Xác định nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 22
Vấn đề 5: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Công thức tính tích phân từng phần: udvuvvdu.=-
òò

Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác đònh If(x)dx.=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:
12
If(x)dxf(x).f(x)dx.==
òò

+ Bước 2: Đặt:
1
2
uf(x)
du
dvf(x)dxv
=
ì
ì
Þ
íí
=
ỵ

ỵ

+ Bước 3: Khi đó: Iuvvdu.=-
ò

Ví dụ 1: Tích tích phân bất đònh:
2
2
xln(xx1)
I
x1
++
=
+
ò
.
Giải:
Viết lại I dưới dạng:
2
2
x
Iln(xx1)dx.
x1
=++
+
ò

Đặt :
2
2

22
2
2
1x
uln(xx1)
dx
x1
du
x
xx1x1
dv
x1
vx1
+
ì
ì
ï
=++
+
ï
ï
==
Þ
íí
+++
=
ïï
+
ỵ
ï

=+
ỵ

Khi đó:
2222
Ix1ln(xx1)dxx1ln(xx1)xC.=+++-=+++-+
ò

Ví dụ 2: Tích tích phân bất đònh: Icos(lnx)dx.=
ò

Giải:
Đặt :
1
ucos(lnx)
dusin(lnx)dx
x
dvdx
vx
-
ì
=
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï

=
ỵ

Khi đó: Ixcos(lnx)sin(lnx)dx.=+
ò
(1)
Xét Jsin(lnx)dx.=
ò

Đặt:
1
usin(lnx)
ducos(lnx)dx
x
dvdx
vx.
ì
=
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó: Jx.sin(lnx)cos(lnx)dxx.sin(lnx)I=-=-

ò
(2)
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 23
Thay (2) vào (1), ta được:
x
Ix.cos(lnx)x.sin(lnx)II[cos(lnx)sin(lnx)]C.
2
=+-Û=++
Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu tính giá trò của một cặp tích phân:
12
Isin(lnx)dxvàIcos(lnx)dx==
òò

ta nên lựa chọn cách trình bày sau:
· Sử dụng tích phân từng phần cho I
1
, như sau:
Đặt :
1
usin(lnx)
ducos(lnx)dx
x
dvdx
vx
ì
=
=
ì
ï

Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:
12
Ix.sin(lnx)cos(lnx)dxx.sin(lnx)I.(3)=-=-
ò

· Sử dụng tích phân từng phần cho I
2
, như sau:
Đặt :
1
ucos(lnx)
dusin(lnx)dx
x
dvdx
vx
ì
=
=-
ì
ï
Þ
íí

=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:
21
Ix.cos(lnx)sin(lnx)dxx.cos(lnx)I.(4)=-=+
ò

· Từ hệ tạo bởi (3) và (4) ta nhận được:


12
xx
I[sin(lnx)cos(lnx)]C.I[sin(lnx)cos(lnx)] C.
22
=-+=++

Ví dụ 3: Tích tích phân bất đònh:
2
ln(cosx)
Idx.
cosx
=
ò

Giải:
Đặt :

2
uln(cosx) sinx
dudx
cosx
dx
dv
vtgx
cosx
=
ì ì
=-
ïï
Þ
íí
=
ïï
=
ỵ
ỵ

Khi đó:
2
2
1
Iln(cosx).tgxtgxdxln(cosx).tgx1dx
cosx
ỉư
=+=+-
ç÷
èø

òò

ln(cosx).tgxtgxxC.=+-+

Bài toán 2: Tính IP(x)sinxdx(hoặcP(x)cosxdx)=aa
òò
với P là một đa thức thuộc
*
R[X]vàR.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 24
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
· Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt :
duP'(x)dx
uP(x)
.
1
dvsinxdx
vcosx
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=a
=-a

ỵ
ï


+ Bước 2: Khi đó:
11
IP(x)cosP'(x).cosx.dx.=-a+a
aa
ò

+ Bước 3: Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ “khử” được đa thức.
· Cách 1: (Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Ta có: IP(x)cosxdxA(x)sinxB(x)cosxC.(1)=a=a+a+
ò

trong đó A(x) và B(x) là các đa thức cùng bậc với P(x).
+ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:
P(x).cosx[A'(x)B(x)].sin[A(x)B'(x)].cosx (2)a=+a++
Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh ta xác đònh được các đa thức A(x) và B(x)
+ Bước 3: Kết luận.
Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x) lớn hơn hoặc bằng 3 ta thấy ngay cách 1 tỏ ra quá
cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện thủ tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần.
Do đó ta đi tới nhận đònh chung sau:
– Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1.
– Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chọn cách 2.
Ví dụ 4: Tính :
2
Ix.sinxdx=
ò
(ĐHL_1999)

Giải:
Biến đổi I về dạng cơ bản:

