Môđun đối đồng điều địa phương và một số phạm trù con serre

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM




PHẠM MAI LAN





MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ
MỘT SỐ PHẠM TRÙ CON SERRE



Chuyªn ngµnh: Đại số và lý thuyết số
M· sè: 60.46.05


LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: PGS TS LÊ THỊ THANH NHÀN

Thái Nguyên, 2009

▼ô❝ ❧ô❝
▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷
✶ P❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ✈➭ ♠ét sè ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✈Ò ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣
➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✻
✶✳✶ P❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ S ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✷ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭C
I
✮ tr➟♥ ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ S ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶
✶✳✸ ▼➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺
✷ ❉➲② S✲❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✶✾
✷✳✶ ❉➲② S✲❝❤Ý♥❤ q✉② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾
✷✳✷ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤Ó H
i
I
(M) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ ❝✃♣ i < n ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼
✷✳✸ S✲➤é s➞✉ ✈➭ ♠ét sè ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ S✲➤é s➞✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✷
▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥
▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ✈➭ ♥❣❤✐➟♠
❦❤➽❝ ❝ñ❛ P●❙✳❚❙ ▲➟ ❚❤Þ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥✳ ◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭② t➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤
❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ ➤Õ♥ ❝➠ ✈➭ ❣✐❛ ➤×♥❤✳
❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ tí✐ ●❙✳ ❚❙❑❍ ◆❣✉②Ô♥ ❚ù ❈➢ê♥❣✱ ●❙✳ ❚❙❑❍
▲➟ ❚✉✃♥ ❍♦❛✱ P●❙✳ ❚❙ ◆❣✉②Ô♥ ◗✉è❝ ❚❤➽♥❣ ë ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ❍➭ ◆é✐❀ ❚❙✳
◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ ❉✉♥❣ ❝ï♥❣ t♦➭♥ t❤Ó ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ✈➭ P❤ß♥❣ ➜➭♦
t➵♦ s❛✉ ➜➵✐ ❤ä❝ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ t❐♥
t×♥❤ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ tr➢ê♥❣✳
❚➠✐ ❝ò♥❣ r✃t ❜✐Õt ➡♥ ❝➳♥ ❜é✱ ❣✐➳♦ ✈✐➟♥ tr➢ê♥❣ P❚❚❍ P❤ô❝ ❍♦➭✱ ❙ë
●❉➜❚ ❈❛♦ ❇➺♥❣✱ ❚Ø♥❤ ❈❛♦ ❇➺♥❣ ♥➡✐ t➠✐ ➤❛♥❣ ❝➠♥❣ t➳❝ ➤➲ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ò✉
❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ♥❤✃t ➤Ó t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❦Õ ❤♦➵❝❤ ❤ä❝ t❐♣ ❝ñ❛ ♠×♥❤✳
❚➠✐ ❝ò♥❣ ①✐♥ ❜➭② tá sù q✉ý ♠Õ♥ ❝ñ❛ ♠×♥❤ tí✐ ❣✐❛ ➤×♥❤✱ ❜è ♠Ñ✱ ❛♥❤ ❝❤Þ
✈➭ ❝❤å♥❣ t➠✐✱ ❝➳❝ ❜➵♥ t➠✐✱ ♥❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ ➤➲ ❧✉➠♥ ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ ❦❤✉②Õ♥ ❦❤Ý❝❤
t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❝➠♥❣ ✈✐Ö❝✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ờ ó
r sốt tết R ột
tr ó ị I ủ R ù ó ề t
ọ q t ứ ố ồ ề ị H
i
I
(M) ủ
ột R M ứ ớ I ế ờ t ết rt ít
t t ề M ữ s ố ồ
ề ị t tết ữ s ũ t
tết rt í ờ t ò ết tì
trệt t trừ ột số trờ ợ ệt ợ ỉ r

