LUẬN VĂN BÁO CÁO ĐỀ TÀI:" DẠNG XẤP XỈ SINC CỦA HÀM PHÂN BỐ NHIỆT TRÊN BIÊN CỦA SLAB HỮU HẠN BA CHIỀU" ppt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
DẠNG XẤP XỈ SINC CỦA
HÀM PHÂN BỐ NHIỆT TRÊN BIÊN
CỦA SLAB HỮU HẠN BA CHIỀU
Học viên: Đinh Xuân Nhân
Mã số: 02 09 4601 12
Người hướng dẫn khoa học
TS. Phạm Hoàng Quân


Xét bài toán tìm hàm phân bố nhiệt độ
với , trong đó
thoả

( ) ( )
, , , ,0,v x y t u x y t
=

, , 0x y t
∈ >


( )
, , ,u x y z t

0, , , 0 2, 0
u
u x y z t

t
∂
∆ − = ∈ < < >
∂

(1)

( ) ( )
, ,1, , , , , , 0u x y t f x y t x y t
= ∈ >

(2)

( ) ( )
, , 2, , , , , , 0u x y t g x y t x y t
= ∈ >

(3)

( )
, , ,0 0, , , 0 2u x y z x y z
= ∈ < <

(4)
trong đó, là các hàm cho trước.

,f g

( ) ( ) ( )
1
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,G x y z t x y z t x y z t
ξ η θ τ ξ η θ τ ξ η θ τ
= Γ − Γ
Đặt
với

( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
3
2
1
, , , , , , , exp
4
4
x y z
x y z t
t
t
ξ η θ
ξ η θ τ
τ
π τ
 
− + − + −
Γ = −

 
−
 
−
 
 
 
(5)

( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
1
3
2
4
1
, , , , , , , exp
4
4
x y z
x y z t
t
t
ξ η θ
ξ η θ τ
τ
π τ

 
− + − + − −
Γ = −
 
−
 
−
 
 
 
. (6)

( ) ( )
0div G u u G uG
τ
∂
∇ − ∇ − =
∂
(7)
Ta có
.


Lấy tích phân hai vế của (7) theo
trên ,và cho

( )
, , ,
τ ξ η θ

( ) ( ) ( ) ( )
0, , , 1,2t n n n n
ε
− × − × − ×

( ) ( ) ( ) ( )
0 0
, ,1, , , , , , ,1, , , , , , , , ,1,
t t
u G x y z t d d d f G x y z t d d d
θ θ
ξ η τ ξ η τ ξ η τ ξ η τ ξ η τ ξ η τ
+ ∞ + ∞ +∞ +∞
− ∞ − ∞ −∞ −∞
=
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )
0
, , , , , , , , 2, , , , .
t
g G x y z t d d d u x y z t
θ
ξ η τ ξ η τ ξ η τ
+∞ +∞
−∞ −∞
− −
∫ ∫ ∫
(8)
Cho trong (8), ta có

1z
+
→

( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
3
3
2
2
4
4 4
0
1
, ,1,
4
x y x y
t
t t
u e e d d d
t
ξ η ξ η
τ τ
θ

ξ η τ ξ η τ
π τ
− + − − + − +
+∞ +∞
− −
− −
−∞ −∞
 
 
−
 
−
 
∫ ∫ ∫

( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
5
3
2
2
1
4
0
1
, ,
4

x y
t
t
g e d d d
t
ξ η
τ
ξ η τ ξ η τ
π τ
− + − +
+∞ +∞
−
−
−∞ −∞
=
−
∫ ∫ ∫

( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
5
3
2
2
4
4

0
1
, , , , .
4
x y
t
t
f e d d d f x y t
t
ξ η
τ
ξ η τ ξ η τ
π τ
− + − +
+∞ +∞
−
−
−∞ −∞
− −
−
∫ ∫ ∫
(9)


Đặt

( ) ( ) ( )
2
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,N x y z t x y z t x y z t
ξ η θ τ ξ η θ τ ξ η θ τ

= Γ − Γ

( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
3
2
1
, , , , , , , exp
4
4
x y z
x y z t
t
t
ξ η θ
ξ η θ τ
τ
π τ
 
− + − + −
Γ = −
 
−
 
−
 
 

 

( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2
3
2
1
, , , , , , , exp
4
4
x y z
x y z t
t
t
ξ η θ
ξ η θ τ
τ
π τ
 
− + − + +
Γ = −
 
−
 
− 
 

 

( ) ( )
0div N u u N uN
τ
∂
∇ − ∇ − =
∂
với
(10)
. (11)
Ta có
. (12)


Lấy tích phân hai vế của (12) theo
trên , và cho

( )
, , ,
τ ξ η θ

( ) ( ) ( ) ( )
0, , , 0,1t n n n n
ε
− × − × − ×

( ) ( ) ( ) ( )
0 0
, ,1, , , , , , ,1, , , , , , , , ,1,

t t
u N x y z t d d d f N x y z t d d d
θ θ
ξ η τ ξ η τ ξ η τ ξ η τ ξ η τ ξ η τ
+∞ +∞ + ∞ +∞
−∞ −∞ − ∞ −∞
=
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )
0
, , , , , , , ,0, , , , .
t
v N x y z t d d d u x y z t
θ
ξ η τ ξ η τ ξ η τ
+∞ +∞
−∞ −∞
− +
∫ ∫ ∫
(13)

1z
−
→
Cho trong (13), ta có

( )
( )
( ) ( )

( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
3
2
4
4 4
0
, ,1,
4
y x y x
t
t t
u
e e d d d
t
η ξ η ξ
τ τ
θ
ξ η τ
ξ η τ
π π τ
− + − − + − +
+∞ +∞
− −
− −
−∞ −∞
 
 

−
 
−
 
∫ ∫ ∫

( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
5
2
4
4
0
, ,
4
y x
t
t
f
e d d d
t
η ξ
τ
ξ η τ
ξ η τ
π π τ
− + − +

+∞ +∞
−
−
−∞ −∞
=
−
∫ ∫ ∫

( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
5
2
1
4
0
, ,
, ,
4
y x
t
t
v
e d d d f x y t
t
η ξ
τ

ξ η τ
ξ η τ
π π τ
− + − +
+∞ +∞
−
−
−∞ −∞
− +
−
∫ ∫ ∫
. (14)

, 0n
ε
→ +∞ →



( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2

3 5 3 5
2 2 2 2
1 4
4 4
0 0
, , , ,
1 2
2 2
y x y x
t t
t t
v f
e d d d e d d d
t t
η ξ η ξ
τ τ
ξ η τ ξ η τ
ξ η τ ξ η τ
π τ π τ
− + − + − + − +
+∞ +∞ +∞ +∞
− −
− −
−∞ −∞ −∞ −∞
=
− −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )
( )

( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
3 5
2 2
1
4
0
, ,
1
2 2 , ,
2
x y
t
t
g
e d d d f x y t
t
ξ η
τ
ξ η τ
ξ η τ
π τ
− + − +
+∞ +∞
−
−
−∞ −∞

− +
−
∫ ∫ ∫
Từ (9) và (14), ta có
. (15)

( )
( ) ( )
( ) (
]
2 2
5
2
4
2
4
2
1
, , 0, ,
, ,
0 , , ,0 ,
x y
t
e x y t
R x y t
t
x y t
+ +
−


∈ × +∞

=


∈ × −∞




( )
( ) ( )
( ) (
]
2 2
5
2
1
2
4
2
1
, , 0, ,
, ,
0 , , ,0 ,
x y
t
e x y t
S x y t
t

x y t
+ +
−

∈ × +∞

=


∈ × −∞



Đặt


Từ (15) ta có

( ) ( ) ( ) ( )
* , , 2 * , , * , , 2 2 , , .S v x y t R f x y t S g x y t f x y t
= − +
(16)
Nếu đặt

( ) ( ) ( ) ( )
, , 2 * , , * , , 2 2 , , ,F x y t R f x y t S g x y t f x y t
= − +


( ) ( )


( )
, , w , , w , , wS p r v p r F p r
=

và biến đổi Fourier hai vế của (16) thì
(17)
. (18)
và định nghĩa khi .


( ) ( ) ( )
, , , , , , 0v x y t f x y t g x y t
= = =

0t
<


Định lí 1. Cho và . Giả sử

là nghiệm duy nhất của (16) ứng với dữ
liệu chính xác . Đồng thời, cho
là các dữ liệu đo được thoả
, với là chuẩn trong .
Khi đó, ta xây dựng được hàm thoả

( )
0, 2
γ

∈

3
0,e
γ
ε
−
 
∈
 
 

( )
2 3
0
v L
∈


( )
2 3
0 0
, f g L
∈


( )
2 3
, f g L
∈



0 0
2 2
, f f g g
ε ε
− ≤ − ≤

2
.

( )
2 3
v L
ε
∈


( )
2
0
2
v v C
γ
ε
ε η ε
−
− ≤ +
trong đó là hằng số và .

C

( )
0
lim 0
ε
η ε
→
=
Nếu giả sử thêm và
thì

( ) ( )
1 3 1 3
0
v H L
∈ ∩
 

{ }
2
4
0 min ,
e
e e
ε
− −
< <

1

0
2
1
ln ,v v D
ε
ε
−
 
 
− ≤
 
 
 
 

( )
2 3
L 
trong đó và phụ thuộc vào .

0D
>

0
v
(19)
(20)


Định lí 2. Với như trong định lí 1, ta có

v
ε

( ) ( ) ( ) ( )
, , , , , , ,
k n k m n
m n k
v x y t v S m x S n y S k t
a a a a a a
ε ε
ε ε ε ε ε ε
π π π π π π
∈ ≤ ≤
       
=
       
       
∑ ∑ ∑

trong đó

( ) ( )
( )
( )
sin
, , , 0.
z pd d
S p d z p d
z pd d

π
π
−
 
 
= ∈ >
−



Ví dụ số. Xét bài toán tìm hàm phân bố nhiệt độ
, trong đó thoả

( ) ( )
, , , ,0,v x y t u x y t
=

( )
, , ,u x y z t

0, , , 0 2, 0
u
u x y z t
t
∂
∆ − = ∈ < < >
∂


( ) ( )

2 2
3
2
4
4
1
, ,1, , , , , , 0
x y
t
u x y t f x y t e x y t
t
+ +
−
= = ∈ >

( ) ( )
2 2
3
2
1
4
1
, , 2, , , , , , 0
x y
t
u x y t g x y t e x y t
t
+ +
−
= = ∈ >

( )
, , , 0 0, , , 0 2u x y z x y z
= ∈ < <

(21)
(22)
(23)
(24)
Bài toán (21) – (24) có nghiệm chính xác là
(25)

( )
2 2
3
2
9
4
0
1
, ,
x y
t
v x y t e
t
+ +
−
=

( ) ( ) ( )
2 2
3
2
4
4
1
, , 1 , , , , , 0
x y
t
f x y t f x y t e x y t
t
ε
ε
ε
+ +
−
+
= + = ∈ >


( ) ( ) ( )
2 2
3
2
1
4
1
, , 1 , , , , , 0

x y
t
g x y t g x y t e x y t
t
ε
ε
ε
+ +
−
+
= + = ∈ >
Giả sử dữ liệu bị nhiễu
(26)
(27)
Bảng đánh giá sai số giữa nghiệm chính
xác và nghiệm xấp xỉ
ε

0
2
v v
ε
−

5
10
ε
−
=

2
1,744496 10
−
×

8
10
ε
−
=

3
3,858909 10
−
×

10
10
ε
−
=

3
1, 274943 10
−
×

15
10
ε

−
=

6
9,149228 10
−
×




00:39:54