Các dạng toán thi Đại học phần Hình giải tích không gian

NGUYỄN HỒNG ĐIỆP
Hình học tọa độ trong không gian
A
B
C
a
uv
F
16 tháng 05, 2014
3
rd
−L
A
T
E
X−2014
02
HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Copyright c 2014 by Nguyễn Hồng Điệp
Phần I
Hình học
3

Chương 1
Phương pháp tọa độ trong không gian
A. Vectơtrongkhônggian
Trong không gian cho các vectơ
−→
u
1
=


x
1
, y
1
, z
1

,
−→
u
2
=

x
2
, y
2
, z
2

và số k tùy ý
•
−→
u
1
=
−→
u
2

⇔



x
1
= x
2
y
1
= y
2
z
1
= z
2
•
−→
u
1
±
−→
u
2
=

x
1
± x
2

, y
1
± y
2
, z
1
± z
2

• k
−→
u
1
=

k x
1
, k y
1
, kz
1

• Tích có hướng:
−→
u
1
.
−→
u
2

= x
1
.x
2
+ y
1
.y
2
+ z
1
.z
2
Hai vectơ vuông góc nhau ⇔
−→
u
1
.
−→
u
2
= 0 ⇔ x
1
.x
2
+ y
1
.y
2
+ z
1

.z
2
= 0
•


−→
u
1


=

x
2
1
+ y
2
1
+ z
2
1
• Gọi ϕ là góc hợp bởi hai vectơ

0
◦
 ϕ  180
◦

cos ϕ = cos


−→
u
1
,
−→
u
2

=
−→
u
1
.
−→
u
2


−→
u
1


.


−→
u
2



=
x
1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2

x
2
1
+ y
2
1
+ z
2
1
.

x
2
2

+ y
2
2
+ z
2
2
•
−→
AB =

x
B
− x
A
, y
B
− y
A
, z
B
− z
A

AB =

(
x
B
− x
A

)
2
+

y
B
− y
A

2
+
(
z
B
− z
A
)
2
• Tọa độ các điểm đặc biệt:
 Tọa độ trung điểm I của AB : I

x
A
+ x
B
2
,
y
A
+ y

B
2
,
z
A
+ z
B
2

 Tọa độ trọng tâm G của tam giác AB C : G

x
A
+ x
B
+ x
C
3
,
y
A
+ y
B
+ y
C
3
,
z
A
+ z

B
+ z
C
3

 Tọa độ trọng tâm G của tứ diện AB C D :
G

x
A
+ x
B
+ x
C
+ x
D
4
,
y
A
+ y
B
+ y
C
+ y
D
4
,
z
A

+ z
B
+ z
C
+ z
D
4

• Tích có hướng của hai vectơ là 1 vectơ vuông góc cả hai vectơ xác định bởi
−→
u =

−→
u
1
,
−→
u
2

=





y
1
z
1

y
2
z
2




,




z
1
x
1
z
2
x
2




,





x
1
z
1
x
2
z
2





• Một số tính chất của tích có hướng

−→
a và
−→
b cùng phương ⇔

−→
a ,
−→
b

=
−→
0
A, B,C thẳng hàng ⇔


−→
AB ,
−→
AC

=
−→
0
 Ba vectơ
−→
a ,
−→
b ,
−→
c đồng phẳng ⇔

−→
a ,
−→
b

.
−→
c = 0
Bốn điểm A,B, C ,D không đồng phẳng ⇔

−→
AB ,
−→
AC


.
−→
AD =
−→
0
5
6 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN





−→
a ,
−→
b




=


−→
a


.




−→
b



. sin

−→
a ,
−→
b

• Các ứng dụng của tích có hướng
 Diện tích hình bình hành: S
AB C D
=




−→
AB ,
−→
AD





 Diện tích tam giác: S
AB C
=
1
2




−→
AB ,
−→
AC




 Thể tích khối hộp: V
AB C D .A

B

C

D

=





−→
AB ,
−→
AD

.
−→
AA




 Thể tích tứ diện: V
AB C D
=
1
6




−→
AB ,
−→
AC

.
−→
AD




B. Phương trình mặt phẳng
• Phương trình tổng quát
(
α
)
: a x + b y + c z + d = 0 với (a
2
+ b
2
+ c
2
= 0).
• Phương trình mặt phẳng
(
α
)
qua M

x
0
, y
0
, z
0

và có vectơ pháp tuyến
−→

n = (a, b, c )
(
α
)
: a
(
x − x
0
)
+ b

y − y
0

+ c
(
z − z
0
)
= 0
• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
(
α
)
qua A(a ,0, 0); B (0, b, 0); C (0, 0, c )
(
α
)
:
x − x

0
a
+
y − y
0
b
+
z − z
0
c
= 1, với a , b , c = 0
• Nếu
−→
n = (a , b, c ) là vectơ pháp tuyến của
(
α
)
thì k
−→
n ,k = 0 cũng là vectơ pháp tuyến của
(
α
)
.
Do đó một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến. Trong một số trường hợp ta có thể tìm vectơ
pháp tuyến bằng cách chọn một giá trị cụ thể cho a (hoặc b hoặc c ) và tính hai giá trị còn lại
đảm bảo đúng tỉ lệ a : b : c .
C. Vị trí tương đối hai mặt phẳng
Cho
(

α
)
: a
1
x + b
1
y + c
1
z + d
1
= 0 và

β

: a
2
x + b
2
y + c
2
z + d
2
= 0
•
(
α
)
cắt

β


⇔ a
1
: b
1
: c
1
= a
2
: b
2
: c
2
•
(
α
)
song song

β

⇔
a
1
a
2
=
b
1
b

2
=
c
1
c
2
=
d
1
d
2
•
(
α
)
trùng

β

⇔
a
1
a
2
=
b
1
b
2
=

c
1
c
2
=
d
1
d
2
•
(
α
)
vuông góc

β

⇔ a
1
a
2
+ b
2
b
2
+ c
1
c
2
= 0

D. Phương trình đường thẳng
Cho đường thẳng d qua M
0

x
0
, y
0
, z
0

và có vectơ chỉ phương là
−→
u = (a , b , c ). Khi đó:
• Phương trình tham số của d
7
d :



x = x
0
+ a t
y = y
0
+ b t
z = z
0
+ c t
• Phương trình chính tắc của d (khi a b c = 0)

d :
x − x
0
a
=
y − y
0
b
=
z − z
0
c
E. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Đường thẳng d
1
qua M
1
và có vectơ chỉ phương là
−→
u
1
, d
2
qua M
2
và có vectơ chỉ phương là
−→
u
2
thì:

• d
1
trùng d
2
⇔

−→
u
1
,
−→
u
2

=

−→
u
1
,
−−−→
M
1
M
2

=
−→
0
• d

1
song song d
2
⇔






−→
u
1
,
−→
u
2

=
−→
0

−→
u
1
,
−−−→
M
1
M

2

=
−→
0
• d
1
và d
2
cắt nhau ⇔




−→
u
1
,
−→
u
2

.
−−−→
M
1
M
2
= 0


−→
u
1
,
−→
u
2

=
−→
0
• d
1
và d
2
chéo nhau ⇔

−→
u
1
,
−→
u
2

.
−−−→
M
1
M

2
= 0
F. Góc
• Góc giữa hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng
(
α
)
có vectơ pháp tuyến là
−→
n
α
, mặt phẳng

β

có vectơ
pháp tuyến
−→
n
β
, khi đó góc giữa
(
α
)
và

β

được tính bằng
cos


(
α
)
,

β

=


cos

−→
n
α
,
−→
n
β



=


−→
n
α
.

−→
n
β




−→
n
α


.


−→
n
β


• Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng d
1
và d
2
có các vectơ chỉ phương là
−→
u
1
và
−→

u
2
,
khi đó góc giữa d
1
và d
2
tính bằng
cos
(
d
1
, d
2
)
=


cos

−→
u
2
,
−→
u
2




=


−→
u
1
.
−→
u
2




−→
u
1


.


−→
u
2


• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
−→
u , mặt phẳng

(
α
)
có vectơ pháp tuyến là
−→
n , khi đó góc giữa d và
(
α
)
là ϕ được tính bằng
sin ϕ =


−→
u .
−→
n




−→
u


.


−→
n



G. Khoảng cách
• Khoảng cách từ điểm A

x
0
, y
0
, z
0

tới
(
α
)
: a x + b y + c z + d = 0 là
d
(
A,
(
α
))
=


a x
0
+ b y
0

+ c z
0
+ d



a
2
+ b
2
+ c
2
8 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
• Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng ∆ qua M
0
và có vectơ chỉ phương
−→
u là
d (A,∆) =




−−−→
M M
0
,
−→
u







−→
u


• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆
1
và ∆
2
biết ∆
1
qua M
1
và có vectơ chỉ phương
−→
u
1
; ∆
2
qua M
2
và có vectơ chỉ phương
−→
u
2
d

(
∆
1
, ∆
2
)
=




−→
u
1
,
−→
u
2

.
−−−→
M
1
M
2







−→
u
1
,
−→
u
2



• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
(
α
)
và

β

song song nhau là khoảng cách từ M
0
∈
(
α
)
tới

β

.

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆
1
và ∆
2
song song nhau là khoảng cách từ M
1
∈ ∆
1
tới ∆
2
.
• Khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng
(
α
)
song song nhau là khoảng cách từ điểm
M
0
∈ d tới
(
α
)
.
H. Phương trình mặt cầu
• Mặt cầu tâm I (a , b, c ), bán kính R có phương trình
(S) : (x −a )
2
+ (y − b )
2
+ (z − c )

2
= R
2
• Phương trình x
2
+ y
2
+ z
2
−2a x −2b y −2c z +d = 0 có a
2
+ b
2
+ c
2
> d là phương trình mặt cầu
với tâm I (a , b , c ) bán kính R =

a
2
+ b
2
+ c
2
−d .
I. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho
(
α
)

và S(I , R), khi đó nếu
• d (I ,
(
α
)
) > R : mặt phẳng không cắt mặt cầu.
• d (I ,
(
α
)
) = R : mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu, khi đó mặt phẳng còn gọi là tiếp diện của mặt cầu.
Tọa độ tiếp điểm M
0
là tọa độ hình chiếu vuông góc của I xuống
(
α
)
.
• d (I ,
(
α
)
) < R : mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn C (I

, r ), còn gọi là đường tròn giao
tuyến, khi đó
 Tâm I

là tọa độ hình chiếu vuông góc của I xuống mặt phẳng
(

α
)
 Bán kính r =

R
2
− I I
2
.
1.1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
(
α
)
9
J. Vị trí tương đối đường thẳng và mặt cầu
Cho đường thẳng d :



x = x
0
+ t a
1
y = y
0
+ t a
2
z = z
0
+ t a

3
và mặt cầu (S) : (x − a )
2
+ (y − b )
2
+ (z − c )
2
= R
2
. Xét vị
trí tương đối của d và (S) ta dùng một trong hai cách:
1. Lập phương trình giao điểm (phương trình (∗)) của d và (S), bằng cách lấy x , y , z từ phương trình
đường thẳng thay vào phương trình (S) và giải phương trình theo ẩn t
• Phương trình (∗) vô nghiệm: d và (S) không có điểm chung.
• Phương trình (∗) có 1 nghiệm: d tiếp xúc với (S).
• Phương trình (∗) có 2 nghiệm phân biệt: d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
2. So sánh khoảng cách d
(
I , d
)
và R
• d
(
I , d
)
> R: d và (S) không có điểm chung.
• d
(
I , d
)

= R: d tiếp xúc với (S).
• d
(
I , d
)
< R: d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
Khi cần tìm chính xác tọa độ giao điểm d và (S) ta dùng cách thứ 1.
K. Vị trí tương đối hai mặt cầu
Cho hai mặt cầu S
1
(
I
1
, R
1
)
và S
2
(
I
2
, R
2
)
• I
1
I
2
< |R
1

−R
2
| ⇔
(
S
1
)
,
(
S
2
)
trong nhau.
• I
1
I
2
> |R
1
−R
2
| ⇔
(
S
1
)
,
(
S
2

)
ngoài nhau.
• I
1
I
2
= |R
1
−R
2
| ⇔
(
S
1
)
,
(
S
2
)
tiếp xúc trong.
• I
1
I
2
= R
1
+ R
2
⇔

(
S
1
)
,
(
S
2
)
tiếp xúc ngoài.
• |R
1
−R
2
| < I
1
I
2
< R
1
+ R
2
⇔
(
S
1
)
,
(
S

2
)
cắt nhau theo một đường tròn.
1.1 Viếtphương trình mặt phẳng
(
α
)
Viết phương trình mặt phẳng (α) ta cần biết một vectơ pháp tuyến
−→
n và một điểm M ∈ (α)
1 Dạng 1
Viết phương trình mp
(
α
)
khi biết vectơ pháp tuyến
−→
n =
(
a , b, c
)
và điểm M

x
0
, y
0
, z
0


∈ (α).
(
α
)
: a
(
x − x
0
)
+ b

y − y
0

+ c
(
z − z
0
)
= 0
 Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB
1. Tìm tọa độ I là trung điểm của AB , tính
−→
AB .
2. Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
qua I và có vectơ pháp tuyến là
−→

n =
−→
AB .
10 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A
α
d
I
B
 Viết phương trình mặt phẳng qua M và song song

β

: a x + b y + c z + d = 0 .
1. Do
(
α
)
song song

β

nên vectơ pháp tuyến của
(
α
)
là
−→
n =
(

a , b, c
)
.
2. Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
.
 Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
qua M và vuông góc với đường thẳng d có vectơ chỉ phương
−→
u =
(
a , b, c
)
1. Do
(
α
)
song song

β

nên vectơ pháp tuyến của
(
α
)

là
−→
n =
(
a , b, c
)
.
2. Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
.
2 Dạng 2
Viết phương trình mặt phẳng khi biết M ∈ (α) và cặp vectơ chỉ phương
−→
a ,
−→
b .
1. Vectơ pháp tuyến của (α) là
−→
n =

−→
a ,
−→
b

2. Viết phương trình mặt phẳng (α).
Bài toán thường gặp của dạng này “Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A,B, C”.
1. Ta lập 2 vectơ từ 3 điểm:

−→
AB ,
−→
AC
2. Vectơ pháp tuyến của (ABC ) là
−→
n =

−→
a ,
−→
b

3. Viết phương trình mặt phẳng
(
AB C
)
.
A
B
C
3 Dạng 3
Viết phương trình mặt phẳng qua M song song với hai đường thẳng chéo nhau
1. Tìm
−→
a ,
−→
b là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng đó.
2. Vectơ pháp tuyến của
(

α
)
là
−→
n =

−→
a ,
−→
b

.
3. Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
.
1.1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
(
α
)
11
4 Dạng 4
Viết phương trình mặt phẳng qua N và đường thẳng d .
1. Trên d chọn điểm A và một vectơ chỉ phương
−→
u
2. Vectơ pháp tuyến của
(
α

)
là
−→
n =

−→
u ,
−→
AN

3. Viết phương trình
(
α
)
.
A
α
d
d
M
5 Dạng 5
Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau d
1
, d
2
1. Tìm
−→
a ,
−→
b là các vectơ chỉ phương của d

1
, d
2
.
2. Vectơ pháp tuyến của
(
α
)
là
−→
n =

−→
a ,
−→
b

.
3. Lấy một điểm M tùy ý thuộc d
1
hoặc d
2
.
4. Viết phương trình
(
α
)
qua M và có vectơ pháp tuyến là
−→
n .

α
d
1
M
d
2
6 Dạng 6
Viết phương trình mặt phẳng đi qua d
1
và song song d
2
(d
1
và d
2
chéo nhau).
1. Tìm
−→
a ,
−→
b là các vectơ chỉ phương của d
1
, d
2
.
2. Vectơ pháp tuyến của
(
α
)
là

−→
n =

−→
a ,
−→
b

.
3. Lấy một điểm M tùy ý thuộc d
1
.
4. Viết phương trình
(
α
)
qua M và có vectơ pháp tuyến là
−→
n .
α
d
1
M
d
2
12 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
7 Dạng 7
Cho hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d

2
. Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
và

β

sao cho
(
α
)
chứa d
1
,

β

chứa d
2
và
(
α
)
song song

β

.

1. Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
qua d
1
và song song d
2
2. Viết phương trình mặt phẳng

β

qua d
2
và song song d
1
.
α
d
1
β
d
2
8 Dạng 8
Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng d và vuông góc với

β

.
1. Tìm

−→
u là vectơ chỉ phương của d và
−→
n
β
là vectơ pháp tuyến của

β

.
2. Vectơ pháp tuyến của
(
α
)
là
−→
n
α
=

−→
u ,
−→
n
β

.
3. Chọn 1 điểm M ∈ d .
4. Viết phương trình
(

α
)
qua M và có vectơ pháp tuyến là
−→
n
α
.
9 Dạng 9
Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến d của

β

và

γ

đồng thời thỏa mãn một số điều kiện cho
trước.
Cách1 Loại bài toán này tương tự dạng viết phương trình mặt phẳng qua d có phương trình cho trước.
Dựa vào hệ phương trình


β


γ

cho x (hoặc y hoặc z ) hai giá trị cụ thể để xác định hai điểm A, B trên
d . Khi đó bài toán quay về các dạng đã biết.
Cách 2 Dùng phương trình chùm mặt phẳng.

10 Dạng 10
Viết phương trình mặt phẳng qua M và vuông góc với

β

và

γ

.
1. Tìm
−→
n
β
,
−→
n
γ
là các vectơ pháp tuyến của

β

và

γ

.
2. Vectơ pháp tuyến của
(
α

)
là
−→
n
α
=

−→
n
β
,
−→
n
γ

.
3. Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
.
1.1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
(
α
)
13
11 Dạng 11
Tìm tập hợp điểm cách đều hai mặt phẳng
(
α

)
và

β

1. Gọi M (x, y , z ) là điểm cách đều
(
α
)
và

β

2. Ta có: d
(
M ,
(
α
))
= d

M ,

β

.
3. Từ biểu thức trên ta xác định mặt phẳng cần tìm.
12 Dạng 12
Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng d và cách M một khoảng k .
1. Phương trình mặt phẳng

(
α
)
có dạng
(
α
)
: a x + b y + c z + d = 0

a
2
+ b
2
+ c
2
= 0

2. Chọn hai điểm khác nhau A, B thuộc d .
3. Do A, B thuộc
(
α
)
nên khi thay vào phương trình
(
α
)
ta được hai phương trình (1), (2).
4. Do d
(
M ,

(
α
))
= k nên ta được phương trình (3).
5. Từ (1), (2) ta khử d , và từ (3) tìm mối liên hệ giữa a , b, c .
6. Cho a một giá trị cụ thể và tìm b, c ,d (đảm bảo điều kiện a
2
+ b
2
+ c
2
= 0).
13 Dạng 13
Cho đường thẳng d và điểm A nằm ngoài d . Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
chứa d sao cho khoảng
cách từ A đến
(
α
)
là lớn nhất.
1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc M của A lên d
2. Giả sử

β

là mặt phẳng tùy ý chứa d , khi đó M ∈


β

. Kẻ AH ⊥

β

. Ta luôn có AH ≤ AM .
Vậy mặt phẳng
(
α
)
chứa d sao cho khoảng cách từ A tới
(
α
)
là lớn nhất chính là mặt phẳng qua d
và vuông góc AM
3. Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
qua M và vuông góc AM .
14 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
14 Dạng 14
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I bán kính R tại điểm H .
1. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
2. Vectơ pháp tuyến của
(
α
)

là
−→
I H .
3. Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
.
15 Dạng 15
Viết phương trình mặt phẳng song với

β

: a x + b y + c z + d = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S).
1. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
2. Do
(
α
)
song song với

β

nên phương trình
(
α
)
có dạng
(
α

)
: a x + b y + c z + D = 0 (D = d )
3. Do
(
α
)
tiếp xúc (S) nên d
(
I ,
(
α
))
= R. Giải phương trình ta tìm được D .
16 Dạng 16
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc (S) đồng thời song song d
1
và d
2
.
1. Tìm tâm I , bán kính R của mặt cầu (S). Tìm
−→
u
1
,
−→
u
2
là các vectơ chỉ phương của d
1
, d

2
2. Vectơ pháp tuyến của
(
α
)
là
−→
n =

−→
u
1
,
−→
u
2

= (a, b , c )
3. Phương trình mặt phẳng
(
α
)
có dạng
(
α
)
: a x + b y + c z + d = 0
4. Ta có d
(
I ,

(
α
))
= R. Từ đó ta tìm được d
5. Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
.
17 Dạng 17
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc
(
S
)
và chứa d .
1. Tìm tâm I và bán kính R của
(
S
)
2. Giả sử
(
α
)
: a x + b y + c z + d = 0 với a
2
+ b
2
+ c
2
= 0

3. Tìm tọa độ A, B là hai điểm phân biệt thuộc d
4. Do A, B thuộc
(
α
)
nên ta được phương trình (1),(2). Khử d và tìm một ẩn theo hai ẩn còn lại ta được
phương trình (3)
5. Ta có: d
(
I ,
(
α
))
= R, ta được phương trình (4). Thay (3) vào (4) ta được phương trình (5) gồm hai ẩn
6. Từ (5) ta cho một ẩn một giá trị cụ thể và tìm được a , b, c , d (lưu ý a
2
+ b
2
+ c
2
= 0)
7. Viết phương trình mặt phẳng
1.1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
(
α
)
15
18 Dạng 18
Viết phương trình mặt phẳng qua A,B ,C là tọa độ hình chiếu của D (a , b, c ) xuống các trục tọa độ.
1. Tọa độ hình chiếu của D xuống các trục tọa độ là A(a ,0, 0); B(0, b, 0);C (0, 0, c )

2. Viết phương trình mặt phẳng.
19 Dạng 19
Viết phương trình mặt phẳng qua A, B, C là tọa độ hình chiếu của D (a , b, c ) xuống các mặt phẳng tọa
độ.
1. Tọa độ hình chiếu của D xuống các mặt phẳng tọa độ là A(a , b,0); B (0, b , c ); C (a , 0, c )
2. Viết phương trình mặt phẳng.
20 Dạng 20
Viết phương trình mặt phẳng đi qua G và cắt các trục tọa độ tại A, B, C biết G là trọng tâm tam giác
AB C .
1. Gọi giao điểm của
(
α
)
với các trục tọa độ là A(a,0, 0); B(0, b, 0);C (0, 0, c )
2. Áp dụng công thức trọng tâm với G ta tìm được a, b, c
3. Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
.
21 Dạng 21
Viết phương trình mặt phẳng qua H và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C biết H là trực tâm tam
giác AB C .
Cách 1:
1. Gọi giao điểm của
(
α
)
với các trục tọa độ là A(a,0, 0); B(0, b, 0);C (0, 0, c )
2. Do H là trực tâm tam giác AB C nên ta có:

−→
H A.
−→
B C = 0,
−−→
H B .
−→
AC = 0,
−−→
H C .
−→
AB = 0. Từ đó ta được 3
phương trình và giải tìm được a , b, c
3. Viết phương trình mặt phẳng.
A
B
C
H
16 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Cách 2:
1. Chứng minh O H ⊥
(
AB C
)
• Ta có : O C ⊥ AB,C H ⊥ AB nên AB ⊥
(
O C H
)
⇒ AB ⊥ O H .
• Tương tự AO ⊥ B C , AH ⊥ B C nên B C ⊥

(
AO H
)
⇒ B C ⊥ O H .
• Vậy O H ⊥
(
AB C
)
hay
−−→
O H là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
(
AB C
)
.
2. Viết phương trình mặt phẳng
(
AB C
)
qua H và có vectơ pháp tuyến là
−−→
O H .
A
C
B
H
O
22 Dạng 22
Viết phương trình mặt phẳng qua M


x
0
, y
0
, z
0

và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho O A = kO B =
l O C .
1. Mặt phẳng
(
α
)
có phương trình
(
α
)
: a
(
x − x
0
)
+ b

y − y
0

+ c
(
z − z

0
)
= 0
2. Từ đó ta xác định tọa độ A, B,C theo a , b, c
3. Ta có: O A = kO B = l OC ⇔ O A
2
= k
2
O B
2
= l
2
O C
2
, ta tìm mối liên hệ giữa a, b, c (có tất cả 4
trường hợp)
4. Cho a là một giá trị cụ thể ta tìm được b, c (lưu ý do (a, b, c ) là tọa độ vectơ pháp tuyến của
(
α
)
nên
a
2
+ b
2
+ c
2
= 0)
5. Viết phương trình mặt phẳng.
23 Dạng 23

Viết phương trình mặt phẳng qua M

x
0
, y
0
, z
0

và cắt các trục tọa độ tại A, B,C sao cho thể tích tứ diện
O AB C nhỏ nhất.
1. Gọi giao điểm của
(
α
)
với các mặt phẳng tọa độ là A(a ,0, 0); B (0, b, 0); C (0, 0, c ) với a , b, c > 0
2. Mặt phẳng
(
α
)
có phương trình
(
α
)
:
x
a
+
y
b

+
z
c
= 1
3. Do M ∈
(
α
)
nên ta được :
x
0
a
+
y
0
b
+
z
0
c
= 1
4. Thể tích tứ diện O AB C là V =
1
3
· B.h =
1
3
·
1
2

·O A.O B.O C =
1
6
a b c
5. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm
x
0
a
,
y
0
b
,
z
0
c
ta được
1.1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
(
α
)
17
x
0
a
+
y
0
b
+

z
0
c
≥ 3
3

x
0
y
0
z
0
a b c
⇔ 1 ≥ 3
3

x
0
y
0
z
0
a b c
⇔ a b c ≥ 27x
0
y
0
z
0
⇔ V ≥ 27x

0
y
0
z
0
6. Dựa vào bất đẳng thức trên và điều kiện trở thành đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy rút ra kết
luận.
7. Viết phương trình mặt phẳng.
24 Dạng 24
Viết phương trình mặt phẳng cách đều 4 đỉnh tứ diện AB C D .
Một mặt phẳng muốn cách đều hai điểm M , N thì
• Hoặc nó đi qua trung điểm I của M N
• Hoặc nó song song với M N .
Vì vậy để mặt phẳng
(
α
)
cách đều 4 đỉnh của tứ diện thì :
• Hoặc mặt phẳng
(
α
)
qua trung điểm của 3 cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh. Có 4 mặt phẳng như
vậy.
• Hoặc mặt phẳng
(
α
)
chứa hai đường trung bình của tứ diện. Có ba mặt phẳng như vậy.
Tóm lại ta có tất cả 7 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

1. Tính tọa độ trung điểm M ,N ,P,Q,R ,S của AB, AC , BC , C D , B D
2. Viết phương trình mặt phẳng
(a)
(
α
1
)
qua M ,N , P
(b)
(
α
2
)
qua M ,S ,Q
(c)
(
α
3
)
qua Q , N , R
(d)
(
α
4
)
qua P,S,R .
3. Viết phương trình mặt phẳng
(a)
(
α

5
)
qua M N và SR
(b)
(
α
6
)
qua N P và QS
(c)
(
α
7
)
qua M P và QR.
4. Kết luận: có 7 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
A
B
C
D
M
N
R
S
Q
P
18 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Lưu ý
• Mặt phẳng cách đều A, B: là mặt phẳng qua trung điểm I của AB khi đó d
(

A,
(
α
))
= d
(
B,
(
α
))
α
A
I
B
L
• Mặt phẳng trung trực: là mặt phẳng qua trung điểm I của AB và vuông góc AB . Mặt phẳng trung
trực là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút A, B tức là M A = M B với M là điểm bất kì thuộc
(
α
)
.
A
α
d
I
B
25 Dạng 25
Viết phương trình mặt phẳng chứa d và tạo với mặt phẳng

β


một góc là x
◦
.
1. Tìm
−→
n
β
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

β

và tìm tọa độ hai điểm phân biệt A,B nằm trên d
2. Phương trình mặt phẳng
(
α
)
có dạng
(
α
)
: a x + b y + c z + d = 0 với a
2
+ b
2
+ c
2
= 0
3. Do A, B ∈
(

α
)
nên ta được phương trình (1), (2)
1.2. CÁC BÀI TOÁN KHÁC VỀ MẶT PHẲNG 19
4. Khử d từ (1), (2) và tìm 1 ần theo 2 ẩn còn lại ta được phương trình (3)
5. Ta có cos

(
α
)
,

β

=


cos

−→
n
α
,
−→
n
β



=



−→
n
α
.
−→
n
β




−→
n
α


.


−→
n
β


, ta được phương trình (4)
6. Thay (3) vào (4) ta được phương trình (5) gồm 2 ẩn
7. Cho 1 ẩn một giá trị cụ thể ta tìm được các ẩn còn lại, lưu ý điều kiện a
2

+ b
2
+ c
2
= 0
8. Viết phương trình mặt phẳng.
1.2 Các bài toán khác về mặt phẳng
1 Dạng 1
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm M xuống mặt phẳng
(
α
)
.
Cách 1:
1. Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với
(
α
)
.
2. Khi đó H là tọa độ giao điểm d và
(
α
)
.
Cách 2: tọa độ điểm H được xác định bởi:
1. H thuộc
(
α
)
.

2.
−−→
M H và
−→
n
α
cùng phương nhau.
2 Dạng 2
Tìm tọa độ M

là điểm đối xứng của M qua
(
α
)
.
1. Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M xuống
(
α
)
.
2. Khi đó H là trung điểm M M

.
20 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
3 Dạng 3
Cho tứ diện AB C D tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng
(
α
)
sao cho




−−→
M A +
−−→
M B +
−−→
M C +
−−→
M D



ngắn nhất.
1. Gọi G là trọng tâm tứ diện AB C D . Tìm tọa độ của G .
2. Ta có:



−−→
M A +
−−→
M B +
−−→
M C +
−−→
M D




= 4



−−→
M G



. Vậy



−−→
M A +
−−→
M B +
−−→
M C +
−−→
M D



ngắn nhất ⇔



−−→

M G



ngắn
nhất ⇔ M là hình chiếu vuông góc của G xuống mặt phẳng
(
α
)
. Tìm tọa độ M .
4 Dạng 4
Xác định vị trí tương đối của A, B với
(
α
)
.
Cách 1: Gọi I là giao điểm của đường thẳng AB và
(
α
)
• A và B ở hai phía đối với
(
α
)
⇔
−→
I A và
−→
I B cùng hướng.
• A và B ở cùng phía với

(
α
)
⇔
−→
I A và
−→
I B cùng hướng.
A
α
d
d
M
B
I
α
B
I
A
Cách 2:
Khoảng cách đại số từ A

x
A
, y
A
, z
A

tới

(
α
)
: a x + b y + c z + d = 0 là một số được xác định bằng
d
(
A,
(
α
))
= a x
A
+ b y
A
+ c z
A
+ d
• A và B nằm cùng phía
(
α
)
⇔ d
(
A,
(
α
))
.d
(
B,

(
α
))
> 0
• A và B nằm khác phía
(
α
)
⇔ d
(
A,
(
α
))
.d
(
B,
(
α
))
< 0
5 Dạng 5
Cho hai điểm A, B và mặt phẳng
(
α
)
. Tìm điểm M ∈
(
α
)

sao cho M A + M B ngắn nhất.
1. Xác định vị trí tương đối của A, B với
(
α
)
.
2.
Trường hợp 1: A, B nằm khác phía với
(
α
)
• Ta có: M A + M B ≥ AB , dấu bằng xảy ra ⇔ M ∈ AB . Do đó M A + M B nhỏ nhất khi và chỉ khi
M là giao điểm của AB và
(
α
)
.
• Viết phương trình tham số AB và tìm tọa độ M .
1.2. CÁC BÀI TOÁN KHÁC VỀ MẶT PHẲNG 21
A
α
d
d
M
B
M
Trường hợp 2: A, B nằm cùng phía với
(
α
)

.
• Gọi H là tọa độ hình chiếu vuông góc của M xuống
(
α
)
, A

là điểm đối xứng của A qua
(
α
)
.
Tìm tọa độ H và A

.
• Ta có: M A + M B = M A

+ M B ≥ A

B . Dấu bằng xảy ra ⇔ M nằm trên đường thẳng A

B . Do
đó M A + M B bé nhất ⇔ M là giao điểm của A

B và
(
α
)
.
• Viết phương trình tham số A


B và tìm tọa độ M .
A
α
d
M
B
H
A

∗ Nếu thay điều kiện
(
α
)
là đường thẳng ∆ ta cũng lập luận tương tự bài toán trên.
6 Dạng 6
Cho
(
α
)
và hai điểm A, B . Tìm điểm M thuộc
(
α
)
sao cho |M A −M B | là lớn nhất.
1. Xác định vị trí tương đối của A, B và
(
α
)
.

2.
Trường hợp 1: A, B nằm cùng phía với
(
α
)
.
• Ta có: |M A − M B | ≤ AB . Dấu bằng xảy ra ⇔ M nằm trên đường thẳng AB và không nằm trên
đoạn thẳng AB . Do đó |M A − M B | lớn nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng
AB và
(
α
)
.
• Viết phương trình tham số AB và tìm tọa độ M .
22 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A
α
M
B
Trường hợp 2: A, B nằm khác phía với
(
α
)
• Gọi H là tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên
(
α
)
, A

là tọa độ đối xứng của A qua

(
α
)
. Tìm
tọa độ H , A

.
• Ta có: |M A − M B | =


M A

−M B


≤ A

B . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M nằm trên đường
thẳng A

B và không ở trên đoạn thẳng A

B . Do đó |M A −M B| lớn nhất khi và chỉ khi M là
giao điểm của đường thẳng A

B và mặt phẳng
(
α
)
.

• Viết phương trình tham số của A

B , tìm tọa độ giao điểm M của A

B và
(
α
)
.
A
α
d
M
B
H
A

∗ Nếu thay điều kiện
(
α
)
là đường thẳng ∆ ta cũng lập luận tương tự bài toán trên.
7 Dạng 7
Trong mặt phẳng tọa độ O x y z cho ba điểm A(a ;0; 0), B(0, b, 0), C (0; 0; c ) với a , b, c là những số dương
thay đổi sao cho a
2
+ b
2
+ c
2

= k. Xác định a , b, c để khoảng cách từ O tới
(
AB C
)
là lớn nhất.
1. Phương trình mặt phẳng (ABC ) là : (ABC ) :
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1
2. Ta có : d
(
O,
(
AB C
))
=
1


1
a
2
+
1

b
2
+
1
c
2
3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
1
a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
≥ 3
3


1
a
2
b
2
c
2
và k = a

2
+ b
2
+ c
2
≥ 3
3

a
2
b
2
c
2
4. Từ đó ta lập luận tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách.
1.3 Viếtphương trình tham số của đường thẳng
1 Dạng 1
∗ Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt A, B .
1.3. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 23
1. Vectơ chỉ phương của d là
−→
u =
−→
AB .
2. Viết phương trình đường thẳng d .
∗ Viết phương trình đường thẳng qua M và song song với đường thẳng ∆.
1. Tìm
−→
u
∆

là vectơ chỉ phương của ∆. Do d song song ∆ nên d có vectơ chỉ phương là
−→
u
d
=
−→
u
∆
.
2. Viết phương trình đường thẳng d .
α
M
−→
u
∆
∆
d
∗ Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng
(
α
)
. .
1. Tìm
−→
n
α
là vectơ pháp tuyến của
(
α
)

. Do d song song ∆ nên d có vectơ chỉ phương là
−→
u
d
=
−→
n
α
.
2. Viết phương trình đường thẳng d .
α
M
−→
n
α
d
2 Dạng 2
∗ Viết phương trình đường thẳng qua M và có cặp vectơ pháp tuyến là
−→
n
1
,
−→
n
2
.
1. Vectơ chỉ phương của d là
−→
n =


−→
u
1
,
−→
u
2

.
2. Viết phương trình đường thẳng d .
∗ Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d
1
, d
2
.
1. Tìm
−→
u
1
,
−→
u
2
là các vectơ chỉ phương của d
1
, d
2
. Vectơ chỉ phương của d là
−→
n =


−→
u
1
,
−→
u
2

.
2. Viết phương trình đường thẳng d .
M
−→
u
1
d
1
d
2
−→
u
2
d
24 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
3 Dạng 3
Viết phương trình đường thẳng qua giao tuyến của
(
α
)
và


β

.
Ta có : d :

(
α
)

β

(1)
Cách 1: Trong hệ (1) cho x = t (hoặc y = t , hoặc z = t ) và giải tìm 2 ẩn còn lại theo t . Khi đó ta được
phương trình tham số của d .
Cách 2: Tìm tọa độ điểm A thuộc d và tìm vectơ chỉ phương của d rồi viết phương trình.
1. Tìm tọa độ A thuộc d : trong hệ (1) cho x , y, z một giá trị cụ thể và giải hệ phương trình tìm hai ẩn
cón lại.
2. Tìm vectơ chỉ phương của d
• Tìm vectơ pháp tuyến
−→
n
α
,
−→
n
β
của
(
α

)
,

β

.
• Vectơ chỉ phương của d là
−→
u =

−→
n
α
,
−→
n
β

.
3. Viết phương trình của d.
Cách 3: Tìm tọa độ hai điểm A, B thuộc d rồi viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm ấy.
−→
n
1
−→
n
2
d
α
β

4 Dạng 4
Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng
(
α
)
và cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
.
1. Tìm tọa độ giao điểm A của d
1
và
(
α
)
, B của d
2
và
(
α
)
.
2. Khi đó d là đường thẳng qua A, B . Viết phương trình đường thẳng d .
d
A
B
d
1
d

2
α
5 Dạng 5
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
.
1.3. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 25
Cách 1: Tìm tọa độ chân đường vuông góc.
1. Gọi d là phương trình đường vuông góc chung qua M ,N với M thuộc d
1
, N thuộc d
2
. Ta tìm được
tọa độ M , N với hai ẩn theo d
1
, d
2
.
2. Ta có:

M N ⊥ d
1
M N ⊥ d
2
ta được hệ phương trình 2 ẩn và tìm được tọa độ M , N .
3. Viết phương trình đường thẳng d qua M ,N .
Cách 2: Dùng giao tuyến hai mặt phẳng.
1. Gọi d là đường vuông góc chung của d

1
, d
2
. Do d ⊥ d
1
và d ⊥ d
2
nên vectơ chỉ phương của d là
−→
u
d
=

−→
u
d
1
,
−→
u
d
2

.
2. Gọi
(
α
)
là mặt phẳng chứa d và d
1

:
• Chọn một điểm A ∈ d
1
• Vectơ pháp tuyến của
(
α
)
là:
−→
n
α
=

−→
u
d
,
−→
u
d
1

• Viết phương trình
(
α
)
.
3. Gọi

β


là mặt phẳng chứa d và d
2
:
• Chọn một điểm B ∈ d
1
• Vectơ pháp tuyến của

β

là:
−→
n
β
=

−→
u
d
,
−→
u
d
2

• Viết phương trình

β

.

4. Khi đó đường thẳng d là giao tuyến của
(
α
)
và

β

.
6 Dạng 6
Viết phương trình đường thẳng qua M , vuông góc và cắt ∆.