LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cợ học Vật rắn

CHƯƠNG 1 : KHÁI NIỆM CHUNG
§1.1. LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI - MỘT NHÁNH CỦA CƠ HỌC VẬT
RẮN BIẾN DẠNG:
Cơ học vật rắn biến dạng là một ngành học lớn, nghiên cứu sự làm
việc của vật rắn về mặt cơ học như trạng thái ứng suất, trạng thái chuyển vị
và biến dạng…dưới các tác dụng bên ngoài (tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ,
sự chuyển vị cưỡng bức…
Do các đối tượng nghiên cứu, đều kiện làm việc và mức độ yêu cầu
nghiên cứu khác nhau nên trong quá trình phát triển, ngành học lớn này chia
thành nhiều môn học riêng như sau:
1.Sức bền vật liệu và cơ học kết cấu: (đàn hồi ứng dụng trong kỹ thuật):
Chủ yếu nghiên cứu thanh và hệ thanh. Trong quá trình tính toán đã
đưa ra các giả thiết để đơn giản việc nghiên cứu từ đó có những kết quả tiện
lợi trong vấn đề tính toán.
2. Lý thuyết đàn hồi : Nghiên cứu các vật rắn đàn hồi có hình dạng bất kỳ.
3. Các lý thuyết khác :
- Lý thuyết dẻo: Nghiên cứu sự làm việc của vật liệu ở giai đoạn biến
dạng dẻo, sự hình thành biến dạng dẻo và các ứng suất tương ứng.
- Lý thuyết từ biến: Nghiên cứu sự biến đổi theo thời gian của ứng
suất và biến dạng của kết cấu dưới tác dụng của ngoại lực ban đầu (kể cả
trường hợp ngoại lực không thay đổi theo thời gian).
- Lý thuyết lưu biến (Nghiên cứu về sự chảy của vật chất): Nghiên
cứu những định luật chung về sự phát sinh và phát triển của biến dạng theo
thời gian của vật chất do những nguyên nhân khác nhau trong những điều
kiện nhiệt động và hóa lý khác nhau.
Nhìn chung các môn học này đều có đối tượng và phương pháp
nghiên cứu khác nhau nhưng mang tính tương đối. Trong thực tế ranh giới
giữa các môn học này nhiều khi bị xóa bỏ và xâm nhập lẫn nhau.
§1.2. NỘI DUNG, ĐỐI TƯỢNG VÀ CÁC GIẢ THIẾT CỦA LÝ
THUYẾT ĐÀN HỒI
1. Nội dung: Nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng, chuyển vị của vật

thể đàn hồi dưới các tác dụng bên ngoài (tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ, sự
chuyển vị cưỡng bức…)
2. Đối tượng: Các vật rắn thực tuân theo các giả thiết cơ bản sau:
3. Các giả thiết cơ bản:
a. Vật liệu liên tục, đồng nhất và đẳng hướng: là vật liệu ở tại mọi
điểm và theo mọi phương tính chất cơ lý của nó đều như nhau.
24
A
B
S
n
A
S
n
dP
dF
M
M
b. Vật liệu có tính đàn hồi tuyệt đối: theo giả thiết này quá trình tăng
tải và giảm tải hoàn toàn thuận nghịch, trong quá trình chịu tải năng lượng
hoàn toàn được bảo toàn.
c. Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất tức là vật liệu làm
việc tuân theo định luật Hooke.
d. Vật liệu ở trạng thái tự nhiên trước khi chịu lực: Ở trạng thái ban
đầu, khi vật thể chưa biến dạng thì trong vật thể không phát sinh ứng suất,
nghĩa là bên trong vật thể không có ứng suất trước.
e. Giả thiết biến dạng bé: theo giả thiết này biến dạng tương đối rất
nhỏ so với 1 do đó tích các biến dạng có thể bỏ qua so với biến dạng và so
với 1.
* Giả thiết biến dạng bé cùng giả thiết quan hệ giữa ứng suất và biến

dạng là bậc nhất cho phép ta áp dụng nguyên lý cộng tác dụng khi giải các
bài toán.
§1.3. NỘI LỰC - ỨNG SUẤT - HỆ THỐNG CÁC KÝ HIỆU
1. Khái niệm nội lực :
Trong vật lý, giữa các phần tử vật chất của vật thể luôn luôn tồn tại
các lực tương tác. Khi vật thể chịu tác dụng của ngoại lực như tải trọng, sự
thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị cưỡng bức các lực tương tác này cũng sẽ
thay đổi. Lượng thay đổi của các lực tương tác giữa các phần tử của vật thể
được gọi là nội lực.
2. Phương pháp mặt cắt, ứng suất và hệ thống các ký hiệu :
- Phương pháp mặt cắt (Đã nghiên cứu trong SBVL và CHKC): là
phương pháp làm xuất hiện và để tính các nội lực.
Nếu ký hiệu
n

là pháp tuyến ngoài của mặt cắt tại điểm M thì cường độ
phân bố nội lực tại điểm M được ký hiệu là
n
P

và gọi là ứng suất toàn phần.
Định nghĩa: Ứng suất toàn phần
n
P

là nội lực trên một đơn vị diện tích dF có
25
M
x
y

z z
x
y
M
x
y
z
M
τ
xz
τ
xz
σ
x
σ
y
τ
yx
τ
yz
σ
z
τ
zy
τ
zx
pháp tuyến
n

lấy tại điểm M(x, y, z) đang xét.

