Luận văn: PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CỦA HÀM NGUYÊN VÀ ĐẠO HÀM CỦA NÓ pptx

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
  








NGUYỄN THỊ PHƢƠNG LAN












PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CỦA HÀM NGUYÊN
VÀ ĐẠO HÀM CỦA NÓ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC


















THÁI NGUYÊN - 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
ĐẠI HỌC THÁI
NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ
PHẠM

 






NGUYỄN THỊ PHƢƠNG LAN




PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CỦA HÀM NGUYÊN
VÀ ĐẠO HÀM CỦA NÓ


Chuyên ngành:GIẢI
TÍCH
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN
HỌC





Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : GS.TSKH. HÀ HUY
KHOÁI
















Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3

THÁI NGUYÊN -
2009

Mục lục
trang

MỞ ĐẦU 4
Chƣơng 1 - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ………………………………….6
1.1. Công thức Poisson-Jensen … 6
1.2. Các hàm đặc trưng Nevanlinna 7
1.3. Đồng nhất thức Cartan và tính lồi 14
1.4. Quan hệ số khuyết 14
1.5. Tập xác định duy nhất các hàm phân hình 17
Chƣơng 2 - PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CỦA HÀM NGUYÊN VÀ
ĐẠO HÀM CỦA NÓ………………………………………………… 29
2.1. Sự xác định của hàm nguyên và tổ hợp tuyến tính của các đạo hàm của
nó dựa vào tạo ảnh của hai điểm…………………………………………… 31
2.2. Sự xác định của hàm nguyên và đạo hàm của nó dựa vào tạo ảnh của
một tập gồm hai điểm…………………………………………………………43
KẾT LUẬN 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của
GS. TSKH Hà Huy Khoái. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Thầy
không chỉ hướng dẫn em nghiên cứu khoa học mà thầy còn thông cảm tạo mọi
điều kiện động viên trong suốt quá trình làm luận văn .
Em xin chân thành cảm ơn khoa Toán, khoa Sau Đại học trường Đại học Sư
phạm Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam đã giúp đỡ và tạo điều kiện để em
hoàn thành luận văn này .
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường CĐSP Bắc Kạn,
đặc biệt là các đồng nghiệp trong khoa TN, gia đình và bạn bè đã hết sức quan
tâm và giúp đỡ em trong thời gian học và hoàn thành luận văn.
Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắc chắn
không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của
Quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2009
TÁC GIẢ


Nguyễn Thị Phương Lan

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5
MỞ ĐẦU
Trong toán học, lý thuyết phân bố giá trị là một phân ngành của phân tích toán
học. Lý thuyết phân bố giá trị được nhà toán học R. Nevanlinna đưa ra năm
1926. Chính vì thế lý thuyết này còn được gọi là lý thuyết Nevanlinna. Mục
đích chính của lý thuyết phân bố giá trị là thiết lập định lý cơ bản thứ nhất và
định lý cơ bản thứ hai đối với các ánh xạ phân hình. Một trong những ứng
dụng quan trọng bậc nhất của lý thuyết Nevanlinna chính là vấn đề duy nhất,
tức là tìm điều kiện để hai ánh xạ phân hình
f
và
g
là trùng nhau. Như đã đề
cập ở trên, năm 1926, Nevanlinna đã chứng minh được rằng: với hai hàm
phân hình
f
và
g
trên mặt phẳng phức

, nếu chúng có cùng ảnh ngược
(không tính bội) của năm điểm phân biệt thì
f
trùng
g

. Có thể nói việc
nghiên cứu vấn đề duy nhất đối với ánh xạ phân hình đòi hỏi cả hai phương
diện: xây dựng Lý thuyết phân bố giá trị (mà cụ thể là định lý cơ bản thứ hai)
và nghiên cứu ứng dụng của nó. Vấn đề duy nhất đối với ánh xạ phân hình
còn được nghiên cứu dưới nhiều sắc thái nữa như đa thức duy nhất, tập duy
nhất.
Cũng nghiên cứu về ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna dựa theo bài
báo của đồng tác giả người Trung Quốc là Ping Li và Chung- Chun Yang nói
về phân phối giá trị của hàm nguyên và đạo hàm của nó trong [16], luận văn
trình bày một số kết quả cơ bản của lý thuyết Nevanlinna và ứng dụng đối
với phân phối giá trị của hàm nguyên và đạo hàm của nó trong trường số
phức. Đây là một hướng nghiên cứu thời sự, thu hút sự quan tâm của nhiều
nhà toán học trong những năm gần đây.
Nội dung luận văn gồm hai chương.
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết Nevanlinna, được
trình bày với mục đích cung cấp các kiến thức cần thiết để cho người đọc dễ
theo dõi chứng minh các kết quả của chương sau. Trong chương này, các



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6
tính chất cơ bản của lý thuyết Nevanlinna được nhắc lại là: công thức
Poisson-Jensen, các hàm đặc trưng Nevanlinna, hai định lý cơ bản, đồng
nhất thức Cartan và tính lồi, quan hệ số khuyết, tập xác định duy nhất các
hàm phân hình.
Chương 2: Một số kết quả về phân phối giá trị của hàm nguyên và đạo
hàm của nó.
Kết quả chính được trình bày trong luận văn là hai định lý sau đây nói

về
sự xác định của hàm nguyên và tổ hợp tuyến tính của các đạo hàm của
nó dựa vào tạo ảnh của hai điểm, sự xác định của hàm nguyên và đạo hàm
của nó dựa vào tạo ảnh của một tập gồm hai điểm.

