Đề thi Trại hè Hùng Vương 2012 môn Toán. pptx

Đề thi Trại hè Hùng
Vương 2012 môn Toán

Trại hè Hùng Vương lần thứ VIII diễn ra tại trường THPT chuyên Cao Bằng
từ ngày 1 đến 4 tháng 8 năm 2012.
Đề thi Trại hè Hùng Vương 2012 môn Toán
Môn Toán Lớp 11
Câu 1: a) Giải phương trình: .
b) Giải bất phương trình: .
Câu 2: Cho dãy số .
Tính giới hạn .
Câu 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A; điểm M di động trên BC (M
khác B và C). Hình chiếu của M trên AB và AC theo thứ tự là H và K. Gọi I
là giao điểm của BK và CH. Chứng minh rằng MI luôn đi qua một điểm cố
định.
Câu 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:

Câu 5: Tìm số cách chọn ra 11 số nguyên phân biệt từ 2012 số nguyên
dương đầu tiên sao cho trong sự lựa chọn đó không có chứa hai số nguyên
liên tiếp.
Mã LaTeX của đề thi trên.
Câu 1:
a) Giải phương trình: $\sqrt[3]{{6\cos x + 2}} = 2\cos 3x + 2\cos x - 2$.
b) Giải bất phương trình: $\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \le 2 -
\frac{{{x^2}}}{4}$.
Câu 2: Cho dãy số $({u_n}):{u_1} = 1;{u_{n + 1}} = {u_n} +
\frac{{u_n^2}}{{2012}}$.
Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{i = 1}^n

{\frac{{{u_i}}}{{{u_{i + 1}}}}} $.
Câu 3: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$; điểm $M$ di động trên
$BC$ ($M$ khác $B$ và $C$). Hình chiếu của $M$ trên $AB$ và $AC$
theo thứ tự là $H$ và $K$. Gọi $I$ là giao điểm của $BK$ và $CH$. Chứng
minh rằng $MI$ luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:
\[x_1^4 + x_2^4 + + x_{12}^4 = 2013\]
Câu 5: Tìm số cách chọn ra $11$ số nguyên phân biệt từ $2012$ số nguyên
dương đầu tiên sao cho trong sự lựa chọn đó không có chứa hai số nguyên
liên tiếp.

Môn Toán Lớp 10:
Câu 1 (5 điểm ):
Giải phương trình $(3x + 1)\sqrt {2{x^2} - 1} = 5{x^2} + \frac{{3x}}{2} -
3$
Câu 2 (5 điểm ):
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \left( {1 - \frac{{12}}{{y +
3x}}} \right)\sqrt x = 2\\ \left( {1 + \frac{{12}}{{y + 3x}}} \right)\sqrt y =
6 \end{array} \right.$
Câu 3 (3 điểm):
Cho các số thực dương a, b,c thỏa mãn: $9\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}}
\right) - 25\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 48 = 0$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P = \frac{{{a^2}}}{{b + 2c}} +
\frac{{{b^2}}}{{c + 2a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + 2b}}$$
Câu 4 (5 điểm):
Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn, phân giác trong $AD$. Đường tròn
đường kính $AD$ cắt đường thẳng $BC$ tại $H$, cắt đường thẳng $AB$ tại
$M$ và cắt đường thẳng $AC$ tại $N$. Chứng minh rằng các đường thẳng
$CM, BN, AH$ đồng quy.
Câu 5 (2 điểm):

Chứng minh rằng trong dãy $9; 99; 999; 9999;…$ có vô số số hạng chia hết
cho $17$.