Luận văn: MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ MỘT SỐ PHẠM TRÙ CON SERRE pdf

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM




PHẠM MAI LAN





MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ
MỘT SỐ PHẠM TRÙ CON SERRE



Chuyªn ngµnh: Đại số và lý thuyết số
M· sè: 60.46.05


LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: PGS TS LÊ THỊ THANH NHÀN

Thái Nguyên, 2009

S
C
I
S
S
S
H
i
I
(M) ∈ S i < n
S S
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
R
I R
H
i
I
(M)

R M I
M
M
M
depth(I, M) M
I i H
i
I
(M) = 0; (R, m)
dim M M i H
i
m
(M) = 0.
M r
H
r
I
(M)
min{depth(M
p
) + ht((I + p)/p) : p ⊇ I}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n H
n
I
(M) depth(IR
p
, M
p
)

p ∈ Supp(M/IM) \ {m}.

n f-depth(I, M) M I
M
I gdepth(I, M) gdepth(I, M) n
Supp H
n
I
(M)
R
0
S
H
i
I
(M) ∈ S?
n H
n
I
(M) /∈ S S M
R
S S S
R
0
S
H
i
I
(M) ∈ S?
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

n H
n
I
(M) /∈ S S M
R
S S S
S S
H
i
I
(M) ∈ S?
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
R M
R
S
S R S
R
R 0 −→ M

−→ M −→ M

−→ 0 M ∈ S
M

, M

∈ S.
S R
S
Ext

i
R
(N, M) ∈ S R N M ∈ S.
M ∈ S N
Ext
i
R
(N, M) ∈ S N R N
. . . −→ F
2
−→ F
1
−→ F
0
−→ N −→ 0,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
F
i
Hom(−, M) N
0 −→ Hom(F
0
, M)
f
0
−→ Hom(F
1
, M)
f
1
−→ Hom(F

2
, M)
f
2
−→ . . . .
Ext
i
R
(N, M) = Ker f
i
/ Im f
i−1
, ∀i = 0, 1, 2, . . .
i, F
i
F
i
∼
=
R
n
i
.
Hom(F
i
, M) = Hom(R
n
i
, M) =


Hom(R, M)

n
i
= M
n
i
.
n
i
0 −→ M
n
i
−1
−→ M
n
i
−→ M −→ 0
M
n
i
∈ S. Hom(F
i
, M) ∈ S. Ker f
i
∈ S.
Ext
i
R
(N, M) ∈ S.

R M M Supp M
Supp M = {p ∈ Spec R | M
p
= 0}.
R
0.
R
R
R M
R
0 0
M N M.
N M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
N
M/N M N
M/N N
M N M/N M
0
⊇ M
1
⊇ . . .
M. M
0
∩N ⊇ M
1
∩N ⊇ . . .
N
(M
0

+ N)/N ⊇ (M
1
+ N)/N ⊇ . . .
M/N. N M/N
k M
n
∩ N = M
k
∩ N (M
n
+ N)/N = (M
k
+ N)/N
n ≥ k. n ≥ k. M
k
⊇ M
n
. m ∈ M
k
.
m+N ∈ (M
k
+N)/N = (M
n
+N)/N. m+N = x+a+N = x+N
x ∈ M
n
, a ∈ N. m−x ∈ N∩M
k
= N∩M

n
. m−x ∈ M
n
.
m ∈ M
n
. M
k
= M
n
n ≥ k. M
M R N M.
Supp M = Supp N ∪ Supp(M/N). M
Supp N Supp(M/N) Supp N
Supp(M/N) Supp M
M
M N M
N M/N (M) = (N) + (M/N) < ∞.
R
p
0
⊂ p
1
⊂ . . . ⊂ p
n
R
p
i
= p
i+1

i n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
R dim R,
R
dim R = sup{n | R n}.
I R Var(I)
R I. R M
dim Supp M = sup{dim R/p : p ∈ Supp M}.
dim Supp M M
M M
dim M R/ Ann M. M
Supp M = Var(Ann M)
dim Supp M = sup{dim(R/p) | p ∈ Supp M} = dim(R/ Ann M).
M M
dim M dim Supp M.
M = 0 R Supp M
R dim Supp M = 0.
s R M dim Supp M 
s R
M R N M Supp M =
Supp N ∪ Supp(M/N)
dim Supp M = max{dim Supp N, dim Supp(M/N)}.
dim Supp M  s dim Supp N  s
dim Supp(M/N)  s M
dim Supp M  s
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Max R R M
Supp M ⊆ Max R Supp M
M Supp M ⊆ Max R
Supp M M

s = 0
R M Supp M ⊆ Max R
R
R
p R
R M m ∈ M
p = Ann
R
m = {r ∈ R | rm = 0}.
M Ass M
Ass M ⊆ Supp M R
min Ass M = min Supp M.
Z Spec R R. Z
p ∈ Z q ∈ Z
p, q ∈ Spec R p ⊆ q
Z ⊆ Spec R
R M Ass M ⊆ Z
M R N M. R
Ass N ⊆ Ass M ⊆ Ass N ∪Ass(M/N). Ass N ⊆
Z Ass(M/N) ⊆ Z Ass M ⊆ Z. Ass M ⊆ Z.
Ass N ⊆ Z. Ass(M/N) ⊆ Z. Ass M ⊆ Z
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
min Ass M = min Supp M min Supp M ⊆ Z. Z
Supp M ⊆ Z.
Supp M = Supp N ∪ Supp(M/N)
Supp(M/N) ⊆ Z. Ass(M/N) ⊆ Supp(M/N) ⊆ Z.
M Supp M
p, q ∈ Spec R p ⊆ q p ∈ Supp M
0 = M
p

∼
=
(M
q
)
pR
q
.
M
q
= 0 q ∈ Supp M.
Z ⊆ Spec R
R M Supp M ⊆ Z
C
I
S
I R M R
R R M
Γ
I
(M) =

n≥0
(0 :
M
I
n
), 0 :
M
I

n
= {m ∈ M | I
n
m = 0}.
S R
S (C
I
) M ∈ S R M
M = Γ
I
(M) 0 :
M
I ∈ S
(C
I
)
R E
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f : N −→ M g : N −→ E
h : M −→ E g = hf. E R M
E. E M M ∩ L = 0
L = 0 E. E M E
M E R
M M
M E
R
(M) E(M).
S R
S S (C
I

).
M R M = Γ
I
(M)
0 :
M
I ∈ S M ∈ S. M = Γ
I
(M)
E(M) M E(0 :
M
I) 0 :
M
I. 0 :
M
I ∈ S
S E(0 :
M
I) ∈ S E(M) ∈ S.
M ⊆ E(M). S
M ∈ S.
(C
I
).
S R
S (C
I
) M ∈ S R
M M = Γ
I

(M) 0 :
M
x ∈ S x
I
S (C
I
). M R
M = Γ
I
(M) 0 :
M
x ∈ S x ∈ I. 0 :
M
I ⊆ 0 :
M
x
S 0 :
M
I ∈ S.
S (C
I
) M ∈ S. M R
M = Γ
I
(M) 0 :
M
I ∈ S. I = (x
1
, . . . , x
n

).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M
0
= M M
i
= 0 :
M
(x
1
, . . . , x
i
)R i = 1, . . . , n.
i M
i
∈ S i = n, . . . , 1, 0.
M
n
= 0 :
M
I ∈ S, i = n. i < n,
M
i+1
∈ S. M
i+1
= 0 :
M
i
x
i+1

∈ S x
i+1
∈ I
M
i
∈ S. M
i
∈ S i. i = 0
M ∈ S.
(C
I
).
R
(C
I
).
0.
R
R M Supp M
R R M
Supp M ⊆ Max R).
R M dim Supp M  s
s ≥ 0
R M Ass M ⊆ Z,
Z ⊆ Spec R
0 0
M R Ass M ⊆ Max R
Ass M Ass M = {m
1
, . . . , m

t
}. E(M)
M E
i
= E(R/m
i
) R/m
i
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n
1
, . . . , n
t
E(M) = E
n
1
1
⊕ E
n
2
2
⊕ . . . ⊕E
n
t
t
,
E
n
i

i
n
i
E
i
. E
i
E(M)
(C
I
).
M R E(M)
M
E(M)
∼
=

p∈Ass M

i∈Λ
p
E
i
(R/p),
Λ
p
E
i
(R/p)
R/p. Ass M = Ass E(M). R

min Ass M = min Supp M min Ass E(M) = min Supp E(M)
Supp M = Supp E(M). M Supp M
dim Supp M  s Ass M ⊆ Z E(M)
Supp E(M) dim Supp E(M)  s
Ass E(M) ⊆ Z
dim R > 0 I R
R (C
I
)
m R ht m > 0. E = E(R/m)
R/m. R E R
E m E = Γ
m
(E) E m
0 :
E
m ht m > 0 E
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
dim R > 0 I
R R
(C
I
) m R
ht m > 0. E = E(R/m)
E = Γ
m
(E) 0 :
E
m E
R

