.
3.
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a;
SA (ABCD) và SA = a
3
.
a) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD).
HD: a) tan
( ( ),( ) ) 7
SAD SBC
b) cos
10
( ( ),( ) )
5
SBC SCD
.
4.
Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA (ABCD) và SA = a
3
. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:
a) (SBC) và (ABC) b) (SBD) và (ABD) c) (SAB) và (SCD)
HD: a) 60
0
b) arctan
6
c) 30
0
.
5.
Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB =
3
3
a
; SA (ABCD) và SO =
6
3
a
.
a) Chứng minh
ASC
vuông.
b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
HD: c) 60
0
.
14
6.
Cho hình chóp SABCD có SA (ABCD) và SA = a
2
, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với
AB = 2a, AD = DC = a. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng:
a) (SBC) và (ABC) b) (SAB) và (SBC) c) (SBC) và (SCD)
HD: a) 45
0
b) 60
0
c) arccos
6
3
.
DẠNG 2: chứng minh 2mp vuông góc
Pp:
+) Chứng minh mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
+) Dựa vào cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng
BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình chóp S. ABC có SA
(ABC). Trong tam giác ABC vẽ các đường cao AE và CF cắt nhau
tại O. Gọi H là t r ực tâm của tam giác SBC.
MR: a) S, H, E thẳng hàng
b) (SBC)
(SAE), (SBC)
(CFH).
c) OH
(SBC).
G i ải:
a ) + SA
(ABC), AE
BC
SE
BC
(Theo định lí 3 đường vuông góc)
Mà H là trực tâm của tam giác SBC nên
S, H, E thẳng hàng
b) * Ta có : BC
AE, BC
SE
c )
BC
(SAE)
Mà BC
(SBC) nên (SBC)
(SAE).
* Vì SA
(ABC)
SA
CF và AB
CF
SBCFSABCF
)(
Mặt khác do H là t r ực tâm tam giác SBC
CH
SB
Từ đó suy ra SB
(CFH), mà SB
)()()( CFHSBCSBC
d) Theo chứng minh trên ta có:
+ BC
(SAE), OH
OHBCSAE
)(
+ SB
(CFH), OH
OHSBCFH
)(
Mà BC và SB cắt nhau tại B trong mặt phẳng (SBC)
OH
(SBC).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có các cạnh bên SA = SB = SC = a.
Chứng minh:
a. Mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
b. Tam giác SBD vuông tại S
Giải
a. ABCD là hình thoi nên có AC BD tạ i O. Mặt khác SA = SC nên có AC SO.
V ậy AC (SBD). Mặt phẳng (ABCD) chứa AC (SBD) nên (ABCD) (SBD).
b. Ta có: SAC = BAC (c – c – c) mà OA = OC nên SO = BO. Mặt khác BO =
DO nên SO=OB=OD. Ta suy ra tam giác SBD vuông tại S.
Bài 3 Hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H và K
l ần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a. Chứng minh rằNG (SAC) (BHK) và (SBC) (BHK)
A'
K
H
C
B
A
S
Hình 6.10
15
b. Tính diện tích tam giác ABC biết rằng tam giác SBC có SB = 15cm, SC = 14cm, BC = 13cm và có góc
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30
0
.
Giải:
a. Gọi A’ là giao điểm của AH và BC. Ta có BCAA’ và BCSA suy ra BC(SAA’). Do đó BCS A ’ .
V ậy SA’ đi qua K vì K là trực tâm của tam giác SBC.
Vì BH AC và BH SA suy ra BH (SAC)
Do đó
( )
BH SC
SC BHK
BK SC
V ậy: (SAC) (BHK)
BC (SAA’) do đó BC HK;
SC (BHK) do đó SC HK.
Từ đó suy ra HK (SBC) và (BHK) (SBC)
b. Gọi S
SBC
là diện tích tam giác SBC. Theo công thức Hê – rông, ta có:
( )( )( )
SBC
S p p
a p b p c
trong đó p = ½ (13+14+15) = 21
Do đó
2
21(21 13)(21 14)(21 15) 84( )
SBC
S cm
Ta có tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC). Áp dụng công thức
S’ = S cos trong đó = 30
0
là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) ta có:
S
ABC
= S’ = 84.cos30
0
= 4 2
3
(cm
2
)
Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và mặt phẳng
(SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a)CMR: (SAB)
(SAD), (SAB)
(SBC).
b)Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC).
c)Gọi H và I lần lượt lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng (SHC)
(SDI).
Gài
a)* Gọi H là trung điểm của AB.
- Vì SAB là tam giác đều
SH
AB.
Do (SAB)
(ABCD),
(SAB)
(ABCD) = AB
SH
(ABCD)
SH
AD (1)
- Vì ABCD là hình vuông
AB
A D ( 2 )
- Từ (1) và (2)
AD
(SAB).
Mà AD
(SAD). Vậy (SAD)
(SAB)
* Lập luận tương tự ta có (SBC)
(SAB)
b)* Xác định góc giữa 2 mặt phẳng (SAD)
và (SBC):
- Ta có AD
(SAD), BC
(SBC), AD // BC
)(SAD
(SBC) = St // AD
- Vì (SAD)
(SAB), (SBC)
(SAB)
St
(SAB)
St
SA, St
SB
V ậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) là góc ASB.
* Tính góc ASB:
Vì tam giác SAB đều nên góc ÁB = 60
o
V ậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng 60
o
.
c)Vì ABCD là hình vuông, H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC nên HC
DI
Mặt khác do SH
(ABCD)
SH
DI.
V ậy DI
(sHC), mà DI
).()()( SHCSDISDI
Bài 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = 2a và SO
(ABCD), Đặt SO
= h. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a ) Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a để (SMN)
(SAB), (SMN)
SCD).
A
16
b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tính h theo a để 2 mặt phẳng đó vuông góc.
Giải:
a)* Ta có SO
(ABCD)
ABSO
Từ giả thiết
MN
AB
)(SMNAB
, mà AB
)(SAB
nên (SAB)
(SMN)
V ậy góc giữa (SMN) và (SAB) bằng 90
o
* Lập luận tương tự ta có (S CD)
(SMN)
góc giữa (SMN) và (SCD) bằng 90
o
* Căn cứ vào kết quả trên ta thấy với h
tuỳ ý ta luôn có mặt phẳng (SMN) vuông
góc với 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD).
b)* Xác định góc giữa 2 mặt phẳng (SAB)
và (SCD):
- AB
CDABStSCDSABCDABSCDCDSAB ////)()(//),(),(
- Vì (SAB)
SNStSMStSMNStSMNSCDSMN
,)()()(),(
Do SM
)(),( SCDSNSAB
góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa 2 đường thẳng SM và
SN. Giả sử góc MSN =
. đ ặt
= góc (SM,SN)
cos
= cos
*Tính góc
:
- Ta có SM
2
= S N
2
= h
2
+ a
2
, MN = 2a.
- Xét tam giác SMN: MN
2
= SM
2
+ SN
2
– 2 SM.SN.cos
4a
2
= 2(h
2
+ a
2
) – 2 (h
2
+ a
2
).cos
cos
=
22
22
a
h
ah
c o s
22
22
ah
ah
(1)
V ậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD) là
mà cos
thoả mãn (1 )
*(SAB)
(SCD)
= 90
o
c o s
0
h = a.
:BÀI 6 (ĐH Khối B năm 2006)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
2
a
, SA = a và
( )
SA ABCD
. Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh
( ) ( )
SAC
SMB
.
