Bài Tập Hình Học Cao Cấp - Văn Như Cương ppt

1
CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP TIÊN Đ
Ề
Bài 1 trang 199:
Nêu ra m
ột vài mô hình của hệ tiên đề H đã nói trong lý thuyết. Tìm mô
hình c
ủa H sao cho mô h
ình đó có đúng n vectơ, với
n là s
ố nguy
ên dương
cho trước.
Gi
ải:
* Mô hình 1:
Vectơ: ánh xạ A: R

R
x

f(x) = A(x)
Phép c
ộng hai ánh x
ạ v
à quan hê bằng được xác định
:

X

Y:
f
=
g

( ) ( )f x g x
Mô hình trên tho
ả
:
, :f g f g g f   
, , : ( ) ( )f g h f g h g f h     

ánh x
ạ kh
ông (0) : R

R
0x 

ánh x
ạ đối
: (-
f
) : R

R
( ) ( )x f x A x  
* Mô hình 2:

Xét t
ập
n
z
= {[0], [1], [2], [3], . . . . , [ n-1] }
Vectơ là [i]
Phép c
ộng đ
ược định nghĩa như sau:
j + i = k: trong đó k = j + i : j

i ,
1,1,  nji
Mô hình trên tho
ả
:
·

i, j:
       
jiji 
·

i, j, m :
           
mjimji  )()(
·
. Vectơ không là t
ập
 

0
· Vect
ơ đ
ối của [
i] là [n-1]
2
Mô hình 2 có
đúng n vectơ là một số nguyên dương cho trước
Bài 2: H
ệ tiên đề K gồm :điểm ,đường,thuộc
+ Khái ni
ệm
cơ b
ản
+ Các tiên đ
ề :
i) có ít nh
ất một điểm
ii) qua hai điểm phân biệt có không quá một đường.
iii)m
ỗi đường có ba điểm phân biệt.
iv)M
ỗi điểm nằ tr
ên ba đường phân biệt
a.Ch
ứng minh các định lý:
+ Hai đường thẳng biệt có không quá một điểm chung.
+ Có ít nh
ất là bảy điểm ,có ít nhất là bảy đường.
b.Xây d

ựng các mô h
ình của K gồm bảy điểm ,bảy đường hoặc chín
đi
ểm,chín đường.
Giải
a.Ch
ứng minh
+ Hai đư
ờng phân biệt có không qía một điểm chung.
N
ếu như hai đường thẳng phân biệt a và b có hai điểm
chung là A và B
 
BA 
thì qia hai điểm A,B sẽ có hai đường thẳng phân biệt a và b (trái ii))
+ Có ít nh
ất là bảy điểm ,bảy đường
Theo tiên đ
ề i) có ít nhất là một điểm ta kí hiệu là A ,theo iv) có ba
đường phân biệt x,y,z qua A.
Theo tiên đè iii) trên x ngoài bi
ến A c
òn có 2 điểm phân biệt nửa B,C
Tương t
ự trên y ngoài A có 2 điểm phân biệt D,E
Trên z ngoài A có 2 đi
ểm phân biệt G,H
Theo định lý 1: hai đường thẳng phân biệt sẽ có không quá một điểm
chung


B
ảy điểm A,B,C,D,E,G,H đôi một phân biệt và khác nhau.
Theo tiên đ
ề iv) mỗi điểm nằm trên ba đường thẳng phân biệt .Nên ngoài
x qua B còn có 2 diểm phân biệt khác ta đặt u,v.
Tương t
ự :ngo
ài x qua C còn có 2 đường :

,w
Theo tiên đ
ề ii)qua hai điểm phân biệt có không quá một đường

B
ảy đ
ường

,,,,,, wvuzyx
đôi m
ột phân biệt v
à khác nhau.
b.+ Mô hình K g
ồm bảy điểm ,bảy đường.
Xét
C
có 3 đư
ờng trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau t
ại G.
Ta có: b
ảy điểm A,B,C,D,E,F,G,H.

Ta g
ọi mỗi đường là bộ đôi ba điểm
             
DEFEGBFGCDGACEACDBBFA ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
+ Mô hình K g
ồm chín điểm ,chín đ
ường.
3
Ta l
ấy 9 điểm phân biệt :
321321321
,,,,,,,, CCCBBBAAA
.
M
ỗi bộ ba điểm sau đây được xem là một đường:
               
123213333312222231321111
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, CBACBACBACBACBACBACBACBA
Bài 3
trang 199:
H
ệ tiên đề gồm
:
+ Khái niệm cơ bản: “ điểm”, “ đường thẳng”, “điểm thuộc đường thẳng”
+ Các tiên đ
ề
:
i) B
ất kì hai điểm phân biệt nào đều thuộc một và chỉ một đường thẳng.
ii) B

ất k
ì hai đường thẳng phân biệt nào đều thuộc một và c
h
ỉ một điểm.
iii) Có ít nh
ất bốn
đi
ểm trong đó bất kì ba điểm nào cũng không cùng
thu
ộc một đường thẳng.
a) Hãy xây d
ựng mô h
ình của P. Chứng tỏ r
ằng hệ ti
ên đ
ề P phi mâu
thu
ẫn
n
ếu số học phi muân thuẫn.
b) Hãy chứng tỏ rằng tiên đề iii) là độc lập.
c) Ch
ứng minh hệ
tiên đ
ề P không đầy đủ.
Gi
ải
:
a) Xây d
ựng một mô h

ình của hệ tiên đề P :
Ta g
ọi điểm là bộ ba số
);;( zyx
v
ới các số có giá trị 0 hoặc 1 và
0
222
 zyx
.
Như v
ậy ta có 7 điểm
: A
1
(1,0,0); A
2
(0,1,0); A
3
(0,0,1); A
4
(0,1,1); A
5
(1,0,1);
A
6
(1,1,0); A
7
(1,1,1).
+ M
ỗ

i phương trình sau là m
ột đ
ường thẳng
:
d
1
: x = 0 d
2
: y = 0 d
3
: z = 0 d
4
: x - y = 0
d
5
: y – z = 0 d
6
: x – z = 0 d
7
: (x+y–z)(x–y+z)=0
+ M
ổi điểm gọi là thuộc đuờng thẳng nếu bộ ba số tương ứng với điểm đó là
nghi
ệ
m c
ủa ph
ương
trình bi
ểu thị cho đ
ường thẳng

.
+ D
ể dàng kiểm tra r
ằng các ti
ên đề i) ii) đều đúng
:
Ví dụ : A
2
, A
3

d
1
; A
2
, A
5

d
6
; A
4
, A
1

d
5
;
4
d

1

d
2
= A
3
; d
3

d
4
= A
6
; d
1

d
7
= A
4
+ Tiên đ
ề iii) cũng đúng. Lấy 4 điểm A
1
, A
2
, A
3
, A
7.
Ta th

ấy rằng ba điểm bất kì
trong 4 đi
ểm đó
d
ều không thuộc một đ
ường thẳng
.
+ Vì mô hình trên xây dựng từ các vật liệu của số
h
ọc n
ên suy ra hệ
tiên đ
ề P phi mâu thuẫn nếu số học phi mâu thuẫn.
b) Đ
ể chứng minh tiên đề iii) độc lập ta xây dựng
m
ộ
t mô hình trong
đó tiên đề
i), ii) đúng nhưng tiên đ
ề iii) không đúng
: mô hình dó nh
ư sau:
Trên m
ặt phẳng
Ơcit
l
ấy ba điểm không thẳng h
àng A
, B, C và ta g

ọi chúng l
à
đi
ểm, còn đư
ờng thẳng l
à các đường thẳng AB
, BC , CA
Khi đó v
ới 4 điểm A, B, C, D thì ba
đi
ểm bất kì A, B, D, hoặc A, C, D hoặc B,
C, D có th
ể xảy ra tr
ường hợp thẳng hàng.
c) Để chứng minh P không đầy đủ ta xây dựng mô hình thứ hai của P không
đ
ẳng cấ
u, v
ới mô h
ình đã xây dựng ở a)
. Mô hình
đó nh
ư sau: ta l
ấy 13 điểm
P
i
,
12,0i
, và 13 đư
ờng thẳng.

Kí hi
ệu
P
j ,
12,0j
.
Ta nói P
i
thu
ộc đ
ường thẳng P
j
n
ếu
ji 
= (0, 1, 3, 9) (mod13)
Bài 4: Hãy dùng h
ệ tiên đề của hình học phẳng ở phổ thông để chứng minh các
định lý sau đây.
a.Có ít nh
ất ba điểm không thẳng hàng.
b. Cho 4 đi
ểm A,B,C,D phân biệt v
à thẳng hàng.Chứng minh rằng nếu C
n
ằm giữa A và B,còn D nằm giữa B và C thì D nằm giữa A và B còn C nằm giữa
A và D.
c. Đ
ịnh lý Pát (tức tiên đề Pát trong hệ tiên đề Hinbe).
Gi

ải
Ch
ứn
g minh:
a.Có ít nh
ất ba điểm không thẳng hàng.
Theo tiên đ
ề 1,ta có ít nhất l
à hai đường thẳng a và b nào đó.
C
ũng theo ti
ên đề 1,trên a có ít nhất là hai điểm A và B.
Đư
ờng thẳng b không thể đồng thời đi qua A và B ,vì như vậy sẽ trùng với
đư
ờng th
ẳng a,theo ti
ên đề 2.
5
V
ậy trên b có ít nhất là một điểm C không nằm trên a.
V
ậy ta có ít nhất là ba điểm A,B,C, không thẳng hàng.
b.Ta ch
ứng minh C ở giữa A v
à D
.
Ta g
ọi a l
à đường thẳng chứa bốn điểm A,B,C,D.

