Luận văn: CHIỀU NOETHER CỦA MÔĐUN ARTIN pot

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM









TRẦN THỊ HƯỜNG








CHIỀU NOETHER CỦA MÔĐUN ARTIN






LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2008


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM







TRẦN THỊ HƯỜNG

CHIỀU NOETHER CỦA MÔĐUN ARTIN


Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05





LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC






NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊ DUNG







THÁI NGUYÊN – 2008

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM







TRẦN THỊ HƯỜNG




CHIỀU NOETHER CỦA MÔĐUN ARTIN



Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05




TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊ DUNG









THÁI NGUYÊN – 2008

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Công trình được hoàn thành tại







Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Dung

Phản biện 1:

Phản biện 2:




Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn
họp tại: Trường Đại học sư phạm - ĐHTN

Ngày tháng 10 năm 2008










(R, m)
m; M R A R

M dim M R/ Ann M
δ(M) = dim M = d(M),
δ(M) t
a
1
, . . . , a
t
∈ m M/(a
1
, . . . , a
t
)M d(M)
P
M,I
(n) I
N-dim
N-dim A = deg(
R
(0 :
A
m
n
))
= inf{t  0 : ∃a
1
, . . . , a
t
∈ m : 
R
(0 :

A
(a
1
, . . . , a
t
)R) < ∞}.
A dim
R
A
R/ Ann
R
A
N-dim
R
A  dim
R
A
N-dim
R
A < dim
R
A
Ann
R
(0 :
A
p) = p, ∀p ∈ V (Ann
R
A). (∗)
R M

Ann
R
M/pM = p, p
Ann
R
M R R
A Ann
R
(0 :
A
p) = p
p Ann
R
A
A
(∗)
Usupp
R
M M
H
d
m
(M)
H
i
m
(M)
1
2
R

i i
3
N-dim
R
A  dim
R
A
R
M R A R
N-dim
M N-dim
R
M,
M = 0, N-dim
R
M = −1.
M = 0, d  0, N-dim
R
M = d
N-dim
R
M < d M
0
⊆ M
1
⊆ . . .
M, n
0
N-dim
R

(M
n+1
/M
n
) < d,
n > n
0
.
M R M R
N-dim
R
M = 0. M R
M
0
⊆ M
1
⊆ . . . ⊆ M
n
⊆ . . .
M n
0
∈ N M
n
= M
n+1
n > n
0
M
n+1
/M

n
= 0 N-dim
R
M
n+1
/M
n
= −1 < 0,
n > n
0
M = 0 N-dim
R
M  0
N-dim
R
M = 0 N-dim
R
M = 0
N
0
⊆ N
1
⊆ . . . ⊆ . . . M
n
0
N-dim
R
N
k+1
/N

k
= −1 < 0
k > n
0
N
k+1
= N
k
n > n
0
M R
0 −→ M

−→ M −→ M” −→ 0
R
N-dim
R
M = max{N-dim
R
M

, N-dim
R
M”}.
M

⊂ M
M

= M/M


. M = 0 M

= M” = M = 0
N-dim
R
M

= N-dim
R
M

= N-dim
R
M = −1.
M = 0.
N-dim
R
M = d.
d = 0. M R M

, M

R N-dim
R
M

= N-dim
R
M


= 0.
d > 0
d. M
0
⊆
=
M
1
⊆
=
. . . ⊆
=
M
n
⊆
=
. . .
M.
M
0
∩ M

⊆
=
M
1
∩ M

⊆

=
. . . ⊆
=
M
n
∩ M

⊆
=
. . . (1)
(M

+ M
0
)/M

⊆
=
(M

+ M
1
)/M

⊆
=
. . . ⊆
=
(M


+ M
n
)/M

⊆
=
. . . (2)
M

M

= M/M

.
N-dim
R
M = d n
0
∈ N
N-dim
R
M
n+1
/M
n
< d, n > n
0
0 −→
M


∩ M
n+1
M

∩ M
n
−→
M
n+1
M
n
−→
M

+ M
n+1
M

+ M
n
−→ 0,
N-dim
R
(M
n+1
/M
n
) = max{N-dim
R
M


∩ M
n+1
M

∩ M
n
, N-dim
R
M

+ M
n+1
M

+ M
n
}.
n > n
0
N-dim
R
M

∩ M
n+1
M

∩ M
n

= N-dim
R
(M
n+1
/M
n
) < d
N-dim
R
M

+ M
n+1
M

+ M
n
= N-dim
R
(M
n+1
/M
n
) < d.
N-dim
R
M

= d
N-dim

R
M

= d
N-dim
R
M = max{N-dim
R
M

, N-dim
R
M

}.
m R m
Γ
m
(A) A
Γ
m
(A) =

n≥0
(0 :
A
m
n
).
A R

m R Γ
m
(A) = 0
m
1
, . . . , m
r
A = Γ
m
1
(A) ⊕ . . . ⊕ Γ
m
r
(A) Supp A = {m
1
, . . . , m
r
}.
j ∈ {1, . . . , r} s ∈ R \ m
j
s
Γ
m
j
(A) Γ
m
j
(A)
R
m

j
Γ
m
j
(A) R
R
m
j
A
m
j
∼
=
Γ
m
j
(A), j = 1, . . . , r.
A = A
1
⊕ . . . ⊕ A
r
J
A
=

m∈Supp A
m,
A
j
= ∪

n≥0
(0 :
A
m
n
j
) (1  j  r) (R, m)
J
A
= m.
A R
(R, m) A

R

R m R
A R A

R A
A

R
A = A
1
⊕ . . . ⊕ A
r
A
A
j
N-dim

R
A
j
= N-dim
R
m
j
(A
j
), j = 1, . . . , r.
(R, m) A R A

R
N-dim
R
A = N-dim

R
A.
N-dim A N-dim
R
A N-dim

R
A.
J
A
A
A J
A

J
n
A
A = 0 n  0 
R
A < ∞.
J
n
A
A = 0 n ∈ N
0 = (m
1
m
2
. . . m
r
)
n
A ⊆ (m
n−1
1
m
n
2
. . . m
n
r
)A ⊆ . . . ⊆ (m
1
m

n
2
. . . m
n
r
)A ⊆ . . .
⊆ (m
n
2
. . . m
n
r
)A ⊆ (m
n−1
2
. . . m
n
r
)A ⊆ . . . ⊆ (m
2
. . . m
n
r
)A ⊆ . . .
⊆ m
n
r
A ⊆ m
n−1
r

A ⊆ . . . ⊆ m
r
A ⊆ A

R
A < ∞. 
R
A < ∞
A ⊇ m
1
A ⊇ m
2
1
A ⊇ . . . ⊇ m
n
1
A ⊇ (m
n
1
m
2
)A ⊇ (m
n
1
m
2
2
)A ⊇ . . .
⊇ (m
n

1
m
n
2
)A ⊇ . . . ⊇ (m
n
1
m
n
2
. . . m
r
)A ⊇ (m
n
1
m
n
2
. . . m
2
r
)A ⊇ . . .
⊇ (m
n
1
m
n
2
. . . m
n

r
)A = (m
1
m
2
. . . m
r
)
n
A ⊇ . . .
n
0
∈ N
(m
1
m
2
. . . m
r
)
n
A = (m
1
m
2
. . . m
r
)
n+1
A

n ≥ n
0
. m
1
m
2
. . . m
r
R (m
1
m
2
. . . m
r
)
n
A = 0
J
n
A
A = 0
I R

R
(0 :
A
I) < ∞ 
R
(0 :
A

I
n
) < ∞ n
F (n, I, A) 
R
(0 :
A
I
n
) = F(n, I, A), n  0.
A
I R F (n, I, A) deg(
R
(0 :
A
I
n
))
deg(
R
(0 :
A
I
n
)) = −1 F (n, I, A) = 0 (R, m)
N-dim A = deg(
R
(0 :
A
m

n
))
= inf{t  0 : ∃a
1
, . . . , a
t
∈ m : 
R
(0 :
A
(a
1
, . . . , a
t
)R) < ∞}.
A
N-dim A = deg(
R
(0 :
A
J
n
A
)).
A =
r
⊕
j=1
A
j

A
j
∼
=
Γ
m
j
(A)
(0 :
A
J
n
A
) =
r
⊕
j=1
(0 :
A
j
m
j
n
).
a ∈ (0 :
A
J
n
A
) a ∈ A a =

r

a
j
j=1
,
a
j
∈ A
j
J
n
A
a
j
= 0, j = 1, . . . , r. m  n
m
m
j
a
j
= 0, a
j
∈ A
j
0 = (m
m
j
+ J
n

A
)a
j
⊇ m
n
j
(m
m−n
j
+

i=j
m
n
i
)a
j
.
m
1
, . . . , m
r
R m
m−n
j
+

i=j
m
n

i
= R
m
n
j
a
j
= 0 a ∈
r
⊕
j=1
(0 :
A
j
m
j
n
)
(0 :
A
J
n
A
) ⊆
r
⊕
i=1
(0 :
A
j

m
j
n
).
x ∈
r
⊕
j=1
(0 :
A
j
m
j
n
) x =
r

x
j
i=1
x
j
∈ (0 :
A
j
m
j
n
) x
j

m
n
j
= 0, x
j
J
n
A
= 0 j = 1, . . . , r
x ∈ (0 :
A
J
n
A
)
A
j
R
m
j
j = 1 . . . , r
deg(
R
(0 :
A
J
n
A
)) = max{deg(
R

(0 :
A
j
m
j
n
))}.
deg(
R
(0 :
A
j
m
j
n
)) = N-dim A
j
.
N-dim A = max{N-dim(A
j
)}
deg(
R
(0 :
A
J
n
A
)) = N-dim A
x

1
, . . . , x
n
R
A j = 1, . . . , r t
j
0  t
j
 n
x
1
/1, . . . , x
t
j
/1 R
m
j
A
j
x
t
j
+1
, . . . , x
n
R
m
j
I R (x
1

, . . . , x
n−1
)
n > 0 A
I j ∈ {1, . . . , r} I ⊆ m
j
N-dim(0 :
A
j
I) < N-dim(0 :
A
j
(x
1
, . . . , x
n−1
)R).
x
n
∈ I (x
1
, . . . , x
n
)
A
I R J
A

R
(0 :

A
I) < ∞.
(0 :
A
J
A
) R
t ∈ N J
t
A
(0 :
A
J
A
) = 0 J
A

R
(0 :
A
J
A
) < ∞. A
I
R I ⊂ J
A
(0 :
A
I) = (0 :
A

J
A
) 
R
(0 :
A
I) < ∞.
A 0
t(A) = inf{t : ∃a
1
, . . . , a
t
∈ J
A

R
(0 :
A
(a
1
, . . . , a
t
)R) < ∞}.
t(A) 
R
(0 :
A
J
n
A

)
n  0
n
t(A) = N-dim A = deg(
R
(0 :
A
J
n
A
)).
t(A) = t. t(A)
x
1
, . . . , x
t
∈ J
A

R
(0 :
A
(x
1
, . . . , x
t
)R) < ∞.
n 
R
(0 :

A
(x
1
, . . . , x
t
)
n
R)
deg(
R
(0 :
A
(x
1
, . . . , x
t
)
n
R))  t. deg(
R
(0 :
A
J
n
A
))  t
n  0. N-dim A  t.
N-dim A  t. I = (x
1
, . . . , x

t
)R
A
j
N-dim A
j
> 0 j = 1, . . . , r
1
N-dim A
j
= 0 j = r
1
+ 1, . . . , r
A
1
= A
1
⊕ A
2
⊕ . . . ⊕ A
r
1
.
A
1
I n = 1.
y
1
∈ I y
1

A
1
.
y
1
∈ J
A
y
1
/1 R
m
j
−
A
j
j = 1, . . . , r
1
A
1
, . . . , A
r
1
N-dim(0 :
A
j
y
1
R) > 0 j = 1, . . . , r
2
N-dim(0 :

A
j
y
1
R) = 0
j = r
2
+ 1, . . . , r
1
. y
1
A
2
= A
1
⊕ A
2
⊕ . . . ⊕ A
r
2
,
A
2
I n = 2
y
1
. y
2
∈ I
(y

1
, y
2
) A
2
(y
1
, y
2
) J
A
y
1
/1, y
2
/2 R
m
j
A
j
j = 1, . . . , r
2
N-dim A
j
j = 1, . . . , r
k k
y
1
, . . . , y
k

∈ I A
k
y
1
/1, . . . , y
k
/1
A
1
, . . . , A
r
k
.
N-dim A = N-dim A
1
= . . . = N-dim A
r
k
= k

R
(0 :
A
j
(y
1
, . . . , y
k
)R) < ∞, j = 1, . . . , r


R
(0 :
A
(y
1
, . . . , y
k
)R) < ∞.
t t  k = N-dim A
x = (x
1
, . . . , x
d
) ⊆ J
A
d = N-dim A) A 
R
(0 :
A
xR) < ∞.
(x
1
, . . . , x
i
) J
A
i  d
A d − i x
i+1
, . . . , x

d
J
A
(x
1
, . . . , x
d
) A
x J
A
N-dim(0 :
A
x)  N-dim A − 1.
N-dim A > 0 x A
N-dim(0 :
A
x) = N-dim A − 1.
N-dim(0 :
A
x) = t(0 :
A
x)
= inf{k : ∃x
1
, . . . , x
k
∈ J
A
: 
R

(0 :
(0:
A
x)
(x
1
, . . . , x
k
)) < ∞}
= inf{k : ∃x
1
, . . . , x
k
∈ J
A
: 
R
(0 :
A
(x, x
1
, . . . , x
k
)) < ∞}.
d = N-dim A (x
1
, . . . , x
d
) ⊆ J
A


R
(0 :
A
(x
1
, . . . , x
d
)) < ∞ k  d − 1
N-dim(0 :
A
x)  N-dim A − 1.
N-dim A = d > 0 x A
x
2
, . . . , x
d
(x, x
2
, . . . , x
d
)
A

R
(0 :
(0:
A
x)
(x

2
, . . . , x
d
)) = 
R
(0 :
A
(x, x
2
, . . . , x
d
)) < ∞
N-dim(0 :
A
x)  d − 1
N-dim(0 :
A
x) = N-dim A − 1.
N-dim(0 :
A
x) = N-dim A − 1 x
A
(R, m) M
R dim
R
M = d.
I R M
R i H
i
I

(M) M
I
H
i
I
(M) = R
i
(Γ
I
(M)),
Γ
I
(M) I M
0 −→ L
f
−→ M
g
−→ N −→ 0 R−
δ
0 −→ H
0
I
(L)
H
0
I
(f)
−→ H
0
I

(M)
H
0
I
(g)
−→ H
0
I
(N)
−→ H
1
I
(L)
H
1
I
(f)
−→ H
1
I
(M)
H
1
I
(g)
−→ H
1
I
(N)
−→ . . .

−→ H
i
I
(L)
H
i
I
(f)
−→ H
i
I
(M)
H
i
I
(g)
−→ H
i
I
(N)
−→ H
i+1
I
(L) −→ . . .
i ∈ N
M R
H
i
I
(M) = 0, i > dim M.

(R, m) M R
dim M = d. H
d
m
(M) = 0.
(R, m)
M R R H
i
m
(M)
i ∈ N
0
(R, m) a R M R
dim M = d R
H
d
a
(M)
R M M = 0
x ∈ R x M
Rad(Ann
R
M) p
M p
M R M
M = N
1
+ . . . + N
n
p

i
N
i
.
M = 0 M
p
i
N
i
i = 1, . . . , n
M
{p
1
, . . . , p
n
}
M M
Att
R
M N
i
, i = 1, . . . , n
p
i
Att
R
M N
i
M R M = 0
Att

R
M = ∅
R Ann(M) Att
R
M.
0 −→ M

−→ M −→ M

−→ 0 R
Att
R
M

⊆ Att
R
M ⊆ Att
R
M

∪ Att
R
M

.
H
i
m
(M)
R M

i H
i
a
(M)
i = dim M
i i
t a R
H
i
a
(M)
i = 1, . . . , t.
N-dim
R
(H
i
a
(M))  i,
i = 0, 1, . . . , t.
d d = 0. H
0
a
(M)
N-dim
R
(H
0
a
(M))  0.
d  t > 0

x ∈ m x ∈ p p ∈ Ass
R
M \ {m}.
0 :
M
xR ⊆ 0 :
M
m
t
t  0. 
R
(0 :
M
xR) < ∞
dim
R
(0 :
M
xR) = 0.
H
i
a
(0 :
M
xR) = 0, i > 0
δ
0 −→ (0 :
M
xR) −→ M −→ M/(0 :
M

xR) −→ 0,
0 −→ H
0
a
(0 :
M
xR) −→ H
0
a
(M) −→ H
0
a
(M/0 :
M
xR)
−→ 0 −→ H
1
a
(M) −→ H
1
a
(M/0 :
M
xR) −→ 0 −→ . . .
−→ 0 −→ H
i
a
(M) −→ H
i
a

(M/0 :
M
xR) −→ 0 −→ . . .
H
i
a
(M)
∼
=
H
i
a
(M/0 :
M
xR), i  1. (1)
0 −→ M/(0 :
M
xR)
.x
−→ M −→ M/xM −→ 0.
δ
(1)
0 −→ H
i
a
(M)/xH
i
a
(M) −→ H
i

a
(M/xM) −→ (0 :
H
i+1
a
(M)
xR) −→ 0 (2)
i  1
0 −→ H
0
a
(M/0 :
M
xR) −→ H
0
a
(M) −→
−→ H
0
a
(M/xM) −→ (0 :
H
1
a
(M)
xR) −→ 0. (3)
x a H
0
a
(M/0 :

M
xR)
0 x ∈ a
b ∈ H
0
a
(M/0 :
M
xR) =

n0
(0 :
M/0:
M
xR
a
n
)
0 :
M
xR 0 M/0 :
M
xR
H
0
a
(M/0 :
M
xR) = 0 (2)
H

i
a
(M/xM) i = 1, . . . , t − 1.
N-dim
R
(H
i
a
(M/xM))  i,
i = 0, 1, . . . , t − 1.
(2) N-dim
R
(0 :
H
i+1
a
(M)
xR)  N-dim
R
H
i
a
(M/xM)  i,
i = 0, 1, . . . , t − 1.
N-dim
R
(H
i
a
(M))  i, i = 0, 1, . . . , t.

H
i
m
(M)
m i
N-dim
R
(H
i
m
(M))  i, i
(R, m)
R/m E
Hom
R
(M; E) M R
Hom
R
(A; E) A
R
D() = Hom
R
(; E)
R E f ∈ Hom
R
(E; E)
a
f
∈ R f(x) = a
f

x, x ∈ E.
N R D(N) A R
D(A)
I ⊂ R R j ∈ N
D(N/I
j
N)
∼
=
(0 :
D(N)
I
j
) D(0 :
A
I
j
)
∼
=
D(A)/I
j
D(A).
a R i H
i
a
(M)
R R
N-dim
R

(H
i
a
(M)) = dim
R
(H
i
a
(M)).
K
i
a
(M) := Hom
R
(H
i
a
(M), E(R/m))
R H
i
a
(M)

K
i
a
(M) m
K
i
a

(M) K
i
a
(M) R
dim
R
(K
i
a
(M)) = dim

R
(

K
i
a
(M)).
H
i
a
(M) H
i
a
(M)
∼
=
H
i
a


R
(

M)

R
E R/m E


R/m

R
E
∼
=
E


R
(

K
i
a
(M))
∼
=
K
i

a
(M) ⊗

R
∼
=
K
i
a
(M)

R
dim
R
(K
i
a
(M)) = dim

R
(

K
i
a
(M)) = dim

R
(H
i

a
(M)).
dim

R
(H
i
a
(M)) = N-dim

R
(H
i
a
(M)) = N-dim
R
(H
i
a
(M)).
dim
R
(H
i
a
(M)) = dim
R
(K
i
a

(M)) = N-dim
R
(H
i
a
(M)).
M dim
R
(M) = d
H
d
a
(M)