Biểu thức định nghĩa :
dF
Pd
P
n


=
Pd

: Tổng nội lực trên diện tích vô cùng bé dF chứa điểm M thuộc
mặt cắt S nên ứng suất toàn phần là một hàm chứa các biến là M và
n

:
),( nMP
n


* Các cách ký hiệu của ứng suất toàn phần:
a. Trong hệ tọa độ Descartes :
321
ePePePP
nznynxn


++=
.
b. Trong Sức bền vật liệu:
ntnn

P
τσ


+=

Trong đó:
n
σ

là ứng suất pháp, có một chỉ số chỉ phương pháp tuyến của mặt
cắt.
nt
τ

là ứng suất tiếp, có 2 chỉ số, chỉ số thứ nhất chỉ phương pháp tuyến
của mặt cắt, chỉ số thứ hai chỉ phương song song với ứng suất tiếp hoặc
chứa ứng suất tiếp.
c. Trường hợp đặc biệt khi mặt cắt qua điểm M(x, y, z) đang xét lần
lượt vuông góc với các trục tọa độ, các pháp tuyến
n

tương ứng trùng với
phương của các trục tọa độ:
26
σ
n
τ
nt
d

F
y
x
Pn
Pny
Pnx
Pnz
M(x,y)
z
n
M
n
Pn
t
z
y
x
σ
*
x
>0
σ
x
>0
τ
xy
>0
τ
*
xy

>0
z
x
y
M(x,y,z)
n
m
P
N
M1(x1,y1,z1)
P
N
* Trên mặt cắt vuông góc với trục x :
- Ưng suất pháp có phương theo trục x ký hiệu : σ
x
.
- Ứng suất tiếp nằm trong mặt phẳng này chia thành hai thành phần
theo hai phương y, z: ký hiệu : τ
xy
, τ
xz
.
Tương tự :
*Trên mặt cắt vuông góc trục y : σ
y
, τ
yz
, τ
yx
.

*Trên mặt cắt vuông góc trục z : σ
z
, τ
zx
, τ
zy
.
*Quy ước về dấu của các thành phần ứng suất :
- Nếu pháp tuyến của mặt cắt hướng theo chiều dương của các trục tọa
độ tương ứng, chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các trục
tọa độ tương ứng thì ứng suất là dương.
- Nếu pháp tuyến của mặt cắt hướng theo chiều âm của các trục tọa độ
tương ứng, chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các trục tọa độ
tương ứng thì ứng suất là dương.
- Các trường hợp khác với những điều nêu trên thì ứng suất là âm.
§1.4. CHUYỂN VỊ - BIẾN DẠNG - HỆ THỐNG CÁC KÝ HIỆU
1. Chuyển vị :
a. Khái niệm: Chuyển vị là sự thay đổi vị trí của các phần tử vật chất
trong vật thể khi vật thể bị biến dạng.
b. Các thành phần chuyển vị và ký hiệu :
Hình 1.1
27
Xét điểm M(x,y,z) trong vật thể V
Sau khi vật thể biến dạng M(x,y,z) chuyển thành M
1
(x
1
, y
1
, z

1
)
Vectơ
1
MM
là vectơ chuyển vị.
Véc tơ chuyển vị có các hình chiếu lên ba trục tọa độ x, y, z là u, v, w.
Các điểm M(x,y,z) khác nhau sẽ có các chuyển vị khác nhau nên u, v,
w là hàm của điểm M hay là hàm của 3 biến x, y, z .
u = u(x,y,z)
v = v(x,y,z)
w = w(x,y,z)
Các chuyển vị bé tức là giá trị của nó nhỏ hơn rất nhiều so với kích
thước của vật thể.
2. Biến dạng :
a. Khái niệm: Biến dạng là sự thay đổi hình dáng, kích thước của vật
thể hoặc của các yếu tố hình học trong vật thể.
b. Các thành phần biến dạng và ký hiệu :
Để định lượng biến dạng của vật thể, ta xét những thay đổi của các
yếu tố hình học như chiều dài, góc, thể tích của vật thể .
• Biến dạng dài tương đối :
Xét một phân tố chiều dài MN = ds theo phương
n

Sau biến dạng MN = ds trở thành M
1
N
1
= ds
1

Định nghĩa: Biến dạng dài tương đối, ký hiệu ε
n
, là tỷ số
ds
ds
n
−
=
1
ds
ε
Ý nghĩa: Biến dạng dài tương đối là biến dạng của một đơn vị chiều
dài, có một chỉ số chỉ phương của biến dạng.
Do đó biến dạng dài tương đối theo các phương x, y, z trong hệ tọa độ
Descartes là : ε
x
, ε
x
, ε
z
.
• Biến dạng góc :
Xét góc vuông PMN
Sau biến dạng PMN trở thành P
1
M
1
N
1
Định nghĩa: Biến dạng góc, ký hiệu γ

mn
là hiệu số γ
mn
= PMN -
P
1
M
1
N
1
=
2
Π
- P
1
M
1
N
1

=
βα
+
Ý nghĩa: Biến dạng góc là lượng thay đổi của một góc vuông trong
mặt phẳng đang xét, có 2 chỉ số chỉ mặt phẳng xét biến dạng góc.
=> Biến dạng góc trong các mặt phẳng xoy, yoz, zox là : γ
xy
, γ
yz
, γ

zx
.
• Biến dạng thể tích tương đối :
28
Xét phân tố có thể tích dV sau biến dạng trở thành dV
1
.
Định nghĩa: Biến dạng thể tích tương đối, ký hiệu θ, là tỷ số : θ=
dV
dVdV −
1

Ý nghĩa: Biến dạng thể tích tương đối là lượng thay đổi thể tích của
một đơn vị thể tích.
*Các hàm ε, γ, θ là hàm của các biến x,y,z:
ε = ε(x,y,z)
γ = γ(x,y,z)
θ= θ(x,y,z)
Theo giả thiết biến dạng bé ta có: /ε/<< 1, /γ /<< 1, /θ / << 1
Ý nghĩa : Có thể bỏ qua tích của biến dạng so với biến dạng và so với
1.
* Qui ước dấu của các thành phần biến dạng
- ε
x
, ε
y
, ε
z
> 0 khi chiều dài đang xét dãn dài ra. Ngược lại < 0.
- γ

xy
, γ
yz
, γ
zx
> 0 khi các góc vuông bé lại. Ngược lại < 0.
§1.5. PHƯƠNG PHÁP, MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA LÝ THUYẾT
ĐÀN HỒI
1.Phương pháp: Dựa trên cơ sở các phương trình toán học để mô tả các
điều kiện cân bằng về mặt cơ học của vật thể, từ đó xác định các đại lượng
như ứng suất, biến dạng và chuyển vị của vật thể.
2. Mục đích: Qua môn học này :
- Có phương pháp giải các bài toán phức tạp : Như các bài toán có
hình dạng và lực tác dụng vượt ra khỏi khuôn khổ của môn học SBVL,
CHKC. Những bài toán không tuân theo các giả thiết tính toán cơ bản trong
SBVL khi chịu tác dụng của ngoại lực . Các bài toán tấm, vỏ, khối.
- Là “chiếc cầu” để đi tới những môn học xa hơn trong cơ học như: Lý
thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, cơ học phá hủy
CHƯƠNG 2 : LÝ THUYẾT TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT
§2.1. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG
2.1.1. Đặt vấn đề :
Trong hệ tọa độ Decartes cho 1 vật thể chịu tác dụng của ngoại lực,
bao gồm:
* Lực thể tích: Là lực phân bố trong không gian của vật thể, được đặc
29
z
M(x,y,z)
x
y
dy dy

dx dx
a
b
b
a
Phần tử loại 1
Phần tử loại 2
trưng bởi cường độ f và là lực trong một đơn vị thể tích, có hình chiếu lên 3
trục tọa độ x, y, z là: f
x
, f
y
, f
z
.
* Lực diện tích (lực bề mặt): Là lực tác dụng trên một phần hay trên
toàn bộ bề mặt giới hạn của vật thể, được đặc trưng bởi cường độ f
*
và là lực
trên một đơn vị diện tích, có hình chiếu lên ba trục tọa độ x, y, z là f
*
x
, f
*
y
, f
*
z
.
Dưới những tác dụng này, vật thể nằm ở trạng thái cân bằng tĩnh hoặc

động nên những phần tử vật chất của vật thể cũng nằm ở trạng thái cân bằng
tương ứng. Tưởng tượng dùng họ những mặt phẳng vuông góc với các trục
toạ độ và cách nhau những đoạn vi phân dx, dy, dz cắt qua vật thể (hình vẽ
2.1) ta sẽ nhận được :
(Hình 2.1)
* Những phần tử hình hộp có sáu mặt cắt ở bên trong vật thể gọi là
phần tử loại 1.
* Những phần tử có ít nhất một mặt là bề mặt ngoài của vật thể gọi là
phần tử loại 2, trong trường hợp tổng quát, phần tử loại 2 là một khối tứ
diện.
Điều kiện cân bằng của vật thể được đảm bảo thông qua điều kiện
cân bằng của tất cả các phần tử loại 1 và loại 2.
2.1.2. Phương trình vi phân cân bằng :
Trước tiên ta khảo sát sự cân bằng của các phần tử loại 1 lấy tại điểm
M(x,y,z)
1. Lực tác dụng lên phần tử :
- Ngoại lực là lực thể tích f có hình chiếu lên các trục toạ độ : f
x
, f
y
, f
z
- Nội lực là các ứng suất trên các mặt của phần tử, các ứng suất này là
các hàm số liên tục của tọa độ điểm M(x,y,z).
30
z
x
y
dx
dy

P(x,y+dy,z)
N(x+dx,y,z)
Q(x,y,z+dz)
dx
x
x
x
∂
∂
+
σ
σ
dx
x
xy
xy
∂
∂
+
τ
τ
dx
x
xz
xz
∂
∂
+
τ
τ

τ
xy
σ
x
τ
xz
(Hình 2.2)
• Hai mặt vuông góc với trục x:
+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có các thành phần ứng suất : σ
x
, τ
xy
, τ
xz
+ Mặt đi qua điểm N(x+dx,y,z): khai triển theo Taylor và bỏ qua các số
hạng vô cùng bé bậc cao có các thành phần ứng suất :
dx
x
;dx
x
;dx
x
xz
xz
xy
xy
x
x
∂
τ∂

+τ
∂
τ∂
+τ
∂
σ∂
+σ

Tương tự:
• Hai mặt vuông góc với trục y:
+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có ứng suất : σ
y
, τ
yx
, τ
yz
+ Mặt đi qua điểm P(x,y+dy,z) có các ứng suất :
dy
y
;dy
y
;dy
y
yz
yz
yx
yx
y
y
∂

τ∂
+τ
∂
τ∂
+τ
∂
σ∂
+σ
• Hai mặt vuông góc với trục z:
+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có các ứng suất σ
z
, τ
zx
, τ
zy
+ Mặt đi qua điểm Q(x,y,z+dz) có các ứng suất :
dz
z
;dz
z
;dz
z
zy
zy
zx
zx
z
z
∂
τ∂

+τ
∂
τ∂
+τ
∂
σ∂
+σ
2. Phương trình cân bằng:
Dưới tác dụng của ngoại lực, giả sử phần tử đang xét nằm ở trạng thái cân
bằng, các phương trình cân bằng được thỏa mãn :
0dxdydzfdxdy)dz
z
(
dxdz)dy
y
(dydz)dx
x
(0X
x
zx
zxzx
yx
yxyx
x
xx
=+
∂
τ∂
+τ+τ−+
+

∂
τ∂
+τ+τ−+
∂
σ∂
+σ+σ−⇔=Σ

31
z
y
x
M
Zo
Zo
dy
y
yx
yx
∂
∂
+
τ
τ
dx
x
xy
xy
∂
∂
+

τ
τ
τ
yx
τ
xy
Sau khi rút gọn và cũng thực hiện tương tự cho các phương trình ∑Y = 0 ;
∑Z=0, ta sẽ nhận được 3 phương trình vi phân cân bằng như sau :
.)
t
w
(.0f
zyx
;)
t
v
(;0f
zyx
;)
t
u
(;0f
zyx
2
2
z
z
yz
xz
2

2
y
zyyxy
2
2
x
zx
yx
x
∂
∂
ρ=+
∂
σ∂
+
∂
τ∂
+
∂
τ∂
∂
∂
ρ=+
∂
τ∂
+
∂
σ∂
+
∂

τ∂
∂
∂
ρ=+
∂
τ∂
+
∂
τ∂
+
∂
σ∂
(2.1)
Với
ρ
: mật độ khối lượng của vật thể.
+ Trong trường hợp cân bằng tĩnh: vế phải của hệ (2.1) sẽ bằng 0.
+ Trong trường hợp cân bằng động: vế phải của hệ (2.1) sẽ bằng các
lượng trong dấu ngoặc; u, v, w là các thành phần chuyển vị của phần tử vật
chất tại điểm M theo 3 phương x,y,z. Lượng trong dấu ngoặc nếu đổi dấu thì
chính là các lực quán tính của một đơn vị thể tích chiếu lên ba phương của
các trục tọa độ.
Hệ phương trình (2.1) được gọi là phương trình cân bằng tĩnh học
NAVIER- CAUCHY.
2.1.3. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp :
* Từ phương trình cân bằng môment của phân tử đối với các trục tọa độ ta
sẽ được định luật đối ứng của các ứng suất tiếp.
(Hình.2.3)
Xét phương trình cân bằng ∑Mz = 0
Để đơn giản ta đặt tọa độ ban đầu ở tâm hình lập phương.

Tìm moment tại tâm phần tử đối với trục z
o
z
o
, ta có:
0
2
dy
dxdz)dy
y
(
2
dx
dydz)dx
x
(M
yx
yxyx
xy
xyxyzz
00
=
∂
τ∂
+τ+τ−
∂
τ∂
+τ+τ=Σ
32
z

y
x
f*
x
f*
y
z
f*
σ
y
σ
z
σ
x
τ
xy
τ
xz
τ
zx
τ
yx
τ
yz
τ
zy
Bỏ qua các vô cùng bé bậc 5
2
dy
dydxdz

y
và
2
dx
dxdydz
x
yxxy
∂
τ∂
∂
τ∂
so với các vô cùng bé bậc 3, rút gọn và chia 2 vế của phương trình cho
dxdydz, ta có :
Chứng minh tương tự ta có:
)2.2(
;0M
;0M
;
zxxzy
zyyzx
yxxy





τ=τ⇔=Σ
τ=τ⇔=Σ
τ=τ
Phát biểu định luật: Ứng suất tiếp trên 2 mặt vuông góc về trị số bằng

nhau nhưng ngược chiều .
(Hình.2.4)
2.1.4. Phương trình điều kiện biên theo ứng suất :
Đây chính là điều kiện cân bằng của các phân tử loại 2.Trong trường
hợp tổng quát, phân tử này là khối tứ diện, có ba mặt vuông góc với các trục
tọa độ và nằm ở bên trong vật thể, có diện tích lần lượt là dS
x
, dS
y
, dS
z
. Mặt
còn lại là mặt ngoài của vật thể có diện tích dS có pháp tuyến
n

với cosin
chỉ phương l,m,n.
(Hình 2.5)
l = cos (
xn

,
) =
dS
dSx
33
a
a
a
a

cóntoVéc

m = cos (
yn

,
) =
dS
dSy
(a)
n = cos (
zn


,
) =
dS
dSz
a. Lực tác dụng lên phân tử:
- Ngoại lực : + Lực thể tích f(f
x
, f
y
,f
z
) của thể tích dV.
+ Lực bề mặt f
*
(f
*

x
, f
*
y
,f
*
z
) trên diện tích dS
- Nội lực :
+ Mặt vuông góc trục x, ký hiệu dS
x
có các ứng suất : σ
x
, τ
xy
, τ
xz.
+ Mặt vuông góc trục y, ký hiệu dS
y
có các ứng suất : σ
y
, τ
yx
, τ
yz
.
+ Mặt vuông góc trục z, ký hiệu dS
z
có các ứng suất : σ
z

, τ
zx
, τ
zy.
b. Phương trình cân bằng :
Phương trình tổng hình chiếu của các lực theo phương X là:
)b(0dVfdSfdSdSdS0X
x
*
xzzxyyxxx
=++τ−τ−σ−⇔=Σ
Bỏ qua vô cùng bé bậc ba fx.dV so với các vô cùng bé bậc hai và chia (b)
cho dS ta có:
)c(0f
dS
dS
dS
dS
dS
dS
*
x
z
zx
y
yx
x
x
=+τ−τ−σ−
Thay (a) vào (c) ta có:

Tương tự:
*
zzyzxz
*
yzyyxy
*
xzxyxx
fnml0Z
)3.2(fnml0Y
fnml
=σ+τ+τ⇔=Σ
=τ+σ+τ⇔=Σ
=τ+τ+σ
Hệ phương trình (2.3) là điều kiện cân bằng của phần tử loại hai, được gọi là
hệ phương trình điều kiện biên theo ứng suất.
2.1.5. Kết luận:
1. Về mặt cơ học: Hệ phương trình (2.1) và (2.3) biểu diễn mối quan
hệ giữa nội lực và ngoại lực là điều kiện cân bằng của toàn bộ vật thể.
2. Về mặt toán học:
Hệ phương trình (2.1) là hệ phương trình vi phân đối với các ẩn số
ứng suất, khi tích phân sẽ có các hằng số tích phân.
Còn hệ phương trình (2.3) là điều kiện để xác định các hằng số tích
phân ấy.
34
σ
y
σ
z
σ
x

τ
xy
τ
xz
τ
zx
τ
yx
τ
yz
τ
zy
z
y
x
f*
f*
Pny
z
f*
§2.2. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG –
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT - TENXƠ ỨNG SUẤT
2.2.1. Đặt vấn đề :
Giả sử đã biết các ứng suất trên 3 mặt vuông góc với hệ trục tọa độ đi
qua M(x,y,z), tính ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ có pháp tuyến
n

với
các cosin chỉ phương là (l, m, n) đi qua điểm M(x,y,z) đó.
2.2.2. Ứng suất toàn phần :

Để tìm ứng suất tại điểm M(x,y,z) trên mặt cắt nghiêng có pháp tuyến
n

với các côsin chỉ phương l,m,n. Ta xét cân bằng của phần tử tứ diện lấy tại
điểm M(x,y,z), phần tử có ba mặt vuông góc với các trục tọa độ, trên đó có
các ứng suất
τσ
,
(như H.2.6). Mặt thứ tư của phân tử là mặt nghiêng có ứng
suất toàn phần
n
P
, các hình chiếu của nó lên 3 trục tọa độ x,y,z là P
nx
, P
ny
,
P
nz
.
Hình 2.6
Ba hình chiếu này giữ vai trò tương tự như lực bề mặt
*
z
*
y
*
x
f,f,f
khi

viết điều kiện biên (2.3), nên có thể có kết quả tương tự như sau:
35
)4.2(
n
m
l
x
P
P
P
nmlP
nmlP
nmlP
zyzxz
zyyxy
zxyxx
nz
ny
nx
zyzxznz
zyyxyny
zxyxxnx





















σττ
τστ
ττσ
=










⇔
σ+τ+τ=
τ+σ+τ=
τ+τ+σ=

Giá trị của ứng suất toàn phần Pn được tính theo công thức sau :
)5.2(PPPP
2
nz
2
ny
2
nxn
++=
2.2.3. Ứng suất pháp và ứng suất tiếp :
Ứng suất toàn phần
n
P
có thể biểu diễn qua ứng suất pháp và ứng suất
tiếp.
1.Ứng suất pháp: là hình chiếu của ứng suất toàn phần
n
P
trên pháp
tuyến
n

, được ký hiệu
n
σ
.
3nz2ny1nxn
e.Pe.Pe.PP



++=
)e.Pe.Pe.P(chPch
3nz2ny1nx
n
n
n
n

++==σ

n.Pm.Pl.P
nznynxn
++=σ
(2.6)
Thay (2.4) vào (2.6) ta có:
)7.2()nl.mn.lm.(2n.m.l.
zxyzxy
2
z
2
y
2
xn
τ+τ+τ+σ+σ+σ=σ
2. Ứng suất tiếp :
Trị số ứng suất tiếp Tnt trên mặt cắt nghiêng được tính theo công thức
:
2
n
2222

n
2
nnt
PnzPnyPnxP
σ−++=σ−=τ
(2.8)
2.2.4. Trạng thái ứng suất - Tenxơ ứng suất :
* Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp các ứng suất trên mọi
mặt cắt có thể đi qua điểm đó.
* Nếu ứng suất thành phần là khái niệm phụ thuộc điểm và pháp tuyến
của mặt cắt [
),( nMP
n


] thì trạng thái ứng suất là khái niệm rộng hơn, chỉ phụ
thuộc vào điểm. Điều đó cho phép ta phân biệt, so sánh được trạng thái nội
lực tại các điểm khác nhau trong vật thể.
Các biểu thức (2.7) và (2.8) cho phép xác định ứng suất pháp và ứng
suất tiếp trên mặt cắt nghiêng bất kỳ đi qua điểm đang xét, điều đó chứng tỏ
36
rằng chín thành phần ứng suất trên các mặt cắt vuông góc với các trục tọa
độ là đủ để xác định trạng thái ứng suất tại điểm đó.
Kết luận: Trạng thái ứng suất tại một điểm đặc trưng bởi chín thành
phần ứng suất trên các mặt cắt vuông góc với các trục tọa đô đi qua điểm đó.
Chín thành phần này lập thành một đại lượng gọi là tenxơ ứng suất.
Ký hiệu :
σ
T
Và được biểu diễn:











σττ
τστ
ττσ
=
σ
zyzzx
xzyxy
zxyxx
T
Tenxơ ứng suất là một tenxơ hạng 2 đối xứng vì theo định luật đối
ứng của ứng suất tiếp ta có
zxxzzyyzyxxy
;; τ=ττ=ττ=τ
, vậy tenxơ ứng
suất có 6 thành phần độc lập.
2.2.5. Tenxơ lệch ứng suất và Tenxơ cầu ứng suất :
Tenxơ ứng suất có thể chia thành Tenxơ lệnh ứng suất D
σ
và Tenxơ
cầu ứng suất T

o
σ
σσσ
+=










στ
σ
σ
+










σ−σττ
τσ−στ

ττσ−σ
=










σττ
τστ
ττσ
o
tbyz
tb
tb
tbzyzzx
xztbyxy
zxyxtbx
zyzzx
xzyxy
zxyxx
TDT
0
00
00
a

)(
)(
)(
Với
)(
3
1
zyxtb
σ+σ+σ=σ
: Ứng suất pháp trung bình.
D
σ
: Tenxơ lệch ứng suất, gây ra biến dạng hình dạng của phân tử.
T
o
σ
: Tenxơ cầu ứng suất, gây ra biến dạng thể tích của phân tử.
§2.3. MẶT CHÍNH - PHƯƠNG CHÍNH - ỨNG SUẤT CHÍNH
2.3.1.Khái niệm:
* Mặt chính là mặt trên đó có ứng suất tiếp bằng không;
* Phương chính là phương pháp tuyến của mặt chính.
* Ứng suất chính là ứng suất pháp trên mặt chính . Ký hiệu
n
σ
.
Giả sử có phương chính
n

với l = cos (n, x)
m = cos (n , y)

n = cos (n , z)
37
Trên mặt chính ứng suất toàn phần
n
P
sẽ có phương vuông góc với
mặt chính và có giá trị
nn
P
σ
=
.
Do đó hình chiếu P
nx
, P
ny
, P
nz
của P
n
lên các trục x, y, z là :
P
nx
= σ
n
.l
P
ny
= σ
n

.m (2.9)
P
nz
= σ
n
.n
Thay (2.4) và (2.9) ta có hệ phương trình:
)10.2(
0n)(ml
0nm)(l
0nml)(
tbzyzzx
xztbyxy
zxyxnx





=σ−σ+τ+τ
=τ+σ−σ+τ
=τ+τ+σ−σ
Hệ (2.10) có nghiệm tầm thường của là l = m = n =0 không thỏa mãn
điều kiện l
2
+ m
2
+ n
2
= 1 (2.11).

Để hệ (2.10) có nghiệm không tầm thường thì định thức của các hệ số
phải bằng không:
)12.2(0
)(
)(
)(
Det
nzyzzx
xznyxy
zxyxnx
=










σ−σττ
τσ−στ
ττσ−σ
Khai triển (2.12) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính
n
σ
:
0III
3n2

2
n1
3
n
=−σ+σ−σ
(2.13)
Trong đó:





τσ+τσ+τσ−τττ+σσσ=
τ+τ+τ−σσ+σσ+σσ=
σ+σ+σ=
)(2I
)(I
I
2
xyz
2
zxy
2
yzxzxyzxyzyx3
zxyzxyxzzyyx2
zyx1
(2.14)
Các hệ số I
1
, I

2
, I
3
trong phương trình tìm ứng suất chính là những giá
trị không đổi khi ta xoay trục. Chúng được gọi lần lượt là bất biến thứ nhất,
bất biến thứ hai và bất biến thứ ba của trạng thái ứng suất tại một điểm.
- Giải phương trình bậc 3 (2.13) ta nhận được ba giá trị ứng suất
chính, các giá trị này đều là thực, kí hiệu lần lượt là
321
;;
σσσ
và theo qui ước
321
σσσ
>>
.
- Phương chính : sau khi đã có các ứng suất chính
321
;;
σσσ
ứng với
mỗi
i
σ
sử dụng hệ phương trình (2.10) và phương trình (2.11) để tìm cosin
chỉ phương l
i
, m
i
, n

i
của ứng suất chính
i
σ
đó.
Kết quả ta có ba phương chính tương ứng với ba ứng suất chính
321
;;
σσσ
. Ba phương này trực giao với nhau và lập thành một hệ trục tọa độ,
38
ký hiệu các trục là 1,2,3.
Tenxơ ứng suất này được viết là :










σ
σ
σ
=
σ
3
2

1
00
00
00
T
Các bất biến của trạng thái ứng suất chính :





σσσ=
σσ+σσ+σσ=
σ+σ+σ=
3213
1332212
3211
I
I
I
Tùy theo giá trị của các ứng suất chính, ta phân loại trạng thái ứng
suất thành trạng thái ứng suất đơn; trạng thái ứng suất phẳng và trạng thái
ứng suất khối.
39
y
z
x
M N
QP
α

β
dy
y
v
v
∂
∂
+
y
x
M1
P(x,y+dy)
M(x,y) N(x+dx,y)
U
V
dx
d y
N2
N1
P1
O
dx
x
v
v
∂
∂
+
dy
y

u
u
∂
∂
+
dx
x
u
u
∂
∂
+
CHƯƠNG 3
LÝ THUYẾT TRẠNG THÁI CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
§3.1. PHƯƠNG TRÌNH QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN
DẠNG
Xét biến dạng của phần tử vật chất lấy tại điểm M(x,y,z). Với các biến
dạng là bé, ta có thể quan sát biến dạng của phần tử qua biến dạng các hình
chiếu của nó trên các mặt phẳng tọa độ.
(Hình 3.1)
+ Xét biến dạng trong mặt phẳng xoy (H.3.2). Phân tố chữ nhật MNQP với
các cạnh ban đầu dx, dy sau biến dạng trở thành phân tố M
1
N
1
Q
1
P
1
.

40
(Hình 3.2)
- Điểm M(x,y) có chuyển vị theo phương x,y là : u; v.
- Điểm N(x+dx,y) có các chuyển vị theo phương x,y, khai triển Taylor bỏ
qua các vô cùng bé bậc cao là : u +
dx.
x
u
∂
∂
; v+
dx.
x
v
∂
∂
- Điểm P(x,y+dy) có các chuyển vị theo phương x,y là : u +
dy.
y
u
∂
∂
; v+
dy.
y
v
∂
∂
- Biến dạng dài tương đối của các cạnh theo phương x,y là ε
x

, ε
y
.
- Biến dạng góc trong mặt phẳng đang xét xoy là γ
xy
= α+β.
Theo giả thiết biến dạng bé, ta có : /ε
x
/<< 1; /ε
y
/<< 1; /α/ << 1; /β/ <<
1
Sử dụng các công thức gần đúng :
1cos;1cos
tgsin;sintg
≈β≈α
β≈β≈βα≈α≈α
3.1.1.Tính biến dạng dài tương đối :
Ta có :
MN
MNNM
11
x
−
=ε
(a)
Trong đó : MN = dx
M
1
N

1
=
21
21
11
NM
cos
NM
NM ≈
α
=
Từ hình vẽ ta có :
dx)
x
u
1(udx.
x
u
udxNM
21
∂
∂
+=−
∂
∂
++=
x
u
dx
dxdxdx)

x
u
1(
MN
MNNM
)a(
11
x
∂
∂
=
−+
∂
∂
+
=
−
=ε⇔

Tương tự ta có :
y
v
y
∂
∂
=ε
(b)
41
3.1.2.Tính biến dạng góc: γ
xy

= α+β
Góc quay của cạnh MN sẽ là :
α ≈ tgα =
21
21
NM
NN
=
x)
x
u
1(
v)dx
x
u
v(
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
+
=
x
u
1
x
v

∂
∂
+
∂
∂
=
x
1
x
v
ε+
∂
∂
Theo giả thiết biến dạng bé ta có ε
x
<< 1 có thể bỏ qua ε
x
so với 1
 α =
x
v
∂
∂
Tương tự β =
y
u
∂
∂
=> γ
xy

= α+β=
x
v
∂
∂
+
y
u
∂
∂
(c)
Các kết quả (b) và (c) cho trong mặt phẳng xoy được sử dụng cho hai mặt
phẳng còn lại yoz và zox. Bằng cách hoá vị vòng các chỏ số theo thứ tự của
tam diện thuận x,y,z ta nhận được quan hệ chuyển vị và các biến dạng như
sau :
x(u)
y(v)
z(w)









∂
∂
+

∂
∂
=γ
∂
∂
=ε
∂
∂
+
∂
∂
=γ
∂
∂
=ε
∂
∂
+
∂
∂
=γ
∂
∂
=ε
x
w
z
u
;
z

w
)1.3(
z
v
y
w
;
y
v
y
u
x
v
;
x
u
zxz
yzy
xyx
Công thức (3.1) thiết lập mối quan hệ tuyến tính giữa các thành phần
biến dạng và các chuyển vị xét ở thời điểm t, được gọi là phương trình quan
hệ hình học CAUCHY
Từ (3.1) có thể kết luận các biến dạng là bé khi đạo hàm bậc nhất các
chuyển vị theo phương toạ độ là bé.
§3.2 TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG - TENXƠ BIẾN DẠNG
42
z
y
n
K

x
dy
dx
dz
M
y
z
x
M1
K1
3.2.1.Biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ :
Hệ (3.1) cho phép ta tính biến dạng dài tương đối theo các phương
x,y,z. Đặt vấn đề làm sao tính biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ ?
(Hình 3.3)
Trong hệ trục toạ độ Descartes.Xét vi phân chiều dài MK= ds theo
phương n với các cosin chỉ phương là l,m,n.
Hình chiếu của ds lên các trục x,y,z là dx, dy, dz.
l = cos (
x,n


) =
ds
dx
cóntoVéc

m = cos (
y,n



) =
ds
dy
(a)
n = cos (
z,n


) =
ds
dz
+Ở trạng thái ban đầu, toạ độ điểm đầu và điểm cuối của vi phân MK
là M(x,y,z) và K(x+dx, y+dy, z+dz)
+Điểm M(x,y,z) chuyển vị theo ba phương x,y,z là u,v, w.
+Điểm K(x+dx, y+dy, z+dz) chuyển vị theo ba phương là : u+du;
v+dv; w+dw.
Với du, dv, dw là các vi phân toàn phần của thành phần chuyển vị
u,v,w.
du =
x
u
∂
∂
.dx +
y
u
∂
∂
.dy +
z

u
∂
∂
.dz
dv =
x
v
∂
∂
.dx +
y
v
∂
∂
.dy +
z
v
∂
∂
.dz
dw =
x
w
∂
∂
.dx +
y
w
∂
∂

.dy +
z
w
∂
∂
.dz
+ Sau biến dạng MK trở thành M
1
K
1
= ds
1
trong đó :
M(x,y,z) trở thành M
1
( x+u, y+v, z+w).
K(x+dx, y+dy, z+dz) trở thành K
1
(x+dx+u+du, y+dy+v+dv,
z+dz+w+dw).
43
+ Chiều dài vi phân trước biến dạng: ds
2
= dx
2
+ dy
2
+ dz
2
(b)

+ Chiều dài vi phân ds
1
sau biến dạng:
ds
1
2
= (dx+du)
2
+ (dy+dv)
2
+ (dz+dw)
2

(c)
Biến dạng dài tương đối theo phương n của ds. Ký hiệu ε
n
là :
ε
n
=
ds
dsds
1
−
=
ds
ds
1
- 1
 (ε

n
+ 1)
2
=
2
2
1
ds
ds
 1+2ε
n
+ ε
n
2
=
2
2
1
ds
ds
 ε
n
=
2
2
2
1
ds2
dsds −
(d)

(Với giả thiết biến dạng bé có thể bỏ qua ε
n
2
so với ε
n
)
Tính ds
1
2
= [dx + (
x
u
∂
∂
.dx +
y
u
∂
∂
.dy +
z
u
∂
∂
.dz)]
2
+
+ [dy + (
x
v

∂
∂
.dx +
y
v
∂
∂
.dy +
z
v
∂
∂
.dz)]
2
+
+ [dz + (
x
w
∂
∂
.dx +
y
w
∂
∂
.dy +
z
w
∂
∂

.dz)]
2
. (e)
Khai triển (e) và bỏ qua các thành phần vô cùng bé bậc cao
(
x
u
∂
∂
.dx+
y
u
∂
∂
.dy+
z
u
∂
∂
.dz)
2
;(
x
v
∂
∂
.dx+
y
v
∂

∂
.dy+
z
v
∂
∂
.dz)
2
;(
x
w
∂
∂
.dx+
y
w
∂
∂
.dy+
z
w
∂
∂
.dz)
2
so
với
x
u
∂

∂
;
y
v
∂
∂
;
z
w
∂
∂
(vì theo giả thiết biến dạng bé
x
u
∂
∂
;
y
v
∂
∂
;
z
w
∂
∂
<< 1) và rút
gọn :
(e)  ds
1

2
= (dx
2
+ dy
2
+ dz
2
) + 2 [(
x
u
∂
∂
.dx
2
+
y
u
∂
∂
.dxdy +
z
u
∂
∂
.dxdz) +
+ (
x
v
∂
∂

.dxdy +
y
v
∂
∂
.dy
2
+
z
v
∂
∂
.dydz) +
+ (
x
w
∂
∂
.dxdz +
y
w
∂
∂
.dydz +
z
w
∂
∂
.dz
2

)].
 ds
1
2
- ds
2
= 2 [(
x
u
∂
∂
.dx
2
+
y
u
∂
∂
.dxdy +
z
u
∂
∂
.dxdz) +
+(
x
v
∂
∂
.dxdy +

y
v
∂
∂
.dy
2
+
z
v
∂
∂
.dydz) +
+ (
x
w
∂
∂
.dxdz +
y
w
∂
∂
.dydz +
z
w
∂
∂
.dz
2
)].

44
Theo (d)
2
2
2
1
n
ds2
dsds −
=ε
=>
.
ds
dz
.
z
w
ds
dydz
.
y
w
ds
dxdz
.
x
w
ds
dydz
.

z
v
ds
dy
.
y
v
ds
dxdy
.
x
v
ds
dxdz
.
z
u
ds
dxdy
.
y
u
ds
dx
.
x
u
2
2
22

22
2
2
222
2
n
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂

∂
+
∂
∂
=ε⇔

Thay
ds
dz
n;
ds
dy
m;
ds
dx
l ===
và biểu thức (3.1) vào ε
n
:
⇒ ε
n
= ε
x
.l
2
+ ε
y
.m
2
+ ε

z
.n
2
+ γ
xy
.lm + γ
yz
.mn + γ
zx
.nl (3.4).
ε
n
= ε
x
.l
2
+ ε
y
.m
2
+ ε
z
.n
2
+ 2









++
nl
zx
mn
yz
lm
xy
222
γγγ
Đặt
xy
xy
γ
γ
=
2
;
yz
yz
γ
γ
=
2
;
zx
zx
γ

γ
=
2
ta có :
ε
n
= ε
x
.l
2
+ ε
y
.m
2
+ ε
z
.n
2
+ 2(
xy
γ
.lm +
yzγ
.mn +
zxγ
.nl) (3.5)
Có thể viết dưới dạng toàn phương :
ε
n
=

[ ]
nml











εγγ
γεγ
γγε
zyzxz
zyyxy
zxyxx










n

m
l
(3.6)
+ Sau khi nhận được (3.5) ta thấy (3.5) hoàn toàn tương tự với (2.7) :
σ
n
= σ
x
.l
2
+ σ
y
.m
2
+σ
z
.n
2
+ 2(T
xy
.ml + T
yz
.mn + T
xz
.nl) (2.7)
Nên có thể kết luận : Trạng thái biến dạng tại 1 điểm được đặc trưng
bởi 9 thành phần biến dạng trên các mặt cắt vuông góc với hệ trục toạ độ.
Chín thành phần này cũng thành lập 1 tenxơ hạng 2 đối xứng gọi là tenxơ
biến dạng bé.
Ký hiệu : T

ε

Và được biểu diễn : T
ε
=










εγγ
γεγ
γγε
zyzxz
zyxxy
zxyxx
II. Tenxơ lệch biến dạng và Tenxơ cầu biến dạng :
45
Tenxơ biến dạng Tε có thể phân tích thành tổng của hai tenxơ hạng 2
là tenxơ lệch biến dạng Dε và Tenxơ cầu biến dạng T
0
ε.











εγγ
γεγ
γγε
zzyzx
yzyyx
xzxyx
=










−
−
−
εεγγ
γεεγ
γγεε

tbzyzx
yztbyx
xzxytbx
z
y
+










ε
ε
ε
tb00
0tb0
00tb
T
ε
= D
ε
+ T
0
ε
.

Với ε
tb
=
( )
zyx εεε
++
3
1
: Biến dạng dài trung bình.
D
ε
: đặc trưng cho biến dạng hình dạng của phần tử
T
0
ε
: đặc trưng cho biến dạng thể tích của phần tử
§3.3. BIẾN DẠNG CHÍNH VÀ PHƯƠNG BIẾN DẠNG CHÍNH
Trạng thái biến dạng tại điểm M(x,y,z) được đặc trưng bởi tenxơ biến
dạng bé. Tại điểm M(x,y,z) ấy ta có thể tìm được ba phương vuông góc với
nhau và trên các mặt phẳng vuông góc với ba phương đó, các biến dạng góc
bằng không. Những phương đó gọi là phương biến dạng chính.
- Các biến dạng dài tương đối theo phương biến dạng chính là các
biến dạng chính, các biến dạng chính là biến dạng dài cực trị tại điểm ấy.
Ký hiệu các biến dạng chính là : ε
1
, ε
2
, ε
3
. => theo quy ước ε

1
> ε
2
> ε
3
.
Tương tự như việc tìm các ứng suất chính, biến dạng chính được xác
định từ phương trình sau :
0
)(
)(
)(
Det
nz
yzzx
zy
ny
xy
zxyx
nx
=











ε−εγγ
γε−εγ
γγε−ε
(3.7)
Khai triển (2.12) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính
n
σ
:
0JJJ
3n2
2
n1
3
n
=−ε+ε−ε
(3.8)
46
Trong đó







γε+γε+γε−γγγ+εεε=
γ+γ+γ−εε+εε+εε=
θ=ε+ε+ε=
)(2J

)(J
J
2
xy
z
2
zx
y
2
yz
x
zxyzxy
zyx3
zxyzxy
xzzyyx2
zyx1
(3.9)
Các hệ số J
1
, J
2
, J
3
trong phương trình tìm biến dạng chính là những
giá trị không đổi khi ta xoay trục. Chúng được gọi lần lượt là bất biến thứ
nhất, bất biến thứ hai và bất biến thứ ba của trạng thái biến dạng tại một
điểm.
Phương trình (3.8) cho 3 nghiệm biến dạng chính, cả ba nghiệm này đều là
thực.
* Tìm phương biến dạng chính :

Sau khi có các biến dạng đường chính ε
1
, ε
2
, ε
3,
ứng với mỗi ε
i
sử
dụng hệ phương trình (3.10) và phương trình (3.11) ta có hệ ba phương
trình tương ứng với ba ẩn số là ba cosin chỉ phương của biến dạng chính ε
i
đó.
)10.3(
0n)(ml
0nm)(l
0nml)(
nz
yzxz
zy
ny
xy
zxyx
nx





=ε−ε+γ+γ

=γ+ε−ε+γ
=γ+γ+ε−ε
Và phương trình: l
2
+ m
2
+ n
2
= 1 (3.11)
Kết quả ta có 3 phương biến dạng chính tương ứng với 3 biến dạng
chính. Ba phương này trực giao với nhau ký hiệu các trục là 1,2,3.
Tenxơ biến dạng chính được viết là :










ε
ε
ε
=
ε
3
2
1

00
00
00
T
Các bất biến của trạng thái biến dạng chính :





εεε=
εε+εε+εε=
ε+ε+ε=
3213
1332212
3211
J
J
J
§3.4. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG THÍCH BIẾN DẠNG
Ở mục trên ta đã lập được 6 phương trình vi phân của biến dạng theo
3 chuyển vị u, v, w. (Biểu thức 3.1).
47
ε
x
=
x
u
∂
∂

γ
xy
=
y
u
x
v
∂
∂
+
∂
∂
ε
y
=
y
v
∂
∂
γ
yz
=
z
v
y
w
∂
∂
+
∂

∂
(3.1)
ε
z
=
z
w
∂
∂
γ
zx
=
z
u
x
w
∂
∂
+
∂
∂
- Các phương trình này cho phép tính được các biến dạng bằng cách
lấy đạo hàm của các chuyển vị u, v, w. Những hàm chuyển vị này, theo tính
liên tục của vật thể sẽ là những hàm đơn trị và liên tục của các biến số. Dó
đó, các biến dạng cũng sẽ là những hàm đơn trị và liên tục.
- Để giải bài toán ngược tìm 3 hàm chuyển vị u, v, w khi biết các biến
dạng, ta có 6 phương trình đạo hàm riêng đối với 3 ẩn số. Số phương trình
nhiều hơn ẩn số, nên để xác định được 3 ẩn số là các hàm liên tục và đơn trị
thì 6 phương trình này phải có quan hệ với nhau.
Các quan hệ này được gọi là các điều kiện tương thích hay điều kiện

liên tục của biến dạng cũng được gọi là các điều kiện Sainti - Venant.
Để nhận được các phương trình này, ta khử các chuyển vị u, v, w
trong các phương trình biến dạng Cauchy - Navier.
I. Nhóm phương trình cho các biến dạng trong cùng 1 mặt phẳng :
2
2
2
2
2
2
2
22222
.
xyy
v
xx
u
yx
v
yxy
u
yxx
v
y
u
yx
xy
yx
y
x

∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂∂
∂
+
∂
∂
∂∂
∂
=







∂
∂
+
∂
∂
∂∂
∂
=
∂∂
∂
ε
ε
γ
Tương tự ta có :
zxzx
zyyz
yxxy
zxx
z
yz
z
y
xyy
x
∂∂
∂
=
∂

∂
+
∂
∂
∂∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
∂∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
γεε
γ
ε
ε
γε
ε
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)12.3(

48