hệ hạt đồng chất

H ht đng cht
Contents
TÍNH ĐỒNG NHẤT CỦA CÁC HẠT LƯỢNG TỬ: HÀM SÓNG, SPIN VÀ
TƯƠNG TÁC TRAO ĐỔI
MỞ ĐẦU
Bo vt ly 1
H ht đng cht
Hệ hạt đồng nhất được hiểu là hệ gồm các hạt có những đặc trưng giống nhau
(khối lượng, điện tích, spin,…) trong những điều kiện giống nhau (trường ngoài),
chúng có những động thái giống nhau. Có thể nêu ra hệ các proton đồng nhất,
các electron đồng nhất, các notron đồng nhất…Trong cơ học lượng tử, do
nguyên lý bất định, khái niệm quỹ đạo của hạt không còn ý nghĩa. Nếu vị trí của
hạt được xác định tại một thời điểm nào đó, thì sau một khoảng thời gian vô
cùng nhỏ, vị trí của hạt đã trở nên bất định. Do đó, ta không thể nhận biết được
vị trí của hạt hoặc phân biệt các hạt với nhau. Có thể nói, trong cơ học lượng tử
các hạt đã mất hoàn toàn cá tính của chúng. Như vậy, trong một tập hợp các hạt
đồng nhất chỉ tồn tại các trạng thái không thay đổi khi hoán vị các hạt. Đó là nội
dung của nguyên lý về tính không phân biệt được các hạt đồng nhất, và nó đóng
một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu hệ hạt đồng nhất. Trong bài luận
này chúng ta sẽ làm rõ hai vấn đề, thứ nhất là thuộc tính đồng nhất của các trạng
thái của một hệ hạt đồng nhất khi hoán đổi cặp hạt bất kỳ. Các hạt đồng nhất với
spin bán nguyên (fermions) tuân theo thống kê Fermi-Dirac: hàm sóng là hoàn
toàn phản đối xứng dưới sự chuyển đổi của các hạt. Các hạt đồng nhất với spin
nguyên (bosons) tuân theo thống kê Bose-Einstein: hàm sóng là hoàn toàn đối
xứng; thứ hai là tương tác trao đổi giữa các hạt đồng nhất.
Chương I HÀM SÓNG CỦA HỆ HẠT ĐỒNG NHẤT
Bo vt ly 2
H ht đng cht
Để đơn giản ta xét hàm sóng ψ(q
1
, q

2
, t) của hệ gồm hai hạt 1 và 2,trong đó q đại
diện cho các biến x, y, z và s
z
. Ta hoán vị hai hạt cho nhau, theo nguyên lý về
tính không phân biệt được các hạt đồng nhất, trạng thái của hệ khi đó không thay
đổi, do đó hàm sóng ψ chỉ có thể thay đổi một thừa số pha không quan trọng. Ta
viết
ψ(q
1
, q
2
, t) = e
iα
ψ(q
2
, q
1
, t) = e
i2α
ψ(q
1
, q
2
, t) (1.1)
Từ đó suy ra e
2iα
= ±1.
Như vậy khi hoán vị hai hạt đồng nhất, hàm sóng
ψ(q

1
, q
2
,) = ±ψ(q
2
, q
1
) (1.2)
nghĩa là có hai khả năng xảy ra, hàm sóng hoặc đối xứng (không đổi khi hoán vị
hai hạt) hoặc phản đối xứng (đổi dấu khi hoán vị hai hạt).
Rõ ràng là, hàm sóng của tất cả các trạng thái của cùng một hệ hạt phải có tính
đối xứng duy nhất.Mở rộng kết quả này sang cho hệ có N hạt đồng nhất bất kỳ.
Ta dễ dàng nghiệm được rằng, nếu hàm ψ của hệ hạt là đối xứng với cặp hạt k và
j, j và i, nhưng lại phản xứng với cặp hạt i và k thì hàm sóng sẽ bằng không.
Thực vậy, ta viết
ψ(…q
i
, …q
k
, …q
j
,…) = − ψ(…q
k
, …q
i
, …q
j
, …) = − ψ(…q
k
, …q

j
, …q
i
, …) = −
ψ(…q
j
, …q
k
, …q
i
,…) = − ψ(…q
i
, …q
k
, …q
j
,…) = 0. (đpcm). (1.3)
Cũng lưu ý rằng, nếu tại một thời điểm nào đó hệ ở trong trạng thái đối xứng
(hoặc phản đối xứng) thì hệ sẽ mãi mãi ở trong trạng thái đó. Thực vậy, ta đưa
vào toán tử hoán vị được xác định bởi hệ thức
Bo vt ly 3
H ht đng cht
ψ(…q
i
, …q
k
, …q
N
, t) = ψ(…q
k

, …q
i
, …q
N
, t) = ± ψ(…q
i
, …q
k
, …q
N
, t) (1.4)
nên ψ= ± ψ. (1.5)
Mặc khác Hamiltonian của hệ hạt đồng nhất không thay đổi khi hoán vị hạt hạt,
do đó (Ĥψ) = Ĥ(ψ), hay toán tử hoán vị giao hoán với halmintonian:
Ĥ – Ĥ = 0 (1.6)
Nhắc lại: trong thế giới vi mô xét một đại lượng vật lý A, được gọi là bảo toàn
khi] = 0. Toán tử hoán vị không phụ thuộc rõ ràng vào thời gian và giao hoán với
toán tử halmintonian, nên đại lượng tương ứng với toán tử hoán vị là bảo toàn.
Quay lại bài toán hệ hai hạt đồng nhất không tương tác. Phương trình
Schrodinger cho các trạng thái dừng của hệ có dạng
(q
1
, q
2
) = E(q
1
, q
2
) (1.7)
Ta đã chứng tỏ được rằng nghiệm của phương trình trên có thể tìm được dưới

dạng
(q
1
, q
2
) =(q
1
)(q
2
) (1.8)
ở đây k
1
, k
2
là các số lượng tử của các trạng thái, trong đó có thể có các hạt. Mỗi
k
i
đại diện cho một bộ đủ các số lượng tử đặc trưng cho trạng thái của một hạt
riêng lẻ. Mở rộng cho hệ N hạt thì có thể có một số k
i
trùng nhau. Hàm là
nghiệm của phương trình Schrodinger cho một hạt
= (1.9)
Bo vt ly 4
H ht đng cht
Hàm (1.8) không thỏa mãn các yêu cầu về tính đối xứng. Trong trường hợp tổng
quát nó không thuộc về các hàm đối xứng, cũng không thuộc về các hàm phản
đối xứng. Phương trình (1.7) là tuyến tính, nên chồng chất các nghiệm loại (1.8)
cũng là một nghiệm của nó. Để thu được hàm sóng có tính đối xứng yêu cầu, cần
phải chọn một chồng chất thích hợp các hàm sóng.

Xét hai hàm sóng
ψ
1
(q
1
, q
2
) = ψ
1
(q
1
) ψ
2
(q
2
) , ψ
2
(q
1
, q
2
) = ψ
2
(q
1
) ψ
1
(q
2
) (1.10)

trong đó các chỉ số 1 và 2 ở các hàm sóng ký hiệu hai trạng thái khác nhau của
hạt. Từ hai hàm trên ta có thể thiết lập hai tổ hợp
ψ
s
= c
1
[ψ
1
(q
1
) ψ
2
(q
2
) + ψ
2
(q
1
) ψ
1
(q
2
)] (1.11)
ψ
a
= c
2
[ψ
1
(q

1
) ψ
2
(q
2
) ψ
2
(q
1
) ψ
1
(q
2
)] (1.12)
Hàm sóng ψ
s
là đối xứng với phép hoán vị hai hạt, còn hàm ψ
a
là phản đối xứng
với phép hoán vị đó. Các hằng số c
1
và c
2
xác định được từ điều kiện chuẩn hóa.
Dễ dàng thấy rằng sự hoán vị các tọa độ q
1
và q
2
làm bất biến (1.11) và đổi dấu
(1.12). Điều kiện chuẩn hóa cho ψ

s
và ψ
a
được phát biểu
dV
1
dV
2
= 1 , dV
1
dV
2
= 1 (1.13)
Từ đây ta kết hợp tính trực chuẩn của các hàm ψ
1
và ψ
2
, ta có: c
1
= , c
2
= .
Tóm lại ta tìm được hàm sóng đối xứng và phản xứng chuẩn hóa
ψ
s
= [ψ
1
(q
1
) ψ

2
(q
2
) + ψ
2
(q
1
) ψ
1
(q
2
)] (1.11’)
Bo vt ly 5
H ht đng cht
ψ
a
= [ψ
1
(q
1
) ψ
2
(q
2
) ψ
2
(q
1
) ψ
1

(q
2
)] (1.12’)
Mở rộng các kết quả thu được sang hệ N hạt đồng nhất không tương tác. Nếu các
hạt là bosons thì hàm sóng ψ của hệ phải đối xứng. Chồng chất các hàm (1.11’)
có tính chất như vậy, do đó có thể chọn làm hàm đối xứng của hệ:
ψ
s
= c
1
q
1
)(q
2
)…(q
N
) (1.14)
Trong đó phép lấy tổng được thực hiện theo tất cả các phép hoán vị khả dĩ của
các chỉ số k
1
, k
2
, …, k
N
. Nếu tất cả các chỉ số này có những giá trị không giống
nhau, thì số các phép hoán vị, và do đó số các số hạng trong tổng (1.14) sẽ bằng
N! Nhưng cần lưu ý rằng một số hạt có thể ở trong những trạng thái của một hạt
như nhau. Nếu trong trạng thái k
i
có n

i
hạt thì n
i
! phép hoán vị lẫn nhau của n
i
hạt này tương ứng với một số hạng trong tổng (1.14), do đó số các số hạng trong
tổng (1.14) sẽ bằng . Giả thiết rằng trong trạng thái k
1
có n
1
hạt, trong trạng thái
k
2
có n
2
hạt,…( tổng n
1
+ n
2
+… = N). Khi đó số các số hạng trong (1.14) sẽ bằng
. Dựa vào tính trực chuẩn của các hàm , ta đi tới 1 =
Do đó
c
1
= (1.15)
Vậy hàm sóng đối xứng chuẩn hóa của hệ hạt N hạt bosons có dạng
ψ
s
= q
1

)(q
2
)…(q
N
) (1.16)
Đối với hệ hạt fermions hàm sóng ψ là tổ hợp phản xứng của các tích (1.12).
Chẳng hạn, đối với hệ hai ferminons
Bo vt ly 6
H ht đng cht
ψ
a
(q
1
, q
2
) = [(q
1
) (q
2
) (q
2
) (q
1
)] (1.17)
Trong trường hợp tổng quát của hệ N hạt ferminons đồng nhất không tương tác,
hàm sóng ψ
a
được viết dưới dạng một định thức:
ψ
a

= (1.18)
Sự hoán vị hai cột của định thức ở đây tương ứng với sự hoán vị hai hạt, định
thức khi đó đổi dấu.
Từ biểu thức (1.18) rút ra một kết luận quan trọng: nếu trong các chỉ số k
1
, k
2
, …
k
N
có hai chỉ số giống nhau, thì hai hàng của định thức sẽ giống nhau và toàn bộ
định thức đồng nhất bằng không. Định thức chỉ khác không khi tất cả các chỉ số
k
1
, k
2
, … k
N
khác nhau. Như vậy trong hệ hạt fermions đồng nhất không thể có
hai hạt (hay nhiều hơn hai hạt) đồng thời ở trong cùng một trạng thái, hay nói
một cách khác trong cùng một trạng thái lượng tử chỉ có thể có tối đa một
fermion. Đó là nội dung của nguyên lý loại trừ Pauli (1925).
Chương II MỐI TƯƠNG QUAN SPIN – THỐNG KÊ
Trong chương này chúng ta cùng nhau tìm lời giải cho bài toán sau: Tại sao hàm
sóng của hệ hạt có spin nguyên, tuân theo thống kê Bose – Einstein, là hàm đối
xứng; còn hàm sóng của hệ hạt có spin bán nguyên, tuân theo thống kê Fermi –
Dirac, là hàm phản đối xứng? Dĩ nhiên chúng ta chưa thể nào tìm ra một lời giải
hoàn toàn mới và rất xuất sắc, do đó, bằng cách xem xét lại lời giải của các bậc
tiền bối và diễn đạt lại bằng ngôn ngữ dễ hiểu nhất, thì phần nào đó cũng được
xem là hoàn thành mục tiêu.

Bo vt ly 7
H ht đng cht
Như đã biết, trong phép biểu diễn tọa độ thông thường, dựa trên một hệ vector cơ
sở hiệu chỉnh, người ta cũng đã xây dựng được hàm sóng mô tả trạng thái của hệ
hai hạt đồng nhất với spin S trong không gian ba chiều. Ý tưởng quan trọng là ở
chổ khi hoán vị hai hạt thì kéo theo spin S cũng chuyển đổi và điều này ảnh
hưởng đến ký hiệu hàm sóng sau khi hoán vị. Bằng cách xây dựng một phép
biểu diễn mới dựa trên hệ vector cơ sở mới, gọi là hệ vector cơ sở chuyển spin,
cơ học lượng tử tương đối tính đã chỉ ra được sự ràng buộc chặt chẽ giữa tọa độ
và spin của hệ hạt đồng nhất.
I/ Định nghĩa hệ vector cơ sở chuyển spin
Như được giới thiệu ở trên, hệ vector cơ sở mới này, yêu cầu có tính chuyển đổi
trơn và song song, được tạo ra bởi một toán tử gọi là toán tử hoán vị vòng U(r).
Cũng nên giới thiệu từ đầu rằng các biểu thức trong phép biểu diễn mới này, cơ
bản được tạo ra từ bốn toán tử dao động tử điều hòa theo khái niệm của
Schwinger.
Hệ vector cơ sở mới được định nghĩa thông qua ánh xạ sau:
S
2
r (2.1)
: hệ vector cơ sở chuyển spin phụ thuộc r.
: hệ vector cơ sở hiệu chỉnh (trong phép biểu diễn tọa độ thông thường)
Bo vt ly 8
H ht đng cht
U(r) : toán tử hoán vị vòng phụ thuộc r (còn gọi là toán tử đơn vị, mô tả phép
biến đổi giữa hệ vector cơ sở chuyển spin và hệ vector cơ sở hiệu chỉnh).
Hệ vector cơ sở này thỏa mãn:
i/ smoothness: the basis must be a smooth and non – singular function for
all r 0, e.g there must be no Dirac strings.
ii/ quy tắc “trao đổi”

= (−1)
2S
(2.2)
iii/ Điều kiện “chuyển đổi song song” = 0 thỏa mãn với mọi M và M’, và
với mỗi đường cong trơn t r(t).
Trong bài toán hệ hai hạt đồng nhất với spin S, ta đưa vào các ký hiệu thuận tiện
M {m
1
, m
2
}, { m
2
, m
1
} (2.3)
ở đây, m
1
và m
2
lần lượt là thành phần hình chiếu lên trục z của spin của hạt 1 và
2 (m
1
, m
2
S). Rõ ràng đã bao hàm cả tọa độ và spin của hệ.
II/ Sự đồng nhất
Khi đã xây dựng được hệ vector cơ sở chuyển spin, bước tiếp theo ta định nghĩa
hàm sóng trong phép biểu diễn mới
Bo vt ly 9
H ht đng cht

=
M
(r) (2.4)
trong đó
M
(r) là vector (2S + 1)
2
chiều, mô tả sự phụ thuộc không gian của hàm
sóng.
Hàm sóng của hai hạt đồng nhất với spin S phụ thuộc vào vị trí r
1
và r
2
của hai
hạt đó. Để dễ thấy sự hoán vị giữa hai hạt, ta đưa vào vector vị trí tương đối r =
r
2
r
1
, khi hoán vị xảy ra thì r trở thành r. Vì tính không thể phân biệt được các
hạt đồng nhất nên chúng ta phải đồng nhất các hệ trước và sau khi hoán vị, nghĩa
là đồng nhất các điểm r và –r (vì chúng tương ứng với sự nội chuyển vị trí và
spin của các hạt). Trong cơ học lượng tử, tính đơn trị của hàm sóng yêu cầu:
= . (2.5)
Từ (2.4
= ( r)
= ( r)()
2S
, (2.6)
vì vậy tính đơn trị dẫn đến

= ()
2S
M
(r). (2.7)
Bo vt ly 10
H ht đng cht
Quan hệ này tương tự với quan hệ spin – thống kê trong biểu diễn thông thường.
Tuy nhiên, trước khi có thể khẳng định chắc chắn thì chúng ta phải chứng minh
được rằng các hệ số
= , (2.8)
trong (2.4) cũng thỏa mãn phương trình Schrodinger giống như các hệ số trong
hệ vector cơ sở hiệu chỉnh. Trong hệ vector cơ sở hiệu chỉnh, các hàm sóng là
fixed
=
M,fixed
(r). (2.9)
Do đó
ψ
M,fixed
(r) =
fixed
. (2.10)
Để chứng minh được rằng các đại lượng được định nghĩa bởi (2.8) và
(2.10) là như nhau, trước tiên chúng ta phải định nghĩa được các biến số động
học (ví dụ như động lượng và spin) trong cơ sở mới, các biến số động học này
phải thỏa mãn các quan hệ giao hoán giống như trong cơ sở hiệu chỉnh. Trong cơ
sở hiệu chỉnh có những biến số động học nào thì trong cơ sở mới cũng có các
biến số động học đó. Trong trường hợp này, toán tử động lượng trong cơ sở hiệu
chỉnh có dạng
P

fixed
= iħ , (2.11)
thì trong cơ sở mới sẽ được định nghĩa
P(r) = U(r) P
fixed
U
+
(r) (2.12)
Bo vt ly 11
H ht đng cht
Một cách tương tự, toán tử spin (đã được chuyển cơ sở) S(r) (= {S
1
, S
2
}) cũng
được định nghĩa
S(r) = U(r) S
fixed
U
+
(r) (2.13)
Như vậy trong cơ sở mới Hamiltonian trong phương trình Schrodinger được định
nghĩa theo P(r) và S(r), tương ứng trong cơ sở hiệu chỉnh là P
fixed
và S
fixed
. Đối với
các biến động lượng, một phép toán đơn giản cho ta kết quả
= iħ ψ
M

(r), (2.14)
dĩ nhiên là
fixed
= iħ ψ
M,fixed
(r) (2.15)
và tương tự cho các biến spin. Vì vậy các biến số “hiệu chỉnh” và biến số
“chuyển đổi” được định nghĩa trong (2.8) và (2.10) thật sự cùng thỏa mãn
phương trình Schrodinger (có điều kiện biên) cũng như cùng hàm số. Do yêu cầu
hàm sóng là hàm đơn trị nên (2.7) thực sự thể hiện được mối liên hệ spin – thống
kê. Trong thực tế, chúng ta đã chứng minh được rằng dưới sự hoán đổi
fixed
không
nhất thiết phải đơn trị, nhưng đối với = U(r)
fixed
bắt buộc đơn trị.
Cần phải biết rằng, tất cả những gì chúng ta đang làm là xây dựng cơ học lượng
tử cho “bó hai spin” ( a “two – spin bundle”) trong một không gian đại số mở
rộng, gọi là không gian Hilbert hai spin, mà hệ vector cơ sở có vai trò như một
chiếc cầu.
Bo vt ly 12
H ht đng cht
III/ Hoán đổi vòng
Như chúng ta đã thấy throng phần trên, cần thiết phải xây dựng một phép biểu
diễn mở rộng của spin, một mặt vẫn kết hợp chặt chẽ với phép biểu diễn thông
thường, mặt khác cho phép thêm vào các phép toán mà có thể tạo ra sự hoán đổi
bằng (flat exchange). Trong giới hạn này, các phép toán được thêm vào không
mang ý nghĩa vật lý và vai trò duy nhất của chúng là thực hiện sự hoán đổi. Như
đã giới thiệu ở phần mở đầu, ta có thể đạt được điều này cũng như tính toán được
ký hiệu chuyển đổi (là thừa số pha xuất hiện khi hoán vị throng cơ sở mới) bằng

cách áp dụng sự biểu diễn spin trong các thuật ngữ dao động tử điều hòa của
Schwinger. Với một spin đơn, cần hai dao động tử độc lập – dao động tử a, với
toán tử sinh hủy a
+
và a; dao động tử b, tương ứng b
+
và b. Từ đó, ta xây dựng S
= (S
x
, S
y
, S
z
):
S =
S
+
≡ S
x
+ throng S
y
= , S
˗
≡ S
x
throng S
y
= ,
S
x

= a), S
y
= b),S
z
= b), (2.16)
ở đây σ chính là vector của các ma trận Pauli; σ
z
= . Các thành phần của S thỏa
mãn các quy tắc giao hoán của momen xung lượng, nghĩa là:
S × S = iS. (2.17)
(Cần lưu ý các biểu diễn đều ở dạng không thứ nguyên). Throng phép biểu diễn
này, các giá trị riêng của S
2
và S
z
tương ứng với các số lượng tử S và m, là số
Bo vt ly 13
H ht đng cht
trạng thái của các dao động tử: nếu như có n
a
lượng tử throng dao động tử a và n
b
lượng tử throng dao động tử b, thì từ (2.16) :
S = (n
a
+ n
b
), m = (n
a
n

b
). (2.18)
(Xem lại bài toán dao động tử điều hòa). Với hai spin, chúng ta cần bốn dao
động tử: a
1
, b
1
, a
2
, b
2
. Các toán tử spin riêng lẻ S
1
và S
2
được xây dựng giống như
(2.16). Thay vì hoán đổi a và b thì ta sẽ hoán đổi 1 và 2, khi đó sự hoán vị sẽ
kéo theo nội chuyển spin. Sau đây, ta tiếp tục làm quen với một số tóan tử mới
cũng được định nghĩa dựa trên các thuật ngữ của dao động tử điều hòa, đầu tiên
là toán tử E
a
E
a
= (),
E
a+
≡ E
ax
+ E
ay

= , E
a−
≡ E
ax
E
ay
=
E
az
= (), (2.19)
một cách tương tự cho toán tử E
b
. Rõ ràng là [E
a
, E
b
] = 0. Các thành phần của E
a
thỏa mãn các hệ thức giao hoán momen xung lượng, các thành phần của E
b
cũng
vậy. Sự kết hợp tuyến tính:
E = E
a
+ E
b
(2.20)
duy nhất có chung thuộc tính này, đó là
E × E = iE. (2.21)
Hơn thế nữa, bằng vài phép toán cơ bản, chúng ta có thể chứng minh được rằng

[E
z
, S
1
] = 0, [E
z
, S
2
] = 0, [E, S
tot
] = 0, (2.22)
Bo vt ly 14
H ht đng cht
Trong đó S
tot
= S
1
+ S
2
. Tuy nhiên, S
1
và S
2
không giao hoán với = E
x
± E
y
, và
cũng không giao hoán với và . Ngoài ra, ta cũng chứng minh được
E

2
= . (2.23)
Chúng ta sẽ gọi E là momen xung lượng hoán đổi, bởi vì các hoán đổi vòng mà E
tạo ra có thể thỏa mãn yêu cầu (2.2). Chúng ta bắt đầu với một phép vẽ hình học
đơn giản: khi đường nối các hạt được chuyển từ e
z
sang r, tương ứng với sự hoán
đổi vòng, thì trạng thái hai spin cũng bị thay đổi. Một lựa chọn mang tính đối
xứng cho chuyển đổi này là trục n(r) trực giao với cả e
z
và r. Nếu (θ, ϕ) là các
góc cực xác định hướng của r, thì
n(r) = e
z
r = −e
x
sinϕ + e
y
cosϕ. (2.24)
Với sự lựa chọn này, hệ vector cơ sở chuyển đổi được tạo ra bởi toán tử xoay
vòng U(r),
U(r) = exp{−iθn(r)∙E}. (2.25)
U tác động vào không gian mở rộng của các trạng thái spin, mà số chiều của
không gian này bằng (4S + 1)(4S + 2)(4S + 3), con số này cũng là số cách mà
4S lượng tử có thể được sắp xếp giữa bốn dao động tử (E cho phép S
tot
bất biến).
Bây giờ coi trạng thái của hai spin tương ứng với bộ bốn số n
1a
, n

1b
, n
2a
, n
2b
, cụ
thể là
= C|, (2.26)
Bo vt ly 15
H ht đng cht
trong đó C là hằng số chuẩn hóa, C = . Mở rộng (2.18), ta có thể viết lại (2.26)
như sau:
= ||(2.27)
Kết hợp (2.19), (2.20) có
E
z
| = ()|. (2.28)
Đối với spin đồng nhất, S
1
= S
2
= S, và khi ta không cần viết S một cách rõ ràng
thì chúng ta sẽ trở lại ký hiệu mà ta đưa ra ở trên, khi đó
|. (2.29)
Từ (2.28), chúng ta thấy, đối với các spin đồng nhất, thu được kết quả quan trọng
E
z
| = 0. (2.30)
Điều này đảm bảo khả năng bất biến của U: bất kỳ sự xoay vòng không tác động
nào theo trục z, được áp dụng trước U thường được sử dụng để tạo ra cơ sở

chuyển đổi từ cơ sở hiệu chỉnh, sẽ không tạo thừa số pha, bởi vì
Exp(E
z
)| = |. (2.31)
Bây giờ chúng ta phải chứng minh rằng U thực sự tạo ra sự hoán đổi spin y theo
(2.2). Để tính được giá trị tác động của toán tử xoay vòng (2.25), đầu tiên cần
chú ý rằng
(2.32)
Bo vt ly 16
H ht đng cht
và U
a
và U
b
giao hoán nhau (do [] = 0), do đó có thể xem tác dụng của chúng là
độc lập. Vì lý do này kết hợp với phép biểu diễn Schwinger ta hoàn toàn tính
được giá trị tác động của U
a
và U
b
lên các trạng thái của spin bất kỳ trong thuật
ngữ của ma trận cấp 2 2 nhân với các vector của toán tử sinh.
Như vậy U
a
(r) gây ra phép biến đổi
(2.33)
Tường minh hơn
(2.33’)
và tương tự cho U
b

.
Bo vt ly 17
H ht đng cht
Theo đó, cũng hướng dẫn rằng đầu tiên để U(r) tác dụng lên trạng thái số tổng
quát (2.26), trạng thái mà spin không nhất thiết giống nhau. Từ (2.32) và (2.33),
(2.34)
trong đó
Bo vt ly 18
H ht đng cht
(2.35)
Chú ý rằng khi r r, thì thay thế bởi π và ϕ bởi ϕ + π; Các thừa số chung trong
(2.34) có thể được xác định bằng cách rút các thừa số pha bên trong và như vậy,
một cách hiển nhiên mở rộng ký hiệu ở trên cho vector cơ sở đã được chuyển
đổi,
(2.36)
từ đây cũng chỉ ra rằng toán tử E thực sự đã tạo ra sự trao đổi của các spin.
Một cách viết khác của (2.36) là (so sánh với (2.27))
(2.37)
Tới đây chúng ta cơ bản đã hoàn thành nhiệm vụ thiết lập mối quan hệ giữa spin
và thống kê theo cơ học lượng tử tương đối tính.
Chương III. TƯƠNG TÁC TRAO ĐỔI
Tính không phân biệt được của các hạt đồng nhất dẫn tới sự tồn tại của một loại
tương tác lượng tử đặc thù giữa các hạt gọi là tương tác trao đổi.
Bo vt ly 19
H ht đng cht
Ta xét một hệ gồm hai hạt có spin
1
2
, giữa chúng có một tương tác không có liên
quan gì tới tương tác giữa spin của các hạt. Giả thiết tương tác này đủ nhỏ để có

thể được coi là một nhiễu loạn đối với hệ các hạt không tương tác. Ký hiệu
nhiễu loạn đó bằng toán tử
( )
12
r
ˆ
V
, trong đó
12
r
là khoảng cách giữa các hạt.
Năng lượng tương tác trung bình trong phép gần đúng cấp một có thể tính theo
công thức
1 0* 0
ˆ
n nn n n
E V V dV
ψ ψ
= =
∫
(3.1)
Công thức trên được viết cho một hạt không có spin. Đối với một hệ gồm hai hạt
có spin, công thức trên cần được viết dưới dạng
1 0* 0
1 2
ˆ
E V dV dV
ψ ψ
=
∑

∫
(3.2)
ở đây phép lấy tổng được thực hiện cho tất cả các giá trị của các biến spin (chỉ
số n bỏ đi vì không cần thiết).
Hàm
0
ψ
mô tả trạng thái không nhiễu loạn, nghĩa là trạng thái của các hạt không
tương tác. Dạng của hàm sóng này phụ thuộc vào spin toàn phần của hệ. Ta đã
biết, với S= 0 hàm spinơ là phản đối xứng, vậy hàm tọa độ tương ứng phải là đối
xứng, nghĩa là có dạng
1 2 2 1
1
(1,2) [ (1) (2)+ (1) (2)]
2
s m m m m
ψ ψ ψ ψ ψ
=
. (3.3)
Với S= 1 hàm spinơ đối xứng, do đó hàm tọa độ tương ứng phải là phản
đối xứng:
Bo vt ly 20
H ht đng cht
1 2 2 1
1
(1,2) [ (1) (2) - (1) (2)]
2
a m m m m
ψ ψ ψ ψ ψ
=

. (3.4)
Với S= 0 hàm spinơ bằng 1, với S= 1 hàm spinơ có dạng
1
0
1
a
a
a
σ
ψ
−
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
(3.5)
trong đó
σ
là số lượng tử của hình chiếu spin toàn phần (
2
1
i
i
a =
∑
).
Thay vào trong (3.2)hàm
ψ

cho trường hợp S=1. Vì toán tử
ˆ
V
không tác
động lên hàm spinơ, nên có thể đưa hàm spinơ ra ngoài dấu toán tử. Kết quả thu
được:
1
2
1 * * * * * *
1 0 1 0 1 2 1 2 1 2
1
ˆ ˆ ˆ
( ) [ (1,2)] (1,2)
i
i
a
E a a a a V dV dV a V dV dV V dV dV
a
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
−
−
 
 ÷
= = =
 ÷
 ÷
 
∑
∫ ∫ ∫
(3.6)

Như vậy trong công thức (3.2), dấu tổng có thể bỏ đi và
(0)
ψ
được hiểu
ngầm là phần tọa độ của hàm sóng. Với nhận xét đó ta viết biểu thức (3.2) dưới
dạng sau:
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 *
1 2
* * * *
1 2 1 2
* * * *
1 2
1
ˆ
[ (1) (2) (2) (1)] [ (1) (2) (2) (1)]
2
ˆ ˆ
(1) (2) (1) (2) (2) (1) (2) (1)
1
ˆ ˆ
2
(1) (2) (2) (1) (2) (1)
m m m m m m m m
m m m m m m m m
m m m m m m
E V dV dV
V dV dV V dV dV

V dV dV V
ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
= ± ±
+
=
± ±
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
1 2
1 2
(1) (2)
m m
dV dV
ψ ψ
 
 
 
 
 
(3.7)
Bo vt ly 21
H ht đng cht
Dấu + ứng với trường hợp S=0, dấu ứng với S=1. Dễ dàng nhận thấy
rằng, hai tích phân đầu trong dấu ngoặc là đồng nhất. Thực vậy, chúng chỉ khác
nhau ở ký hiệu 1 và 2. Do tính không phân biệt được các hạt đồng nhất, một sự
thay đổi ký hiệu như thế không thể ảnh hưởng đến đại lượng tích phân. Tương tự
như vậy đối với hai tích phân sau trong dấu ngoặc. Do đó, kết hợp từng cặp tích

phân lại, ta viết được
1 2 1 2 1 2 1 2
1 * * * *
1 2 1 2
ˆ ˆ
(1) (2) (1) (2) (1) (2) (2) (1)
m m m m m m m m
E V dV dV V dV dV Q A
ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
= ± = ±
∫ ∫
(3.8)
Hiệu chính cấp một cho năng lượng của hai hạt có spin ½ gồm hai phần, ta
chỉ quan tâm đến phần thứ hai phụ thuộc vào sự định hướng tương hổ của spin
các hạt (vào spin toàn phần của hệ) mặc dù tương tác giữa các spin không được
toán tử nhắc đến. Phần A được gọi là năng lượng trao đổi. Tên gọi như vậy là
do, trong các hàm đứng trước toán tử dưới dấu tích phân và trong các hàm đứng
sau toán tử các hạt trao đổi chổ cho nhau. Từ đó suy ra rằng mỗi hạt như thể
đồng thời ở trong cả hai trạng thái. Chú ý rằng năng lượng trao đổi thu được cả
trong trường hợp khi toán tử (r
12
) có xét đến tương tác giữa các momen từ spin,
nghĩa là toán tử có tác động lên các phần spino của hàm sóng. Cần nhấn mạnh
rằng “tương tác” trao đổi không nói lên “một lực” nào cả. Nó là hệ quả của hệ
thức bất định và nguyên lý Pauli
Trong trường hợp khi tương tác giữa các hạt là tương tác Coulomb,
2
12
12
( )

e
V r
r
=
. Khi đó ta có:
Bo vt ly 22
H ht đng cht
1 2
1 2
2 2
2
2
1 2
1 1 2 2
1 2
12 12 12
( (1) ) ( (2) )
(1) (2)
m m
m m
e dV e dV
dV dV
e
Q dV dV
r r r
ψ ψ
ρ ρ
ψ ψ
= = =
∫ ∫ ∫

(3.9)
Q
được gọi là tích phân Coulomb, trong đó là các mật độ điện tích trung bình tạo
bởi các hạt mang điện 1 và 2. Từ đó suy ra rằng, tích phân Coulomb xác định
phần “cổ điển” của năng lượng tương tác tĩnh điện của các hạt.
1 2 1 2
2
* *
1
12
(1) (2) (2) (1)
m m m m
e
A dV dV
r
ψ ψ ψ ψ
=
∫
(3.10)
A được gọi là tích phân “trao đổi”. Như đã lưu ý nó không có sự tương tự cổ
điển. Nếu toán tử chỉ xét đến tương tác tĩnh điện gữa các hạt thì năng lượng trao
đổi là phần năng lượng tương tác Coulomb có liên quan đến sự giao hổ chuyển
động của cả hai hạt, gây bởi sự đối xứng của các hàm sóng ψ
Các kết quả trên thu được thuộc về trường hợp khi các trạng thái của một
hạt
1
m
ψ
và
2

m
ψ
không đồng nhất với nhau. Còn nếu các trạng thái đó trùng nhau (
1 2
m m
ψ ψ ψ
= =
) thì
(1,2) 0
a
ψ
=
, khi đó
1 * *
1 2
ˆ
(1) (2) (1) (2)E V dV dV
ψ ψ ψ ψ
=
∫
trùng với
biểu thức Q trong công thức (3.9), còn tích phân trao đổi A bằng không. Tóm lại,
năng lượng tương tác trao đổi được xác định khi hai hạt không đồng nhất và
bằng 0 khi hai hạt đồng nhất.
Cuối cùng cần nhấn mạnh rằng ,mặc dù cho đến nay ta chỉ nói đến các hạt có
spin bán nguyên, nhưng kết luận định tính vẫn được áp dụng cho các hạt có spin
nguyên- các bosons.
Bo vt ly 23
H ht đng cht
THAM KHẢO

[1] Đặng Quang Khang (1996), Cơ học lượng tử.NXB Khoa học và kỹ thuật.
[2] Feynman, R. P., Leighton, R. B. & Sands, M.(1965), The Feynman lectures
on physics.Addison-Wesley publishing company.
[3] Landau, L. D. & Lifshitz, E. M. (1977), Quantum mechanics.
[4] Robbins, J. M. & Berry, M. V. (1997), Indistinguishability for quantum
particles: spin, statistics and the geometric phase. Proc. Roy. Soc. Lond. A453,
1771-1790.
[5] Sakurai, J. J. (1994), Modern quantum mechanics. Addison-Wesley
publishing company. Maxwell Macmillan Pergamon publishing corporate.
[6] Schwinger, J. (1965), In Quantum theory of angular momentum (ed. L. C.
Biedenharm & H. Van Dam), pp. 229-279. New York: Academic.
Bo vt ly 24