Giải:
Giả sử I là giao điểm của AC và MB
Ta có MA = MD và AD // BC nên theo định lý Talet suy ra
1
2
A I IC
2
2 2 2 2 2 2
1
3 ,
9 3
a
A C A D D C a A I AC
2
2
2 2 2
1 1 2
9 9 2 6
a a
MI MB a
Từ đó suy ra
2
2 2
2 2 2
2
3 6 2
a a a
AI MI MA
V ậy AMI là tam giác vuông tại I
M B AC
(1)
Mặt khác
( )
SA ABCD SA MB
(2)
Từ (1),(2) suy ra
( ) ( ) ( )
MB SAC SMB SAC
đpcm
BÀI 7: (ĐH khối A năm 2003)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD,A’B’C’D’ đáy là hình vuông ABCD cạnh a, AA’ = b. Gọi M là trung
điểm của CC’. Xác định tỷ số
a
b
đ ể h ai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
S
t
C
N
D
O
A
M
B
a 2
a
I
M
D
C
B
A
S
17
Giải :
Ta có A’B = A’D
'
A O BD
( O là tâm cua hình
vuông ABCD )
Lại có
MB MD MO BD
Từ đó
'
A OM
là góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và
(MBD)
V ì v ậy
0
( ' ) ( ) ' 9 0
A B D MBD A OM
2 2 2
' '
A O OM A M
(1)
Ta có
2 2 2
' '
A O A B BO
2
2
2 2 2
2
2 2
a a
a b b
(2)
2 2
2 2 2
4 2
b a
OM MC CO
(3)
2
2 2 2 2
' ' ' ' 2
4
b
A M A C C M a
(4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra
2 2
2 2
5
2 (do a , b >0)
4 4
b b
a a b a
V ậy với
1
a
b
thì
( ' ) ( )
A BD
MBD
BÀI 8: (ĐH Hải Phòng năm 2006)
Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt
phẳng đáy (ABC). Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh hai mặt phẳng (SAI)
và (SBC) vuông góc với nhau.
Giải:
Do AB = AC AI BC
(1)
Vì
AB = AC SB = SC SI BC
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
BC (SAI) (SBC) (SAI) dpcm
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1.
Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc
vơi mp(ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a
6
. Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông
góc với nhau.
2.
Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đường cao
BE, DF của BCD, đường cao DK của ACD.
a) Chứng minh: AB (BCD).
b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC).
c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC. CMR: OH (ADC).
3.
Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA (ABCD).
a) Chứng minh (SAC) (SBD).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD).
c) Gọi BE, DF là hai đường cao của SBD. CMR: (ACF) (SBC), (AEF) (SAC).
HD: b) 90
0
.
I
C
B
A
S
O
M
a
b
D'
C '
B'
A '
D
C
B
A
18
4.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD). Gọi M, N là 2 điểm lần
lượt ở trên 2 cạnh BC, DC sao cho BM =
2
a
, DN =
3
4
a
. Chứng minh 2 mặt phẳng (SAM) và (SMN)
vuông góc với nhau.
5.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB và CC cùng vuông góc với mp(ABC).
a) Chứng minh (ABB) (ACC).
b) Gọi AH, AK là các đường cao của ABC và A B C. Chứng minh 2 mặt phẳng (BCCB) và
(ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (AHK).
6.
Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc
với đáy. Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng SI (ABCD), AD (SAB).
b) Tính góc giữa BD và mp(SAD).
c) Tính góc giữa SD và mp(SCI).
HD: b) arcsin
6
4
c) arcsin
10
5
BÀI 5: KHOẢNG CÁCH
A . LÝ THUYẾT
1. K ho ảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng ,
đến 1 mặt phẳng:
K ho ảng cách từ điểm M đến đư
ờng thẳng a (hoặc
đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm
M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên
đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
a
H
O
H
O
P
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song
song với a là k h o ảng cách từ một điểm nào đó của
a đến mp(P).
d(a;(P)) = OH
a
H
O
P
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng
này đến mặt phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH
H
O
Q
P
4.Kho ảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau:
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng đó.
d(a;b) = AB
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng
đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường
thẳng còn lại.
b) Khoảng cách giữa hai đường t h ẳng chéo nhau
bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
l ần lượt chứa hai đường thẳng đó.
