Đề và đáp án luyện thi Toán ( Đề 1 đến 10) - Ebook pptx

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
Câu I.
1) Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
y=
x-x+1
x-1
2
.
2) Tìm trên trục Oy các điểm từ đó có thể kẻ đỷợc ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C).
3) Xác định a để đồ thị (C) tiếp xúc với parabol y = x
2
+a.
Câu II.
Cho hệ phỷơng trình
xyxym
xym
++ =
+=



22
1) Giải hệ vớim=5.
2) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm?
Câu III.
1) Cho bất phỷơng trình
x
2
+ 2x(cosy + siny) + 1

0.
Tìm x để bất phỷơng trình đ ợc nghiệm đúng với mọi y.
2) Giải phỷơng trình lỷợng giác
sin x(tgx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
2
Câu IVa.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc, cho elip
E) :
x
9
+
y
4
22
=1,
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
và hai đỷờng thẳng
(D):ax-by=0, (D):bx+ay=0,
với a
2
+b
2
>0.
1) Xác định các giao điểm M, N của (D) với (E), và các giao điểm P, Q của (D) với (E).
2) Tính theo a, b diện tích tỷỏ giác MPNQ.
3) Tìm điều kiện đối với a, b, để diện tích ấy lớn nhất.
4) Tìm điều kiện đối với a, b, để diện tích ấy nhỏ nhất.
Câu IVb. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC với cả ba góc nhọn. Trên đỷờng thẳng (d) vuông góc với

mặt phẳng (P) tại A, lấy một điểm M. Dỷồng
BN CM BH CM,
.Đỷờng thẳng KH cắt (d) tại N.
1) Chỷỏng minh :
BN CM
2) Chỷỏng minh :
BM CN
3) Hãy chỉ cách dỷồng điểm M trên (d) sao cho đoạn MN ngắn nhất.
2(x
1
+x
3
)(x
1
+x
4
)(x
2
+x
3
)(x
2
+x
4
)=
=2(b-d)
2
-(a
2
-c

2
)(b-d)+(a+c)
2
(b + d).
2) a, b, c là 3 số tùy ý thuộc đoạn [0 ; 1]. Chỷỏng minh :
a
b+c+1
+
b
a+c+1
+
c
a+b+1
+
(1 - a)(1 - b)(1 - c) 1.
Câu II. 1) Giải phỷơng trình
sin
3
x + cos
3
x=2-sin
4
x.
2) k, l, m là độ dài các trung tuyến của tam giác ABC, R là bán kính đỷờng tròn ngoại tiếp tam giác đó. Chứng
minh rằng
k+l+m
9R
2
.
Câu III.

Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm A(3, 0) và parabol (P) có phỷơng trìnhy=x
2
.
1) M là một điểm thuộc parabol (P), có hoành độ x
M
= a. Tính độ dài đoạn AM, xác định a để AM ngắn
nhất.
2) Chỷỏng tỏ rằng nếu đoạn AM ngắn nhất, thì AM vuông góc với tiếp tuyến tại M của parabol (P).
Câu IVa.
Cho hai số nguyên dỷơng p và q khác nhau.
Tính tích phân I =
0
2
cospx cosqx dx


.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________
Câu I.
1) Giả sử phỷơng trình x
2
+ax+b=0cónghiệm x
1
và x
2
,phỷơng trình x
2
+cx+d=0cónghiệm x
3

và x
4
.
Chỷỏng tỏ rằng
Câu Va.
Cho hai đỷờng tròn
(C
1
)x
2
+y
2
-6x+5=0,
(C
2
)x
2
+y
2
-12x-6y+44=0.
Xác định phỷơng trình các đờng thẳng tiếp xúc với cả 2 đỷờng tròn trên.
Câu IVb. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với các đỷờng chéo AC = 4a, BD = 2a, chúng cắt
nhau tại O. Đỷờng cao của hình chóp là SO = h. Mặt phẳng qua A, vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần
lỷỳồt tại B, C, D.
1) Xác định h để BCD là tam giác đều.
2) Tính bán kính r của hình cầu nội tiếp hình chóp theo a và h.
Câu Vb.
Hai góc nhọn A, B của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện
tg
2

A+tg
2
B = 2tg
2
A+B
2
.
Chỷỏng tỏ rằng ABC là một tam giác cân.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________
Câu I.
Cho m là một số nguyên dỷơng, hãy tìm cỷồc trị của hàm số
y=x
m
(4-x)
2
.
Khảo sát sỷồbiến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khim=1.
Câu II.
1) ABC là một tam giác bất kì. Chỷỏng minh rằng với mọi số x ta đều có
1+
1
2
x
2
cosA + x(cosB + cosC).
2) Giải phỷơng trình
cosx +
1
cosx

+sinx+
1
sinx
=
10
3
.
Câu III.
1) Giải và biện luận theo a, b phỷơng trình
ax + b
x-a
=
x-b
x+a
.
2) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn điều kiện a
2
+b
2
+c
2
=1.Chỷỏng minh rằng:
abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc)

0.
Câu IVa. 1) Chỷỏng tỏ rằng hàm số
F(x) =
()
xx+ln 1
là một nguyên hàm trên R của hàm số f(x) =

x
1+|x|
.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________
2) Tính tích phân
I=
1
e
2
xln xdx

.
Câu IVb. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của cạnh SC. Mặt
phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lỷỳồt tạiMvàN.
Chứng minh:
1)
SB
SM
+
SD
SN
=3;
2)
1
3
Ê
V
V
1

Ê
3
8
,
trong đó V là thể tích hình chóp S.ABCD, V
1
là thể tích hình chóp S.AMKN.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________
Câu I.
1) Khảo sát sỷồ biến thiên của hàm số
y=
xxx x
432
4 2 12 1+
.
2) Chỷỏng tỏ rằng đồ thị hàm số có một trục đối xỷỏng. Từ đó tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành.
Câu II. 1) Tìm nghiệm của phỷơng trình
sin
2
[(x + 1)y] =
sin
2
2
(xy) +
sin
2
2

[(x - 1)y]
sao cho (x + 1)y, xy, (x - 1)y là số đo các góc của một tam giác.
2) Chỷỏng minh rằng với mọi tam giác ABC, bao giờ ta cũng có
a)
sin
A
2
Ê
a
2 bc
,
b)
aA + bB + cC
a+b+c


3
.
Câu III. 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y=
x+2(1+ x+1)+ x+2(1- x+1)
3333
.
2) Cho bất phỷơng trình
-
4 (4 - x) (2 + x)
Ê
x
2
2

-2x+a-18.
a) Giải bất phỷơng trình khia=6.
b) Xác định a để bất phỷơng trình đ ợc nghiệm đúng với mọi x ẻ [- 2 ; 4].
Câu IVa.
Cho paraboly=x
2
. Hai điểm A, B di động trên parabol sao cho AB = 2.
1) Tìm tập hợp trung điểm của AB.
2) Xác định vị trí của A, B sao cho diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi parabol và cát tuyến AB đạt giá trị
lớn nhất.
Câu IVb.
Trong mặt phẳng (P) cho hình thang cân ABCD ngoại tiếp đỷờng tròn tâm O bán kính R, các cạnh đáy AB và CD
thỏa mãn điều kiện AB : CD=1:4.Trên đỷờng thẳng (d) vuông góc với (P) tại O, lấy điểm S sao cho OS = 2R.
1) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD.
2) Chỷỏng minh rằng O cách đều 4 mặt bên của hình chóp. Từ đó xác định tâm và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________
Câu I.
Cho phỷơng trình
(x-3)(x+1)+4(x-3)
x+1
x-3
=m
.
1) Giải phỷơng trình vớim=-3.
2) Với giá trị nào của m thì phỷơng trình có nghiệm ?
Câu II.
1) Cho hàm số

y = x+ x -x+1
2
.
Tìm miền xác định của hàm số ; tính đạo hàm và xét dấu của nó.
2) Tìm a để hệ sau đây có nghiệm:
15 11 2 7
230
22
2
xxyy
xy
ax ay
+=
<
+<





Câu III.
1) Giải phỷơng trình
log (sin
x
2
- sinx) + log
1
3
(sin
x

2
+ cos2x) = 0.
3
2) Chỷỏng tỏ rằng có thể tính diện tích tam giác ABC bởi công thỷỏc
S=
1
4
(a sin2B + b sin2A).
22
Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz, xét ba điểm A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c), với a, b, c > 0.
1) Viết phỷơng trình mặt phẳng (ABC).
2) Xác định các tọa độ của điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O lên mặt phẳng (ABC). Tính độ dài OH.
3) Tính diện tích tam giác ABC.
4) Giả sử a, b, c thay đổi nhỷng luôn thỏa mãn điều kiện a
2
+b
2
+c
2
=k
2
, với k > 0 cho trỷỳỏc. Khi nào thì tam giác ABC
có diện tích lớn nhất ? Chỷỏng tỏ rằng khi đó đoạn OH cũng có độ dài lớn nhất.
Câu IVb.
Trên các cạnh Ox, Oy, Oz của tam diện vuông Oxyz, lấy lần lỷỳồt 3 điểm A, B, C với OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H
là trỷồc tâm, G là trọng tâm, S là diện tích tam giác ABC.
1) Tính OH, S, OG theo a, b, c.
2) Chỷỏng minh rằng tam giác ABC có các góc A, B, C nhọn và
atgA btgB ctgC
222

==
.
3) Cho A cố định trên Ox, còn B, C chạy trên Oy, Oz. Tìm quỹ tích của G và H.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________
Câu IVa.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________
Câu I.
1) Chỷỏng minh rằng với mọi số a, b ta đều có
-
1
2
Ê
(a + b)(1- ab)
(1 + a )(1 + b )
22
Ê
1
2
.
2) Giải bất phỷơng trình
2-2x+1
2-1
1-x
x
Ê 0.
Câu II.
R, r là bán kính các đỷờng tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC ; h, l là độ dài đỷờng
cao và phân giác trong xuất phát từ cùng một đỉnh của tam giác ấy.

Chỷỏng minh
h
l

2 r
R
.
Khi nào thì xảy ra dấu đẳng thỷỏc ?
Câu III. 1) Giải phỷơng trình
sinx +
2-sinx +sinx 2-sinx
22
=3.
2) Trong tất cả các tỷỏ giác ABCD với AB = BC = CD=a(a> 0 cho trỷớc), hãy xác định
tỷỏ giác có diện tích lớn nhất.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________
Câu Va.
M là một điểm thuộc parabol y
2
= 64x, N là một điểm thuộc đỷờng thẳng
4x+3y+46=0.
1) Xác định M, N để đoạn MN là ngắn nhất.
2) Với kết quả đã tìm đỷợcở1)chỷỏng tỏ rằng khi đó đỷờng thẳng MN vuông góc với tiếp
tuyến tại M của parabol.
Câu IVb.
Trong hai mặt phẳng vuông góc (P), (Q), cho hai tam giác cân ACD và BCD có chung
đáy CD = 2x, và các cạnh khác có độ dài bằng a. Gọi M, N là trung điểm của AB và
CD.
1) Chỷỏng minh rằng MN là đỷờng vuông góc chung của AB và CD.

2) Tính theo a và x độ dài các đoạn AB và MN.
3) Xác định x để nhị diện (C, AB, D) là vuông. Trong trỷỳõng hợp đó, tính độ dài đoạn
AB, xác định điểm O cách đều 4 điểm A, B, C, D và tính độ dài OA.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________
Câu I. 1) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để các nghiệm x
1
,x
2
của phỷơng trình x
2
+ax+1=0thỏa
mãn:
x
x
+
x
x
1
2
2
2
2
2
1
2
>7
.
2) Với giá trị nào của a và b, phỷơng trình x
3

+ ax + b = 0 có 3 nghiệm khác nhau lập thành một cấp số
cộng?
Câu II.
Cho phỷơng trình
(1-a)tg
2
x-
2
cosx
+1+3a=0.
1) Giải phỷơng trình khi a =
1
2
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phỷơng trình có nhiều hơn một nghiệm trong khoảng (0 ;

2
).
Câu III.
Cho hàm số
y=
x
2
-3x +
5
2
4
2
.
1) Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2) Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M có hoành độ x
M
=a.Chỷỏng minh rằng hoành độ các giao
điểm của tiếp tuyến (d) với đồ thị là các nghiệm của phỷơng trình
(x-a)
2
(x
2
+2ax+3a
2
-6)=0.
3) Tìm tất cả các giá trị của a để tiếp tuyến (d) cắt đồ thị tại 2 điểm P, Q khác nhau và khác M. Tìm tập
hợp trung điểm K của đoạn thẳng PQ.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________
Câu IVa. Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P)
(P):y
2
=x.
Gọi (C) là đỷờng tròn tâm C(2, 0), bán kính R.
1) Xác định R để đỷờng tròn (C) tiếp xúc với parabol (P). Xác định tọa độ các tiếp điểm T và T.
2) Viết phỷơng trình các tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại T và T.
3) Tính diện tích của tam giác cong chắn bởi parabol (P) và hai tiếp tuyến nói trên.
Câu IVb.
Trong mặt phẳng (P), cho đỷờng tròn () đ ờng kính AB = 2R. Lấy C là một điểm trên đoạn AB, đặt AC=x(0< x < 2R) ;
một đỷờng thẳng đi qua C cắt đỷờng tròn () tại K, L. Trên nửa đ ỷờng thẳng vuông góc với (P) tại A, lấy điểm S với AS = h.
Mặt phẳng (Q) đi qua A v à vuông góc với SB, cắt SB, SC, SK, SL lần lỷỳồt tại B,C, K,L.
1) Chỷỏng minh AKBL là một tứ giác nội tiếp.
2) Đỷờng thẳng KL phải thỏa mãn điều kiện gì để C là trung điểm của đoạn KL ?
3) Tìm điều kiện đối với đỷờng thẳng KL để AKBL là một hình vuông.

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________
Câu I. Xác định tham số a sao cho hàm số
y=-2x+2+a
x-4x+5
2
có cỷồc đại.
Câu II. Cho phỷơng trình
cos x + sin x
cos x - sin x
66
22
= 2m tg2x. (1)
1) Giải (1) khi m =
1
8
.
2) Với giá trị nào của m thì (1) có nghiệm ?
Câu III. 1) Cho ba số dỷơng a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 1.
Chỷỏng minh rằng
bc
ab+ac
+
ac
ba+ bc
+
ab
ca+ cb
3
2

22 22 22

.
2) Trong tất cả các tam giác nội tiếp trong cùng một đỷờng tròn cho trỷỳỏc, hãy tìm tam giác có tổng các bình phỷơng
các cạnh là lớn nhất.
Câu IVa.
Cho a > 0, và f(x) là một hàm chẵn, liên tục và xác định trên R.
Chỷỏng minh rằng với mọi x ẻ R, ta đều có
-b
b
x
0
b
f(x) dx
a+1
= f(x) dx.

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________
Câu Va.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trỷồc chuẩn xOy, cho elip(E)
xy
22
4+
=4,
và hai điểm M(-2, m), N(2, n).
1) Gọi A
1
,A
2

là các đỉnh trên trục lớn của (E). Hãy viết phỷơng trình các đỷờng thẳng A
1
NvàA
2
M, và xác định tọa
độ giao điểm I của chúng.
2) Cho MN thay đổi sao cho nó luôn tiếp xúc với (E). Tìm tập hợp điểm I.
Câu IVb.
Cho hình chóp tam giác D.ABC, M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Các đỷờng thẳng qua M, song song với AD, BD,
CD theo thỷỏ tỷồ cắt các mặt (BCD), (ACD), (ABD) tại A, B, C.
1) Gọi N là giao điểm của DA và BC. Hãy chỷỏng tỏ rằng 3 điểm A, M, N là thẳng hàng.
2) Chỷỏng tỏ rằng tỉ số giữa thể tích các hình chóp M.BCD và A.BCD bằng MA/AD.
3) Chỷỏng minh rằng tổng
MA'
AD
+
MB'
BD
+
MC'
CD
không phụ thuộc vào vị trí của M trong tam giác ABC.
1) Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ỷỏng vớim=0.
2) Xác định m để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt với các hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Câu II.
1) Tìm các nghiệm x ẻ (0;2p) của phỷơng trình
sin3x - sinx
1-cos2x
= sin2x + cos2x
.

2) Chỷỏng minh rằng các trung tuyến AA và BB của tam giác ABC vuông góc với nhau khi và chỉ khi
cotgC = 2(cotgA + cotgB).
Câu III.
Giả sỷó (x ; y) là nghiệm của hệ phỷơng trình
xy a
xya a
+=
+=+



21
23
22 2
Xác định a để tích xy là nhỏ nhất.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________
Câu I.
Cho hàm số
y=x
3
-3x
2
-9x+m.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________
Câu IVa. Trong mặt phẳng xem hypebol (H)
(H) :
x
4

-
y
9
22
=1.
Gọi (D) là đỷờng thẳng đi qua gốc tọa độ O và có hệ số góc k, (D) là đỷờng thẳng đi qua O và vuông góc với (D).
1) Tìm điều kiện đối với k để (D) và (D) đều cắt (H).
2) Tính theo k diện tích của hình thoi với 4 đỉnh là 4 giao điểm của (D) và (D) với (H).
3) Xác định k để hình thoi ấy có diện tích nhỏ nhất.
Câu IVb. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác OAB với OA = OB, AB = 2a, đỷờng cao OH = h. Trên đỷờng thẳng (d) vuông
góc với (P) tại O, lấy điểm M với OM = x. Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của A lên MB và OB;Nlàgiao điểm
của đỷờng thẳng EF với (d).
1) Chỷỏng minh rằng MB NA, MA NB.
2) Tính BF, BE và thể tích khối tỷỏ diện ABEF theo a, h và x.
3) Tìm vị trí của M trên (d) để tỷỏ diện MNAB có thể tích nhỏ nhất.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________
Câu I. Cho hàm số
y=
x+mx-1
2
x 1
.
1) Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng (-Ơ ; 1), (1; +Ơ).
2) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8 (đơn vị diện
tích).
3)Tìmmđểđỷờng thẳngy=mcắtđồthịhàmsốtại2điểm A, B với OA OB.
4) Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ỷỏngvớim=1.
Câu II. 1) Chỷỏng minh rằng nếu 0 < x Ê y Ê z, thì ta có :
y(

1
x
+
1
z
)+
1
y
(x + z)
Ê
(
1
x
+
1
z
)(x + z)
.
2) Chỷỏng minh rằng với a, b là 2 số không âm, ta luôn luôn có
379
33 2
abab+ .
Câu III.
Chỷỏng minh rằng với mọi tam giác có 3 cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện
abc
222
+
, ta luôn có
0,4 <
r

h
< 0,5,
trong đó r là bán kính đỷờng tròn nội tiếp, h là độ dài đỷờng cao hạ xuống cạnh c.
Câu IVa.
1) Xác định các hằng số A, B sao cho
3x + 1
(x + 1 )
=
A
(x + 1 )
+
B
(x + 1 )
332
.
2) Dỷồa vào kết quả trên, tìm họ nguyên hàm của hàm số
f(x) =
3x + 1
(x + 1)
3
.
Câu Va.
Cho tam giác ABC đỉnh A(2, 2).
1) Lập phỷơng trình các cạnh của tam giác, biết rằng 9x - 3y-4=0,x+y-2=0lầnlỷỳồt là phỷơng trình các
đỷờng cao kẻ từ B và C.
2) Lập phỷơng trình đỷờng thẳng đi qua A và lập với đỷờng thẳng AC một góc bằng

4
.
Câu IVb. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, và

BAC

= a. Biết rằng cạnh SA = h của hình chóp
vuông góc với đáy, và biết rằng tồn tại ba điểm M, N, P theo thỷỏ tỷồ thuộc các cạnh AB, AC, BC sao cho AM = AN =
AP, và các tam giác SMP, SNP có diện tích bằng nhau.
1) Chỷỏng tỏ rằng P là trung điểm cạnh BC.
2) Tính thể tích hình chóp S.AMPN.
3) Chỷỏng tỏ rằng tồn tại một hình cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.AMPN và xác định bán kính r của
hình cầu ấy.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
_______________________________________________________________
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
Câu I. 1)
1
2
(1 + a )(1 + b ) =
1
2
(1 + a b + a + b )
22 2222
=
[]
1
2
(1 - ab) + (a + b) |1 - ab| . |a + b|
22

,
từ đó suy ra kết quả cần chứng minh.

2) Vế trái của bất phỷơng trình có nghĩa khi x ạ 0.Vớix>0ị 2
x
> 1, bất phỷơng trình tỷơng đỷơng với
2
1-x
-2x+1Ê 0 2
1-x
+1Ê 2x.
Vớix<0,bấtphỷơng trình tỷơng đỷơng với 2
1x
+1 2x.
Trên mặt phẳng tọa độ, xét đồ thị các hàm y
1
=2
1-x
+1,
y
2
= 2x. Hàm y
1
là nghịch biến, hàm y
2
là đồng biến, đồ thị của chúng cắt nhau tại điểmx=1,y=2.Từđósuyra
nghiệm của bất phỷơng trình đã cho : x<0;1Ê x.
Câu II. Giả sử h, l là độ dài các đỷờng cao và đỷờng phân giác trong xuất phát từ đỉnh A. Ta có
h
l
AH
AD
ADB B

A
== = +sin sin( ),
^
2
vậy
h
l
B
A
BA
2
2
2
2
1
21 2
=+=
+
sin ( )
[cos( )]
=
1
2
1+cos(B-C) =cos
B-C
2
2

.
Mặt khác, ta biết rằng (xem lời giải đề số 94)
r
R
=4sin
A
2
sin
B
2
sin
C
2
=
2sin
A
2
cos
B-C
2
-cos
B+C
2

=
=
2sin
A
2
cos
B-C
2
-2sin
A
2
2
.
Ta cần chứng minh
h
l
2r
R
2
2

hay
cos
B-C
2
4sin
A
2

cos
B-C
2
-4sin
A
2
22

hay
cos
B-C
2
-2sin
A
2
0
2







.
Bất đẳng thức này đúng. Dấu = xảy ra khi
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
cos
B-C

2
=2sin
A
2
ị

2cos
B- C
2
sin
B+C
2
=
4sin
A
2
cos
A
2
sinB + sinC = 2sinA
(theo định lí hàm số sin) 2a=b+c.
Câu III. 1) Đặt t = sinx +
2-sinx
2
thì |t| Ê 1+
2
,và
t
2
= 2 + 2sinx

2-sin x
2
,phỷơng trình đã cho trở thành t
2
+2t-8=0.
Nghiệmt=-4bịloại. Vớit=2,suyrasinx = 1 ị x=

2
+2k (k ẻ Z).
2) Kẻ đỷờng chéo AC : ABC là tam giác cân đáy AC,
gọi là góc nhọn ở đáy . Chỉ cần xét trỷỳõng hợp ABCD
là tứ giác lồi và
ACD
^
= /2. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.
Tacó:S=dt(ABC) + dt(ACD) =
1
2
a
2
sin2 +a
2
cos =a
2
cos (1 + sin).
Cần xác định sao cho y = cos(1 + sin) lớn nhất. Ta có
y>0(vì nhọn) và
y
2
= cos

2
(1 + sin)
2
=(1-sin)(1+sin)
3
=
1
3
(3 - 3sin)(1+sin)
3
Ê
1
3
.
(3 - 3sin + 3 + 3sin )
4
=
27
16
4
4

(bất đẳng thức Côsi cho 4 số dỷơng). Vậy y Ê
33
4
, dấu đẳng thức chỉ xẩy ra khi
3 - 3sin =1+sin ị sin =
1
2
ị

=
6
;
khi đó ABCD là nửa lục giác đều cạnh a.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
__________________________________________________________


Câu IVa.
11
n
n
00
xdx 1
0xdx
1x n1
<<=
++


Câu Va. Để ý rằng hệ
2
y64x
4x 3y 46 0


=

+
+=



vô nghiệm : đờng thẳng (d)
4x + 3y + 46 = 0
không cắt parabol (P)
2
y64x=
.
Ta hãy tìm điểm
ooo
M(x,y) trên (P) sao cho tại đó
tiếp tuyến song song với (d) : ta có
o
32 4
y'
y3
=
=
o
y24
=

2
o
o
y
x9

64
=
= .
(Nh vậy tiếp tuyến ấy có phơng trình 4x + 3y + 36 = 0).
Giả sử M là một điểm tùy ý thuộc (P), N là một điểm tùy ý thuộc (d). Lấy N' (d) sao cho
o
MN'
// MN, và gọi
o
N
là hình chiếu vuông góc của
o
M
lên (d) (Hình 12). Hiển nhiên

ooo
MN M N' M N ,
vậy
oo
MN là đoạn ngắn nhất trong tất cả các đoạn MN. Ta có
oo
oo
22
4x 3y 36
10
MN 2
5
43
++
===

+
.
Nhận xét thêm : đờng thẳng
oo
MN có phơng trình
3x 4y 123 = 0,
điểm
o
N
có tọa độ
o
37 126
N ;
55




.
Câu IVb.
1) ACD = BCD AN = BN ANB cân Trung tuyến NM cũng là chiều cao MN
AB.
ACB = ADB DM = CM CMD cân Trung tuyến MN cũng là đờng cao MN CD
(2)
Từ (1) và (2) suy ra MN là đờng vuông góc chung của AB và CD.
2) Vì AN CD, BN CD
n
o
ANB 90= ANB vuông cân NM =
1

2
AB.
Ta có : AB = AN 2 =
22
2a x


22
12
MN AB a x
22
== .








www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
__________________________________________________________


3) Vì CM AB, DM AB
n
CMD = là góc phẳng của nhị diện cạnh AB
n
NMC
2

= và
NC
tg
2NM

= .
Muốn nhị diện (AB) vuông thì
o
90= , tức
tg 1
2

=
,tức NC = NM, hay
22
2
xax
2
=.
Giải ra đợc
a3
x
3
=
. Khi đó ta cũng có
AB =
2a 3
2x CD
3

==
.
Vậy muốn nhị diện (AB) vuông thì
CD = 2x = AB =
2a 3
3
.
Xác định O : Mặt phẳng (ANB) là mặt phẳng trung trực của đoạn CD, mặt phẳng (CMD) là mặt
phẳng trung trực của đoạn AB và MN là giao tuyến của 2 mặt phẳng đó. Do đó điểm O cách đều
4 điểm A, B, C, D phải nằm trên MN. Đặt OM = y. Do OA = OB = OC = OD nên
22
OA OC= ; tức
22
22
AB CD
y(MNy)
22

+= +


.
Vì AB = CD nên
22
y(MNy)= MN = 2y. Do đó O là trung điểm của MN.
Tính OA :
222
1
OA (AB MN )
4

=+, với
AB
MN
2
=

=+=


22 2
2
14a a 5a
OA
43 3 12
OA =
a15
6
.