R
m
R ht m > 0 R/m
R M, N
R
I R. R N
Γ
I
(N) =

n≥0
(0 :
N
I
n
). f : N −→ N

R
f
∗
: Γ
I
(N) −→ Γ
I
(N

) f
∗
(x) = f(x).
Γ

I
(−) R
R Γ
I
(−) I
N
0 −→ N −→ E
0
−→ E
1
−→ E
2
−→ . . .
E
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
N R I R.
n I Γ
I
(−) N
n N I H
n
I
(N).
0 −→ N −→ E
0
u
0
−→ E
1

u
1
−→ E
2
−→ . . .
N, Γ
I
(−)
0 −→ Γ(E
0
)
u
∗
0
−→ Γ(E
1
)
u
∗
1
−→ Γ(E
2
) −→ . . .
H
n
I
(N) = Ker u
∗
n
/ Im u

∗
n−1
n
N
I R R N I
N = Γ
I
(N)
N R
H
0
I
(N)
∼
=
Γ
I
(N).
N H
i
I
(N) = 0 i ≥ 1.
N I H
i
I
(N) = 0 i ≥ 1.
H
i
I
(M) I i. H

j
I
(H
i
I
(M)) = 0
j > 0.
0 −→ N

−→ N −→ N

−→ 0
R n
δ
n
: H
n
I
(N

) −→ H
n+1
I
(N

)
0 −→ Γ
I
(N


) −→ Γ
I
(N) −→ Γ
I
(N

)
δ
0
−→ H
1
I
(N

)
−→ H
1
I
(N) −→ H
1
I
(N

)
δ
1
−→ H
2
I
(N


) −→ . . .
δ
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M = M/Γ
I
(M) n ≥ 1
H
n
I
(M)
∼
=
H
n
I
(M).
0 = a ∈ R M
am = 0 m = 0 m ∈ M.
a
1
, . . . , a
n
R M a
i
M/(a
1
, . . . , a
i−1

)M i = 1, . . . , n.
a
1
, . . . , a
n
∈ R M a
1
, . . . , a
n
M M/(a
1
, . . . , a
n
)M = 0
H
i
I
(M) M M
I
H
i
I
(
M) M I M
x ∈ I
I R M
M I
M I
M I depth(I, M).
M I R

depth(I, M) = inf{i : H
i
I
(M) = 0}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
I R H
i
I
(M) = 0
i > dim Supp M M (R, m)
m
dim M = sup{i : H
i
m
(M) = 0}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
S
R
M, N R
S
S
S
> s
S
R M R x ∈ R
S M 0 :
M
x ∈ S. x
1
, . . . , x

n
R S M x
j
S
M/(x
1
, . . . , x
j−1
)M j = 1, . . . , n.
S
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
1
, . . . , x
n
R M
R
s 1  s  n x
1
, . . . , x
n
S
M x
1
, . . . , x
s−1
S
M x
s
, . . . , x

n
S M/(x
1
, . . . , x
s−1
)M
L M L ∈ S.
x
1
, . . . , x
n
S M x
1
, . . . , x
n
S M/L.
x, y S M x S
M/yM.
x
1
, . . . , x
n
S M
S x
1
, . . . , x
s−1
S
M M
s

= M/(x
1
, . . . , x
s−1
)M. j j ≥ s,
x
j
S M/(x
1
, . . . , x
j−1
)M.
M/(x
1
, . . . , x
j−1
)M
∼
=
M
s
/(x
s
, . . . , x
j−1
)M
s
x
j
S M

s
/(x
s
, . . . , x
j−1
)M
s
. x
s
, . . . , x
n
S M
s
.
x
1
, . . . , x
s−1
S M x
s
, . . . , x
n
S M
s
= M/(x
1
, . . . , x
s−1
)M j ≥ s,
M

s
/(x
s
, . . . , x
j−1
)M
s
∼
=
M/(x
1
, . . . , x
j−1
)M x
j
S
M/(x
1
, . . . , x
j−1
)M. x
1
, . . . , x
n
S
M
N = M/L.
0 −−→ L −−→ M −−→ N −−→ 0




x
1



x
1



x
1
0 −−→ L −−→ M −−→ N −−→ 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
0 −→ 0 :
L
x
1
−→ 0 :
M
x
1
f
−→ 0 :
N
x
1
g
−→ L/x

1
L
−→ M/x
1
M −→ N/x
1
N.
0 −→ 0 :
L
x
1
−→ 0 :
M
x
1
f
−→ Im f −→ 0.
0 −→ Im f −→ 0 :
N
x
1
g
−→ Im g −→ 0.
L ∈ S S 0 :
L
x
1
∈ S L/x
1
L ∈ S.

Im g L/x
1
L L/x
1
L ∈ S Im g ∈ S.
0 :
M
x
1
∈ S Im f ∈ S
0 :
N
x
1
∈ S Im f ∈ S
0 :
M
x
1
∈ S 0 :
N
x
1
∈ S
n. n = 1. x
1
S M
0 :
M
x

1
∈ S 0 :
N
x
1
∈ S x
1
S N. n = 1. n > 1
n − 1. M

= M/x
1
M.
L

= (x
1
M + L)/x
1
M. L

M

L

= (x
1
M + L)/x
1
M

∼
=
L/(L ∩ x
1
M).
L

L. L

∈ S.
n−1 M

x
2
, . . . , x
n−1
S M

S N

= M

/L

.
N

= M

/L


= (M/x
1
M)/(x
1
M + L/x
1
M) = M/(x
1
M + L)
= (M/L)/x
1
(M/L) = N/x
1
N.
x
2
, . . . , x
n−1
S M/x
1
M
S N/x
1
N. x
1
S
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M S N.
x

1
, . . . , x
n
S M S
N.
f : M −→ M f(m) = xm m ∈ M.
Ker f = {m ∈ M | f(m) = xm = 0} = 0 :
M
x.
x, y S M x S M
Ker f ∈ S. S Ker f/y Ker f ∈ S.
x, y S M y S M/xM.
0 :
M/xM
y ∈ S. 0 :
M/yM
x ∈ S,
x S M/yM.
S
S
M R S
0 x
1
, . . . , x
k
S M
M
M/(x
1
, . . . , x

k
)M = 0 x
1
, . . . , x
k
M
(R, m) M R
a ∈ m M a /∈ p
p ∈ Ass M. M m
m /∈ Ass M.
a ∈ m
M a /∈ p p ∈ Ass M \ {m}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a /∈ p p ∈ Ass M dim(R/p) > 0.
M m
a ∈ m M 0 :
M
a
dim(0 :
M
a)  0. a
1
, . . . , a
n
R M a
i
M/(a
1
, . . . , a
i−1

)M i = 1, . . . , n.

dim M/IM > 0 M
M M
M I f-depth(I, M).
depth(I, M)  f-depth(I, M).
depth(I, M)
M I
f-depth(I, M) = inf{i | H
i
I
(M) }
= inf{i | dim Supp H
i
I
(M) > 0}.
M R S
R x ∈ m S
0 :
M
x ∈ S 0 :
M
x 0 :
M
x
x M
x
1
, . . . , x
k

∈ m S M
M
M R a ∈ R
M a /∈ p p ∈ Ass M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
dim(R/p) > 1. a
1
, . . . , a
n
R M a
i
M/(a
1
, . . . , a
i−1
)M i = 1, . . . , n.
dim M/IM > 1 M
M M
M I gdepth(I, M).
gdepth(I, M) = inf{i | dim Supp H
i
I
(M) > 1}.
M R S
R 1 x ∈ R
S 0 :
M
x ∈ S. dim 0 :
M
x  1. p ∈ Ass M

dim(R/p) > 1. p = Ann m m ∈ M. x ∈ p
xm = 0 m ∈ 0 :
M
x. p ∈ Ass(0 :
M
x).
dim(0 :
M
x) = max{dim(R/q) | q ∈ Ass(0 :
M
x)} ≥ dim(R/p) > 1,
x /∈ p p ∈ Ass M dim(R/p) > 1.
x M x M
p ∈ Ass(0 :
M
x). p ∈ Ass M. dim(R/p) > 1
p = Ann m m ∈ 0 :
M
x, xm = 0, x ∈ Ann m = p,
x M dim(R/p)  1
p ∈ Ass(0 :
M
x). dim(0 : Mx)  1. 0 :
M
x ∈ S
x S x S M
M x
1
, . . . , x
k

S
M M
(R, m)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên