bài tập xác xuất thống kê có lời giải 2

Xác định biến ngẫu nhiên.
Bài 1. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng
a)
[
]
[ ]
Ax khi x 0,1
f (x)
0 khi x 0,1

∈

=

∉



b)
[
]
[ ]
A sin x khi x 0,
f (x)
0 khi x 0,

∈ π

=

∉ π




c)
[
]
[ ]
1
2
1
2
A cos x khi x 0,
f (x)
0 khi x 0,

π ∈

=

∉



d)
4
1
A khi x 1
f (x)
x
0 khi x 1


≥

=


<


Hãy xác định A. Tìm hàm phân phối xác suất của X. Tính
µ
X
,
σ
2
X
, nếu có.
Bài 2. Tuổi thọ của một loại bóng đèn nào đó là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vị năm) với
hàm mật độ như sau

2
kx (4 x) khi 0 x 4
f (x)
0 khi x [0, 4]

− ≤ ≤
=

∉


a) Tìm k và vẽ đồ thị f(x).
b) Tìm xác suất để bóng đèn cháy trước khi nó được 1 năm tuổi.
Bài 3. Trọng lượng của một con vịt 6 tháng tuổi là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vị tính là
Kg) có hàm mật độ
2
k (x 1) khi 1 x 3
f (x)
0 khi x [1, 3]

− ≤ ≤
=

∉


a) Tìm k.
b) Với k tìm được, tìm
(i) trọng lượng trung bình của vịt 6 tháng tuổi,
(ii) hàm phân phối xác suất của X,
(iii) tỷ lệ vịt chậm lớn, biết vịt 6 tháng tuổi chậm lớn là vịt có trọng lượng
nhỏ hơn 2Kg.
Bài 4. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng

2 2
2 2
a cos x khi x ,
f (x)
0 khi x ,
π π

π π

∈ −
 

 
=

∉ −
 

 


a) Tìm a và xác định hàm phân phối xác suất F(x) của X.
b) Tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng
,
4
π
 
π
 
 
.
Bài 5. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối

π

< −



π π

= + − ≤ ≤


π

>


0 k hi x ,
2
F(x) a b sin x khi x ,
2 2
1 khi x
2

với a, b là hằng số.
a) Tìm a và b.
b) Với a và b tìm được ở câu a), tính hàm mật độ f(x) của X;
[
]
M od x
;
[
]
M e x
;
P X

4
π
 
>
 
 
.
Vectơ ngẫu nhiên.
Bài 6. Số trẻ em sinh ra trong một tuần ở một làng A nào đó là một đại lượng ngẫu
nhiên có phân bố xác suất là
X 0 1 2 3
P 0,4 0,3 0,2 0,1
Số người chết trong một tuần ở làng A là một đại lượng ngẫu nhiên Y có phân
bố xác suất là
Y 0 1 2 3 4
P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05
Giả sử rằng X và Y độc lập.
a) Tìm phân phối xác suất đồng thời của X và Y.
b) Tính P(X > Y).
Bài 7. Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X, Y như sau :

Y

X
4 5
1 0,1 0,06
2 0,3 0,18
3 0,2 0,16
a) Lập bảng phân phối xác suất thành phần của X và Y.
b) Lập bảng phân phối xác suất có điều kiện của X và Y.

c) Tính covariance và hệ số tương quan của X và Y.

Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.
Bài 8. Các đại lượng ngẫu nhiên X và Y có bảng phân phối xác suất đồng thời như
sau

Y

X
1 2 3
1 0,12 0,15 0,03
2 0,28 0,35 0,07

a) Chứng minh rằng X và Y độc lập.
b) Lập bảng phân phối xác suất của Z = XY. Từ đó tính E(Z) và kiểm tra rằng
E(Z) E(X)E(Y)
=
.
Bài 9. Cho X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời như sau
Y

X
-1 1
-1
1
6

1
4

0
1
6

1
8

1
1
6

1
8


Hãy tính E(X), E(Y), cov(X,Y) và
(X, Y)
ρ
.
Bài 10. Cho X,Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời như sau
Y

X
-1 0 1
-1
4
15

1
15

4
15

0
1
15

2
15

1
15

1 0
2
15

0

a) Tìm
µ
X
,
µ
Y
, cov(X,Y) và
(X, Y)
ρ
.

b) X và Y có độc lập không ?
Bài 11. Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 bi. Trong hộp một có : 1 bi mang số 1, 2 bi mang
số 2, 3 bi mang số 3. Trong hộp hai có : 2 bi mang số 1, 3 bi mang số 2, 1 bi mang số
3. Rút từ mỗi hộp 1 bi. Gọi X là số ghi trên bi rút ra từ hộp một, Y là số ghi trên bi rút
ra từ hộp hai.
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thời của
(
)
V X, Y
=
.
b) Bảng phân phối xác suất lề của X , Y.
c) Kỳ vọng, phương sai của X , Y.
d) Hiệp phương sai, hệ số tương quan.
Bài 12. Tung ba lần độc lập một con xúc xắc. Gọi X là số lần mặt chẵn xuất hiện và Y
là số lần mặt lẻ xuất hiện.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X và Y.
b) Tính hệ số tương quan
(X, Y)
ρ
. Nhận xét?
Đáp án
Bài 1.
a)
=
A 2
,
µ =
X
2

3
,
σ =
2
X
0.055
,
( )

≤ ≤

= <


>

2
x khi 0 x 1
F x 0 khi x 0
1 khi x 1
.
b)
=
A 0.5
,
π
µ =
X
2
,

π
σ = −
2
2
X
2
4
,
( )
( )

− ≤ ≤ π


= <


> π


1
1 cos x khi 0 x
2
F x 0 khi x 0
1 k hi x
.
c)
= π
A
,

µ = −
π
X
1 1
2
,
π −
σ =
π
2
X
2
3
,
( )
( )

π ≤ ≤


= <



>

1
sin x khi 0 x
2
F x 0 khi x 0

1
1 khi x
2
.
d)
=
A 3
,
µ =
X
3
2
,
σ =
2
X
3
4
,
( )

− ≥

=


<

3
1

1 khi x 1
F x
x
0 khi x 1
.
Bài 2.
a)
=
3
k
64
,
1
2
3
4
0.1
0.2
0.3
0.4
.
b)
0.0508
.

Bài 3.
a)
=
3
k

20
.
b) (i)
µ =
X
2.4
kg.
(ii)
( )

− +
≤ ≤



= <


>



3
x 3x 2
khi 1 x 3
20
F x 0 khi x 1
1 khi x 3
.
(iii)

0.2
.

Bài 4.
a)
=
1
a
2
,
( )
+ π π

− ≤ ≤


π

= < −


π

>


si n x 1
khi x
2 2 2
F x 0 khi x

2
1 khi x
2
.
b)
0.1465
.

Bài 5.
a)
=
1
a
2
,
=
1
b
2
.
b)
[
]
=
Mod x 0
,
[
]
=
Me x 0

,
π
 
> =
 
 
P X 0.1465
4
,
( )

π π
 
∈ −

 
  
=

π π
 

∉ −
 

 

1
cos x khi x ,
2 2 2

f x
0 khi x ,
2 2
.
Vectơ ngẫu nhiên.
Bài 6.
a)
Y

X
0 1 2 3 4
0 0.04 0.12 0.16 0.06 0.02
1 0.03 0.09 0.12 0.045

0.015

2 0.02 0.06 0.08 0.03 0.01
3 0.01 0.03 0.04 0.015

0.005

b)
0.19
.

Bài 7.
a)
X 1 2 3
P
X

0.16 0.48 0.36

Y 4 5
P
Y
0.6 0.4
b)
Y

X
4 5
1 0.17 0.15
2 0.5 0.45
3 0.33 0.4

X

Y
1 2 3
4 0.625

0.625

0.56
5 0.375

0.375

0.44
c)

=
cov(X, Y) 0.02
,
ρ =
(X, Y) 0.059
.

Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.
Bài 8.
b)
Z 1 2 3 4 6
P 0.12 0.43 0.03 0.35 0.07
(
)
=
E Z 2.89
,
(
)
=
E X 1.7
,
(
)
=
E Y 1.7
.

Bài 9.
µ = −

X
1
8
,
µ =
Y
0
,
= −
cov(X, Y) 0.125
,
ρ = −
(X, Y) 0.1502
.

Bài 10.
a)
µ = −
X
0.467
,
µ =
Y
0
,
=
cov(X, Y) 0
,
ρ =
(X, Y) 0

.
b) X và Y độc lập.

Bài 11.
a)
Y

X
1 2 3
1
2
36

3
36

1
36

2
4
36

6
36

2
36

3

6
36

9
36

3
36

b)
X 1 2 3
P
X
1
36

2
36

3
36


Y 1 2 3
P
Y
2
36

3

36

1
36

c)
µ =
X
2.33
,
µ =
Y
1.83
,
σ =
2
X
0.555
,
σ =
2
Y
0.472
.
d)
=
cov(X, Y) 0.0139
,
ρ =
(X, Y) 0.027

.

Bài 12.
a)
X 0 1 2 3
P
X
0.125 0.375 0.375 0.125

Y 0 1 2 3
P
Y
0.125 0.375 0.375 0.125
b)
ρ = −
(X, Y) 1
, X và Y phụ thuộc chặt, nghịch biến.