Nghiên cứu hiệu chỉnh hóa trong bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC






HOÀNG THỊ KIM NGỌC






NGHIÊN CỨU HIỆU CHỈNH HÓA
TRONG BÀI TOÁN CÂN BẰNG








LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC






HOÀNG THỊ KIM NGỌC






NGHIÊN CỨU HIỆU CHỈNH HÓA
TRONG BÀI TOÁN CÂN BẰNG


Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60. 46. 36



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC




Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH LÊ DŨNG MƯU







THÁI NGUYÊN - 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2
▼ô❝ ❧ô❝
▼ô❝ ❧ô❝ ✶
▼ë ➤➬✉ ✷
❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✹
✶✳✶✳ ❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹
✶✳✷✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈➭ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤î♣ r✐➟♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾
❈❤➢➡♥❣ ✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ✈➭ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥
❝➞♥ ❜➺♥❣ ✶✻
✷✳✶✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✷✳✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✳ ✳ ✷✺

❈❤➢➡♥❣ ✸✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ✹✵
✸✳✶✳ ❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❆✳❆✉s❧❡♥❞❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✷
✸✳✷✳ ❍➭♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ▼✳❋✉❦✉s❤✐♠❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✽
❑Õt ❧✉❐♥ ✺✸
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✺✹
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3
ở
t ó ề ứ ụ tr ọ ĩ tt ờ số
t í ệt ọ ọ s ọ q sự ệ
tế ễ t t t tổ qt ó ồ
trờ ợ r t tố t t tứ ế
t ù tế t s tr trò ợ t ó ứ
ụ tự tế rộ r ệ q ề t r tt
t t tết ớ sự t trể
ó ủ ĩ tt t ọ ứ ụ ủ t
ở rộ
ớ tệ ề t ột số
ệ ỉ t ồ ụ ụ
ết t ệ t
trớ ết ệ ết q t ề t ồ
ồ sẽ ợ ù ở s ế t ớ tệ ề
t trờ ợ r ủ ó P ợ sở
í tết sẽ ù ế ở s
trì ệ ỉ t ó
ế t ờ
ớ tệ sr
s tt t t ứ ớ
ợ trì tết tr
ể t t ợ sự ú ỡ ớ

t tì ủ ũ tỏ ò ết
s s ế t ủ ì
t t tr ộ t rờ
ọ ọ ọ ù ọ ớ
ọ t t ề ệ t ợ ộ í ệ ể

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 4
✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤✳
▼➷❝ ❞ï t➳❝ ❣✐➯ ➤➲ ❝è ❣➽♥❣ ♥❤➢♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤ã tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ t❤✐Õ✉
sãt✱ ❤➵♥ ❝❤Õ✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ♠♦♥❣ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ♥❤÷♥❣ ý ❦✐Õ♥ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❤➭②
❝➠ ✈➭ ❜➵♥ ➤ä❝ ➤Ó ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ö♥ ❤➡♥✳
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ✶✵✴✷✵✵✾
❍ä❝ ✈✐➟♥
❍♦➭♥❣ ❚❤Þ ❑✐♠ ◆❣ä❝
✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5

t
ớ tệ ột số ệ ế tứ ề
t trờ ợ r ủ ó rớ t t qt
ột số ế tứ ề tí ồ sẽ ù ế tr ủ
ế tứ ị
tí ồ ó trò q trọ tr ệ ứ tí
ự tt t t ụ í í ủ
ột số ế tứ ề tí ồ ị ý ợ
ứ ó tể tr [4]
í ệ R t số tự R
n
n ề
ị ĩ ể a, b tr nề

R
n

ờ t q ể a, b t ợ ể x tr R
n
ó
x = a + (1 )b, R.
t ố a, b t ợ tt ể x tr R
n
ó
x = a + (1 )b = (a b) + b, 0 1.
ị ĩ A R
n
ọ t ồ ế ó ứ trọ
t ố ể t ì tộ ó
í ụ ì 1.1 t í ụ ề t ồ t ồ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 6



ì 1.1. (a), (c) ồ (b), (d) ồ
ị ý ồ ó ớ é é ợ é ộ é
ớ ột số é tổ ợ tế tí ứ ế A B
t ồ tr R
n
tì t s ũ t ồ
a, A B := {x : x A, x B},
b, A + B := {x = a + b : a A, b B}.
ị ĩ A R

n
ợ ọ ó ế
x A, 0 x A.
ột ó ứ ể ố 0 R
n
A R
n
ợ ọ ó ồ ế
A ừ ó ừ t ồ tứ

1
x +
2
y A, x, y A,
1
,
2
0.
ị ĩ t ồ A R
n
ể x
0
clA
N
C
(x
0
) =

t R

n
:

t, x x
0

0, x A

ột ó ồ ó ó tế ủ A t x
0

ị ĩ t ồ rỗ A R
n
t d = 0 ợ
ọ ù ủ A ế ớ ỗ x A ó
{x + d | 0} A.
ét
ọ ử ờ t s s ớ ột ù d t t từ ột
ể t ì ủ A ề trọ tr A õ r t A ị

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 7
ỉ A ó ột ù
tt ù ủ t ồ A R
n
ù t 0 t t
ó ồ ó ồ ợ ọ ó ù ủ t A í ệ recA
ó d
1
d
2

