CHƯƠNG 2 GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ potx

CHƯƠNG 2
GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
§2.2. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Mở đầu. Khi
*
xx
thì
3
x
có tiến về
3
*
x
hay không? Nếu có thì
tại sao? Vấn đề này mở đầu cho khái niệm hàm số liên tục.
1. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Đònh nghóa. Xét hàm số
:fD
với D là một tập con không rỗng
của . Hàm số f được gọi là liên tục tại x thuộc D có nghóa là
0, 0, , nếu thì ( ) ( )t D t x f t f x
(1)
Trường hợp f liên tục tại mọi x thuộc D thì ta nói f liên tục
trên D, hoặc nói vắn tắt là f liên tục.
Hàm số f được gọi là liên tục đều trên D có nghóa là
0, 0, , , nếu thì ( ) ( )t x D t x f t f x
(2)
Ta cần phân biệt rõ là trong đònh nghóa (1),

tồn tại trên cơ
sở x và


được cho trước; còn trong đònh nghóa (2),

chỉ phụ thuộc vào
mỗi

, lúc đó x, t tự do.
Ta có đặc trưng cho tính liên tục bằng giới hạn tại các điểm
tụ như sau:
Mệnh đề 2.2.1. Cho
:fD
và x là điểm tụ của D, đồng thời x
thuộc D. Khi đó, f liên tục tại x nếu và chỉ nếu
lim ( ) ( ).
tx
f t f x

Mệnh đề trên được suy trực tiếp từ đònh nghóa của tính liên
tục và của giới hạn hàm số. Ngoài ra, khi x thuộc D nhưng x không là
điểm tụ của D thì mặc nhiên f sẽ liên tục tại x (sinh viên tự kiểm
chứng điều này).
Ngoài ra, ta cũng có đặc trưng tính liên tục của hàm số thông
qua dãy hội tụ như sau
Mệnh đề 2.2.2. Hàm số
:fD
liên tục tại x thuộc D nếu và chỉ
nếu ứng với mọi dãy
()
n
xD

hội tụ về x, ta có dãy
()
n
fx
hội tụ về
f(x).
Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
2

Chứng minh. Nếu f liên tục tại x, nghóa là ta có (1), thì với dãy bất
kỳ
()
n
xD
hội tụ về x, tồn tại số
p
sao cho
,
n
n p x x

Do đó
, ( ) ( )
n
n p f x f x
nghóa là
( ) ( ).
n
f x f x

Ngược lại, nếu f không liên tục tại x, nghóa là không có (1),
thì ta chứng minh có một dãy
()
n
xD
hội tụ về x, nhưng
()
n
fx
lại
không tiến về f(x) khi
n
. Thật vậy, phủ đònh (1) là
0, 0, , và ( ) ( )x D x x f x f x

Suy ra, với mỗi
*
n
, xét
1/n
thì
1
, và ( ) ( )
n n n
x D x x f x f x
n

Vậy ta có dãy
()
n

xD
hội tụ về x, nhưng
()
n
fx
lại không tiến về
f(x) khi
n
. Kết thúc chứng minh ■
Nhận xét. Theo mệnh đề 2.2.2 ở trên, khi chứng minh f không liên
tục tại điểm x
*
thuộc miền xác đònh, ta chỉ cần chỉ ra một dãy (x
n
)
chứa trong miền xác đònh hội tụ về x
*
, nhưng dãy (f(x
n
)) không hội tụ
về f(x
*
).

Với các tính chất của dãy hội tụ kết hợp với mệnh đề 2.2.2, ta
có tính liên tục của các hàm tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp như
sau:
Mệnh đề 2.2.3. Xét các hàm số
, : .f g D
Nếu f và g liên tục tại

xD
(hoặc liên tục trên D) thì các hàm
, .f g f g
cũng liên tục tại
x (hoặc liên tục trên D). Ngoài ra, khi
( ) 0gx
thì hàm f/g cũng liên
tục tại x, suy ra hàm số f/g liên tục trên tập hợp
{ / ( ) 0}.x D g x

Mệnh đề 2.2.4. Xét các hàm số
12
.
fg
DD
Nếu f liên
tục tại
1
xD
và g liên tục tại
2
()y f x D
thì hàm hợp
()g f g f
liên tục tại x. Suy ra nếu f liên tục trên D
1
và g liên tục
trên
12
()f D D

liên tục trên D
1
.
Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến
3

2. TÍNH CHẤT HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN
Đònh lý 2.2.5 [Đònh lý Weierstrass về hàm số liên tục]. Giả sử f là
hàm số xác đònh và liên tục trên đoạn [a, b], với
,.ab
Khi đó,
(i) f là hàm số bò chặn trên đoạn [a, b], nghóa là, tập hợp f([a, b]) là
một tập con bò chặn của
.

(ii) f đạt giá trò nhỏ nhất và lớn nhất trên [a, b], nghóa là, tồn tại
*
*
, [ , ]x x a b
sao cho

*
*
[ , ], ( ) ( ) ( ).x a b f x f x f x

Viết cách khác là
*
*
[ , ]
[ , ]

( ) min ( ) và ( ) max ( ).
x a b
x a b
f x f x f x f x

Chứng minh. (i) Giả sử phản chứng tập hợp f([a, b]) không bò chặn,
nghóa là,

0, [ , ], ( ) .
MM
M x a b f x M

Khi đó, với mỗi
*
,n
xét M = n ở trên, ta nhận được một dãy
( ) [ , ]
n
x a b
thỏa tính chất
*
, ( ) .
n
n f x n
Từ đònh lý Bolzano-
Weierstrass, (x
n
) có dãy con
[ , ]
k

n
x x a b
khi
k
. Mặt khác f
liên tục tại x nên
( ) ( )
k
n
f x f x
khi
k
, suy ra
( ) ( )
k
n
f x f x
khi
k
. Điều này mâu thuẫn với sự kiện
, ( )
k
nk
k f x n k
.
(ii) Do tính bò chặn của f, ta đặt
sup ( ).
a x b
M f x
Từ đặc trưng của sup,

ta có điều sau đây

*
1
, [ , ], ( ) .
nn
n x a b M f x M
n

Nghóa là ta có dãy
( ) [ , ]
n
x a b
thỏa
()
n
f x M
khi
.n
Mặt
khác, cũng từ đònh lý Bolzano-Weierstrass, (x
n
) có dãy con
*
[ , ]
k
n
x x a b
khi
.k

Do f liên tục nên ta suy ra
Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
4

*
( ) ( )
k
n
f x f x
, nghóa là
*
( ) .f x M

Chứng minh tương tự, f cũng đạt giá trò nhỏ nhất trên [a, b] ■
Đònh lý 2.2.6 [Đònh lý giá trò trung gian của hàm số liên tục].
(i) Nếu f liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại
( , )c a b
sao
cho f(c) = 0.
(ii) Nếu f liên tục trên [a, b] thì
([ , ]) [ , ]f a b m M
với m và M giá trò
nhỏ nhất và lớn nhất của f trên [a, b].
Chứng minh. (i) Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử
( ) 0 ( )f a f b
(trường hợp ngược lại thì thay f bởi
f
). Xét hai dãy
(a
n

) và (b
n
) chứa trong [a, b] được đònh nghóa bằng quy nạp như sau:

11
; ,a a b b


1
nếu 0
2
nếu 0
22
nn
n
n
n n n n
ab
af
a
a b a b
f

và

1
nếu 0
2
.
nếu 0

22
nn
n
n
n n n n
ab
bf
b
a b a b
f

Khi đó (a
n
) là dãy tăng, (b
n
) là dãy giảm và ta có

1
, ( ) 0 ( ) và .
2
n n n n
n
ba
n f a f b b a

Suy ra, hai dãy (a
n
) và (b
n
) có cùng giới hạn

[ , ]c a b
và từ tính liên
tục của f, ta suy ra

lim ( ) ( ) 0 và lim ( ) ( ) 0,
nn
nn
f a f c f b f c

do đó
( ) 0,fc
và dó nhiên
,.c a b

(ii) Theo đònh lý 2.2.5, f đạt giá trò nhỏ nhất m và lớn nhất M, với
**
**
( ) và ( ) ; , [ , ].f x m f x M x x a b
Hiển nhiên
([ , ]) [ , ].f a b m M

Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến
5

Tiếp theo, ứng với y bất kỳ thuộc (m, M), hàm số F đònh bởi
[ , ], ( ) ( )x a b F x f x y
sẽ thỏa
*
*
( ). ( ) 0.F x F x

Theo chứng minh
(i) thì tồn tại giá trò c nằm giữa
*
*
và xx
thỏa
( ) 0,Fc
hay là
( ) .f c y
Vậy
([ , ]).y f a b
Do y là bất kỳ thuộc (m, M) nên
( , ) ([ , ]).m M f a b
Vậy
([ , ]) [ , ].f a b m M
■
Đònh lý 2.2.7. Cho
: [ , ]f a b
là hàm số liên tục. Khi đó f liên tục
đều trên [a, b].
Chứng minh. Giả sử phản chứng là f liên tục nhưng không liên tục
đều trên [a, b], lúc đó

0, 0, , [ , ], và ( ) ( ) .x x a b x x f x f x

Vậy với mỗi
*
,n
xét
1/n

như trên thì ta có hai dãy
( ) và ( )
nn
xx
chứa trong [a, b] thỏa
1
nn
n
xx
và
( ) ( )
nn
f x f x

với mọi
*
.n
Theo đònh lý Bolzano-Weierstrass,
( ) và ( )
nn
xx
lần
lượt có các dãy con
[ , ]
k
n
x x a b
và
[ , ].
k

n
x x a b
Từ bất đẳng
thức
1
lim lim 0,
kk
nn
kk
k
x x x x
n
dùng đònh lý kẹp, ta suy ra
xx
và do tính liên tục của f,
( ) ( )
k
n
f x f x
và
( ) ( ) ( ).
k
n
f x f x f x
Do đó
0 lim ( ) ( )
kk
nn
k
f x f x

vô lý. ■
Bài tập
1. Chứng minh
33
lim
tx
tx
, nói cách khác ánh xạ
3
xx
liên tục
trên
.

2. Chứng minh
limsin sin ,
tx
tx
nói cách khác hàm sin liên tục
trên
.

3. Chứng minh
limcos cos .
tx
tx
Suy ra các hàm số tan, cot liên tục
trên miền xác đònh của nó.
4. Hãy khảo sát tính liên tục của các hàm sau tại x
*

:
a) Hàm số
:f
đònh bởi
Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
6


*
1
( 1)sin nếu 1
( ) , 1.
1
7 nếu 1
xx
f x x
x
x

b) Hàm số
:f
đònh bởi

*
1
cos nếu 1
( ) , 1.
1
 nếu 1
x

f x x
x
ax

c) Hàm số
:f
đònh bởi

*
11
sin nếu 1
( ) ; 1.
11
0 nếu 1
x
f x x
xx
x

d) Hàm số f đònh bởi
()f x x
, trong đó [x] là phần nguyên của
số thực x, với
*
2.x

e) Hàm số
:f
đònh bởi
1 nếu

()
0 nếu
x
fx
x
, với x
*
tùy ý.
5. Chứng minh hàm số f đònh bởi
2
()f x x
liên tục, nghóa là
22
lim ,
tx
xt
nhưng f không liên tục đều trên
.
Suy ra tích của
hai hàm số liên tục đều trên D không hẳn là liên tục đều.
6. Chứng minh hàm số f đònh bởi
1
()fx
x
liên tục, nhưng f không
liên tục đều trên
(0, ).

7. Chứng minh hàm số f đònh bởi
1

()fx
x
liên tục đều trên
[1, ).

8. Cho
:f D D
, với
,D
là hàm số tăng, nghóa là
, , nếu thì ( ) ( ).x y D x y f x f y
Cho
1
uD
và đặt
1
( ).
nn
u f u
Chứng minh dãy số (u
n
) đơn điệu. Nếu thêm giả
thiết D = [a, b] và f liên tục thì chứng minh dãy (u
n
) hội tụ về L
thỏa L = f(L).