ON TAP TOAN 9 HOC KI II

ôn tập Toán lớp 9 kì ii

Dạng I : rút gọn biểu thức
Có chứa căn thức bậc hai
I/ Biểu thức số học
Ph ơng pháp:
Dùng các phơng pháp biến đổi căn thức(đa ra ; đa vào; ;khử; trục; cộng,trừ căn thức đồng dạng;
rút gọn phân số ) để rút gọn biểu thức.
Bài tập:
Thực hiện phép tính:
1)
2 5 125 80 605 +
;
2)
2 3 2 3
2 3 2 3
+
+
+
;
3)
16 1 4
2 3 6
3 27 75

;
4)
( )
2 3 5 2 +
5)
4 10 2 5 4 10 2 5+ + + +

;
6)
15 216 33 12 6 +
;
7)
14 8 3 24 12 3
;
8)
( ) ( )
3 3
2 1 2 1+
II/ Biểu thức đại số:
Ph ơng pháp:
- Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
- Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán cha cho ĐKXĐ)
- Rút gọn từng phân thức(nếu đợc)
- Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất nh:
+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia.
+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
+ Phân tích thành nhân tử rút gọn
Chú ý: - Trong mỗi bài toán rút gọn thờng có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức; giải ph-
ơng trình; bất phơng trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn
nhất Do vậy ta phải áp dụng các ph ơng pháp giải tơng ứng, thích hợp cho từng loại bài.
ví dụ:
Cho biểu thức:
12
1
:
1

11
+
+









+

=
aa
a
aaa
P
a/ Rút gọn P.
b/ Tìm giá trị của a để biểu thức P có giá trị nguyên.
Giải: a/ Rút gọn P:
- Phân tích:
2
)1(
1
:
1
1
)1(

1

+







+

=
a
a
aaa
P
- ĐKXĐ:
101
;0

>
aa
a

- Quy đồng:
1
)1(
.
)1(

1
2
+


+
=
a
a
aa
a
P

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

1
ôn tập Toán lớp 9 kì ii

- Rút gọn:
.
1
a
a
P

=
b/ Tìm giá trị của a để P có giá trị nguyên:
- Chia tử cho mẫu ta đợc:
a
P

1
1=
.
- Lý luận: P nguyên
a
1

nguyên
a
là ớc của 1 là
1
.



=

=
11
)(1
a
ktm
a
Vậy với a = 1 thì biểu thức P có giá trị nguyên.
Bài Tập
Bài 1: Cho biểu thức :
P =

+
+








+


a
a
aa
a
a
aa
1
1
.
1
1

a) Rút gọn P
b) Tìm a để P<
347
Bài2: Cho biểu thức:




















+
+=
1
1
1

1
a
aa
a
aa
P
a/ Rút gọn M
b/ Tìm giá trị của a để M = - 4
Bài 3: Cho biểu thức:
M =









+

+

112
1
2
a
aa
a
aa
a
a

a/ Rút gọn P
b/ So sánh P với 1
Bài 4: Cho biểu thức:
P =









+


+

1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P =
6
1

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

2
ôn tập Toán lớp 9 kì ii

Bi 5: Cho biu thc:

A =
2
1
x x x
x x x



vi ( x >0 v x 1)
1) Rỳt gn biu thc A.
2) Tớnh giỏ tr ca biu thc A ti
3 2 2x = +
Bài 6: Cho biểu thức:
Q =
1 2 2 5
4
2 2
x x x
x
x x
+ +
+ +

+
a. Rút gọn Q với x

0: x

4
b.Tìm x để Q = 2

Bài 7: Cho biểu thức:
P =




















+


+
+
1
3
22

:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 8: Cho biểu thức:
P =
( )
ab
abba
ba
abba
+
+
.
4
2
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi a =
32

và b =
3
Bài 9: Cho biểu thức :
P =
2
1
:
1
1
11
2









+
++
+

+ x
xxx
x
xx
x
a) Rút gọn P

b) Chứng minh rằng P > 0

x
1
Bài 10: Cho biểu thức :
P =
( )
yx
xyyx
xy
yx
yx
yx
+
+










+


2
33

:
a) Rút gọn P
b) Chứng minh P
0

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

3
ôn tập Toán lớp 9 kì ii

Dạng ii:
Phơng trình và Hệ phơng trình

a.Ph ơng trình bậc nhất một ẩn:
Phơng trình bậc nhất một ẩn có dạng:
0
=+
bax
Trong đó a; b là các hệ số. (a là hệ số của ẩn x; b là hạng tử tự do)
Phơng trình bậc mhất một ẩn có nghiệm duy nhất
a
b
x
=
B.Ph ơng trình bậc hai một ẩn:
Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết (c) dạng: ax
2
+ bx = 0
+ Phơng pháp : Phân tích vế trái thành nhân tử , rồi giải phơng trình tích.
+ Ví dụ: giải phơng trình:

063
2
xx
202
003
0)2(3
==
==
=
xx
xx
xx
Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết (b) dạng: ax
2
+ c = 0
+ Phơng pháp: Biến đổi về dạng
mxmx ==
2
+ Ví dụ: Giải phơng trình:

22084
22
=== xxx
Cách giải ph ơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0) bằng công thức nghiệm:
1. công thức nghiệm: Phơng trình: ax

2
+ bx + c = 0
* Nếu

> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x
1
=
-b -
2a

; x
2
=
-b +
2a


* Nếu

= 0 phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
-b
2a
* Nếu

< 0 thì phơng trình vô nghiệm

2 công thức nghiệmthu gọn:
Chú ý: Trong trờng hợp hệ số b là số chẵn thì giải phơng trình trên bằng công thức nghiệm thu gọn:

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

4
acb 4
2
=
ôn tập Toán lớp 9 kì ii



* Nếu

' > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
-b' - '
a

; x
2
=
-b' + '
a


* Nếu

' = 0 phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
-b'
a
* Nếu

' < 0 thì phơng trình vô nghiệm.
3. ví dụ giảI p.t bằng công thức nghiệm:
Giải phơng trình:
043
2
= xx
( a =1; b = - 3; c = - 4)
Ta có:
25169)4.(1.4)3(
2
=+==

0525 >==
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

4
1.2
5)3(
1
=

+
=x

1
1.2
5)3(
2
=

=x
Cách giải ph ơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0) bằng P
2
đặc biệt:
1. Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm
x
1
= 1 và
a
c
x
=
2
2. Nếu phơng trình bậc hai ax
2

+ bx + c = 0 có a - b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm
x
1
= - 1 và
a
c
x

=
2
Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm
x
1
= 1 và
a
c
x
=
2
3. Ví dụ:
Giải phơng trình:
0352
2
=+ xx
Ta có:
2
3
;103)5(2

21
===++=++ xxcba
Giải phơng trình:
043
2
= xx
Ta có:
4
1
)4(
;10)4()3(1
21
=

===+=+ xxcba
Bài tập luyện tập
Bài1:

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

5
b

=
b
2
1
và
acb
=

2''
ôn tập Toán lớp 9 kì ii

Gii cỏc phng trỡnh bc hai khuyt sau:
a) 7x
2
- 5x = 0 ; b) 3x
2
+ 9x = 0 ; c) 5x
2
20x = 0
d) -3x
2
+ 15 = 0 ; e) 3x
2
- 53 = 0 ; f) 3x
2
+ 6 = 0
Bài2:
Dựng cụng thc nghim tng quỏt gii cỏc phng trỡnh sau:
a) 2x
2
- 7x + 3 = 0 ; b) y
2
8y + 16 = 0 ; c) 6x
2
+ x - 5 = 0
d) 6x
2
+ x + 5 = 0 ; e) 4x

2
+ 4x +1 = 0 ; f) -3x
2
+ 2x +8 = 0
Bài 3:
Dùng công thức nghiệm thu gọn để giải các phơng trình sau:
a) 5x
2
- 6x - 1 = 0 ; b) -3x
2
+14x 8 =0 ; c) 4x
2
+ 4x + 1 = 0
d) 1352x
2
14x +1 = 0 ;e) 3x
2
2x 5 = 0 ; f) 16x
2
8x +1 = 0
Bài 4:
Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp đặc biệt:
a) 7x
2
- 9x + 2 = 0 ; b) 23x
2
9x 32 = 0 ;
c) x
2
39x 40 = 0 ; d) 24x

2
29x + 4 = 0 ;
Bài 5: Giải các phơng trình sau:
a) 10x
2
+ 17x + 3 = 2(2x - 1) 15 b) x
2
+ 7x - 3 = x(x - 1) - 1
c) 2x
2
- 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3 d) 5x
2
- x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x
2

e) -6x
2
+ x - 3 = -3x(x - 1) 11 f) - 4x
2
+ x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5
g) x
2
- x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) 1 h) -x
2
- 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7
i) 8x
2
- x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2) k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1
Định lý Vi-et và hệ quả:
1Định lý Vi ét : Nu x

1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) thỡ
S = x
1
+ x
2
= -
a
b
p = x
1
x
2
=
a
c
o lại : Nu cú hai s x
1
,x
2
m x
1
+ x
2

= S v x
1
x
2
= p thì hai số đó l nghiệm (nếu
có)của pt bậc hai: x
2
S x + p = 0
2 Toán ứng dụng định lý Viét
1.Tính nhẩm nghiệm.
Xét phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a

0)
Nếu x
1
+ x
2
= S ; x
1
.x
2
= P Thì x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình x
2
Sx +P ( khi

0
)
Ví du: cho phơng trình:
065
2
=++ xx
ta có
016.1.45
2
>==
và
6)3).(2(;5)3()2( ==+
Nên nghiệm của phơng trình
là
3;2
21
== xx
Bài tập:
Dựng h thc Vi-ột nhm nghim ca phng trỡnh:

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

6
ôn tập Toán lớp 9 kì ii

a) x
2
- 6x + 8 = 0 ; b) x
2
12x + 32 = 0 ;

c) x
2
3x 10 = 0 ; d) x
2
+ 3x - 10 = 0 ;
2.LP PHNG TRèNH BC HAI
Lp phng trỡnh bc hai khi bit hai nghim
1 2
;x x
Vớ d : Cho
1
3x =
;
2
2x =
lp mt phng trỡnh bc hai cha hai nghim trờn
Theo h thc VI-ẫT ta cú
1 2
1 2
5
6
S x x
P x x
= + =


= =


Vy

1 2
;x x
l nghim ca phng trỡnh cú dng:
2 2
0 5 6 0x Sx P x x + = + =
Bài tập:
Lập phơng trình bậc hai biết:
1. x
1
= 8 và x
2
= -3
2 x
1
= 36 và x
2
= -104
3. TèM HAI S BIT TổNG V TCH CA CHNG
Nu hai s cú Tng bng S v Tớch bng P thỡ hai s ú l hai nghim ca phng trỡnh :
2
0x Sx P + =
(Điu kin cú hai s ú l S
2


4P 0 )
Vớ d : Tỡm hai s a, b bit tng S = a + b =

3 v tớch P = ab =

4
Vỡ a + b =

3 v ab =

4 n ờn a, b l nghim ca phng trỡnh :
2
3 4 0x x+ =
gii phng trỡnh trờn ta c
1
1x =
v
2
4x =
Vy nu a = 1 thỡ b =

4
nu a =

4 thỡ b = 1
Bài tập:
Tỡm 2 s a v b bit Tng S v Tớch P
1. S = 3 v P = 2
2. S =

3 v P = 6
3. S = 9 v P = 20
Các dạng toán về biện luận ph ơng trình bậc hai:
1. Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt:
+ Điều kiện:

0>
; (hoặc
0
/
>
)
+ Ví dụ: Cho phng trỡnh: x
2
+ 2x 2m = 0 (1)
Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt?
Giải:
mmmcba 84)2.(1.42)2;2;1(
2
+=====
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt
2
1
480840

>>>+> mmm
2. Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình có nghiệm kép:
+ Điều kiện:
0=
; (hoặc
0
/
=
)
+ Ví dụ: Cho phng trỡnh: x
2

+ 2x k = 0 (1)
Tìm giá trị của kđể phơng trình có nghiệm kép ?

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

7
ôn tập Toán lớp 9 kì ii

Giải:
kkkcba 44).(1.42);2;1(
2
+=====
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt
1440440 ===+= mkk
3. Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình vô nghiệm :
+ Điều kiện:
0
<
; (hoặc
0
'
<
)
+ Ví dụ: Cho phng trỡnh: x
2
+ 2x +n = 0 (1)
Tìm giá trị của n để phơng trình vô nghiệm?
Giải:
nnncba 44.1.42);2;1(
2

=====
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt
1440440
><<=
nnn
4.Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình bậc hai có một nghiệm x = x
1
cho tr -
ớc .Tìm nghiệm thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để ph ơng trình có nghiệm x= x
1
cho tr ớc có hai cách làm:
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:
0
(hoặc
0
/

) (*)
- Thay x = x
1
vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*) để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện
0
(hoặc
0
/

) mà ta thay luôn x = x
1
vào phơng trình đã cho,
tìm đợc giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình , mà phơng trình bậc hai này có

< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x
1
cho trớc.
Để tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm:
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2 trình bầy ở
trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm thứ 2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm,từ đó tìm đợc nghiệm thứ2
4. chứng minh ph ơng trình luôn luôncó nghiệm :
+ Phơng pháp:
- Tính

- Liện luận cho
0

với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức

về dạng:


=
mBA +
2

)(
với
0m
+ Ví dụ: Cho phơng trình
05)2(
2
=+ mxmx
Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
Giải:
Ta có:
5);2(;1 === mcmba

[ ]
204)44()5.(1.4)2(
2
2
++== mmmmm

844 2248
222
++=+= mmmm

08)4(
2
>+= m
Vì
0
>
với mọi giá trị của m nên phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập

Bài 1:
Cho phng trỡnh: 5x
2
+ 2x 2m 1 = 0

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

8
ôn tập Toán lớp 9 kì ii

1/Gii phng trỡnh khi m = 1
2/Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp. Tớnh nghim kộp ú?
Bài 2:
Cho phng trỡnh: x
2
+ mx + 3 = 0
1/Tỡm m phng trỡnh cú nghim?
2/Tỡm m phng trỡnh cú nghim bng 3. Tớnh nghim cũn li?
Bài 3:
Cho phng trỡnh: x
2
2(k 1)x + k 3 = 0
1/Gii phng trỡnh khi k = 2
2/Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi k.
Bài 4:
Cho phng trỡnh: x
2
2x + m = 0
Tỡm m bit rng phng trỡnh cú nghim bng 3. Tớnh nghim cũn li.
Bài 5:

Cho phng trỡnh: x
2
+ (m 1)x 2m 3 = 0
1.Gii phng trỡnh khi m = - 3
2.Chng t phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m.
Bài 6
Cho phơng trình : x
2
+ 4mx + 4m - 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = -2
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 7:
Cho phơng trình : 2x
2
- 6x + (m +7) = 0
a) Giải phơng trình với m = -3
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 4
c) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm
Bài 8:
Cho phơng trình : x
2
- 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = - 4
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 9 :
Biết rằng phơng trình : x
2
- 2(m + 1 )x + m
2
+ 5m - 2 = 0 ( Với m là tham số ) có một nghiệm

x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Bài 10 :
Biết rằng phơng trình : x
2
- 2(3m + 1 )x + 2m
2
- 2m - 5 = 0 ( Với m là tham số ) có một nghiệm
x = -1 . Tìm nghiệm còn lại
Bài 11: Cho phơng trình: x
2
- mx + 2m - 3 = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
Bài 12:Cho phơng trình: x
2
- 2(m- 1)x + m
2
- 3m = 0
Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2. Tìm nghiệm còn lại
Bài 13: Cho phơng trình bậc hai
(m - 2)x
2
- 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

9
ôn tập Toán lớp 9 kì ii

b) Khi phơng trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại

c.hệ Ph ơng trình bậc nhất hai ẩn:
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.






=+
=+
538
24
yx
yx






=+
=
42
6
yx
yx

=
=+
2
623
yx
yx







=+
=
264
132
yx
yx



2 3 5
5 4 1
x y
x y

+ =


=




3 7
2 0
x y
x y
=


+ =





4 2
3 2 4
x y
x y
+ =


+ =

2
2 3 9
x y
x y
=


=



2x 3y 2
4x 6y 2
=


+ =


Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số





=+
=

311110
7112
yx
yx






=
=+
72
33
yx
yx






=
=+
032
852
yx
yx

=
=+
323
223
yx
yx






=
=+
736
425
yx
yx





=+
=
564
1132
yx

yx




=
=+
32
123
yx
yx





=
=+
6156
252
yx
yx





=
=
346

423
yx
yx
d. Một số ph ơng trình th ờng gặp:
1. pH ơng trình tích : Dạng:



=
=
=
0
0
0.
B
A
BA
Ví dụ: Giải phơng trình:
06132
23
=++ xxx
. Phân tích vế trái thành nhân tử bằng phơng pháp nhẩm
nghiệm.( nghiệm thuộc ớc của 6)ta đợc:
3
2
1
2
0)352)(2(
3
2

1
2
=
=
=
=+
x
x
x
xxx
Bài tập:
Bài 1:
01282
234
=+ xxxx
Bài 2:
061132
23
=+ xxx
2.pH ơng trình chứa ẩn ở mẫu :
)9(
10
3
2
3
2
22

=

+

+
xxxx
x
x

3. pH ơng trình vô tỉ:

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

10
ôn tập Toán lớp 9 kì ii

Ví dụ:
Giải phơng trình:
21212 =++ xxxx
PP: + ĐKXĐ:
2
1
012 xx
+ Tạo ra bình phơng của một tổng hoặc một hiệu của biểu thức dới căn để đa ra ngoài căn.
Do thiếu 2 lần tích nên ta nhân cả hai vế của phơng trình với
2
.
+ Xét xem biểu thức dới căn dơng hay không để đặt trong dấu gía trị tuyệt đối rồi giải phơng trình
chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Bài tập:
Bài 1:
31244

22
=++++ xxxx
Bài 2:
3232232 =++ xxxx


Dạng III
đồ thị
)0(&)0(
'2'
=+=
axayabaxy
và tơng quan giữa chúng
I/Tìm hệ số a - iểm thuc ng:

2
x
y
a =
im A(x
A
; y
A
) thuc th hm s y = f(x) y
A
= f(x
A
).
Vớ d :
a/Tỡm h s a ca hm s: y = ax

2
bit th hm s ca nú i qua im A(2;4)
b/ Đồ thị hàm số trên có đi qua điểm B(3; 9) không?
Gii:
a/Do th hm s i qua im A(2;4) nờn: 4 = a.2
2
a = 1
b/ Vì a =1 nên ta có hàm số
2
xy =
Thay x = 3 vào hàm số ta đợc Y = 3
2
= 9 = 9. Vậy B thuộc đồ thị hàm số y = x
2
II/Quan h gia (d): y = ax + b v (P): y = a

x
2
(a

0).
1.Tỡm ta giao im ca (d) v (P).
Bc 1: Tỡm honh giao im l nghim ca phng trỡnh:
a

x
2
= ax + b

a

x
2
- ax b = 0 (1)
Bc 2: Ly nghim ú thay vo 1 trong hai cụng thc y = ax +b hoc y = ax
2
tỡm tung
giao im.
Chỳ ý: S nghim ca phng trỡnh (1) l s giao im ca (d) v (P).

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

11
ôn tập Toán lớp 9 kì ii

2.Tỡm iu kin (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau :
Từ phơng trình (1) ta có:
baabaxxa .4)(0
'22'
+==
a) (d) v (P) ct nhau phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit
0
>
b) (d) v (P) tip xỳc vi nhau phng trỡnh (1) cú nghim kộp
0
=
c) (d) v (P) khụng giao nhau phng trỡnh (1) vụ nghim
0
<
3. Chứng minh (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau với mọi giá trị của tham số :

+ Phơng pháp : Ta phải chứng tỏ đợc phơng trình: a

x
2
= ax + b có :
+
0>
với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức

về dạng:


=
mBA +
2
)(
với
0>m
thì đờng thẳng luôn cắt pa ra bol
+
0
=
với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức

về dạng:


=
2
)( BA

thì đờng thẳng luôn cắt pa ra bol
+
0
<
với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức

về dạng:


=
( )
[ ]
mBA +
2
với
0
>
m
thì đờng thẳng không cắt pa ra bol
bài tập
Bài 1 . cho parabol (p): y = 2x
2
.
1. Tìm giao điểm của (p) với đờng thẳng y = 2x +1.
Bài 2 : Cho (P):
2
2
1
xy =
và đờng thẳng (d): y = ax + b .

1. Xác định a và b để đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).
2. Tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 3 : Cho (P)
2
xy =
và đờng thẳng (d) y = 2x + m
1. Vẽ (P)
2. Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
3. Tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 4 : Cho (P)
4
2
x
y =
và (d): y = x + m
1. Vẽ (P)
2. Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
3. Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ bằng
-4
Bài 5 : Cho hàm số (P):
2
xy =
và hàm số(d): y = x + m
1. Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
2. Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
Bài 6 : Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng (
1
d
) y = -2(x+1)
1. Điểm A có thuộc (

1
d
) không ? Vì sao ?

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

12
ôn tập Toán lớp 9 kì ii

2. Tìm a để hàm số (P):
2
.xay =
đi qua A
3. Xác định phơng trình đờng thẳng (
2
d
) đi qua A và vuông góc với (
1
d
)
Bài 7 : Trong hệ toạ độ xOy cho Parabol (P)
2
4
1
xy =
và đờng thẳng (d):
12 = mmxy

1. Vẽ (P)
2. Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm

Bài 8 : Cho (P):
4
2
x
y =
và đờng thẳng (d):
2
2
+=
x
y
1. Vẽ (P) và (d)
2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
Dạng IV
Giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình .
I, Lí thuyết cần nhớ:
* Bớc 1: + Lập PT hoặc hệ phơng trình;
- Chọn ẩn, tìm đơn vị và ĐK cho ẩn.
- Biểu diễn mối quan hệ còn lại qua ẩn và các đại lợng đã biết.
- Lập PT.hoặc HPT
* Bớc 2: Giải PT hoặc HPT.
* Bớc 3: Đối chiếu với ĐK để trả lời.
II, Bài tập và h ớng dẫn:
1) Toán chuyển động:
Bài 1. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngợc chiều nhau và gặp
nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai
lần vận tốc ôtô đi từ B.
Bài 2: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h . Khi đi từ B về A ngời ấy đi đờng khác dài hơn 6
km, với vận tốc 12km/h. nên thời gian ít hơn thời gian khi đI là 20 phút. Tính quãng đờng AB?
Bài 3. Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km , đi ngợc chiều nhau và gặp nhau sau 1

giờ 40 phút.Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca
nô ngợc dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nớc) và vận tốc dòng nớc là 3 km/h.
2) Toán thêm bớt một l ợng
Bài 4: Hai thùng đựng dầu: Thùng thứ nhất có 120 lít,thùng thứ hai có 90 lít. Sau khi kấy ra ở thùng thứ
nhát một lợng dầu gấp ba lợng dầu lấy ra ở thùng thứ hai, thì lợng dầu còn lại trong thùng thứ hai gấp đôi
lợng dầu còn lại trong thùng thứ nhất. Hỏi đã lấy ra bao nhiêu lít dầu ở mỗi thùng?
3) Toán phần trăm:
Bài 5. Hai trờng A, B có 250 HS lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 HS đã trúng tuyển. Tính riêng tỉ lệ
đỗ thì trờng A đạt 80%, trờng B đạt 90%. Hỏi mỗi trờng có bao nhiêu HS lớp 9 dự thi vào lớp 10.
4) Toán làm chung làm riêng:
Bài 6. Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không có nớc sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi
thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể.
Bài 7. Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ. nếu tổ một làm trong 5 giờ, tổ hai làm
trong 3 giờ thì đợc 30% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành trong bao lâu.

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

13
ôn tập Toán lớp 9 kì ii

4)Các dạng toán khác:
Bài 12. Một thửa ruộng có chu vi 200m . nếu tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng đi 5m thì diện tích
giảm đi 75
2
m
. Tính diện tích thửa ruộng đó.
Bài 13. Một phòng họp có 360 ghế đợc xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi bằng nhau. Nhng
do số ngời đến họp là 400 nên phải kê thêm 1 hàng và mỗi hàng phải kê thêm 1 ghế mới đủ chỗ. Tính xem
lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu

&&&&

Dạng V Bài tập Hình tổng hợp
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O).
Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại
H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P.
Xét tứ giác CEHD ta có: C/M:
1. Tứ giác CEHD, nội tiếp .
2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn.
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC =
BE.AC.
4. H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp
tam giác DEF.
Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác AHE.
1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn.
3. Chứng minh ED =
2
1
BC.
4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc
nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và D. Các đờng thẳng AD và BC
cắt nhau tại N.
1. Chứng minh AC + BD = CD.
2. Chứng minh COD = 90
0

.
3. Chứng minh AC. BD =
4
2
AB
.
4. Chứng minh OC // BM
5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD.
6. Chứng minh MN AB.

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

14
ôn tập Toán lớp 9 kì ii

7. Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc
A , O là trung điểm của IK.
1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.
2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
Bài 5 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng thẳng d lấy điểm
M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm).
Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn .
3. Chứng minh OI.OM = R
2
; OI. IM = IA
2

.
4. Chứng minh OAHB là hình thoi.
5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đờng thẳng d
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đờng
kính của đờng tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đờng tròn tại D cắt CA ở E.
1. Chứng minh tam giác BEC cân.
2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đờng tròn (A; AH).
4. Chứng minh BE = BH + DE.
Bài 7 Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao
cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp đợc một đờng tròn.
2. Chứng minh BM // OP.
3. Đờng thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.
4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng
hàng.
Bài 8 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B). Trên
nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc
IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng: AI
2
= IM . IB.
3) Chứng minh BAF là tam giác cân.
4) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.
5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn.
Bài 9 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng
tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt ở E, F (F ở giữa B và E).
1. Chứng minh AC. AE không đổi.

2. Chứng minh ABD = DFB.
3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.
Bài 10 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn sao cho AM < MB. Gọi
M là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, MA. Gọi P là chân đơng
vuông góc từ S đến AB.

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

15
ôn tập Toán lớp 9 kì ii

1. Chứng minh bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đờng tròn
2. Gọi S là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng tam giác PSM cân.
3. Chứng minh PM là tiếp tuyến của đờng tròn .
********** Hết **********

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

16