t tí t sở ủ ố ồ ề ị
tí trệt t tí ữ s tí rt tí t ữ ủ
ợ q t ệt ì ữ ứ ụ ủ ó tr ề ĩ ự ủ
t ọ số ì ọ số số ổ ợ
ề ộ s ủ ột ữ s M ữ t ế
q trọ ủ M ề ợ tr q tí trệt t ủ ố
ồ ề ị s ộ s depth(I, M) ủ M tr
I i é t s H
i
I
(M) = 0; (R, m) ị
tì ề dim M ủ M i ớ t ể H
i
m
(M) = 0. ì í ó
ờ t t r ữ ỏ tì ố ồ ề trệt t
ữ s ở ữ ì ề ệ ể ó
rt ó ó ữ
ỏ ợ tr ờ ộ ở ề t ọ
trờ ợ M ữ s ts ỉ r r r é
t ể H
r
I
(M) ữ s
min{depth(M
p
) + ht((I + p)/p) : p I}.
rss trì ột ết q t tự ủ ts
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

tr ó tí ữ s ợ t tí rt ỉ r r
n é t ể H
n
I
(M) rt số depth(IR
p
, M
p
) é t ớ
p Supp(M/IM) \ {m}. ó
..
ứ
n í ộ s ọ f-depth(I, M) ủ M tr I ế t
ị ĩ ệ ộ s s rộ ủ M tr
I í ệ gdepth(I, M) ỉ r r gdepth(I, M) í n
é t ể Supp H
n
I
(M)
ệ sử ụ ệ trù rr ủ
trù R rr rss
ứ ột ó ệ tố tí t sở ủ ố ồ ề
ị ú ý r ớ ồ ột 0 ớ ữ
s ớ rt ớ ó ữ ề t t
ữ trù rr ì tế ỏ ở tr ó tể q
ề ột ỏ tổ qt ớ S ột trù rr trớ
H
i
I
(M) S? ết q ọ t ợ tr tr

n é t ể H
n
I
(M) / S ớ S ột trù rr M
R t tết ữ s ồ tờ ớ tệ
ệ S Sộ s tr Sộ s ột sự tổ qt ó
ủ tr ết ề ộ s ộ s ọ ộ s s rộ
ệ sử ụ ệ trù rr ủ
trù R rr rss
ứ ột ó ệ tố tí t sở ủ ố ồ ề
ị ú ý r ớ ồ ột 0 ớ ữ
s ớ rt ớ ó ữ ề t t
ữ trù rr ì tế ỏ ở tr ó tể q
ề ột ỏ tổ qt ớ S ột trù rr trớ
H
i
I
(M) S? ết q ọ t ợ tr tr
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✺
❝✃♣ n ❜Ð ♥❤✃t ➤Ó H
n
I
(M) /∈ S ✈í✐ S ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ✈➭ M ❧➭
R✲♠➠➤✉♥ ✭❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✮✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ❝➳❝ ❦❤➳✐
♥✐Ö♠ S✲❞➲②✱ S✲➤é s➞✉ ✈➭ ➤➷❝ tr➢♥❣ S✲➤é s➞✉ ♥❤➢ ♠ét sù tæ♥❣ q✉➳t ❤ã❛
❝ñ❛ ❝➳❝ ➤➷❝ tr➢♥❣ ➤➲ ❜✐Õt ✈Ò ➤é s➞✉✱ ➤é s➞✉ ❧ä❝✱ ➤é s➞✉ s✉② ré♥❣ ✳✳✳
▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tr➟♥ ❝ñ❛ ❆❣❤❛♣♦✉r✲
♥❛❤r ✲ ▼❡❧❦❡rss♦♥ tr♦♥❣ ❜➭✐ ❜➳♦ ▲♦❝❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ♠♦❞✉❧❡s ❛♥❞ ❙❡rr❡
s✉❜❝❛t❡❣♦r✐❡s✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❆❧❣❡❜r❛ ✭✷✵✵✽✮✳

