Tải bản đầy đủ (.pdf) (42 trang)

Luận văn: MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ MỘT SỐ PHẠM TRÙ CON SERRE ppt

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (544.22 KB, 42 trang )

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM




PHẠM MAI LAN





MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ
MỘT SỐ PHẠM TRÙ CON SERRE



Chuyªn ngµnh: Đại số và lý thuyết số
M· sè: 60.46.05


LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: PGS TS LÊ THỊ THANH NHÀN














Thái Nguyên, 2009

S
C
I
S
S
S
H
i
I
(M) ∈ S i < n
S S
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
R
I R
H
i
I
(M)

R M I
M
M
M
depth(I, M) M
I i H
i
I
(M) = 0; (R, m)
dim M M i H
i
m
(M) = 0.
M r
H
r
I
(M)
min{depth(M
p
) + ht((I + p)/p) : p ⊇ I}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n H
n
I
(M) depth(IR
p
, M
p
)

p ∈ Supp(M/IM) \ {m}.

n f-depth(I, M) M I
M
I gdepth(I, M) gdepth(I, M) n
Supp H
n
I
(M)
R
0
S
H
i
I
(M) ∈ S?
n H
n
I
(M) /∈ S S M
R
S S S
R
0
S
H
i
I
(M) ∈ S?
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

n H
n
I
(M) /∈ S S M
R
S S S
S S
H
i
I
(M) ∈ S?
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
R M
R
S
S R S
R
R 0 −→ M

−→ M −→ M

−→ 0 M ∈ S
M

, M

∈ S.
S R
S
Ext

i
R
(N, M) ∈ S R N M ∈ S.
M ∈ S N
Ext
i
R
(N, M) ∈ S N R N
. . . −→ F
2
−→ F
1
−→ F
0
−→ N −→ 0,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
F
i
Hom(−, M) N
0 −→ Hom(F
0
, M)
f
0
−→ Hom(F
1
, M)
f
1
−→ Hom(F

2
, M)
f
2
−→ . . . .
Ext
i
R
(N, M) = Ker f
i
/ Im f
i−1
, ∀i = 0, 1, 2, . . .
i, F
i
F
i

=
R
n
i
.
Hom(F
i
, M) = Hom(R
n
i
, M) =


Hom(R, M)

n
i
= M
n
i
.
n
i
0 −→ M
n
i
−1
−→ M
n
i
−→ M −→ 0
M
n
i
∈ S. Hom(F
i
, M) ∈ S. Ker f
i
∈ S.
Ext
i
R
(N, M) ∈ S.

R M M Supp M
Supp M = {p ∈ Spec R | M
p
= 0}.
R
0.
R
R
R M
R
0 0
M N M.
N M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
N
M/N M N
M/N N
M N M/N M
0
⊇ M
1
⊇ . . .
M. M
0
∩N ⊇ M
1
∩N ⊇ . . .
N
(M
0

+ N)/N ⊇ (M
1
+ N)/N ⊇ . . .
M/N. N M/N
k M
n
∩ N = M
k
∩ N (M
n
+ N)/N = (M
k
+ N)/N
n ≥ k. n ≥ k. M
k
⊇ M
n
. m ∈ M
k
.
m+N ∈ (M
k
+N)/N = (M
n
+N)/N. m+N = x+a+N = x+N
x ∈ M
n
, a ∈ N. m−x ∈ N∩M
k
= N∩M

n
. m−x ∈ M
n
.
m ∈ M
n
. M
k
= M
n
n ≥ k. M
M R N M.
Supp M = Supp N ∪ Supp(M/N). M
Supp N Supp(M/N) Supp N
Supp(M/N) Supp M
M
M N M
N M/N (M) = (N) + (M/N) < ∞.
R
p
0
⊂ p
1
⊂ . . . ⊂ p
n
R
p
i
= p
i+1

i n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
R dim R,
R
dim R = sup{n | R n}.
I R Var(I)
R I. R M
dim Supp M = sup{dim R/p : p ∈ Supp M}.
dim Supp M M
M M
dim M R/ Ann M. M
Supp M = Var(Ann M)
dim Supp M = sup{dim(R/p) | p ∈ Supp M} = dim(R/ Ann M).
M M
dim M dim Supp M.
M = 0 R Supp M
R dim Supp M = 0.
s R M dim Supp M 
s R
M R N M Supp M =
Supp N ∪ Supp(M/N)
dim Supp M = max{dim Supp N, dim Supp(M/N)}.
dim Supp M  s dim Supp N  s
dim Supp(M/N)  s M
dim Supp M  s
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Max R R M
Supp M ⊆ Max R Supp M
M Supp M ⊆ Max R
Supp M M

s = 0
R M Supp M ⊆ Max R
R
R
p R
R M m ∈ M
p = Ann
R
m = {r ∈ R | rm = 0}.
M Ass M
Ass M ⊆ Supp M R
min Ass M = min Supp M.
Z Spec R R. Z
p ∈ Z q ∈ Z
p, q ∈ Spec R p ⊆ q
Z ⊆ Spec R
R M Ass M ⊆ Z
M R N M. R
Ass N ⊆ Ass M ⊆ Ass N ∪Ass(M/N). Ass N ⊆
Z Ass(M/N) ⊆ Z Ass M ⊆ Z. Ass M ⊆ Z.
Ass N ⊆ Z. Ass(M/N) ⊆ Z. Ass M ⊆ Z
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
min Ass M = min Supp M min Supp M ⊆ Z. Z
Supp M ⊆ Z.
Supp M = Supp N ∪ Supp(M/N)
Supp(M/N) ⊆ Z. Ass(M/N) ⊆ Supp(M/N) ⊆ Z.
M Supp M
p, q ∈ Spec R p ⊆ q p ∈ Supp M
0 = M
p


=
(M
q
)
pR
q
.
M
q
= 0 q ∈ Supp M.
Z ⊆ Spec R
R M Supp M ⊆ Z
C
I
S
I R M R
R R M
Γ
I
(M) =

n≥0
(0 :
M
I
n
), 0 :
M
I

n
= {m ∈ M | I
n
m = 0}.
S R
S (C
I
) M ∈ S R M
M = Γ
I
(M) 0 :
M
I ∈ S
(C
I
)
R E
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f : N −→ M g : N −→ E
h : M −→ E g = hf. E R M
E. E M M ∩ L = 0
L = 0 E. E M E
M E R
M M
M E
R
(M) E(M).
S R
S S (C
I

).
M R M = Γ
I
(M)
0 :
M
I ∈ S M ∈ S. M = Γ
I
(M)
E(M) M E(0 :
M
I) 0 :
M
I. 0 :
M
I ∈ S
S E(0 :
M
I) ∈ S E(M) ∈ S.
M ⊆ E(M). S
M ∈ S.
(C
I
).
S R
S (C
I
) M ∈ S R
M M = Γ
I

(M) 0 :
M
x ∈ S x
I
S (C
I
). M R
M = Γ
I
(M) 0 :
M
x ∈ S x ∈ I. 0 :
M
I ⊆ 0 :
M
x
S 0 :
M
I ∈ S.
S (C
I
) M ∈ S. M R
M = Γ
I
(M) 0 :
M
I ∈ S. I = (x
1
, . . . , x
n

).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M
0
= M M
i
= 0 :
M
(x
1
, . . . , x
i
)R i = 1, . . . , n.
i M
i
∈ S i = n, . . . , 1, 0.
M
n
= 0 :
M
I ∈ S, i = n. i < n,
M
i+1
∈ S. M
i+1
= 0 :
M
i
x
i+1

∈ S x
i+1
∈ I
M
i
∈ S. M
i
∈ S i. i = 0
M ∈ S.
(C
I
).
R
(C
I
).
0.
R
R M Supp M
R R M
Supp M ⊆ Max R).
R M dim Supp M  s
s ≥ 0
R M Ass M ⊆ Z,
Z ⊆ Spec R
0 0
M R Ass M ⊆ Max R
Ass M Ass M = {m
1
, . . . , m

t
}. E(M)
M E
i
= E(R/m
i
) R/m
i
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n
1
, . . . , n
t
E(M) = E
n
1
1
⊕ E
n
2
2
⊕ . . . ⊕E
n
t
t
,
E
n
i

i
n
i
E
i
. E
i
E(M)
(C
I
).
M R E(M)
M
E(M)

=

p∈Ass M

i∈Λ
p
E
i
(R/p),
Λ
p
E
i
(R/p)
R/p. Ass M = Ass E(M). R

min Ass M = min Supp M min Ass E(M) = min Supp E(M)
Supp M = Supp E(M). M Supp M
dim Supp M  s Ass M ⊆ Z E(M)
Supp E(M) dim Supp E(M)  s
Ass E(M) ⊆ Z
dim R > 0 I R
R (C
I
)
m R ht m > 0. E = E(R/m)
R/m. R E R
E m E = Γ
m
(E) E m
0 :
E
m ht m > 0 E
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
dim R > 0 I
R R
(C
I
) m R
ht m > 0. E = E(R/m)
E = Γ
m
(E) 0 :
E
m E
R