2
1cos2x1111
Ixdxxdxxcos2xdxxxcos2xdx(1)
22242
-
ỉư
==-=-
ç÷
èø
òòòò

Xét Jxcos2xdx.=
ò

Đặt :
2
dx
dudx
ux
x1
dvcos2xdx
1
vsin2x
2
ì
==
ï

=
ì
ï
+
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ï
ỵ

Khi đó:
x1x1
Jsin2xsin2xdxsin2xcos2xC.
2224
=-=++
ò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
2
1x1
Ixsin2xcos2xC.
448
=+++
Ví dụ 5: Tính :
32
I(xx2x3)sinxdx.=-+-
ò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 25
Giải:
Ta có:
32
I(xx2x3)sinxdx=-+-
ò


3232
11112222
(axbxcxd)cosx(axbxcxd)sinxC(1)=++++++++
Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:

3232
2121212
32
1212121
(xx2x3)sinx[ax(3ab)x(2bc)xcd].cosx
[ax(3ab)x(2bc)xcd].sinx(2)
-+-=++++++-
-----+-

Đồng nhất đẳng thức, ta được:

22
1221
1221
1221

a0a1
3ab03ab1
(I)và(II)
2bc02bc2
cd0cd3
=-=
ìì
ïï
+=-=-
ïï
íí
+=-=
ïï
ïï
+=-+=-
ỵỵ

Giải (I) và (II), ta được:
11112222
a1,b1,c4,d1,a0,b3,c2,d4.=-======-=-
Khi đó:
322
I(xx4x1)cosx(3x2x4)sinxC.=-++++-++

Bài toán 3: Tính
( )
axax
Iecos(bx)dxhoặcesin(bx)vớia,b0.=¹
òò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
· Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt :
ax
ax
dubsin(bx)dx
ucos(bx)
.
1
ve
dvedx
a
=-
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
axax
1b
Iecos(bx)esin(bx)dx.(1)

aa
=+
ò

+ Bước 2: Xét
ax
Jesin(bx)dx.=
ò

Đặt
ax
ax
dubcosx(bx)dx
usin(bx)
1
ve
dvedx
a
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
axaxax
1b1b
Jesin(bx)ecos(bx)dxesin(bx)I.(2)
aaaa
=-=-
ò

+ Bước 3: Thay (2) vào (1), ta được:
ãax
1b1b
Iecos(bx)[esin(bx)I]
aaaa
=+-

ax
22
[a.cos(bx)b.sin(bx)e
IC.
ab
+
Û=+
+

· Cách 2: (Sử dụng phương pháp hằng số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước :
+ Bước 1: Ta có:
axax
Iecos(bx)dx[Acos(bx)B.sin(bx)]eC.(3)==++
ò

trong đó A, B là các hằng số.
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 26
+ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (3), ta được:

axaxax
ax
e.cos(bx)b[Asin(bx)Bcos(bx)]ea[Acos(bx)Bsin(bx)]e
[(AaBb).cos(bx)BaAb)sin(bx)]e.
=-+++
=++-

Đồng nhất đẳng thức, ta được:
22
22
a
A
AaBb1
ab
BaAb0b
B
ab
ì
=
ï
+=
ì
ï
+

Þ
íí
-=
ỵ
ï
=
ï
+
ỵ

+ Bước 3: Vậy:
ax
22
[a.cos(bx)b.sin(bx)]e
IC.
ab
+
=+
+

Chú ý:
1. Nếu bài toán yêu cầu tính giá trò của một cặp tích phân:

axax
12
Iecos(bx)dxvàIesin(bx)dx.==
òò

ta nên lựa chọn cách trình bày sau:
· Sử dụng tích phân từng phần cho I

1
, như sau:
Đặt:
ax
ax
dubsin(bx)dx
ucos(bx)
1
ve
dvedx
a
=-
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
axaxax
12
1b1b
Iecos(bx)esin(bx)dxecos(bx)I.(3)
aaaa

=+=+
ò

· Sử dụng tích phân từng phần cho I
1
, như sau:
Đặt:
ax
ax
dubcos(bx)dx
usin(bx)
1
ve
dvedx
a
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
axaxax

21
1b1b
Iesin(bx)ecos(bx)dxesin(bx)I.(4)
aaaa
=-=-
ò

· Từ hệ tạo bởi (3) và (4) ta nhận được:


axax
12
2222
[a.cos(bx)b.sin(bx)]e[a.sin(bx)b.cos(bx)]e
IC.IC.
abab
+-
=+=+
++

2. Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các tích phân:

ax2ax2
12
Jesin(bx)dxvàJecos(bx)dx.==
òò

Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh:
x2
Ie.cosxdx.=

ò

Giải:
Cách 1: Viết lại I dưới dạng:

xxxxx
111
Ie.(1cos2x)dx(edxe.cos2xdx)(ee.cos2xdx)(1)
222
=+=+=+
òòòò

· Xét
x
Je.cos2xdx.=
ò