Định lý.2.1.7. Giả sử
f
là một hàm nguyên khác hằng số và
()
1
0
()
n
i
i
i
g L f b b f


  

,
trong đó,
( 1,0,1, , )
i
b i n 
là các hàm phân hình nhỏ của
f
. Giả sử
1

a
và
2
a

là hai hằng số phân biệt trong
£
. Nếu
f
và
()g L f
cùng phân phối
1
a CM

và
2
a IM
thì
gf 
hoặc
f
và
g
có biểu thức như sau:
2
2 1 2
( )(1 )f a a a e

   

,
và
2 1 1 2
2 ( )g a a a a e

   
,
trong đó

là một hàm nguyên.
Định lý 2.2.3. Giả sử
f
là một hàm nguyên khác hằng số và
12
,aa
là
hai số phức phân biệt. Nếu
f
và
'f
cùng phân phối tập
 
12
,a a CM
thì một
và chỉ một trong các khẳng định sau là đúng.
(i)
'ff
.
(ii)

12
'f f a a  
.
(iii)
12
cz cz
f ce c e


, với
12
0aa
, trong đó
1
,cc
và
2
c
là
các hằng số khác không, thoả mãn
2
1c 
và
22
1 2 1
1
(1 )
4
c c a c



.
Để minh họa kết quả nêu trên, luận văn cũng đưa ra một vài ví dụ cụ



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7
thể.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Công thức Poisson-Jensen.
Giả sử
()fz
là hàm phân hình trong
{ }
, (0) 0,z R f£ ¹ ¥
. Giả sử
12
, , ,
M
a a aL

là các
0

-điểm của
()fz
trong
{ }
zR£
(mỗi
0
-điểm được kể một số lần bằng bội
của nó),
12
, , ,
N
b b bL
là các cực điểm (mỗi cực điểm được kể một số lần bằng bội
của nó). Khi đó:
(0 )
i
z re r R
q
" = £ £
, ta có:
2
22
22
0
1
log ( ) log (Re )
2 2 cos( )
ii
Rr

f re f d
R Rr r
p
qj
j
p j q
-
=+
- - +
ò

22
11
()
()
log log
MN
R z a
R z b
R a z R b z
m
u
mu
mu
==
-
-
+-

åå

.
Nhận xét: Hàm phân hình
()fz
chỉ có hữu hạn
0
-điểm và cực điểm trong
{ }
zR£
.
1.1.1. Hệ quả.
Với các giả thiết như trong công thức Poisson-Jensen, ta có:
2
11
0
1
log (0) log (Re ) log log
2R
MN
i
a
b
f f d
R
p
m
u
j
mu
j
p

==
= + -
åå
ò
.
 Nếu
(0) 0f =
hoặc
¥
thì
()fz
có khai triển tại
0z =
dạng:
1
1
( ) ( 0f z c z c z
ll
ll
l
+
+
= + + >L
nếu
(0) 0f =
,
0l <
nếu
(0)f =¥
).

 Xét hàm
1
( ) ( )/ ( ), (0) 0,z R f z z R c c z
l l l
ll
yy
+
= = + + ¹ ¥L
.
1.1.2. Hệ quả. Với các giả thiết như trong công thức Poisson-Jensen, ta có:
2
11
0
1
log log log (Re ) log log
2
MN
i
a
b
R c f d
RR
p
m
u
j
l
mu
lj
p

==
+ = + -
åå
ò
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9
1.2. Các hàm đặc trƣng Nevanlinna.
1.2.1. Định nghĩa. Với mỗi số thực
a
, đặt
{ }
log max 0,logaa
+
=
( tức là, nếu
1a £
thì
log 0a
+
=
, nếu
1a ³
thì
log logaa
+
=
).