Theo tiên đ
ề 4,điểm C chia các điểm còn
l
ại của đường thẳng a thành hai
t
ập hợp,ta gọi hai tập hợp đó là X và Y
Vì C
ở giữa A v
à B nên Avà B thuộc hai tập hợp khác nhau.
G
ỉa sử
YXvàBA 
Theo gi
ả thiết D ở giữa B và C nên theo tiên đề 3 C không ở giữa B và D
Do
YD 
và
XA

C
ở giữa A v
à D
 Ch
ứng minh D ở giữa A và B
Đi
ểm D chia các điểm của a th
ành hai tập hợp kí hiệu là
',' YX
Theo gi
ả thiết D ở giữa B và C nên B và C thuộc hai tập hợp khác nha

u.
Gi
ả sử
'' YvàBXC 
Theo ch
ứng minh trên và theo tiên đề 3,vì C ở giữa A và D nên D không ở
gi
ữa A và C
V
ậy A và C cùng thuộc một tập hợp
'X
ho
ặc
'Y
Như v
ậy
'XA
ngoài ra vì
'YB 
Suy ra D
ở giữa A và B.
c. Theo tiên đ
ề 5
Đư
ờng
th
ẳng a chia các điểm không thuộc nó thành hai tập hợp mà ta kí
hi
ệu l
à X và Y.

Theo đ
ịnh nghĩa của đoạn thẳng thì giả thiết đường thẳng a có một điểm ở
gi
ữa A và B ,A
và B đ
ều thuộc tập hợp khác nhau đó
G
ỉa sử
YXvàBA 
,do C không n
ằm trên a nên phải thuộc một trong hai
t
ập hợp đó.
N
ếu
XC 
thì B và C thu
ộc hai tập hợp khác nhau nên theo tiên đề 5
đư
ờng thẳng a và đoạn thẳng BC có
đi
ểm chung hay có một điểm của a ở giữa B và C
Tương t
ự nếu
YC 
thì có m
ột điểm của a ở giữa A và C.
Bài 5 trang 200:
Hãy dùng h
ệ ti

ên đề của hình học không gian ở trường phổ thông để chứng
minh các đ
ịnh lí sau đây
:
a) Ngoài mặt phẳng cho trước còn có nhiều điểm khác.
6
b) Cho m
ặt phẳng (P) và ba điểm phân biệt A, B, C không nằ
m trên (P) .
N
ếu mặt phẳng (P)
c
ắt đoạn thẳng BC hoặc đoạn thẳng CA.
c) Đ
ịnh lí về việc mỗi mặt phẳng chia không gian th
ành hai
n
ửa không
gian (tương t
ự như mỗi đườn
g th
ẳng trong mặt phẳng chia mặt p
h
ẳng đó
thành hai n
ửa mặt phẳng
). Hãy phát bi
ểu định lí và chứng minh.
d) Ch
ứng minh các tr

ường hợp bằng nhau của hai tam giác bất kì trong
không gian.
Gi
ải:
a) Gi
ả sử cho trước mặt phẳng (P). Theo tiên đề 14 có ít nhất bốn điểm
không cùng n
ằm trên một mặt phẳng
, nên có ít nh
ất 1 điểm nào đó không nằm
trên (P). Ta g
ọi đó l
à điểm A. Lấy điểm B bất kì thuộc (P) thì; ta có đường thẳng
b đi qua A và B (tiên đ
ề 2). Theo tiên đề 4, tồn tại một điểm B’ sao cho A ở
gi
ữa B và B’. Nếu B’

(P) thì theo tiên
đề 16). A cũng nằm trên (P) (mâu
thu
ẫn).V
ì vậy B

(P).
Theo tiên đề 18). Trên mặt phẳng (P) các kết quả của hình học phẳng đều
đúng, nên (P) còn nhi
ều điểm khác nữa.
b) Ba đi
ểm A, B, C không thẳng hàng theo tiên đề 16) tồn tại mặt

ph
ẳng (Q)
duy nh
ất đi qua ba điểm đó. Vì mặt phẳng (P) cắt đoạn
AB nên (P) và (Q) có
đi
ểm chung: Theo tiên đề 17
, (P), (Q) còn có m
ột điểm chung khác nữa
(P) và
(Q) cắt nhau theo đường thẳng a : Áp dụng định lí pasch của hình học phẳng trên
m
ặt phẳng (P)
, suy ra đư
ờng thẳng a hoặc cắt BC hoặc cắt CA tức là mặt phẳng
(P) c
ắt đoạn thẳng BC hoặc cắt đoạn thẳng CA.
Ba đi
ểm A, B, C thẳng h
àng thì ta lấy mặt phẳng (Q) đi qua ba điểm đó rồi lập
lu
ận tương tự như trên.
7
c) Đ
ịnh lí
: M
ỗi mặt phẳng (P) chia các điể
m còn l
ại của không gian thành hai
t

ập hợp không giao nhau sao cho hai điểm M, M’ thuộc cùng một trong hai tập
h
ợp đó khi v
à chỉ khi đoạn thẳng MM’ và mặt phẳng (P) không có điểm chung.
Chứng minh: gọi A là một điểm không thuộc (P). Xét hai tập hợp sau:
T
ập U
: g
ồm những điểm M không thuộc (P) sao cho đoạn thẳng AM v
à (P)
không có đi
ểm chung.
T
ập V gồm những điểm N không thuộc (P) sao cho đoạn thẳng AN và mặt
ph
ẳng (P) không có điểm chung.
T
ất nhiên U, V không giao nhau và mỗi điểm không thuộc (P) đều t
hu
ộc một
trong hai t
ập hợp đó.
Gi
ả sử M,
M’ thu
ộc tập U tức l
à AM
, AM’ đ
ều không cắt (P)
Theo câu b) ta suy ra MM’ không cắt (P)

