Phương trình sai phân

Phơng trình sai phân:
* Dạng a.x
n+1
+ b.x
n
= 0 ( n = 0;1;2 ) 1.1
- Nghiệm tổng quát: x
n
= C.
( )
n
b
a

( n = 0;1;23 ) C là một hằng số
- Vậy muốn tìm nghiệm tổng quát thay giá trị x
0
ban đầu để tính C.
+ Phơng trình 1.1 có phơng trình đặc trng:
. 0
b
a b
a

+ = =
- Vậy nghiệm tổng quát có dạng :
.
n
n
x C

=
* Dạng : a.x
n+1
+ b.x
n
= d
n
( n= 0;1;2; ) (1.7)
( trong đó a

0, b là hằng số, d
n
là các số nào đó.)
Phơng trình còn đợc viết dới dạng: x
n +1
= p.x
n
+ d
n
. ( n = 0;1;2;3 ) (1.8)
- Nghiệm tổng quát là:
,,
n n n
x x x
= +
- Trong đó
.
n
n
x C

=
là nghiệm tỏng quát của phơng trình sai phân thuần nhất.
- x
//
là nghiệm riêng của phơng trình sai phơng không thuần nhất (1.7).
+ Thí dụ : Tìm nghiệm của phơng trình: 5x
n+1
+ 3x
n
= 2
n
( với x
0
= 1, n = 0;1;2;3 )
- Phơng trình đặc trng: 5.

+ 3 = 0; có nghiệm
3
5

=
- Nghiệm tổng quát của phơng trình thuần nhất:
3
.
5
n
n
x C

=
ữ

- Ta tìm nghiệm riêng của phơng trình dới dạng x
//
= C
1
.
2
n

- Thay vào phơng trình đã cho ta đợc: 5. C
1
.
2
n+1
+ 3. C
1
.
2
n
- 2
n

- Từ đó suy ra:
//
1
1 1
; .2
13 13

n
n
C x
= =
- Vởy nghiệm tổng quát:
3
.
5
n
n
x C

=
ữ

+
1
.2
13
n
- Với x
0
= 1; ta tìm đợc
12
13
C
=
- Từ đó nghiệm tổng quát :
12 3 1
. .2

13 5 13
n
n
n
x

= +
ữ

Một số trờng hợp đặc biệt :
- Giả sử d
n
là đa thức bậc k của n
- Nếu a + b

0 thì nghiệm riên x
//
của phơng trình không thuần nhất( 1.7) dới
dạng: x
//
= Q(k)n.
- Nếu a + b = 0 thì nghiệm riên x
//
của phơng trình không thuần nhất( 1.7) dới dạng:
x
//
= nQ(k)n.đa thức bậc k + 1 của n.
+ Thí dụ : Tìm số hạng tổng quát của dãy số :
X
0

= 1; x
n+1
2x
n
= n + 1 ( n = 0;1;2;3 )
Giải:
- Phơng trình 3.

- 2 = 0 có nghiệm
2
3

=

- Nghiệm tổng quát của phơng trình thuần nhất:
2
.( )
3
n
n
x C
=
- Vì a + b = 1

0 và d
n
= n + 1 là đa thức bậc nhất n nên nghiệm riêng của phơng
trình có dạng: x
//
= C

1
.n + C
2

- Thay vào phơng trình dã cho:
( )
[ ]
1 2 1 2
3 1 2C n C C n C
+ + +


đúng
mọi n: từ đó ta suy ra C
1
= 1; C
2
= -2.
- Thay vào nghiệm tổng quát :
,,
n n n
x x x
= +
- Ta đợc:
3
2
2
n
n
x n C

= +
ữ

vì x
0
= 1 nên thay vào tính đợc C = 3
- Vậy số hạng tổng quát là:
3
2 3
2
n
n
x n

= +
ữ

+ Thí dụ:Tìm nghiệm tổng quát của phơng trình: x
0
= 1; x
n+1
=x
n
+ 2n
2
; n

0
Giải:

- Phơng trình đặc trng:

- 1 = 0 có nghiệm

= 1;
- Nghiệm tổng quát phơng trình thuần nhất: x
n
= C
- Vì a + b = 0 và d
n
= 2n
2
nên đa thức bậc hai với n
- Nghiệm rieng của phơng trình là: x
//
= n(C
1
n
2
+C
2
n +C
3
) Thay vào phơng trình đã
cho ta có:
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
1 2 3 1 2 3

1 1 1 2n C n C n C n C n C n C n

+ + + + + + + =


- Từ đó ta suy ra:
1 2 3
2 4
; 2;
3 3
C C C
= = =
- Nghiệm tổng quát của phơng trình đó là:
2 2
2 4
2
3 3
n
x C n n n
= + +
- Thay điều kiện ban đầu n = 0; x
0
=1 tính đợc C = 1
-
- Từ đó nghiệm tổng quát là:
3 2
2 4
1 2
3 3
n

x n n n
= + +
*Chú ý:
;
n n
d d d d
=
, mọi n = 0;1;2;3 thì phơng trình (1.8) có dạng
X
n+1
=p.x
n
+ d nếu p

1; a + b

0 do d
n
= d ) là đa thức bậc 0 mọi n nên phơng
trình có nghiệm riêng x
//
= c
- Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình: x
n+1
= qx
n
+ d có dạng

0 0
1 1

n
n
d d
x Cq biet x C x
q q
= + =

Phơng trình sai phân bậc hai:
Dạng thuần nhất:
- Dạng tổng quát: a.x
n+2
+b.x
n+1
+ c.x
n
= 0 ( n = 0;1;2 ) (1.1)
- Phơng trình đặc trng: a.

2
+b.

+ c = 0 (1.6) có nghiệm dặc trng

1
,

2
.
- Nừu

1



2
Khi đó (1.1) có nghiệm: x
n
= C
1

1
n
+C
2

2
n

- Nh vậy để giải phơng trình sai phơng thuần nhất cấp II ta chỉ cần giải phơng trình
đặc trng bậc hai : a.

2
+b.

+ c = 0
- Để tìm C
1
; C
2
ta chỉ cần thay x

0
; x
1
đã

cho vào x
n
= C
1

1
n
+C
2

2
n
rồi giải hệ
để tìm C
1
; C
2
.
+ Thí dụ Tìm bghiệm của phơng trình sai phân:
X
n+2
= 3x
n+1
+ 28x
n

cho x
0
7 ; x
1
= -6
- Giải phơng trình đặc trng:

2
-3

- 28 = 0 có nghiệm

1
= -4;

2
= 7
- Nghiệm tổng quát có dạng: x
n
= c
1
(-4)
n
+c
2
7
n

- Với n = 0 ta có : C
1

+C
2
= x
0
= 7
- Với n = 1tacó : C
1
+ C
2

= x
1
=-6 Giải HPT ta có : C
1
= 5; C
2
= 2
- Nghiệm tổng quát là: x
n
= 5(-4)
n
+ 2.7
n

+ Trờng hợp có nghiệm kép : Công thức có dạng:
x
n
= C
1

1
n
+C
2
n.

2
n
= ( C
1
+ C
2
n).

n
Thay hai giá trị ban đầu của n để tìm C
1
; C
2
.
+ Thí dụ: Tìm nghiệm của phơng trình sai phân:
x
n+2
= 10.x
n+1
25.x
n
( x
0
= -1; x

1
= 2)
- Phơng trình đặc trng:

2
- 10

+ 25 = 0 có nghiệm

1
=

2
= 5
- Nghiệm tổng quát: x
n
= ( C
1
+ C
2
n). 5
n

- Với n = 0; x
0
= -1;
- Với n = 1; x
1
= 2 vào nghiệm tổng quát tìm đợc C
1

= -1; C
2
=
7
5
- Vởy nghiệm tổng quát của x
n+2
= 10.x
n+1
25.x
n
( x
0
= -1; x
1
= 2)
Là:
7
1 . .5
5
n
n
x n

= +
ữ

Phơng trình tuyến tính sai phơng không thuần nhất:
- Dạng tổng quát: a.x
n+2

+b.x
n+1
+ c.x
n
= d
n
( n = 0;1;2 )
- Nghiệm tổng quát: vào x
n
= C
1

1
n
+C
2

2
n
+ x
//

- Nh vậy bài toán chính là đi tìm nghiệm riêng x
//
. Sau đó tìm C
1
; C
2
.
- Trờng hợp d

n


d.p
n
nghiệm riêng
//
1 2
2
1
1 2 1 2
; ; ;
; ; ;
2
n
n
n
n
dq
x khi q q
aq bq c
ndq
x khi q q
aqb



=
+ +
= = =

Thí dụ: Tìm nghiệm riêng của phơng trình: x
n+2
8x
n+1
+15x
n
= 2.5
n+1
.
- - Giải phơng trình đặc trng:

2
- 8

+ 15 = 0 có nghiệm

1
= 3;

2
= 5.
- Vì 2.5
n+1
= 10.5
n
và q = 5 =

2

1



- áp dụng công thức:
1 1
10 .5
.5
2 2.1.5 8
n n
n
n
ndq n
x n
aq b

= = =
+

- - Trờng hợp : d
n


d phơng trình có dạng: a.x
n+2
+b.x
n+1
+ c.x
n
= d ( n = 0;1;2 )

+ Khi a + b + c

0 ( q = 1 không là nghiệm của phơng trình đặc trng )
- Nghiệm riêng có dạng:
//
n
d
x
a b c
=
+ +
+ Khi a +b +c = 0 nghiệm riêng có dạng:
( )
//
2 0
2
n
dn
x a b
a b
= +
+

( 1) ; 2 0
2
n
d
x n n khi a b
a
= + =

+ Phơng trình sai phânkhông thuần nhất : x
n+2
= 3x
n+1
+28x
n
+ 60.
- Có nghiệm riêng
60
2
1 3 28
n
x
= =

- Nghiệm tổng quát của : x
n+2
= 3x
n+1
+28x
n
là x
n
= C
1
(-4)
n
+C
2
.7

n

- Vậy phơng trình đã cho có nghiệm tổng quát: x
n
= C
1
(-4)
n
+C
2
.7
n
2
- Thay giá trị ban đầu giải HPT tìm C
1
; C
2
. KQ: x
n
= 3.(-4)
n
+ 2.7
n
2
-