Nghiên cứu dao động của hệ con lắc ngược có lắp đặt hệ thống giảm dao động TMD pdf

Nghiên cứu dao động của hệ con lắc ngược có lắp đặt
hệ thống giảm dao động TMD
1. Mở đầu
Trong thực tế, nhiều công trình có mô hình ở dạng con lắc ngược như nhà cao tầng, tháp vô
tuyến, giàn khoan, công trình biển…Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, các công
trình ngày càng lớn về chiều dài và chiều cao. Sự gia tăng về quy mô kết cấu sẽ dẫn đến các
đáp ứng động lực phức tạp của kết cấu và sẽ sinh ra các dao động. Các dao động này thường
có ảnh hưởng xấu đến điều kiện làm việc, làm giảm độ bền của công trình, vì vậy nghiên cứu
các dao động này và làm giảm dao động có hại là vấn đề đang được quan tâm. Bài báo này
trình bày việc thiết kế lập mô hình cơ học và mô hình toán học để xác định dao động thẳng
đứng và lắc ngang của kết cấu có dạng con lắc ngược có sử dụng bộ hấp thụ dao động. Trên
cơ sở phương trình thu được tác giả đã sử dụng phần mềm Maple 10 mô phỏng ảnh hưởng
của bộ hấp thụ dao động đến dao động thẳng đứng và lắc ngang của con lắc ngược. Các kết
quả và quy luật chuyển động của hệ con lắc ngược thu được sẽ được tiếp tục sử dụng cho việc
nghiên cứu, phân tích, tính toán, thiết kế tối ưu tìm các thông số của bộ hấp thụ dao động, để
giảm dao động cho các công trình có dạng hệ con lắc ngược một cách tốt nhất.
2. Mô hình tính toán của cơ cấu con lắc ngược có gắn bộ hấp thụ dao động.
Trên hình vẽ biểu diễn sơ đồ của con lắc ngược có khối lượng M, cách nền ngang một khoảng
L
4
, thanh đỡ con lắc ngược có khối lượng m trọng tâm đặt tại G cách nền ngang một khoảng
L
3
, liên kết giữa nền ngang và con lắc ngược được thay bằng hai lò xo – lò xo xoắn có độ
cứng k
s,
và lò xo có độ cứng k
3
.
Để giảm dao động cho cơ cấu ta có lắp vào hệ hai bộ hấp thụ dao động TMD. Bộ hấp thụ dao
động TMD –N để giảm dao động tắt ngang, bộ hấp thụ dao động TMD-D để giảm dao động

theo phương thẳng đứng của con lắc ngược.
Bộ hấp thụ dao động TMD-N được lắp tại vị trí cách nền ngang một khoảng L
2
, có khối lượng
M
1
, liên kết với con lắc ngược bởi một lò xo có độ cứng k
1
và một bộ cản nhớt tuyến tính có
hệ số cản c
1
.
Bộ hấp thụ dao động TMD-D được lắp tại vị trí cách nền ngang một khoảng L
5
gồm một vạt
có khối lượng M
2
, liên kết với con lắc ngược bởi một lò xo có độ cứng k
2
và một bộ càn nhớt
tuyến tính cs hệ số cản c
2
.
3. Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ con lắc ngược.
Cớ hệ có 4 bậc tự do ta chọn φ
1
, U
0
, U
1

, U
2
là toạ độ suy rộng của cơ hệ.
Trong đó: φ
1
là góc quay của con lắc ngược; U
0
là dịch chuyển của bộ TMD-D; U
1
là dịch
chuyển của con lắc ngược theo phương thẳng đứng; U
2
là dịch chuyển của bộ TMD-N.
ta có phương trình Lagrăng II cho cơ hệ:
1
11
)(
ϕ
ϕϕ
Q
TT
dt
d
=
∂
∂
−
∂
∂


;
0
00
)(
u
Q
u
T
u
T
dt
d
=
∂
∂
−
∂
∂

;
1
11
)(
u
Q
u
T
u
T
dt

d
=
∂
∂
−
∂
∂

;
2
22
)(
u
Q
u
T
u
T
dt
d
=
∂
∂
−
∂
∂

(1)
Trong đó:
Q

φ1
- lực suy rộng theo toạ độ φ
1
; Q
u0
- lực suy rộng theo toạ độ u
0
;
Q
u1
- lực suy rộng theo toạ độ u
1
; Q
u2
- lực suy rộng theo toạ độ u
2
; T- động năng của cơ hệ.
1
3.1. Động năng của cơ hệ
Động năng của cơ hệ bằng tổng động năng các phần tử của cơ hệ:
[ ]
+









