Tải bản đầy đủ (.pdf) (42 trang)

Môđun đối đồng điều địa phương và một số phạm trù con serre

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (544.22 KB, 42 trang )

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM




PHẠM MAI LAN





MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ
MỘT SỐ PHẠM TRÙ CON SERRE



Chuyªn ngµnh: Đại số và lý thuyết số
M· sè: 60.46.05


LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: PGS TS LÊ THỊ THANH NHÀN














Thái Nguyên, 2009

▼ô❝ ❧ô❝
▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷
✶ P❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ✈➭ ♠ét sè ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✈Ò ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣
➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✻
✶✳✶ P❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ S ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✷ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭C
I
✮ tr➟♥ ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ S ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶
✶✳✸ ▼➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺
✷ ❉➲② S✲❝❤Ý♥❤ q✉② ✈➭ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✶✾
✷✳✶ ❉➲② S✲❝❤Ý♥❤ q✉② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾
✷✳✷ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤Ó H
i
I
(M) ∈ S ✈í✐ ♠ä✐ ❝✃♣ i < n ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼
✷✳✸ S✲➤é s➞✉ ✈➭ ♠ét sè ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ S✲➤é s➞✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥
▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ✈➭ ♥❣❤✐➟♠
❦❤➽❝ ❝ñ❛ P●❙✳❚❙ ▲➟ ❚❤Þ ❚❤❛♥❤ ◆❤➭♥✳ ◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭② t➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤
❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ ➤Õ♥ ❝➠ ✈➭ ❣✐❛ ➤×♥❤✳
❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ tí✐ ●❙✳ ❚❙❑❍ ◆❣✉②Ô♥ ❚ù ❈➢ê♥❣✱ ●❙✳ ❚❙❑❍
▲➟ ❚✉✃♥ ❍♦❛✱ P●❙✳ ❚❙ ◆❣✉②Ô♥ ◗✉è❝ ❚❤➽♥❣ ë ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ❍➭ ◆é✐❀ ❚❙✳
◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ ❉✉♥❣ ❝ï♥❣ t♦➭♥ t❤Ó ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ✈➭ P❤ß♥❣ ➜➭♦
t➵♦ s❛✉ ➜➵✐ ❤ä❝ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ t❐♥
t×♥❤ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ tr➢ê♥❣✳
❚➠✐ ❝ò♥❣ r✃t ❜✐Õt ➡♥ ❝➳♥ ❜é✱ ❣✐➳♦ ✈✐➟♥ tr➢ê♥❣ P❚❚❍ P❤ô❝ ❍♦➭✱ ❙ë
●❉➜❚ ❈❛♦ ❇➺♥❣✱ ❚Ø♥❤ ❈❛♦ ❇➺♥❣ ♥➡✐ t➠✐ ➤❛♥❣ ❝➠♥❣ t➳❝ ➤➲ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ò✉
❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ♥❤✃t ➤Ó t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❦Õ ❤♦➵❝❤ ❤ä❝ t❐♣ ❝ñ❛ ♠×♥❤✳
❚➠✐ ❝ò♥❣ ①✐♥ ❜➭② tá sù q✉ý ♠Õ♥ ❝ñ❛ ♠×♥❤ tí✐ ❣✐❛ ➤×♥❤✱ ❜è ♠Ñ✱ ❛♥❤ ❝❤Þ
✈➭ ❝❤å♥❣ t➠✐✱ ❝➳❝ ❜➵♥ t➠✐✱ ♥❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ ➤➲ ❧✉➠♥ ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ ❦❤✉②Õ♥ ❦❤Ý❝❤
t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❝➠♥❣ ✈✐Ö❝✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ờ ó
r sốt tết R ột
tr ó ị I ủ R ù ó ề t
ọ q t ứ ố ồ ề ị H
i
I
(M) ủ
ột R M ứ ớ I ế ờ t ết rt ít
t t ề M ữ s ố ồ
ề ị t tết ữ s ũ t
tết rt í ờ t ò ết tì
trệt t trừ ột số trờ ợ ệt ợ ỉ r

