Luận văn Tính chất của môđun Artin pptx

Luận văn
Tính chất của môđun
Artin

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(R, m)
m; M R A R
R M
Ann
R
M/pM = p, p Ann
R
M
A (∗)
Ann
R
(0 :
A
p) = p, ∀p ∈ V (Ann
R
A). (∗)
(∗)
dim
R
A = dim R/ Ann
R

A
R
(∗)
N-dim

R
A = dim

R
A R A
N-dim
R
A  dim
R
A
N-dim
R
A < dim
R
A
A (∗) N-dim
R
A = dim
R
A
(∗)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M dim
R
M = d

U
M
(0) M d
Usupp M = Supp(M/U
M
(0)) M
(∗)
H
d
m
(M)
Usupp(M)
H
d
m
(M) (∗)
H
i
m
(M)
M i < d
(∗) R
(∗) H
i
m
(M) i = 1, . . . , d − 1.
i M Psupp
i
R
(M)

{p ∈ Spec R | H
i−dim(R/p)
pR
p
(M
p
) = 0}.
i H
i
m
(M)
(∗) M
H
i
m
(M) (∗)
H
i
m
(M)
R/ Ann
R
M R/p p ∈ Supp M
(∗)
(∗)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(∗)
Usupp M (∗)
(∗)
H

i
m
(M)
Psupp
i
R
(M)
(∗)
H
i
m
(M)
R/ Ann
R
M R/p
p ∈ Supp
R
M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
R
M R A R
m R m
Γ
m
(A) A
Γ
m
(A) =

n≥0

(0 :
A
m
n
).
A R
m R Γ
m
(A) = 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
m
1
, . . . , m
r
A = Γ
m
1
(A) ⊕ . . . ⊕ Γ
m
r
(A) Supp A = {m
1
, . . . , m
r
}.
j ∈ {1, . . . , r} s ∈ R \ m
j
s
Γ
m

j
(A) Γ
m
j
(A)
R
m
j
Γ
m
j
(A) R
R
m
j
A
m
j
∼
=
Γ
m
j
(A), j = 1, . . . , r.
A = A
1
⊕ . . . ⊕ A
r
J
A

=

m∈Supp A
m,
A
j
= ∪
n>0
(0 :
A
m
n
j
) (1  j  r) (R, m)
J
A
= m.
(R, m) m
R,

R,
m
t
, t = 0, 1, 2, . . .

R

R
r ∈ R
r

A R
(R, m) A

R

R m R
A R A

R A
A

R
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(R, m) E = E(R/m)
R/m D() = Hom
R
(, E) C
R
R R R M
µ
M
: M −→ DD(M) = Hom
R
(Hom
R
(M, E), E)
R µ
M
(x)(f) = f(x), x ∈ M,
f ∈ Hom(M, E).

R E f ∈ Hom
R
(E, E)
a
f
∈ R : f(x) = a
f
x, ∀x ∈ E.
N R D(N)
A R D(A)
Ann M = Ann D(M) M R 
R
(M) < ∞

R
(D(M)) = 
R
(M).
R M M = 0
x ∈ R x M
Rad(Ann
R
M) p
M p
M R M
M = N
1
+ . . . + N
n
p

i
N
i
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M = 0 M
p
i
N
i
i = 1, . . . , n
M
{p
1
, . . . , p
n
}
M M
Att
R
M N
i
, i = 1, . . . , n
M
M R M = 0
Att
R
M = ∅
R Ann(M) Att
R

M.
0 −→ M

−→ M −→ M

−→ 0 R
Att
R
M

⊆ Att
R
M ⊆ Att
R
M

∪ Att
R
M

.
A R A
A

R
A R

R
A R


R
Att
R
A = {

p ∩ R :

p ∈ Att

R
A}.
R
N R Att
R
(D(N)) = Ass
R
(N).
A R Ass
R
(D(A)) = Att
R
(A).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
p
0
⊆ p
1
⊆ . . . ⊆ p
n
p

i
= p
i+1
R dim R
R M dim M
n n Supp M M
Supp M = V (Ann
R
M)
dim M = dim R/ Ann
R
M = sup
p∈Ass M
dim(R/p).
A N-dim
R
A,
A = 0, N-dim
R
A = −1.
A = 0, d ≥ 0, N-dim
R
A = d
N-dim
R
A < d A
0
⊆ A
1
⊆ . . .

