Chuyên đề chứng minh tứ giác nội tiếp

A
M
B
C
K
I
O
H
M
E
N
B
C
A
L
D
I
P
H
 Q
F

Trường THCS Nhơn Phúc CHUYÊN ĐỀ TOÁN NÂNG CAO GV:Nguyễn Hồng Ân
Chuyên đề :
TOÁN CHỨNG MINH NHIỀU ĐIỂM THUỘC MỘT ĐƯỜNG
TRÒN
I-MỤC TIÊU:
HS:Nắm vững các phương pháp chứng minh nhiều điểm thuộc một đường tròn.
HS:Có kỹ năng vận dụng các phương pháp vào bài tập môït cách linh hoạt
HS:Rèn luyện kỷ năng vẽ thêm đường phụ ,chọn phương án giải quyết phù hợp
với đề bài ,rèn luyện tính linh hoạt sáng tạo.

II-THỜI LƯNG: (8Tiết)
Tiết 1,2,3
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH:
1-Chỉ ra các điểm cùng cách đều một điểm
2-Chứng minh hai góc đối của tứ giác bù nhau
3-Chứng minh hai đỉnh liên tiếp của tứ giác cùng nhìn xuông một đoạn
dưới những góc bằng nhau.(Dựa vào cung chứa góc)
Các cách khác để chứng minh tứ giác nội tiếp .
-Chứng minh tứ giác là hình thang cân
-Chứng minh một góc của tứ giác bằng một góc ngoài của góc đối diện
Ví du1ï:
Cho tam giác ABC nội tiếp (O) M là một điểm bất kỳ thuộc AC.Gọi H,I,K theo
thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến các đường thẳng AB,AC,BC
.Chứng minh rằng:
a)các điểm A,M,H,I cùng thuộc một đường tròn .
b)Các điểm M,I,K,C cùng thuộc một đường tròn.
c)Các điểm I,H,K thẳng hàng.
Giải:Giả sử H nằm ngoài cạnh AB ,điểm K nằm trên cạnh BC
a) Tứ giác AHMI có AHM + AIM = 90
0
+90
0
= 180
0

=> AHMI là tứ giác nội tiếp
=> A,H,M,I cùng thuộc một đường tròn .
b) MIC = MKC = 90
0
=> I và K thuộc đường tròn có đường

kính MC => M,I,K,C cùng thuộc một đường tròn .
c) Từ câu a) => MIH = MAH (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung HM)
Từ câu b) => MIK+ MCK = 180
0
(Tính chất của tứ giác …).
Ta lại có MAH = MCK (cùng bù BAM)
=> MIH + MIK = 180
0
.Vậy H,I,K thẳng hàng .
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC, các đường cao AM,BN ,CP cắt nhau tại
H .
Gọi D,E,F theo thứ tự là trung điểm của BC,AC,AB .Gọi
(Q) là
1
x
D
A
B
 O
y
C
E
D
C
A
B
E
F
O

M
O
B
A
C
D
H
E
I
Trường THCS Nhơn Phúc CHUYÊN ĐỀ TOÁN NÂNG CAO GV:Nguyễn Hồng Ân
đường tròn đi qua D,E,F.Gọi I là trung điểm của HA
a) C/M tứ giác DEIF là tứ giác nội tiếp
b) Gọi K,L theo thứ tự là trung điểm của HB,HC .C/m K,L thuộc đường tròn (Q)
c) C/m:M,N,P thuộc đường tròn (Q).
Bài giải
a) Theo tính chất đường trung bình của tam giác ,FI //BH,
FD //AC ,mà BH
⊥
AC nên FI
⊥
FD
IFD = 90
0
.Tương tự
DEI = 90
0
.Vậy DEIF là tứ giác nội tiếp đường tròn có đường kính DI .Đường
tròn này đi qua D,E,F nên là đường tròn (Q).
b) Theo câu a) đường tròn (Q) đi qua trung điểm của
AH ,do đó tương tự đường tròn (Q) cũng đi qua trung

điểm của HB,HC tức là K,L cũng thuộc đường tròn (Q)
c) Ta có IMD = 90
0
= > M thuộc đường tròn đường kính ID tức là đường tròn
(Q). Tương tự N,P cũng thuộc đường tròn (Q).
Ví dụ 3:
Cho đường tròn tâm (O) và đường thẳng xy ở ngoài đường tròn đó .Từ O vẽ OA
vuông góc với xy ; Từ A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt đường tròn tại B và C cắt xy
tại D và E .Chứng minh AD = AE .
HD:
Chúng minh :OAD = OBD = 1v
=> B,D thuộc đương tròn đường kính OD hay tứ giác OBAD
nội tiếp một đường tròn đường kính OD
Chứng minh:OCE =1v;OAE =1v
=> OCE + OAE =1v+1v= 2v
=> OCEA nội tiếp
Chứng minh OBD = OCE (g-c-g) => OD =OE
=> DA = AE
Ví dụ 4:Cho đường tròn tâm O AB là đường kính ta kẽ hai đường
thẳng cắt tiếp tuyến của đường tròn tại B ở E và F và cắt
đường tròn tại C và D .c/m tứ giác ECDF nội tiếp .
HD: Chúng minh CEF = CDA = > CEF + CDF = 2v
=> CEFD nội tiếp một đường tròn
Ví dụ5:
Trên đường tròn (O;R) đường kính AB , lấy hai điểm M,E theo thứ tự
A,M,E,B (hai điểm M,E khác hai điểm A,B).AM cắt BE tại C ;AE cắt BM
tại D.
a) Chứng minh MCED là một tứ giác nội tiếp và
ABCD
⊥

b) Gọi H là giao điểm của CD và AB .Chúng minh
BE.BC = BH.BA .
2
B
E
C
I
A
H
K
 O
N’
K
A
B
 O
E
C
M
O’
D
Trường THCS Nhơn Phúc CHUYÊN ĐỀ TOÁN NÂNG CAO GV:Nguyễn Hồng Ân
c)Chứng minh các tiếp tuyến tại Mvà E của (O) cắt nhau tạitrung điểm I
của CD
d)Cho biết BAM = 45
0
và BAE = 30
0
.
Tính diện tích tam giác ABC theo R.

H.Dẫn:
Câu a:Chứng minh tứ giác MCED nôi tiếp
Cm:CMD + CED = 1v+1v = 2v
Chứng minh:CD
AB
⊥
(Tính chất các đường cao trong tam giác)
Câu b: Chứng minh hai tam giác BEA và BHC đồng dạng
=> BE.BC = BH.BA
Câu c: Chứng minh IM là tiếp tuến của (O)
Ta chúng minh:IMD =MAB => MI là tiếp tuyến của (O)
Tương tự chúng minh trên ta cũng C/m được IE là tiếp tuyến của (O)
Câu d:Tính diện tích tam giác ABC theo R
Tính CH =
31
3
+
R
Từ đó
31
3
31
3
.2
2
1
.
2
1
2

+
=
+
==
RR
RCHABS
ABC
(đvdt)
Ví dụ 6:Cho tam giác ABC cân tại A,nội tiếp tong (O) đường kính AI Gọi E là
trung điểm của AB và K là trung điểm của OI .C/mR:AEKC là tứ giác nội
tiếp.
Bài giải:
Gọi H là trung điểm của BE thì KH là đường trung bình của
hình thang vuông OEBI ,suy ra HK//OE//BI,mà OE
BEKHAB ⊥⇒⊥

Từ đó Tam giác KBE cân tại K,suy ra KEB=KBE,Mặt khác
KBE=KCA .Vậy KEB=KCA.Do đó Tứ giác AEKC nội tiếp
Ví dụ 7:
Cho đoạn thẳng AB = 2a coi trung điểm là O .trên cùng nửa mp bờ
AB dựng nửa (O) đường kính AB và nửa (O’) đường kính AO .Trên (O’) lấy
một điểm M (khác A và O) ,tia OM cắt (O) tại C ,gọi D là giao điểm thứ hai của
CA với (O’)
a)Chứng minh tam giác ADM cân
b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tia OD tại H ,đường tròn ngoại tiếp tam
giác COH cắt (O) tại điểm thứ hai là N ,chứng minh ba điểm A,N và M thẳng
hàng .
c)Tại vò trí của M sao cho ME//AB ,hãy tính OM theo a.
Hưóng dẫn:
1)Tacó

∆
OAC cân tại O có OD
⊥
AC ,
⇒
MOD=DOA
DAMhayADDM
∆=⇒
cân tại D
2)Dễ thấy
⇒∆=∆ ) ( cgcCOEAOE
EAO=ECO =90
0
hay EA
⊥
AB nói cách khác EA là tiếp tuyến chung của
(O) và (O’)
3
Trường THCS Nhơn Phúc CHUYÊN ĐỀ TOÁN NÂNG CAO GV:Nguyễn Hồng Ân
3)Giả sử AM cắt (O) tại N’ ,AOC=2AN’C
⇒
COH=CN’H Dẫn đến tứ giác
CHON’ nội tiếp trong một đường tròn ,từ đó ta có
NMANN ,,
'
⇒≡
Thẳng hàng .
4)Vẽ MK
AO⊥
Từ GT :EM//AB ,ta suy ra

∆
MEO cân tại M và tứ giác
AEMK là hình chữ nhật .Đặt ME=MO=x . Ta có MO
2
=AO
2
-AM
2
=AO
2
-AO.AK=AO
2
-
AO.ME.
Vậy x
2
=a
2
-ax.Giải ta được:x =
( )
15
2
1
−a
Tiết 5,6,7,
LUYỆN TẬP:
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn tâm O .Trên cạnh
AB lấ điểm E và trên cạnh AC kéo dài về phía C lấy F sao cho BE = CF .Vẽ
đường kính AA’ của (O).
Chứng minh tam giác A’EF cân và tứ giác AEA’F nôi tiếp

Gọi I là giao điểm của EF và BC .Chúng minh IE =IF
Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R) H là trực tâm BD và CE là
hai đường cao
a) Chứng minh tứ giác ADEH nội tiếp
b) Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua BC .Chứng minh rằng tứ giác
ABH’Cnội tiếp (O)
c) Chúng minh rằng :OA vuông góc DE
Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A lấy D trên AB . vẽ đường tròn
dường kính BD cắt BC tại E và CD cắt đường tròn tại F AE cắt (O) Tại G
a) Chứng minh tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp
b) Chúng minh :FG//AC
c) Chúng minh 3 đường ED,CA,BF đồng quy tại một điểm.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A .Vẽ (O) tiếp xúc AB tại B và tiếp xúc
AC tại C.Trên cung nhỏ BC ở bên trong tam giác ABC lấy M vẽ MD,ME và MF
lần lượt vuông góc với BC ,ABvàAC.
a) Chứng minh rằng :Các tứ giác :MDBE và MDCF nội tiếp
b) Chứng minh rằng :MD
2
= ME.MF
c) Chứng minh rằng :M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
d) Gọi P và Q lầ lượt là giao điểm của BM với DE và MC với DF.Chứng
minh rằng :Tứ giác MPDQ nội tiếp
Bài 5: Cho (O;R),đường kính AB .Kẽ tiếp tuyến Bx . Mlà một điểm di động
trên Bx (M khác B).AM cắt (O) tạiN.Gọi I là trung điểm của AN.
a) C/m: Tứ giác BOIM nội tiếp
b) C/m:Tam giác IBN đồng dạng với tam giác OMB
c) Tìm vò trí của M trên tia Bx để diện tích tam giác AIO có giá trò lớn
nhất.
4
Trường THCS Nhơn Phúc CHUYÊN ĐỀ TOÁN NÂNG CAO GV:Nguyễn Hồng Ân

Bài 6: Cho hình vuông ABCD .lấy M thuộc AB và N thuộc CB sao cho MB=
CN .gọi o là giao điểm của hai đường chéo .AN cắt DC kéo dài tạiP, BP cắt ON
tại Q.
a) Chúng minh rằng :Tứ giác BMON nôi tiếp
b) Chúng minh rằng :MN//BP
c) Chứng minh rằng :CQ vuông góc với PB

GV:Nguyễn Hồng Ân
Duyệt của tổ chuyên môn
Duyệt của BGH
5