t tí t sở ủ ố ồ ề ị
tí trệt t tí ữ s tí rt tí t ữ ủ
ợ q t ệt ì ữ ứ ụ ủ ó tr ề ĩ ự ủ
t ọ số ì ọ số số ổ ợ
ề ộ s ủ ột ữ s M ữ t ế
q trọ ủ M ề ợ tr q tí trệt t ủ ố
ồ ề ị s ộ s depth(I, M) ủ M tr
I i é t s H
i
I
(M) = 0; (R, m) ị
tì ề dim M ủ M i ớ t ể H
i
m
(M) = 0. ì í ó
ờ t t r ữ ỏ tì ố ồ ề trệt t
ữ s ở ữ ì ề ệ ể ó
rt ó ó ữ
ỏ ợ tr ờ ộ ở ề t ọ
trờ ợ M ữ s ts ỉ r r r é
t ể H
r
I
(M) ữ s
min{depth(M
p
) + ht((I + p)/p) : p I}.
rss trì ột ết q t tự ủ ts
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn


tr ó tí ữ s ợ t tí rt ỉ r r
n é t ể H
n
I
(M) rt số depth(IR
p
, M
p
) é t ớ
p Supp(M/IM) \ {m}. ó
..

n í ộ s ọ f-depth(I, M) ủ M tr I ế t
ị ĩ ệ ộ s s rộ ủ M tr
I í ệ gdepth(I, M) ỉ r r gdepth(I, M) í n
é t ể Supp H
n
I
(M)
ệ sử ụ ệ trù rr ủ
trù R rr rss
ứ ột ó ệ tố tí t sở ủ ố ồ ề
ị ú ý r ớ ồ ột 0 ớ ữ
s ớ rt ớ ó ữ ề t t
ữ trù rr ì tế ỏ ở tr ó tể q
ề ột ỏ tổ qt ớ S ột trù rr trớ
H
i
I
(M) S? ết q ọ t ợ tr tr

n é t ể H
n
I
(M) / S ớ S ột trù rr M
R t tết ữ s ồ tờ ớ tệ
ệ S Sộ s tr Sộ s ột sự tổ qt ó
ủ tr ết ề ộ s ộ s ọ ộ s s rộ
ệ sử ụ ệ trù rr ủ
trù R rr rss
ứ ột ó ệ tố tí t sở ủ ố ồ ề
ị ú ý r ớ ồ ột 0 ớ ữ
s ớ rt ớ ó ữ ề t t
ữ trù rr ì tế ỏ ở tr ó tể q
ề ột ỏ tổ qt ớ S ột trù rr trớ
H
i
I
(M) S? ết q ọ t ợ tr tr
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

❝✃♣ n ❜Ð ♥❤✃t ➤Ó H
n
I
(M) /∈ S ✈í✐ S ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ✈➭ M ❧➭
R✲♠➠➤✉♥ ✭❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ❤÷✉ ❤➵♥ s✐♥❤✮✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ❝➳❝ ❦❤➳✐
♥✐Ö♠ S✲❞➲②✱ S✲➤é s➞✉ ✈➭ ➤➷❝ tr➢♥❣ S✲➤é s➞✉ ♥❤➢ ♠ét sù tæ♥❣ q✉➳t ❤ã❛
❝ñ❛ ❝➳❝ ➤➷❝ tr➢♥❣ ➤➲ ❜✐Õt ✈Ò ➤é s➞✉✱ ➤é s➞✉ ❧ä❝✱ ➤é s➞✉ s✉② ré♥❣ ✳✳✳
▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tr➟♥ ❝ñ❛ ❆❣❤❛♣♦✉r✲
♥❛❤r ✲ ▼❡❧❦❡rss♦♥ tr♦♥❣ ❜➭✐ ❜➳♦ ▲♦❝❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ♠♦❞✉❧❡s ❛♥❞ ❙❡rr❡
s✉❜❝❛t❡❣♦r✐❡s✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❆❧❣❡❜r❛ ✭✷✵✵✽✮✳

▲✉❐♥ ✈➝♥ ❝❤✐❛ ❧➭♠ ✷ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ■ ♥ã✐ ✈Ò ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ✈➭
♠ét sè ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✈Ò ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ■■ tr×♥❤ ❜➭②
✈Ò S✲❞➲②✱ S✲➤é s➞✉ ✈➭ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈Ò ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣
♥❤➺♠ tr➯ ❧ê✐ ♠ét ♣❤➬♥ ❝❤♦ ❝➞✉ ❤á✐ ❦❤✐ ♥➭♦ H
i
I
(M) ∈ S?✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

P trù rr ột số ị
ề ố ồ ề ị
r sốt R ột tr M
R
P trù rr S
ị ĩ S ớ rỗ ữ R ọ S
ột trù rr ủ trù R ế ớ ỗ ớ
R 0 M

M M

0 t ó M S ỉ
M

, M

S.
ổ ề sử S ột trù rr ủ trù R
ó S ó í ớ é t
Ext
i

R
(N, M) S ớ ọ R ữ s N ọ M S.
ứ M S N ữ s ỉ ứ
Ext
i
R
(N, M) S N ữ s R tr N ó
ột tự
. . . F
2
F
1
F
0
N 0,

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

tr ó ỗ F
i
tự ữ s ộ tử ế
Hom(, M) tự ủ N ở tr t ợ ố ứ
0 Hom(F
0
, M)
f
0
Hom(F
1
, M)

f
1
Hom(F
2
, M)
f
2
. . . .
ị ĩ ủ ở rộ t ó
Ext
i
R
(N, M) = Ker f
i
/ Im f
i1
,i = 0, 1, 2, . . .
ớ ỗ i, ì F
i
tự ữ s F
i

=
R
n
i
. ó
Hom(F
i
, M) = Hom(R

n
i
, M) =

Hom(R, M)

n
i
= M
n
i
.
q t n
i
từ ớ 0 M
n
i
1
M
n
i
M 0
t s r M
n
i
S. ó Hom(F
i
, M) S. r Ker f
i
S. r

Ext
i
R
(N, M) S.
ớ ỗ R M t ọ ủ M í ệ ở Supp M t
Supp M = {p Spec R | M
p
= 0}.
í ụ ớ s ữ trù rr ủ trù
R
ớ ồ ột 0.
ớ R rt
ớ R tr
ớ R M ó t ữ
ớ R ó ộ ữ
ứ ì t ủ 0 0
ị ể
sử M rt N ủ M. ó ỗ
ữ ủ N ũ ữ ủ M ó
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

♥ã ♣❤➯✐ ❞õ♥❣✳ ❱× t❤Õ N ❧➭ ❆rt✐♥✳ ❱× ♠ç✐ ❞➲② ❣✐➯♠ ♥❤÷♥❣ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛
M/N t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ ♠ét ❞➲② ❣✐➯♠ ♥❤÷♥❣ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M ❝❤÷❛ N✱ ✈× t❤Õ
❞➲② ♥➭② ♣❤➯✐ ❞õ♥❣✳ ❉♦ ➤ã M/N ❧➭ ❆rt✐♥✳ ◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ N ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥
❝ñ❛ M s❛♦ ❝❤♦ N ✈➭ M/N ❧➭ ❆rt✐♥✳ ▲✃② M
0
⊇ M
1
⊇ . . . ❧➭ ♠ét ❞➲② ❣✐➯♠
♥❤÷♥❣ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M. ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ❞➲② ❣✐➯♠ M

0
∩N ⊇ M
1
∩N ⊇ . . .
❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ N ✈➭ ❞➲② ❣✐➯♠
(M
0
+ N)/N ⊇ (M
1
+ N)/N ⊇ . . .
❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M/N. ❱× N ✈➭ M/N ❧➭ ❆rt✐♥ ♥➟♥ tå♥ t➵✐ sè tù ♥❤✐➟♥
k s❛♦ ❝❤♦ M
n
∩ N = M
k
∩ N ✈➭ (M
n
+ N)/N = (M
k
+ N)/N ✈í✐
♠ä✐ n ≥ k. ❈❤♦ n ≥ k. ❑❤✐ ➤ã M
k
⊇ M
n
. ▲✃② m ∈ M
k
. ❑❤✐ ➤ã
m+N ∈ (M
k
+N)/N = (M

n
+N)/N. ❙✉② r❛ m+N = x+a+N = x+N
✈í✐ x ∈ M
n
, a ∈ N. ❉♦ ➤ã m−x ∈ N∩M
k
= N∩M
n
. ❙✉② r❛ m−x ∈ M
n
.
❉♦ ➤ã m ∈ M
n
. ❙✉② r❛ M
k
= M
n
✈í✐ ♠ä✐ n ≥ k. ❱× t❤Õ M ❧➭ ❆rt✐♥✳ ❱❐②
❧í♣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥ ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡✳
✭✐✐✐✮ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ✭✐✐✮✳
✭✐✈✮✳ ●✐➯ sö M ❧➭ ♠ét R✲♠➠➤✉♥ ✈➭ N ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M. ❉Ô ❞➭♥❣
❦✐Ó♠ tr❛ ➤➢î❝ Supp M = Supp N ∪ Supp(M/N). ❱× t❤Õ ♥Õ✉ M ❝ã ❣✐➳
❤÷✉ ❤➵♥ t❤× Supp N ✈➭ Supp(M/N) ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥✱ ✈➭ ♥❣➢î❝ ❧➵✐✱ ♥Õ✉ Supp N
✈➭ Supp(M/N) ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥ t❤× Supp M ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❱❐② ❧í♣ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥
❝ã ❣✐➳ ❤÷✉ ❤➵♥ ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡✳
✭✈✮✳ ◆Õ✉ M ❝ã ➤é ❞➭✐ ❤÷✉ ❤➵♥ t❤× ♠ä✐ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ✈➭ ♠ä✐ ♠➠➤✉♥ t❤➢➡♥❣
❝ñ❛ M ❝ò♥❣ ❝ã ➤é ❞➭✐ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ♥Õ✉ N ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M
s❛♦ ❝❤♦ N ✈➭ M/N ❝ã ➤é ❞➭✐ ❤÷✉ ❤➵♥ t❤× (M) = (N) + (M/N) < ∞.
❱× t❤Õ ❧í♣ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ ❝ã ➤é ❞➭✐ ❤÷✉ ❤➵♥ ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡✳
◆❤➽❝ ❧➵✐ r➺♥❣ ♠ét ❞➲② ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè p

0
⊂ p
1
⊂ . . . ⊂ p
n
❝ñ❛ R s❛♦
❝❤♦ p
i
= p
i+1
✈í✐ ♠ä✐ i ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❞➲② ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ➤é ❞➭✐ n✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ọ ề r ủ R í ệ dim R, tr ủ ộ ủ
tố ủ R tứ
dim R = sup{n | tồ t ột tố ủ R ộ n}.
ớ ỗ I ủ R t í ệ Var(I) t tố ủ
R ứ I. ớ ỗ R M t t
dim Supp M = sup{dim R/p : p Supp M}.
ọ dim Supp M ề ủ ủ M
ú ý sử M ữ s ề r ủ M í ệ
dim M ề r ủ R/ Ann M. ì M ữ s
Supp M = Var(Ann M) ó t ó
dim Supp M = sup{dim(R/p) | p Supp M} = dim(R/ Ann M).
ì tế ề ủ ủ M í ề r ủ M r trờ ợ
t ết dim M t dim Supp M.
M = 0 R rt tì Supp M ột t ữ ồ
ữ tố ủ R ì tế dim Supp M = 0.
P tế t ột số í ụ ề trù rr
í ụ ớ ỗ số tự s ớ R M s dim Supp M

s ột trù rr ủ trù R
ứ M R N ủ M ì Supp M =
Supp N Supp(M/N)
dim Supp M = max{dim Supp N, dim Supp(M/N)}.
ề ứ tỏ r dim Supp M s ế ỉ ế dim Supp N s
dim Supp(M/N) s ớ M tỏ tí t
dim Supp M s t ột trù rr
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
✶✵
❑Ý ❤✐Ö✉ Max R ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ tè✐ ➤➵✐ ❝ñ❛ R✳ ◆❤➢ ➤➲ ♥❤➽❝ ë tr➟♥✱ ♥Õ✉ M
❧➭ ❆rt✐♥ t❤× Supp M ⊆ Max R ✈➭ Supp M ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥ ➤✐Ò✉
♥❣➢î❝ ❧➵✐ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤ó♥❣✱ tø❝ ❧➭ ❝ã ♥❤÷♥❣ ♠➠➤✉♥ M ✈í✐ Supp M ⊆ Max R
✈➭ Supp M ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ ♥❤➢♥❣ M ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✳ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝t➡ ✈➠ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉ ①Ðt ♥❤➢ ♠ét ♠➠➤✉♥ tr➟♥ ♠ét tr➢ê♥❣ ❦❤➠♥❣
❧➭ ❆rt✐♥ ♥❤➢♥❣ ❣✐➳ ❝ñ❛ ♥ã ❣å♠ ➤ó♥❣ ♠ét ✐➤➟❛♥ tè✐ ➤➵✐✳ ❙ö ❞ô♥❣ ❱Ý ❞ô
✶✳✶✳✺ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ s = 0 t❛ ➤➢î❝ ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ s❛✉ ➤➞②✳
✶✳✶✳✻ ❱Ý ❞ô✳ ▲í♣ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ M ✈í✐ Supp M ⊆ Max R ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠
trï ❝♦♥ ❙❡rr❡✳ P❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡ ♥➭② ❝❤ø❛ t✃t ❝➯ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ ❆rt✐♥✱ t❛
❣ä✐ ♥ã ❧➭ ♣❤➵♠ trï ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ ♥ö❛ ❆rt✐♥ ✭s❡♠✐❛rt✐♥✐❛♥ ♠♦❞✉❧❡s✮✳
◆❤➽❝ ❧➵✐ r➺♥❣ ♠ét ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè p ❝ñ❛ R ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ✐➤➟❛♥ ♥❣✉②➟♥
tè ❧✐➟♥ ❦Õt ❝ñ❛ R✲♠➠➤✉♥ M ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ m ∈ M s❛♦ ❝❤♦
p = Ann
R
m = {r ∈ R | rm = 0}.
❚❐♣ ❝➳❝ ✐❞❡❛♥ ♥❣✉②➟♥ tè ❧✐➟♥ ❦Õt ❝ñ❛ M ➤➢î❝ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ Ass M✳ ❈❤ó
ý r➺♥❣ Ass M ⊆ Supp M✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ✈× R ❧➭ ✈➭♥❤ ◆♦❡t❤❡r ♥➟♥ t❛ ❝ã
min Ass M = min Supp M.
❈❤♦ Z ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❝ñ❛ ♣❤æ ♥❣✉②➟♥ tè Spec R ❝ñ❛ R. ❚❛ ♥ã✐ Z ❧➭
➤ã♥❣ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ➤➷❝ ❜✐Öt ❤ã❛ ♥Õ✉ p ∈ Z ❦Ð♦ t❤❡♦ q ∈ Z ✈í✐ ♠ä✐ ❝➷♣ ✐➤➟❛♥
♥❣✉②➟♥ tè p, q ∈ Spec R s❛♦ ❝❤♦ p ⊆ q✳

✶✳✶✳✼ ❱Ý ❞ô✳ ●✐➯ sö Z ⊆ Spec R ❧➭ ➤ã♥❣ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ➤➷❝ ❜✐Öt ❤ã❛✳ ❑❤✐ ➤ã
❧í♣ ❝➳❝ R✲♠➠➤✉♥ M ✈í✐ Ass M ⊆ Z ❧➭ ♠ét ♣❤➵♠ trï ❝♦♥ ❙❡rr❡✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ M ❧➭ R✲♠➠➤✉♥ ✈➭ N ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ M. ❱× R ❧➭ ✈➭♥❤
◆♦❡t❤❡r ♥➟♥ Ass N ⊆ Ass M ⊆ Ass N∪Ass(M/N). ❱× t❤Õ✱ ♥Õ✉ Ass N ⊆
Z ✈➭ Ass(M/N) ⊆ Z t❤× Ass M ⊆ Z. ◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ Ass M ⊆ Z. ❑❤✐
➤ã Ass N ⊆ Z. ❚❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ Ass(M/N) ⊆ Z. ❱× Ass M ⊆ Z ✈➭
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

min Ass M = min Supp M min Supp M Z. Z ó ớ é
ệt ó t ó Supp M Z. ì
Supp M = Supp N Supp(M/N)
Supp(M/N) Z. r Ass(M/N) Supp(M/N) Z.
ớ ỗ M t Supp M ó ớ é ệt ó t
ế p, q Spec R p q p Supp M tì
0 = M
p

=
(M
q
)
pR
q
.
ì tế M
q
= 0 tứ q Supp M. ó t í ụ t ó
trù rr s
í ụ ế Z Spec R ó ớ é ệt ó tì ớ
R M ớ Supp M Z ột trù rr

ề ệ C
I
tr trù rr S
I ột ố ị ủ R M R ú t sẽ
ét ột ề ệ ữ í s tr trù rr ủ
trù R r ớ ỗ R M t ị ĩ

I
(M) =

n0
(0 :
M
I
n
), tr ó 0 :
M
I
n
= {m M | I
n
m = 0}.
ị ĩ S trù rr ủ trù R
ó r S tỏ ề ệ (C
I
) ế M S ớ ọ R M
tỏ tí t M =
I
(M) 0 :
M

I S
rớ r ột t ể ột trù rr t
ề ệ (C
I
) ú t ột số ệ q ế
ộ ột R E ợ ọ ộ ế ớ ỗ
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

f : N M ỗ ồ g : N E tồ t ột ồ
h : M E s g = hf. E ột R M
ủ E. ó E ột ở rộ ốt ế ủ M ế M L = 0 ớ
ọ L = 0 ủ E. ó E ộ ủ M ế E ột
ở rộ ốt ế ủ M E ộ ú ý r ỗ R
M ề ó ộ ộ ủ M ị t s
ột ì tế t í ệ ộ ủ M E
R
(M) E(M).
ổ ề S trù rr ủ trù R
ế S ó ớ é ộ tì S tỏ ề ệ (C
I
).
ứ sử M ột R ó tí t M =
I
(M)
0 :
M
I S ứ M S. ì M =
I
(M) ộ
E(M) ủ M í ộ E(0 :

M
I) ủ 0 :
M
I. ì 0 :
M
I S
S ó ớ é ộ E(0 :
M
I) S r E(M) S.
ú ý r M E(M). ữ S trù rr ó t ổ ề
t ó M S.
ột t ể ột trù rr tỏ ề
ệ (C
I
).
ổ ề S trù rr ủ trù R
ó S tỏ ề ệ (C
I
) ế ỉ ế M S ớ ọ R
M tỏ tí t M =
I
(M) 0 :
M
x S ớ tử x
ó tr I
ứ sử S tỏ ề ệ (C
I
). M ột R
ó tí t M =
I

(M) 0 :
M
x S ớ x I. ì 0 :
M
I 0 :
M
x
S trù rr t ổ ề t ó 0 :
M
I S.
S tỏ ề ệ (C
I
) M S. ợ M R
s M =
I
(M) 0 :
M
I S. ết I = (x
1
, . . . , x
n
). t
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

M
0
= M M
i
= 0 :
M

(x
1
, . . . , x
i
)R ớ i = 1, . . . , n. ứ
q ù t i r M
i
S ớ ọ i = n, . . . , 1, 0.
tết M
n
= 0 :
M
I S, ết q ú i = n. ớ i < n, tết
q r M
i+1
S. ì M
i+1
= 0 :
M
i
x
i+1
S x
i+1
I
t tết t s r M
i
S. M
i
S ớ ọ i. ọ i = 0 t ó

M S.
P ố ủ tết ú t ét tr trù
rr ở í ụ trù tỏ
ề ệ (C
I
).
í ụ trù rr ủ trù R s
tỏ ề ệ (C
I
).
P trù rr ồ ột 0.
P trù rr ồ R rt
P trù rr ồ R M ó Supp M t ữ

P trù rr ồ R ử rt R M
s Supp M Max R).
P trù rr ồ R M ớ dim Supp M s
tr ó s 0 ột số trớ
P trù rr ồ R M ớ Ass M Z, tr ó
Z Spec R ột t ó ớ é ệt
ứ ì ộ ủ 0 0 trù
ó ớ é ộ ì tế t ổ ề t ó ết q
ổ ề t ỉ ứ ộ ủ ỗ
rt rt sử M R rt ó Ass M Max R
Ass M t ữ ết Ass M = {m
1
, . . . , m
t
}. í ệ E(M)
ộ ủ M E

i
= E(R/m
i
) ộ ủ trờ t R/m
i
.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

ó tồ t số tự n
1
, . . . , n
t
s t ó tí tổ trự
tế
E(M) = E
n
1
1
E
n
2
2
. . . E
n
t
t
,
tr ó E
n
i

i
ợ ể tổ trự tế ủ n
i
ỗ ề
ớ E
i
. ú ý r ỗ E
i
ề rt ó E(M)
rt ì tế trù rt ột trù rr tỏ
ề ệ (C
I
).
sử M ột R í ệ E(M)
ộ ủ M ó t t ó
E(M)

=

pAss M

i
p
E
i
(R/p),
tr ó
p
ữ t ợ ó tể ữ E
i

(R/p)
ộ ủ R/p. ì tế t ó Ass M = Ass E(M). ì R
tr min Ass M = min Supp M min Ass E(M) = min Supp E(M)
ó Supp M = Supp E(M). ì tế M ử rt t ứ Supp M
t ữ dim Supp M s Ass M Z ế ỉ ế E(M)
ử rt t ứ Supp E(M) t ữ dim Supp E(M) s
Ass E(M) Z ó ị ợ s r từ
ổ ề
í ụ ế dim R > 0 tì tồ t I ủ R s trù
rr R tr t ề ệ (C
I
) t
ọ m tố ủ R s ht m > 0. E = E(R/m)
ộ ủ R/m. ì R tr E R rt
ó E m tứ E =
m
(E) ì E rt m ự
0 :
E
m ó ộ ữ ì tế ó tr ht m > 0 E
tr
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

í ụ ế dim R > 0 tì tồ t I ủ ủ ột tr
R s trù rr R ó ộ ữ
t ề ệ (C
I
) t ọ m tố ủ R s
ht m > 0. ó E = E(R/m) rt t tí
t E =

m
(E) 0 :
E
m ó ộ ữ E ó ộ

ú ý r trù rr R tr ét tr í ụ
trù rr R ó ộ ữ ét tr í ụ
ề ó ớ é ộ ụ tể ớ m
ự ủ R s ht m > 0 tì R/m ó ộ ữ
tt ũ tr ộ ủ ó
tr ì tế ó ó ộ
ố ồ ề ị
r sốt tết tết R tr M, N
R
ị ĩ I ủ R. ớ ỗ R N t ị
ĩ
I
(N) =

n0
(0 :
N
I
n
). ế f : N N

ồ R
tì t ó ồ f

:

I
(N)
I
(N

) ở f

(x) = f(x).
ó
I
() tử ớ tr ệ ế từ trù R
ế trù R
I
() ợ ọ tử I
ột ộ ủ N ột ớ
0 N E
0
E
1
E
2
. . .
tr ó ỗ E
i
ộ ú ý r ớ ỗ ề ú
ợ ột ộ ì tế ỗ ề ó ộ
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

×