Ta có:
1
log log logaa
a
++
=-
.
1.2.2. Định nghĩa.
Giả sử
()fz
là hàm phân hình ở trong
{ }
zR£
, có các
0
-điểm là
12
, , ,
M
a a aL
, các cực điểm
12
, , ,
N
b b bL
( mỗi
0
-điểm, cực điểm được tính một số
lần bằng bội của nó). Hàm đếm của hàm
f

được định nghĩa bởi công thức sau:
1
R
( , ) log ( ( , ) 0)
b
N
N f R N f R
u
u
=
=³
å
.
1.2.3. Định nghĩa. Hàm xấp xỉ
( , )m f R

2
0
1
( , ) log (Re )
2
i
m f R f d
p
j
j
p
+
=
ò

.
Từ định nghĩa hàm xấp xỉ
( , )m f R
,ta có:
2 2 2
0 0 0
1 1 1 1
log (Re ) log (Re ) log
2 2 2
(Re )
ii
i
f d f d d
f
p p p
jj
j
j j j
p p p
++
=-
ò ò ò


1
( , ) ( , )m f R m R
f
=-
.
Hàm

f
có
0
-điểm tại
12
, , ,
M
a a aL
suy ra hàm
1
f
có cực điểm tại
12
, , ,
M
a a aL
.
Từ định nghĩa hàm
( )
,N f R
, ta có
1
1R
( , ) log
a
M
NR
f
m
m

=
=
å
.
Hệ quả 1.1.1 có thể viết lại dưới dạng sau đây:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
11
log (0) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
11
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
f m f R m R N R N f R
ff
m f R N f R m R N R
ff
= - - +
éù
êú
= + - +
êú
ëû

1.2.4. Định nghĩa.
Hàm đặc trưng Nevanlinna
( , ) ( , ) ( , )T f R m f R N f R=+
.
Hệ quả 1.1.1 được viết lại dạng:
1

( , ) ( , ) log (0)T f R T R f
f
=+
.
Từ định nghĩa của các hàm
( , )m f R
,
( )
,N f R
,
( , )T f R
, ta có các tính chất
sau:
1.2.5. Định lý. Nếu
, 1,
j
f j p
là các hàm phân hình,
r
là một số thực dương
tuỳ ý,
a
là số phức bất kỳ thì ta có các tính chất sau:
1)
1
1
( , ) ( , )
pp
jj
j

j
m f r m f r
=
=
Õ £ å
.
2)
( )
11
( , ) ,
pp
jj
jj
m f r m f r
==
å £ å
.
3)
1
1
( , ) ( , )
pp
jj
j
j
N f r N f r
=
=
Õ £ å
.

4)
( )
11
( , ) ,
pp
jj
jj
N f r N f r
==
å £ å
.
5)
1
1
( , ) ( , )
pp
jj
j
j
T f r T f r
=
=
Õ £ å
.
6)
( )
11
( , ) ,
pp
jj

jj
T f r T f r
==
å £ å
.
7)
( , ) ( , ) log log2T f a r T f r a
+
- - £ +
.
Chứng minh:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11
7) Ta có :
( )
11
log log max log log max log log
pp
j j j j
jj
a p a p a p a
+ + + + + +
==
£ £ + £ +
åå
.
Suy ra
11

( , ) ( , ) log
pp
jj
jj
m f r m f r p
==
£+
åå
,
và
11
( , ) ( , ) log
pp
jj
jj
T f r T f r p
==
£+
åå
.
Xét
1 2 2 2
, , ( , ) 0, ( , ) logf f f a N f r m f r a
+
= = - = =
. Ta có:
( , ) ( , ) log log2T f a r T f r a
+
- £ + +
.

Tức là,
( , ) ( , ) log log2T f a r T f r a
+
- - £ +
. (1)
Mặt khác,
( , ) ( , ) ( , ) log log2T f r T f a a r T f a r a
+
= - + £ - + +
.
Do đó,
( , ) ( , ) (log log2)T f a r T f r a
+
- - ³ - +
. (2)
Từ (1) và (2) suy ra
( , ) ( , ) log log2T f a r T f r a
+
- - £ +
.
W

1.2.6.Định lý cơ bản thứ nhất.
Giả sử
()fz
là hàm phân hình trong
{ }
,z R a£Î
£
tuỳ ý. Khi đó, ta có:

11
( , ) ( , ) ( , ) log (0) ( , )m R N R T R f f a a R
f a f a
e+ = - - +

,
trong đó,
( , ) log log2a R ae
+
£+
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
Ý nghĩa của định lý cơ bản thứ nhất:
2
0
1 1 1
( , ) log
2
(Re )
i
m R d
fa
fa
p
j
j
p

+
=
-
-
ò
.
1R
( , ) log
b
NR
fa
=å
-
, trong đó
b
là các cực điểm của hàm
1
fa-
. Như vậy,
tổng trên lấy theo các
0
-điểm của hàm
fa-
, tức là, tổng lấy theo các nghiệm
của phương trình
0fa-=
. Do đó,
1
( , )NR
fa-

“đo độ lớn” của tập hợp nghiệm
của phương trình
0 ( ( ) )f a f z a- = =
.
1
( , )mR
fa-
lớn nếu
(Re )
i
fa
j
:
suy ra
1
( , )mR
fa-
“đo độ lớn” tập hợp
z
tại
đó
()f z a:
. Do đó,
11
( , ) ( , )m R N R
f a f a
+

“đo độ lớn” tập hợp
z

tại đó
()f z a=
hoặc
()f z a:
. Vế phải có thể xem là không phụ thuộc
a
nên định lý cơ
bản thứ nhất cho ta thấy hàm phân hình
()fz
“nhận giá trị
a
và giá trị gần
a
một
số lần như nhau với mọi
a
”. (Tương tự, định lý cơ bản của đại số nói rằng đa
thức
f
“nhận mọi giá trị
a
một số lần như nhau”).
Trong sự tương tự này, hàm đặc trưng Nevanlinna đóng vai trò như bậc của
đa thức .
Để thuận tiện, nếu
f
là hàm cố định, ta dùng các kí hiệu sau:
1
( , ) ( , )m R m R a
fa

=
-
.
1
( , ) ( , )N R N R a
fa
=
-
.
( , ) ( , )m R f m R=¥

( , ) ( , )N R f N R=¥
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13
R
( , ) log ,
b
N R a b=å
là
0
-điểm của
fa-
.
Nhận xét:
( , )T R f
được định nghĩa cho các hàm phân hình. Tuy nhiên trong
trường hợp

f
chỉnh hình thì hàm
( , )T R f
vẫn cho nhiều thông tin hơn hàm
max f
.
1.2.7.Định lý. Giả sử
()fz
là hàm chỉnh hình trong
{ }
zR£
. Khi đó, với
rR"<
, ta có:
( , ) log ( , ) ( , )
Rr
T r f M r f T R f
Rr
+
+
££
-
,
trong đó,
( , ) ( )
zr
M r f Max f z
£
=
.

1.2.8.Mệnh đề: Giả sử
f
là hàm phân hình,
()
()
()
af z b
gz
cf z d
+
=
+
,
0ad bc-¹
. Khi
đó, ta có:
( , ) ( , ) (1)T r g T r f= + O
.
Chứng minh: Xét
af b
g
cf d
+
=
+
.

0c=
.
( , ) ( , ) ( , )

a b a b a
g f T r g T r f T r f
d d d d d
= + Þ = + = + O
(1)
( , )T r f= + O
(1) .

0, 0ca¹¹
.
()
(1 )
()
b d b d
ff
af b a a a bc ad
a c a c
g
d d d
cf d c c c
f f ac f
c c c
+ + + -
+-
= = = = +
+
+ + +
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
( , ) ( ,1 )
()
bc ad
T r g T r
d
ac f
c
-
= + + O
+
(1)
( , )
()
bc ad
Tr
d
ac f
c
-
= + O
+
(1)

()
( , )
d
ac f
c

Tr
bc ad
+
= + O
-
(1)
( , )
d
T r f
c
= + + O
(1)
( , )T r f= + O
(1).

0, 0ca¹=
.
( , ) ( , )
b cf d
g T r g T r
cf d b
+
= Þ = + O
+
(1)
( , )T r cf d= + + O
(1)
( , )T r cf= + O
(1)
( , )T r f= + O

(1).
W

1.2.9. Bất đẳng thức cơ bản. Giả sử
f
là hàm phân hình,
2q³
,
12
, , ,
q
a a aL

là các số phức phân biệt. Khi đó, ta có:
1
1
( , ) ( , ) 2 ( , ) ( ) ( )
q
m r m r a T r f N r S r
u
u=
¥ + £ - +
å
,
trong đó,
1
1
( ) ( , ) 2 ( , ) ( , ')
'
N r N r N r f N r f

f
=+-
.
1
' ' 3 1
( ) ( , ) ( , ) log log2 log , min
'(0)
q
f f q
S r m r m r q a a
f f a f
um
mu
u
u
d
d
+
¹
=
= + + + + = -
-
å
.
Có thể chứng minh rằng
1
( ) 0Nr³
.
( ) ( ( , '))S r T r fo=
.

1.2.9.1. Bổ đề. Với giả thiết như trong bất đẳng thức cơ bản, ta có:
1
3
( , ) ( , ) log log2
q
q
m r f m r a q
u
u
d
+
=
³ - -
å
.
1.2.9.2. Bổ đề. Với mọi hàm phân hình
g
, ta luôn có:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
2
0
1 1 1
( , ) ( , ) log log (0)
2
()
i
N r g N r d g

g
g re
p
j
j
p
- = +
ò
.
1.2.9.3. Mệnh đề. Nếu
()Sr
có dạng như trong bất đẳng thức cơ bản thì
( ) (log ( , )) (log )S r T r f roo=+
.
1.2.9.4. Mệnh đề. Nếu
1
()Nr
có dạng như trong bất đẳng thức cơ bản thì
1
( ) 0Nr³
.
1.2.10. Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna. Giả sử
()fz
là hàm phân
hình trên
£
;
12
, , , ( 2)
q

a a a q ³L
là các số phức phân biệt. Khi đó, ta có:
1
1
( 1) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )
q
q T r f N r a N r N r S r
u
u=
- £ + ¥ - +
å
,
trong đó,
1
1
( ) ( , ) 2 ( , ) ( , ')
'
N r N r N r f N r f
f
=+-
,
( ) (log ( , )) (log )S r T r f roo=+
.
Chứng minh: Theo bất đẳng thức cơ bản:
1
1
( , ) ( , ) 2 ( , ) ( ) ( )
q
m r m r a T r f N r S r
u

u=
¥ + £ - +
å
.
Cộng vào hai vế đại lượng
1
( , ) ( , )
q
N r N r a
u
u=
¥+
å

{ } { }
1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
q
m r N r m r a N r a
uu
u=
¥ + ¥ + +
å

1
1
2 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )
q
T r f N r N r a N r S r
u

u=
£ + ¥ + - +
å
.
Theo định lý cơ bản thứ nhất, ta có:
1
( , ) { ( , )
q
T r f T r f
u=
+ + O
å
(1)
1
1
} 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )
q
T r f N r N r a N r S r
u
u=
£ + ¥ + - +
å
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
Suy ra
1
1

( 1) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )
q
q T r f N r a N r N r S r
u
u=
- £ + ¥ - +
å
. (
O
(1) là đại lượng giới nội).

W

1.3. Đồng nhất thức Cartan và tính lồi.
1.3.1. Bổ đề. Với mọi
a Î
£
, ta có:
2
0
1
log log
2
i
a e d a
p
q
q
p
+

-=
ò
.
1.3.2. Định lý Cartan ( H. Cartan). Giả sử
()fz
là hàm phân hình trong
{ }
zR£
. Khi đó, ta có:
2
0
1
( , ) ( , ) log (0)
2
i
T R f N R e d f
p
q
q
p
+
=+
ò
.
1.3.3. Hệ quả.
( , )T R f
là hàm lồi, tăng của
R
.
1.3.4. Hệ quả. Với giả thiết như trong định lý 1.3.2, ta có:

2
0
1
( , ) log2
2
i
m R e d
p
q
q
p
£
ò
.
2
0
1
( , )
2
i
m R e d
p
q
q
p
ò
có thể xem như “trung bình” của giá trị
( , )m R a
khi
a

chạy
trên vòng tròn.
Hệ quả 1.3.4 cho thấy trung bình của
( , )m R a
nói chung rất nhỏ.
1.4. Quan hệ số khuyết.
1.4.1. Định nghĩa.

( , ) log
r
N r f
b
=å
, trong đó, tổng lấy theo các cực điểm của
f
trong
{ }
zr£
, mỗi cực điểm chỉ lấy một lần.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17

( , )
( ) ( , ) lim
( , )
r
m r a
a a f

T r f
dd
®¥
==
: Số khuyết của hàm
f
tại giá trị
a
.
r
( , )
( ) 1 lim
( , )
N r a
a
T r f
d
®¥
=-
.

r
( , )
( ) ( , ) 1 lim
( , )
N r a
a a f
T r f
®¥
Q = Q = -

.

( , ) ( , )
( ) ( , ) lim
( , )
r
N r a N r a
a a f
T r f
qq
®¥
-
==
.
Ý nghĩa:
( , ) ( , )m r a N r a+
“ đo độ lớn” của tập hợp
z
, tại đó,
()f z a=
hoặc
()f z a:
.
Nếu
()ad
càng lớn thì phương trình
()f z a=
càng “thiếu” nghiệm. Do đó,
()ad

gọi là “số khuyết”.
()aq
: chỉ số bội của hàm tại giá trị
a
.
()aq
lớn khi các nghiệm của
()f z a=

có bội cao.
( , )N r a
: “đo độ lớn” tập hợp nghiệm của phương trình
()f z a=
, mỗi nghiệm
kể một số lần bằng bội của nó.
( , )N r a
: chỉ tính theo các nghiệm phân biệt( không tính bội).
( )
( ) ( )a a adq+ £ Q
.
1.4.2. Định lý. Giả sử
()fz
là hàm phân hình khác hằng số trên
£
. Khi đó,
ta có:
{ }
{ } { }
( ) ( ) ( ) 2
aa

a a aqd
Î È ¥ Î È ¥
+ £ Q £
åå
££
.
Tổng trên chứng tỏ chỉ tồn tại không quá đếm được giá trị
a
để
( ) 0aQ>
,
còn hầu hết là
0
, đồng thời tổng của chuỗi
( ) 2aQ£
å
.
1.4.2.1. Bổ đề. Với giả thiết như trong định lý 1.4.2, ta có:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18
11
1
( , ) ( , ) ( , )
'
qq
N r a N r N r a
f
uu