R
m
R ht m > 0 R/m
R M, N
R
I R. R N
Γ
I
(N) =

n≥0
(0 :
N
I
n
). f : N −→ N

R
f

: Γ
I
(N) −→ Γ
I
(N

) f

(x) = f(x).
Γ

I
(−) R
R Γ
I
(−) I
N
0 −→ N −→ E
0
−→ E
1
−→ E
2
−→ . . .
E
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
N R I R.
n I Γ
I
(−) N
n N I H
n
I
(N).
0 −→ N −→ E
0
u
0
−→ E
1

u
1
−→ E
2
−→ . . .
N, Γ
I
(−)
0 −→ Γ(E
0
)
u

0
−→ Γ(E
1
)
u

1
−→ Γ(E
2
) −→ . . .
H
n
I
(N) = Ker u

n
/ Im u


n−1
n
N
I R R N I
N = Γ
I
(N)
N R
H
0
I
(N)

=
Γ
I
(N).
N H
i
I
(N) = 0 i ≥ 1.
N I H
i
I
(N) = 0 i ≥ 1.
H
i
I
(M) I i. H

j
I
(H
i
I
(M)) = 0
j > 0.
0 −→ N

−→ N −→ N

−→ 0
R n
δ
n
: H
n
I
(N

) −→ H
n+1
I
(N

)
0 −→ Γ
I
(N


) −→ Γ
I
(N) −→ Γ
I
(N

)
δ
0
−→ H
1
I
(N

)
−→ H
1
I
(N) −→ H
1
I
(N

)
δ
1
−→ H
2
I
(N


) −→ . . .
δ
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M = M/Γ
I
(M) n ≥ 1
H
n
I
(M)

=
H
n
I
(M).
0 = a ∈ R M
am = 0 m = 0 m ∈ M.
a
1
, . . . , a
n
R M a
i
M/(a
1
, . . . , a
i−1

)M i = 1, . . . , n.
a
1
, . . . , a
n
∈ R M a
1
, . . . , a
n
M M/(a
1
, . . . , a
n
)M = 0
H
i
I
(M) M M
I
H
i
I
(
M) M I M
x ∈ I
I R M
M I
M I
M I depth(I, M).
M I R

depth(I, M) = inf{i : H
i
I
(M) = 0}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
I R H
i
I
(M) = 0
i > dim Supp M M (R, m)
m
dim M = sup{i : H
i
m
(M) = 0}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
S
R
M, N R
S
S
S
> s
S
R M R x ∈ R
S M 0 :
M
x ∈ S. x
1
, . . . , x

n
R S M x
j
S
M/(x
1
, . . . , x
j−1
)M j = 1, . . . , n.
S
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
1
, . . . , x
n
R M
R
s 1  s  n x
1
, . . . , x
n
S
M x
1
, . . . , x
s−1
S
M x
s
, . . . , x

n
S M/(x
1
, . . . , x
s−1
)M
L M L ∈ S.
x
1
, . . . , x
n
S M x
1
, . . . , x
n
S M/L.
x, y S M x S
M/yM.
x
1
, . . . , x
n
S M
S x
1
, . . . , x
s−1
S
M M
s

= M/(x
1
, . . . , x
s−1
)M. j j ≥ s,
x
j
S M/(x
1
, . . . , x
j−1
)M.
M/(x
1
, . . . , x
j−1
)M

=
M
s
/(x
s
, . . . , x
j−1
)M
s
x
j
S M

s
/(x
s
, . . . , x
j−1
)M
s
. x
s
, . . . , x
n
S M
s
.
x
1
, . . . , x
s−1
S M x
s
, . . . , x
n
S M
s
= M/(x
1
, . . . , x
s−1
)M j ≥ s,
M

s
/(x
s
, . . . , x
j−1
)M
s

=
M/(x
1
, . . . , x
j−1
)M x
j
S
M/(x
1
, . . . , x
j−1
)M. x
1
, . . . , x
n
S
M
N = M/L.
0 −−→ L −−→ M −−→ N −−→ 0




x
1



x
1



x
1
0 −−→ L −−→ M −−→ N −−→ 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
0 −→ 0 :
L
x
1
−→ 0 :
M
x
1
f
−→ 0 :
N
x
1
g
−→ L/x

1
L
−→ M/x
1
M −→ N/x
1
N.
0 −→ 0 :
L
x
1
−→ 0 :
M
x
1
f
−→ Im f −→ 0.
0 −→ Im f −→ 0 :
N
x
1
g
−→ Im g −→ 0.
L ∈ S S 0 :
L
x
1
∈ S L/x
1
L ∈ S.

Im g L/x
1
L L/x
1
L ∈ S Im g ∈ S.
0 :
M
x
1
∈ S Im f ∈ S
0 :
N
x
1
∈ S Im f ∈ S
0 :
M
x
1
∈ S 0 :
N
x
1
∈ S
n. n = 1. x
1
S M
0 :
M
x

1
∈ S 0 :
N
x
1
∈ S x
1
S N. n = 1. n > 1
n − 1. M

= M/x
1
M.
L

= (x
1
M + L)/x
1
M. L

M

L

= (x
1
M + L)/x
1
M


=
L/(L ∩ x
1
M).
L

L. L

∈ S.
n−1 M

x
2
, . . . , x
n−1
S M

S N

= M

/L

.
N

= M

/L


= (M/x
1
M)/(x
1
M + L/x
1
M) = M/(x
1
M + L)
= (M/L)/x
1
(M/L) = N/x
1
N.
x
2
, . . . , x
n−1
S M/x
1
M
S N/x
1
N. x
1
S
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M S N.
x

1
, . . . , x
n
S M S
N.
f : M −→ M f(m) = xm m ∈ M.
Ker f = {m ∈ M | f(m) = xm = 0} = 0 :
M
x.
x, y S M x S M
Ker f ∈ S. S Ker f/y Ker f ∈ S.
x, y S M y S M/xM.
0 :
M/xM
y ∈ S. 0 :
M/yM
x ∈ S,
x S M/yM.
S
S
M R S
0 x
1
, . . . , x
k
S M
M
M/(x
1
, . . . , x

k
)M = 0 x
1
, . . . , x
k
M
(R, m) M R
a ∈ m M a /∈ p
p ∈ Ass M. M m
m /∈ Ass M.
a ∈ m
M a /∈ p p ∈ Ass M \ {m}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a /∈ p p ∈ Ass M dim(R/p) > 0.
M m
a ∈ m M 0 :
M
a
dim(0 :
M
a)  0. a
1
, . . . , a
n
R M a
i
M/(a
1
, . . . , a
i−1

)M i = 1, . . . , n.

dim M/IM > 0 M
M M
M I f-depth(I, M).
depth(I, M)  f-depth(I, M).
depth(I, M)
M I
f-depth(I, M) = inf{i | H
i
I
(M) }
= inf{i | dim Supp H
i
I
(M) > 0}.
M R S
R x ∈ m S
0 :
M
x ∈ S 0 :
M
x 0 :
M
x
x M
x
1
, . . . , x
k

∈ m S M
M
M R a ∈ R
M a /∈ p p ∈ Ass M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
dim(R/p) > 1. a
1
, . . . , a
n
R M a
i
M/(a
1
, . . . , a
i−1
)M i = 1, . . . , n.
dim M/IM > 1 M
M M
M I gdepth(I, M).
gdepth(I, M) = inf{i | dim Supp H
i
I
(M) > 1}.
M R S
R 1 x ∈ R
S 0 :
M
x ∈ S. dim 0 :
M
x  1. p ∈ Ass M

dim(R/p) > 1. p = Ann m m ∈ M. x ∈ p
xm = 0 m ∈ 0 :
M
x. p ∈ Ass(0 :
M
x).
dim(0 :
M
x) = max{dim(R/q) | q ∈ Ass(0 :
M
x)} ≥ dim(R/p) > 1,
x /∈ p p ∈ Ass M dim(R/p) > 1.
x M x M
p ∈ Ass(0 :
M
x). p ∈ Ass M. dim(R/p) > 1
p = Ann m m ∈ 0 :
M
x, xm = 0, x ∈ Ann m = p,
x M dim(R/p)  1
p ∈ Ass(0 :
M
x). dim(0 : Mx)  1. 0 :
M
x ∈ S
x S x S M
M x
1
, . . . , x
k

S
M M
(R, m)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

×