A, n
0
N-dim
R
(A
n+1
/A
n
) < d,
n > n
0
.
M R M R
N-dim
R
M = 0. M R
M
0
⊆ M
1
⊆ . . . ⊆ M
n
⊆ . . .
M n
0
∈ N M
n
= M
n+1
n > n

0
M
n+1
/M
n
= 0 N-dim
R
(M
n+1
/M
n
) = −1 < 0,
n > n
0
M = 0 N-dim
R
M  0
N-dim
R
M = 0 N-dim
R
M = 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
N
0
⊆ N
1
⊆ . . . ⊆ N
n
⊆ . . . M

n
0
N-dim
R
(N
k+1
/N
k
) = −1 < 0
k > n
0
N
k+1
= N
k
n > n
0
M R
M dim M = 0 M = 0

R
(M) < ∞.
N-dim
R
A = 0 A = 0 
R
(A) < ∞
Att
R
A = {m}.

0 −→ A

−→ A −→ A

−→ 0
R
N-dim
R
A = max{N-dim
R
A

, N-dim
R
A

}.
N-dim
R
A  dim R/ Ann
R
A = max{dim R/p : p ∈ Att
R
A}
A N-dim
R
A < dim R/ Ann
R
A.
N-dim


R
A = dim

R/ Ann

R
A = max{dim

R/

p :

p ∈ Att

R
A}.
(R, m) A R A

R
N-dim
R
A = N-dim

R
A.
N-dim A N-dim
R
A N-dim


R
A.
A
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

R
(0 :
A
J
n
A
) n  0
N-dim A = deg((0 :
A
J
n
A
))
= inf{t : ∃x
1
, . . . , x
t
∈ J
A
(0 :
A
(x
1
, . . . , x
t

)R) < ∞}.
A x = (x
1
, . . . , x
t
)
m (0 :
A
(x
1
, . . . , x
t
)R) < ∞
A. t = 0 
R
(A) < ∞. t = N-dim A = d
x = (x
1
, . . . , x
d
) A x ∈ m
A N-dim(0 :
A
x) = N-dim A − 1.
A
dim R = d. q R

R
(0 :
A

q) < ∞ 
R
(0 :
A
q
n+1
) n
N-dim A n  0
N-dim A  dim A = dim R/ Ann
R
A  dim R.

R
(0 :
A
q
n+1
) =
e

(q; A)
d!
n
d
+ d, n  0,
e

(q; A) N-dim A = d
e


(q; A) > 0 N-dim A < d e

(q; A) = 0 N-dim A = d
e

(q; A) A q.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A q
A N-dim A = dim R = d
x = (x
1
, . . . , x
t
) A n
1
, . . . , n
t
x(n) = (x
n
1
1
, . . . , x
n
t
t
)
(0 :
A
x
(n)R)  n

1
. . . n
t
(0 :
A
xR) e


x(n); A

= n
1
. . . n
t
e

(x; A).
R 0 −→ A

−→ A −→ A

−→ 0.
x x A

A

e

(x; A) = e


(x; A

) + e

(x; A

).
0  e

(x; A)  (0 :
A
xR) e

(x; A) > 0
t = d = N-dim A
I R M
R i M I
H
i
I
(M)
H
i
I
(M) = R
i
(Γ
I
(M)),
R

i
(Γ
I
(M)) i I Γ
I
()
M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
0 −→ L
f
−→ M
g
−→ N −→ 0 R−
δ
0 −→ H
0
I
(L)
H
0
I
(f)
−→ H
0
I
(M)
H
0
I
(g)

−→ H
0
I
(N)
−→ H
1
I
(L)
H
1
I
(f)
−→ H
1
I
(M)
H
1
I
(g)
−→ H
1
I
(N)
−→ . . .
−→ H
i
I
(L)
H

i
I
(f)
−→ H
i
I
(M)
H
i
I
(g)
−→ H
i
I
(N)
−→ H
i+1
I
(L) −→ . . .
i ∈ N
M R
H
i
I
(M) = 0, i > dim M.
(R, m) M R
dim M = d. H
d
m
(M) = 0.

(R, m)
M R R H
i
m
(M)
i ∈ N
0
(R, m) I R M
R dim M = d
R H
d
I
(M)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f : R −→ R

H
i
I
(M) ⊗
R
R

∼
=
H
i
I
(M ⊗
R

R

).
(R, m) p ∈ Spec R
dim R/p = t i q ∈ Spec R, q ⊆ p
qR
p
∈ Att
R
p
(H
i
pR
p
(M
p
)) q ∈ Att
R
(H
i+t
m
(M))
t
I R
H
i
I
(M) i = 1, . . . , t.
N-dim
R

(H
i
I
(M))  i,
i = 0, 1, . . . , t.
M dim M = d I R
H
d
I
(M) 0
N-dim
R
(H
d
I
(M)) = d
H
d
I
(M) d > 0
(R, m) M
dim M = d
Att
R
(H
d
m
(M)) = {p ∈ Ass
R
M | dim R/p = d}.

R dim R/q = dim R
q ∈ min(Ass R) M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
dim R/p = dim M
p ∈ min(Ass M)
p ⊂ q R
p = p
0
⊂ p
1
⊂ . . . ⊂ p
n
= q p
i
= p
i+1
i
p q i
p
i
p
i+1
R
p, q R p ⊂ q, p
q
Supp M
p, q ∈ Supp M p ⊂ q,
p q
R R
dim R/p + ht p = dim R p R,

Supp M R/ Ann
R
M
M Supp M
dim R/p + dim M
p
= dim M p ∈ Supp M.
R R
S R a
1
, . . . , a
t
∈ S
S = R[a
1
, . . . , a
t
] ϕ : R[x
1
, . . . , x
t
] −→ S
t R[x
1
, . . . , x
t
] S ϕ(x
i
) = a
i

,
i = 1, . . . , t S
R
R
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
R
dim(

R/

p) = dim R

p ∈ Ass

R R

R
dim

R/

p = dim

R

p ∈ Ass

R
(R, m)
R

p
p ∈ Spec R
I R R/I R/I
R
R/p p ∈ Spec R
dim

R/

p = dim R/p,

p ∈ min Ass

R/p

R.
R
R[x]
R N 0 −→ L

−→
L −→ L

−→ 0 R
0 −→ L

⊗ N −→ L ⊗ N −→ L

⊗ N −→ 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

R N 0 −→
L

−→ L −→ L

−→ 0 R
0 −→ L

⊗ N −→ L ⊗ N −→ L

⊗ N −→ 0
ϕ : R −→ S L S L
R r ∈ R
y ∈ L ry = ϕ(r)y. ϕ : R −→ S
S R R
(R, m) (S, n) ϕ : R −→ S
ϕ(m) ⊆ n) ϕ
ϕ : R −→ S
p ∈ Spec R S ⊗
R
R/p ϕ
p f : R −→

R p ∈ Spec R

p ∈ Spec

R

p ∩ R = p f

ψ : R
p
−→

R

p
.

R

p
⊗
R
p
(R
p
/pR
p
) ψ p
R p
ϕ : R −→ S
P ∈ Spec S p = ϕ
−1
(P ) := P ∩ R
ht P  ht p + dim

S
P
⊗

R
p
(R
p
/pR
p
)

.
ϕ
I R R/I

R/I

R
p ∈ Spec R p ⊇ I R/I p
R p p p R/I
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(R, m)
m A R M R
dim
R
M = d.
H
i
m
(M)
(∗)
(∗)
H

i
m
(M)
R/ Ann
R
M
R/p p ∈ Supp
R
M
(∗)
R
M p R
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ann
R
M p ∈ Supp
R
M M
p
= 0
(M/pM)
p
= M
p
/pM
p
= 0.
p ∈ Supp(M/pM) p ⊇ Ann
R
(M/pM)

Ann
R
(M/pM) = p, p Ann
R
M
V (Ann
R
A)
R Ann
R
A A (∗)
Ann
R
(0 :
A
p) = p, ∀p ∈ V (Ann
R
A). (∗)
R R
A (∗) (∗)
A dim
R
A
R/ Ann
R
A.
Ann
R
A
Att

R
A dim
R
A
dim R/p p
dim
R
A = max{dim R/p | p ∈ Att
R
A}.
N-dim A  dim A.
(∗)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A (∗)
N-dim
R
A = dim
R
A
dim
R
M = d
(∗)
H
d
m
(M) M
M
M M
M d U

