Tích phân xác định nguyên hàm lớp 12 Lý khóa 2005- 2008 ppt

Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh
Trường Phổ Thông Năng Khiếu
1
2
3
4
•
Xét bài toán: tính diện tích hình thang cong
aABb, giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục
y=f(x), f(x) ≥ 0, trục Ox và hai đường thẳng
x=a, x=b.
•
Giả thiết rằng hàm số y=f(x) đơn điệu, chẳng
hạn như y=f(x) đồng biến trên đoạn [a;b]
•
Kí hiệu S(x) là diện tích giới hạn bởi đồ thị (C)
của hàm số y=f(x), trục Ox, hai đường thẳng đi
qua hai điểm a và x (a ≤ x ≤ b) trên trục hoành
và song song với Oy.
5
•
Ta sẽ chứng minh rằng S(x) là một nguyên
hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] hay ta
sẽ chứng minh với x0 tuỳ ý thuộc (a;b) ta sẽ
có đạo hàm của S(x) tại x
0
và S’(x
0
)=f(x
0
)

•
Trường hợp 1: x
0
< x ≤ b: Khi đó S(x) – S(x
0
)
là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ
thị (C), Ox và hai đường thẳng song song với
Oy đi qua x và x
0
.
(1)
0
0 0 0 0
0
0
0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
MNPQ MNEF
S S x S x S
x x f x S x S x x x f x
S x S x
f x f x
x x
≤ − ≤
⇔ − ≤ − ≤ −
−

⇔ ≤ ≤
−
6
•
Trường hợp 2: a ≤ x < x
0
(2)
•
Từ (1) và (2) suy ra:
(3)
vì f(x) liên tục tại x0 nên:
0
0
0
( ) ( )
( ) ( )
S x S x
f x f x
x x
−
≤ ≤
−
0
0 0
0
( ) ( )
0 ( ) ( ) ( )
S x S x
f x f x f x
x x

−
≤ − ≤ −
−
0
0 0 0
lim ( ) ( ) ( ) ( ) 0
x x
f x f x f x f x khi x x
→
= ⇔ − → →
7
•
Do đó từ (3) ta có:
•
Điều đó có nghĩa là tồn tại đạo hàm S’(x) tại
x0 và
S’(x) = f(x
0
)
•
Vậy S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên
khoảng (a;b)

x
0
=a => S’(a
+
) = f(a)

x

0
=b => S’(b
-
) = f(b)
•
Kết Luận: S(x) là một nguyên hàm trên cả
đoạn [a;b]
0
0
0
0
( ) ( )
lim ( )
x x
S x S x
f x
x x
→
−
=
−
8
•
Từ phép chứng minh trên ta có:
S= S(b)
•
Nếu F(x) là một nguyên hàm nào đó của f(x)
trên đoạn [a;b] thì tồn tạI một hằng số C
sao cho:
S(x) = F(x) + C

=> S(a) = F(a) + C = 0
=> C= - F(a)
•
Vậy : S(x) = F(x) – F(a)
•
Do đó diện tích hình thang cong aABb bằng
S= F(b) - F(a)
9
ĐỊNH LÝ:
•
Giả sử y=f(x) là một hàm số liên tục và f(x)
≥ 0 trên đoạn [a;b], thì diện tích của hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm
y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a và
x=b là
Trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kì của
f(x) trên đoạn [a;b]
( ) ( )S F b F a= −
10
11
•
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên một
khoảng K, a và b là hai phần tử bất kì của K,
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K.
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ
a đến b của f(x) và được kí hiệu là:
•
Ta cũng dùng kí hiệu để chỉ kí hiệu số
F(b) – F(a).
( )

b
a
f x dx
∫
( ) |
b
a
F x
12
•
Vậy theo định nghĩa ta có:
(1)
•
Dấu ∫ là dấu tích phân, biểu thức f(x)dx là
biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số
dưới dấu tích phân, f(x)dx là vi phân của
mọi nguyên hàm của f(x), a và b được gọi là
các cận của tích phân, a là cận dưới, b là cận
trên, x là biến số của tích phân. Công thức
(1) được gọi là công thức Newton - Leibniz .
( ) ( ) | ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫
13
•
Ví dụ:

•
Chú ý: Tích phân chỉ phụ thuộc vào f,
a và b mà không phụ thuộc vào cách kí hiệu
biến số tích phân.
•
Vì vậy ta có thể viết:
( )
1
1
3
2 3 3
0
0
1 1
1 0
3 3 3
x
x dx = = − =
∫
1
1
ln ln ln1 1
e
e
dx
x e
x
= = − =
∫
( )

b
a
f x dx
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
F a F b f x dx f u du f t dt v v− = = = =
∫ ∫ ∫
14
•
Ý nghĩa hình học của tích phân:
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên
đoạn [a;b]thì tích phân là diện tích
của hỉnh thang cong giới hạn bởi đồ thị của
hàm số y = f(x),trục Ox và hai đường thẳng
x = a và x = b.
( )
b
a
f x dx
∫
15
16
•
Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên
khoảng K và a, b, c là ba điểm của K, dựa vào
định nghĩa của tích phân, ta dễ dàng chứng
minh được các tính chất:
1.

2.
3.
( ) 0
a
a
f x dx =
∫
( ) ( )
a b
b a
f x dx f x dx= −
∫ ∫
( ) ( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx k R= ∈
∫ ∫
17
4.
5.
6. trên đoạn [a;b] ->
7. trên đoạn [a;b]
->
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )

c b c
a a b
f x dx f x dx f x dx= +
∫ ∫ ∫
( ) 0f x ≥
( ) 0
b
a
f x dx ≥
∫
( ) ( )f x g x≥
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≥
∫ ∫
18
8. trên đoạn [a;b]
->
9. t biến thiên trên đoạn [a;b]
-> là một nguyên hàm
của
f(t) và G(a) = 0
( )m f x M≤ ≤
( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a− ≤ ≤ −
∫
( ) ( )

t
a
G t f x dx=
∫
19
•
Chứng minh các công thức:
(4)
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x).
G(x) là một nguyên hàm của g(x) thì F(x)+
G(x) là một nguyên hàm của f(x)+g(x).
Theo định nghĩa ta có:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
b
a
b b
a a
f x g x dx F b G b F a G a
F b F a G b G a
f x dx g x dx
+ = + − +
= − + −
= +
∫
∫ ∫
20

(6)
Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x), ta có:
trên đoạn [a;b]. Do đó
F(x) không giảm trên đoạn [a;b]. Vì vậy:
a<b => F(a)≤F(b), cho nên
'( ) ( ) 0F x f x= ≥
( ) ( ) ( ) 0
b
a
f x dx F b F a= − ≥
∫
21
(7)
Công thức (7) là hệ quả của (6). Thật vậy,
f(x)≥g(x) trên đoạn [a;b] => f(x)-g(x)≥0
trên đoạn [a;b].
Theo (6) ta có:
[ ]
( ) ( ) 0 ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx− ≥ ⇒ ≥
∫ ∫ ∫
22
(8)
Vì m, M là hai hằng số nên:
và
Áp dụng (7), ta có m≤f(x)≤M trên đoạn
[a;b]
( )

b
a
mdx m b a= −
∫
( )
b
a
Mdx M b a= −
∫
( )
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
b
a
mdx f x dx Mdx
m b a f x dx M b a
⇒ ≤ ≤
⇒ − ≤ ≤ −
∫ ∫ ∫
∫
23