▲✉❐♥ ✈➝♥ ❝❤✐❛ ❧➭♠ ✷ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ■ ♥ã✐ ✈Ò ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ✈➭
♠ét sè ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✈Ò ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ■■ tr×♥❤ ❜➭②
✈Ò S✲❞➲②✱ S✲➤é s➞✉ ✈➭ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ò ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣
♥❤➺♠ tr➯ ❧ê✐ ♠ét ♣❤➬♥ ❝❤♦ ❝➞✉ ❤á✐ ❦❤✐ ♥➭♦ H
i
I
(M) ∈ S?✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

P trù rr ột số ị
ề ố ồ ề ị
r sốt R ột tr M
R
P trù rr S
ị ĩ S ớ rỗ ữ R ọ S
ột trù rr ủ trù R ế ớ ỗ ớ
R 0 M

M M

0 t ó M S ỉ
M

, M

S.
ổ ề sử S ột trù rr ủ trù R
ó S ó í ớ é t
Ext
i

R
(N, M) S ớ ọ R ữ s N ọ M S.
ứ M S N ữ s ỉ ứ
Ext
i
R
(N, M) S N ữ s R tr N ó
ột tự
. . . F
2
F
1
F
0
N 0,

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

tr ó ỗ F
i
tự ữ s ộ tử ế
Hom(, M) tự ủ N ở tr t ợ ố ứ
0 Hom(F
0
, M)
f
0
Hom(F
1
, M)

f
1
Hom(F
2
, M)
f
2
. . . .
ị ĩ ủ ở rộ t ó
Ext
i
R
(N, M) = Ker f
i
/ Im f
i1
,i = 0, 1, 2, . . .
ớ ỗ i, ì F
i
tự ữ s F
i

=
R
n
i
. ó
Hom(F
i
, M) = Hom(R

n
i
, M) =

Hom(R, M)

n
i
= M
n
i
.
q t n
i
từ ớ 0 M
n
i
1
M
n
i
M 0
t s r M
n
i
S. ó Hom(F
i
, M) S. r Ker f
i
S. r

Ext
i
R
(N, M) S.
ớ ỗ R M t ọ ủ M í ệ ở Supp M t
Supp M = {p Spec R | M
p
= 0}.
í ụ ớ s ữ trù rr ủ trù
R
ớ ồ ột 0.
ớ R rt
ớ R tr
ớ R M ó t ữ
ớ R ó ộ ữ
ứ ì t ủ 0 0
ị ể
sử M rt N ủ M. ó ỗ
ữ ủ N ũ ữ ủ M ó
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✽
♥ã ♣❤➯✐ ❞õ♥❣✳ ❱× t❤Õ N ❧➭ ❆rt✐♥✳ ❱× ♠ç✐ ❞➲② ❣✐➯♠ ♥❤÷♥❣ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛
M/N t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ ♠ét ❞➲② ❣✐➯♠ ♥❤÷♥❣ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M ❝❤÷❛ N✱ ✈× t❤Õ
❞➲② ♥➭② ♣❤➯✐ ❞õ♥❣✳ ❉♦ ➤ã M/N ❧➭ ❆rt✐♥✳ ◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ N ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥
❝ñ❛ M s❛♦ ❝❤♦ N ✈➭ M/N ❧➭ ❆rt✐♥✳ ▲✃② M
0
⊇ M
1
⊇ . . . ❧➭ ♠ét ❞➲② ❣✐➯♠
♥❤÷♥❣ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M. ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ❞➲② ❣✐➯♠ M

0
∩N ⊇ M
1
∩N ⊇ . . .
❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ N ✈➭ ❞➲② ❣✐➯♠
(M
0
+ N)/N ⊇ (M
1
+ N)/N ⊇ . . .
❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M/N. ❱× N ✈➭ M/N ❧➭ ❆rt✐♥ ♥➟♥ tå♥ t➵✐ sè tù ♥❤✐➟♥
k s❛♦ ❝❤♦ M
n
∩ N = M
k
∩ N ✈➭ (M
n
+ N)/N = (M
k
+ N)/N ✈í✐
♠ä✐ n ≥ k. ❈❤♦ n ≥ k. ❑❤✐ ➤ã M
k
⊇ M
n
. ▲✃② m ∈ M
k
. ❑❤✐ ➤ã
m+N ∈ (M
k
+N)/N = (M

n
+N)/N. ❙✉② r❛ m+N = x+a+N = x+N
✈í✐ x ∈ M
n
, a ∈ N. ❉♦ ➤ã m−x ∈ N∩M
k
= N∩M
n
. ❙✉② r❛ m−x ∈ M
n
.
❉♦ ➤ã m ∈ M
n
. ❙✉② r❛ M
k
= M
n
✈í✐ ♠ä✐ n ≥ k. ❱× t❤Õ M ❧➭ ❆rt✐♥✳ ❱❐②
❧í♣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡✳
✭✐✐✐✮ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ✭✐✐✮✳
✭✐✈✮✳ ●✐➯ sö M ❧➭ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ ✈➭ N ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M. ❉Ô ❞➭♥❣
❦✐Ó♠ tr❛ ➤➢î❝ Supp M = Supp N ∪ Supp(M/N). ❱× t❤Õ ♥Õ✉ M ❝ã ❣✐➳
❤÷✉ ❤➵♥ t❤× Supp N ✈➭ Supp(M/N) ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥✱ ✈➭ ♥❣➢î❝ ❧➵✐✱ ♥Õ✉ Supp N
✈➭ Supp(M/N) ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ t❤× Supp M ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❱❐② ❧í♣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥
❝ã ❣✐➳ ❤÷✉ ❤➵♥ ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡✳
✭✈✮✳ ◆Õ✉ M ❝ã ➤é ❞➭✐ ❤÷✉ ❤➵♥ t❤× ♠ä✐ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ✈➭ ♠ä✐ ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣
❝ñ❛ M ❝ò♥❣ ❝ã ➤é ❞➭✐ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ♥Õ✉ N ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M
s❛♦ ❝❤♦ N ✈➭ M/N ❝ã ➤é ❞➭✐ ❤÷✉ ❤➵♥ t❤× (M) = (N) + (M/N) < ∞.
❱× t❤Õ ❧í♣ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ ❝ã ➤é ❞➭✐ ❤÷✉ ❤➵♥ ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡✳
◆❤➽❝ ❧➵✐ r➺♥❣ ♠ét ❞➲② ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè p

0
⊂ p
1
⊂ . . . ⊂ p
n
❝ñ❛ R s❛♦
❝❤♦ p
i
= p
i+1
✈í✐ ♠ä✐ i ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❞➲② ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ➤é ❞➭✐ n✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ọ ề r ủ R í ệ dim R, tr ủ ộ ủ
tố ủ R tứ
dim R = sup{n | tồ t ột tố ủ R ộ n}.
ớ ỗ I ủ R t í ệ Var(I) t tố ủ
R ứ I. ớ ỗ R M t t
dim Supp M = sup{dim R/p : p Supp M}.
ọ dim Supp M ề ủ ủ M
ú ý sử M ữ s ề r ủ M í ệ
dim M ề r ủ R/ Ann M. ì M ữ s
Supp M = Var(Ann M) ó t ó
dim Supp M = sup{dim(R/p) | p Supp M} = dim(R/ Ann M).
ì tế ề ủ ủ M í ề r ủ M r trờ ợ
t ết dim M t dim Supp M.
M = 0 R rt tì Supp M ột t ữ ồ
ữ tố ủ R ì tế dim Supp M = 0.
P tế t ột số í ụ ề trù rr
í ụ ớ ỗ số tự s ớ R M s dim Supp M

s ột trù rr ủ trù R
ứ M R N ủ M ì Supp M =
Supp N Supp(M/N)
dim Supp M = max{dim Supp N, dim Supp(M/N)}.
ề ứ tỏ r dim Supp M s ế ỉ ế dim Supp N s
dim Supp(M/N) s ớ M tỏ tí t
dim Supp M s t ột trù rr
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✶✵
❑Ý ❤✐Ö✉ Max R ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ tè✐ ➤➵✐ ❝ñ❛ R✳ ◆❤➢ ➤➲ ♥❤➽❝ ë tr➟♥✱ ♥Õ✉ M
❧➭ ❆rt✐♥ t❤× Supp M ⊆ Max R ✈➭ Supp M ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥ ➤✐Ò✉
♥❣➢î❝ ❧➵✐ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤ó♥❣✱ tø❝ ❧➭ ❝ã ♥❤÷♥❣ ♠➠➤✉♥ M ✈í✐ Supp M ⊆ Max R
✈➭ Supp M ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ ♥❤➢♥❣ M ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝t➡ ✈➠ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉ ①Ðt ♥❤➢ ♠ét ♠➠➤✉♥ tr➟♥ ♠ét tr➢ê♥❣ ❦❤➠♥❣
❧➭ ❆rt✐♥ ♥❤➢♥❣ ❣✐➳ ❝ñ❛ ♥ã ❣å♠ ➤ó♥❣ ♠ét ✐➤➟❛♥ tè✐ ➤➵✐✳ ❙ö ❞ô♥❣ ❱Ý ❞ô
✶✳✶✳✺ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ s = 0 t❛ ➤➢î❝ ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ s❛✉ ➤➞②✳
✶✳✶✳✻ ❱Ý ❞ô✳ ▲í♣ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ M ✈í✐ Supp M ⊆ Max R ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠
trï ❝♦♥ ❙❡rr❡✳ P❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ♥➭② ❝❤ø❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✱ t❛
❣ä✐ ♥ã ❧➭ ♣❤➵♠ trï ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ ♥ö❛ ❆rt✐♥ ✭s❡♠✐❛rt✐♥✐❛♥ ♠♦❞✉❧❡s✮✳
◆❤➽❝ ❧➵✐ r➺♥❣ ♠ét ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè p ❝ñ❛ R ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥
tè ❧✐➟♥ ❦Õt ❝ñ❛ R✲♠➠➤✉♥ M ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ m ∈ M s❛♦ ❝❤♦
p = Ann
R
m = {r ∈ R | rm = 0}.
❚❐♣ ❝➳❝ ✐❞❡❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧✐➟♥ ❦Õt ❝ñ❛ M ➤➢î❝ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ Ass M✳ ❈❤ó
ý r➺♥❣ Ass M ⊆ Supp M✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ✈× R ❧➭ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r ♥➟♥ t❛ ❝ã
min Ass M = min Supp M.
❈❤♦ Z ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❝ñ❛ ♣❤æ ♥❣✉②➟♥ tè Spec R ❝ñ❛ R. ❚❛ ♥ã✐ Z ❧➭
➤ã♥❣ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ➤➷❝ ❜✐Öt ❤ã❛ ♥Õ✉ p ∈ Z ❦Ð♦ t❤❡♦ q ∈ Z ✈í✐ ♠ä✐ ❝➷♣ ✐➤➟❛♥
♥❣✉②➟♥ tè p, q ∈ Spec R s❛♦ ❝❤♦ p ⊆ q✳

✶✳✶✳✼ ❱Ý ❞ô✳ ●✐➯ sö Z ⊆ Spec R ❧➭ ➤ã♥❣ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ➤➷❝ ❜✐Öt ❤ã❛✳ ❑❤✐ ➤ã
❧í♣ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ M ✈í✐ Ass M ⊆ Z ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ✈➭ N ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M. ❱× R ❧➭ ✈➭♥❤
◆♦❡t❤❡r ♥➟♥ Ass N ⊆ Ass M ⊆ Ass N∪Ass(M/N). ❱× t❤Õ✱ ♥Õ✉ Ass N ⊆
Z ✈➭ Ass(M/N) ⊆ Z t❤× Ass M ⊆ Z. ◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ Ass M ⊆ Z. ❑❤✐
➤ã Ass N ⊆ Z. ❚❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ Ass(M/N) ⊆ Z. ❱× Ass M ⊆ Z ✈➭
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

min Ass M = min Supp M min Supp M Z. Z ó ớ é
ệt ó t ó Supp M Z. ì
Supp M = Supp N Supp(M/N)
Supp(M/N) Z. r Ass(M/N) Supp(M/N) Z.
ớ ỗ M t Supp M ó ớ é ệt ó t
ế p, q Spec R p q p Supp M tì
0 = M
p

=
(M
q
)
pR
q
.
ì tế M
q
= 0 tứ q Supp M. ó t í ụ t ó
trù rr s
í ụ ế Z Spec R ó ớ é ệt ó tì ớ
R M ớ Supp M Z ột trù rr

ề ệ C
I
tr trù rr S
I ột ố ị ủ R M R ú t sẽ
ét ột ề ệ ữ í s tr trù rr ủ
trù R r ớ ỗ R M t ị ĩ

I
(M) =

n0
(0 :
M
I
n
), tr ó 0 :
M
I
n
= {m M | I
n
m = 0}.
ị ĩ S trù rr ủ trù R
ó r S tỏ ề ệ (C
I
) ế M S ớ ọ R M
tỏ tí t M =
I
(M) 0 :
M

I S
rớ r ột t ể ột trù rr t
ề ệ (C
I
) ú t ột số ệ q ế
ộ ột R E ợ ọ ộ ế ớ ỗ
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

f : N M ỗ ồ g : N E tồ t ột ồ
h : M E s g = hf. E ột R M
ủ E. ó E ột ở rộ ốt ế ủ M ế M L = 0 ớ
ọ L = 0 ủ E. ó E ộ ủ M ế E ột
ở rộ ốt ế ủ M E ộ ú ý r ỗ R
M ề ó ộ ộ ủ M ị t s
ột ì tế t í ệ ộ ủ M E
R
(M) E(M).
ổ ề S trù rr ủ trù R
ế S ó ớ é ộ tì S tỏ ề ệ (C
I
).
ứ sử M ột R ó tí t M =
I
(M)
0 :
M
I S ứ M S. ì M =
I
(M) ộ
E(M) ủ M í ộ E(0 :

M
I) ủ 0 :
M
I. ì 0 :
M
I S
S ó ớ é ộ E(0 :
M
I) S r E(M) S.
ú ý r M E(M). ữ S trù rr ó t ổ ề
t ó M S.
ột t ể ột trù rr tỏ ề
ệ (C
I
).
ổ ề S trù rr ủ trù R
ó S tỏ ề ệ (C
I
) ế ỉ ế M S ớ ọ R
M tỏ tí t M =
I
(M) 0 :
M
x S ớ tử x
ó tr I
ứ sử S tỏ ề ệ (C
I
). M ột R
ó tí t M =
I

(M) 0 :
M
x S ớ x I. ì 0 :
M
I 0 :
M
x
S trù rr t ổ ề t ó 0 :
M
I S.
S tỏ ề ệ (C
I
) M S. ợ M R
s M =
I
(M) 0 :
M
I S. ết I = (x
1
, . . . , x
n
). t
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

M
0
= M M
i
= 0 :
M

(x
1
, . . . , x
i
)R ớ i = 1, . . . , n. ứ
q ù t i r M
i
S ớ ọ i = n, . . . , 1, 0.
tết M
n
= 0 :
M
I S, ết q ú i = n. ớ i < n, tết
q r M
i+1
S. ì M
i+1
= 0 :
M
i
x
i+1
S x
i+1
I
t tết t s r M
i
S. M
i
S ớ ọ i. ọ i = 0 t ó

M S.
P ố ủ tết ú t ét tr trù
rr ở í ụ trù tỏ
ề ệ (C
I
).
í ụ trù rr ủ trù R s
tỏ ề ệ (C
I
).
P trù rr ồ ột 0.
P trù rr ồ R rt
P trù rr ồ R M ó Supp M t ữ

P trù rr ồ R ử rt R M
s Supp M Max R).
P trù rr ồ R M ớ dim Supp M s
tr ó s 0 ột số trớ
P trù rr ồ R M ớ Ass M Z, tr ó
Z Spec R ột t ó ớ é ệt
ứ ì ộ ủ 0 0 trù
ó ớ é ộ ì tế t ổ ề t ó ết q
ổ ề t ỉ ứ ộ ủ ỗ
rt rt sử M R rt ó Ass M Max R
Ass M t ữ ết Ass M = {m
1
, . . . , m
t
}. í ệ E(M)
ộ ủ M E

i
= E(R/m
i
) ộ ủ trờ t R/m
i
.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

ó tồ t số tự n
1
, . . . , n
t
s t ó tí tổ trự
tế
E(M) = E
n
1
1
E
n
2
2
. . . E
n
t
t
,
tr ó E
n
i

i
ợ ể tổ trự tế ủ n
i
ỗ ề
ớ E
i
. ú ý r ỗ E
i
ề rt ó E(M)
rt ì tế trù rt ột trù rr tỏ
ề ệ (C
I
).
sử M ột R í ệ E(M)
ộ ủ M ó t t ó
E(M)

=

pAss M

i
p
E
i
(R/p),
tr ó
p
ữ t ợ ó tể ữ E
i

(R/p)
ộ ủ R/p. ì tế t ó Ass M = Ass E(M). ì R
tr min Ass M = min Supp M min Ass E(M) = min Supp E(M)
ó Supp M = Supp E(M). ì tế M ử rt t ứ Supp M
t ữ dim Supp M s Ass M Z ế ỉ ế E(M)
ử rt t ứ Supp E(M) t ữ dim Supp E(M) s
Ass E(M) Z ó ị ợ s r từ
ổ ề
í ụ ế dim R > 0 tì tồ t I ủ R s trù
rr R tr t ề ệ (C
I
) t
ọ m tố ủ R s ht m > 0. E = E(R/m)
ộ ủ R/m. ì R tr E R rt
ó E m tứ E =
m
(E) ì E rt m ự
0 :
E
m ó ộ ữ ì tế ó tr ht m > 0 E
tr
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

í ụ ế dim R > 0 tì tồ t I ủ ủ ột tr
R s trù rr R ó ộ ữ
t ề ệ (C
I
) t ọ m tố ủ R s
ht m > 0. ó E = E(R/m) rt t tí
t E =

m
(E) 0 :
E
m ó ộ ữ E ó ộ

ú ý r trù rr R tr ét tr í ụ
trù rr R ó ộ ữ ét tr í ụ
ề ó ớ é ộ ụ tể ớ m
ự ủ R s ht m > 0 tì R/m ó ộ ữ
tt ũ tr ộ ủ ó
tr ì tế ó ó ộ
ố ồ ề ị
r sốt tết tết R tr M, N
R
ị ĩ I ủ R. ớ ỗ R N t ị
ĩ
I
(N) =

n0
(0 :
N
I
n
). ế f : N N

ồ R
tì t ó ồ f

:

I
(N)
I
(N

) ở f

(x) = f(x).
ó
I
() tử ớ tr ệ ế từ trù R
ế trù R
I
() ợ ọ tử I
ột ộ ủ N ột ớ
0 N E
0
E
1
E
2
. . .
tr ó ỗ E
i
ộ ú ý r ớ ỗ ề ú
ợ ột ộ ì tế ỗ ề ó ộ
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn