Hình Học Vi Phân - chương 1 Lý Thuyết Đường docx

LỜI MỞ ĐẦU
Chúng tôi thành thật cám ơn Trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế đã tạo điều kiện để bài
giảng này được ra đời. Trong quá trình viết chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót. Chúng
tôi rất mong nhận được càng nhiều càng tốt những ý kiến đóng góp của bạn đọc, sinh viên cũng
như các đồng nghiệp.
Huế, ngày 16 tháng 01 năm 2006
Tác giả
i
Mục lục
1 Lý thuyết đường 1
1.1 Đườngthamsố 1
1.1.1 Định nghĩa đường tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Đường tham số chính quy. Độ dài cung . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Các tính chất địa phương của đường tham số trong R
3
7
1.2.1 Độcong 7
1.2.2 Trường mục tiêu Frénet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Độ xoắn. Công thức Frénet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4 Công thức tính độ cong và độ xoắn . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 Định lý cơ bản cho đường tham số trong R
3
15
1.3 Đường tham số trong R
2
(Đường tham số phẳng) . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Định lý cơ bản cho đường tham số phẳng . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Đường tròn mật tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 Đường túc b ế và đường thân khai . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Một số tính chất toàn cục của các đường cong phẳng . . . . . . . . 23
1.4.1 Bài toán đẳng chu và bất đẳng thức đẳng chu . . . . . . . . 24

ii
Hình học vi phân
1.4.2 Định lý bốn đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iii
Chương 1
Lý thuyết đường
1.1 Đường tham số
Phép tính vi tích phân là công cụ chủ yếu để nghiên cứu hình học vi phân. Do đó
một cách tự nhiên và hợp lý nhất là để sử dụng công cụ này là đồng nhất chúng
hoặc một bộ phận của chúng với các đối tượng của giải tích, các hàm khả vi.
1.1.1 Định nghĩa đường tham số
Định nghĩa 1. Cho ánh xạ
c : I −→ R
n
với I ⊂ R là một khoảng (mở, đóng, nửa mở nửa đóng, nửa đường thẳng thực
hoặc cả toàn bộ đường thẳng thực . ). Gọi C = c(I) ⊂ R
n
, ảnh của toàn bộ tập
I. Khi đó (C, c) được gọi là một đường tham số (parametrized curve) với tham số
hóa c và tham số t. C được gọi là vết của đường tham số.
Nếu c là hàm liên tục, khả vi lớp C
k
, khả vi lớp C
∞
. . . thì tương ứng ta nói C là
đường tham số liên tục, khả vi lớp C
k
, khả vi lớp C
∞

Giả sử c(t)=(x
1
(t),x
2
(t), ,x
n
(t)), thì c khả vi lớp C
k
(k =0, 1, 2, ) có nghĩa
là các hàm thành phần
x
i
: I −→ R
1
Hình học vi phân
khả vi lớp C
k
(k =0, 1, 2, ).
Nếu c là khả vi thì vector c

(t):=(x

1
(t),x

2
(t), ,x

n
(t)) ∈ R

n
, gọi là vector tiếp
xúc hay vector vận tốc của C tại c(t ) (hay của c tại t).
Chú ý.
1. Trong suốt giáo trình này, nếu không nói gì thêm, thuật ngữ khả vi được hiểu
là khả vi tại mọi điểm và khả vi đến lớp cần thiết. Từ đây trở đi chúng ta chỉ
xét các đường tham số khả vi. Vì thế, khi không cần nhấn mạnh chúng ta sẽ
bỏ đi từ khả vi.
2. Để đơn giản, thay vì dùng ký hiệu đầy đủ (C, c) để chỉ đường tham số ta
có thể nói C là đường tham số nếu tham số hóa đã biết. Thật ra tham số
hóa của đường tham số cho phép ta xác định được vết của nó nên khi nói
về đường tham số chỉ cần cho tham số hóa của nó là đủ. Đây là lý do đa số
các tài liệu đều đồng nhất đường tham số với tham số hóa của nó. Chúng ta
cũng sẽ làm như vậy trong suốt giáo trình này. Nhiều tài liệu sử dụng thuật
ngữ cung tham số thay vì đường tham số.
3. Khái niệm đường cong trong chương này sẽ đượ c hiểu là vết của một đường
tham số nào đó. Về sau khái niệm này còn được hiểu theo một nghĩa rộng
hơn (xem Nhận xét ??, Chương II).
4. Các ví dụ dưới đây sẽ cho thấy một tập con C ⊂ R
n
có thể có nhiều tham số
hóa khác nhau. Với hai tham số khác nhau sẽ cho các tính chất khác nhau.
Ví dụ 1. Chúng ta có thể xem đồ thị của hàm số y = f(x) với miền xác định
I ⊂ R như là vết của đường tham số c : I −→ R
2
; c(t)=(t, f(t)).
Ví dụ 2. Đường tham số (với tham số hóa)
c(t)=p + tv ∈ R
n
,

là đường thẳng đi qua điểm p với vector vận tốc v.
Ví dụ 3. Đường tròn tâm O, bán kính r có một tham số hóa dạng
c(t)=(r cos t, r sin t),
2
Hình học vi phân
c(t)=(t, f (t)
a
b
f (a)
f (b)
I
c(I)
Hình 1.1: c(t)=(t, f (t)).
c
I
c(I)
Hình 1.2: c(t)=(x(t),y(t)).
Ví dụ 4. Đường parabol có một tham số hóa dạng
c(t)=(t, t
2
),
Ví dụ 5. Cho đường tham số C với tham số hóa
c(t)=(a cos t, a sin t, bt); t ∈ R,a>0,b=0.
Đường tham số C gọi là đường xoắn ốc. Đường nằm trên mặt trụ x
2
+ y
2
= a
2
với

độ dốc 2πb. Tham số t chính là góc giữa trục x với đường thẳng nối O với hình
chiếu của c(t) lên mặt phẳng Oxy.
Ví dụ 6. Ánh xạ c : R −→ R
2
, xác định bởi
c(t)=(t
3
,t
2
); t ∈ R,
là tham số hóa của một đường tham số khả vi lớp C
∞
. Chú ý rằng c

(0) = (0, 0),
tức là tại t =0vector vận tốc bằng 0.
Ví dụ 7. Ánh xạ c : R −→ R
2
, xác định bởi
c(t)=(t
3
− 4t, t
2
− 4); t ∈ R,
là tham số hóa của một đường tham số khả vi lớp C
∞
. Chú ý rằng c(2) = c(−2) =
(0, 0), tức là ánh xạ c không đơn ánh.
3
Hình học vi phân

Ví dụ 8. Ánh xạ c : R −→ R
2
, xác định bởi
c(t)=(t, |t|); t ∈ R,
là tham số hóa của một đường tham số liên tục không khả vi vì hàm y(t)=|t|
không khả vi tại t.
Ví dụ 9. Hai ánh xạ c, r : R −→ R
2
, xác định bởi
c(t) = (cos t, sin t),
r(t) = (cos 2t, sin 2t);
là hai tham số hóa khác nhau của đường tròn x
2
+ y
2
=1. Chúng xác định hai
đường tham số với các vector tiếp xúc tại từng điểm là khác nhau vì có độ dài
khác nhau.
Ví dụ 10. Hai ánh xạ c, r : R −→ R
2
, xác định bởi
c(t)=(t, t),
r(t)=(t
3
,t
3
);
là hai tham số hóa của cùng một đường thẳng x = y. Chúng xác định hai đường
tham số với các vector tiếp xúc tại từng điểm là khác nhau. Hai đường cong này
mô tả hai chuyển động cùng quỹ đạo nhưng cách chuyển động hoàn toàn khác

nhau. Đường cong thứ nhất mô tả chuyển động đều trên đường thẳng. Đường cong
tham số thứ hai mô tả chuyển động chậm dần (với t<0), vận tốc tức thời bằng
không tại t =0, và sau đó (với t>0) chuyển động nhanh dần .
1.1.2 Đường tham số chính quy. Độ dài cung
Định nghĩa 2. Cho đường tham số c : I −→ R
n
. Nếu c

(t) =0thì t (hay c(t)) gọi
là điểm chính quy còn những điểm mà c

(t)=0gọi là điểm kỳ dị. Với mỗi t ∈ I
mà c

(t) =0, chúng ta gọi đường thẳng đi qua c(t) với vector chỉ phương c

(t) là
tiếp tuyến của c tại t.
Đường tham số c : I −→ R
n
gọi là đường tham số chính quy nếu mọi điểm đều là
điểm chính qui, tức là c

(t) =0với mọi t ∈ I.
4
Hình học vi phân
Định nghĩa 3. Độ dài cung của một đường tham số chính quy c : I −→ R
n
, từ
điểm t

0
đến t, với t
0
,t ∈ I, đượ c định nghĩa là số
s(t)=

t
t
0
|c

(t)|dt.
Do c

(t) =0nên độ dài cung là một hàm khả vi của t và
ds
dt
= |c

(t)|.
Định nghĩa 4. Đường tham số chính qui c : I −→ R
n
, (n =2, 3) với |c(t)| =1, ∀t
gọi là đường tham số với tham số là độ dài cung, hay với vector vận tốc đơn vị
hay đường tham số với tham số hóa tự nhiên. Tham số độ dài cung thường được
ký hiệu là s.
Nếu ta có |c

(t)| =1, thì


t
t
0
dt = t − t
0
.
Do đó độ dài cung của c là số đo từ một tham số nào đó. Trong trường hợp t
0
=0,
thì s(t)=t. Điều này giải thích thuật ngữ tham số độ dài cung.
Định nghĩa 5. Hai đường tham số c : I −→ R
n
,r : J −→ R
n
gọi là tương đương
nếu tồn tại vi phôi ϕ : I −→ J sao cho c = r ◦ ϕ.
Nhận xét.
1. Dễ nhận thấy nếu đường tham số c là chính qui và r là đường tham số tương
đương với nó thì r cũng chính qui. Nếu ϕ

< 0, thì c

và r

ngược chiều nhau.
Trong trường hợp này ta nói c và r là tương đương ngược hướng.
2. Nếu ϕ

> 0, thì c


và r

cùng chiều. Trong trường hợp này ta nói c và r là
tương đương cùng hướng.
3. Cho đường tham số chính qui c :[a, b] −→ R
n
. Khi đó ta có thể định nghĩa
độ dài của đường tham số c là số
L(c)=

b
a
|c

(t)|dt.
5
Hình học vi phân
Khi đó nếu hai đường tham số chính qui c :[a, b] −→ R
n
và r :[c, d] −→ R
n
là tương đương thì L(c)=L(r). Thật vậy,
L(c)=

b
a
|c

(t)|dt =


b
a
|(r ◦ϕ)

(t)|dt

b
a
|(r

(ϕ(t))|.|ϕ

(t)|dt =

d
c
|(r

(τ )|dτ
Ví dụ 11. Cho c : I −→ R
n
là đường tham số chính qui với tham số là độ dài cung
với I =(a, b). Ta xác định đường tham số r :(−b, −a) −→ R
n
,r(−s)=c(s). Khi
đó dễ thấy vết của c và r là trùng nhau, |r

(−s)| = |c

(s)|, nhưng r


(−s)=−c

(s).
Hai đường cong tham số này là ngược hướng nhau.
Chúng ta có định lý sau:
Định lý 1.1.1. Mọi đường tham số chính quy đều tồn tại đường tham số với tham
số là độ dài cung tương đương (cùng hướng) với nó.
Chứng minh. Giả sử c : I −→ R
n
là đường tham số với tham số không nhất
thiết là độ dài cung. Xét hàm
s = s(t)=

t
t
0
|c

(t)|dt, t, t
0
∈ I.
Do
ds
dt
= |c

(t)| > 0, hàm s = s(t) có hàm ngược khả vi t = t(s) ∈ s(I)=J. Để đơn
giản về mặt ký hiệu ta dùng t để chỉ hàm ngược của s tức là t = s
−

1. Đặt β = c◦t :
J −→ R
n
, thì dễ thấy β(J )=c(I) và |β

(s)| = |c

(t).
dt
ds
| = |c

(t).

ds
dt

−1
| =1.
Như vậy β là đường tham số với tham số là độ dài cung tương đương với c.
Ví dụ 12. Cho đường tham số
c(t)=(a cos t, a sin t, bt); t ∈ R,a>0,b=0.
Hãy tính độ dài của đường xác định trên đoạn [0, 1] (độ dài của đường từ điểm 0
đến 1) và xác định tham số hóa với tham số độ dài cung tương đương với c.
6
Hình học vi phân
Ta có
L(c|
[0,1]
)=


1
0
|c

(t)|dt =

1
0

a
2
+ b
2
dt =

a
2
+ b
2
.
Đặt
s(t)=

t
0
|c

(t)|dt =


a
2
+ b
2
t.
Suy ra
t(s)=
s
√
a
2
+ b
2
.
Như vậy ta có tham số hóa với tham số là độ dài cung
r(s)=

a cos
s
√
a
2
+ b
2
,asin
s
√
a
2
+ b

2
,b
s
√
a
2
+ b
2

.
1.2 Các tính chất địa phương của đường tham số trong R
3
Trong mục này chúng ta chỉ xét các đường tham số trong R
3
.
1.2.1 Độ cong.
Định nghĩa 6. Cho đường tham số với tham số là độ dài cung c : I −→ R
3
. Số
không âm |c

(s)| gọi là độ cong của c tại s và được ký hiệu là k(s). Khi đó ta có
hàm không âm k : I −→ R, gọi là hàm độ cong của đường tham số c.
Ý nghĩa hình học của độ cong. Gọi θ là góc giữa c

(s) và c

(s + s) (tính bằng
radian) thì
k(s) = lim

s→0




θ
s




.
Thật vậy, ta có
|2 sin
θ
2
| = |c

(s + s) − c

(s)| = |s(c

(s)+)|,
7
Hình học vi phân
c(s + )
c

(s)
θ

c

(s + )
c

(s)
Hình 1.3: Độ cong đo sự tách khỏi tiếp tuyến của đường tham số.
trong đó  → 0 khi s → 0. Từ đây,
lim
→0




θ
s




= lim
s→0





θ
2
sin

θ
2
.
2 sin
θ
2
s





= lim
s→0





θ
2
sin
θ
2





. lim

s→0
|c

(s)+| = |c

(s)| = k(s).
Do đó có thể nói độ cong k(s) đo sự thay đổi của góc giữa các tiếp tuyến tại s và
tiếp tuyến tại s+ s. Nó cho thấy độ “tách” khỏi tiếp tuyến tại s của đường cong.
Nhận xét.
1. Nếu đường tham số là đường thẳng c(s)=vs + p thì hàm độ cong bằng
không. Ngược lại, nếu đường tham số có k(s)=0, ∀s ∈ I thì dễ dàng chứng
minh được rằng đường có tham số hóa dạng c(s)=vs + p, nghĩa là đường là
đường thẳng (hoặc một phần của đường thẳng).
2. Nếu đảo ngược hướng của đường thì dễ thấy vector tiếp xúc đổi hướng còn
vector c

(s) không thay đổi. Từ đây suy ra vector c

(s) và hàm độ cong là
các bất biến (không thay đổi) không phụ thuộc vào hướng của đường.
8
Hình học vi phân
1.2.2 Trường mục tiêu Frénet.
Định nghĩa 7. Cho đường tham số c : I −→ R
3
. Nếu tại t ∈ I hệ gồm hai vector
{c

(t),c


(t)} độ c lập tuyến tính thì t (hay c(t)) được gọi là điểm song chính qui.
Đường tham số mà mọi điểm đều là điểm song chính qui được gọi là đường tham
số song chính qui.
Nhận xét. Dễ thấy rằng một đường tham số r tương đương với một đường tham
số song chính qui c thi r cũng là song chính qui.
Cho đường tham số song chính qui với tham số là độ dài cung c : I −→ R
3
. Do
|c

(s)| =1, nên suy ra c

(s).c

(s)=0. Nói cách khác c

(s) ⊥ c

(s). Chúng ta đặt
t(s):=c

(s),
n(s):=
1
k(s)
c

(s)
và
b(s):=t(s) ∧ n(s).

Chúng ta gọi t(s) là vector tiếp xúc đơn vị tại s; vector n(s) là vector pháp chính
tại s còn vector b(s) là vector trùng pháp tại s.
Như vậy, chúng ta có các hàm vector t, n, b : I −→ R
3
. Tại mỗi s ∈ I (chính xác là
tại mỗi c(s ) ∈ c(I)) chúng ta có một mục tiêu trực chuẩn {c(s); t(s), n(s), b(s)}.
Chúng ta gọi {t, n, b} là trường mục tiêu Frénet dọc đường cong c. Chúng ta còn
có các khái niệm sau:
1. Đường thẳng đi qua c(s) với vector chỉ phương n(s) gọi là pháp tuyến chính.
2. Đường thẳng đi qua c(s) với vector chỉ phương b(s) gọi là trùng pháp tuyến.
3. Mặt phẳng đi qua c(s) với cặp vector chỉ phương t(s), n(s) gọi là mặt phẳng
mật tiếp. Như vậy mặt phẳng mật tiếp tại c(s) nhận vector trùng pháp b(s)
làm vector pháp.
9
Hình học vi phân
c(s)
t(s)
Tiếp tuyến
n(s)
Pháp tuyến chính
b(s)
Trùng pháp tuyến
MẬT TIẾP
PHÁP
TRỰC ĐẠC
Hình 1.4: Mục tiêu Frénet.
4. Mặt phẳng đi qua c(s) với cặp vector chỉ phương t(s), b(s) gọi là mặt phẳng
trực đạc. Như vậy mặt phẳng trực đạc tại c(s) nhận vector pháp chính n(s)
làm vector pháp.
5. Mặt phẳng đi qua c(s) với cặp vector chỉ phương n(s), b(s) gọi là mặt phẳng

pháp. Như vậy mặt phẳng pháp tại c(s) nhận vector tiếp xúc t(s) làm vector
pháp.
6. Tại những điểm mà độ cong khác không, ta gọi R(s):=
1
k(s)
là bán kính cong
của đường tại s.
1.2.3 Độ xoắn. Công thức Frénet
Cho c : I −→ R
3
là đường cong song chính qui với trường mục tiêu Frénet {t, n, b}.
Do | b(s)| =1, ta suy ra b(s) ⊥ b

(s). Mặt khác
b

(s)=(t(s) ∧ n(s))

= t

(s) ∧ n(s)+t(s) ∧n

(s)=t(s) ∧ n

(s).
Từ đây ta suy ra b

(s) ⊥ t(s) và do đó b

(s)cùng phương với n(s). Như vậy có

hàm số τ : I −→ R sao cho với mọi s ∈ I
b

(s)=−τ (s).n(s).
10
Hình học vi phân
Ta gọi τ(s) là độ xoắn của đường tại s (hay tại c(s ))vàgọiτ là hàm độ xoắn của
c.
Độ cong và độ xoắn là các bất biến hình học giúp chúng ta biết được nhiều về
dáng điệu địa phương của đường trong các lân cận. Chúng ta thử tính đạo hàm
của n(s).
n

= b

∧ t + b ∧ t

= −τ.(n ∧ t)+k.(b ∧ n)=τb − kt.
Chúng ta sẽ gọi các công thức





t

(s)=kn
n

(s)=−kt + τ b

b

(s)=−τ n
(1.1)
là công thức Frénet.
Nói một cách hình tượng, một đường cong trong trong không gian R
3
là vật thể
nhận được bằng cách lấy một đoạn thẳng (hay cả đường thẳng) rồi uốn cong (ta
có độ cong) và xoắn nó (ta có độ xoắn).
Ý nghĩa hình học của độ xoắn. Nếu gọi θ là góc giữa b(s) và b(s + s) (tính
bằng radian) thì đây cũng là góc giữa mặt phẳng mật tiếp tại s và mặt phẳng mật
tiếp tại s + s. Khi đó
|τ (s)| = lim
s→0




θ
s




.
Phép chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng minh cho trường hợp độ cong.
Do đó có thể nói độ xoắn τ(s) đo sự thay đổi của góc giữa các trùng pháp tuyến
(hay mặt phẳng mật tiếp) tại s và trùng pháp tuyến (hay mặt phẳng mật tiếp)
tại s + s. Nó cho thấy độ “tách” khỏi mặt phẳng mật tiếp tại s của đường cong.

Bổ đề 1.2.1. Cho đường tham số chính qui với tham số độ dài cung c : I −→ R
3
,
với k(s) > 0, ∀s ∈ I. Khi đó hàm độ xoắn τ =0khi và chỉ khi c là một đường
cong phẳng, nghĩa là vết của nó nằm trên một mặt phẳng.
Chứng minh. Giả sử τ =0. Theo công thức Frénet b

=0. Ta suy ra b = a
(const.) với |a| =1. Do b.t =0, tức là a.c

=0, ta suy ra a.c = λ (const.). Chọn
11
Hình học vi phân
s
0
∈ I cố định, ta có
a(c(s) −c(s
0
))=0, ∀s ∈ I.
Do đó, vết của c nằm trên mặt phẳng đi qua p = c(s
0
) với pháp vector là a.
Ngược lại, giả sử vết của c nằm trên mặt phẳng đi qua điểm p với pháp vector a
nào đó. Ta có
a(c(s) − p)=0, ∀s ∈ I. (1.2)
Đạo hàm 1.2 ta nhận được
c

(s).a = c


(s).a =0, ∀s ∈ I. (1.3)
Từ đây ta suy ra a(s) cùng phương với b(s) với mọi s ∈ I. Do |b| =1, nên ta suy
ra b = const Do đó b

=0và τ =0.
Bổ đề 1.2.2. Cho c : I −→ R
3
là đường tham số chính qui phẳng (τ =0) với
tham số độ dài cung. Khi đó nếu k = const. > 0 thì vết của c là một đường tròn
(hoặc là một phần của đường tròn).
Chứng minh. Xét hàm vector γ : I −→ R
3
, xác định bởi:
γ(s)=c(s)+
1
k
n(s).
Ta có
γ

= c

+
1
k
n

= t +
1
k

(−kt + τ b)
=0.
Do đó γ = cons., hay c(s)+
1
k
n(s)=p (const.), ∀s ∈ I.
Nếu gọi Π là mặt phẳng chứa c(I), thì Π nhận b=const. làm pháp vector. Do
c(s) − p = −
1
k
n(s), ta suy ra p ∈ Π và |c(s) − p| =
1
k
, ∀s ∈ I, tức là c(s) thuộc
đường tròn tâm p bán kính

1
k
trong mặt phẳng Π.
12
Hình học vi phân
Mệnh đề 1.2.3 ( Áp dụng của công thức Frénet.). Cho c : I −→ R
3
là đường
tham số chính qui với tham số độ dài cung. Nếu C nằm trên mặt cầu tâm O bán
kính r>0 thì
k ≥
1
r
.

Thật vậy, do c(s) nằm trên mặt cầu với mọi s ∈ I nên
c.c = r
2
.
Đạo hàm hai vế, ta có 2c.c

=0hay c.t =0Đạo hàm hai vế một lần nữa, ta được
c

.t + c.t

=0
⇔t.t + k.c.n =0
Suy ra k|c.n| =1. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có |c.n|≤|c|.|n| = r.
Do đó, k =
1
|c.n|
≥
1
r
.
1.2.4 Công thức tính độ cong và độ xoắn
Cho c : I −→ R
3
là đường tham số song chính qui với tham số bất kỳ t và
c : J −→ R
3
đường tham số với tham số độ dài cung tương đương với c.Tacó
c(t)=
c(s(t)), ∀t ∈ I.

Để các khái niệm trường mục tiêu Frénet, độ cong độ xoắn mang ý nghĩa trực
quan về mặt hình học, chúng ta sẽ định nghĩa độ cong k(t), độ xoắn τ(t), trường
mục tiêu Frénet {t(t), n(t), b(t)} của c tại t chính là các độ cong
k(s(t)), độ xoắn
τ (s(t)), trường mục tiêu Frénet {t(s(t)), n(s(t)), b(s(t))}của c tại s(t). Như vậy,
chúng ta có các định nghĩa:
k(t):=
k(s(t)),
τ (t):=
τ (s(t)),
t(t):=
t(s(t)),
n(t):=
n(s(t)),
b(t)} :=
b(s(t)).
13
Hình học vi phân
Bổ đề 1.2.4. Với các ký hiệu như trên, chúng ta có
t

= k|c

|n
n

= −k|c

|t + τ |c


|b
b

= −τ|c

|n
.
Chứng minh. Ta có
t

= t

s

=(kn)s

= k|c

|n.
Chứng minh cho các trường hợp còn lại hoàn toàn tương tự. ✷
Bổ đề 1.2.5. Ta có các công thức sau đối với đường tham số bất kỳ
t =
c

|c

|
; n = b ∧ t; b =
c


∧ c

|c

∧ c

|
;
k =
|c

∧ c

|
|c

|
3
; τ =
(c

∧ c

).c

|c

∧ c

|

2
=
det(c

,c

,c

)
|c

∧ c

|
2
.
Chứng minh. Do c =
c(s) nên c

= c

(s)s

= t(s)s

= ts

. Chú ý rằng s

= |c


|, ta
có
t =
c

|c

|
.
Ta tính c

.
c

=(s

t)

= s

t + s

t

= s

t + s

(ks


n)
= s

t + k(s

)
2
n
.
Từ đây ta tính được
c

∧ c

=(s

t) ∧ (s

t + k(s

)
2
n)=k(s

)
3
b.
Do k ≥ 0; s


> 0, nên |c

∧ c

| = k(s

)
3
. Từ đây suy ra
b =
c

∧ c

|c

∧ c

|
,
14
Hình học vi phân
và
k =
|c

∧ c

|
|c


|
3
.
Do b = t ∧ n nên n = b ∧ t.
Để tính công thức độ xoắn, ta chỉ cần tính thành phần của c

có chứa b.Tacó
c

=(s

t + k(s

)
2
n)

= k(s

)
2
n

+ {thành phần không chứa b}
= k(s

)
2
(−ks


t + τs

b)+{thành phần không chứa b}
= kτ(s

)
3
b + {thành phần không chứa b}
Do đó
(c

∧ c

).c

=(k (s

)
3
b)(kτ(s

)
3
b
= k
2
(s

)

6
τ = |c

∧ c

|
2
τ.
Ta có điều cần phải chứng minh. ✷
1.2.5 Định lý cơ bản cho đường tham số trong R
3
Định lý 1.2.6. Với các hàm khả vi k(s) > 0 và τ(s),s∈ I, cho trước, tồn tại một
đường tham số song chính qui c : I −→ R
3
sao cho s là độ dài cung, k là hàm độ
cong và τ là hàm độ xoắn của c. Hơn nữa hai đường tham số song chính qui như
thế sai khác với nhau một phép dời thuận.
Chứng minh. Chứng minh sự tồn tại liên quan đến định lý tồn tại và duy nhất
nghiệm của phương trình vi phân thường. Chúng ta chấp nhận sự tồn tại và chỉ
trình bày chứng minh tính duy nhất sai khác phép dời thuận.
Chú ý rằng độ dài cung, độ cong và độ xoắn là các bất biến đối với phép dời thuận.
Ví dụ, giả sử ϕ : R
3
−→ R
3
là một phép dời thuận, khi đó ta có

b
a





d(ϕ ◦c)
dt




dt =

b
a




ϕ

dc
dt





dt =

b
a





dc
dt




dt.
Như vậy, độ dài cung bất biến đối với phép dời thuận. Các khái niệm độ cong và
độ xoắn được tính thông qua tích vô hướng, tích vector của các đạo hàm. . . đều
không thay đổi qua phép dời thuận nên cũng là các bất biến (xem bài tập ??).
15
Hình học vi phân
Giả sử α, β : I −→ R
3
là hai đường tham số chính qui với tham số độ dài cung
nhận k và τ làm hàm độ cong và độ xoắn. Lấy s
0
∈ I, xét hai mục tiêu trực chuẩn
{α(s
0
); t, n, b} và {β(s
0
); t
β
, n
β

, b
β
}, với {t, n, b} là mục tiêu Frénet tại α(s
0
) và
{t
β
, n
β
, b
β
}, là mục tiêu Frénet tại β(s
0
).
Gọi A : R
3
−→ R
3
là phép dời thuận biến mục tiêu trực chuẩn {β(s
0
); t
β
, n
β
, b
β
}
thành {α(s
0
); t, n, b} và đặt α := A ◦ β, t := A ◦ t

β
, n := A ◦ n
β
, b := A ◦ b
β
.
Rõ ràng ta có
α(s
0
)=α(s
0
); t(s
0
)=t(s
0
); n(s
0
)=n(s
0
); b(s
0
)=b(s
0
). (1.4)
Ta có công thức Frénet
t

= kn t

= kn

n

= −kt + τb n

= −kt + τb
b

= τn b

= τn
Xét ánh xạ F := (t − t)
2
+(n − n)
2
+(b − b)
2
. Ta có
dF
ds
= 2[(t −
t)(t

− t

)+(n − n)(n

− n

)+(b − b)(b


− b

)]
=2[k(t − t)(n − n) − k(n − n)(t −t)+τ (n − n)(b −b) − τ(b − b)(n − n)]
=0.
Suy ra F là hàm hằng. Từ 1.4 ta suy ra F =0. Điều này có nghĩa là với mọi s ∈ I
t(s)=
t(s); n(s )=n(s); b(s)=b(s).
Lại do α

= t = t = α

, nên
d
ds
(α −
α)=0.
Tức là α −
α = a là hàm hằng. Vì α(s
0
)=α(s
0
), ta suy ra a =0, tức là
α =
α = A ◦ β.
✷
16
Hình học vi phân
1.3 Đường tham số trong R
2

(Đường tham số phẳng)
Nếu chọn hệ tọa thích hợp thì mọi đường tham số phẳng đều có thể xem như là
đường tham số trong R
2
. Chính vì thế trong mục này chúng ta chỉ xét các đường
tham số dạng c : I −→ R
2
. Giả sử c : I −→ R
2
là đường tham số chính qui với
tham số độ dài cung trong R
2
với định hướng chính tắc. Ta đặt
t(s)=c

(s),
và chọn n(s) sao cho {t(s), n(s)} là một hệ trực chuẩn với định thức dương. Ta
gọi {t, n} là trường mục tiêu Frénet của c. Khi đó ta có
n(s)=k(s)c

(s), ∀s ∈ I.
Ta gọi k(s) là độ cong đại số của c tại s ( hay của C = c(I) tại c(s)).
Nhận xét.
1. Cho đường tham số c : I −→ R
2
với tham số bất kỳ, ta luôn có đường tham
số với tham số độ dài cung
c : J −→ R
2
tương đương với c. Chúng ta cũng

sẽ định nghĩa trường mục tiêu Frénet, độ cong đại số của c như đã làm đối
với đường tham số trong R
3
.
2. Độ cong đại số của đường tham số trong R
2
có thể âm. Điều đó phụ thuộc
vào hệ vector {c

(s),c

(s)} là thuận hay nghịch (so với hướng chính tắc trong
R
2
). Đường tham số phẳng có thể xét như là một đường tham số trong R
3
,
khi đó độ cong và độ cong đại số của nó bằng nhau về giá trị tuyệt đối.
3. Chúng ta có thể xây dựng công thức xác định trường mục tiêu Frénet và độ
cong đại số của đường tham số phẳng với tham số bất kỳ như sau. Giả sử
c : I −→ R
2
là đường tham số phẳng với tham số bất kỳ và c : J −→ R
2
là
đường tham số với tham số độ dài cung tương đương c .Tacó
c =
c(s);
c


= s

c

= s

t;
c

=(s

)
2
t

+ s

t = k(s

)
2
n + s

t.
17
Hình học vi phân
Từ đây suy ra,
t =
c


|c

|
; k =
c

n
|c

|
2
.
Giả sử c(t)=(x(t),y(t)). Khi đó
c

=(x

,y

); c

=(x

,y

);
t =
1

(x


)
2
+(y

)
2
(x

,y

); n =
1

(x

)
2
+(y

)
2
(−y

,x

).
Do đó
k =
x


y

− x

y

[(x

)
2
+(y

)
2
]
3
2
.
4. Nếu đường tham số là đường tròn c(s)=(r cos(s),rsin(s)),r>0, thì hàm
độ cong là hàm hằng. Ngượ c lại, nếu đường tham số phẳng có k(s)=a, ∀s ∈ I
và với a ≥ 0 là hằng số thì dễ dàng chứng minh được rằng đường là đường
tròn (hoặc một phần của đường tròn).
Ví dụ 13. Xác định trường mục tiêu Frénet và độ cong đại số của đường tham số
c(t)=(t, sin t).
Ta có
c

(t)=(1, cos t)
c


(t)=(0, −sin t)
.
Nên
t(t)=
1
√
1 + cos
2
t
(1, cos t);
n(t)=
1
√
1 + cos
2
t
(−cos t, 1).
Do đó
k(t)=
c

(t).n(t)
|c

(t)|
2
=
−sin(t)
(1 + cos

2
t)
3
2
.
Chúng ta nhận thấy





k(t) > 0 t ∈ (−π +2kπ, 2kπ)
k(t)=0 t = kπ
k(t) < 0 t ∈ (2kπ, π +2kπ)
.
18
Hình học vi phân
Hình vẽ
1.3.1 Định lý cơ bản cho đường tham số phẳng
Định lý 1.3.1. Với hàm khả vi k : I −→ R
2
có đường tham số c : I −→ R
2
với
tham số độ dài cung nhận k làm hàm độ cong đại số. Hai đường tham số như thế
sai khác nhau một phép dời thuận.
Phép chứng minh hoàn toàn tương tự như ở trường hợp đường tham số trong
không gian R
3
. Những đường tham số như vậy có thể tìm được dễ hơn nhiều so

với trường hợp đường tham số trong R
3
.
Thật vậy, giả sử c(s)=(x(s),y(s)) là đường tham số cần tìm. Do (x

(s))
2
+
(y

(s))
2
=1nên
x

(s) = cos ϕ(s); y

(s) = sin ϕ(s).
Ta có,
t

(s)=ϕ

(s)(−sin ϕ(s), cos ϕ(s));
n(s)=(−sin ϕ(s), cos ϕ(s)).
Do t

(s)=k(s)n(s), ta suy ra
ϕ


(s)=k(s).
Vậy,
ϕ(s)=

k(s)ds;
x(s)=

cos ϕ(s)ds;
y(s)=

sin ϕ(s)ds.
Ví dụ 14. Cho k(s)=a = cons Ta có,
ϕ(s)=

ads = as + b.
19
Hình học vi phân
Do đó,
x(s)=

cos(as + b)=
1
a
sin(as + b);
y(s)=

sin(as + b)=−
1
a
cos(as + b).

Như vậy, vết của đường tham số là đường tròn tâm O, bán kính
1
|a|
.
1.3.2 Đường tròn mật tiếp
Cho đường tham số c : I −→ R
2
với tham số độ dài cung. Đường tròn mật tiếp
tại s
0
∈ I, với k(s
0
) =0, của c là đường tròn tâm c(s
0
)+
1
k(s
0
)
n(s
0
), bán kính
1
|k(s
0
)|
. Tâm của tròn mật tiếp tại s
0
của c còn gọi là tâm cong hay khúc tâm tại
s

0
của c.
Nhận xét.
1. Khi thay đổi hướng của đường tham số thì c

đổi hướng, c

không đổi hướng,
n đổi hướng và k đổi dấu. Từ đây suy ra tâm của đường tròn mật tiếp và do
đó đường tròn mật tiếp không phụ thuộc vào hướng của đường tham số.
2. Giả sử c : I −→ R
2
là đường tham số với tham số bất kỳ. Gọi (X(t),Y(t)) là
tọa độ của tâm đường tròn mật tiếp tại t. Ta có
(X, Y )=(x, y)+
[(x

)
2
+(y

)
2
]
x

y

− x


y

(−y

,x

).
Do đó,
X = x −
[(x

)
2
+(y

)
2
]
x

y

− x

y

y

,
Y = y +

[(x

)
2
+(y

)
2
]
x

y

− x

y

x

.
20
Hình học vi phân
1.3.3 Đường túc bế và đường thân khai
Định nghĩa 8. Cho hai đường tham số chính qui α, β : I −→ R
2
. Ta nói α là
đường túc bế của β và β là đường thân khai của α nếu với mọi t ∈ I, tiếp tuyến của
α tại t là pháp tuyến của β tại t (đường thẳng đi qua β(t) với vector chỉ phương
là n).
Tìm đường túc bế. Giả sử β là tham số hóa với tham số độ dài cung. Gọi k là

hàm độ cong và {t, n} là trường mục tiêu Frênet của β. Khi đó α có một tham số
hóa dạng
α(s)=β(s)+a(s)n(s).
Ta tính α

α

(s)=t(s)+a(s)n

(s)+a

(s)n(s)
=[1−k(s)a(s)]t(s)+a

(s)n(s).
Do 0 = α

(s) cùng phương với n(s), với mọi s ∈ I nên ta phải có

a

(s) =0 ∀s ∈ I
1 − k(s)a(s)=0
.
Như vậy nếu k(s) =0,k

(s) = 0); ∀s ∈ I thì
α(s)=β(s)+
1
k(s)

n(s). (1.5)
Từ 1.5 ta suy ra rằng, vết của α là quỹ đạo các tâm đường tròn mật tiếp của β.
Nhận xét. Xét độ dài đường túc bế trên đoạn [a, b] ⊂ I.

b
a
|α

(s)|ds =

b
a
|a

(s)|ds =

b
a





1
k(s)







ds =




1
k(b)
−
1
k(a)




.
Như vậy, độ dài của đường túc bế trên đoạn [a, b] chính là giá trị tuyệt đối của
hiệu hai bán kính cong tại a và b của đường thân khai.
Ví dụ 15. Xét ellipse với tham số hóa
β(t)=(a cos t, b sin t).
21
Hình học vi phân
Ta có quỹ tích tâm của đường tròn mật tiếp là đường tham số
X(t)=
a
2
− b
2
a
cos

3
t,
Y (t)=
a
2
− b
2
a
sin
3
t.
hình vẽ
Tìm đường thân khai. Giả sử α : I −→ R
2
là đường tham số chính qui với
tham số độ dài cung và với trường mục tiêu Frénet {t, n}. Khi đó đường thân khai
β của α có một tham số hóa dạng
β(s)=α(s)+b(s)α

(s).
Tính đạo hàm của β
β

(s)=α

(s)+b

(s)t(s)+b(s)t

(s)

=[1+b

(s)]t + b (s)k(s)n(s).
Theo định nghĩa của đường thân khai ta có β

(s) cùng phương với n(s) với mọi
s ∈ I. Do đó ta có các điều kiện

1+b

(s)=0. ∀s ∈ I
b(s)α

(s) =0
.
Do đó nếu α

(s) =0, ∀s ∈ I, thì có vô số đường thân khai (chọn C ∈ [a, b])có
dạng
β(s)=α(s)+(C − s)α

(s).
22