Gi
ả sử N
, N’ thu
ộc tập V, tức l
à AN và AN’ đều cắt (P). Theo câu b) đoạn thẳng
NN’ không c
ắt (P)
Gi
ả sử M và N thuộc hai tập
h
ợp khác nhau U và V thì chỉ có một trong hai
đo
ạn thẳng AM , AN l
à cắt (P) theo câu b đoạn thẳng MN phải cắt (P)
e) Ch
ứng minh định lí: Hai tam giác có ba cạnh bằng nhau thì bằng nhau.
Gi
ả sử hai tam giác ABC
, A’B’C’ có AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’
ta ph
ải chứng minh
:
.'
ˆˆ
,'
ˆ
ˆ
,'
ˆˆ
CCBBAA 

Theo tiên đ
ề 18:
Trên m
ỗi mặt phẳng các ti
ên đề của hình học phẳng đều đún
g.
Như v
ậy trên mặt phẳng (ABC)
, m
ặt phẳng (A’B’C’) ta áp dụng định lí cosin
trong tam giác.
Ta có: BC
2
= AB
2
+ AC
2
– 2ABAC cos  (trên m
ặt phẳng (ABC))
B’C’
2
= A’B’
2
+ A’C’
2
-2A’B’A’C’ (trên m
ặt phẳng (A’B’C’))
Vì BC = B’C’, AB = A’B, AC = A’C’, ta suy ra  = Â’
8
Tương t

ự ta có
'
ˆˆ
,'
ˆˆ
CCBB 
Các đ
ịnh lí còn lại chứng minh tương tự.
Bài 6: Hãy dùng 12 tiên
đề của hình học phẳng (tức là không dùng tiên đề 13 về
hai đư
ờng thẳng song song) để chứng minh các định lý sau đây.
a.Góc ngoài tam giác l
ớn h
ơn mỗi góc trong không kề với nó.
b. N
ếu hai đường thẳng tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau
thì hai
đường thẳng đó song song
.
GI
ẢI
C
B'
A
x
B
a) Góc ngoài c
ủa
tam giác l

ớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.
Ta g
ọi Cx là tia đối của tia CB ta chứng minh rằng:


ACx BAC
và


ACx ABC
G
ọi I là trung điểm AC và B’ là điểm đối xứng với B qua I.
Khi đó hai tam giác AIB và CIB’ b
ằng nhau (c
-g-c).B
ở vậy


'ACB BAC
có th
ể
chứng minh rằng tia CB’nằm trong góc

ACx
,tức là


'ACx ACB
Có th
ể chứng minh rằng tia CB’ nằm trong góc

b) G
ỉa sử hai đường thẳng a và b cắt đường thẳng c lần lượt tạ
i A và B sao cho
1 1
A B
n
ếu a v
à b cắt nhau tại C thì tam giác ABC sẽ có một góc ngoài bằng một
góc trong không k
ề với nó (trái với định lý a)
B
A
c) vậy nếu hai đường thẳng tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau thì hai
đư
ờng thẳng đó song song (đpcm)
Bài 7 trang 201:
9
Hãy nhớ lại cách chứng minh định lí “t
ổng số đo góc trong mọi tam giác
b
ằng 180
0
”trong sách giáo khoa ph
ổ thông. Cách chứng minh đó phải dựa
vào tiên đ
ề về đ
ư
ờng song song. Sau đây l
à cách chứng minh không dùng
đ

ến tiên đề đó.
Ch
ứng minh
: Ta gi
ả thiết tổng số đo góc trong tam giác là S.
L
ấy tam giác bất k
ì ABC ta có:



BAC ABC ACB S  
Gọi D là điểm ở giửa của B và C, ta có hai tam giác ABD và ACD, theo giả
thi
ết
:
 

CAD ACB ADC S  

 
BAD ABD ADB S  
Suy ra:
 




2BAD CAD ABD ACB ADB ADC S     
hay




0
180 2BAC ABC ACB S   
Hay: S + 180
0
= 2S, t
ức l
à S = 180
0
.
Hãy bình lu
ận về chứng minh đó.
Gi
ải
:
D
A
B
C
Ta có:
 




2BAD CAD ABD ACB ADB ADC S     
Suy ra




0
180 2BAC ABC ACB S   
(mâu thuẫn)
10
Vì ta không có c
ơ sở để xác định


0
180ADB ADC 
Theo tiên d
ề 13
: v
ẽ duy nhất đường thẳng
d đi qua A và song song BC
Khi đó:

ABD
=
1

,

ADC
=
2

Mà

1

+
2

= 180
0



0
180ADB ADC 
Bài 8: Cho V là không gian Ơ-clit n chiều (trên trường số thực) .Hãy gọi mỗi
vecto
u
c
ủa V là một “điểm”,và với bất kì hai “điểm”
u
và
v
c
ủa V ta cho tương
ứng với vecto
uv 
c
ủa V.Hãy chứng minh rằng khi đó V là không gian Ơ
-clit n
chi
ều.
Gi

ải
G
ọi mỗi vect
ơ
u
là m
ột điểm v
à kí hiệu là U.
V
ậy các vectơ
, , , a b x y
   
bây gi
ờ được hiểu là các điểm A,B,X,Y…
Theo tiên đ
ề 1: Với bất kỳ hai điểm A và B (là hai vectơ
a
và
b
) ta cho tương
ứng với một vectơ hoàn toàn xác đ
ịnh của V ,đó là vectơ
ab 
Như v
ậy :
AB b a 
  
Theo tiên đề 2: Với mỗi điểm A cho trước (là vectơ
a
) và mỗi vectơ

u
cho trước
c
ủa V có một điểm duy nhấ
t B sao cho
uAB 
Th
ật vậy ta chỉ cần lấy B l
à điểm
b u a 
  
Theo tiên đ
ề 3: Với bất kỳ ba điểm A,B,C ta đều có
AB BC AC 
  
Th
ật vậy nếu các điểm A,B,C lần lượt là các vectơ
, ,a b c
  
thì
, ,AB b a BC c b AC c a     
        
,
T
ừ đó suy ra
AB BC AC 
  
V
ậy cả ba ti
ên đề đều nghiệm

Suy ra V là không gian Ơclic n chi
ều.
CHƯƠNG II: CÁC PHÉP BI
ẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Bài 1 trang 202:
Cho song ánh f: PP có tính ch
ất
: f bi
ến ba điểm thẳng hàng thàn
h ba
đi
ểm thẳng hàng.Chứng minh
:
a.
f
bi
ến ba điểm không thẳng h
àng thành ba điểm không thẳng hàng.
b.
f
bi
ến đường thẳng thành đường thẳng.
c.
f
bi
ến hai đường thẳng song song thành hai
đư
ờng thẳng song song.
11
d.

f
bi
ến bốn đỉnh của một hình bình hành thành bốn đỉnh của một hình
bình hành.
e.
f
không làm thay đ
ổi tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng.
Gi
ải:
a. Gi
ả sử
f
bi
ến b
a đi
ểm
, ,A B C
không th
ẳng hàng thành ba điểm
, , ,
, ,A B C
th
ẳng hàng.
Lấy M bất kỳ:
NBCAM 
,
:f M M
1 1 1 1
1

( 1)( )
. 1
1 1 1 1
( )( 1)
1
p d q
p q d
p d q
d p q
f
 
  
 
,
N N
Do
, ,B N C
th
ẳng hàng
,,,
CBN 

Do
, ,A M N
thẳng hàng
,,,
MAN 

T
ừ

,   mâu thu
ẫn.
V
ậy
f
bi
ến ba điểm
A,B,C
không th
ẳng hàng thành ba điểm
, , ,
A ,B ,C
không th
ẳng
hàng.
b. Cho d b
ất kỳ. Tr
ên d lấyA, B
sao cho .
,
:f A A
,
B B
G
ọi d’ là đường thẳng đi qua
, ,
,A B
.
L
ấy

, ,M d M A M B  
, và
,
( )f M M
.
Do
, ,A M B
th
ẳng hàng

,,,,
)(, ddfdM 
1)
Ngư
ợc lại:
dM 
,
,
, , ,
, ,A B C
th
ẳng hàng.
Do
f
là song ánh nên
)()(:
,,,
dfdNNfdN 
2)
T

ừ
1), 2) 
f
bi
ến đ
ường thẳng thành đường thẳng.
12
c. Cho 2 đư
ờng thẳng
,a b
song song v
ới nhau.
Theo b)
,
:f a a
,
b b
Gi
ả
s
ử

, , ,
I a b 
,
I a

1 ,
( )f I a




,
I b

1 ,
( )f I b



T
ừ
,  
a b I 
mâu thu
ẫn)
V
ậy a’song song b’
d.
f
bi
ến
, , , ,
ABCD A B C D
.
Cho
ABCD
là hình bình hành có AB//CD, AD//BC
Song ánh
,

:f A A
,
,
,
B B
C C
D D



Theo c
f
: AB//CD  A’B’//C’D’
AD//BC  A’D’//B’C’

, , , ,
, , ,A B C D
là b
ốn đỉnh của một h
ình bình hành.
e. Gi
ả sử
C  k
1
’’C’  k
2
,
,
,
:f A A

B B
C C



(1)
Ta c
ần chứng minh
k
1
= k
2
Gi
ả sử
k
1
 k
2
Khi đó: D’d’: ’ ’ C’)  k
1
V
ậy
,
,
,
:f A A
B B
C C




là phép afin
T
ừ
, 2  vô lý vì
f
là song ánh.
13
 k
1
= k
2
b
ảo
toàn t
ỉ số đ
ơn
.
Bài 2: Cho phép afin f và hai đi
ểm A,B phân biệt .Chứng minh rằng nếu
   
BAf 
và
   
ABf 
và I là trung đi
ểm AB thì
 
IIf 
.

Gi
ải
Ta có f là phép afin
A và B là hai đi
ểm phân biệt
 
BAf 
,
 
ABf 
G
ọi I là trung điểm của AB
G
ỉa sử
 
'IIf 
Do f là phép afin nên f b
ảo toàn tỉ số đơn
 
ABI
IBIA 
   
AIBI
IBfIAf
'' 


I’ là trung đi
ểm AB
Theo tính ch

ất duy nhất của trung điểm
 
'
'
IIf
II


Bài 3 trang 202:
Cho t
ứ giác ABCD. Gọi
f
là phép Afin sao cho
( ) , ( ) , ( ) , ( )f A B f B A f C D f D C   
.
Ch
ứ
ng minh:
a. N
ếu d là đường thẳng đi qua trung điềm của AB và CD t
hì
f
bi
ến mọi
đi
ểm của d th
ành chính nó.
b. Tứ giác ABCD là hình thang.
Gi
ải

:
a. G
ọi M,
N l
ần lượt là trung điểm của A,B.
Ta có:
( )
( )
f M N
f N M





M
ọi điểm của đường thẳng d (đi qua M, N) đều biến thành chính nó.
Ta ch
ứng minh rằng
AB CD
.
Gi
ả sử
AB CD I 
14
( )I AB
ta có
( )
( )
f A B

f B A





,
( )f I I 
( )I CD
ta có
( )
( )
f C D
f D C





,
( )f I I 
.
,
I I 
V
ậy ta có
, ,I M N
là ba đi
ểm bất động.
f

là đ
ồng nhất (vô lý)
AB CD
hay ABCD là hình thang.
Bài 4: Ch
ứng minh rằng nếu phép afin f biến mỗi đường thẳng a thành đường
th
ẳng a’ song song hoặc tr
ùng với a thì f là phép tịnh tiến hoặc là phép vị tự.
Gi
ải
Gi
ả sử
f
là phép bi
ến đổi tuyến tính liên kết với phép afin f
Ta ch
ứng minh rằng tồn tại một số k sao cho với mọi
u
b
ất kỳ có :
( )f u ku
  
Th
ật vậy với vect
ơ
u
b
ất kỳ ta lấy hai điểm M,N sao cho
uMN 

N
ếu gọi
 
MfM '
và
 
NfN '
và
''' uNM 
Thì theo
đ
ịnh nghĩa của
f
ta có :
( ) 'f u u
  
Nhưng v
ì f bi
ến đường thẳng MN thành đường thẳng M’N’ nên theo giả thiết
''// NMMN
b
ởi vậy
( )f u ku
  
.
Tương t
ự như vậy ,đối với vectơ
v

ta c

ũng có
( ) 'f v k v
  
.Tuy nhiên ta ch
ứng minh
đư
ợc
'k k
Th
ật vậy, nếu đặt vectơ
w u v 
  
, thì ta c
ũng có
( ) '' ''( ) '' ''f w k w k u v k u k v    
      
.Nhưng vì
f
biến đổi tuyến tính nên
( ) ( ) ( ) ( ) 'f w f u v f u f v ku k v     
          
.T
ức là
' '' ''ku k v k u k v  
   
T
ừ đó ta suy ra nếu
v

và

u
không c
ộng tuyến thì
'', ' ''k k k k 
, v
ậ
y
'k k
.
Còn n
ếu
v

và
u
c
ộng tuyến ta lấy một vect
ơ
z

không c
ộng tuyến với vect
ơ
u
thì
( )f z kv
  
Bây gi
ờ ta lấy k=1 th
ì với mọ

i c
ặp điểm M,N v
à ảnh của chúng là M’.,N’ ta có
' 'MN M N
 
.V
ậy
' 'MN M N
 
V
ậy f tịnh tiến theo vectơ
'MM v
 
.
N
ếu
1k 
(chú ý r
ằng nếu
0k 
) thì v
ới cặp điểm M,N và ảnh của ch
úng ta có
' 'M N kMN
 
suy ra hai đư
ờng thẳng MM’ v
à NN’ cắt nhau tại O và
,OM kOM ON kON 
   

V
ậy f là phép vị tự tâm O tỉ số k.
Bài 5 trang 203:
15
Có bao nhiêu phép bi
ến một tam giác đã cho thành chính nó?
Giải:
Gi
ả sử
321
AAA
là tam giác đ
ã cho.
Ký hi
ệu (i, j, k) là một hoán vị nào đó của bộ
ba s
ố (1, 2, 3) th
ì có một phép afin duy nhất biến tam giác
321
AAA
thành tam
giác
kji
AAA
. V
ậy có tất cả 3
=6 phép afin bi
ến tam giác
321
AAA

thành chính nó.
Bài 6: Cho hai t
ứ giác ABCD và A’B’C’D’.Với điều kiện nào thì có phép afin f
bi
ến các đỉnh A,B,C,D lần lượt thành các đỉnh A’,B’,C’,D’?
Giải
Vì ba
điểm A,B,C cũng như ba điểm A’,B’,C’ không thẳng hàng cho nên có một
phép afin f duy nh
ấ
t bi
ến A,B,C lần lượt thành A’,B’C’
G
ọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
I’ là giao đi
ểm của hai đ
ường chéo A’C’ và B’D’
Phép afin f bi
ến D thành D’ khi và chỉ khi nó biến I thành I’.
Đi
ều đó xảy ra khi và chỉ khi
   
, , ', ', 'A B I A B I
và
   
',',',, IDBIDB 
Bài 7 trang 203:
M
ỗi đường chéo
c

ủa ngũ giác ABCDE song song với một cạnh của nó.
Ch
ứng minh rằng có phép afin biến các đỉnh A, B, C, D, E lần l
ượt thành các
đ
ỉnh B, C, D, E, A.
Gi
ải:
Các đư
ờng chéo của ngũ giác ABCDE cắt nhau tạ
o thành ng
ũ giác IJKLM.
Theo gi
ả thiết
ta có:
ABCJ, BCDI, CDEM, DEAL, EABK là
những hình bình hành .Từ các đường thẳng
song song, ta suy ra:
AD
BC
LD
LB
ML
MB
EC


Tương t
ự ta được:
DB

EA
CA
DE
BE
CD
AD
BC
EC


G
ọi f là phép afin biến ba điểm
A, B, C l
ần lượt thành ba điểm B,
C, D. Khi đó
hình thang BCDE’ sao cho BE’//CD và
AD
BC
BE
CD

'
.
T
ừ đó suy ra E’ trùng E, vậy
f
bi
ến D thành E.
Tương t
ự

f
bi
ến E thành A.
I
J
K
M
L
A
D
E
C
B
16
Bài 8: Tìm bi
ểu thức tọa độ của phép afin biến các điểm
     
0,3,2,0,0,1 CBA
l
ần lượt
thành các điểm
     
1,2',4,1',3,2'  CBA
Gi
ải
Bi
ểu thức tọa độ của phép biến đổi afin có dạng:






2
1
'
'
adycxy
abyaxx
Vì nó bi
ến ba điểm A,B,C thành A’,B’,C’ nên :





































13
23
42
12
3
2
31
32
24
21
3
2
2
1

2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
ac
aa
ad
ab
ac
aa
ac
aa
ad
ab
ac
aa
Ta có :
1
2 aa 
thay vào phương tr
ình :
 
11
44

223
23
1
1
11
1




aa
a
aa
aa
T
ừ phương trình
22
33 acac 
thay vào phương tr
ình:
 
12
84
133
13
2
2
22
2





ca
a
aa
ac
Tương t
ự từ ph
ương trình :
12212
1
 bbab
Và
22242
2
 ddad
V
ậy ta có biểu thức tọa độ l
à:





2'
1'
yxy
yxx
Bài 9 trang 203:

Tìm bi
ểu thức tọa độ của phép afin
đ
ảo ngược của phép afin sau đây
:







953
732
,
,
yxy
yxx
Gi
ải:
G
ọi M(x; y)

M’=
f
(M)= (x’; y’)
V
ậy M(x; y)
=
1

f
( M’)





3'2'3
8'3'5
yxy
yxx

1
f
là:





323'
835'
yxy
yxx
17
Bài 10: Cho hai phép afin:
Phép f:
' 2 5
' 3 7
x x y

y x y
  


  

Phép g:
' 4
' 2 5
x x y
y x y
  


   

Tìm bi
ểu thức tọa độ của g
o
f và f
0
g
Xét f:
' 2 5
' 3 7
x x y
y x y
  



  

A(0,0); B(1,0); C(1,0)
f(A):
' 2.0 0 5
' 3.0 0 7
x
y
  


  

' 2 8
' 4 3 24
x x y
y x y
   


  


f(A)= (-5,7)
f(B):
' 2.1 0 5
' 3.1 0 7
x
y
  



  


f(B)= (-3,10)
f(C):
' 2.0 1 5
' 3.0 1 7
x
y
  


  


f(C)=(-4,6)
xét g:
' 4
' 2 5
x x y
y x y
  


   

g(f(A)):
' 5 7 4

' 5 2.7 5
x
y
   


  


g(f(A))=(-8,24)=A’
g(f(B)):
' 3 10 4
' 3 2.10 5
x
y
   


  


g(f(B))=(-9,28)=B’
g(f(C)):
' 4 6 4
' 4 2.6 5
x
y
   



  


g(f(C))=(-6,21)=C’
Ta có A(0,0); B(1,0); C(0,1); A’(-8,24); B’(-9,28); C’(-6,21)
Bi
ểu thức tọa độ của g
0
f là:
18
'
' ' '
x ax by c
y a x b y c
  


  

8
24 '
9
28 ' '
6
21 ' '
c
c
a c
a c
b c

b c
 





  

 


  

 


8
1
2
' 4
' 3
' 24
c
a
b
a
b
c
 



 







 



V
ậy biểu thức tọa độ của g
0
f là
' 2 8
' 4 3 24
x x y
y x y
   


  

Tương t
ự ta xét biểu thức tọa độ của f
0

g:
Xét g:
' 4
' 2 5
x x y
y x y
  


   

A(0,0); B(1,0); C(0,1)
g(A)=
8
14 '
9
18 ' '
8
9 ' '
c
c
a c
a c
b c
b c







 

 


 

 

' 0 0 4
' 0 2.0 5
x
y
  


   


g(A)=(4,5)
g(B)=
' 1 0 4
' 1 2.0 5
x
y
  


   



g(B)=(5,4)
g(C)=
' 0 1 4
' 0 2.1 5
x
y
  


   


g(C)=(3,7)
xét f:
' 2 5
' 3 7
x x y
y x y
  


  

19
f(g(A))=
' 2.4 5 5
' 3.4 5 7
x

y
  


  


f(g(A))=(8,14)=A’’
f(g(B))=
' 2.5 4 5
' 3.5 4 7
x
y
  


  


f(g(B))=(9,18)=B’’
f(g(C))=
' 2.3 7 5
' 3.3 7 7
x
y
  


  



f(g(C))=(8,9)=C’’
V
ậy ta có A(0,0); B(1,0); C(0,1); A’’(8,14); B’’(9,18); C’’(8,9)
Bi
ểu thức tọa độ của f
0
g là :
'
' ' ' '
x ax by c
y a x b y c
  


  

8
14 '
9
18 ' '
8
9 ' '
c
c
a c
a c
b c
b c







 

 


 

 


8
' 14
1
' 4
0
' 5
c
c
a
a
b
b














 

V
ậy biể
u th
ức tọa độ của
f
0
g là:
' 8
' 4 5 14
x x
y x y
 


  

Bài 11 trang 203:
Cho phép afin:








634
1243
,
,
yxy
yxx
Tìm
ảnh và tạo ảnh của đường thẳng (d): 2x + y
-1 =0
a. Tìm trên
đư
ờng thẳng (D)
: 7x -2y -24=0 t
ại một điểm sao cho ảnh của
nó n
ằm trên đường th
ẳng đó.
20
b. Tìm
đường thẳng đi qua điểm A(1; 1) sao cho ảnh của đường thẳng đó
c
ũng đi qua A.
Gi

ải:
a) Nếu điểm M (x; y) nằm trên đường thẳng (d) và ảnh của nó là M’(x’; y’)








634'
1243'
012
yxy
yxx
yx









310'
85'
21
xy
xx

xy

2x’+ y’ – 13=0
V
ậy M’ nằm trên đường thẳng
: 2x+y –13= 0 đó chính là
ảnh
f
(d) c
ủa (d).
N
ếu M’(
,,
; yx
) n
ằm tr
ên đường thẳng (d)
: 2x+y –1=0.
G
ọi M
(x,y) là t
ạo ảnh của M th
ì:
2(3x + 4y -12) + (4x - 3y + 6) –1 = 0

10x + 5y -19 = 0

là phương tr
ình của
1

f
(d).
b) Gi
ả sử
:
);(
000
yxM

(D)

02427
00
 yx
(1).
Ảnh M’ c
ủa M có tọa độ
1243'
000
 yxx
0
'M

(D)

024'2'7
00
 yx

7(

1243
00
 yx
)-2(
634
00
 yx
) -24= 0

01203413
00
 yx
(2)
T
ừ (1),
(2) ta đư
ợc hệ:





01203413
02427
00
00
yx
yx







2
4
0
0
y
x
c) T
ừ biểu thức tọa độ của phép biến đổi afin đ
ã cho ta suy ra:







663425
124325
,,
,,
yxy
yxx
(3)
G
ọi


là đư
ờng thẳng đi qua điểm A(1; 1):
a(x-1) + b(y-1) = 0
21

a(25x - 25)+b(25y - 25) = 0 (4)
Thay (3) vào (4) ta đư
ợc:
a(3x’+4y’+12) + b(4x’- 3y’+66) = 0

(3a + 4b)x’+ (4a - 3b)y’ - 13a + 41b = 0 (*)
(*) là phương tr
ình của đường thẳng
f
(

). Đ
ể
đư
ờng thẳng đó đi qua A(1;1)
Ta có đi
ều kiện: 3a + 4b + 4a
- 3b - 13a + 41b = 0

-6a+42b = 0
Ch
ọn a = 7 và b=1
:

7x + y -8 = 0

Bài 12: Tìm
đi
ểm bất động và đường thẳng bất động (tức là đường thẳng biến
thành chính nó) cùa các phép afin sau đây:
a/
' 7 1
' 4 2 4
x x y
y x y
  


  

b/
13 8
'
5 5 5
4 7 4
'
5 5 5
a
x x y
y x y

  





  


Gi
ải
a/Đi
ểm bất động:
Gi
ải hệ phương trình
7 1
4 2 4
x x y
y x y
  


  

ta đư
ợc điểm bất động l
à
1
; 2
2
A
 
  
 
 
.

Đư
ờng thẳng bất biến :
N
ếu đ
ường thẳng (d)
có
ảnh l
à đường thẳng (d’) và phương trình của (d’) là
' ' 0Ax By C  
thì ph
ương trình của (d) là:
   
7 1 4 2 4 0A x y B x y C      
Hay:
   
7 4 2 4 0A B x A B y A B C       
Đ
ể hai đường thẳng (d) và (d’) trùng nhau ta cần có điều kiện:
7 4 2 4A B A B A B C
A B C
    
 
(*)
T
ừ đẳng thức với dấu bằng đầu ti
ên ta suy ra:
2 2
5 4 0A AB B  
hay
   

4 0A B A B   