Một số tính chất về tính ổn định tiệm cận của các phương trình sai phân có trễ

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học Vinh
===== =====

Võ Công Đông

một số tính chất về tính ổn định tiệm cận
của các phơng trình sai phân có trễ

Luận văn thạc sĩ toán học

Vinh - 2006


Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học Vinh
===== =====

Võ Công Đông

một số tính chất về tính ổn định tiệm cận
của các phơng trình sai phân có trễ

Chuyên ngành: Giải tích
MÃ số: 60.46.01

Luận văn thạc sĩ toán học

Ngời hớng dÉn khoa häc:
TS. Phan Lª Na

Vinh, 12/2006


3

Mục lục
Trang
Lời nói đầu.........................................................................................................
Chơng 1. Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định..............

1.1. Tính ổn định của phơng trình vi phân và sai phân theo nghĩa
Liapunov...................................................................................................
1.2. ổn định các hệ tuyến tính.........................................................................
1.3. ổn định hệ phi tuyến...............................................................................
Chơng 2. Một số tính chất Về tính ổn định tiệm cận của
các phơng trình sai phân có trễ......................................

2.1. Các khái niệm cơ bản..............................................................................
2.2. Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận..................................................
2.3. Một số ứng dụng.....................................................................................
Kết luận...........................................................................................................
Tài liệu tham khảo......................................................................................


4

Lời nói đầu
Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập các vấn đề kỹ thuật, điều khiển thờng liên quan đến hệ động lực mô tả bằng các phơng trình toán học với thời
gian liên tục hay rời rạc dạng:
x(t) = f (t , x(t),u(t)), t ≥ 0

(0.1)

x(k + 1) = f (k, x(k),u(k)),k = 0,1,2...
trong đó x(.) là biểu thức trạng thái mô tả đối tợng đầu ra, u(.) là biểu thức điều
khiển mô tả đối tợng đầu vào của hệ thống. Các đối tợng điều khiển trong các
mô hình điều khiển hệ thống đợc mô tả nh những dữ liệu đầu vào có tác động
quan trọng ở mức độ này hoặc mức độ khác, có thể làm ảnh hởng đến sự vận
hành đầu ra của hệ thống. Nh vậy, ta hiểu một hệ thống điều khiển là một mô
hình hóa toán học đợc mô tả bởi phơng trình toán học biểu thị sự liên hệ vào ra
u(t)

x(t)

x = f ( t , x, u )

(HƯ ®iỊu khiĨn)
mét trong những mục đích chính của bài toán điều khiển hệ thống là tìm điều
khiển (đầu vào) sao cho hệ thống (đầu ra) có những tính chất mà ta mong muốn.
Thông thêng, viƯc chun mét hƯ thèng cã ®iỊu khiĨn tõ vị trí này sang vị trí
khác có thể thực hiện bằng nhiều phơng pháp dới tác động bởi các điều khiển
khác nhau. Căn cứ vào những mục đích cụ thể của hệ thống đầu ra ngời ta xác
định các bài toán điều khiển khác nhau.
Tính ổn định là một trong những tính chất quan trọng của lý thuyết định
tính các hệ động lực và đợc sử dụng nhiều trong các lĩnh vực cơ học, vật lý,
toán, kỹ thuật, kinh tế v.v Nói một cách hình tợng, một hệ thống đợc gọi là ổn
định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc
cấu trúc ban đầu của hệ thống không làm cho hệ thèng thay ®ỉi nhiỊu so víi

5
trạng thái cân bằng đó. Bài toán ổn định hệ thống đợc các nhà toán học, đặc biệt
là V.Liapunov nghiên cứu và đến nay đà trở thành một hớng nghiên cứu không
thể thiếu trong lý thuyết phơng trình vi phân, lý thuyết hệ thống và ứng dụng.
Từ những năm 60 cđa thÕ kû XX, song song víi sù ph¸t triĨn của lý thuyết
điều khiển và do nhu cầu nghiên cứu các tính chất định tính của hệ thống điều
khiển, ngời ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định các hệ điều khiển hay gọi là tính
ổn định hóa của hệ điều khiển. Nói một cách giải tích cho một hệ thống mô tả
bởi phơng trình toán học điều khiển, ví dụ dạng (0.1), bài toán ổn định hóa của
hệ là tìm hàm điều khiển (có thể phụ thuộc vào biến trạng thái mà ngời ta thờng gọi là hàm điều khiĨn ngỵc) u ( x ) = h ( t , x ) sao cho hƯ ®éng lùc:
x ( t ) = f ( t , x ( t ) , h ( t ) , x ( t ) ) = F( t , x ( t ) )

lµ ổn định hoặc ổn định tiệm cận tại trạng thái cân bằng. Cơ sở toán học của bài
toán ổn định hóa là lý thuyết ổn định Liapunov, cụ thể là phơng pháp thứ nhất
và phơng pháp thứ hai Liapunov.
Trên cơ sở các tài liệu về phơng trình và lý thuyết ổn định, áp dụng một
phần phơng pháp thứ hai Liapunov, một số bất đẳng thức ma trận, luận văn trình
bày một điều kiện đủ về tính ổn định của các phơng trình sai phân có trễ, đồng
thời đa ra một số ứng dụng.
Luận văn gồm hai chơng:
Chơng 1. Trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định gồm các
nội dung sau:
1.1. Tính ổn định của phơng trình vi phân và sai phân theo nghĩa Liapunov.
1.2. ổn định các hệ tuyến tính.
1.3. ổn định các hệ phi tuyến.
Chơng 2. Về tính ổn định tiệm cận của các phơng trình sai phân có trễ là
nội dung chính của luận văn gồm các nội dung sau:
2.1. Các khái niệm cơ bản.
2.2. Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận và ổn định tiệm cận địa phơng.

6
2.3. Một số ứng dụng.
Luận văn đợc hoàn thành dới dự hớng dẫn trực tiếp tận tình của

TS.

Phan Lê Na. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến giáo viên hớng dẫn đÃ
dành cho tác giả những giúp đỡ tận tình và tâm huyết trong suốt quá trình học
tập cũng nh trong thời kỳ hình thành và hoàn thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa toán và khoa
Đào tạo Sau Đại học, đặc biệt là PGS.TS. Đinh Huy Hoàng, PGS.TS. Tạ Quang
Hải, PGS.TS. Trần Văn Ân, PGS.TS. Nguyễn Nhụy, PGS.TS. Tạ Khắc C, TS.
Phạm Ngọc Bội và các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, các bạn học viên cao học
12 - Toán, những ngời đà giúp đỡ, động viên, chỉ bảo trong suốt thời gian học
cao học.

Vinh, tháng 12 năm 2006.
Võ Công Đông


7

Chơng 1
một số kiến thức cơ bản
của lý thuyết ổn định
Chơng này trình bày một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định đối
với các hệ phơng trình vi phân và các hệ phơng trình sai phân. Các khái niệm về
tính ổn định, ổn định tiệm cận... và tính chất cơ bản đối với các hệ vi phân và
sai phân đợc trình bày theo [2].

1.1. Tính ổn định của phơng trình vi phân và sai phân theo nghĩa
Liapunov
Xét một hệ thống mô tả bởi phơng trình vi phân
&
x = f (t, x) , t ≥ 0
trong ®ã

x ( t ) R n

là véctơ trạng thái của hệ,

(1.1)
f : R+ ì Rn Rn

là hàm véctơ cho tr-

ớc. Giả thiết f(t, x) là hàm thỏa mÃn các điều kiện sao cho nghiệm của bài toán
Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t 0) = x0, t 0 0 luôn có nghiệm duy
nhất. Khi đó dạng tích phân của nghiệm đợc cho bởi công thức
t

x ( t ) = x 0 + ∫ f (s, x (s))ds .
t0

1.1.1. Định nghĩa. Nghiệm x(t) của hệ (1.1) đợc gọi là ổn định theo nghĩa
Liapunov (gọi tắt là ổn định) khi t → ∞ nÕu víi mäi sè ε > 0 , t 0 ≥ 0 tån t¹i δ > 0
(phơ thuéc ε, t 0 ) sao cho bÊt kú nghiÖm y(t), y(t0) = y0 cđa hƯ tháa m·n
y 0 −x 0 <

thì sẽ nghiệm đúng bất đẳng thức
y( t ) −x ( t ) < ε ∀ ≥ t 0 .
, t


8
Nói cách khác, nghiệm x(t) là ổn định khi mọi nghiệm khác của hệ có giá trị
ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của x(t) thì vẫn đủ gÇn nã trong suèt thêi
gian t ≥ t 0 .
1.1.2. Định nghĩa. Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là
ổn định và có một sè δ > 0 sao cho víi

y 0 −x 0 < δ

th×

Lim y( t ) − x ( t ) = 0 .
t

Nghĩa là, nghiệm x(t) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và mọi nghiệm y(t)
khác có giá trị ban đầu y0 gần với giá trị ban đầu x0 sẽ tiến tới gần x(t) khi t tiến
tới vô cùng.
Nhận xét: Bằng phép biến đổi ( x − y)  z, ( t − t 0 ) hệ phơng trình (1.1)
sẽ đợc đa về dạng quy ®ỉi

&
Z = F(τ,z) ,

(1.2)

trong ®ã F( τ , 0) = 0, và khi đó sự ổn định của một nghiệm x(t) nào đó của hệ
(1.1) sẽ đa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm 0 của hệ (1.2). Để ngắn gọn,
ta sẽ nói hệ (1.2) là ổn định thay cho nói nghiệm 0 của hệ là ổn định. Do đó từ
bây giờ ta xét hệ (1.1) với giả thiết hệ có nghiệm không, tức là f(t,0) = 0,

t R + .

Ta nói:
- Hệ (1.1) là ổn định nếu víi bÊt kú ε > 0 , t 0 ∈ R + sÏ tån t¹i sè δ > 0 (phơ
thc vµo sè ε, t 0 ) sao cho bÊt kú nghiƯm x(t): x(t0) = x0 tháa m·n
x0 <δ

th×

x ( t ) <ε víi

mäi t ≥ t 0 .

- HƯ (1.1) là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và có một số > 0 sao cho
nếu

x0 <

thì Lim x ( t ) = 0 .
t →∞

NÕu sè > 0 trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào thời gian
ban đầu t0 thì tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) đợc gọi là ổn định ®Ịu (hay
ỉn ®Þnh tiƯm cËn ®Ịu).

9
1.1.3. Định nghĩa. Hệ (1.1) là ổn định mũ nếu tồn tại các số M > 0, > 0 sao
cho mäi nghiƯm cđa hƯ (1.1) víi x(t0) = x0 tháa m·n
x ( t ) ≤ Me −δ( t −t 0 )

t t 0 ,

tức là nghiệm không của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của
nó tiến tới không nhanh với tốc độ theo hàm mũ.
1.1.4. Ví dụ. Xét phơng trình vi phân sau trong R
&
x = ax, t ≥ 0
nghiƯm x(t), víi x(t0) = x0 cho bëi c«ng thøc
x(t) = x0eat, t ≥ 0 .
Khi đó hệ là ổn định (tiệm cận, mũ) nếu a < 0. Nếu a = 0 thì hệ là ổn định. Hơn
nữa, hệ sẽ là ổn định đều (hoặc ổn định tiệm cận đều) và số > 0 chọn đợc sẽ
không phụ thuộc vào thời điểm ban đầu t0.
1.1.5. Ví dụ. Xét phơng trình vi phân
&
x(t) = a(t)x , t 0 ,
trong đó a(t):

R+ R

là hàm liên tục, nghiệm x(t) của hệ với điều kiện ban ®Çu

x(t0) = x0 cho bëi
t

∫ a ( τ) dτ .

x (t ) = x 0 e t 0

Do ®ã kiĨm tra đợc ràng buộc hệ là ổn định nếu
t

a ()d à( t 0 ) < +,

t0

là ổn định đều nếu số à(t0) là hằng số không phụ thuộc vào t0, hệ là ổn định
tiệm cận nếu
t

Lim a (τ)dτ = −∞.
t→
∞

t0


10
Trên đây là định nghĩa tính ổn định cho các hệ với thời gian liên tục. Các
định nghĩa đó hoàn toàn đợc định nghĩa tơng tự cho các hệ với thời gian rời rạc
x(k+1) = f(k, x(k)),
trong đó

f : Z+ ì X X

(1.3)

k Z+

là hàm cho trớc.

1.1.6. Định nghĩa. Hệ rời rạc (1.3) gọi là ổn định nếu víi mäi ε > 0 , k 0 ∈ Z + ,
tån t¹i sè δ > 0 (phơ thc k0, ε ) sao cho mäi nghiƯm x(k) cđa hƯ víi
x ( 0) <δ th× x ( k ) <ε,

∀k ≥ k 0 .

1.1.7. Định nghĩa. Hệ rời rạc (1.3) gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và
có mét sè δ > 0 sao cho
Lim x ( k ) = 0
k →∞

víi mäi nghiƯm x(k) víi

x ( 0) <.

1.1.8.Bổ đề Gronwall. Giả sử hàm liên tục dơng u(t) với mọi giá trị t, (a, b)
thỏa mÃn bất đẳng thức tích phân
t

u(t) u() + f (t1 )u(t1 ) dt 1
τ

trong ®ã f(t) ∈ C(a, b) vµ f(t) ≥ 0 víi a < t < b.
Khi ®ã, víi a < t0 ≤ t < b ®¸nh giá hai chiều sau đây đợc thỏa mÃn

t



- f(t1 )dt1

u(t 0 )e t0

t

∫ f(t1 )dt1 .

≤ u(t) ≤ u(t 0 )e t0

Trớc khi vào nghiên cứu tính ổn định các hệ phi tuyến, chúng ta sẽ xét tính
ổn định các hƯ tun tÝnh víi thêi gian liªn tơc cịng nh thời gian rời rạc cùng
với sự khác biệt của chúng.

1.2. ổn định các hệ tuyến tính
Xét hệ vi phân tuyến tÝnh


11
&
x(t) = Ax(t) , t 0

(1.4)

trong đó A là n × n ma trËn. NghiƯm cđa hƯ (1.4) xt phát từ trạng thái ban đầu
x(t0) cho bởi

x(t) = x0 e A ( t −t 0 ) , t ≥ t 0 .
Định lý dới đây cho một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ (1.4),
thờng gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Liapunov.
1.2.1. Định lý. Hệ (1.4) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các
giá trị riêng của A là âm, tức là
Re < 0 , với mọi λ ∈ λ(A) .

Cã thÓ xem chøng minh ë [2].
1.2.2. Ví dụ. Xét tính ổn định của hệ

&
x1 = -x1

&
 x 2 = -2x 2
ta thÊy:

 −1
A =
 0


0

2


vậy giá trị riêng của A là 1,2 = -1, -2 . Hệ ổn định tiệm cận. Nh vậy ®Ĩ xÐt mét
hƯ tun tÝnh dõng cã ỉn ®Þnh hay không ta chỉ cần tìm nghiệm phơng trình đa
thức đặc trng hay giá trị riêng của ma trận A. Đôi khi việc tìm các giá trị riêng

nếu ma trận A có số chiều lớn là khó (khi đó đa thức đặc trng cũng có bậc cao)
nên việc tìm nghiệm đa thức đặc trng cũng sẽ gặp khó khăn.
Dới đây sẽ giới thiệu một phơng pháp khác của Rơuth - Hurwitz để xác định
tính ổn định của hệ trong nhiều trờng hợp thuận tiện hơn.
1.2.3. Định lý. Giả sử đa thức đặc trng mà phơng trình vi phân (1.4) đà cho
là
f (z) = z n + a 1 z n −1 + ... + a n .


12
Khi đó nếu định thức con chính của tất cả các ma trận con D k, k =1,2,...,n là
dơng thì phần thực của tất cả các nghiệm của f(z) là âm, tức là hệ đà cho là
ổn định tiệm cận, trong ®ã
a1
1

det D1 = a1, det D2 = det 

a1

1
det Dk = det 
0

0


a3
a2
a1

0

a3 

a2 


a 2 k −1 

a 4 .... a 2 k −2 
,
a 3 .... a 2 k −3 

0....
ak 

a 5 ....

k = 2,3,....n ,

víi ar = 0, nÕu r > n.
1.2.4. VÝ dô. XÐt tính ổn định phơng trình vi phân
x(4) + 2x(3) + 9x(2) + x(1) + 4x = 0
ta có phơng trình đặc trng là
f() = 4 +2 3 +9 2 ++4 = 0 .
Dễ kiểm tra đợc rằng:
det D1 = 2, det D2 =
2
1

9

4

2

1
9

= 16 > 0
2

0

0

det D2 =

1

2
1

9

= 137 > 0, det D4 =

1

0

0

1
0

9

4

0

2

1

0

0

0

0

4

= 76 > 0.

VËy hƯ ®· cho ổn định tiệm cận.
Tính ổn định hệ tuyến tính dừng (1.4) có quan hệ tơng đơng sự tồn tại

nghiệm của phơng trình ma trận, thờng gọi là phơng trình Liapunov hay phơng
trình Sylester dạng:
A T X + XA = Y

(LE)

trong đó X, Y là các ma trận n ì n và gọi là cặp nghiệm của (LE). Xét hệ (1.4),
từ bây giờ ta sẽ nói ma trận A là ổn định nếu phần thực tất cả các giá trị riªng


13
của A là âm. Theo Định lý 1.2.1 điều này tơng đơng hệ (1.4) là ổn định tiệm
cận.
Định lý 1.2.5 sau đây là tiêu chuẩn tìm điều kiện để hệ (1.4) ổn định tiệm
cận.
1.2.5. Định lý. Ma trận A là ổn định khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận Y đối
xứng xác định dơng, phơng trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác
định dơng X.
Có thể xem chứng minh trong tài liệu [2].
Đối với các hệ tuyến tính không dừng
&
x(t) = A(t) x(t), t 0

(1.5)

thì việc nghiên cứu tính ổn định gặp khó khăn hơn vì nghiệm cơ bản của bài
toán Cauchy lúc đó không tìm đợc dạng hiển qua ma trận A mà phải qua ma
trận nghiệm cơ bản

t , s)

(

của hệ. Ta biÕt r»ng hÖ (1.5) cã nghiÖm

x ( t ) = Φ( t , t 0 ) x 0 ,

trong ®ã

Φ t , s ) là
(

ma trận nghiệm cơ bản của hệ. Nếu A là hằng số, hiển nhiên

ta có
t , s) =eA(t - s)
(

và khi đó có thể nghiên cứu phổ của A để tìm điều kiện ổn định. Trong mục này
chúng tôi sẽ giới thiệu một số tiêu chuẩn ổn định cho hệ hầu nh hằng số.
1.2.6. Định lý. XÐt hƯ (1.5) trong ®ã

A(t ) = A + C (t ) .

Giả sử A là ma trận ổn

định và giả sử C(t) là khả tích trên R+ và
C( t ) a ,

a >0.

Khi đó hệ là ổn ®Þnh tiƯm cËn víi a > 0 ®đ nhá.
Chøng minh. Bây giờ ta viết phơng trình (1.5) dới dạng
x(t) = A x(t) + C(t) x(t), t ≥ 0
do ®ã nghiƯm cđa hƯ víi x(t0) = x0 cho bëi


14
t

x ( t ) = e A ( t −t 0 ) + ∫ e A ( t −s ) C(s) x (s)ds
t0

&
vì A là ma trận ổn định, theo Định lý 1.2.1, hệ x = Ax là ổn định mũ, do đó
theo định nghĩa sẽ có một số
e

At

e
à

à > 0, > 0
t


sao cho

,
t

0

ta có đánh giá sau:
t

x ( t ) ≤ µe −δ( t −t 0 ) x 0 + ∫ µe −δ( s −t 0 ) a x (s) ds
t0

u ( t ) = e δ( t −t 0 ) x ( t ) , c = µ x 0 , a ( t ) = àa

Đặt

và áp dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích ph©n ta cã:
e−δ (t − t 0 ) x(t) ≤ µ x 0 eµa (t − t 0 ) , ∀t ≥ t 0
x ( t ) ≤ µ x 0 e(µa −δ)( t − t 0 ) , t t 0

Do đó:
chỉ cần chọn

a<


, khi đó hệ sẽ là ổn định tiệm cận. Định lý đợc chứng minh.
à

1.2.7. Ví dụ. Xét hệ phơng trình vi phân
1
1

2

&
x1 = 3 x1 + 4 cos t


1
1
1

2
&
x 2 = 5 x1 + (− 2 )x 2 + 4 sin t


ta cã:

 1

0 
−

A= 3
1
1 ,

− 

 5
2

A lµ ma trËn ỉn định vì

1 1
1,2 (A) = , .
2 3
Mặt khác

C( t )

nên hệ là ổn định tiệm cận.

1
1
=a <
4
2

1
2 
 cos t 

C( t ) =  4
1 2 
 sin t 

4



15
1.2.8. Định lý. Xét hệ (1.5) trong đó A(t) là ma trận liên tục theo t. Giả sử tồn
tại các sè µ > 0, δ > 0, K > 0 sao cho:

i)

e A ( s ) t ≤ Ke −δt ,

ii)

Sup A(t ) ≤ µ .

∀ , s ≥0
t

t∈R +

δ
Khi đó hệ là ổn định tiệm cận nếu à <
.
2K

Chứng minh. Ta viết lại hệ phơng trình tơng đơng
&
x = A(t 0 )x(t) + [ A(t) − A(t 0 ) ] x(t),

t ≥ t0 .

NghiƯm x(t) víi x(t0) = x0 cho bëi
t

x ( t ) = e A ( t 0 )( t −t 0 ) x 0 + ∫e A ( t 0 )( t −s ) [A (s) A ( t 0 ) ]x (s)ds .
t

Ta có đánh gi¸ sau:
t

x ( t ) ≤ Ke −δ( t −t 0 ) x 0 + ∫ 2 Kµe −δ( t s ) x (s) ds
t0

Sử dụng bất đẳng thức Gronwall và lý luận tơng tự nh chứng minh Định
lý 1.2.6, ta nhận đợc đánh giá sau:
x ( t ) K x 0 e ( 2 Kµ −δ)( t − t 0 ) , ∀t ≥ t 0 .

NÕu chän µ <

δ
2K

th× ta cã:
x ( t ) ≤ K x 0 e −β( t −t 0 ) , ∀t ≥ t 0

trong đó

= 2 Kà > 0 .

Do đó hệ ổn định tiệm cận định lý đợc chứng minh. Nh vậy, đối với hệ
không dừng ngay cả khi các ma trận A(t) là ổn định với mỗi t cố định, cũng
không đảm bảo sự ổn định của hệ mà còn đòi hỏi mạnh hơn nữa về tính giới nội
đều của A(t). Những kết quả mở rộng hơn, hoặc đối với A(t) là hàm chu kỳ,
A(t) là Lipschitz và tính ổn định của hệ không dừng (1.5), khi ma trận hàm A(t)
có giới hạn khi t .

16
1.2.9. Định lý. Giả sử tồn tại giới hạn

lim A(t ) = A

khi t + và

A

là ma

trận ổn định, khi đó hệ
&
x(t) = (A + B(t))x(t)
là ổn định tiệm cËn nÕu Lim B (t ) = 0 .
t →∞
B©y giờ ta nghiên cứu tính ổn định của hệ rời r¹c sau
x(k + 1) = Ax(k), k ∈ Z +

(1.6)

víi x(0)=x0, th× nghiƯm cđa (1.6) cho bëi
x( k ) = Ak x0 .

VËy ®Ĩ x(k) → 0 khi k → , theo định nghĩa ổn định tiệm cận thì hoặc
A = q < 1 hoặc Ak 0

và do đó tất cả các giá trị riêng của ma trận A có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 là
đợc. Vậy ta có định lý tơng đơng với Định lý 1.2.3 sau đây.
1.2.10. Định lý. Hệ rời rạc (1.6) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi một trong

hai điều kiện sau đợc thỏa mÃn:
i)
ii)

Tồn tại số 0 < q < 1, sao cho || A || = q < 1.
λ< ,
1

víi mäi λ ∈ λ( A) .

1.2.11. VÝ dơ. Xét tính ổn định của hệ
1

+
x 1 (k + 1) = 2 x 1 (k ), k ∈ Z

1
1
 x 2 (k + 1) = x 1 (k ) + x 2 (k )

4
3

ta cã

1

A =2
1


4


0

1 .

3
1 1
2 3

ThÊy rằng các giá trị riêng của A là: 1,2 = ,
tiệm cận.

và nhỏ hơn 1. Vậy hệ ổn định


17
Đối với hệ rời rạc không dừng ta cũng có các tiêu chuẩn về tính ổn định tơng tự, song chứng minh sẽ đợc dựa trên bất đẳng thức Gronwall cho hệ rời
rạc.
1.2.12. Định lý. Xét hệ rời rạc
x(k + 1) = A(k) x(k), k ∈ Z +
i) HƯ lµ ổn định tiệm cận nếu tồn tại số

q (0;1)

sao cho

A( k ) ≤ q, ∀k ∈ Z + ;

ii) NÕu A(k) = A + C(k) trong đó A là ma trận ổn định và

C ( k ) a

.

Khi đó hệ sẽ ổn định tiệm cận với một số a > 0 đủ nhỏ nào đó.
Chứng minh. Ta chứng minh ii) trớc tiên ta thấy nghiệm của hệ rời rạc
x(k + 1) = A x(k) + C(k) x(k)
víi x(0) = x0 cho bëi
k −1

x ( k ) = A k x 0 + ∑A k −i −1C(i) x (i) .
i =0

Dùa vào tính ổn định của A, ta có đánh giá sau:
k −1

x (k ) ≤ q k x 0 + ∑q k −i −1 a x (i)
i =0

sư dơng bÊt đẳng thức Gronwall dạng rời rạc với
v(k ) = q −k x (k ) ,

x (k ) ≤ x 0 q

ta cã

k

C = x0 ,
k -1



a

∏1 + q ,





a (k ) =

a
q

∀k ∈ Z + .

i =0

VËy
V×

x ( k ) ≤ x 0 (q + a ) k .

q ∈( 0;1)

x ( k ) 0

nên sẽ chọn đợc số a > 0 ®đ nhá ®Ĩ 0 < q + a < 1 và do đó

khi k + . Hệ là ổn định tiệm cận. Định lý đợc chứng minh.

1.3. ổn định hệ phi tuyến


18
Trong thực tế, các hệ động lực phần lớn đợc mô tả bởi các phơng trình toán
học phi tuyến. Để giải bài toán ổn định các hệ phi tuyến, Liapunov đà đa ra hai
phơng pháp:
- Phơng pháp thứ nhất: nội dung chính của phơng pháp này là nghiên cứu
tính ổn định thông qua số mũ Liapunov hoặc thông thờng hơn dựa trên hệ xấp
xỉ tuyến tính. Nếu vế phải đủ tốt ví dụ là hàm khả vi liên tục để cã thĨ xÊp xØ hƯ
®· cho b»ng hƯ tun tÝnh tơng ứng, thì tính ổn định khi đó sẽ đợc rút ra từ tính
ổn định hệ xấp xỉ tuyến tính.
- Phơng pháp thứ hai thờng đợc gọi là phơng pháp trực tiếp thứ 2: phơng
pháp này dựa vào sự tồn tại của một lớp hàm trơn đặc biệt gọi là hàm Liapunov
mà tính ổn định của hệ đợc thử trực tiếp qua dấu của đạo hàm theo hàm vế phải
của hệ đà cho.
Mục này sẽ giới thiệu các định lý cơ bản về tính ổn định cho các hệ phi
tuyến bằng hai phơng pháp nói trên.
Xét hệ phơng trình vi phân
&
x(t) = f (t, x(t)),

t0

(1.7)

trong đó f(t,x):R + ì R n → R n lµ hµm phi tun cho tríc, f(t, 0) = 0, víi mäi
t ∈R + .

Cịng nh ở các phần trên ta luôn giả thiết các điều kiƯn f sao cho hƯ (1.7)

cã nghiƯm x(t) víi
x(t 0 ) = x 0 ,

t0 0 .

Định lý sau đây cho điều kiện đủ để hệ (1.7) là ổn định tiệm cận khi hàm vế
phải f(t, x) đợc phân tÝch thµnh tỉng cđa mét ma trËn h»ng vµ mét nhiễu phi
tuyến đủ nhỏ. Ví dụ trờng hợp hàm f(t, x) khả vi liên tục tại x = 0 (không phụ
thuộc vào x) thì theo khai triển Taylor bậc một t¹i x = 0 ta cã
f(x) = A + g(x)
trong ®ã
A=

∂f (0)
, g ( x ) = 0( x ).
∂x


19

1.3.1. Định lý. Xét hệ (1.7) trong đó f(t, x) = A + g(x). Giả sử A là ma trận ổn
định và

g ( x ) =0( x )

khi x 0 thì hệ là ổn định tiệm cận.

Có thể xem chøng minh ë [2].
NhËn xÐt: Ta cã thĨ thay ®iỊu kiÖn

g ( x ) =0( x )

L > 0 sao cho

∀ ∈X
x

g(x ) ≤ L x ,

b»ng ®iỊu kiƯn sau: tồn tại số

khi đó khẳng định của Định lý 1.3.1 vÉn ®óng víi L > 0 tháa m·n ®iỊu kiƯn
L<

δ
.
K

1.3.2. Ví dụ. Xét tính ổn định của hệ phơng trình vi phân sau đây
1 2

&
x 1 = x1 + x1 sin 2 t



2

 x = −2x + 1 x 2 sin 2 t
&
2
2
 2

2
Ta cã:
 −1
A =
 0


0 
,
− 2


1 2 2 
 2 x1 sin t ÷
g(t,x) =
ữ
1 x 2sin 2 t ữ
2
ữ
2

vì A là ma trận ổn định và
1
1 2
4
4
g ( t , x ) = sin 2 t ( x 1 + x 2 ≤ x , g ( t , x ) = 0( x ))
2
2

do đó hệ trên là ổn định tiệm cận.
Định lý sau cho điều kiện đủ để hệ (1.7) là ổn định khi hàm f(t, x) đợc phân
tích thành tổng hai hàm số phụ thuộc thời gian.
1.3.3. Định lý. XÐt hÖ phi tuyÕn
&
x = A(t)x(t) + g(t, x(t)),

t ≥ 0.

(1.8)


20
Gi¶ sư:
i)
ii)

∃K > 0, δ > 0 : Φ(t , s ) ≤ Ke −δ (t −s ) ,

g (t , x) ≤ L(t ) x ,

iii) Sup L(t ) ≤ µ <
t∈R +

∀t ≥ 0,

∀t ≥ s ≥ 0

∀x R n


.
K

Khi đó hệ ổn định tiệm cận.
Có thể xem chứng minh trong tài liệu tham khảo [2].


21

Chơng 2
một số tính chất Về tính ổn định tiệm cận
của các phơng trình sai phân có trễ
Trong chơng này sử dụng phơng pháp thứ 2 của Liapunov, chúng ta thiết
lập điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận của phơng trình sai phân có trễ.
Chúng ta sẽ thu đợc các điều kiện ổn định mới nhờ hệ thống những bất đẳng
thức ma trận áp dụng cho một số lớp những sai phân có trễ. Chẳng hạn nh phơng trình đặc biệt, phơng trình có nhiễu, những hệ điều khiển và những hệ mạch
có trễ.
Ta xét một lớp quan trọng những hệ sai phân gồm có những phơng trình
sai phân có trễ, trong đó việc chậm trễ thờng xuất hiƯn trong nh÷ng hƯ di

trun, nh÷ng hƯ Volka - Volterra, những hệ liên quan đến sự phát triển kinh tế
toàn cầu...
Các hệ đó thờng đợc mô tả bởi một hệ các phơng trình có thời gian gián
đoạn đợc cho bởi
x(k + 1) = f(x(k), x(k – h1), x(k – h2),..., x(k - hp)), k = 0,1,2,...

(2.1)

x(k) = Φ(k), k ∈  −hp , 0 ,



trong ®ã

x ( k ) ∈R n ,

0 ≤ h1 ≤ ... ≤ h p , h i ∈ Z, p ≥ 1, Φ (k) lµ dữ liệu bắt đầu đa ra,

f ( x , x 1 ,..., x p ) : R n ( p +1) R n

là một hàm n véctơ thỏa mÃn f(0, 0,..., 0) = 0. Hệ này

chỉ quan sát những thời gian rời rạc và có trạng thái tại k, k 1,..., k h p là
hoàn toàn xác định.
Sau đây luận văn trình bày một số khái niệm để sử dụng cho các phần sau.

2.1. Các khái niệm cơ bản
Trong chơng này ta sẽ dùng các ký hiệu

R + = [ 0;+)

là tập hợp các số thực

không âm, Z+ là tập hợp các số nguyên không âm; Rn là không gian Euclidean n
- chiều với chuẩn Euclidean và tính vô hớng xTy là một số; Rn x m là tập hợp tất cả


22
các ma trận cấp n ì m; max (A) là giá trị riêng lớn nhất của ma trận A, và AT lµ
ma trËn chun cđa ma trËn A.
Ma trËn
x T Qx 0

Q R nìm

đợc gọi là ma trận xác định không âm ( Q 0 ) nếu

với x ∈ R n .

NÕu xTQx > 0 (xTQx < 0, tơng ứng) với mọi x 0 thì Q đợc gọi là ma trận
dơng và kí hiệu là Q > 0 (Q < 0 tơng ứng).
Dễ dàng nhận thấy rằng Q > 0 (Q < 0 tơng ứng) khi và chØ khi:
2

∃β > 0 : x T Qx ≥ β x ,

( ∃β > 0 : x T Qx ≤ −β x 2 ,

∀x ∈R n
∀ ∈R n

x

, t¬ng øng)

2.1.1. Hàm Liapunov
Xét hàm số V = V(x,t) liên tục theo biÕn t vµ theo tõng biÕn x 1, x2, ..., xn
trong miỊn Z0, trong ®ã
Z0 = {a < t < +∞} × {x(x1, x2, ..., xn) ∈ Rn : ||x|| < h}.
2.1.1.1. Định nghĩa. Hàm thực V(x) đợc gọi là hàm xác định dơng nếu
i) V(0) = 0;
ii) V(x) > 0, với mọi x 0.
2.1.1.2. Định nghĩa. Hàm V(t, x) đợc gọi là hàm xác định dơng theo nghĩa
Liapunov (hay hàm Liapunov), nếu thỏa mÃn các điều kiện sau
i) V(t, 0) = 0;
ii) Tồn tại hàm W(x) xác định dơng và V(t, x) W(x), với mọi x thuộc
lân cận ||x || < h.
2.1.1.3. Định nghĩa. Hàm V(t, x) đợc gọi là hàm xác định âm theo nghĩa
Liapunov (hay hàm Liapunov), nếu thỏa mÃn các điều kiện sau
i) V(t, 0) = 0


23
ii) Tồn tại hàm W(x) xác định dơng sao cho V(t,x) ≤ -W(x), víi mäi x
thc l©n cËn ||x|| < h.
Bây giờ ta xét hệ thời gian rời rạc
x ( k + 1) = f (k , x ( k )),

k ∈Z+

(2.2)

Ta ký hiÖu Vδ = {x ∈ R n : x < } .
Sau đây luận văn trình bày mét sè Bỉ ®Ị ®Ĩ dïng cho viƯc chøng minh phần
chính của luận văn.
2.1.2. Bổ đề.([4]). Nghiệm không của hệ sai phân phi tuyến (2.2) là ổn định
tiệm cận nếu tồn tại hàm xác định dơng

V( x ) : R n → R + ,
2

∃β > 0 sao cho ∇V ( x (k )) = V ( x(k +1)) −V ( x(k )) ≤ −β x(k ) .
Trong trêng hỵp nếu điều kiện trên thỏa mÃn cho mọi x (k ) V ta nói
nghiệm không ổn định tiệm cận địa phơng. Sau đây chúng tôi dẫn ra các Bổ đề
sẽ dùng trong các chứng minh sau này.
2.1.3. Bổ đề.[4]. (Định lý bổ sung Schur). Giả sử M, P, Q là những ma trận
sao cho Q > 0, Q = QT. Khi ®ã ta cã:
 P
 T
M


M
<0
− Q


2.1.4. Bỉ ®Ị.[4]. Gi¶ sư P> 0,

⇔ P + M T Q −1 M < 0 .

F T ( k ).F ( k ) I

, và M, N là các ma trận h»ng.

NÕu tån t¹i sè ε > 0 sao cho εI − M T PM > 0 th×

[ A + MF(k ) N] T P[ A + MF(k ) N] ≤ A T (P −1 − 1 MM T ) −1 A + N T N .


Sau đây, luận văn trình bày một số điều kiện cần và đủ để hệ sai phân tuyến
tính có trễ và hệ sai phân phi tuyến có trễ ổn định tiệm cận.

2.2. Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận


24
Trong phần này chúng tôi trình bày các điều kiện ®đ cho tÝnh ỉn ®Þnh tiƯm
cËn cđa hƯ (2.1) b»ng những bất đẳng thức ma trận. Đầu tiên chúng ta xét hệ sai
phân tuyến tính có trễ sau đây:
p

x (k + 1) = Ax (k ) + ∑ A i x ( k − h i ) , k ∈ Z + ,

(2.3)

i =1

n ìm
trong đó 0 h1 ... ≤ h p ,p ≥ 1, h i ∈ Z, A,A i R
là các ma trận hằng. Kết

quả sau đây là điểm xuất phát để thu đợc các điều kiện ổn định cho hệ
(2.3).
2.2.1. Định lý. Hệ sai phân tuyến tính có trễ (2.3) là ổn định tiệm cận nếu tồn
tại ma trận P > 0 đối xứng sao cho:
p
 T
 A PA − P + ∑ A iT PA i + pI

i =1


T
A 1 PA


.......


A T PA
p


A T PA 1 A T PA 2 .....A T PA p−1 A T PA p
T
T
T
A 1 PA 2 .....A 1 PA p−1 A 1 PA p

−I

A T PA 1 A T PA 2 .....A T PA p−1
p
p
p

Chøng minh. XÐt hµm Liapunov cã d¹ng:
p

V ( y( k )) = x ( k ) T Px (k ) + ∑

k −1

∑x T ( j)Q i x ( j)

i =1 j=k −h i

trong ®ã:

[

]

y( k ) = x ( k ), x (k − h 1 ),..., x ( k − h p ) ,

Sai phân Liapunov của hệ đợc định nghĩa bằng

Q i = A iT PA i + I

−I





 < 0 (2.4)







25
∇V ( y(k )) = V ( x ( k + 1)) − V ( x ( k )) =
T

p
p

 

= Ax (k ) + ∑A i x ( k − h i )  P Ax ( k ) + ∑A i x ( k − h i )  − x T ( k ) Px ( k ) +
i =1
i =1

 

p

+∑

p

k

i =1 j=k +1−h i
T

k −1

∑x T ( j)Q i x ( j) − ∑ ∑x T ( j)Q i x ( j) =
T

i =1 i =k −h

T

T
= x ( k ) A PAx ( k ) + x (k − h 1 )A 1 PAx ( k ) + ... + x T (k − h p ) A T PAx ( k ) +
p
T
+ x T ( k ) A T PA 1 x (k − h 1 ) + x T ( k − h 1 ) A 1 PA 1 x (k − h 1 ) + ... + x T ( k − h p ) A T PA 1 x ( k − h 1 )
p

.......
T
+ x T ( k ) A T PA p x ( k − h p ) + x T (k − h 1 )A 1 PA p x (k − h p ) + ... + x T ( k − h p ) A T PA p x ( k − h p )
p
p

p

i =1

i =1

+ ∑x T ( k )Q i x ( k ) − x T (k ) Px ( k ) − ∑x T (k − h i )Q i x ( k − h i )

b»ng c¸ch nhãm các số hạng lại ta đợc
p
T
A PA P + ∑ Q i

i =1

∇V( y(k )) = y T (k )
T
A 1 PA


.........


A T PA
P


A T PA 1
T

A 1 PA 1 − Q 1

A T PA 1
P





 y( k )
T
T
T
A 1 PA p −1 A 1 PA p 
A 1 PA 2 .....


A T PA 2 .... A T PA p −1 A T PA p − Q p 
P
P
P

A T PA 2 .....

A T PA p −1 A T PA p

ThÕ A iT PQ i − Q i = −I , trong ma trËn cđa hƯ thøc vừa rồi ta thu đợc
p
T
A PA P + ∑ A iT PA i + pI A T PA 1


i =1

∇V( y(k )) = y T (k )
T
−I
A 1 PA


.........


A T PA
A T PA 1
P
P



A T PA 2 ..... A T PA p−1 A T PA p 


 y(k )
T
T
T
A 1 PA 2 ..... A 1 PA p−1 A 1 PA p 


A T PA 2 ....

A T PA p1 I
P
P


Theo điều kiện (2.4) tồn tại mét sè β > 0 sao cho
∇ ( y( k )) y( k )
V


2

.

Do đó tính ổn định tiệm cận của hệ suy ra đợc nếu điều kiện (2.4) đợc thỏa
mÃn. Đó là điều phải chứng minh.
2.2.2. Hệ quả. Sau đây ta thiết lập điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận của
hệ sai phân tuyến tính có trÔ sau:
x (k + 1) = Ax (k ) + A 1 x (k − h ),

k ∈ Z+

(2.5)