ệt ế d
1
= d
2
, > 0 P ù
d ủ t A ợ ọ ự ủ A ế tồ t
ù ệt d
1
d
2
ủ A s d =
1
d
1
+
2
d
2
,
1
,
2
> 0
ị ĩ ột t ợ ủ ột số ữ ử
ó ợ ọ t ồ ệ ọ ú ồ
ị ĩ B ủ ú ồ A ợ ọ ột ệ ủ
A ế ễ B ứ ột ể tr ủ ột t ó ủ A tì B
ứ t ó ủ A ứ
a, b A ế x = a + (1 )b B, 0 < < 1 a, b B
ột ệ ó tứ 0 ợ ọ ột ỉ ột ể ự

ệ ó tứ 1
ị ý ọ t ồ ệ ứ trọ ột ờ t
ề ó ít t ột ỉ
ọ t ồ ệ A ó ỉ t ợ ủ ể x ó
x =

iI

i
v
i
+

jJ

j
d
j
tr ó

iI

i
= 1,
i
,
j
0 ớ ọ i, j ò v
i
ỉ d

j

ủ ủ A
ị ĩ M, K t ồ rỗ ủ R
n
M K
f : K ì K R {+} ó
a, f ệ tr M ớ số > 0 ế ớ ỗ
x, y M t ó
f(x, y) + f(y, x) x y
2
.
b, f ệ t tr M ế ớ ọ x, y M t ó
f(x, y) + f(y, x) < 0.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 8
c, f ệ tr M ế ớ ỗ x, y M t ó
f(x, y) + f(y, x) 0.
d, f ệ tr M ế ớ ỗ x, y M tì
f(x, y) 0 f(y, x) 0.
ị ĩ f ồ ị tr t ồ X R
n

ế
f

x + (1 )y

f(x) + (1 )f(y),
ớ t ì x, y X số tự [0, 1]

f ồ t tr t ồ X ế
f

x + (1 )y

< f(x) + (1 )f(y),
ớ t ì x, y X, x = y (0, 1)
f ồ ớ ệ số > 0 tr t ồ X ế
f

x + (1 )y

f(x) + (1 )f(y) (1 ) x y
2
,
ớ t ì x, y X (0, 1)
f ợ ọ tự ồ tr t ồ X ế ớ R t ứ
ớ L

(f) = {x X : f(x) } t ồ
ị ý f ồ tr t ồ A g ồ tr t
ồ B ó s ồ tr t ồ A B
a, f + g, , 0,
b, max(f, g).
ị í 1.1.3 ì ú tự ồ ột ồ ó tể
tụ t ột ể tr ề ị ủ ó ó
tụ t ọ ể tr ủ t ó t ị í s
ị ý ột ồ ị tr t ồ A tì tụ t ọ
ể tr ủ t A

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 9
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✺✳ ❬✹❪ ❈❤♦ ❤➭♠ f ❧å✐✱ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ A✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐
x, y ∈ A ❝ã✿
f(y) − f(x) ≥

∇f(x), y − x

.
◆Õ✉ f ❧å✐ ❝❤➷t✱ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ A✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ A ✈➭ x = y t❛
❝ã✿
f(y) − f(x) >

∇f(x), y − x

.
◆Õ✉ f ❧➭ ❧å✐ ♠➵♥❤ ✈í✐ ❤Ö sè β > 0✱ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ A✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐
x, y ∈ A t❛ ❝ã✿
f(y) − f(x) ≥

∇f(x), y − x

+ β  y − x 
2
.
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✻✳ ❬✶❪ ❈❤♦ f ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✱ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ A✳ ▼ét ➤✐Ó♠
x
∗
∈ A ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ tè✐ ➢✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐✿
min
x∈A

f(x)
❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ♥ã ❧➭ ➤✐Ó♠ ❞õ♥❣ ❝ñ❛ f tr➟♥ A✱ tø❝ ❧➭✿

∇f(x
∗
), y − x
∗

≥ 0, ∀y ∈ A.
❚õ ➤Þ♥❤ ❧Ý 1.1.5 ✈➭ 1.1.6 ❝ã✿ ♥Õ✉ f ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ A t❤×
❜➭✐ t♦➳♥✿
min
x∈A
f(x)
❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❞✉② ♥❤✃t✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✵✳ ❬✶❪ ❈❤♦ f ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❧å✐ tr➟♥ t❐♣ ❧å✐ A✳ ▼ét ✈❡❝t♦
y
∗
∈ R
n
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝ñ❛ f t➵✐ x
∗
∈ A ♥Õ✉✿
f(x) ≥ f(x
∗
) +

y
∗
, x − x

∗

, ∀x ∈ A.
❚❐♣ ❤î♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ y
∗
t❤♦➯ ♠➲♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ➤➢î❝ ❦Ý ❤✐Ö✉ ∂f(x
∗
)✳
❚❐♣ ∂f(x
∗
) ♥❤×♥ ❝❤✉♥❣ t❤➢ê♥❣ ❝❤ø❛ ♥❤✐Ò✉ ➤✐Ó♠✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ∂f(x
∗
)
❝❤Ø ❝❤ø❛ ❞✉② ♥❤✃t ♠ét ➤✐Ó♠ t❛ ♥ã✐ r➺♥❣ f ❦❤➯ ✈✐ t➵✐ x
∗
✳
✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10
í ụ f(x) = x t ọ ể x = 0 f(x) = x
1
x
t x = 0 f(x) = {y : x

