Luận văn: NGHIÊN CỨU HIỆU CHỈNH HÓA TRONG BÀI TOÁN CÂN BẰNG pptx

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC






HOÀNG THỊ KIM NGỌC






NGHIÊN CỨU HIỆU CHỈNH HÓA
TRONG BÀI TOÁN CÂN BẰNG








LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC






HOÀNG THỊ KIM NGỌC






NGHIÊN CỨU HIỆU CHỈNH HÓA
TRONG BÀI TOÁN CÂN BẰNG


Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60. 46. 36



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC




Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH LÊ DŨNG MƯU







THÁI NGUYÊN - 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5
[4]
R R
n
n
a, b n
R
n

a, b x R
n
x = λa + (1 − λ)b, ∀λ ∈ R.
a, b x R
n
x = λa + (1 − λ)b = λ(a − b) + b, 0 ≤ λ ≤ 1.
A ⊆ R
n
1.1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6
1.1. (a), (c) (b), (d)
A B
R
n
a, A ∩ B := {x : x ∈ A, x ∈ B},
b, αA + βB := {x = αa + βb : a ∈ A, b ∈ B}.
A ⊂ R
n
x ∈ A, λ ≥ 0 ⇒ λx ∈ A.
0 ∈ R
n
A ⊂ R
n
A
λ
1
x + λ
2
y ∈ A, ∀x, y ∈ A, ∀λ
1

, λ
2
≥ 0.
A ⊂ R
n
x
0
∈ clA
N
C
(x
0
) =

t ∈ R
n
:

t, x − x
0

≤ 0, ∀x ∈ A

A x
0
A ⊆ R
n
d = 0
A x ∈ A
{x + λd | λ ≥ 0} ⊂ A.

 d
A A A
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7
A
 A ⊆ R
n
0
A recA
 d
1
d
2
d
1
= αd
2
, α > 0
d A A
d
1
d
2
A d = λ
1
d
1
+λ
2
d
2

, λ
1
, λ
2
> 0
B A
A B A B
A
∀a, b ∈ A x = λa + (1 − λ)b ∈ B, 0 < λ < 1 ⇒ a, b ∈ B
0
1
A x
x =

i∈I
λ
i
v
i
+

j∈J
β
j
d
j

i∈I
λ
i

= 1, λ
i
, β
j
≥ 0 i, j v
i
d
j
A
M, K R
n
M ⊆ K
f : K × K → R ∪{+∞}
a, f M τ > 0
x, y ∈ M
f(x, y) + f(y, x) ≤ −τ  x − y 
2
.
b, f M x, y ∈ M
f(x, y) + f(y, x) < 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8
c, f M x, y ∈ M
f(x, y) + f(y, x) ≤ 0.
d, f M x, y ∈ M
f(x, y) ≥ 0 ⇒ f(y, x) ≤ 0.
f X ⊆ R
n
f

λx + (1 − λ)y


≤ λf(x) + (1 − λ)f(y),
x, y ∈ X λ ∈ [0, 1]
f X
f

λx + (1 − λ)y

< λf(x) + (1 − λ)f(y),
x, y ∈ X, x = y λ ∈ (0, 1)
f β > 0 X
f

λx + (1 − λ)y

≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) −β(1 − λ)λ  x − y 
2
,
x, y ∈ X λ ∈ (0, 1)
f X ∀α ∈ R
L
α
(f) = {x ∈ X : f(x) ≤ α}
f A g
B A ∩ B
a, λf + βg, ∀λ, β ≥ 0,
b, max(f, g).
1.1.3
A
A

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9
f A
x, y ∈ A
f(y) − f(x) ≥

∇f(x), y −x

.
f A x, y ∈ A x = y
f(y) − f(x) >

∇f(x), y −x

.
f β > 0 A
x, y ∈ A
f(y) − f(x) ≥

∇f(x), y −x

+ β  y −x 
2
.
f A
x
∗
∈ A
min
x∈A
f(x)

f A

∇f(x
∗
), y −x
∗

≥ 0, ∀y ∈ A.
1.1.5 1.1.6 f A
min
x∈A
f(x)
f A
y
∗
∈ R
n
f x
∗
∈ A
f(x) ≥ f(x
∗
) +

y
∗
, x − x
∗

, ∀x ∈ A.

y
∗
∂f(x
∗
)
∂f(x
∗
) ∂f(x
∗
)
f x
∗
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10
f(x) = x  x = 0 ∂f(x) =  x 
−1
x
x = 0 ∂f(x) = {y :  x ≥

y, x

, ∀y}
D ⊂ R
n
, D = ∅, f : D → R
x
∗
∈ D f D
U x
∗
f(x

∗
) ≤ f(x), ∀x ∈ D ∩U x
∗
f D f(x
∗
) ≤ f(x), ∀x ∈ D
a,
b, x
∗
f D x
∗
∈ intD
0 ∈ ∂f(x
∗
)
[2]
K
R
n
f : K × K → R f(x, x) =
0, ∀x ∈ K
x
∗
∈ K f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ K.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11
f f(x, x) = 0, ∀x ∈ K
K
J : K → R K

x
∗
∈ K J(x
∗
) ≤ J(y), ∀y ∈ K.
f(x, y) := J(y) − J(x) ∀x, y ∈ K
x
∗
∈ K (1.2)
J(x
∗
) ≤ J(y), ∀y ∈ K.
f(x, y) = J(y) − J(x), ∀x, y ∈ K.
f(x
∗
, y) = J(y) − J(x
∗
) ≥ 0, ∀y ∈ K.
x
∗
∈ K (1.1)
x
∗
∈ K (1.1)
f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ K.
f(x
∗
, y) = J(y) − J(x

∗
) ≥ 0, ∀y ∈ K
⇒ J(y) ≥ J(x
∗
), ∀y ∈ K.
x
∗
∈ K (1.2)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12
T : K → 2
R
n
T (x) ∀x ∈ K
x
∗
∈ K, ξ
∗
∈ T (x
∗
)

ξ
∗
, y −x
∗

≥ 0, ∀y ∈ K
f(x, y) := max
ξ∈T (x)


ξ, y −x

, ∀x, y ∈ K
(1.1)
x
∗
∈ K (1.3)

ξ
∗
, y −x
∗

≥ 0, ∀y ∈ K, ξ
∗
∈ T (x
∗
).
f(x
∗
, y) = max
ξ
∗
∈T (x
∗
)

ξ
∗
, y −x

∗

≥ 0, ∀y ∈ K.
x
∗
∈ K (1.1)
x
∗
∈ K (1.1)
f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ K.
f(x
∗
, y) = max
ξ
∗
∈T (x
∗
)

ξ
∗
, y −x
∗

≥ 0, ∀y ∈ K.
x
∗
∈ K (1.3)

• T
x
∗
∈ K

T (x
∗
), y −x
∗

≥ 0, ∀y ∈ K.
f(x, y) :=

T (x), y − x

, ∀x, y ∈ K
(1.4) (1.1)
K ⊆ R
n
K
∗
= {x ∈ R
n
|

x, y

≥ 0, ∀y ∈ K}
K
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13

T : K → R
n
x
∗
∈ K T (x
∗
) ∈ K

T (x
∗
), x
∗

= 0.
f(x, y) :=

T (x), y − x

, ∀x, y ∈ K
(1.5) (1.1)
x
∗
∈ K (1.5)
T (x
∗
) ∈ K

T (x
∗
), x

∗

= 0.
f(x
∗
, y) =

T (x
∗
), y −x
∗

=

T (x
∗
), y

−

T (x
∗
), x
∗

=

T (x
∗
), y


≥ 0, ∀y ∈ K.
x
∗
∈ K (1.1)
x
∗
∈ K (1.1)
f(x
∗
, y) ≥ 0 ∀y ∈ K.
f(x
∗
, y) =

T (x
∗
), y −x
∗

, ∀y ∈ K.
K 0 ∈ K 2x
∗
∈ K
y = 0 ∈ K

T (x
∗
), −x
∗


≥ 0

T (x
∗
), x
∗

≤ 0
y = 2x
∗
∈ K

T (x
∗
), 2x
∗
− x
∗

≥ 0

T (x
∗
), x
∗

≥ 0

T (x

∗
), x
∗

= 0
0 ≤

T (x
∗
), y −x
∗

=

T (x
∗
), y

−

t(x
∗
), x
∗

=

T (x
∗
), y


, ∀y ∈ K.

T (x
∗
), y

≥ 0, ∀y ∈ K T (x
∗
) ∈ K x
∗
∈ K
(1.5)
K (1.4)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14
(1.5)
T : R
n
→ 2
R
n
K ∩T (x) ∀x ∈ K
x
∗
∈ K x
∗
∈ T (x
∗
)
f(x, y) := max

ξ∈T (x)

x −ξ, y −x

, ∀x, y ∈ K
(1.1) (1.6)
x
∗
∈ K (1.6)
T (x
∗
) = x
∗
.
f(x
∗
, y) =

x
∗
− T (x
∗
), y −x
∗

, ∀y ∈ K.
x
∗
∈ K (1.1)
x

∗
∈ K (1.1)
f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ K.
f(x
∗
, y) =

x
∗
− T (x
∗
), y −x
∗

, ∀y ∈ K.
y = T (x
∗
) ∈ K
f(x
∗
, y) =

x
∗
− T (x
∗
), T (x
∗

) − x
∗

≥ 0, ∀y ∈ K
⇒ −  x
∗
− T (x
∗
) ≥ 0, ∀y ∈ K
⇒ x
∗
− T (x
∗
) ≤ 0, ∀y ∈ K
⇒ x
∗
= T (x
∗
), ∀y ∈ K.
x
∗
∈ K (1.6)
• T
x
∗
∈ K x
∗
= T (x
∗
).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15
f(x, y) :=

x −T (x), y − x

, ∀x, y ∈ K
(1.7)
• I = {1, 2, . . . , p} p−
• K
i
R
n
i
i
• f
i
: K
1
×. . . ×K
p
→ R
i ∀i ∈ I
x = (x
1
, . . . , x
p
) ∈ K
1
× . . . K
p

y = (y
1
, . . . , y
p
) ∈ K
1
× . . . K
p
x[y
i
] ∈ K
1
× . . . × K
p
x[y
i
]
j
=



x
j
, ∀j = i
y
i
, ∀j = i
K = K
1

× . . . × K
p
x
∗
∈ K f
i
(x
∗
) ≤ f
i
(x
∗
[y
i
]), ∀i ∈ I, ∀y ∈ K.
(1.8)
f : K×K → R f(x, y) :=
p

i=1
{f
i
(x[y
i
]) − f
i
(x)}
∀x, y ∈ K (1.8)
(1.1)
x

∗
∈ K (1.8)
f
i
(x
∗
) ≤ f
i
(x
∗
[y
i
]), ∀i ∈ I, ∀y
i
∈ K
i
⇒ f
i
(x
∗
[y
i
]) − f
i
(x
∗
) ≥ 0, ∀i ∈ I, ∀y
i
∈ K
i

⇒
p

i=1

f
i
(x
∗
[y
i
]) − f
i
(x
∗
)

≥ 0, ∀y ∈ K.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16
f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ K.
x
∗
∈ K (1.1)
x
∗
∈ K (1.1) (1.9)
x
∗

∈ K (1.1)
f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ K.
p

i=1
{f
i
(x
∗
[y
i
]) − f
i
(x
∗
)} ≥ 0, ∀i ∈ K, ∀y ∈ K.
x
∗
∈ K (1.8) ∃i
0
∈ K
f
i
(x
∗
) > f
i
(x

∗
[y
i
]), ∀y
i
∈ K
i
.
x
∗
[y
j
] = x
∗
, ∀j = i
0
f
i
(x
∗
[y
j
]) − f
i
(x
∗
) = 0, ∀j = i
0
.
p


i=1

f
i
(x
∗
[y
i
]) − f
i
(x
∗
)

< 0,
x
∗
∈ K (1.8)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17
[2], [5]
x
∗
∈ K : f(y, x
∗
) ≤ 0, ∀y ∈ K.
f : K × K → R
a, f(x, x) = 0, ∀x ∈ K
b, f(x, .) : K → R ∀x ∈ K
x ∈ K L

f
(x) = {y ∈ K | f(x, y) ≤ 0} x
∗
∈ K
(2.1) x
∗
∈

y∈K
L
f
(y).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18
x
∗
∈ K y ∈ K, ∀λ ∈
[0, 1] z
λ
∈ K
z
λ
:= λy + (1 −λ)x
∗
.
λ ∈ [0, 1]
0
(a)
=f(z
λ
, z

λ
) = f(z
λ
, λy +(1 −λ)x
∗
)
(b)
≤λf(z
λ
, y)+ (1 −λ)f(z
λ
, x
∗
).
x
∗
x
∗
∈

y∈K
L
f
(y) =

y∈K
{x ∈ K | f(y, x) ≤ 0}
y = z
λ
∀λ ∈ [0, 1] f(z

λ
, x
∗
) ≤ 0
∀λ ∈ [0, 1], ∀y ∈ K (2.1)
0 ≤ λf(z
λ
, y) ≤ f(λy + (1 −λ)x
∗
, y) = f(x
∗
+ λ(y −x
∗
), y)
λ → 0 f
0 ≤ f(x
∗
, y), ∀y ∈ K
⇒ x
∗

 2.1.1 N = 1
K = [0, 2] S
1
S
2
a, f(x, y) = (x −y)
2
⇒ S
1

= ∅, S
2
= [0, 2] ⇒ S
1
 S
2
b, f(x, y) = max{0, | x −y | −1} ⇒ S
1
= {1}, S
2
= [0, 2] ⇒ S
1
 S
2
 f ∀x, y ∈ K : f(x, y) ≥ 0 ⇒ f(y, x) ≤ 0
2.1.1
2.1
2.1
k = 0, x
0
∈ K r
0
=  x
0

x
k
r
k
(i)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19
K
k
= {x ∈ K :  x ≤ r
k
+ 1}. (2.1a)
(ii) y
k
∈ K
k
max
y∈K
k
f(y, x
k
) − 
k
≤ f(y
k
, x
k
), (2.1b)
{
k
}
k≥0
⊂ [0, +∞] lim
k→+∞

k

= 0
(iii) x
k+1
x
k+1
= x
k
+ t
k

P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k

, (2.1c)
P
L
f
(y
k
)
(x
k

) x
k
L
f(y
k
)
L
f(y
k
)
= {x ∈ K | f(y
k
, x) ≤ 0} {t
k
}
k≥0
⊂ [α, 2 − α]
α ∈ [0, 1]
(iv) r
k
r
k+1
= max{r
k
,  x
k+1
} (2.1d)
(i)
2.1
• (2.1b) (2.1a) (2.1d)

K
k
⊂ K
k+1
, ∀k ∈ N.
x
0
∈ K  x
0
≤ r
0
+ 1 x
0
∈ K
0
⇒ x
0
∈ K
k
, ∀k ∈ N
K
k
f f(., y
k
) K
k
y
k
∈ K
k

max
y∈K
k
f(y, x
k
) − 
k
≤ f(y
k
, x
k
).
• (2.1c) f(y
k
, .)
L
f
(y
k
) = {x ∈ K | f(y
k
, x) ≤ 0}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20
x
k+1
= x
k
+ t
k


P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k


+∞

k=0
L
f
(y
k
) = ∅,
a, ∀x
∗
∈
+∞

k=0
L
f
(y
k

) { x
k
− x
∗
}
k≥0
b, {x
k
}
k≥0
c, lim
k→+∞
 x
k+1
− x
k
= 0.
a, x
∗
∈
+∞

k=0
L
f
(y
k
) (2.1c) 2.1
x
k+1

= x
k
+ t
k

P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k

 x
k+1
− x
∗

2
=  x
k
+ t
k
[P
L
f
(y

k
)
(x
k
) − x
k
] − x
∗

2
=  x
k
− x
∗

2
+ t
k
2
 P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k


2
+ 2 t
k

x
k
− x
∗
, P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k

.
2 t
k

x
k
− x
∗
, P
L
f

(y
k
)
(x
k
) − x
k

=
= 2 t
k

x
k
− P
L
f
(y
k
)
(x
k
) + P
L
f
(y
k
)
(x
k

) − x
∗
, P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k

= −2 t
k
 x
k
− P
L
f
(y
k
)
(x
k
) 
2
+2 t
k


P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
∗
, P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k

.
(2.4) (2.5)
 x
k+1
− x
∗

2
=  x

k
− x
∗

2
+ t
k
2
 P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k

2
−
− 2 t
k
 x
k
− P
L
f
(y
k

)
(x
k
) 
2
+
+ 2 t
k

P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
∗
, P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k


.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21
x
∗
∈ L
f
(y
k
)
(2.6)
2 t
k

P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
∗
, P
L
f
(y
k
)
(x

k
) − x
k

≤ 0.
(2.6), (2.7) ∀k ∈ N
 x
k+1
− x
∗

2
≤ x
k
− x
∗

2
+ t
k
2
 P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x

k

2
−
− 2 t
k
 x
k
− P
L
f
(y
k
)
(x
k
) 
2
=  x
k
− x
∗

2
−t
k
(2 − t
k
)  x
k

− P
L
f
(y
k
)
(x
k
) 
2
≤ x
k
− x
∗

2
.
{ x
k
− x
∗
}
k≥0
b, a, { x
k
− x
∗
}
k≥0
 x

k
=  x
k
− x
∗
+ x
∗
≤ x
k
− x
∗
 +  x
∗

⇒ {x
k
}
k≥0
c, (2.8)
t
k
(2 − t
k
)  x
k
− P
L
f
(y
k

)
(x
k
) 
2
≤ x
k
− x
∗

2
−  x
k+1
− x
∗

2
.
0 < α ≤ t
k
≤ 2 − α 0 < α < 1 0 < α(2 − α) ≤ t
k
(2 − t
k
)
(2.9)
α(2 − α)  x
k
− P
L

f
(y
k
)
(x
k
) 
2
≤ x
k
− x
∗

2
−  x
k+1
− x
∗

2
.
(2.10) 0 < α(2 − α ) { x
k
− x
∗
}
k≥0
lim
k→+∞
{x

k
− P
L
f(y
k
)
(x
k
)} = 0.
lim
k→+∞
x
k+1
− x
k
t
k
= 0.
0 < α ≤ t
k
≤ 2−α (x
k+1
−x
k
) → 0 k → +∞ 
i, {x
k
}
k≥0
ii, lim

k→+∞
 x
k+1
− x
k
= 0.
{x
k
}
k≥0
x
∗
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22
• x
k+1
= x
k
+ t
k

P
L
f(y
k
)
(x
k
) −x
k


⇒
x
k+1
− x
k
t
k
=

P
L
f(y
k
)
(x
k
) −x
k

ii,
lim
k→+∞
{x
k
− P
L
f(y
k
)
(x

k
)} = 0.
• {y
k
}
k≥0
{x
k
}
k≥0
∃
r > 0
 x
k
≤ r, ∀k ∈ N
(2.1d) 2.1 r
k+1
= max{r
k
,  x
k+1
}
r
k
= max{ x
0
, . . . ,  x
k
}.
r

k
≤ r, ∀k ∈ N
(2.1a) K
k
= {x ∈ K :  x ≤ r
k
+ 1} K
k
⊂ B(0, r + 1)
(2.1b) max
y∈K
k
f(y, x
k
) − 
k
≤ f(y
k
, x
k
), y
k
∈ K
k
, ∀k ∈ N,
 y
k
≤ r + 1.
{y
k

}
k≥0
• x {x
k
}
k≥0
⊂ K K x ∈ K
{x
k
n
}
k
n
≥0
{x
k
}
k≥0
lim
k
n
→+∞
x
k
n
= x.
{y
k
n
}

k
n
≥0
{y
k
n
p
}
k
n
p
≥0
{y
k
n
}
k
n
≥0
y
lim
k
n
p
→+∞
y
k
n
p
= y.

y
k
n
p
≡ y
k
n
x
k
n
p
x
k
n
p
≡ x
k
n
• f(y, x) = 0?
lim
k→+∞
{x
k
−P
L
f(y
k
)
(x
k

)} = 0 lim
k→+∞
P
L
f(y
k
)
(x
k
) = x.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23
f
f(y, x) = f

lim
k
n
→+∞
y
k
n
, lim
k
n
→+∞
P
L
f(y
k
n

)
(x
k
n
)

= lim
k
n
→+∞
f

y
k
n
, P
L
f(y
k
n
)
(x
k
n
)

≤ 0.
P
L
f(y

k
n
)
(x
k
n
) ∈ L
f
(y
k
n
) = {x ∈ K | f(y
k
n
, x) ≤ 0}.
(2.1a), (2.1d) x
k
∈ K
k
, ∀k ∈ N
2.1.1 (2.1b) ∀k ∈ N
0 = f(x
k
, x
k
) ≤ max
y∈K
k
f(y, x
k

) ≤ f(y
k
, x
k
) + 
k
.
lim
k→+∞

k
= 0 f (2.12)
0 ≤ lim
k
n
→+∞
{f(y
k
n
, x
k
n
) + 
k
n
}
= f( lim
k
n
→+∞

y
k
n
, lim
k
n
→+∞
x
k
n
) + lim
k
n
→+∞

k
n
= f(y, x).
(2.12), (2.14)
f(y, x) = 0.
• 0 < δ < 1, x ∈

intB(0, r
∗
+ 1 − δ)

∩ K, r
∗
= sup
k∈N

r
k
?
r
k
r
∗
= sup
k∈N
r
k
0 < δ < 1 B(0, r
∗
+ 1 − δ) ≡ B(δ)
(2.1d)  x
k
≤ r
k
≤ r
∗
< r
∗
+1−δ, ∀k ∈ N
x ∈ intB(δ).
x ∈

intB(0, r
∗
+ 1 − δ)


∩ K
•

B(δ) = B(δ) ∩ K (

EP
δ
) f

B(δ)
x ∈ (

EP
δ
) f(x, y) ≥ 0, ∀y ∈

B(δ) (

EP
δ
)
x ∈

B(δ) (

EP
δ
)
0 < δ < 1
{r

k
}
k∈N
r
k
≤ r
k+1
k
0
∈ N
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24
r
k
0
≥ r
∗
− δ
r
∗
+ 1 − δ ≤ r
k
+ 1, ∀k ≥ k
0
.

B(δ) ⊂ K
k
, ∀k ≥ k
0
.

z ∈

B(δ) z ∈ K
k
, ∀k ≥ k
0
f(z, x
k
) ≤ max
y∈K
k
f(y, x
k
) ≤ f(y
k
, x
k
) + 
k
, ∀k ≥ k
0
.
f (2.14), (2.15), (2.16)
f(z, x) = f(z, lim
k
n
→+∞
x
k
n

)
= lim
k
n
→+∞
f(z, x
k
n
)
(2.16)
≤ lim
k
n
→+∞
{f(y
k
n
, x
k
n
) + 
k
n
}
= f(y, x) = 0.
f(z, x) ≤ 0, ∀z ∈

B(δ).
(2.18) x ∈ K 0 < δ < 1
x ∈


x∈

B(δ)
L
f
(z).
2.1.1 x (

EP
δ
) 0 < δ < 1
• x 1.1
x (

EP
δ
) f(x, y) ≥ 0, ∀y ∈

B(δ)
f(x, x) = 0
x
min
y∈

B(δ)
f(x, y).
g : R
n
→ R ∪ {+∞}

g(y) =



f(x, y) y ∈ K,
+∞ y ∈ K.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25