M
(0)
M d.
U
M
(0)
0 M
0 =

p∈Ass M
N(p)
0 M N(p) p−
U
M
(0) =

p∈Ass M,dim R/p=d
N(p).
M/U
M
(0) M
Ass(M/U
M
(0)) = {p ∈ Ass M : dim R/p = d}.
M/U
M
(0)
Supp(M/U
M
(0)) =


p∈Ass M, dim R/p=d
V (p).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Supp(M/U
M
(0))
M Usupp M.
Att
R
H
d
m
(M) = {q ∈ Ass M : dim R/q = d},
Ann
R
H
d
m
(M)
Att
R
H
d
m
(M)
p ∈ Supp M p ∈ Usupp M
p ⊇ Ann
R
(H

d
m
(M).
Usupp M = V (Ann
R
H
d
m
(M)) =

p∈Ass
R
M,dim R/p=d
Var(p).
Supp M
R/ Ann
R
M M Supp M
dim R/p + dim M
p
= d p ∈ Supp M.
dim R/p = d p ∈ Ass(M/U
M
(0)),
Usupp M = Supp(M/U
M
(0)) M
dim R/p + dim M
p
= d p ∈ Usupp M.

N-dim H
d
m
(M) = dim

R/ Ann
R
H
d
m
(M)

H
d
m
(M)
(∗)
H
d
m
(M) (∗)
M
Usupp M
H
d
m
(M) (∗)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
⇒ p ∈ Var(Ann
R

(H
d
m
(M))) Usupp M
dim R/p + dim M
p
= d
Ann(0 :
H
d
m
(M)
p) = p. H
d
m
(M) (∗)
⇒ Usupp M
dim R/p + dim M
p
= d p ∈ Usupp M. p ∈ Usupp M
p = m
dim R/m + dim M
m
= 0 + dim M = d.
p = m dim R/p = d − r
dim M
p
= r p ⊇ Ann
R
(M/U

M
(0))
Rad Ann

M/U
M
(0)/p(M/U
M
(0))

= Rad(Ann
R
(M/U
M
(0)) + p) = p.
dim

M/U
M
(0)/p(M/U
M
(0))

= dim R/p = d − r.
(x
1
, , x
r
) M/U
M

(0) p
p y ∈ p
(x
1
, , x
r
, y) M/U
M
(0) p ∈ Usupp M

p ∈ Usupp

R

M

p∩R = p.

M
1
=

M/U

M
(0).
(x
1
, , x
r

) M/U
M
(0)
m

M/U
M
(0) M/U
M
(0)

M
1

M/U
M
(0) dim

M
1
= dim

M/U
M
(0)
(x
1
, , x
r
)


M
1

p ∈ Supp

R


M
1
/(x
1
, , x
r−1
)

M
1

.

p ⊇

p
1

p
1
∈ Supp


R


M
1
/(x
1
, , x
r−1
)

M
1

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
r

M
1
/(x
1
, , x
r−1
)

M
1

x
r

M
1
/(x
1
, , x
r−1
)

M
1
x
r
/∈

p
1
. p
1
=

p
1
∩ R x
r
/∈ p
1
x

r
∈ p p ⊃ p
1
p = p
1

p
2
∈ Supp

R


M
1
/(x
1
, , x
r−2
)

M
1

.

p
1
⊇


p
2
p
2
=

p
2
∩

R
x
r−1
∈ p
1
\ p
2
p
1
⊃ p
2
p
1
= p
2
r
Ann
R
M
p ⊃ p

1
⊃ . . . ⊃ p
r
p
i
= p
i+1
i = 1, . . . , r − 1 dim M
p
= r.
(∗)
M R (∗)
i < d.
i
H
i
m
(M) (∗)
Psupp
i
R
(M)
H
i
m
(M)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
{p ∈ Spec R : H
i−dim(R/p)
pR

p
(M
p
) = 0}
i M Psupp
i
R
(M).
i M psd
i
(M)
psd
i
(M) = sup{dim R/p : p ∈ Psupp
i
R
M}.
(R, m) (S, n) dim S = r.
f : S −→ R R M
S f. S Ext
i
S
(M, S)
Ext
i
S
(M, S) R E = E(R/m)
R/m R
Hom
R

(Ext
i
S
(M, S), E) = D(Ext
i
S
(M, S)).
K
i
M
= Ext
r−i
S
(M, S) ∀i = 0, 1, . . . , dim M.
H
i
m
(M)
∼
=
Hom(K
i
M
, E), ∀i = 0, 1, . . . , dim M
K
dim M
M
M K
M
.


R i M
i M
R M
Psupp
i

R

M = Var(Ann

R
(H
i
m
(M))).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên