Tính chất của môđun Artin

✶
▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥
❚➠✐ ①✐♥ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥ ❚❙✳ ◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ ❉✉♥❣✱ ♥❣➢ê✐ t❤➬② trù❝ t✐Õ♣
❤➢í♥❣ ❞➱♥ ✈➭ t❐♥ t×♥❤ ❝❤Ø ❜➯♦✱ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐✱ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ❝❤♦
t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳
❚➠✐ ①✐♥ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥ ●❙✳ ❚❙❑❍ ◆❣✉②Ô♥ ❚ù ❈➢ê♥❣✱ ●❙✳ ❚❙❑❍ ▲➟
❚✉✃♥ ❍♦❛✱ P●❙✳ ❚❙ ◆❣✉②Ô♥ ◗✉è❝ ❚❤➽♥❣ ë ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ❍➭ ◆é✐✱ ❝ï♥❣ t♦➭♥
t❤Ó ❇❛♥ ●✐➳♠ ❤✐Ö✉ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✈➭ ♣❤ß♥❣ ➜➭♦ t➵♦
s❛✉ ➜➵✐ ❤ä❝✱ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥ P●❙✳ ❚❙ ▲➟ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥ ❝ï♥❣ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠
❣✐➳♦ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❣✐➯♥❣ ❞➵②
✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ tr➢ê♥❣ ✈➭ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ➤Ò t➭✐ ♥➭②✳
❈✉è✐ ❝ï♥❣ t➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ ➤Õ♥ ❝❤❛ ♠Ñ✱ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ❜➵♥ ❜❒✱ ➤➷❝
❜✐Öt ❧➭ ❝❤å♥❣ t➠✐✱ ➤➲ ❧✉➠♥ ñ♥❣ ❤é✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ✈➭ ❦❤✉②Õ♥ ❦❤Ý❝❤ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤
❦Õ ❤♦➵❝❤ ❤ä❝ t❐♣✱ ❝ò♥❣ ♥❤➢ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ t❤➭♥❤ ❝➠♥❣ ➤Ò t➭✐ ❝ñ❛ ♠×♥❤✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ở
(R, m) ị tr ớ ự
t m; M R ữ s A R rt ố ớ
ỗ R ữ s M t ổ ề t ó tí t
Ann
R
M/pM = p, ớ ọ tố p ứ Ann
R
M ột ỏ
tự ợ t r ệ r ó ột tí t t tự ọ
rt tr t ỳ ờ
ỉ r r ì tr ờ ỏ tr ủ ị
ở ó ọ ớ tệ ột ớ rt t tr ờ
ị ủ ỏ tr s A ợ ọ t tí t () ò
ọ tí t tử ế

Ann
R
(0 :
A
p) = p, p V (Ann
R
A). ()
ý ĩ t ủ tí t () t ụ ứ
rt ý tết ề ết r ột tr ữ ụ
ể ứ rt ệ ề tr ợ r ở
rt r ó ột tự ờ t
ũ ù ệ ề r dim
R
A = dim R/ Ann
R
A ể ứ
rt ế R ị ủ tì ố ts t
ột t ữ trù tr rt ì tế
tr ị ủ tí t () t ó tứ
N-dim

R
A = dim

R
A ớ ọ R rt A tr
tỳ ý t ỉ ó N-dim
R
A dim
R

A t í tồ t ữ
rt s N-dim
R
A < dim
R
A í ụ ột ề t r
tì ề ệ r tứ ết q í ủ ệ ề
ỉ r r ế A t tí t () tì t ó N-dim
R
A = dim
R
A
ết q tế t ề tí t () tr ờ
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

é t ứ tí tr ủ t
trộ ủ ột ữ s M sử r dim
R
M = d í
ệ U
M
(0) ớ t ủ M ó ề ỏ d ọ t
Usupp M = Supp(M/U
M
(0)) trộ ủ M t
t từ t ứ tí t () ột ớ rt ệt
ố ồ ề ị t H
d
m
(M) ọ t ợ ết

q t ờ ó trộ Usupp(M) tr ỉ
H
d
m
(M) t tí t ()
ết r ố ồ ề ị H
i
m
(M) ủ
ữ s M ớ i < d rt ớ ì
ũ t tí t () R tr ề ó
í ý tở ể tế tụ ứ tí t
() H
i
m
(M) ớ i = 1, . . . , d 1. r
r t srt tứ i ủ M ý ệ Psupp
i
R
(M) ợ ị
ĩ ở
{p Spec R | H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
) = 0}.
ó ớ ỗ i ọ r ề ệ ủ ể H
i

m
(M) t
tí t () q ó t ợ tí ó ủ t srt ủ M
ớ tết ọ ở rộ tứ ết ớ ộ
H
i
m
(M) ủ r r ữ ũ q ứ tí t ()
H
i
m
(M) ọ t ợ tí tr ổ ụ ủ
R/ Ann
R
M tí t trộ ủ R/p ớ p Supp M
t ết q tr ứ tỏ r tí t () ữ ó ý
ĩ tr ệ ứ rt ò t q ó ó tể
ể rõ trú ủ ữ s
ụ í ủ trì ột tết ết q ề
tí t () ở tr tr t ss rs
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✹
❝❛t❡♥❛r✐❝✐t② ♦❢ r✐♥❣s ❛♥❞ ❧♦❝❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ♠♦❞✉❧❡s✧ ❝ñ❛ ▲✳ ❚✳ ◆❤➭♥ ✈➭ ❚✳
◆✳ ❆♥ ë t➵♣ ❝❤Ý ➜➵✐ sè ♥➝♠ ✷✵✵✽ ✈➭ ♠ét ♣❤➬♥ ❜➭✐ ❜➳♦ ❝ñ❛ ◆✳ ❚✳ ❈➢ê♥❣✱ ◆✳
❚✳ ❉✉♥❣ ✈➭ ▲✳ ❚✳ ◆❤➭♥ ✧❚♦♣ ❧♦❝❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ❛♥❞ t❤❡ ❝❛t❡♥❛r✐❝✐t② ♦❢ t❤❡
✉♥♠✐①❡❞ s✉♣♣♦rt ♦❢ ❛ ❢✐♥✐t❡❧② ❣❡♥❡r❛t❡❞ ♠♦❞✉❧❡✧ tr➟♥ t➵♣ ❝❤Ý ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥
✐♥ ❆❧❣❡❜r❛ ♥➝♠ ✷✵✵✼✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❝❤✐❛ ❧➭♠ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ■ ❞➭♥❤ ➤Ó ❤Ö t❤è♥❣ ❧➵✐ ♠ét sè
❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ò ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✱ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ t❤ø ❝✃♣✱ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r✱ ✈➭♥❤ ❝❛t❡♥❛r②✱
✈➭♥❤ t❤í✱✳✳✳ ❈❤➢➡♥❣ ■■ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ✈Ò tÝ♥❤ ❝❤✃t (∗) ✭tÝ♥❤ ❝❤✃t ❧✐♥❤ ❤♦➳ tö✮ ❝ñ❛

♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➷❝ tr➢♥❣ tÝ♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ❝ñ❛ t❐♣ ❣✐➳ ❦❤➠♥❣ tré♥
❧➱♥ Usupp M t❤➠♥❣ q✉❛ tÝ♥❤ ❝❤✃t (∗) ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣
❝✃♣ ❝❛♦ ♥❤✃t✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣ ■■ ❧➭ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝❤♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t (∗)
❝ñ❛ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ H
i
m
(M)✱ ❦Õt q✉➯ ♥➭② ♠❛♥❣ ❧➵✐ tÝ♥❤
➤ã♥❣ ❝ñ❛ t❐♣ ❣✐➯ s✉♣♣♦rt Psupp
i
R
(M) ✈➭ ♠ë ré♥❣ ➤➢î❝ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❧✐➟♥ ❦Õt ✈í✐
❜é✐ ❝ñ❛ ▼✳ ❇r♦❞♠❛♥♥ ✈➭ ❘✳ ❨✳ ❙❤❛r♣✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ❝ò♥❣ t❤➠♥❣ q✉❛ tÝ♥❤ ❝❤✃t (∗)
❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤✉➡♥❣ H
i
m
(M)✱ ➤➷❝ tr➢♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝❛t❡♥❛r②
♣❤æ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ ✈➭♥❤ R/ Ann
R
M ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ❝ñ❛ ✈➭♥❤ R/p✱
✈í✐ p ∈ Supp
R
M✳
P❤➬♥ ❦Õt ❧✉❐♥ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ tæ♥❣ ❦Õt ❧➵✐ t♦➭♥ ❜é ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ➤➲ ➤➵t ➤➢î❝✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ế tứ ị
r t ộ t ý ệ R tr
t tết ị tết ị sẽ ợ tr
từ trờ ợ ụ tể M R ữ s A R rt

ể ột số ế tứ ợ ù ụ ụ
ứ ở s ủ trú ủ rt
ể ễ tứ ề tr số ộ ủ rt ố ồ
ề ị tí tr tr ổ ụ tớ ì tứ ủ

rt
m ột ự ủ R r m

m
(A) ủ A ợ ị ĩ ở

m
(A) =

n0
(0 :
A
m
n
).
ó t ó ết q s
ệ ề ệ ề ổ ề
sử A ột R rt ó ỉ ó ữ
ự m ủ R s
m
(A) = 0 ế ự ệt ó
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

m
1

, . . . , m
r
tì
A =
m
1
(A) . . .
m
r
(A) Supp A = {m
1
, . . . , m
r
}.
ớ ỗ j {1, . . . , r} ế s R \ m
j
tì é ở s t
ột tự ủ
m
j
(A) ó
m
j
(A) ó trú tự ủ ột
R
m
j
ớ trú ột t ủ
m
j

(A) ột R
ế ỉ ế ó R
m
j
ệt
A
m
j

=

m
j
(A), ớ ọ j = 1, . . . , r.
í ệ ể t tệ từ ờ trở t t
A = A
1
. . . A
r
J
A
=

mSupp A
m,
tr ó A
j
=
n>0
(0 :

A
m
n
j
) (1 j r) ú ý r (R, m) ị
tì J
A
= m.
(R, m) ị r ủ t t m
ủ R, ý ệ ở

R, t ớ t ủ t
q ệ t ị ở sở ủ tử
m
t
, t = 0, 1, 2, . . .

R ợ tr ị é t é ộ é
ù ớ é t

R t ột
ỗ tử r R ó tể ồ t ớ ớ t ủ
tt tử tr ề r
ệ ề ổ ề ệ q A R rt
tr ị (R, m) ó A ó trú tự ủ

R tr ó

R ủ t t m ủ R ọ t
ủ A R ủ A ế ỉ ế ó

R ủ A
ó A ó trú tự ủ

R rt
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

(R, m) ị ủ t E = E(R/m) ộ
ủ trờ t R/m í ệ D() = Hom
R
(, E) từ trù C
R
R Rồ í ó ớ ỗ R M t
à
M
: M DD(M) = Hom
R
(Hom
R
(M, E), E)
Rồ tự ở à
M
(x)(f) = f(x), ớ ọ x M,
f Hom(M, E). ó t ó ết q s ủ ts ợ trì
tr ị ý t ị ý
ệ ề
R E rt ớ ỗ f Hom
R
(E, E) tồ t t
a

f
R : f(x) = a
f
x, x E.
ế N R tr tì D(N) rt
ế A R rt tì D(A) tr
Ann M = Ann D(M) ế M R s
R
(M) <
tì
R
(D(M)) =
R
(M).
ể ễ tứ
ý tết ể ễ tứ ợ r ở ợ
ố ớ ý tết tí s q ết
tr ột ụ ữ ệ ể ứ rt
ị ĩ ột R M ợ ọ tứ ế M = 0
ế ớ ọ x R é ở x tr M t ỹ r
trờ ợ Rad(Ann
R
M) tố p t ọ
M ptứ
M R ột ể ễ tứ ủ M ột tí
M = N
1
+ . . . + N
n
t tổ ữ p

i
tứ N
i
. ế
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

M = 0 M ó ột ể ễ tứ tì t ó ể ễ ợ ể
ễ tứ ợ ọ tố tể ế tố p
i
ột
ó tử N
i
từ ớ ọ i = 1, . . . , n
ễ t r ọ ể ễ tứ ủ M ề ó tể ợ ề
tố tể ó t ợ {p
1
, . . . , p
n
} ộ ớ ệ ọ ể ễ tứ
tố tể ủ M ợ ọ t tố ết ủ M í
ệ ở Att
R
M tử N
i
, i = 1, . . . , n ợ ọ t
tứ ủ M
ệ ề M ột R ể ễ ợ ó M = 0
ỉ Att
R
M = r trờ ợ t tố tố

tể ủ R ứ Ann(M) í t tử tố tể ủ Att
R
M.
0 M

M M

0 ớ R ể
ễ ợ ó t ó
Att
R
M

Att
R
M Att
R
M

Att
R
M

.
A ột R rt ó A ể ễ ợ ữ t
ệ ề A ó trú tự ủ

R ớ trú ỗ
t ủ A R ế ỉ ế ó

R ề
t ủ A ét R

R
ừ ó t ó ết q s ệ q ệ q
ệ ề ệ ề s ú
Att
R
A = {

p R :

p Att

R
A}.
ế R ị ủ tì t ó
ế N R tr tì Att
R
(D(N)) = Ass
R
(N).
ế A R rt tì Ass
R
(D(A)) = Att
R
(A).
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

ề tr số ộ ủ rt

r ột tố p
0
p
1
. . . p
n
tr
ó p
i
= p
i+1
ợ ọ tố ó ộ ó ề r ủ
R ý ệ dim R tr ủ ộ ủ tố
tr R ề r ủ M ý ệ dim M tr ủ số
n s ó ột tố ó ộ n tr Supp M ì M
ữ s t ó Supp M = V (Ann
R
M) ó
dim M = dim R/ Ann
R
M = sup
pAss M
dim(R/p).
ệ ố ớ ề r ột rt ợ r ở
rts s ó r ổ t t ề tr ể
tr ớ ề r ợ ị ĩ tr
tt ữ ề ề tr ợ ù tr t
ị ĩ ề tr ủ rt A ý ệ ở N-dim
R
A,

ợ ị ĩ q s
A = 0, t N-dim
R
A = 1.
ớ A = 0, ột số d 0, t t N-dim
R
A = d ế
N-dim
R
A < d s ớ ỗ t A
0
A
1
. . .
ủ A, tồ t số n
0
s N-dim
R
(A
n+1
/A
n
) < d, ớ ọ
n > n
0
.
í ụ M R ó M R
tr ỉ N-dim
R
M = 0. t sử M R

tr ì ọ t M
0
M
1
. . . M
n
. . .
ủ M ề ừ tồ t n
0
N s M
n
= M
n+1
ớ ọ
n > n
0
ó M
n+1
/M
n
= 0 ì tế N-dim
R
(M
n+1
/M
n
) = 1 < 0,
ớ ọ n > n
0
ì M = 0 N-dim

R
M 0 ó t ị ĩ
N-dim
R
M = 0 ợ sử N-dim
R
M = 0 ó ột
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

t t ỳ N
0
N
1
. . . N
n
. . . ủ M ị
ĩ tồ t số n
0
s N-dim
R
(N
k+1
/N
k
) = 1 < 0
ớ ọ k > n
0
ó N
k+1
= N

k
ớ ọ n > n
0
tr ừ
ĩ M R tr
ề tr rt ó ề tí t t ột ĩ
ó ố ớ ề r ữ s ết r ố
ớ ỗ ữ s M tì dim M = 0 ế ỉ ế M = 0

R
(M) < . ừ ị ĩ t ó ột số tí t s ề ề
tr
ổ ề N-dim
R
A = 0 ế ỉ ế A = 0
R
(A) < r
trờ ợ Att
R
A = {m}. ữ ế
0 A

A A

0
ớ R rt tì
N-dim
R
A = max{N-dim
R

A

, N-dim
R
A

}.
N-dim
R
A dim R/ Ann
R
A = max{dim R/p : p Att
R
A} tồ
t rt A s N-dim
R
A < dim R/ Ann
R
A.
N-dim

R
A = dim

R/ Ann

R
A = max{dim

R/

p :

p Att

R
A}.
(R, m) ị A R rt ó A ó
trú tự ủ

R rt t ó
N-dim
R
A = N-dim

R
A.
í ì t ó tể ết N-dim A t N-dim
R
A N-dim

R
A.
ó ề t ứ trú ủ rt A t q
ề tr ủ ú ột số tí t ủ ề tr
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

rt ợ ố ớ ột số tí t ủ ề r
ữ s ợ r ệt ết q s
ợ rts ị ý ứ trờ ợ tự ị

s ó ợ ễ ự ờ ị ý
ứ trờ ợ t ỳ
ệ ề
R
(0 :
A
J
n
A
) ột tứ ớ ệ số ữ tỷ n 0
N-dim A = deg((0 :
A
J
n
A
))
= inf{t : x
1
, . . . , x
t
J
A
s (0 :
A
(x
1
, . . . , x
t
)R) < }.
ệ ề é t r ệ ệ ộ số ộ ệ t số ủ

ột rt A r ột ệ x = (x
1
, . . . , x
t
)
tử tr m s (0 :
A
(x
1
, . . . , x
t
)R) < ợ ọ ột ệ ộ
ủ A. rờ ợ t = 0 tì t ể
R
(A) < . t = N-dim A = d tì
ệ x = (x
1
, . . . , x
d
) ợ ọ ệ t số ủ A ột tử x m ợ
ọ tử t số ủ A ế ỉ ế N-dim(0 :
A
x) = N-dim A 1.
ố ớ ỗ rt A số ộ ợ ị ĩ t q tứ
rt s sử dim R = d. q ủ R s

R
(0 :
A
q) < ó ộ

R
(0 :
A
q
n+1
) tứ t n
N-dim A ớ ệ số ữ tỷ n 0 ổ ề t ó
N-dim A dim A = dim R/ Ann
R
A dim R.
ì tế t ó tể ể ễ tứ ớ

R
(0 :
A
q
n+1
) =
e

(q; A)
d!
n
d
+ tứ ó ỏ d, n 0,
tr ó e

(q; A) ột số ế N-dim A = d
tì e

(q; A) > 0 ế N-dim A < d tì e

(q; A) = 0 N-dim A = d t
ọ e

(q; A) số ộ ủ A ứ ớ q.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

r ờ ị ĩ số ộ ì tứ ứ ớ ột ệ ộ
ủ A q ọ ỉ r r q s ở ột ệ t số
ủ A N-dim A = dim R = d tì ị ĩ t ớ ị
ĩ số ộ t q tứ rt ở tr ệ ề s tr
t ột số tí t ủ ệ ộ số ộ rt
ệ ề x = (x
1
, . . . , x
t
) ột ệ ộ ủ A n
1
, . . . , n
t

số t x(n) = (x
n
1
1
, . . . , x
n
t
t

) ó t ó tí t
s
(0 :
A
x
(n)R) n
1
. . . n
t
(0 :
A
xR) e


x(n); A

= n
1
. . . n
t
e

(x; A).
ớ R rt 0 A

A A

0.
ó x ột ệ ộ ủ ế ỉ ế x ột ệ ộ ủ A

A

t
ó e

(x; A) = e

(x; A

) + e

(x; A

).
ó 0 e

(x; A) (0 :
A
xR) ữ e

(x; A) > 0 ế
ỉ ế t = d = N-dim A
ố ồ ề ị
rớ ết t ệ ố ồ ề ị ủ ột
tỳ ý
ị ĩ I ột ủ tr R M ột
R ố ồ ề ị tứ i ủ M ứ ớ I
ý ệ H
i
I

(M) ợ ị ĩ ở
H
i
I
(M) = R
i
(
I
(M)),
tr ó R
i
(
I
(M)) st tứ i ủ tử I
I
()
ứ ớ M
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✶✸
❈❤♦ 0 −→ L
f
−→ M
g
−→ N −→ 0 ❧➭ ♠ét ❞➲② ❦❤í♣ ❝➳❝ R−♠➠➤✉♥✳
❑❤✐ ➤ã✱ ❞♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t δ✲❤➭♠ tö ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛
♣❤➢➡♥❣✱ t❛ ❝ã ❞➲② ❦❤í♣ ❞➭✐
0 −→ H
0
I
(L)

H
0
I
(f)
−→ H
0
I
(M)
H
0
I
(g)
−→ H
0
I
(N)
−→ H
1
I
(L)
H
1
I
(f)
−→ H
1
I
(M)
H
1

I
(g)
−→ H
1
I
(N)
−→ . . .
−→ H
i
I
(L)
H
i
I
(f)
−→ H
i
I
(M)
H
i
I
(g)
−→ H
i
I
(N)
−→ H
i+1
I

(L) −→ . . .
✈í✐ ♠ä✐ i ∈ N✳
➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② ❝ñ❛ ●r♦t❤❡❞✐❡❝❦ ❧➭ ♠ét ❦Õt q✉➯ ➤Ñ♣ ➤Ï ✈Ò tÝ♥❤ tr✐Öt t✐➟✉
✈➭ ❦❤➠♥❣ tr✐Öt t✐➟✉ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✹✳✷✳ ❬✶✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✻✳✶✳✷✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✻✳✶✳✹❪ ✭✐✮ ❈❤♦ M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥✳ ❑❤✐
➤ã✱ H
i
I
(M) = 0, ✈í✐ ♠ä✐ i > dim M.
✭✐✐✮ ●✐➯ sö (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✱ ❦❤➳❝
❦❤➠♥❣ ✈➭ ❝❤✐Ò✉ ❑r✉❧❧ dim M = d. ❑❤✐ ➤ã H
d
m
(M) = 0.
❚✐Õ♣ t❤❡♦ ❧➭ tÝ♥❤ ❆rt✐♥ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✹✳✸✳ ❬✶✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✼✳✶✳✸✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✼✳✶✳✻❪ ✭✐✮ ❈❤♦ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛
♣❤➢➡♥❣✱ M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✳ ❑❤✐ ➤ã✱ R✲♠➠➤✉♥ H
i
m
(M) ❧➭ ❆rt✐♥
✈í✐ ♠ä✐ i ∈ N
0
✳
✭✐✐✮ ❈❤♦ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ I ❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ ❜✃t ❦× ❝ñ❛ R✱ M ❧➭
R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✱ ❦❤➳❝ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❝❤✐Ò✉ ❑r✉❧❧ dim M = d✳ ❑❤✐ ➤ã✱
R✲♠➠➤✉♥ H
d
I
(M) ❧➭ ❆rt✐♥✳
❈➳❝ ➜Þ♥❤ ❧ý ➤æ✐ ❝➡ së ♣❤➻♥❣ ✈➭ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❤♦➳ ♥➞♥❣ ②Õ✉ ❝ò♥❣

t❤➢ê♥❣ ➤➢î❝ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✶✹
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✹✳✹✳ ❬✶✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✹✳✸✳✷❪ ●✐➯ sö f : R −→ R

❧➭ ➤å♥❣ ❝✃✉ ♣❤➻♥❣
❣✐÷❛ ❝➳❝ ✈➭♥❤✳ ❑❤✐ ➤ã
H
i
I
(M) ⊗
R
R

∼
=
H
i
I
(M ⊗
R
R

).
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✹✳✺✳ ❬✶✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✶✳✸✳✽❪ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ p ∈ Spec R✱
dim R/p = t✳ ◆Õ✉ ✈í✐ ♠ç✐ sè ♥❣✉②➟♥ i✱ q ∈ Spec R, q ⊆ p ♠➭ t❛ ❝ã
qR
p
∈ Att
R

p
(H
i
pR
p
(M
p
)) t❤× q ∈ Att
R
(H
i+t
m
(M))✳
❑Õt q✉➯ s❛✉ ➤➞② ❝ñ❛ ❈➢ê♥❣✲◆❤➭♥ ❝❤♦ t❛ ♠ét ❝❐♥ tr➟♥ ❝ñ❛ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r
❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✹✳✻✳ ❬✺✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✶✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✺❪ ✭✐✮ ❈❤♦ t ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣
✈➭ I ❧➭ ♠ét ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ R✳ ●✐➯ sö r➺♥❣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣
H
i
I
(M) ❧➭ ❆rt✐♥✱ ✈í✐ ♠ä✐ i = 1, . . . , t. ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã
N-dim
R
(H
i
I
(M))  i,
✈í✐ ♠ä✐ i = 0, 1, . . . , t.
✭✐✐✮ ❈❤♦ M ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈í✐ dim M = d ✈➭ I ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ R s❛♦
❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ H

d
I
(M) ❧➭ ❦❤➳❝ 0✳ ❑❤✐ ➤ã
N-dim
R
(H
d
I
(M)) = d
✈➭ ❞♦ ➤ã✱ H
d
I
(M) ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ♥Õ✉ d > 0✳
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✹✳✼✳ ❈❤♦ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ M ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈í✐ ❝❤✐Ò✉
dim M = d✳ ❑❤✐ ➤ã
Att
R
(H
d
m
(M)) = {p ∈ Ass
R
M | dim R/p = d}.
✶✳✺ ❚Ý♥❤ ❝❛t❡♥❛r② ♣❤æ ❞ô♥❣✱ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ tré♥ ❧➱♥ ✈➭ t❤í
❤×♥❤ t❤ø❝
◆❤➽❝ ❧➵✐ r➺♥❣ ✈➭♥❤ R ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➻♥❣ ❝❤✐Ò✉ ♥Õ✉ dim R/q = dim R✱ ✈í✐
♠ä✐ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè tè✐ t❤✐Ó✉ q ∈ min(Ass R) ✈➭ ♠➠➤✉♥ M ➤➢î❝ ❣ä✐
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ề ế dim R/p = dim M ớ ọ tố tố tể

p min(Ass M) ết ể ột số tí t ủ ớ
tr ổ ụ trộ rớ ết t ột số
ệ s
ị ĩ p q tố ủ R ột
tố p = p
0
p
1
. . . p
n
= q s p
i
= p
i+1
ớ ọ i
ợ ọ tố ữ p q ế ớ ọ i tồ t
ột tố ữ p
i
p
i+1

ị ĩ R tr ế ớ ỗ tố
p, q ủ R s p q, ọ tố t từ p
ết tú t q ề ó ù ộ
ó r Supp M tr ế ớ ỗ tố
p, q Supp M s p q, tì ọ tố
t từ p ết tú t q ề ó ù ộ
ú ý r ế R ề tì R tr ế ỉ ế
dim R/p + ht p = dim R ớ ọ tố p ủ R, rõ r
r Supp M tr ế ỉ ế R/ Ann

R
M tr ó
tr trờ ợ M ề tì Supp M tr ế ỉ ế
dim R/p + dim M
p
= dim M ớ ọ p Supp M.
ị ĩ R ợ ọ tr ổ ụ ế ọ R số
ữ s ề tr
ú ý r ế S R số ữ s tứ tồ t a
1
, . . . , a
t
S
s S = R[a
1
, . . . , a
t
] tì ó t : R[x
1
, . . . , x
t
] S
từ tứ t ế R[x
1
, . . . , x
t
] ế S s (x
i
) = a
i

, ớ ọ
i = 1, . . . , t ì tế S ớ t ủ tứ ì
t ủ tr tr s r R tr ổ
ụ ế ỉ ế ọ tứ ớ ệ số tr R ề tr
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

ị ĩ R ợ ọ trộ
ế dim(

R/

p) = dim R ớ ọ tố

p Ass

R R
ợ ọ tự trộ qs ế

R ề tứ
dim

R/

p = dim

R ớ ọ tố tố tể

p Ass

R

ột số ết q ề ố ệ ữ tí tr ổ ụ
tự trộ
ổ ề ị ý (R, m) tr ị tự
trộ ó
R
p
tự trộ ớ ọ p Spec R
I ủ R ó R/I ề ỉ R/I
tự trộ
R tr ổ ụ
ổ ề ị ý ệ ề s t
R/p tự trộ ớ ọ p Spec R ĩ
dim

R/

p = dim R/p, ớ ọ

p min Ass

R/p

R.
R tr ổ ụ
R[x] tr
ể ế ệ tớ tớ ì tứ ủ trớ ết t
ệ ết q ề s
ột R N ợ ọ ế ớ ỗ ớ 0 L

L L

0 R s
0 L

N L N L

N 0
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

ớ ột R N ợ ọ t ế 0
L

L L

0 R ớ ỉ s
0 L

N L N L

N 0
ớ
: R S ột ồ L S ó L ó
trú R ớ tí ớ ợ ị ĩ s ớ r R
y L ry = (r)y. ồ : R S ợ ọ ồ
t ế S ét R R
t
ú ý r ế (R, m) (S, n) ị : R S
ồ ị tứ (m) n) tì ồ ế
ỉ ế ó t

ị ĩ : R S ồ ữ tr ị
ớ ỗ p Spec R t ọ S
R
R/p tớ ủ ứ
ớ p sử f : R

R ồ í t ó ớ ỗ p Spec R
tồ t

p Spec

R s

p R = p ồ f s r ồ
: R
p


R

p
. ó tớ

R

p

R
p
(R

p
/pR
p
) ủ ứ ớ p
ợ ọ tớ ì tứ ủ R tr p
ệ ề ị ý : R S ồ ữ
tr P Spec S t p =
1
(P ) := P R ó
ht P ht p + dim

S
P

R
p
(R
p
/pR
p
)

.
ế ồ tì t tứ tr trở t tứ
ú ý r ớ ỗ I ủ R tì ủ ủ R/I

R/I

R ì
tế ế p Spec R s p I tì tớ ì tứ ủ R/I tr p ũ

í tớ ì tứ ủ R tr p ớ p ủ p tr R/I
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn