Chiều noether của môđun artin

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-------------------------








TRẦN THỊ HƯỜNG








CHIỀU NOETHER CỦA MÔĐUN ARTIN






LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2008


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-------------------------






TRẦN THỊ HƯỜNG

CHIỀU NOETHER CỦA MÔĐUN ARTIN


Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05





LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC






NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊ DUNG







THÁI NGUYÊN – 2008

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-------------------------






TRẦN THỊ HƯỜNG




CHIỀU NOETHER CỦA MÔĐUN ARTIN



Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05




TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊ DUNG









THÁI NGUYÊN – 2008

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Công trình được hoàn thành tại







Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Dung

Phản biện 1:...................................................

Phản biện 2:...................................................




Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn
họp tại: Trường Đại học sư phạm - ĐHTN

Ngày tháng 10 năm 2008










✸
▼ë ➤➬✉

❈❤♦ (R, m) ❧➭ ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✱ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ ◆♦❡t❤❡r ✈í✐ ✐➤➟❛♥ ❝ù❝ ➤➵✐ ❞✉②
♥❤✃t m; M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ✈➭ A ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ◆❤➢ ❝❤ó♥❣ t❛
➤➲ ❜✐Õt✱ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ♥❣✉②➟♥ s➡✱ ❝❤✐Ò✉ ❑r✉❧❧ ❧➭ ♥❤÷♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠
❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❍×♥❤ ❤ä❝ ➤➵✐ sè ✈➭ ➜➵✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ♠➭ t❤➠♥❣ q✉❛ ➤ã ♥❣➢ê✐ t❛ ❝ã
t❤Ó ♥ã✐ ❧➟♥ ❝✃✉ tró❝ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤❛ t➵♣ ➤➵✐ sè ❤♦➷❝ ❝✃✉ tró❝ ❝ñ❛ ❝➳❝ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r
✈➭ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ tr➟♥ ❝❤ó♥❣✳ ❈❤✐Ò✉ ❑r✉❧❧ ❝ñ❛ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥
s✐♥❤ M✱ ❦ý ❤✐Ö✉ dim M✱ ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❝❤✐Ò✉ ❑r✉❧❧ ❝ñ❛ ✈➭♥❤ R/ Ann M
✈➭ t❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❧ý t❤✉②Õt ❝❤✐Ò✉ ♥❤➢ s❛✉
δ(M) = dim M = d(M),
tr♦♥❣ ➤ã δ(M) ❧➭ sè ♥❣✉②➟♥ t ♥❤á ♥❤✃t s❛♦ ❝❤♦ tå♥ t➵✐ ♠ét ❞➲② ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö
a
1
, . . . , a
t
∈ m ➤Ó ➤é ❞➭✐ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ M/(a
1
, . . . , a
t
)M ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈➭ d(M)
❧➭ ❜❐❝ ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt P
M,I
(n) ø♥❣ ✈í✐ ✐➤➟❛♥ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ I✳
❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ➤è✐ ♥❣➱✉ ✈í✐ ❝❤✐Ò✉ ❑r✉❧❧ ❝❤♦ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ➤➢î❝ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉
❜ë✐ ❘✳ ◆✳ ❘♦❜❡rt ❬✶✻❪ ✈➭ s❛✉ ➤ã ❉✳ ❑✐r❜② ❬✼❪ ➤æ✐ t➟♥ t❤➭♥❤ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r✱
❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ N-dim ➤Ó tr➳♥❤ ♥❤➬♠ ❧➱♥ ✈í✐ ❝❤✐Ò✉ ❑r✉❧❧ ➤➲ ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝❤♦
❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ◆♦❡t❤❡r✳ ▼ét sè ❦Õt q✉➯ ♠➭ t❤❡♦ ♠ét ♥❣❤Ü❛ ♥➭♦ ➤ã ➤➢î❝ ①❡♠ ❧➭
➤è✐ ♥❣➱✉ ✈í✐ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ò ❝❤✐Ò✉ ❑r✉❧❧ ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ➤➲ ➤➢î❝
➤➢❛ r❛✳ ➜➷❝ ❜✐Öt✱ ❘✳ ◆✳ ❘♦❜❡rts ❬✶✻❪ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét ❦Õt q✉➯ ✈Ò tÝ♥❤ ❤÷✉
❤➵♥ ❝ñ❛ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ✈➭ ♠è✐ ❧✐➟♥ ❤Ö ❣✐÷❛ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ✈í✐ ❜❐❝ ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝
❍✐❧❜❡rt ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tr➟♥ ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✱ ◆♦❡t❤❡r✱ s❛✉ ➤ã ❉✳ ❑✐r❜② ❬✼❪

✈➭ ◆✳ ❚ ✳ ❈➢ê♥❣ ✲ ▲✳ ❚✳ ◆❤➭♥ ❬✸❪ ➤➲ ♠ë ré♥❣ ❦Õt q✉➯ tr➟♥ ❝ñ❛ ❘♦❜❡rts ❝❤♦
✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ❜✃t ❦ú
N-dim A = deg(
R
(0 :
A
m
n
))
= inf{t  0 : ∃a
1
, . . . , a
t
∈ m : 
R
(0 :
A
(a
1
, . . . , a
t
)R) < ∞}.
❚õ ❦Õt q✉➯ tr➟♥✱ ♠ét ❝➳❝❤ tù ♥❤✐➟♥ ❝ã t❤Ó ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❤Ö t❤❛♠
sè✱ ❤Ö ❜é✐ ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ t❤➠♥❣ q✉❛ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r✳

ế t ề t ũ ù ề tr ể ứ
trú ủ rt ệt t ờ
ó ữ ứ s ề ề tr q t
ệt tớ ề tr ủ ố ồ ề ị ú
rt t ợ ột số ết q tú ị ứ tỏ ệ ề tr

t ột ĩ ó ù ợ ớ ố ồ ề ị
tự ề r ủ ữ s ột tự ố
ớ ỗ rt A ề r dim
R
A ũ ợ ể ề r
ủ R/ Ann
R
A ột ết q q trọ tr ứ ố
q ệ ữ ề tr ề r ủ rt tr trờ ợ
tổ qt N-dim
R
A dim
R
A ữ ỉ r ữ trờ ợ r
N-dim
R
A < dim
R
A ệt ết q t ờ tr t ề
ệ ủ ể ề tr ủ ột rt ề r ủ
ó
Ann
R
(0 :
A
p) = p, p V (Ann
R
A). ()
ú ý r ố ớ ỗ R ữ s M t ổ ề
t ó tí t Ann

R
M/pM = p, ớ ọ tố p ứ
Ann
R
M õ r r R ủ tì ớ ỗ R rt
A t ố ts t ó ó Ann
R
(0 :
A
p) = p ớ ọ
tố p ứ Ann
R
A t tr t ỳ
ọ rt A ề tỏ ề ệ ột ề tú ị ữ ờ
ề ệ () t ó tể tr ợ tí tr ủ trộ
Usupp
R
M ủ M t q ố ồ ề ị
t H
d
m
(M) tí trộ tí tr ổ ụ
ủ ố ồ ề ị H
i
m
(M)
ụ í ủ trì ứ tết ết q
ớ tệ ở tr tr ủ ờ
ột ết q ủ ủ rts r
✺

✈➭ ◆✳ ❚✳ ❈➢ê♥❣ ✲ ▲✳ ❚✳ ◆❤➭♥ ✭✶✾✾✾✮✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❝❤✐❛ ❧➭♠ ✸ ❝❤➢➡♥❣✱ ❝➳❝
❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➬♥ t❤✐Õt ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ♥é✐ ❞✉♥❣ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ①❡♥ ❦Ï
tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝❤➢➡♥❣✳
❈❤➢➡♥❣ 1 ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét sè ❦Õt
q✉➯ ✈Ò ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✱ ➤➷❝ ❜✐Öt ❧➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tÝ♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥
❝ñ❛ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ✈➭ ♠è✐ ❧✐➟♥ ❤Ö ❣✐÷❛ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ✈í✐ ❜❐❝ ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝
❍✐❧❜❡rt ❝ñ❛ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳
❈❤➢➡♥❣ 2 ❞➭♥❤ ➤Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❧➵✐ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ò ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ❝ñ❛ ❝➳❝
♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ❦❤✐ ❝❤ó♥❣ ❧➭
❆rt✐♥❀ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ö ❣✐÷❛ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣
t❤ø i ✈í✐ ❝❤Ø sè i ✈➭ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝✃♣
❝❛♦ ♥❤✃t ✈í✐ ❝❤✐Ò✉ ❑r✉❧❧ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤ ❜❛♥ ➤➬✉✳
❈❤➢➡♥❣ 3 tr×♥❤ ❜➭② ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ö ❣✐÷❛ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ✈➭ ❝❤✐Ò✉ ❑r✉❧❧ ❝ñ❛
♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ tæ♥❣ q✉➳t✿ N-dim
R
A  dim
R
A❀ ❝❤Ø r❛ ♥❤÷♥❣
tr➢ê♥❣ ❤î♣ ①➯② r❛ ❞✃✉ ♥❤á ❤➡♥ t❤ù❝ sù ✈➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ ➤Ó ❦❤✐ ♥➭♦ ❝❤✐Ò✉
◆♦❡t❤❡r ❝ñ❛ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ❜➺♥❣ ❝❤✐Ò✉ ❑r✉❧❧ ❝ñ❛ ♥ã✳
P❤➬♥ ❦Õt ❧✉❐♥ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ tæ♥❣ ❦Õt ❧➵✐ t♦➭♥ ❜é ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ➤➲ ➤➵t ➤➢î❝✳
✻
❈❤➢➡♥❣ ✶
❈❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ✈➭ ➤❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt
❚r♦♥❣ t♦➭♥ ❜é ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ t❛ ❧✉➠♥ ❦ý ❤✐Ö✉ R ❧➭ ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✱ ◆♦❡t❤❡r
❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✭❣✐➯ t❤✐Õt ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❦❤✐ ❝➬♥ sÏ ➤➢î❝ ♥➟✉ tr♦♥❣
tõ♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ❝ô t❤Ó✮✱ M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥✱ A ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝ñ❛
❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❧➭ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ❝❤♦ ♠ét ♠➠➤✉♥ t✉ú ý ✈➭
♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ò ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ❝❤♦ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❑Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣
❧➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tÝ♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝ñ❛ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ✈➭ ♠è✐ ❧✐➟♥ ❤Ö ❣✐÷❛ ❝❤✐Ò✉

◆♦❡t❤❡r ✈í✐ ❜❐❝ ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ ❍✐❧❜❡rt ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❑Õt q✉➯ ♥➭② ➤➲ ➤➢î❝
❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ❜ë✐ ❘✳ ◆✳ ❘♦❜❡rts ❬✶✻❪ ❝❤♦ ✈➭♥❤ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ s❛✉ ➤ã ❉✳ ❑✐r❜②
❬✽❪✱ ◆✳ ❚✳ ❈➢ê♥❣ ✲ ▲✳ ❚✳ ◆❤➭♥ ❬✸❪ ♠ë ré♥❣ ❝❤♦ ✈➭♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✱ ◆♦❡t❤❡r✳
✶✳✶ ❈❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r
❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ➤è✐ ♥❣➱✉ ✈í✐ ❝❤✐Ò✉ ❑r✉❧❧ ❝❤♦ ♠ét ♠➠➤✉♥ t✉ú ý ✭❑❞✐♠✮ ➤➢î❝
❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ❜ë✐ ❘✳ ◆✳ ❘♦❜❡rts ❬✶✻❪ ✈➭ ë ➤ã✱ ➠♥❣ ❝ò♥❣ ➤➢❛ r❛ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ò
❝❤✐Ò✉ ❑r✉❧❧ ❝❤♦ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❙❛✉ ➤ã ❉✳ ❑✐r❜② tr♦♥❣ ❬✽❪ ➤➲ ➤æ✐ t❤✉❐t ♥❣÷
❝ñ❛ ❘♦❜❡rts ✈➭ ➤Ò ♥❣❤Þ t❤➭♥❤ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r ✭N-dim✮ ➤Ó tr➳♥❤ ♥❤➬♠ ❧➱♥ ✈í✐
❝❤✐Ò✉ ❑r✉❧❧ ➤➲ ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝❤♦ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ◆♦❡t❤❡r✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ s❛✉ t❤❡♦
t❤❡♦ t❤✉❐t ♥❣÷ ❝ñ❛ ❑✐r❜② ❬✽❪✳

ị ĩ ề tr ủ M ý ệ ở N-dim
R
M,
ợ ị ĩ q s
M = 0, t N-dim
R
M = 1.
ớ M = 0, ột số d 0, t t N-dim
R
M = d ế
N-dim
R
M < d s ớ ỗ t M
0
M
1
. . .
ủ M, tồ t số n
0

s N-dim
R
(M
n+1
/M
n
) < d, ớ ọ
n > n
0
.
í ụ M R ó M R
tr ỉ N-dim
R
M = 0. t sử M R
tr ì ọ t M
0
M
1
. . . M
n
. . .
ủ M ề ừ tồ t n
0
N s M
n
= M
n+1
ớ ọ
n > n
0

ó M
n+1
/M
n
= 0 ì tế N-dim
R
M
n+1
/M
n
= 1 < 0, ớ
ọ n > n
0
ì M = 0 N-dim
R
M 0 ó t ị ĩ
N-dim
R
M = 0 ợ sử N-dim
R
M = 0 ó ột
t t ỳ N
0
N
1
. . . . . . ủ M ị ĩ
tồ t số n
0
s N-dim
R

N
k+1
/N
k
= 1 < 0 ớ ọ
k > n
0
ó N
k+1
= N
k
ớ ọ n > n
0
tr ừ ĩ
M R tr
ệ ề ế
0 M

M M 0
ớ R tì
N-dim
R
M = max{N-dim
R
M

, N-dim
R
M}.
ứ t tí tổ qt t ó tể sử M

M
M

= M/M

. ế M = 0 tì M

= M = M = 0 s r
N-dim
R
M

= N-dim
R
M

= N-dim
R
M = 1.
✽
❉♦ ➤ã t❛ ❧✉➠♥ ❝ã t❤Ó ❣✐➯ t❤✐Õt M = 0. ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜➺♥❣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦
N-dim
R
M = d.
●✐➯ sö d = 0. ❚❤❡♦ ✈Ý ❞ô tr➟♥✱ M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ◆♦❡t❤❡r✳ ❱× ✈❐②✱ M

, M

❝ò♥❣ ❧➭ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ ◆♦❡t❤❡r ♥➟♥ s✉② r❛ N-dim

R
M

= N-dim
R
M

= 0.
●✐➯ sö d > 0 ✈➭ ♠Ö♥❤ ➤Ò ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ ♠➠➤✉♥ ❝ã ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r t❤ù❝
sù ♥❤á ❤➡♥ d. ❈❤♦ M
0
⊆
=
M
1
⊆
=
. . . ⊆
=
M
n
⊆
=
. . . ❧➭ ♠ét ①Ý❝❤ t➝♥❣ ❜✃t ❦ú ❝➳❝
♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M. ❑❤✐ ➤ã✱ t❛ ❝ò♥❣ ❝ã ❝➳❝ ❞➲②
M
0
∩ M

⊆

=
M
1
∩ M

⊆
=
. . . ⊆
=
M
n
∩ M

⊆
=
. . . (1)
(M

+ M
0
)/M

⊆
=
(M

+ M
1
)/M


⊆
=
. . . ⊆
=
(M

+ M
n
)/M

⊆
=
. . . (2)
t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ ①Ý❝❤ t➝♥❣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M

✈➭ M

= M/M

.
❉♦ N-dim
R
M = d ♥➟♥ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✱ tå♥ t➵✐ n
0
∈ N s❛♦ ❝❤♦
N-dim
R
M
n+1
/M

n
< d, ✈í✐ ♠ä✐ n > n
0
✳ ❱× ✈❐②✱ ➳♣ ❞ô♥❣ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉②
♥➵♣ ✈➭♦ ❞➲② ❦❤í♣
0 −→
M

∩ M
n+1
M

∩ M
n
−→
M
n+1
M
n
−→
M

+ M
n+1
M

+ M
n
−→ 0,
t❛ ❝ã

N-dim
R
(M
n+1
/M
n
) = max{N-dim
R
M

∩ M
n+1
M

∩ M
n
, N-dim
R
M

+ M
n+1
M

+ M
n
}.
❱× t❤Õ✱ ✈í✐ ♠ä✐ n > n
0
✱ t❛ ❝ã ❤♦➷❝

N-dim
R
M

∩ M
n+1
M

∩ M
n
= N-dim
R
(M
n+1
/M
n
) < d
❤♦➷❝
N-dim
R
M

+ M
n+1
M

+ M
n
= N-dim
R

(M
n+1
/M
n
) < d.
❉♦ ➤ã✱ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝❤✐Ò✉ ◆♦❡t❤❡r t❛ ❝ã ❤♦➷❝ N-dim
R
M

= d ❤♦➷❝
N-dim
R
M

= d ❤❛②
N-dim
R
M = max{N-dim
R
M

, N-dim
R
M

}.

m ột ự ủ R r m

m

(A) ủ A ợ ị ĩ ở

m
(A) =

n0
(0 :
A
m
n
).
ột số tí t ủ rt ợ r ở r
tờ ợ ù tr ứ ề s
ệ ề ệ ề ổ ề
sử A ột R rt ó ỉ ó ữ
ự m ủ R s
m
(A) = 0 ế ự ệt ó
m
1
, . . . , m
r
tì
A =
m
1
(A) . . .
m
r
(A) Supp A = {m

1
, . . . , m
r
}.
ớ ỗ j {1, . . . , r} ế s R \ m
j
tì é ở s t
ột tự ủ
m
j
(A) ó
m
j
(A) ó trú tự ủ ột
R
m
j
ớ trú ột t ủ
m
j
(A) ột R
ế ỉ ế ó R
m
j
ệt
A
m
j

=

m
j
(A), ớ ọ j = 1, . . . , r.
í ệ ể t tệ từ ờ trở t t
A = A
1
. . . A
r
J
A
=

mSupp A
m,
tr ó A
j
=
n0
(0 :
A
m
n
j
) (1 j r) ú ý r (R, m) ị
tì J
A
= m.
ệ ề ổ ề ệ q A R rt
tr ị (R, m) ó A ó trú tự ủ

R tr ó

R ủ t t m ủ R ọ t
ủ A R ủ A ế ỉ ế ó

R ủ A
ó A ó trú tự ủ

R rt

ó trú ệt ờ t ó tể ể ệ ứ
rt tr ột t ỳ ề ệ ứ ú tr
ị í t s ề ề tr ủ rt
ột í ụ ét tr
ổ ề sử r A = A
1
. . . A
r
ột tí A t
tổ trự tế A
j
tr ý ệ ó
N-dim
R
A
j
= N-dim
R
m

j
(A
j
), ớ ọ j = 1, . . . , r.
(R, m) ị A R rt ó A ó
trú tự ủ

R rt t ó
N-dim
R
A = N-dim

R
A.
í ì t ó tể ết N-dim A t N-dim
R
A N-dim

R
A.
ề tr tứ rt
J
A
ủ ự tr ý ệ trớ ết
ết q s t t r ộ ủ rt A ữ ỉ
A ị tử ở ột ỹ từ ó ủ J
A

ổ ề J
n

A
A = 0 ớ n 0 ỉ
R
A < .
ứ sử J
n
A
A = 0 ớ n N ó t ó
0 = (m
1
m
2
. . . m
r
)
n
A (m
n1
1
m
n
2
. . . m
n
r
)A . . . (m
1
m
n
2

. . . m
n
r
)A . . .
(m
n
2
. . . m
n
r
)A (m
n1
2
. . . m
n
r
)A . . . (m
2
. . . m
n
r
)A . . .
m
n
r
A m
n1
r
A . . . m
r

A A
ó
R
A < . ợ ì
R
A <
A m
1
A m
2
1
A . . . m
n
1
A (m
n
1
m
2
)A (m
n
1
m
2
2
)A . . .
(m
n
1
m

n
2
)A . . . (m
n
1
m
n
2
. . . m
r
)A (m
n
1
m
n
2
. . . m
2
r
)A . . .
(m
n
1
m
n
2
. . . m
n
r
)A = (m

1
m
2
. . . m
r
)
n
A . . .

ừ tứ tồ t n
0
N s
(m
1
m
2
. . . m
r
)
n
A = (m
1
m
2
. . . m
r
)
n+1
A
ớ ọ n n

0
. ì m
1
m
2
. . . m
r
tí ủ ữ ự
ệt ủ R t ổ ề t ó (m
1
m
2
. . . m
r
)
n
A = 0 s r
J
n
A
A = 0
r t ết q ủ r ớ ỗ I ủ R
ế
R
(0 :
A
I) < tì
R
(0 :
A

I
n
) < ớ n ủ ớ ữ tồ
t ột tứ F (n, I, A) s
R
(0 :
A
I
n
) = F (n, I, A), ớ n 0.
tứ tr ợ ọ tứ rt ủ rt A ứ ớ
I ủ R ý ệ ủ F (n, I, A) deg(
R
(0 :
A
I
n
)) q ớ
deg(
R
(0 :
A
I
n
)) = 1 ế F (n, I, A) = 0 r trờ ợ (R, m)
tự ị rts ứ ết q s ề t tự
tr rt q ết ò ợ ọ ị ý
ủ ý tết ề
N-dim A = deg(
R

(0 :
A
m
n
))
= inf{t 0 : a
1
, . . . , a
t
m :
R
(0 :
A
(a
1
, . . . , a
t
)R) < }.
ớ t sẽ ứ ết q tr ủ rts ợ
r ờ ở rộ t
ỳ rớ ết t ứ ết q s
ệ ề ị ý ố ớ ọ rt A t ề ó
N-dim A = deg(
R
(0 :
A
J
n
A
)).

ứ ý ệ t ó A =
r

j=1
A
j
ớ A
j

=

m
j
(A) rớ
ết t ứ tứ
(0 :
A
J
n
A
) =
r

j=1
(0 :
A
j
m
j
n

).

ột tử tỳ ý a (0 :
A
J
n
A
) ì a A a =
r

a
j
j=1
, tr ó
a
j
A
j
J
n
A
a
j
= 0, ớ ọ j = 1, . . . , r. ó tể ọ m n s
m
m
j
a
j
= 0, ớ a

j
A
j
ì t ó
0 = (m
m
j
+ J
n
A
)a
j
m
n
j
(m
mn
j
+

i=j
m
n
i
)a
j
.
ì m
1
, . . . , m

r
ự ệt ủ R m
mn
j
+

i=j
m
n
i
= R
ó m
n
j
a
j
= 0 ì tế a
r

j=1
(0 :
A
j
m
j
n
) t ó
(0 :
A
J

n
A
)
r

i=1
(0 :
A
j
m
j
n
).
ợ ột tử tỳ ý x
r

j=1
(0 :
A
j
m
j
n
) ó x =
r

x
j
i=1
tr

ó x
j
(0 :
A
j
m
j
n
) x
j
m
n
j
= 0, s r x
j
J
n
A
= 0 ớ ọ j = 1, . . . , r
ề é t x (0 :
A
J
n
A
) t ó tứ ợ
ờ ụ ệ ề t ó tể A
j
tr
ị R
m

j
ớ ọ j = 1 . . . , r ừ tứ tr t ó
deg(
R
(0 :
A
J
n
A
)) = max{deg(
R
(0 :
A
j
m
j
n
))}. ì tế ụ ết q
tr ị ợ ứ ở rt ị ý t ó
deg(
R
(0 :
A
j
m
j
n
)) = N-dim A
j
. ữ t ệ ề t ó

N-dim A = max{N-dim(A
j
)} ết ợ tt ết q tr t ợ ề
ứ deg(
R
(0 :
A
J
n
A
)) = N-dim A
rớ r ết q í ủ t ột ết q ề
ệ t số ị ế ợ ớ tệ ở r r
tr ột tử x
1
, . . . , x
n
ủ R ợ ọ ệ t số ị
ế ủ A ế ớ ỗ j = 1, . . . , r tồ t ột số t
j
ớ 0 t
j
n
s x
1
/1, . . . , x
t
j
/1 tr R
m

j
ột ệ t số ủ
A
j
x
t
j
+1
, . . . , x
n
ị tr R
m
j


ổ ề ổ ề I ột ủ R (x
1
, . . . , x
n1
) ớ
n > 0 ột ệ t số ị ế ủ A ợ t t ở
tử ủ I s ớ ọ j {1, . . . , r} I m
j
t ó
N-dim(0 :
A
j
I) < N-dim(0 :
A
j

(x
1
, . . . , x
n1
)R).
ó tồ t x
n
I s (x
1
, . . . , x
n
) ột ệ t số ị
ế ủ A
ổ ề ồ t ột ữ s I ủ R ứ tr J
A
s

R
(0 :
A
I) < .
ứ ó (0 :
A
J
A
) R rt t ệ ề
tồ t số t N s J
t
A
(0 :

A
J
A
) = 0 ì J
A
tí ủ ữ
ự t ổ ề t ó
R
(0 :
A
J
A
) < . ữ A
rt t r ổ ề tồ t ữ s I ủ
R s I J
A
(0 :
A
I) = (0 :
A
J
A
) ì
R
(0 :
A
I) < .
ớ ỗ rt A 0 t ý ệ
t(A) = inf{t : a
1

, . . . , a
t
J
A
s
R
(0 :
A
(a
1
, . . . , a
t
)R) < }.
ó t(A) ữ t ổ ề r
R
(0 :
A
J
n
A
) ột
tứ n 0 ị ý s ết q í ủ
t tí ữ ủ ề tr ủ rt tr
tr ố ệ ữ ề tr ớ ủ tứ rt ủ
rt ị ý ở rộ ết q í ủ rts tr
t ỳ ợ ờ ứ
tr
ị ý ị ý ớ ọ số n ủ ớ t ó
t(A) = N-dim A = deg(
R

(0 :
A
J
n
A
)).

ứ tứ tứ tr ị ý ợ ứ tr
ệ ề ở tr t(A) = t. ó t ị ĩ t(A) tồ
t tử x
1
, . . . , x
t
J
A
s
R
(0 :
A
(x
1
, . . . , x
t
)R) < . ì
tế t ệ ề ớ n ủ ớ
R
(0 :
A
(x
1

, . . . , x
t
)
n
R) tứ
deg(
R
(0 :
A
(x
1
, . . . , x
t
)
n
R)) t. ề é t deg(
R
(0 :
A
J
n
A
)) t
ớ n 0. ì t ệ ề t ó N-dim A t. ờ t ỉ
ứ N-dim A t. ể ợ ề t t I = (x
1
, . . . , x
t
)R
số A

j
tr ý ệ t ó tể sử
N-dim A
j
> 0 ớ j = 1, . . . , r
1
N-dim A
j
= 0 ớ j = r
1
+ 1, . . . , r
t
A
1
= A
1
A
2
. . . A
r
1
.
ó A
1
t ề ệ ủ ổ ề ứ ớ I n = 1.
ì tồ t y
1
I s y
1
ột ệ t số ị ế ủ A

1
.
ì y
1
J
A
t ó y
1
/1 ột ệ t số ủ tt R
m
j

A
j
ớ j = 1, . . . , r
1

số A
1
, . . . , A
r
1
t ó tể sử r
N-dim(0 :
A
j
y
1
R) > 0 ớ j = 1, . . . , r
2

N-dim(0 :
A
j
y
1
R) = 0 ớ
j = r
2
+ 1, . . . , r
1
. ì y
1
ũ ột ệ t số ị ế ủ
A
2
= A
1
A
2
. . . A
r
2
,
A
2
ũ t ề ệ ủ ổ ề ứ ớ I n = 2
ệ t số ị ế y
1
. ó tồ t tử y
2

I s
(y
1
, y
2
) ệ t số ị ế ủ A
2
ì (y
1
, y
2
) ứ tr J
A

t ó y
1
/1, y
2
/2 ột ệ t số ủ tt R
m
j
A
j
ớ
j = 1, . . . , r
2

q trì tr ì N-dim A
j
ữ ớ ọ j = 1, . . . , r

tồ t số tự k ể q trì tr ừ s k ớ ì tồ t
y
1
, . . . , y
k
I ệ t số ị ế ủ A
k
y
1
/1, . . . , y
k
/1 ệ