+






+++++=
2
1
2
3
2
1
2
3
1
2
1
2
1
2
41
2
1
12
1
22
1
)(

2
1
ϕϕϕ




L
L
UUmLUUMT
+
( ) ( )
[ ]
( )
( )
[ ]
2
1
2
251
2
212
2
0121
2
1011
2
1
)(
2

1
ϕϕϕ




ULUUUMULUUUM +++++++−
(3)
3.2. Lực suy rộng của cơ hệ.
Lực suy rộng của cơ hệ được xác định theo công thức sau:
Q
φ1

*
1
11
ϕ
ϕϕ
Q+
∂
Φ∂
−
∂
Π∂
−=
; Q
u0

*
0

00
u
Q
uu
+
∂
Φ∂
−
∂
Π∂
−=
; Q
u1

*
1
11
u
Q
uu
+
∂
Φ∂
−
∂
Π∂
−=
; Q
u2
*

2
22
u
Q
uu
+
∂
Φ∂
−
∂
Π∂
−=
(4)
Trong đó:
П- thế năng của hệ; Ф – hàm hao tán của hệ;
Q
u0
- lực hoạt suy rộng theo toạ độ U
0
; Q
u1
- lực hoạt suy rộng theo toạ độ u
1;
Q
u2
- lực hoạt suy rộng theo toạ độ u
2
; Q
φ1-
lực hoạt suy rộng theo toạ độ φ

1
;
Thế năng của cơ hệ:
Thế năng của cơ hệ bằng tổng thế năng của trọng lực và thế năng của lò xo
+−






+++++++=Π
101112512
3
14
sincos)()
2
()(
ϕϕ
guMgMULUgM
L
UmgLUMg
[ ]
2
101
2
1013
2
2022
2

0001
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
2
1
ϕϕ
−+−+−+−
s
KUUKUUKUUK
(5)
Hàm hao tán
Năng lượng dao động có hại của con lắc ngược bị tiêu tán bởi các bộ cản nhớt được lắp vào
hai bộ hấp thụ dao động:
2
22
2
01
2
1
2
1
UCUC


+=Φ
(6)
Lực hoạt suy rộng
Lực hoạt suy rộng đặc trưng cho lực bên ngoài tác dụng lên hệ con lắc ngược, một cách tổng
quát giả sử có hai lực ngoài tác dụng lên con lắc ngược là: lực P tác dụng lên con lắc ngược
gây ra dao động thẳng đứng phụ thuộc vào thời gian:
)(tPP

=
. Lực Q tác dụng lên con lắc
ngược tại vị trí cách trục quay một khoảng L gây ra dao động lắc ngang của con lắc ngược
phụ thuộc vào thời gian:
)(tQQ

=
. Để tính lực hoạt suy rộng
*
2
*
1
*
0
*
1
;;;
UUU
QQQQ
ϕ
ta cho cơ hệ
một di chuyển khả dĩ ứng với các đại lượng biến đổi δφ

1
≠ 0; δU
0
≠ 0; δU
1
≠ 0; δU
2
≠ 0; . Khi
đó tổng cộng khả dĩ các lực hoạt trong di chuyển khả dĩ trên bằng:
δA = Q(t) Lδφ
1
+P(t)δU
1
(7)
Từ (7) ta suy ra:
)(
1
*
1
tLQ
A
Q ==
δϕ
δ
ϕ
,
0
0
*
10

==
U
A
Q
U
δ
δ
,
)(
1
*
1
tP
U
A
Q
U
==
δ
δ
,
2
0
2
2
==
U
A
Q
U

δ
δ
(8)
Xét hệ tại vị trí cân bằng tĩnh ta có:
φ
1
=φ
10
=0; U
1
= U
10
; U
2
= U
20
; u
0
= u
00
= 0 (9)
Xét cân bằng cả hệ: Các lực tác dụng lên cơ hệ: Trọng lực khối lượng tập trung đầu thanh:
;gmP
M


=
Trọng lực bộ hấp thụ dao động TMD-N:
;
11

gMP
M


=
Trọng lực bộ hấp thụ dao
động TMD-D:
;
22
gMP
M


=
Phản lực liên kết của lò xo xoắn
s
M

; và lò xo K
3
F
LX3
= K
3
U
10.
Hệ lực cân bằng đặt lên cơ hệ:
( )
321
,,,,

LXMMmMs
FPPPPM


~

0
Phương trình cân bằng:
0
321
=−+++
LXMMmM
FPPPP

(10)
Chiếu phương trình (10) lên phương thẳng đứng ta có:
P
M
+ P
m
+ P
M1
+ P
M2
– F
LX3
=0 (11)
→ K
3
U

10
= Mg + mg + M
1
g + M
2
g (12)
Xét cân bằng bộ TMD: các lực tác dụng: Phản lực liên kết lên bốn bánh xe:
4321
,,, NNNN

;
Trọng lực bộ hấp thụ dao động TMD:
gMP
M


22
=
; Phản lực liên kết của lò xo: F
LX3
= K
2
U
20
(13)
- Hệ lực cân bằng đặt lên cơ hệ:
),,,,,(
224321 LXM
FPNNNN


~
0
- Phương trình cân bằng :
0,
224321
=++++
LXM
FPNNNN

(14)
Chiếu phương trình (5,6) lên phương thẳng đứng ta có: P
M2
– F
LX2
= 0 (15)
Thay (13) vào (15) ta có: M
2
g – F
LX2
= 0
⇒
K
2
U
20
= M
2
g (16)
Do dao động nhỏ nên: sin φ
1

≈ φ
1
; cosφ
1
≈ 1 (17)
Từ (1, 3, 4, 5, 8, 9, 12, 16, 17) ta có phương trình vi phân chuyển động của hệ dao động quanh
vị trí cân bằng tĩnh dạng tuyến tính như sau:
)(tFXKXCXM
HHHH
=++

(18)
Trong đó:

=
H
M

















+++








+++
22
221
121
21
2
21
2
3
2
52
2
4
00
)(00
00
00
3

MM
MmMMM
MLM
LMLM
mL
LMML
(19)
3
















−
−







−−−−
=
2
3
11
1221
3
4
000
000
00
00
2
K
K
KgM
gMgLMgLM
mgL
MgLK
K
ss
H
(20)













=
2
1
000
0000
000
0000
C
C
C
H
;













=
2
1
0
1
U
U
U
X





ϕ
;












=

2
1
0
1
U
U
U
X





ϕ
;












=
2
1

0
1
U
U
U
X
ϕ
;












=
0
)(
0
)(
tP
tLQ
F
T
(21)

Nhận xét:
Trong hệ phương trình vi phân ta thấy có chứa các địa lượng của bộ hấp thụ dao động là : M
1
,
k
1
, c
1
, L
2
, M
2
, k
2
, c
2
, L
5
đây chính là cơ sở để ta phân tích, tính toán tìm các thông số của bộ
hập thụ dao động theo lý thuyết điều khiển chuyển động, nguyên lý cơ bản của lý thuyết hấp
thụ là truyền năng lượng dao động có dạng con lắc ngược sang các bộ hấp thụ dao động được
lắp thêm vào, khi đó dao động của các công trình có dạng con lắc ngược sẽ giảm, dao động
của các bộ hấp thụ sẽ tăng lên và năng lượng này sẽ bị tiêu tán bởi bộ cản nhớt lắp vào các bộ
hấp thụ dao động. Từ các phương trình trên giúp các nhà nghiên cứu tìm các thông số:M
1
, k
1
,
c
1

, L
2
, M
2
, k
2
, c
2
, L
5
theo lý thuyết điều khiển chuyển động để các bộ TMD hấp thụ năng
lượng dao động có hại là lớn nhất với mục đích không những giảm dao động cho công trình
một cách tốt nhất mà công trình còn làm việc ổn định, an toàn và hiệu quả.
4. Áp dụng kết quả nghiên cứu mô phỏng dao động cho tháp canh ngoài biển có lắp đặt
hệ thống giảm dao động.
Một trong những ví dụ của con lắc ngược là tháp khớp nối ở đại dương. Những đế hai chiều
như tháp khớp nối thì phù hợp ở nước sâu vì cấu trọng của chúng giảm xuống so với đế quy
ước. Cơ cấu tháp này không những phải chịu các lực do gió, sóng mà còn chịu lực đẩy theo
phương thẳng đứng xuất hiện do lực đẩy Acsimet, bởi vậy tháp xuất hiện cả dao động lắc
ngang và dao động theo phương thẳng đứng. Công trình có thể hư hỏng do lắc ngang hoặc bị
bồng bềnh hay bị nhổ cọc do dao động thẳng đứng. Do vậy ta phải lắp hai bộ hấp thụ dao
động vào để tăng đặc tính tắt dần cho tháp. Quan sát tháp khớp nối trên hình vẽ, nó bao gồmg
một tháp có khối tâm m
1
tại đỉnh. Giả sử độ cứng chống uốn của tháp là EJ, và độ cứng kéo
nén của tháp là EF. Để áp dụng các kết quả tính toán dao động của hệ con lắc ngược cho tháp,
ta tính độ cứng lò xo K
s
, K
3

của con lắc ngược thông qua đặc trưng của vật liệu cấ tạo nên
tháp như sau:
- Tính hệ số lò xo K
s
thông qua mômen chống uốn của vật liệu cấ tạo nên tháp:
Ta coi tháp như một dầm chịu uốn, chịu liên kết ngầm giữa nền và tháp. Khi đó độ lệch s tại
điểm lắp bộ hấp thụ dao động TMD-N như sau:
J3
)(
3
2
E
LtP
S =
(22)

Trong đó: P(t)- lực tác dụng tại vị trí lắp bộ hấp thụ dao động: EJ - độ cứng chống uốn của vật
liệu cấu tạo nên tháp.
4
Nếu xác định độ lệch s thông qua hệ số lò xo xoắn K
s
:
S
K
LtP
S
2
2
)(
=

(23)
Từ (22) và (23) ta suy ra:
2
3
2
3
2
L
J
)(
J
)(
E
K
K
LtP
E
LtP
S
S
=⇒=
(24)
- Tính hệ số lò xo K
3
thông qua đặc trưng kéo nén của vật liệu cấu tạo nên tháp.
Gọi Z là biến dạng theo phương thẳng đứng tại vị trí lắp bộ hấp thụ dao động TMD-D ta có:
+ Tính Z thông qua lò xo K
3
:
3

)(
K
tQ
Z =
(25)
+ Tính Z thông qua vật liệu đàn hồi cấ tạo nên tháp:
F
)(
5
E
LtQ
Z =
(26)
Với Q(t): lực tác dụng tại vị trí lắp bộ hấp thụ dao động.
EF: độ cứng kéo nén của vật liệu cấu tạo nên tháp.
Từ (25) và (26) ta suy ra:
3
)(
K
tQ
Z =

F
)(
5
E
LtQ
=
⇒
5

3
L
FE
K =
(27)
Từ các kết quả ở trên ta áp dụng vào tính toán dao động của tháp canh ngoài biển có lắp đặt
hệ thống giảm dao động với các thông số sau:
M=3.10
3
(kg); m=1500(kg); L
3
=50m; L
4
= 100m; g = 9,81(m/s
2
); (28)
k
S=5.10
9
(KNm); k
3
=10
7
(KNm); P
0
= 9.10
4
KN.
Ta chọn các thông số của bộ hấp thụ dao động TMD như sau:
M

1
= 5(kg); M
2
= 7(kg); L
1
= 20m; L
2
= 90m; L
5
= 50m; (29)
k
1
=15(KN/m); k
2
= 25(KNm); c
1
= 3(KNs/m); c
2
= 4(KNs/m).
Từ (19-21, 28,29) sử dụng phần mềm Maple 10 mô phỏng ảnh hưởng của bộ hấp thụ dao
động đến dao động thẳng đứng và lắc ngang của tháp canh ngoài biển như sau:
Trường hợp 1: với điều kiện đầu 1: φ
1
= 0.005; u
1
= 0.003; φ
1
= 0.0; u
1
= 0.0

Trường hợp 2: với điều kiện đầu 2: φ
1
= 0.0; u
1
= 0.0; φ
1
= 0.2; u
1
= 0.1
Qua kết quả mô phỏng số chúng ta có nhận xét sau:
- Ứng với điều kiện 1 biên độ dao động theo phương thẳng đứng và lắc ngang trong trường
hợp lắp bộ hấp thụ dao động đều giảm theo thời gian so với trường hợp không lắp bộ hấp thụ
dao động;
- Với điều kiện 2 trong những giây dầu biên độ dao động theo phương thẳng đứng và lắc
ngang trong trường hợp lắp bộ hấp thụ dao động lớn hơn trong trường hợp không lắp bộ hấp
thụ dao động và theo thời gian biên độ dao động giảm dần và nhỏ hơn so với trường hợp
không lắp bộ hấp thụ dao động;
- Ứng với điều kiện ban đầu 3 đối với biên độ dao động theo phương thẳng đứng trong 10
giây đầu biên độ dao động trong trường hợp lắp bộ hấp thụ dao động lớn hơn biên độ dao
5
động trong trường hợp không lắp bộ hấp thụ dao động, còn dao động lắc ngang trong trường
hợp không lắp bộ hấp thụ dao động;
Nhận xét:
Việc lắp đặt bộ hấp thụ dao động vào cơ cấu tháp canh ngoài biển đã có tác dụng làm tắt dần
dao động của tháp canh theo thời gian. Vậy từ phương trình vi phân chuyển động của con lắc
ngược có lắp hệ thống giảm dao động (18 ÷ 21) ta có thể nghiên cứu, phân tích, tính toán tìm
các thông số của bộ hấp thụ dao động M
1
, k
1

, c
1
, L
2
, M
2
, k
2
, c
2
, L
5
theo lý thuyết điều khiển
chuyển động để giảm dao động cho tháp canh một cách tối ưu.
5. Kết luận
Việc nghiên cứu lắp đặt bộ hấp thụ dao động vào cơ cấu con lắc ngược là bài toán mang tính
thời sự cấp thiết ở nước ta hiện nay. Trong bài báo này các tác giả đã giải quyết các vấn đề
sau:
- Thiết lập mô hình cơ học và mô hình toán học để xác định dao động của cơ cấu con lắc
ngược có sử dụng đồng thời hai bộ hấp thụ dao động TMD. Từ mô hình toán học tiến hành
tính toán tìm phương trình vi phân chuyển động của hệ. Hệ phương trình vi phân tìm được là
hệ tuyến tính có hệ số thay đổi theo thời gian;
- Sử dụng phần mềm Maple 10 mô phỏng ảnh hưởng của bộ hấp thụ dao động đến dao động
của con lắc ngược. Từ việc mô phỏng này ta thấy việc gắn thêm các bộ hấp thụ dao động vào
cơ cấu con lắc ngược nó đã có tác dụng làm tăng hoặc giảm dao động của hệ con lắc ngược.
Vậy việc chọn các thông số hợp lý của bộ hấp thụ dao động TMD có thể làm giảm dao động
cho hệ con lắc ngược một cách tối ưu;
- Từ các kết quả thu được và quy luật chuyển động của hệ con lắc ngược trong bài báo này là
cơ sở để các nhà nghiên cứu phân tích tính toán, thiết kế tối ưu tìm các thông số của bộ hấp
thụ dao động TMD nhằm giảm dao động cho các công trình cs dạng con lắc ngược một cách

tốt nhất.
Sử dụng các bộ hấp thụ dao động là một lĩnh vực công nghệ hiện đại, mới được phát triển
nhanh chóng trong vàig chục năm gần đây. Với ưu điểm về kỹ thuật và kinh tế, công nghệ này
đã và đang được áp dụng rộng rãi trên thế giới. Việc sử dụng các bộ hấp thụ dao động nhằm
nâng cao chất lượng và tuổi thọ các máy móc, thiết bị, công trình…là một công nghệ còn khá
mới ở nước ta, tuy nhiên cùng với sự phát triển của đất nước các máy móc, thiết bị, công
trình…có quy mô ngày càng lớn về chiều dài và chiều cao. Sự gia tăng về quy mô kết cấu dẫn
tới sự gia tăng độ nhạy cảm dao động khi chịu kích động ngoài nên công nghệ này cần được
quan tâm, đầu tư và phát triển.
Nguồn: Tạp chí KHCN Xây dựng, số 4/2007



6