uu==
-£
åå
.
1.4.2.2. Hệ quả (định lý Picard). Hàm phân hình khác hằng số nhận mọi
giá trị trừ ra cùng lắm là hai giá trị. [Nếu
f
là hàm phân hình không nhận ba
giá trị thì
f
là hằng số].
1.4.2.3. Hệ quả (bổ đề Borel). Giả sử
1 2 3
,,f f f
là các hàm chỉnh hình, khác
không và thỏa mãn
1 2 3
0f f f+ + =
. Khi đó,
1 2 3
,,f f f
chỉ sai khác một hằng số
nhân.
1.4.3. Mệnh đề. Nếu
,uv
là các hàm chỉnh hình không có
0-
điểm và thoả
mãn
1uv+º

thì
,uv
là hằng số.
Chứng minh:
,uv
là các hàm chỉnh hình
( ), ( ) ,u z v z zÞ ¹ ¥ "
. Mặt khác,
( ) 0, ( ) 0,u z v z z¹ ¹ "
và
1uv+º
nên
( )
, ( ) 1,u z v z z¹"
.
Vậy, ta có: với mọi
z Î £
,

( ), ( ) 0
( ), ( ) 1
( ), ( )
u z v z
u z v z
u z v z
ü
¹
ï
ï
ï

ï
¹
ý
ï
ï
¹¥
ï
ï
þ
. Do đó, theo định lý Picard,
,u v const=
.
W
1.4.4. Mệnh đề. Giả sử
()fz
là hàm phân hình khác hằng số. Khi đó, tồn
tại không quá bốn giá trị
a
sao cho mọi nghiệm của phương trình
fa=
đều là
nghiệm bội.
Chứng minh: Giả sử mọi nghiệm của phương trình
()f z a=
đều là nghiệm
bội. Khi đó,
( , ) 2 ( , )N r a N r a³
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19
Suy ra
( , ) ( , ) 1 1
( ) 1 lim 1 lim 1
( , ) ( . ) 2 2
rr
N r a N r a
a
T r a N r a
® ¥ ® ¥
Q = - ³ - ³ - =
. Vậy, tồn tại không
quá bốn giá trị
j
a
để mọi nghiệm của phương trình
j
fa=
đều là nghiệm bội.
Nhận xét: Giả sử
()fz
là hàm chỉnh hình. Khi đó,
()fz=¥
vô nghiệm. Suy
ra
( ) 1Q ¥ =
, do vậy,
( ) 1
a

a
Î
Q£
å
£
. Vậy, hàm chỉnh hình khác hằng nhận mọi giá trị
, trừ ra cùng lắm là một giá trị. Tồn tại không quá hai giá trị
a
sao cho mọi
nghiệm của phương trình
()f z a=
đều là nghiệm bội.
1.4.5. Định nghĩa. Điểm
a
được gọi là có bội ít nhất là
m
nếu mọi nghiệm
của phương trình
()f z a=
đều có bội ít nhất là
m
.
Nhận xét: Giả sử
a
là điểm bội lớn hơn hoặc bằng
m
thì
( , ) ( , )mN r a N r a£
.
Khi đó

( , ) ( , ) 1
( , ) ( , )
N r a N r a
T r a N r a m
££
nên
1
( ) 1a
m
Q ³ -
.
Nếu
f
là hàm phân hình, khác hằng số thì tồn tại không quá bốn giá trị
1 2 3 4
, , ,a a a a
để
()
j
f z a=
gồm toàn nghiệm bội.
1
( ) , 1,4
2
j
ajQ = =
.
1.5. Tập xác định duy nhất các hàm phân hình.
1.5.1. Định lý 5 điểm của Nevanlinna.
Giả sử

,fg
là hai hàm phân hình và tồn tại năm giá trị
, 1, ,5
j
aj= L
sao
cho
11
( ) ( )
jj
f a g a

=
. Khi đó,
fgº
hoặc
,fg
là hằng số.

Theo định lý 5 điểm,
11
( ) ( ), 1,5
jj
f a g a j f g

= = Þ º
.
{ }
1 2 5
, , ,S a a a= L

.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20
Nếu không xét nghịch ảnh từng điểm mà xét nghịch ảnh cả tập hợp, thì
những tập hợp nào xác định duy nhất hàm phân hình, tức là, khi nào
11
( ) ( )f S g S f g

= Þ =
?
1.5.2. Định nghĩa. Giả sử
{ }
,SfÌ È ¥£
là hàm phân hình.
()
S
aS
Ef
Î
= U
{
( , )zkδ£¥
|
()f z a=
bội
k
}.
S

()
aS
Ef
Î
= U
{
z Î £
|
()f z a=
}
1
()fS
-
=
.
1.5.3. Định nghĩa. Nếu với mọi hàm phân hình
,fgÎ
F sao cho
SS
( ) ( )E f E g=
,
ta có
fgº
thì tập
S
được gọi là tập xác định duy nhất của họ hàm F .
1.5.4. Định lý.
Giả sử
2, 4 10, ( , ) 1m n m m n³ > + =
. Giả sử

,abÎ £
sao cho đa thức
n n m
z az b
-
++
không có nghiệm bội. Khi đó, tập
{ }
|0
n n m
S z z az b
-
= + + =
là tập
xác định duy nhất các hàm phân hình.
Giả sử
{ }
1
,,
n
S r r= L
gồm
n
điểm phân biệt. Đa thức kết hợp với
S
:
1
( ) ( ) ( )
Sn
P z z r z r= - -L

.
1.5.4.1. Bổ đề. Giả sử
,fg
là các hàm phân hình thoả mãn
11
( ) ( )f S g S

=
,
trong đó
{ }
1
,,
n
S a a= L
, Khi đó, ta có:
( , ) ( , ) ( , )
2
n
T r f T r g S r f
n
£+
-
,
( , ) ( , ) ( , )
2
n
T r g T r f S r g
n
£+

-
.
Chứng minh: Từ
11
( ) ( )f S g S

=
, ta có:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

21
Với mỗi
{ }
1
,,
in
a a aÎ L
, tồn tại
{ }
1
,,
jn
a a aÎ L
để
11
( ) ( )
ij
f a g a

=
, tức là
( ) ( )
ij
f z a g z a= Û =
. Hơn nữa, tương ứng trên là tương ứng 1-1. do đó,
11
( , ) ( , )
ij
N r N r
f a g a
=

và
11
11
( , ) ( , )
nn
ii
ii
N r N r
f a g a
==
=

åå
. (*)
Theo bất đẳng thức cơ bản, áp dụng cho
1
,,

n
aaL
, ta có: (đối với
f
)
1
1
( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ') ( , )
'
n
m r m r a T r f N r N r f N r f S r f
f
u
u=
íü
ïï
ïï
¥ + £ - + - +
ìý
ïï
ïï
îþ
å
.
Cộng thêm hai vế đại lượng
1
( , ) ( , )
n
N r N r a
u

u=
¥+
å
:
{ } { }
1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
n
m r N r m r a N r a
uu
u=
¥ + ¥ + +
å

1
1
2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ') ( , )
'
n
T r f N r a N r N r N r f N r f S r f
f
u
u=
£ + + ¥ - - + +
å
.
Dùng định lý cơ bản thứ nhất:
1
1
( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ') ( , ) ( , )

'
n
T r f nT r f T r f N r a N r N r f N r f S r f
f
u
u=
+ £ + - + - +
å

Suy ra
1
1
( 1) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ') ( , ) ( , )
'
n
n T r f N r a N r N r f N r f S r f
f
u
u=
- £ - + - +
å
.
Ta có:
11
1
( , ) ( , ) ( , )
'
nn
N r a N r N r a
f

uu
uu==
-£
åå
,
và
( , ') ( , ) ( , )N r f N r f N r f-£
.
Do đó
1
1
( 1) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
n
n T r f N r N r f S r f
fa
u
u
=
- £ + +
-
å


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

22

1
1
( , ) ( , ) ( , )

n
N r T r f S r f
fa
u
u
=
£ + +
-
å
.

1
1
( , ) ( , ) ( , )
n
N r T r f S r f
ga
u
u
=
£ + +
-
å

Suy ra
1
1
( 2) ( , ) ( , ) ( , )
n
n T r f N r S r f

ga
u
u
=
- £ +
-
å
.
Do vậy
1
1
( 2) ( , ) ( , ) ( , )
n
n T r f T r S r f
ga
u
u
=
- £ +
-
å
.
Dẫn đến,
( 2) ( , ) ( , ) ( , )n T r f nT r g S r f- £ +
.
Vậy
( , ) ( , ) ( , )
2
n
T r f T r g S r f

n
£+
-
.
Chứng minh tương tự, ta có:
( , ) ( , ) ( , )
2
n
T r g T r f S r g
n
£+
-
.
W

1.5.4.2. Bổ đề.
Giả sử
{ }
1
,,
n
S r r= L
gồm
n
điểm phân biệt,
,fg
là các hàm phân hình thoả
mãn
11
SS

22
( ) ( ), ,
sl
E f E g f g
sl
= = =
, trong đó,
12
( , )ss
,
 
12
,ll
là các cặp hàm chỉnh
hình không có
0
- điểm chung). Khi đó, ta có:
()
2
2
()
.
()
n
hz
S
n
S
Pf
l

e
P g s
y ==
, trong đó
h
là hàm chỉnh hình.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

23
Chứng minh:
11
1
1
22
11
1
1
22
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
n
Sn
Sn
n
ss
rr
P f f r f r

ss
ll
P g g r g r
rr
ll
y


= = =


L
L
L
L

1 2 1 1 2 2
1 2 1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )
n
n
n
n
s s r s s r l
l l r l l r s

=

L

L
.
Xét hàm
1 2 1 1 2
1 2 1 1 2
( ) ( )
()
( ) ( )
n
n
s s r s s r
z
l l r l l r
j

=

L
L
.
Nếu
o
z
là
0
-điểm bội
k
của hàm
()zj
thì

1 0 2 0
( ) ( )
j
s z r s z=
với
j
nào đó. Suy
ra
0
()
j
f z r=
bội
k
. Vì
S0
( ) ( ) ( )
Sm
E f E g g z r= Þ =
nào đó, bội
k
. Suy ra
0
()zz-
bị
giản ước nên
()zj
không có
0
-điểm .

Tương tự, hàm
()zj
không có cực điểm nên
()zj
chỉnh hình, không có
0
-
điểm. Do đó,
( ) log ( )h z zj=
chỉnh hình,
()
()
hz
zej =

Vậy
()
2
2
n
hz
n
l
e
s
y =×
.
W

1.5.4.3. Bổ đề. Nếu

,g

là các hàm phân hình có dạng như trên thì
1
( , ) ( , ) ( , )N r N r g T r g
y
££
.
1.5.4.4. Bổ đề. Nếu
,f

là các hàm phân hình có dạng như trên thì
( , ) ( , )N r N r fy £
.
1.5.4.5. Bổ đề. Nếu
f
là hàm phân hình,
, 0,
i
a i n
là các số phức,
0
0a 

và
1
01
()
nn
n

Q f a f a f a
-
= + + +L

thì
( , ( )) ( , ) ( , )T r Q f nT r f S r f=+
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

24
1.5.4.6. Bổ đề.
Nếu
,fg
là các hàm phân hình khác hằng,
1 2 3
,,c c c
là các số phức khác
không thỏa mãn:
1 2 3
c f c g c+=
thì
11
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )T r f N r N r N r f S r f
fg
< + + +
.
1.5.4.7. Bổ đề.
Nếu
1 2 3

,,f f f
là các hàm phân hình khác hằng và thỏa mãn
1 2 3
( , , )f f f
độc lập
tuyến tính và
1 2 3
1f f f+ + =
thì
33
11
1
( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , )
i i i
ii
i
T r f N r N r f S r f
f
==
< + +
åå
.
 Đặt
{ }
n
| z 0
nm
S z az b
-
= + + =

,
2, 4 10,( , ) 1m n m n m³ > + =
.

()
()
n n m
S
n n m
S
Pf
f af b
P g g ag b
y
-
-
++
==
++
.
1 2 3
,,f f f
định nghĩa như sau:
1
1
()
n m m
f f f a
b
-

= - +
,
2
1
()
n m m
f g g a
b
y
-
=+
,
3
f y=
.
Ta có:
1 2 3
1f f f+ + =
. Giả sử
y ¹
const(
3
f ¹
const). Khi đó ta có hai bổ đề 1.5.4.8.
và 1.5.4.10. sau đây:
1.5.4.8. Bổ đề.
Nếu
12
,ff
là các hàm phân hình có dạng trên thì

12
,ff
độc lập tuyến tính.
1.5.4.9. Mệnh đề.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

25
Giả sử
,fg
là các hàm phân hình thoả mãn
SS
( ) ( )E f E g=
,
{ }
|0
n n m
S z z az b
-
= + + =
,
( ) ( )
S
cS
P z z c
Î
=-
Õ
,
()

()
S
S
Pf
Pg
y =
,
,a b const=
,
2
1
()
n m m
f g g a
b
y
-
=+
. Khi đó:
2
1
( , ) ( 1) ( , )N r m T r g
f
£+
,
2
( , ) ( , )N r f T r f£
.
Chứng minh: Giả sử
,fg

là các hàm phân hình có dạng
11
22
,
sl
fg
sl
==
, trong
đó,
12
( , )ss
,
 
12
,ll
là các cặp hàm chỉnh hình không có
0
- điểm chung). Theo bổ
đề 1.5.4.2, ta có:
()
2
2
()
()
n
hz
S
n
S

Pf
l
e
P g s
y ==
,
trong đó,
h
là hàm chỉnh hình.
Khi đó
2
2
2
1
()
n
h n m m
n
l
f e g g a
bs
-
=+
. (1)
2
1
( , ) log
r
Nr
fb

=
å
, trong đó
b
là
0
-điểm của
2
f
, mỗi
0
-điểm tính một lần.
Nếu
0
z
là
0
-điểm của
y
thì
0
z
là
0
-điểm của
2
l

10
( ) 0lzÞ¹

. Từ (1), ta có:
2 1 1 2 2 0
2
1
( ) ( ) 0
h
n n m m
n
e
f l al l f z
bs
-
= + Þ ¹
.
Do đó, mọi
0
-điểm của
2
f
đều là
0
-điểm của
g
hoặc
m
ga+
.