B
A
b
a
19
B. BÀI TẬP
DẠNG 1:
Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (hoặc đến một đường thẳng)
PP:
- Xác định chân đường vuông góc trê n m ặt phẳng (hoặc trên đường thẳng) mà cần tính khoảng
cách từ một điểm cho trước đến nó.
( , )
( ,() )
d M a MH
d M P MH
trong đó H là hình chiếu của M trên a hoặc (P).
- Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông (Bao hà m c ả định lý Pitago), hoặc lượn g
giác để tính các khoảng cách cần tìm.
BÀI 1: Bài toán cơ bản
Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ
OH (ABC)
.
a/ Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC
b/ Chứng minh hệ thức
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
Giải:
a/ Kẻ
OH (ABC), AH BC = M
Ta có
OH BC , BC OA
OA OB
do OA (OBC)
OA OC
BC (AOH) BC AH
Lập luận tương tự
BH AC
V ậy H là t rực tâm của tam giác ABC.
b/ Theo định lý ba đường vuông góc, suy ra
MO BC
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông AOM
ta có
2 2 2
1 1 1
OH OA OM
(1)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC
ta có
2 2 2
1 1 1
O M O B O C
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
đpcm
Nhận xét : Đây là một trong các kết quả cơ bản nhất, nhưng có một ứng dụng rất to lớn trong các
bài toán về “quan hệ vuông góc” của hình học không gian. Các ví dụ 2 , 3 dưới đây sẽ minh hoạ cho
điều đó.
BÀI 2: (ĐH khối D năm 2002)
Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), ngoài ra AD = AC =
4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tìm khoảng cách từ A đến
(BCD).
Giải :
Vì AD = AC = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm ,
suy ra ABC là tam giác vuông tại A.Vậy AB, AC, AD đôi một
vuông góc với nhau.
Theo ví dụ 1 ta có :
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
9 16 16
AH AB AC AD
6 34
17
AH
H
M
C
B
O
A
H
5
3
4
4
D
C
B
A
20
BÀI 3: (ĐH khối D năm 2008)
Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông có BA = BC = a,
cạnh bên AA’ =
2
a
. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AM và B’C.
Giải:
Gọi E là trung điểm BB’
Ta có EM // B’C suy ra B’C / / (AEM)
Suy ra d(B’C,AM) = d(B’C,(AEM)) = d(C,(AEM)) =
d(B,(AEM)) (vì MB = MC)
Do tam giác ABC vuông tại B nê n t ứ diện BAEM có BA, BE,
BM đôi một vuông góc với nhau.
Theo ví dụ 1 nếu gọi BH là chiề u cao kẻ từ B của tứ diện ABCD
(
( )
H AEM
) thì
2
2 22 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 7
7
7
2 4
a
BH
a a
BH BA BE B M a a
7
( , ' )
7
a
d AM B C
DẠNG 2:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
PP :
1) Nếu như d
1
// (P), trong đó d
2
chứa trong (P) thì khoảng cách giữa d
1
, d
2
bằng khoảng cách gi ữa
d
1
và (P).
2) Nếu n hư d
1
chứa trong (P), d
2
chứa trong (Q) mà (P) // (Q) thì khoảng cách giữa d
1
và d
2
b ằ n g
khoảng cách giữa (P) và (Q)
+) Lưu ý: rằng nếu d
1
// (P) thì khoảng cách giữa d
1
và (P) bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ
của d
1
đ ế n (P ). Tương tự khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) bằng khoảng cách từ
một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
N h u v ậy cuối cùng ta lại quy bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về bài
toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
BÀI TẬ P
BÀI 1. (ĐH khối D năm 2008)
Đó chính là ví dụ 3 , loại 1 vừa xét ở trên
BÀI 2: (ĐH khối B năm 2007)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua
trung điểm của SA. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Tìm khoả ng cách giữa
hai đường thẳng MN, AC theo a.
Giải :
Gọi P là trung điểm của AB .Khi đó MP // AB (1)
Ta có SE // DA và SE = DA
SE // BC
Có SE = BC
SEBC là hình bình hành
EB // SC (2)
V ậy từ (1) , (2)
MP // SC
Lại có PN // AC nên (MNP) // (SAC)
d(MN, AC) = d((MNP),(SAC)) = d(H,(SAC)) = OH =
1 2
4 4
a
BD
(với H, O lần lượt là giao điểm của B D v ới NP và AC ).
BÀI 3: (Đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2006)
C'
B '
A '
M
E
B
C
A
H
P
N
M
E
O
B
C
D
A
S
21
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
AB và CD. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
Giải :
Ta có : BC // MN
MN // (A’BC)
d(MN,A’C) = d(MN,(A’BC)) = d(M,(A’BC)) (1)
Ta có :
AI A'B ( AB' A'B = I)
Lại có
BC (BAA'B') BC AI
Từ đó
AI (A'BC)
.Vì thế nếu kẻ
MH // AI (H A'B)
thì
MH (A'BC)
và
1 2
d(M,(A'BC)) = MH = AI =
2 4
a
(2)
Từ (1) , (2) suy ra
2
d(MN,A'C) =
4
Chú ý : Các em (học sinh lớp 12) có thể giải ví dụ này bằng
phương pháp thể tích.
DẠNG 3: Bài toán xác định đường vuông góc chung
PP
Nguyên tắc chung để giải bài toán này như sau: Xác định điểm
,
M a N b
sao cho
,
MN a MN b
, khi đó MN là đường vuông góc chung của cả a và b. Vấn đề ở chỗ là làm thế nào
để xác định được hai điểm M, N?
Phương pháp tổng quát tiến hành như sau:
- Dựng mp(P) chứa a và song song với b. Lấy một điểm B trên b, kẻ BB’
(P), B’
(P)
- Trong (P) qua B’ dựng b’ // b
- Gọi M =
'
a
b
. Từ M kẻ MN // BB’ (N
b)
- Khi đó MN là đường vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau a và b.
Tuy nhiên nếu a và b có cấu trúc dặc biệt (thí dụ a và b
vuông góc với nhau …) thì ta lại có cách xử lý tương ứng
và đơn giản hơn.
BÀI TẬ P
BÀI 1 Trình bày cách dựng đường vuông góc chung với hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc
với nhau.
Giải :
Giả sử 2 đường thẳng a, b chéo nhau và vuông góc nhau.
Dựng (P) qua b vuông góc với a.
Giả sử a
(P) = M
Trong (P) dựng MN vuông góc với b. Khi đó MN là đường
vuông góc chung của a và b .
Xem một ứng dụng của ví dụ 7 sau đây:
BÀI 2: (ĐH khối B năm 2002)
Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
cạnh a. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A
1
B
và B
1
D.
Giải :
Ta có AB
1
A
1
B (vì BAA
1
B
1
là hình vuông)
A
1
B
AD (vì AD
(BAA
1
B
1
))
A
1
B
(B
1
AD)
A
1
B
B
1
D (1)
V í D D
1
(A
1
B
1
C
1
D
1
)
DD
1
A
1
C
1
Do A
1
B
1
C
1
D
1
là hình vuông nên A
1
C
1
B
1
D
1
Từ đó A
1
C
1
(B
1
DD
1
)
A
1
C
1
B
1
D (2)
I
H
N
M
D'
C '
B '
A '
D
C
B
A
B '
B
N
M
b '
b
a
P
M
N
b
a
P
G
a
H
D
1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
22
Từ (1) và (2) suy ra : B
1
D
(A
1
B C
1
) (3)
Bây giờ ta tìm giao điểm của B
1
D với (A
1
BC
1
) . Gọi H là giao điểm của AB
1
và A
1
B. Trong
mặt chéo (B
1
A
1
DA) rõ ràng : HC
1
B
1
D = G.
Do B
1
H = HA =
1
2
C
1
D
GH =
1
2
GC
1
G là trọng tâm của tam giác A
1
BC
1
.
Vì A
1
B C
1
là tam giác đều nên GH
A
1
B , còn GH
B
1
D vì B
1
D
(A
1
B
1
C
1
). Như thế
GH là đường vuông góc chung của A
1
B và B
1
D nên nó chính là khoảng cách giữa A
1
B và
B
1
D .
Ta có :
1 1 1
1 1 2. 3 6 6
( , )
3 3 6 6 6
a a a
G H C H d A B B D
Nhận xét :
Trong ví dụ này vì A
1
B
B
1
D nên cách làm trong ví dụ trên chính là sự thực hà nh các bước
đã nêu trong ví dụ 7.
BÀI 3 Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a =
6 2
cm. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng AB và CD.
Giải:
Gọi M và N tương ứng là các trung điểm của AB và CD. Do
ABCD là tứ diện đều , nên ta có CM
AB và DM
A B
AB
(MCD)
AN
MN
Lý luận tương tự ta có : CD
(ANB)
CD
MN .
V ậy MN là đường vuông góc chung của AB và CD.
Ta có : MC = MD =
6 2. 3
3 6
2
.
V ậy
2 2 2 2 2
(3 6) (3 2) 36 6
MN MC CN MN cm
BÀI 4:
Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh a và AD = a, AD
BC. Khoảng cách từ A đ ế n B C
là a. Gọi M là trung điểm của BC.
Xác định và tính đoạn vuông góc chung của AD và BC.
Giải
G ọi M là trung điểm của BC.
Có DM
BC ( trung tuyến của tam giác BCD đều)
AD
BC (gt)
BC
(ADM) có M = BC
(ADM).
Trong (ADM) kẻ MN
AD. Vì BC
(ADM) nên BC
MN.
Suy ra, MN là đoạn vuông góc chung của AD và BC.
X é t
AMD có
MDAHADMNS
AMD
.
2
1
.
2
1
(1)
V ới H là trung điểm của MD
AH
MD (
AMD cân tại A)
Có AD = a, MD =
2
3
a
,
4
13
16
3
2222
a
aaDHADAH
Từ (1) suy ra
8
39
2
3
.
4
13
. a
a
aa
AD
MDAH
MN .
N
M
D
C
B
A
23
BÀI 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
Dựng và tính đoạn vuông góc chung của BD’ và CB’.
Giải
G ọi H = B’C
BC’.
Ta có, BC’
B’C ( đường chéo của hình vuông)
AB
B’C ( vì AB
(BCC’B’), B’C
(BCC’B’))
B’C
(ABC’)
(ABC’D’) có H = B’C
(ABC’D’).
Trong (ABC’D’) kẻ MK
BD’. Vì B’C
(ABC’D’) nên B’C
MK
Suy ra, MK là đoạn vuông góc chung của B’C và B D ’
X é t
''CBDBHK
vì
B
ˆ
chung,
0
90'
ˆ
ˆ
CK
'
'.'
'
'
'
BD
BHCD
HK
BD
BH
C
D
HK
(1)
Có D’C’ = a, BH =
2
2a
, BD’ =
3a
( đường chéo của hình lập phương)
Từ (1) suy ra
6
6
3
2
2
.
'
'.' a
a
a
a
BD
BHCD
HK
.
BÀI 6:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O và SA
(ABCD)
SA =
6a
.
a) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD.
b) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của SC và AD.
Giải
a ) Ta có BD
AC ( đường chéo của hình vuông).
SA
BD ( SA
(ABCD))
BD
(SAC) mà SC
(SAC) và O
)(SACBD
Trong (SAC) kẻ OI
SC. Vì BD
(SAC) nên BD
OI.
Suy ra, OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC.
X é t
CSACOI
C
vì
ˆ
chung,
0
90
ˆ
ˆ
AI
SC
SACO
OI
SC
CO
SA
OI .
(1)
Có OC =
2
2
a
, SA =
6a
aaaACSASC 2226
2222
(
SAC vuông tại A)
Từ (1) suy ra
4
6
22
6.
2
2
. a
a
a
a
SC
SACO
OI
.
b) Ta có AD // BC
AD // (SBC) mà SC
(SBC).
Có BC
AB và BC
SA
BC
(SAB) mà BC
(SBC)
(SAB)
(SBC) có SB = (SAB)
(SBC)
Trong (SAB) kẻ AH
SB
AH
(SBC).
Trong (SBC) kẻ HM // BC cắt SC = M.
Từ M kẻ MN // = AH cắt AD tại N.
Vì AH
(SBC) nên AH
SC hay MN
SC = M.
AD // (SBC) nên AH
AD hay MN
AD = N
Suy ra, MN là đoạn vuông góc chung của SC và AD.
24
X é t
SAB có
SB
ABSA
AHABSASBAHS
SAB
.
.
2
1
.
2
1
(2)
Có SA =
6a
, AB = a,
76
2222
aaaABSASB
Từ (2) suy ra
7
42
7
.6. a
a
aa
SB
ABSA
AH .
BÀI 7:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a tâm O và
0
60
ˆ
DAB
. Có SA = SC, SB = SD =
3a
.
a) Dựng và tính đoạn vuông góc chung giữa AD và SB.
b) Dựng và tính đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng BD và SC.
Giải
a ) Đoạn vuông góc chung của AD và SB.
Ta có, AD // BC
AD // (SBC) mà SB
(SBC)
Trong (ABCD) qua O kẻ IJ
BC, AD.
Khi đó, BC
IJ, BC
SO nên BC
(SIJ)
Hay (SBC)
(SIJ) mà SI = (SIJ)
(SBC).
Trong (SIJ) kẻ JF
SI
JF
(SBC).
Trong (SBC) kẻ FM // BC cắt SB tại M
Từ M dựng MN // = JF cắt AD tại N.
V ì J F
(SBC) nên JF
SB hay MN
SB = M
AD // (SBC) nên JF
AD hay MN
AD = N
Suy ra, MN là đoạn vuông góc chung của AD và SB.
X é t
SIJ có
SI
IJSO
JFIJSOSIJFS
SIJ
.
.
2
1
.
2
1
Vì ABCD là hình thoi có
0
60
ˆ
DAB
nê n BD = a, AC =
3a
Trong
O A B c ó
4
3
3
16
3
44111
222222
a
OI
a
a
a
OC
OB
OI
Trong
SOB có
2
13
4
3
2
222
aa
aOBSBSO .
Trong
SOI có
4
55
16
55
16
3
4
13
222
22
aaaa
OISOSI
Suy ra
55
39
4
55
4
3
2.
2
13
. a
a
aa
SI
IJSO
JF .
V ậy đoạn vuông góc chung của AD và SB là MN =
55
39a
JF
.
b) Đoạn vuông góc chung của BD và SC.
Ta có, BD
AC và BD
SO nên BD
(SAC)
Trong (SAC) kẻ OE
SC
V ì O E
(SAC) nên BD
OE
Suy ra OE là đoạn vuông góc chung của BD và SC.
X é t
SOC có
8
39
39
64
3
4
13
4111
222222
a
OE
a
a
a
OC
SO
OE
.
V ậy đoạn vuôngg góc chung của BD và SC là OE =
8
9a