y, x

,y}
ị ĩ D R
n
, D = , f : D R ột ể
x

D ợ ọ ự tể ị ủ f tr D ế tồ t ột
ở U ủ x

s f(x

) f(x), x D U ể x

ợ ọ
ự tể tệt ố ủ f tr D ế f(x

) f(x), x D
ị ý a, ọ ể ự tể ị ủ ột ồ tr
ột t ồ ề ể ự tể tệt ố
b, ế x

ể ự tể ủ ồ f tr t ồ D x

intD tì
0 f(x

)
ị ý ự ủ ột ồ ế ó tr ột t ồ ó
ể ự ờ ũ t t ột ể ự
t trờ ợ r
t ó ý ĩ q trọ tr tế ề ĩ ự
tự tễ ữ t sự ở rộ ủ ề
t t tố t t tứ ế t
s ì í ó ớ t ợ ề
t ọ q t ứ P sẽ ớ tệ t ọ ủ

t ột số t t ớ t
ộ ủ ế ủ ợ t tr [2]
r t ộ t tết K t ồ ó rỗ
tr R
n

ị ĩ f : K ì K R t f(x, x) =
0, x K ó t ợ t ể s
ì x

K s f(x

, y) 0, y K.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 11
❍➭♠ sè f t❤♦➯ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t f(x, x) = 0, ∀x ∈ K ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ❝➞♥
❜➺♥❣ tr➟♥ K✳
◆❤➢ ➤➲ ♥ã✐ ë tr➟♥✱ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉❛♥ trä♥❣ ❝ã t❤Ó ➤➢❛ ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳
❉➢í✐ ➤➞② t❛ tr×♥❤ ❜➭② sù t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ ❜➭✐
t♦➳♥ ❦❤➳❝✳
❇➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ❬✷❪
❈❤♦ J : K → R ❧➭ ♠ét ❤➭♠ sè ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ K✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉
➤➢î❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ♥❤➢ s❛✉✿
❚×♠ x
∗
∈ K s❛♦ ❝❤♦ J(x
∗
) ≤ J(y), ∀y ∈ K. ✭✶✳✷✮
◆Õ✉ t❛ ➤➷t f(x, y) := J(y) − J(x) ✈í✐ ∀x, y ∈ K t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ t➢➡♥❣
➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳

❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.2) ♥➟♥ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛
t❛ ❝ã✿
J(x
∗
) ≤ J(y), ∀y ∈ K.
▼➷t ❦❤➳❝✱
f(x, y) = J(y) − J(x), ∀x, y ∈ K.
❉♦ ➤ã✱
f(x
∗
, y) = J(y) − J(x
∗
) ≥ 0, ∀y ∈ K.
❱❐② x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.1)✳
◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.1) ♥➟♥ t❛ ❝ã✿
f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ K.
❚❤❡♦ ❝➳❝❤ ➤➷t t❛ ❝ã✿
f(x
∗
, y) = J(y) − J(x
∗
) ≥ 0, ∀y ∈ K

⇒ J(y) ≥ J(x
∗
), ∀y ∈ K.
❱❐② x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.2)✳
❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ tæ♥❣ q✉➳t ❬✷❪
✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12
❈❤♦ T : K → 2
R
n
❧➭ ➳♥❤ ①➵ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ tõ ♠ét ➤✐Ó♠ ✈➭♦ ♠ét t❐♣ ❤î♣
s❛♦ ❝❤♦ T (x) ❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t✱ ∀x ∈ K✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥
♣❤➞♥ tæ♥❣ q✉➳t ➤➢î❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ♥❤➢ s❛✉✿
❚×♠ x
∗
∈ K, ξ
∗
∈ T (x
∗
) s❛♦ ❝❤♦

ξ
∗
, y − x
∗

≥ 0, ∀y ∈ K ✭✶✳✸✮
◆Õ✉ t❛ ➤➷t f(x, y) := max

ξ∈T (x)

ξ, y − x

,∀x, y ∈ K t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥
❜➺♥❣ (1.1) t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ tæ♥❣ q✉➳t✳
❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.3) ♥➟♥ ❝ã✿

ξ
∗
, y − x
∗

≥ 0, ∀y ∈ K, ξ
∗
∈ T (x
∗
).
▼➷t ❦❤➳❝ t❤❡♦ ❝➳❝❤ ➤➷t t❛ ❝ã✿
f(x
∗
, y) = max
ξ
∗
∈T (x
∗
)


ξ
∗
, y − x
∗

≥ 0,∀y ∈ K.
❱❐② x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.1)✳
◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.1) ♥➟♥
f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ K.
❚❤❡♦ ❝➳❝❤ ➤➷t t❛ ❝ã✿
f(x
∗
, y) = max
ξ
∗
∈T (x
∗
)

ξ
∗
, y − x
∗


≥ 0,∀y ∈ K.
❱❐② x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.3)✳
• ◆Õ✉ T ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤➡♥ trÞ t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ tæ♥❣ q✉➳t ❧➭
❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ s❛✉✿
❚×♠ x
∗
∈ K s❛♦ ❝❤♦

T (x
∗
), y − x
∗

≥ 0, ∀y ∈ K. ✭✶✳✹✮
◆Õ✉ t❛ ➤➷t f(x, y) :=

T (x), y − x

, ∀x, y ∈ K t❤× ✈í✐ ❝➳❝❤ ❧❐♣ ❧✉❐♥ ♥❤➢
tr➟♥ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.4) t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ (1.1)✳
❇➭✐ t♦➳♥ ❜ï ♣❤✐ t✉②Õ♥ ❬✷❪
❈❤♦ K ⊆ R
n
❧➭ ♠ét ♥ã♥ ❧å✐ ➤ã♥❣✱ K
∗
= {x ∈ R
n
|


x, y

≥ 0, ∀y ∈ K}
❧➭ ♥ã♥ ➤è✐ ❝ù❝ ❝ñ❛ ♥ã♥ K✳
✶✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13
❈❤♦ ➳♥❤ ①➵ T : K → R
n
❧✐➟♥ tô❝✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜ï ♣❤✐ t✉②Õ♥ ➤➢î❝ ♣❤➳t
❜✐Ó✉ ♥❤➢ s❛✉✿
❚×♠ x
∗
∈ K s❛♦ ❝❤♦ T (x
∗
) ∈ K ✈➭

T (x
∗
), x
∗

= 0. ✭✶✳✺✮
◆Õ✉ t❛ ➤➷t f(x, y) :=

T (x), y − x

, ∀x, y ∈ K t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ❜ï ♣❤✐ t✉②Õ♥
(1.5) sÏ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ (1.1)✳
❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö x

∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.5) ♥➟♥ t❛ ❝ã✿
T (x
∗
) ∈ K ✈➭

T (x
∗
), x
∗

= 0.
▼➷t ❦❤➳❝ t❤❡♦ ❝➳❝❤ ➤➷t t❛ ❝ã✿
f(x
∗
, y) =

T (x
∗
), y − x
∗

=

T (x
∗
), y

−


T (x
∗
), x
∗

=

T (x
∗
), y

≥ 0, ∀y ∈ K.
❱❐② x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ (1.1)✳
◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.1) t❛ ❝ã✿
f(x
∗
, y) ≥ 0 ∀y ∈ K.
❚❤❡♦ ❝➳❝❤ ➤➷t t❛ ❝ã✿
f(x
∗
, y) =

T (x
∗
), y − x
∗


, ∀y ∈ K.
❉♦ K ❧➭ ♥ã♥ ♥➟♥ 0 ∈ K ✈➭ 2x
∗
∈ K✳ ❚r♦♥❣ ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ♥Õ✉ ❧✃②
y = 0 ∈ K ❝ã

T (x
∗
),−x
∗

≥ 0 ❤❛②

T (x
∗
), x
∗

≤ 0✱ ❝ß♥ ♥Õ✉ ❧✃②
y = 2x
∗
∈ K t❛ ❝ã

T (x
∗
), 2x
∗
− x
∗


≥ 0 ❤❛②

T (x
∗
), x
∗

≥ 0✳❱❐②

T (x
∗
), x
∗

= 0✳
❍➡♥ ♥÷❛✱ ❞♦
0 ≤

T (x
∗
), y − x
∗

=

T (x
∗
), y


−

t(x
∗
), x
∗

=

T (x
∗
), y

, ∀y ∈ K.
❉♦

T (x
∗
), y

≥ 0, ∀y ∈ K ♥➟♥ T (x
∗
) ∈ K✳ ❉♦ ➤ã✱ x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠
❝ñ❛ (1.5)✳
❈❤ó ý ❑❤✐ K ❧➭ ♥ã♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ (1.4)
✶✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14
í t ù tế (1.5)

t ể t ộ t
T : R
n
2
R
n
ớ KT (x) t t ồ rỗ ớ x K
ó t ể t ộ t ợ t ể s
ì x

K s x

T (x

)
ế t t f(x, y) := max
T (x)

x , y x

,x, y K tì t
(1.1) t ớ t ể t ộ (1.6)
t sử x

K ệ ủ (1.6)
T (x

) = x

.

t t t t ó
f(x

, y) =

x

T (x

), y x


, y K.
ó x

K ệ ủ (1.1)
ợ x

K ệ ủ (1.1)
f(x

, y) 0, y K.
t ó
f(x

, y) =

x

T (x

), y x


, y K.
ọ y = T (x

) K t ó
f(x

, y) =

x

T (x

), T (x

) x


0, y K
x

T (x

) 0, y K
x

T (x

) 0, y K
x

= T (x

), y K.
x

K ệ ủ (1.6)
ế T trị tì t ể t ộ t trở t
t ể t ộ rr s
ì x

K s x

= T (x

).

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 15
ế t t f(x, y) :=

x T (x), y x

,x, y K tì ớ
tr ỉ r ợ r t (1.7) t ớ t
t s tr trò ợ t
I = {1, 2, . . . , p} t ỉ số ữ t pờ
K

i
t ồ rỗ ủ R
n
i
t ế ợ ủ ờ tứ i
f
i
: K
1
ì . . .ì K
p
R trớ tổ tt ủ ờ tứ
i ế ợ ủ ữ ờ ớ i I
x = (x
1
, . . . , x
p
) K
1
ì . . . K
p
y = (y
1
, . . . , y
p
) K
1
ì . . . K
p
ị ĩ t x[y

i
] K
1
ì . . . ì K
p
s
x[y
i
]
j
=



x
j
, j = i
y
i
, j = i
t K = K
1
ì . . . ì K
p
ó t s ợ t ể s
ì x

K s f
i
(x

) f
i
(x

[y
i
]), i I,y K.
ể t (1.8) ọ ể s ề ý ĩ tế ể
ó r t ì ố tủ ọ r ỏ ể
tr ố tủ ò ữ ể
tì ố tủ r ỏ ể sẽ ị t tệt
ế t t f : KìK R ợ ị ở f(x, y) :=
p

i=1
{f
i
(x[y
i
]) f
i
(x)}
ớ x, y K tì t s (1.8) t ớ t
(1.1)
t sử x

K ệ ủ t (1.8)
f
i

(x

) f
i
(x

[y
i
]), i I, y
i
K
i
f
i
(x

[y
i
]) f
i
(x

) 0, i I, y
i
K
i

p

i=1

f
i
(x

[y
i
]) f
i
(x

)

0, y K.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 16
❚❤❡♦ ❝➳❝❤ ➤➷t ❝ã✿
f(x
∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ K.
❱❐② x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ (1.1)✳
◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ❝❤♦ x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ (1.1) ♠➭ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ (1.9)✳
❉♦ x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ (1.1) ♥➟♥ t❛ ❝ã✿
f(x

∗
, y) ≥ 0, ∀y ∈ K.
❚❤❡♦ ❝➳❝❤ ➤➷t ❝ã✿
p

i=1
{f
i
(x
∗
[y
i
]) − f
i
(x
∗
)} ≥ 0, ∀i ∈ K, ∀y ∈ K.
❉♦ x
∗
∈ K ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ (1.8) ♥➟♥ ∃i
0
∈ K s❛♦ ❝❤♦✿
f
i
(x
∗
) > f
i
(x
∗

[y
i
]), ∀y
i
∈ K
i
.
❚❛ ❧✃② x
∗
[y
j
] = x
∗
, ∀j = i
0
s✉② r❛
f
i
(x
∗
[y
j
]) − f
i
(x
∗
) = 0, ∀j = i
0
.
❑Õt ❤î♣ ❤❛✐ ➤✐Ò✉ tr➟♥ t❛ s✉② r❛

p

i=1

f
i
(x
∗
[y
i
]) − f
i
(x
∗
)

< 0, ♠➞✉ t❤✉➱♥✳
❱❐② x
∗
∈ K ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (1.8)✳
❑Õt ❧✉❐♥ ❝❤➢➡♥❣
❈❤➢➡♥❣ ♥➭② tr➢í❝ t✐➟♥ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐ sÏ
❞ï♥❣ ➤Õ♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝❤➢➡♥❣ s❛✉✳ ❚✐Õ♣ t❤❡♦ ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ❞➵♥❣ t♦➳♥ ❤ä❝ ❝ñ❛
❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ t❤➠♥❣ q✉❛ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ♣❤ï ❤î♣ ❝❤Ø r❛ sù
t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ❣✐÷❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣
t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜ï ♣❤✐ t✉②Õ♥✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥
❜➺♥❣ ◆❛s❤✳
✶✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17
❈❤➢➡♥❣ ✷

P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ✈➭ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣
❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣
❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❝ã ý ♥❣❤Ü❛ t❤ù❝ t✐Ô♥ ❧í♥✱ ❞♦ ➤ã ✈✐Ö❝ t×♠ ❧ê✐ ❣✐➯✐ ❝❤♦ ❜➭✐
t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❧➭ r✃t ❝➬♥ t❤✐Õt✳ ❈❤➢➡♥❣ ♥➭② ♥❤➺♠ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣
❝❤✐Õ✉ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➵♦ ❤➭♠ t➝♥❣ ❝➢ê♥❣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ◆é✐ ❞✉♥❣
❝❤ñ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ➤➢î❝ ①❡♠ tr♦♥❣ [2], [5]✳
✷✳✶✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣
P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤✐Õ✉ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝➡ ❜➯♥ ♥❤✃t ➤Ó ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤è✐ ♥❣➱✉
❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳ ❚r➢í❝ t✐➟♥ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤è✐ ♥❣➱✉✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✶✳✶✳ ❬✷❪ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤➢î❝ ♣❤➳t
❜✐Ó✉ ♥❤➢ s❛✉✿
❚×♠ x
∗
∈ K s❛♦ ❝❤♦ : f(y, x
∗
) ≤ 0, ∀y ∈ K. ✭✷✳✶✮
❚r♦♥❣ ➤ã✱ f : K × K → R ❧➭ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ t❤♦➯ ♠➲♥✿
a, f(x, x) = 0, ∀x ∈ K✱
b, f(x, .) : K → R ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ✈í✐ ∀x ∈ K✳
❱í✐ ♠ç✐ x ∈ K ➤➷t L
f
(x) = {y ∈ K | f(x, y) ≤ 0}✳ ❘â r➭♥❣✱ x
∗
∈ K ❧➭
♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ (2.1) ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ x
∗
∈

y∈K
L

f
(y).
➜Þ♥❤ ❧Ý s❛✉ ❝❤Ø r❛ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ö ❣✐÷❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ ✈➭ ♥❣❤✐Ö♠
❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✶✳ ❬✷❪ ❚❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❝ñ❛ t❐♣
♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳
✶✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18
ứ x

K ệ ủ t ố y K,
[0, 1] t ị ĩ z

K s
z

:= y + (1 )x

.
ớ ỗ [0, 1] t ó
0
(a)
=f(z

, z

) = f(z

, y + (1 )x

)
(b)
f(z

, y)+(1 )f(z

, x

).
x

ệ ủ t ố
x



yK
L
f
(y) =

yK
{x K | f(y, x) 0}
y = z

ớ [0, 1] t ó f(z

, x

) 0

ó [0, 1],y K từ (2.1) t ó
0 f(z

, y) f(y + (1 )x

, y) = f(x

+ (y x

), y)
0 tí tụ ủ f
0 f(x

, y), y K
x

ệ ủ t ó ề ứ
ét
ệ ề ủ ị í 2.1.1 ú t N = 1
K = [0, 2] í ệ S
1
t ệ ủ t ố S
2
t
ệ ủ t ó
a, f(x, y) = (x y)
2
S
1
= , S

2
= [0, 2] S
1
S
2

b, f(x, y) = max{0,| x y | 1} S
1
= {1}, S
2
= [0, 2] S
1
S
2

f ệ ĩ x, y K : f(x, y) 0 f(y, x) 0
ệ ề ủ 2.1.1 ú ó t ố t
ó ù t ệ
ó tt t ế 2.1 s ể t ố
t t ế 2.1
ớ k = 0, x
0
K r
0
= x
0

ớ x
k
r

k
(i) ị ĩ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 19
K
k
= {x K : x r
k
+ 1}. (2.1a)
(ii) ì y
k
K
k
ó tí t
max
yK
k
f(y, x
k
)
k
f(y
k
, x
k
), (2.1b)
ớ {
k
}
k0

[0, +] t lim
k+

k
= 0
(iii) í x
k+1

x
k+1
= x
k
+ t
k

P
L
f
(y
k
)
(x
k
) x
k

, (2.1c)
tr ó P
L
f

(y
k
)
(x
k
) é ế trự ủ x
k
L
f(y
k
)

L
f(y
k
)
= {x K | f(y
k
, x) 0} t ồ {t
k
}
k0
[, 2 ] ớ
[0, 1]
(iv) í r
k
t q
r
k+1
= max{r

k
, x
k+1
} (2.1d)
trở ề (i) ủ ớ
ệ ề t t ế 2.1 ợ ị ú
ứ
ứ (2.1b) ú t từ tứ (2.1a) (2.1d) t ó
K
k
K
k+1
, k N.
x
0
K x
0
r
0
+ 1 s r x
0
K
0
x
0
K
k
, k N
t t ó ọ K
k

rỗ t tí
tụ ủ f f(., y
k
) t ự tr K
k
ì tồ t y
k
K
k
t

max
yK
k
f(y, x
k
)
k
f(y
k
, x
k
).
ứ (2.1c) ú t tí ồ ủ f(y
k
, .) tí ồ ủ
t t rỗ
L
f
(y

k
) = {x K | f(y
k
, x) 0}

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 20
❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ ➤ã♥❣✳ ❉♦ ➤ã✱
x
k+1
= x
k
+ t
k

P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k

➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✳
❱❐② ♠Ö♥❤ ➤Ò ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ 
▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✶✳✷✳ ❬✷❪ ●✐➯ sö r➺♥❣✿
+∞


k=0
L
f
(y
k
) = ∅, ✭✷✳✸✮
t❤×✿
a, ∀x
∗
∈
+∞

k=0
L
f
(y
k
) ❞➲② { x
k
− x
∗
}
k≥0
❦❤➠♥❣ t➝♥❣ ✈➭ ❞♦ ➤ã ❤é✐ tô✳
b, ❉➲② {x
k
}
k≥0
❜Þ ❝❤➷♥✳
c, lim

k→+∞
 x
k+1
− x
k
= 0.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤
a, ❈❤♦ x
∗
∈
+∞

k=0
L
f
(y
k
)✱ tõ ❝➠♥❣ t❤ø❝ (2.1c) ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ 2.1 t❛ ❝ã
x
k+1
= x
k
+ t
k

P
L
f
(y
k

)
(x
k
) − x
k

❞♦ ➤ã✿
 x
k+1
− x
∗

2
= x
k
+ t
k
[P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k
] − x
∗


2
= x
k
− x
∗

2
+ t
k
2
 P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k

2
+ 2 t
k

x
k
− x
∗
, P

L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k

.
✭✷✳✹✮
❚❛ ❧➵✐ ❝ã✿
2 t
k

x
k
− x
∗
, P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k


=
= 2 t
k

x
k
− P
L
f
(y
k
)
(x
k
) + P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
∗
, P
L
f
(y
k

)
(x
k
) − x
k

= −2 t
k
 x
k
− P
L
f
(y
k
)
(x
k
) 
2
+2 t
k

P
L
f
(y
k
)
(x

k
) − x
∗
, P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k

.
✭✷✳✺✮
❚õ (2.4) ✈➭ (2.5) t❛ ❝ã✿
 x
k+1
− x
∗

2
= x
k
− x
∗

2
+ t

k
2
 P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k

2
−
− 2 t
k
 x
k
− P
L
f
(y
k
)
(x
k
) 
2
+

+ 2 t
k

P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
∗
, P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k

.
✭✷✳✻✮
✶✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21
❉♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ trù❝ ❣✐❛♦ ✈➭ x
∗

∈ L
f
(y
k
) ♥➟♥ sè ❤➵♥❣ ❝✉è✐
❝ï♥❣ ❝ñ❛ (2.6) ❦❤➠♥❣ ❞➢➡♥❣✱ tø❝ ❧➭✿
2 t
k

P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
∗
, P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k


≤ 0. ✭✷✳✼✮
❚õ (2.6), (2.7) ✈➭ ∀k ∈ N t❛ s✉② r❛✿
 x
k+1
− x
∗

2
≤ x
k
− x
∗

2
+ t
k
2
 P
L
f
(y
k
)
(x
k
) − x
k

2
−

− 2 t
k
 x
k
− P
L
f
(y
k
)
(x
k
) 
2
= x
k
− x
∗

2
−t
k
(2 − t
k
)  x
k
− P
L
f
(y

k
)
(x
k
) 
2
≤ x
k
− x
∗

2
.
✭✷✳✽✮
❱❐② ❞➲② { x
k
− x
∗
}
k≥0
❦❤➠♥❣ t➝♥❣ ✈➭ ❞♦ ➤ã ❤é✐ tô✳
b, ❚❤❡♦ ❦Õt q✉➯ a, t❛ ❝ã ❞➲② { x
k
− x
∗
}
k≥0
❤é✐ tô✳
▼➷t ❦❤➳❝✱  x
k

= x
k
− x
∗
+ x
∗
≤ x
k
− x
∗
 +  x
∗
✳
⇒ {x
k
}
k≥0
❜Þ ❝❤➷♥✳
c, ❚❛ ✈✐Õt ❧➵✐ (2.8) ❞➵♥❣✿
t
k
(2 − t
k
)  x
k
− P
L
f
(y
k

)
(x
k
) 
2
≤ x
k
− x
∗

2
−  x
k+1
− x
∗

2
. ✭✷✳✾✮
❱× 0 < α ≤ t
k
≤ 2 − α ✈í✐ 0 < α < 1 t❛ ❝ã 0 < α(2 − α) ≤ t
k
(2 − t
k
)✳
❚õ (2.9) t❛ s✉② r❛✿
α(2 − α)  x
k
− P
L

f
(y
k
)
(x
k
) 
2
≤ x
k
− x
∗

2
−  x
k+1
− x
∗

2
. ✭✷✳✶✵✮
❚õ (2.10)✱ 0 < α(2 − α) ✈➭ tÝ♥❤ ❤é✐ tô ❝ñ❛ { x
k
− x
∗
}
k≥0
t❛ ❝ã✿
lim
k→+∞

{x
k
− P
L
f(y
k
)
(x
k
)} = 0. ✭✷✳✶✶✮
❉♦ ➤ã✱
lim
k→+∞
x
k+1
− x
k
t
k
= 0.
❱× 0 < α ≤ t
k
≤ 2−α ♥➟♥ (x
k+1
−x
k
) → 0 ❦❤✐ k → +∞✳ 
▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✶✳✸✳ ❬✸❪ ●✐➯ sö✿
i, ❉➲② {x
k

}
k≥0
❜Þ ❝❤➷♥✱
ii, lim
k→+∞
 x
k+1
− x
k
= 0.
❑❤✐ ➤ã✱ ❞➲② {x
k
}
k≥0
❤é✐ tô tí✐ ♥❣❤✐Ö♠ x
∗
❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳
✷✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤
• ❉♦ x
k+1
= x
k
+ t
k

P
L
f(y

k
)
(x
k
)− x
k

⇒
x
k+1
− x
k
t
k
=

P
L
f(y
k
)
(x
k
)− x
k

✳
❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt ii, t❛ s✉② r❛✿
lim
k→+∞

{x
k
− P
L
f(y
k
)
(x
k
)} = 0.
• ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ {y
k
}
k≥0
❜Þ ❝❤➷♥❄
❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt t❛ ❝ã ❞➲② {x
k
}
k≥0
❜Þ ❝❤➷♥✱ ❞♦ ✈❐② ∃
r > 0 s❛♦ ❝❤♦✿
 x
k
≤ r, ∀k ∈ N✳
❚õ ❝➠♥❣ t❤ø❝ (2.1d) ❝ñ❛ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐Õ✉ 2.1✿ r
k+1
= max{r
k
, x
k+1

} t❛
❝ã✿
r
k
= max{ x
0
, . . . , x
k
}.
❉♦ ➤ã✱ r
k
≤ r, ∀k ∈ N✳
▲➵✐ tõ (2.1a) t❛ ❝ã K
k
= {x ∈ K : x ≤ r
k
+ 1} ♥➟♥ K
k
⊂ B(0, r + 1)✳
❚õ (2.1b) t❛ ❝ã max
y∈K
k
f(y, x
k
) − 
k
≤ f(y
k
, x
k

), y
k
∈ K
k
, ∀k ∈ N, ❞♦ ✈❐②✿
 y
k
≤ r + 1.
❉♦ ➤ã✱ {y
k
}
k≥0
❜Þ ❝❤➷♥✳
• ●✐➯ sö x ❧➭ ➤✐Ó♠ ❣✐í✐ ❤➵♥ ❝ñ❛ ❞➲② {x
k
}
k≥0
⊂ K✱ ✈í✐ K ➤ã♥❣✱ x ∈ K✳
❚å♥ t➵✐ ❞➲② ❝♦♥ {x
k
n
}
k
n
≥0
❝ñ❛ ❞➲② {x
k
}
k≥0
t❤♦➯ ♠➲♥✿

lim
k
n
→+∞
x
k
n
= x.
❚➢➡♥❣ ø♥❣ t❛ ①Ðt ❞➲② ❝♦♥ {y
k
n
}
k
n
≥0
❝ò♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥✳ ❉♦ ➤ã✱ tå♥ t➵✐ ❞➲② ❝♦♥
{y
k
n
p
}
k
n
p
≥0
❝ñ❛ ❞➲② {y
k
n
}
k

n
≥0
❤é✐ tô✱ ❣✐➯ sö ❤é✐ tô tí✐ y✱ tø❝ ❧➭✿
lim
k
n
p
→+∞
y
k
n
p
= y.
➜Ó ❝❤♦ ♥❣➽♥ ❣ä♥✱ t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ y
k
n
p
≡ y
k
n
✱ t❛ ❝ò♥❣ ❧➭♠ t➢➡♥❣ tù ✈í✐ x
k
n
p
✱ t❛
❦Ý ❤✐Ö✉ x
k
n
p
≡ x

k
n
✳
• ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ f(y, x) = 0?
❚❤❐t ✈❐②✱ tõ tr➟♥ ❝ã lim
k→+∞
{x
k
−P
L
f(y
k
)
(x
k
)} = 0 ♥➟♥ lim
k→+∞
P
L
f(y
k
)
(x
k
) = x.
✷✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23
❉♦ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ñ❛ f ♥➟♥ s✉② r❛✿
f(y, x) = f


lim
k
n
→+∞
y
k
n
, lim
k
n
→+∞
P
L
f(y
k
n
)
(x
k
n
)

= lim
k
n
→+∞
f

y
k

n
, P
L
f(y
k
n
)
(x
k
n
)

≤ 0.
✭✷✳✶✷✮
❚r♦♥❣ ➤ã✱ P
L
f(y
k
n
)
(x
k
n
) ∈ L
f
(y
k
n
) = {x ∈ K | f(y
k

n
, x) ≤ 0}.
❚õ (2.1a), (2.1d) ❝ã x
k
∈ K
k
, ∀k ∈ N✳
❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ 2.1.1 ✈➭ (2.1b)✱ ✈í✐ ∀k ∈ N t❛ ❝ã✿
0 = f(x
k
, x
k
) ≤ max
y∈K
k
f(y, x
k
) ≤ f(y
k
, x
k
) + 
k
. ✭✷✳✶✸✮
❉♦ lim
k→+∞

k
= 0 ✈➭ f ❧✐➟♥ tô❝ ♥➟♥ tõ (2.12) s✉② r❛✿
0 ≤ lim

k
n
→+∞
{f(y
k
n
, x
k
n
) + 
k
n
}
= f( lim
k
n
→+∞
y
k
n
, lim
k
n
→+∞
x
k
n
) + lim
k
n

→+∞

k
n
= f(y, x).
✭✷✳✶✹✮
❑Õt ❤î♣ (2.12), (2.14) s✉② r❛✿
f(y, x) = 0. ✭✷✳✶✺✮
• ❱í✐ ♠ä✐ 0 < δ < 1, x ∈

intB(0, r
∗
+ 1 − δ)

∩ K, ✈í✐ r
∗
= sup
k∈N
r
k
?
❉♦ r
k
❜Þ ❝❤➷♥ ♥➟♥ r
∗
= sup
k∈N
r
k
❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥✳

❱í✐ 0 < δ < 1 ①Ðt B(0, r
∗
+ 1 − δ) ≡ B(δ)
❚õ (2.1d) ❝ã x
k
≤ r
k
≤ r
∗
< r
∗
+1−δ, ∀k ∈ N✱ ♥➟♥ s✉② r❛
x ∈ intB(δ).
❱❐② x ∈

intB(0, r
∗
+ 1 − δ)

∩ K✳
• ❈❤♦

B(δ) = B(δ) ∩ K✱ ①Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ (

EP
δ
) ✈í✐ ❤➭♠ f ✈➭ t❐♣
❝❤✃♣ ♥❤❐♥

B(δ)✿

❚×♠x ∈ (

EP
δ
) t❤♦➯ ♠➲♥ f(x, y) ≥ 0, ∀y ∈

B(δ) (

EP
δ
)
❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉✿ x ∈

B(δ) ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (

EP
δ
)✱ ✈í✐
0 < δ < 1✳
❚❤❐t ✈❐②✱ ❧✃② ❞➲② {r
k
}
k∈N
❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠✿ r
k
≤ r
k+1
✳ ❈❤ä♥ k
0
∈ N t❤♦➯ ♠➲♥

✷✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24
r
k
0
≥ r
∗
− δ✳ ❑❤✐ ➤ã✿
r
∗
+ 1 − δ ≤ r
k
+ 1, ∀k ≥ k
0
.
❉♦ ➤ã✱

B(δ) ⊂ K
k
, ∀k ≥ k
0
.
▲✃② z ∈

B(δ)✱ t❛ ❝ã z ∈ K
k
, ∀k ≥ k
0
✳ ❱× ✈❐②✱
f(z, x

k
) ≤ max
y∈K
k
f(y, x
k
) ≤ f(y
k
, x
k
) + 
k
, ∀k ≥ k
0
. ✭✷✳✶✻✮
❉♦ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ñ❛ f ✱ ❝➠♥❣ t❤ø❝ (2.14), (2.15), (2.16) t❛ ❝ã✿
f(z, x) = f(z, lim
k
n
→+∞
x
k
n
)
= lim
k
n
→+∞
f(z, x
k

n
)
(2.16)
≤ lim
k
n
→+∞
{f(y
k
n
, x
k
n
) + 
k
n
}
= f(y, x) = 0.
✭✷✳✶✼✮
❚ø❝ ❧➭✱
f(z, x) ≤ 0, ∀z ∈

B(δ). ✭✷✳✶✽✮
❚õ (2.18)✱ ❞♦ x ∈ K✱ ✈í✐ ♠ç✐ 0 < δ < 1 t❛ ❝ã✿
x ∈

x∈

B(δ)
L

f
(z).
❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧Ý 2.1.1 s✉② r❛ x ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (

EP
δ
) ✈í✐ 0 < δ < 1✳
• x ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ 1.1❄
❈❤♦ x ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ (

EP
δ
)✱ tø❝ ❧➭ f(x, y) ≥ 0, ∀y ∈

B(δ)✳
❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝ã f(x, x) = 0✳
❚õ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ tr➟♥ t❛ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ x ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ❧å✐✿
min
y∈

B(δ)
f(x, y). ✭✷✳✶✾✮
❍➭♠ g : R
n
→ R ∪ {+∞} ❝ã ❞➵♥❣✿
g(y) =



f(x, y) s✐ y ∈ K,

+∞ s✐ y ∈ K.
✷✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25