Một số chủ đề ôn HSG

NỘI DUNG CHƯƠNG TRÌNH
Số tiết
A.Đại số
1. Biến đổi Đa thức
2. Phân thức Hữu tỉ
3. BĐT: Phương pháp xét hiệu hai vế.
4. BĐT: Phương pháp sử dụng các BĐT
5. BĐT: Phương pháp làm trội
6. BĐT: Phương pháp BĐT tam giác
7. BĐT: Phương pháp phản chứng
8. BĐT: Một vài phương pháp khác
9. GTNN-GTLN
10. Chứng minh chia hết trong N
a. Tính chất chia hết của tổng ,tích
b. Đồng dư- Hằng đẳng thức
c. Qui nạp
11. Biểu diển thập phân của số tự nhiên
B.Hình học
C ộ ng
64
4
8
4
4
4
4
4
4
8
4
4

4
4
28
92
* Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng
minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngồi hai bất đẳng thức Cơ-si và bất đẳng
thức Bu-nhi-a-cốp-ski
. Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện
theo dõi, tơi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây.
1.
abba 2
22
≥+
(a,b>0). (BĐT Cơ-si)
2.
( )
abba 4
2
≥+
3.
( )
( )
2
22
2 baba
+≥+
4.
0,;2
>≥+
ba

a
b
b
a
5.
0,;
411
>
+
≥+
ba
baba
6.
cabcabcba
++≥++
222
7.
( )
( )( )
2222
2
yxbabyax
++≤+
( Bu nhi a cop xki)
8.
( )
yx
ba
y
b

x
a
+
+
≥+
2
22
9.
( )
zyx
cba
z
c
y
b
x
a
++
++
≥++
2
222
Ví dụ 9:Chứng minh
cba
b
ca
a
bc
c
ab

++≥++
(Với a,b,c > 0)
Giải:2A - 2B =
cba
b
ca
a
bc
c
ab
222222 −−−++
=






−++






−++







−+ 222
b
a
a
b
c
a
c
c
a
b
b
c
c
b
a

Áp dụng bất đẳng thức
0,;2
>≥+
ba
a
b
b
a
.Ta có:2A - 2B
( ) ( ) ( )
0222222

≥−+−+−≥
cba
.Vậy A
≥
B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0
Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1.
Chứng minh rằng :
8
21
22
≥
+
+
yx
xy
.
Giải:
22222222
2
4
2
1
2
1
2
2
2
221
yxyxyx
xy

yx
xy
yx
xy
++
≥








+
+=
+
+=
+
+
( )
8
8
2
=
+
=
yx
.Đẳng thức xảy ra khi
2

1
==
yx
Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức :
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
++≥++
2
2
2
2
2
2
Giải:
c
a
c
b
b
a

c
b
b
a
.2.2
2
2
2
2
=≥+
;
a
b
a
c
c
b
a
c
c
b
.2 2
2
2
2
2
=≥+
;
b
c

b
a
a
c
b
a
a
c
.2 2
2
2
2
2
=≥+
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
a
b
b

c
c
a
a
c
c
b
b
a
++≥++⇒






++≥








++
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
2
22
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Tiết 21-24
Ví dụ 12:Cho a > 0 và b > 0.
Chứng minh rằng
cbabaaccb
++
>
+
+
+
+
+
3111
.
Giải:
cbacbabacacbbaaccb
++
=
++
+
++

+
++
>
+
+
+
+
+
3111111
Ví dụ 13: Chứng minh:
4
11

4
1
3
1
2
1
3333
<++++=
n
A
.Với n là số tự nhiên và
2≥n
Giải:
( )
( ) ( )
11
1

1
111
233
+−
=
−
=
−
<
kkk
kkkkk
.
Và :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
11
2
11
11
1
1
1
1
+−
=
+−
−−+
=
+

−
− kkkkkk
nn
kkkk
Suy ra:
( )
( ) ( )
11
1
1
111
233
+−
=
−
=
−
<
kkk
kkkkk
=
( ) ( )






+
−

− kkkk 1
1
1
1
2
1
Suy ra: A <
( ) ( )






+
−
−
++−+−
1
1
1
1

4.3
1
3.2
1
3.2
1
2.1

1
2
1
nnnn
( )
4
1
1
1
2
1
2
1
<






+
−=
nn
==========o0o==========
Bài tập áp dụng:
38. Chứng minh:B =
2
12
1

3
1
2
1
1
n
n
>
−
++++
Với n là số tự nhiên và
2
≥
n
39. Bài 29:Cho C
bad
d
adc
c
dcb
b
cba
a
++
+
++
+
++
+
++

=

(a,b,c,d >0) .Chứng minh rằng :
21
<<
C
40. Chứng minh
2
3
1
1
1
1
1
1
≥
+
+
+
+
+
=
xzyzxy
P
. Trong đó x , y , z là 3 số dương và
3
222
≤++ zyx
HƯỚNG DẪN:
47. Chứng minh:B =

2
12
1

3
1
2
1
1
n
n
>
−
++++
Với n là số tự nhiên
nnn
B
2
1
2
1

12
1
8
1

5
1
4

1
3
1
2
1
1
1
−






++
+
+






+++







+++=
−

nnn
2
1
2
1

2
1
8
1

8
1
4
1
4
1
2
1
1
−







+++






+++






+++<
2
2
1
2
1
2
1
2
1
.
2
2

2
1

2
1
2
1
1
nn
nnn
n
>−+=−+++++=
48.
cbad
d
badc
c
adcb
b
dcba
a
C
+++
+
+++
+
+++
+
+++
>

cbad
cd

badc
bc
adcb
ab
dcba
da
C
+++
+
+
+++
+
+
+++
+
+
+++
+
<
49. Áp dụng BĐT 9 ta có
( )
222
3
9
zyx
P
+++
≥
===========o0o===========
Tiết 25-28

* Với a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác ta cần nhớ các tính chất sau:
• a,b,c là các số dương
• Tổng 2 cạnh bất kì lớn hơn cạnh còn lại
• Tỉ số giữa 1 cạnh với 2 cạnh còn lại bé hơn 1
Ví dụ 14:Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác .Chứng minh rằng :
cbabcaacbcba
111111
++≥
−+
+
−+
+
−+
Giải:
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a + b - c > 0;
a + c - b > 0; b + c - a > 0
Áp dụng BĐT
0,;
411
>
+
≥+
ba
baba
ta được:
bbacbcba
2
2
411
=≥

−+
+
−+
,tươngtự:
cbacacb
211
≥
−+
+
−+
;
abaccba
211
≥
−+
+
−+
.
Suy ra






++≥







−+
+
−+
+
−+
cbabcaacbcba
111
2
111
2
hay
cbabcaacbcba
111111
++≥
−+
+
−+
+
−+
.(ĐPCM)
Ví dụ 15:Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác . Chứng minh rằng :
2
<
+
+
+
+
+

ba
c
ac
b
cb
a
.
Giải:
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a < b + c
⇒

cba
ca
cb
a
cb
a
++
+
<
+
⇒<
+
1
tương tự
cba
a
cb
a
cb

a
++
<
+
⇒<
+
2
1
;
cba
b
ca
b
++
<
+
2
;
cba
c
ba
c
++
<
+
2
.
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được ĐPCM.
BÀI TẬP:
50. Chứng minh rằng :

(a + b -c)( a - b + c)(-a + b + c)
≤
abc.Với a,b,c là 3 cạnh tam giác
51. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh rằng
( )
cbacba ++<++ 2
222
52. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh rằng

3
≥
−+
+
−+
+
−+
cba
c
bca
b
acb
a
53. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác .
Chứng minh rằng
cacbba +++
1
,
1
,
1

cũng là 3 cạnh của 1 tam giác
==========o0o==========
HƯỚNG DẪN :
50. Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên (a + b -c) > 0. Đặt x = a + b -c; y = a - b + c ;
z = b + c - a. Áp dụng bài tập 28 ta có ĐPCM. Đẳng thức xáy ra khi và chỉ khi a = b =
c.Hay tam giác đã cho là tam giác đều.
51. Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a < b + c
⇒
acaba
+<
2
tương tự
abbcb
+<
2
;
acbcc
+<
2
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta
được ĐPCM
52. Đặt x = a + b -c; y = a - b + c ; z = b + c - a. Suy ra :
6≥
+
+
+
+
+
y
zx

x
zy
z
yx
53. Ta cần chứng minh
bacbca
+
>
+
+
+
111
;
cbcaba
+
>
+
+
+
111
;
cacbba
+
>
+
+
+
111
.
Dựa vào tính chất tổng 2 cạnh lớn hơn cạnh còn lại ,chứng minh :

bacbca
+
>
+
+
+
111
bằng cách làm trội 2 lần liên tiếp.Tương tự :
cbcaba +
>
+
+
+
111
;
cacbba
+
>
+
+
+
111
=========o0o==========
Tiết 29-32
Ví dụ 14:Cho
2
22
≤+
ba
. Chứng minh rằng

2
≤+
ba
Giải:
Giả sử :
2
>+
ba

( )
42
22
2
>++=+⇒
abbaba
mặt khác:
( ) ( )
24222
22222222
>+⇒>+⇒+≤++ bababaabba
.
Điều này trái với giả thiết
2
22
≤+
ba
.Vậy
2
≤+
ba

.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.
Ví dụ 15: Cho 3 số dương a,b,c nhỏ hơn 2. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các BĐT sau
là sai:
a(2 - a) > 1; b(2 - b) > 1; c(2 - c) > 1
Giải: Giả sử cả 3 BĐT trên đều đúng .Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có: a(2 - a). b(2 - b). c(2 - c)
> 1.
Nhưng a(2 - a) = 1 - (a
2
- 2a + 1)
≤
1; tương tự:
b(2 - b)
≤
1: c(2 - c)
≤
1. Mâu thuẫn với điều giả sử.Vậy có ít nhất một trong ba BĐT
trên là sai.
Bài tập áp dụng
54. Cho a + b + c > 0. abc > 0; ab + bc + ca > 0,Chứng minh rằng a > 0; b > 0; c > 0
55. Cho 3 số dương a , b,c .Chứng minh một trong 3 BĐT sau là sai:

2
1
<+
b
a
.;
2
1

<+
c
b
;
2
1
<+
a
c
56. Chứng minh không có các số dương a,b,c nào thoả mãn cả 3 BĐT sau:
4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a) > 1
57. Chứng minh không có các số a,b,c nào thoả mãn cả 3 BĐT sau:
;acb
>−

;bac
>−

;cba
>−
58. Cho ba số dương x,y,z và xyz = 1.Chứng minh nếu:
zyx
zyx
111
++>++
thì có một và chỉ một trong ba số x,y,z lớn hơn 1.
59. Cho 4 số dương a,b,c,d. Chứng minh không thể đồng thời xảy ra các BĐT sau:
a + b < c + d ; (a + b)(c + d) < ab + cd; (a + b)cd < (c + d)ab
HƯỚNG DẪN :
54. Giả sử

0
≤
a
*Nếu a = 0 Suy ra abc = 0 vô lí
*Nếu a < 0 Suy ra b + c > 0. Do abc > 0
⇒
bc < 0

⇒
ab + bc + ca < 0.Chứng minh tương tự với b,c.
55. Giả sử
2
1
<+
b
a
.;
2
1
<+
c
b
;
2
1
<+
a
c
Thì
6

111
<+++++
a
c
c
b
b
a
.Điều này không đúng.
56. Giả sử: 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a) > 1
Thì : 64(1 - a)(1 - b) (1 - c) > 1 (*) và (1 - a) > 0; (1 - b) > 0:
(1 - c) > 0
Nhưng 4a(1 - a)
≤
1; 4b(1 - b)
≤
1; 4c(1 - c)
≤
1
Khi đó: 64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c)
≤
1(**)
(*) mâu thuẫn với (**)
57. Giả sử cả 3 BĐT trên đều đúng .Ta có từ
•
;acb
>−
( ) ( ) ( )( )
00
2

2
2
2
>−−+−⇔>−−⇔>−⇔
acbacbacbacb
•
;bac
>−
( ) ( ) ( )( )
00
2
2
2
2
>−−+−⇔>−−⇔>−⇔
bacbacbacbac
•
;cba >−
( ) ( ) ( )( )
00
2
2
2
2
>−−+−⇔>−−⇔>−⇔
cbacbacbacba
Nhân theo vế 3 BĐT này ta suy điều vô lý
Tiết 33-36
I. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN :
• Khi chứng minh các BĐT có điều kiện dạng:

maaa
n
≥+++
21
,ta thường dùng ẩn phụ
để đưa bài toán về dạng đơn giản hơn để đánh giá trực tiếp.
• Các bước như sau:
1. Dự đoán đẳng thức xảy ra khi nào
2. Đặt
n
m
ax
n
m
ax
n
m
ax
nn
−=−=−=
; ;
2211
Ví dụ 16: Cho a,b,c thoả mãn: a + b
≥
c
≥
0.
Chứng minh:
222
2

1
cba
≥+
Giải:
Đặt:
2
c
ax
−=
;
2
c
by
−=
.Vì a + b
≥
0.
Do đó x + y = a + b - c
≥
0 .Ta có:
( )
2222
2222
22
22
2
1
2
1
4

1
4
1
22
ccyxcyx
ccyyccxx
c
y
c
xba
≥++++=
+++++=






++






+=+
Ví dụ 17: Cho a,b thoả mãn:
2
33
≤+

ba
.
Chứng minh:
2
≤+
ba
Giải:
Đặt:
1
−=
ax
;
1
−=
by
.Ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
233
11
2222
33
33
+++++−+=
=+++=+
yxyxyxyx
yxba
( )
( )

0233
4
3
2
222
2
≤+++








++






−+=
yxy
y
xyx
( )
( )
20
03;03

4
3
2
222
2
≤+⇒≤+⇒
≥+>








++






−
bayx
yxy
y
x
BÀI TẬP:
Bài 40:
Đặt:

1
−=
ax
;
1
−=
by
;
1
−=
cz
.
Suy ra : x , y , z
[ ]
1;1
−∈
;x + y + z = 0.
Ta có:
( )
3
2
2
222
++−=++ zzcba
Bài 41:
( ) ( )
42
55
55
1010211

11
xxxxba
xbxa
++=−++=+
−=⇒+=
Bài 42:
Đặt
yxcybxa
−−=⇒+=⇒+=
111
6
4
3
2
2
2
222
++






+=+++++
by
xcabcabcba
Bài 43:
Đặt
xbdxac

−=⇒+=
ab
xx
bacddc 3
4
3
2
2
2
22
++






+−=++
Bài 44: Cho a,b thoả mãn:
2
≥+
ba
. Chứng minh rằng:
Đặt a = x + 1
⇒
b = 1 - x.Ta có :
( ) ( )
( )
12
11

22
33
3344
+=
−++=−−+
xx
xxxxbaba
Bài 47: Cho a , b > 0.Thoả mãn a + b = 1.
Chứng minh rằng:
14
32
22
≥
+
+
baab
.
Bài 48: Cho a + b + c + d = 1.
Chứng minh rằng:
( )( )
2
1
22
≤++++
bdacdbca
Bài 49: Cho a + b = 8 và b
≥
3.
Chứng minh rằng: 27a
2

+ 10b
2
> 945.
II. MỘT CÁCH KHÁC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN :
• Dạng: Cho
BA
≥
. Chứng minh
DC
≥
• Ta chứng minh
( ) ( )
0≥−+− ABDC
• Từ
( ) ( )
00 ≥−⇒≤− DCAB
Ví dụ 18: Cho a + b
≥
1. Chứng minh rằng:
2
1
22
≥+
ba

Giải:
( )
0
2
1

2
1
4
1
4
1
1
2
1
22
22
22
≥






−+






−=







+−+






+−=
−−+






−+
aabbaa
baba
Nhưng a + b
≥
1 nên
2
1
22
≥+
ba
.Đẳng thức xảy ra khi a = b = 0,5

Ví dụ 19: Cho a,b thoả mãn:
2
≥+
ba
. Chứng minh rằng:
4433
baba
+≤+
.
Giải:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1111
1111
1111
2
2
2
2
2
33

33
3344
++−+++−=
−−+−−=
−−−−−+−=
+−++−+
bbbaaa
bbaa
babbaa
bababa
Do
( )
01
2
>++ aa
và
( )
01
2
>++ bb

Nên
( ) ( )
( )
02
3344
≥+−++−+
bababa
Mà
2

≥+
ba
Suy ra:
4433
baba
+≤+
.Đẳng thức xảy ra khi
a = b = 1
Bài tập áp dụng
Bài 50: Cho x , y là các số dương thoả mãn
3243
yxyx
+≤+
Chứng minh rằng:
a)
2233
yxyx
+≤+
b)
232
yxyx
+≤+
Bài 51:Chứng minh rằng: Nếu
3
≥++
cba
Thì
333444
cbacba
++≥++

Bài 52: Cho
yxyx
+≤+
22
. Chứng minh rằng:
2
≤+
yx

Bài 53: Cho
yxyx
−=+
33
. Chứng minh rằng:
1
22
<+
yx
Bài 54: Cho ab
≥
1. Chứng minh rằng:
baba
+≥+
22
Bài 55: Cho
xyx
≤+
22
. Chứng minh rằng:

( )
11
−≥+
xy

========o0o========
III. ÁP DỤNG BĐT
( )
n
n
n
n
xxx
aaa
x
a
x
a
x
a
+++
+++
≥+++



21
2
21
2

2
2
2
1
2
1`
Bài 56: Cho các số dương x,y thoả mãn x + y = 1.
Chứng minh rằng:
8
21
22
≥
+
+
yxxy
Bài 57: Cho các số dương x,y,z,t thoả mãn x + y + z + t = 1. Chứng minh rằng:
16
1111
≥+++
tzyx
Bài 58: Cho các số dương a,b,c,d.
Chứng minh rằng:
4
≥
+
+
+
+
+
+

+
+
+
+
+
ad
bd
dc
ac
cb
db
ba
ca
Bài 59: Cho các số dương x,y,z. Chứng minh rằng:
yxzxzyzyxxzzyyx ++
+
++
+
++
≥
+
+
+
+
+ 2
1
2
1
2
1

3
1
3
1
3
1
Bài 60: Cho các số dương a,b,c thoả mãn abc = ab + bc + ca.
Chứng minh rằng:
16
3
32
1
32
1
32
1
<
++
+
++
+
++ bacacbcba