Chuyên đề Hàm số bậc nhhất

Trang 1
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
1. Phương trình một ẩn − bậc của phương trình
Ví dụ 1 : Phương trình một ẩn x
a)
2 3 1x x
− = +
→ bậc nhất.
b)
2
3 2 0x x− + =
→ bậc hai.
c)
3 2
4 3 0x x x− + =
→ bậc ba.
 Bậc của phương trình là số mũ cao nhất của ẩn.
 Thay ẩn x bằng một ẩn khác ta có phương trình theo ẩn mới.
Ví dụ 2 : Phương trình một ẩn y, t, z.
a)
2 3 1y y− = +
→ bậc nhất.
b)
2
3 2 0t t− + =
→ bậc hai.
c)
3 2
4 3 0z z z− + =
→ bậc ba.
2. Nghiệm của phương trình − tập nghiệm của phương trình

Ví dụ 1 : Trong các số −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Số nào là nghiệm của mỗi phương trình sau:
a)
( ) ( )
3 2 2 1 4 2x x x− + + = −
b)
2
3 2 0t t+ + =
c)
( ) ( ) ( )
2 1 3 2 5 2 2y y y− − − = − +
d)
( )
3 3 2m m m+ = −
Bài giải
x
−3 −2 −1
0 1 2 3
( ) ( )
3 2 2 1x x− + +
−19 −14 −9 −4
1 6 11
4 2x
−
−14 −10 −6 −2
2 6 10
Vậy : Phương trình có duy nhất một nghiệm
2x =
, nghĩa là
{ }
2S =

.
t
−3 −2 −1
0 1 2 3
2
3 2t t+ +
2 0 0 2 6 12 20
Vậy : Phương trình có hai nghiệm
2t = −
,
1t = −
, nghĩa là
{ }
2, 1S = − −
.
y
−3 −2 −1
0 1 2 3
( ) ( )
2 1 3 2y y− − −
−23 −18 −13
2
−3
2 7
( )
5 2 2y − +
−23 −18 −13
2
−3
2 7

Vậy : Phương trình nhận tất cả các số −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 làm nghiệm nên có thể phương
trình này có rất nhiều nghiệm.
m
−3 −2 −1
0 1 2 3
( )
3m m +
−19 −14 −9 −4
1 6 11
3 2m
−
−14 −10 −6 −2
2 6 10
Vậy : Phương trình không nhận nhận tất cả các số −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 làm nghiệm nên có
thể phương trình này sẽ không có nghiệm.
Trang 2
Ghi nhớ :
 Giá trị
x m=
làm cho hai vế của phương trình có cùng một giá trị thì
x m=
là một
nghiệm của phương trình.
 Một phương trình có thể không có nghiệm nào hoặc có một, hai, ba nghiệm hoặc
có rất nhiều nghiệm.
 Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình gọi là tập nghiệm của phương trình, ký
hiệu là S.
 Phương trình không có nghiệm nào gọi là phương trình vô nghiệm, nghĩa là
S
φ

=
.
 Phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của ẩn gọi là phương trình có vô số
nghiệm, nghĩa là
S R
=
.
3. Các phép biến đổi phương trình
 Phép chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trình mà đổi dấu là phép
biến đổi tương đương.
 Khi ta nhân (hoặc chia) hai vế của phương trình với cùng một số ( hoặc cùng một
biểu thức ) khác O thì được một phương trình mới tương đương.
 Phép bình phương, phép khai phương, phép biến đổi tỷ lệ thức là những phép biến
đổi không tương đương.
LUYỆN TẬP
Bài tập 1 : Trong các số −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Số nào là nghiệm của mỗi phương trình sau:
a)
( ) ( )
2 1 3 1 2 7 2x x x+ − − = +
b)
2
4 3 0t t+ + =

c)
( )
2 1 3 1 2y y y+ − + = +
d)
( ) ( )
1 2 3m m m+ = +
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

1. Phương trình bậc nhất một ẩn
a) Định nghĩa : Phương trình dạng
0, 0ax b a+ = ≠
gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
b) Cách giải :
0
b
ax b ax b x
a
+ = ⇔ = − ⇔ = −
: phương trình có duy nhất một nghiệm.
Ví dụ 1 : Giải phương trình
a)
( ) ( )
3 2 2 4 2 1x x x− − = −
b)
( ) ( )
5 2 3 4 8 2x x x x− − = +

c)
3 5 5 2 3 2
4
2 4 5
x x x− − +
− = −
d)
( )
2 1
2 2 3
1

2 5 6
x
x x
x
−
− +
+ + = −

Bài giải
a)
( ) ( )
3 2 2 4 2 1x x x− − = −
⇔
3 4 2 8 4x x x
− + = −
⇔
5 8x x
=
⇔
3 0x
=
⇔
0x
=
.
b)
( ) ( )
5 2 3 4 8 2x x x x− − = +
⇔
2 2

5 6 8 8 16x x x x− + = +
⇔
22 5x
=
⇔
5
22
x =
.
c)
3 5 5 2 3 2
4
2 4 5
x x x− − +
− = −
⇔
( ) ( ) ( )
10 3 5 5 5 2 4 3 2 4.20x x x− − − = + −
⇔
30 50 25 10 12 8 80x x x
− − + = + −
⇔
7 32x
=
⇔
32
7
x =
.
Trang 3

d)
( )
2 1
2 2 3
1
2 5 6
x
x x
x
−
− +
+ + = −
⇔
( ) ( ) ( ) ( )
30 1 15 2 12 1 5 2 3x x x x+ + − = − − +
⇔
30 30 15 30 12 12 10 15x x x x
+ + − = − − −
⇔
67 3x
= −
⇔
3
67
x = −
.
Ví dụ 2 : Giải phương trình
a)
4 1
0,5 3

5 7
x x
x
−
+ = −
b)
( ) ( )
2
2 1 3
3 2 5
2 3 3
x x
x
+ −
−
− =
c)
1 2 3 4
99 98 97 96
x x x x+ + + +
+ = +
d)
109 107 105 103
4 0
91 93 95 97
x x x x− − − −
+ + + + =
Bài giải
a)
4 1

0,5 3
5 7
x x
x
−
+ = −
⇔
4 1
3
2 5 7
x x x−
+ = −
⇔
( )
35 14 4 1 10 70x x x+ − = −

⇔
35 56 14 10 70x x x
+ − = −
⇔
81 56x
= −
⇔
56
81
x = −
.
b)
( ) ( )
2

2 1 3
3 2 5
2 3 3
x x
x
+ −
−
− =
⇔
( ) ( )
( )
2
3 2 1 3 2 3 2 2.5x x x+ − − − =

⇔
2 2
6 15 9 6 4 10x x x− − − + =
⇔
15 15x
− =
⇔
1x
= −
.
c)
1 2 3 4
99 98 97 96
x x x x+ + + +
+ = +
⇔

1 2 3 4
1 1 1 1
99 98 97 96
x x x x+ + + +
+ + + = + + +
⇔
1 99 2 98 3 97 4 96
99 98 97 96
x x x x+ + + + + + + +
+ = +
⇔
100 100 100 100
99 98 97 96
x x x x+ + + +
+ = +
⇔
( )
1 1 1 1
100 0
99 98 97 96
x
 
+ + − − =
 ÷
 
⇔
100x
= −
.
d)

109 107 105 103
4 0
91 93 95 97
x x x x− − − −
+ + + + =

⇔
109 107 105 103
1 1 1 1 0
91 93 95 97
x x x x− − − −
+ + + + + + + =
⇔
200 200 200 200
0
91 93 95 97
x x x x− − − −
+ + + =
⇔
200x
=
.
2. Phương trình tích
( ) ( )
. 0A x B x =
⇔
( )
0A x =
hoặc
( )

0B x =
Ví dụ 1 : Giải phương trình
a)
( ) ( )
2 1 3 0x x− − =
b)
( ) ( )
1,3 2,6 0,2 0x x− − =
c)
( )
( )
2
3 2 2 1 0x x x− + + =
d)
( ) ( ) ( )
2 3 2 4 1 0x x x− − + =
Bài giải
a)
( ) ( )
2 1 3 0x x− − =
⇔
2 1 0x − =
hoặc
3 0x− =
⇔
1
2
x =
hoặc
3x =

b)
( ) ( )
1,3 2,6 0,2 0x x− − =
⇔
1,3 2,6 0x − =
hoặc
0,2 0x− =

⇔
2x =
hoặc
0,2x =
Trang 4
c)
( )
( )
2
3 2 2 1 0x x x− + + =
⇔
( ) ( )
2
3 2 1 0x x− + =
⇔
3 2 0x
− =
hoặc
( )
2
1 0x + =

⇔
3
2
x =
hoặc
1x
= −
.
d)
( ) ( ) ( )
2 3 2 4 1 0x x x− − + =
⇔
2 0x
− =
hoặc
3 2 0x
− =
hoặc
4 1 0x
+ =
⇔
2x
=
hoặc
3
2
x =
hoặc
1
4

x = −
.
Ví dụ 2 : Giải phương trình
a)
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 1 3 4 5x x x x− + = − −
b)
( ) ( )
2
4 2 2 5x x x− = + −
c)
2
3 4 0x x− =
d)
( ) ( )
2
2 1 3 6x x x x− + = + −
e)
2
3 2 0x x+ + =
f)
( ) ( )
2
2 3 1 2 1x x x x+ − = − −
g)
( ) ( )
2 2
2 3 1 0x x− − + =
h)
( )

( )
2
2
2
5 7 2 5x x x− + = −
Bài giải
a)
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 1 3 4 5x x x x− + = − −
⇔
( ) ( )
3 2 1 4 5 0x x x− + − + =
⇔
( ) ( )
3 6 2 0x x− − =
⇔
3 0x
− =
hoặc
6 2 0x
− =
⇔
3x
=
.
b)
( ) ( )
2
4 2 2 5x x x− = + −
⇔

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 5x x x x− + = + −
⇔
( ) ( )
2 2 5 2 0x x x+ − + − =
⇔
2 0x
+ =
hoặc
3 7 0x
− =
⇔
2x
= −
hoặc
7
3
x =
.
c)
2
3 4 0x x− =
⇔
( )
3 4 0x x − =
⇔
0x
=
hoặc
4

3
x =
.
d)
( ) ( )
2
2 1 3 6x x x x− + = + −
⇔
2 2
2 4 6 6x x x x+ − = + −
⇔
2
3 0x x+ =
⇔
( )
3 0x x + =
⇔
0x
=
hoặc
3x
= −
.
e)
2
3 2 0x x+ + =
⇔
2
2 2 0x x x+ + + =
⇔

( ) ( )
1 2 1 0x x x+ + + =
⇔
( ) ( )
1 2 0x x+ + =
⇔
1x
= −
hoặc
2x
= −
.
f)
( ) ( )
2
2 3 1 2 1x x x x+ − = − −
⇔
2 2
2 3 2 3 1x x x x+ − = − +
⇔
2
5 4 0x x− + =
⇔
2
4 4 0x x x− − + =
⇔
( ) ( )
1 4 1 0x x x− − − =
⇔
( ) ( )

1 4 0x x− − =
⇔
1x =
hoặc
4x =
.
g)
( ) ( )
2 2
2 3 1 0x x− − + =
⇔
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 1 . 2 3 1 0x x x x − − +   − + +  =
   
⇔
( ) ( )
2 3 1 2 3 1 0x x x x− − − − + + =
⇔
( ) ( )
4 3 2 0x x− − =
⇔
4x =
hoặc
2
3
x =
.
e)
( )
( )

2
2
2
5 7 2 5 0x x x− + − − =
⇔
( ) ( )
2 2
5 7 2 5 5 7 2 5 0x x x x x x− + − + − + + − =
⇔
( ) ( )
2 2
7 12 3 2 0x x x x− + − + =
⇔
2
7 12 0x x− + =
hoặc
2
3 2 0x x− + =
⇔
( ) ( )
3 4 0x x− − =
hoặc
( ) ( )
1 2 0x x− − =
⇔
3x =
,
4x =
,
1x =

,
2x =
.
Ghi nhớ 1:
Trang 10
1y = −
⇒
1
1x
x
+ = −
⇔
2
1 0x x+ + =
: phương trình này vô nghiệm.
2y =
⇒
1
2x
x
+ =
⇔
2
2 1 0x x− + =
⇔
( )
2
1 0x − =
⇔
1x

=
.
Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm
1x =
.
4. Phương trình có hệ số bằng chữ
Giải và biện luận phương trình :
0ax b+ =
, (1).
 Biến đổi phương trình về dạng
ax b= −
, (1).
 Nếu
0a
=
thì phương trình (1) có dạng :
0.x b= −
;
o Nếu
0b =
thì phương trình có vô số nghiệm
x
.
o Nếu
0b ≠
thì phương trình vô nghiệm.
 Nếu
0a
≠
phương trình bao giờ cũng có duy nhất một nghiệm

b
x
a
= −
.
Ví dụ 1 : Giải và biện luận phương trình
a)
( )
2 1 3m x x− = +
b)
( ) ( )
3 2 2 3m mx x− = +

c)
( )
2 3m mx x− = +
d)
( ) ( )
3 3 3mx m x m− = −
.
Bài giải
a)
( )
2 1 3m x x− = +
⇔
2 3mx m x
− = +
⇔
2 3mx x m
− = +

⇔
( )
2 1 3m x m− = +
 Nếu
2 1 0m
− =
⇔
1
2
m =
thì (a) có dạng :
1
0. 3
2
x = +
phương trình vô nghiệm.
 Nếu
2 1 0m
− ≠
⇔
1
2
m ≠
thì phương trình (a) có duy nhất một nghiệm
3
2 1
m
x
m
+

=
−
.
b)
( ) ( )
3 2 2 3m mx x− = +
⇔
2
3 4 6m x m x− = +
⇔
( )
2
4 3 6m x m− = +

⇔
( ) ( ) ( )
2 2 3 2m m x m− + = +
 Nếu
( ) ( )
2 2 0m m− + =
⇔
2 0
2 0
m
m
− =


+ =


⇔
1
2
2
2
m
m
=


= −

:
o
2m
=
thì (b) có dạng
( )
0. 3 2 2x = +
nên phương trình đã cho vô nghiệm.
o
2m
= −
thì (b) có dạng
( )
0. 3 2 2x = −
nên phương trình đã cho có vô số nghiệm.
 Nếu
( ) ( )
2 2 0m m− + ≠

⇔
2
2
m
m
≠


≠ −

thì phương trình (a) có duy nhất một nghiệm
( )
( ) ( )
3 2
3
2 2 2
m
x
m m m
+
= =
− + −
.
c)
( )
2 3m mx x− = +
⇔
2
2 3m m x x− = +
⇔

( )
2
1 2 3m x m+ = −

Vì
2
1 0,m m+ ≠ ∀
nên phương trình luôn có nghiệm
2
2 3
1
m
x
m
−
=
+
d)
( ) ( )
3 3 3mx m x m− = −
⇔
2
3 9 3mx mx m− = −
⇔
2
0. 9x m= −
Ta có :
2
9 0m− =
⇔

( ) ( )
3 3 0m m− + =
⇔
1
3m =
;
2
3m = −
.
Trang 11
 Nếu
1
3m =
;
2
3m = −
thì (d) có dạng
0. 0x
=
nên phương trình đã cho có vô số nghiệm.
 Nếu
3m ≠ −
;
3m ≠
thì phương trình đã cho vô nghiệm.
LUYỆN TẬP
Bài tập 1 : Giải phương trình
a)
( ) ( )
2 3 3 5 2 1x x x− − = −

b)
( ) ( )
7 3 3 4 6 3 2x x x x+ − = −

c)
3 2 1 3 2
7
3 4 2
x x x− − −
− = −
d)
( )
2 3
3 3 5
2 1
2 5 6
x
x x
x
+
− −
− + = −

e)
1 2 1 4
3
2 5 3
x x x+ − −
− = −
f)

( ) ( )
2
1 3
5
2
3 2
x x
x
− +
−
− =
g)
1 2 3 4
79 78 77 76
x x x x+ + + +
+ = +
h)
19 17 15 13
4 0
91 93 95 97
x x x x− − − −
+ + + + =
Bài 2 : Giải phương trình
a)
( ) ( )
2 3 4 5 0x x− + =
b)
( ) ( )
2,4 1,2 0,25 0,75 0x x− − =
c)

( )
( )
2
3 2 3 0x x x− + + =
d)
( ) ( ) ( )
3 3 1 2 3 0x x x+ + − =
e)
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 1 2 5 4x x x x− − = − +
f)
( ) ( )
2
9 3 5 3x x x− = − +
g)
2
5 3 0x x− =
h)
( ) ( )
2
2 2 3 5 6x x x x− + = − +
i)
2
6 0x x− − =
j)
( ) ( )
2
3 2 1 2 1x x x x+ + = + −
k)
3 2

4 5 0x x x− + =
l)
3
7 6 0x x− − =

m)
3 2
3 3 1 0x x x+ + + =
n)
( ) ( )
2 2
2 5 3 4 0x x+ − − =
o)
( )
( )
2
2
2
5 3 4 3x x x+ − = −
p)
( ) ( )
2 2
2 2
3 5 7 3x x x x+ + = − −
Bài 3 : Giải phương trình
a)
1
3
2
x

x
+
=
−
b)
2
1 5
3
x
x
x
+
= −
c)
( ) ( )
5 2 2 3
3
2 3
x x
x x
− −
− =
+ +
d)
2
2 3
3
3
x x
x

x
+ −
+ =
−
e)
2 2
3 1
0
6 4x x x
− =
+ − −
f)
2
1 4 2 1
1
x x
x x x x
− −
+ =
+ +
g)
5
2 1
3 2
x
x
= +
−
d)
( )

3
2
2 2 2
3 1 1
1 4 4
: .
2 2 2 1 2 1
x x
x x x
x
x x x x x
+ − −
− −
− =
+ + − −
i)
2 2
1 1 1 1
: 0
4 4 4 4 2 2x x x x x x
   
− + =
 ÷  ÷
+ + − + + −
   
j)
2
1 2 1
. 2 0
1

x
x
x x x x
−
   
− + − =
 ÷  ÷
+ +
   
k)
3
2 2 2
1 1 1
0
1 1 2 1 1
x x
x x x x x
−
 
− + =
 ÷
− + − + −
 
Bài 4 : Giải và biện luận phương trình
a)
( )
2 1x m mx− = +
b)
( )
2 2 3 3m mx x− = −

c)
( ) ( )
3 1 3 1m x m mx− + = −
d)
2
3m x x= −
.
Trang 12
BẤT ĐẲNG THỨC
1. So sánh hai số thực
 Cho hai số thực bất kỳ
a
,
b
bao giờ cũng xảy ra một trong ba khả năng sau :

a b<
; “ a nhỏ hơn b ”

a b=
; “ a bằng b ”

a b>
. “ a lớn hơn b ”.
Hệ quả :
 “ a không nhỏ hơn b ” thì “ a lớn hơn b ” hoặc “ a bằng b ” ký hiệu :
a b≥
.
 “ a không lớn hơn b ” thì “ a nhỏ hơn b ” hoặc “ a bằng b ”, ký hiệu :
a b≤

.
 Cho số thực bất kỳ a bao giờ cũng xảy ra một trong ba khả năng sau :

0a
<
: ta gọi a là số thực âm;

0a =
: ta gọi a là số thực không;

0a
>
: ta gọi a là số thực dương.
2. Định nghĩa : Ta gọi hệ thức
a b<
( hay
a b>
,
a b≤
,
a b≥
) là bất đẳng thức và gọi a là
vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.
Tính chất :

a b
a c
b c
>


⇒ >

>

( tính chất bắc cầu )
Tương tự :
a b
a c
b c
≥

⇒ ≥

≥


a b
a c
b c
<

⇒ <

<


a b
a c
b c
≤


⇒ ≤

≤

a b a c b c
> ⇒ + > +
Khi ta cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng
chiều với bất đẳng thức đã cho.
Tương tự :
a b a c b c
≥ ⇒ + ≥ +

a b a c b c
< ⇒ + < +

a b a c b c
≤ ⇒ + ≤ +
. . , 0
. . , 0
a b a c b c c
a b a c b c c
> ⇒ > ∀ >
> ⇒ < ∀ <
Khi ta nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới
cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Khi ta nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một
số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
Tương tự :
. . , 0
. . , 0

a b a c b c c
a b a c b c c
≥ ⇒ ≥ ∀ >
≥ ⇒ ≤ ∀ <

. . , 0
. . , 0
a b a c b c c
a b a c b c c
< ⇒ < ∀ >
< ⇒ > ∀ <

. . , 0
. . , 0
a b a c b c c
a b a c b c c
≤ ⇒ ≤ ∀ >
≤ ⇒ ≥ ∀ <
Ghi nhớ
 Bất cứ số dương nào cũng lớn hơn số 0.
 Bất cứ số âm nào cũng nhỏ hơn số 0.
 Bất cứ số dương nào cũng lớn hơn số âm.
 Trong hai số dương số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số đó lớn hơn.
 Trong hai số âm số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn.
 Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn
hơn.
Trang 13
 Với mọi số thực a bao giờ ta cũng có :
2
0a ≥

“ bình phương của một số thực bao giờ
cũng là một số không âm ”.
Ví dụ 1 : Điền các dấu thích hợp vào các ô vuông
a) 3,45  3,54 b) −1,21  − 4,57 c) − 4  −7
d)
3
4

4
3
−
e)
5
9
−

7
8−
f)
5
7

7
8
Bài giải
a) 3,45 < 3,54 b) −1,21 > − 4,57 c) − 4 > −7
d)
3
4
>

4
3
−
e)
5
9
−
>
7
8−
f)
5
7
<
7
8
Ví dụ 2 : Cho m bất kỳ, chứng minh :
a)
3 4m m− > −
b)
2 5 2 1m m− < +
c)
( )
7 3 3 3m m− < −
Bài giải
a) Vì
3 4− > −
“ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số m bất kỳ ”
Ta được
3 4m m

− > −
.
b) Vì
5 1− <
“ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 2m bất kỳ ”
Ta được
2 5 2 1m m
− < +
.
c) Vì
7 9<
“ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số −3m bất kỳ ”
Ta được
7 3 9 3m m− < −
⇔
( )
7 3 3 3m m− < −
.
Ví dụ 3 : Cho
0a b> >
chứng minh 1)
2
a ab>
2)
2
ab b>
3)
2 2
a b>
Bài giải

1)
a b>
“ nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số
0a
>
”
⇔
.a a ab>
⇔
2
a ab>
, (1).
2)
a b>
“ nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số
0b >
”
⇔
. .a b b b>
⇔
2
ab b>
, (2).
3) Từ (1) và (2) ta có
2 2
a b>
.
Ví dụ 4 : Cho
x y<
hãy so sánh :

a)
2 1x +
và
2 1y +
b)
2 3x−
và
2 3y−
c)
5
3
x
+
và
5
3
y
+
Bài giải
a)
x y<
“ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ”
⇔
2 2x y<
“ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 1 ”
⇔
2 1 2 1x y+ < +
.
b)
x y

<
“ nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm −3 ”
⇔
3 3x y− > −
“ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 2 ”
⇔
2 3 2 3x y− > −
.
c)
x y
<
“ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương
1
3
”
⇔
3 3
x y
<
“ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 5 ”
Trang 14
⇔
5 5
3 3
x y
+ < +
.
Ví dụ 5 : Cho
a b>
chứng minh :

a)
2 3 2 3a b− > −
b)
2 5 2 8a b− > −
c)
( )
7 3 3 3a b− < −
Bài giải
a)
a b>
“ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ”
⇔
2 2a b>
“ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số : − 3 ”
⇔
( ) ( )
2 3 2 3a b+ − > + −
⇔
2 3 2 3a b− > −
.
b)
a b>
“ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ”
⇔
2 2a b>
“ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số : − 5 ”
⇔
( ) ( )
2 5 2 5a b+ − > + −
⇔

2 5 2 5a b− > −
Vì
5 8− > −
nên
2 5 2 8b b− > −
, theo tính chất bắc cầu ta có
2 5 2 8a b− > −
.
c)
a b>
“ nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm : −3 ”
⇔
3 3a b− < −
“ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 7 ”
⇔
7 3 7 3a b− < −
Vì
7 9
<
nên
7 3 9 3b b− < −
theo tính chất bắc cầu ta có
( )
7 3 3 3a b− < −
.
Ví dụ 6 : So sánh hai số
x
,
y
nếu :

a)
3 5 3 5x y− ≥ −
b)
7 4 7 4x y− < −
Bài giải
a)
3 5 3 5x y− ≥ −
“ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 5 ”
⇔
3 5 5 3 5 5x y− + ≥ − +
⇔
3 3x y≥
“ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương
1
3
”
⇔
1 1
.3 .3
3 3
x y≥
⇔
x y≥
.
b)
( ) ( )
7 4 7 7 4 7x y− + − < − + −
“ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số −7 ”
⇔
4 4x y− < −

“ nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm
1
4
−
”
⇔
( ) ( )
1 1
. 4 . 4
4 4
x y− − > − −
⇔
x y
>
.
Ví dụ 7 : Cho a, b bất kỳ, chứng minh :
1)
2 2
2 0a b ab+ − ≥
2)
2 2
2
a b
ab
+
≥
3)
2 2
0a b ab+ − ≥
.

Bài giải
1) Với a, b bất kỳ ta có
( )
2
0a b− ≥
⇔
2 2
2 0a b ab+ − ≥
.
2)
2 2
2 0a b ab+ − ≥
⇔
2 2
2a b ab+ >
⇔
2 2
2
a b
ab
+
≥
.
3)
2 2
0a b ab+ − ≥
⇔
2 2
2 2
2. . 0

2 2 2
b b b
a a b
   
− + + − ≥
 ÷  ÷
   
⇔
2
2
3
0
2 4
b b
a
 
− + ≥
 ÷
 
.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Trang 15
1. Định nghĩa : Bất phương trình dạng
0ax b+ <
hoặc (
0ax b+ >
,
0ax b+ ≤
,
0ax b+ ≥

)
trong đó a, b là hai số đã cho,
0a ≠
, gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn
x
.
Ví dụ 1 : Trong các bất phương trình sau bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất
một ẩn ?
a)
2 3 0x
− >
→ bất phương trình bậc nhất một ẩn.
b)
2
3 2 0x x− + <
→ không là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
c)
0. 0x ≥
→ không là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
2. Nghiệm của bất phương trình − tập nghiệm của bất phương trình
Ghi nhớ :
 Giá trị
x m=
làm cho bất phương trình trở thành một bất đẳng thức đúng thì
x m=
là
một nghiệm của bất phương trình.
 Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình gọi là tập nghiệm của bất phương
trình, ký hiệu là S.
Ví dụ 1 : Trong các số −1, 0, 1, 2, 3 số nào là nghiệm của mỗi bất phương trình sau : a)

3 2 0x
+ >
b)
4 3 2 1y y− < +
c)
2 0t
− ≥
d)
5 2 3 2m m
− ≤ +
Bài giải
a)
1x = −
⇒
( )
3 1 2 0− + >
⇔
1 0− >
bất đẳng thức sai nên
1x = −
không thể là nghiệm của
bất phương trình
3 2 0x
+ >
.
0x =
⇒
3.0 2 0+ >
⇔
2 0>

bất đẳng thức đúng nên
0x =
là nghiệm của bất phương trình
3 2 0x
+ >
. Tương tự
1x
=
,
2x
=
,
3x
=
là nghiệm của bất phương trình
3 2 0x
+ >
.
b)
1y = −
⇒
( ) ( )
4 3. 1 2. 1 1− − < − +
⇔
7 1
< −
bất đẳng thức sai nên
1y = −
không thể là
nghiệm của bất phương trình

4 3 2 1y y− < +
.
0y =
⇒
4 3.0 2.0 1
− < +
⇔
4 1<
bất đẳng thức sai nên
0y =
không thể là nghiệm của bất
phương trình
4 3 2 1y y− < +
.
1y =
⇒
4 3.1 2.1 1
− < +
⇔
1 3
<
bất đẳng thức đúng nên
1y =
là nghiệm của bất phương
trình
4 3 2 1y y− < +
.Tương tự
2y =
,
3y =

là nghiệm của bất ph trình
4 3 2 1y y− < +
.
c)
1t = −
⇒
1 2 0− − ≥
⇔
3 0− ≥
bất đẳng thức sai nên
1t = −
không thể là nghiệm của bất
phương trình
2 0t
− ≥
.
0t =
⇒
0 2 0− ≥
⇔
2 0− ≥
bất đẳng thức sai nên
0t =
không thể là nghiệm của bất
phương trình
2 0t
− ≥
.
1t
=

⇒
1 2 0− ≥
⇔
1 0− ≥
bất đẳng thức sai nên
1t
=
không thể là nghiệm của bất phương
trình
2 0t
− ≥
.
2t =
⇒
2 2 0− ≥
⇔
0 0≥
bất đẳng thức đúng nên
2t =
là nghiệm của bất phương trình
2 0t
− ≥
.
3. Các phép biến đổi bất phương trình
 Phép chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của bất phương trình mà đổi dấu là
phép biến đổi tương đương.
 Khi ta nhân (hoặc chia) hai vế của phương trình với cùng một số dương thì được một
bất phương trình mới cùng chiều với bất phương trình đã cho. Khi ta nhân (hoặc chia)
hai vế của phương trình với cùng một số âm thì được một bất phương trình mới
ngược chiều với bất phương trình đã cho.

Ví dụ 1 : Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số.
a)
2 4 0x − >
b)
4 3 0x− ≤
c)
2 3 2 3x x− ≥ −
d)
7 3 8 5x x+ < −

Trang 16
Bài giải
a)
2 4 0x
− >
“ chuyển − 4 từ vế trái sang vế phải của bất phương trình và đổi dấu thành 4”
⇔
2 4x >
“ chia hai vế của bất phương trình cho số dương 2 ”
⇔
2x
>
///////////////////|///////////(
b)
9 3 0x− ≥
“chuyển
3x−
từ vế trái sang vế phải của bất phương trình và đổi dấu thành
3x
”

⇔
3 9x
≤
“ chia hai vế của bất phương trình cho số dương 3 ”
⇔
3x ≤
| ]////////////////////////
c)
2 3 2 3x x
− ≥ −
⇔
2 3 2 3x x
+ ≥ +
⇔
5 5x
≥
⇔
1x
≥
.
d)
7 3 8 5x x+ < −
⇔
8 7 3 5x x− > +
⇔
8x >
.
Ví dụ 2 : Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số.
a)
( ) ( )

2 1 3 2 3 1x x x x+ − + > − −
b)
( ) ( ) ( )
2 2 3 3 3 2 2 1x x x x+ − ≤ − + −
c)
( )
1
1 2
3
x x− ≥ +
d)
2 1
3 2 6
x x x
x
−
− < −

Bài giải
a)
( ) ( )
2 1 3 2 3 1x x x x+ − + > − −
⇔
2 2 3 2 3 3x x x x+ − + > − +
⇔
4 4 3x x− > −
⇔
4 4 3x x+ < +
⇔
5 7x <

⇔
7
5
x <
.
| )//////////////////////////
b)
( ) ( ) ( )
2 2 3 3 3 2 2 1x x x x+ − ≤ − + −
⇔
4 6 3 3 6 2 2x x x x
+ − ≤ − + −
⇔
6 4x x+ ≤ −
vô nghiệm với mọi
x
.
c)
( )
1
1 2
3
x x− ≥ +
⇔
( )
1 3 2x x− ≥ +
⇔
1 3 6x x− ≥ +
⇔
3 1 6x x− ≤ − −

⇔
2 7x ≤ −
⇔
7
2
x ≤
| )//////////////
d)
2 1
3 2 6
x x x
x
−
− < −
⇔
( )
2.2 3 1 6x x x x− − < −
⇔
4 3 3 5x x x
− + < −
⇔
5 3x x
+ < −
⇔
6 3x
< −
⇔
3
6
x

−
<
⇔
1
2
x < −
: )///////|//////////////////////////
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Định nghĩa :

a a=
nếu
0a >
; “Giá trị tuyệt đối của một số dương là chính số đó ”

0a =
nếu
0a =
; “Giá trị tuyệt đối của số không là số không ”

a a= −
nếu
0a <
.“Giá trị tuyệt đối của một số âm là số đối của số đó ”.
Muốn giải phương trình có chứa giá trị tuyệt đối trước hết ta phải tìm cách bỏ giá trị tuyệt
đối rồi mới có thể giải phương trình đó.
Ví dụ 1 : Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức
a)
3 2 4A x x= − +
nếu

0x
<
hoặc
0x
≥
b)
5 3 12B x x= − − +
nếu
0x
>
hoặc
0x
≤
c)
3 5C x x= − + −
nếu
7x
>
Trang 17
d)
2 3 2D x x= + + +
nếu
2x
≤ −
hoặc
2x
> −
.
Bài giải
a)

0x <
⇒
4 0x <
⇒
4 4x x= −
⇒
3 2 4 3 2 4 2A x x x x x= − + = − − = − −
.

0x ≥
⇒
4 0x ≥
⇒
4 4x x=
⇒
3 2 4 3 2 4 7 2A x x x x x= − + = − + = −
.
b)
0x >
⇒
5 0x− <
⇒
( )
5 5 5x x x− = − − =
⇒
5 3 12 5 3 12 2 12B x x x x x= − − + = − + = +
.

0x ≤
⇒

5 0x− ≥
⇒
5 5x x− = −
⇒
5 3 12 5 3 12 12 8B x x x x x= − − + = − − + = −
.
c)
7x >
⇒
7 0x − >
⇒
3 0x − >
⇒
3 5 3 5 2 8B x x x x x= − + − = − + − = −
.
d)
2x ≤ −
⇒
2 0x+ ≤
⇒
( )
2 3 2 2 3 2 1B x x x x x= + + + = + − + = +
.

2x > −
⇒
2 0x+ >
⇒
( )
2 3 2 2 3 2 3 5B x x x x x= + + + = + + + = +

.
Ví dụ 2 : Giải phương trình
a)
3 2 4 0x x− + =
b)
5 3 12 3x x− − + =
c)
3 5 2x x x− + − = −
d)
( )
2 3 2 3 1x x x+ + + = −
Bài giải
a) Với
0x <
⇒
4 0x <
⇒
4 4x x= −
⇒
3 2 4 0x x− + =
⇔
3 2 4 0x x− − =
⇔
2 0x− − =

⇔
2x
= −
giá trị này thỏa mãn điều kiện
0x

<
nên
2x
= −
là nghiệm của phương trình.
Với
0x
≥
⇒
4 0x
≥
⇒
4 4x x=
⇒
3 2 4 0x x− + =
⇔
3 2 4 0x x
− + =
⇔
7 2 0x
− =
⇔
2
7
x =
giá trị này thỏa mãn điều kiện
0x
≥
nên
2

7
x =
là nghiệm của phương trình.
Vậy
2
2,
7
S
 
= −
 
 
.
b) Với
0x
>
⇒
5 0x
− <
⇒
( )
5 5 5x x x− = − − =
⇒
5 3 12 3x x− − + =
⇔
5 3 12 0x x
− + =
⇔
2 12x = −
⇔

6x = −
giá trị này không thỏa mãn điều kiện
0x >
nên nó không là nghiệm.
Với
0x ≤
⇒
5 0x− ≥
⇒
5 5x x− = −
⇒
5 3 12 3x x− − + =
⇔
5 3 12 0x x− − + =
⇔
8 12x =
⇔
12 3
8 2
x = =
giá trị này không thỏa mãn điều kiện
0x ≤
nên nó không là nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
c) Với
3 0x − >
⇔
3x >
.
⇒

3 5 2x x x− + − = −
⇔
3 5 2x x x− + − = −
⇔
2 8 2x x− = −

⇔
6x
=
giá trị này thỏa mãn điều kiện
3x
>
nên nó là nghiệm của phương trình.
Với
3 0x − ≤
⇔
3x ≤
.
⇒
3 5 2x x x− + − = −
⇔
( )
3 5 2x x x− − + − = −
⇔
2 2x− = −
⇔
0x
=
giá trị này thỏa mãn điều kiện
3x

≤
nên nó là nghiệm của phương trình.
Vậy
{ }
0,6S =
.
d) Với
2 0x+ ≤
⇔
2x ≤ −
.
⇒
( )
2 3 2 3 1x x x+ + + = −
⇔
( ) ( )
2 3 2 3 1x x x+ − + = −
⇔
1 3 3x x+ = −
⇔
2 4x =
⇔
2x
=
giá trị này không thỏa mãn điều kiện
2x
≤ −
nên nó không là nghiệm.
Với
2 0x+ >

⇔
2x > −
.
Trang 18
⇒
( )
2 3 2 3 1x x x+ + + = −
⇔
( ) ( )
2 3 2 3 1x x x+ + + = −
⇔
3 5 3 3x x
+ = −
⇔
0. 8x
=
Phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 3 : Giải phương trình
a)
2 2 5x x− − =
b)
3 2 5x x− + =
c)
2 1 3 7x x x− + − = +
d)
2 1 3 2x x x− = + − +
Bài giải
a)
0x <
⇒

4 0x <
⇒
4 4x x= −
⇒
3 2 4 3 2 4 2A x x x x x= − + = − − = − −
.

0x ≥
⇒
4 0x ≥
⇒
4 4x x=
⇒
3 2 4 3 2 4 7 2A x x x x x= − + = − + = −
.
b)
0x >
⇒
5 0x− <
⇒
( )
5 5 5x x x− = − − =
⇒
5 3 12 5 3 12 2 12B x x x x x= − − + = − + = +
.

0x ≤
⇒
5 0x− ≥
⇒

5 5x x− = −
⇒
5 3 12 5 3 12 12 8B x x x x x= − − + = − − + = −
.
c)
7x >
⇒
7 0x − >
⇒
3 0x − >
⇒
3 5 3 5 2 8B x x x x x= − + − = − + − = −
.
d)
2x ≤ −
⇒
2 0x+ ≤
⇒
( )
2 3 2 2 3 2 1B x x x x x= + + + = + − + = +
.

2x > −
⇒
2 0x+ >
⇒
( )
2 3 2 2 3 2 3 5B x x x x x= + + + = + + + = +
.
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI ( Cauchy )

Nếu
0a ≥
,
0b ≥
thì
2
a b
ab
+
≥

“ Trung bình cộng của hai số không âm bao giờ cũng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của
hai số đó ”
Bài giải
Vì
0a
≥
,
0b ≥
nên tồn tại
a
,
b
và
( )
a b R− ∈
thế thì :
( )
2
0a b− ≥

⇔
( ) ( )
2 2
2 0a a b b− + ≥
⇔
2a b ab+ ≥
⇔
2
a b
ab
+
≥
.
HÀM SỐ BẬC NHẤT
1. Khái niệm hàm số
 Nếu đại lượng
y
phụ thuộc vào đại lượng thay đổi
x
sao cho với mỗi giá trị của
x
, ta
luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của
y
thì
y
được gọi là hàm số của
x
, và
x

được gọi là biến số.
 Khi hàm số được cho bằng công thức
( )
y f x=
, ta hiểu rằng biến
x
chỉ lấy những giá trị
mà tại đó
( )
f x
xác định.
Ví dụ 1 : a) Cho hàm số
( )
3f x x=
, tính :
( )
2f −
;
( )
1f −
;
( )
0f
;
1
3
f
 
 ÷
 

;
( )
3f
.
b) Cho hàm số
( )
3 1g x x= +
, tính :
( )
2g −
;
( )
1g −
;
( )
0g
;
1
3
g
 
 ÷
 
;
( )
3g
.
Bài giải
a) Cho hàm số
( )

3f x x=
, tính :
Trang 19

( ) ( )
2 3. 2 6f − = − = −
;
( ) ( )
1 3. 1 3f − = − = −
;
( )
0 3.0 0f = =

1 1
3. 1
3 3
f
 
= =
 ÷
 
;
( )
3 3. 3f =
.
b) Cho hàm số
( )
3 1g x x= +
, tính :

( ) ( )
2 3. 2 1 6 1 5g − = − + = − + = −
;
( ) ( )
1 3. 1 1 2g − = − + = −

( )
0 3.0 1 1g = + =
;
1 1
3. 1 2
3 3
g
 
= + =
 ÷
 
;
( )
3 3. 3 1g = +
.
Ví dụ 2 : Tính các giá trị :
( )
1f −
;
( )
0f
;
3
2

f
 
 ÷
 
;
( )
3f
;
( )
f a
;
( )
f m n+
.
a)
2
2 3y x x= − +
; b)
3 2
1
x
y
x
+
=
+
c)
4 2y x= −
.
Bài giải

a)
2
2 3y x x= − +
, tính :

( ) ( ) ( )
2
1 1 2. 1 3 6f − = − − − + =
;
( )
2
1 0 2.0 3 3f − = − + =
;

2
3 3 3 9
2. 3
2 2 2 4
f
     
= − + =
 ÷  ÷  ÷
     
;
( ) ( ) ( )
2
3 3 2. 3 3 2 3 3 1f = − + = −
;

( )

2
2. 3f a a a= − +
;
( ) ( ) ( )
2
2 3f m n m n m n+ = + − + +
.
b)
3 2
1
x
y
x
+
=
+
, tính :
Vì
1x = −
thì
1 0x + =
nên
( )
1f −
không xác định;

( )
3.0 2
0 2
0 1

f
+
= =
+
;
3
3 2
3 13
2
3
2 5
1
2
f
+
 
= =
 ÷
 
+
;

( )
( ) ( )
( )
2
3 3 2 3 1
3 3 2 9 3 3 2 3 2 7 3
3
2 2

3 1
3 1
f
+ −
+ − + − −
= = = =
+
−
;
Khi
1a ≠ −
thì
( )
3 2
1
a
f a
a
+
=
+
, khi
1a = −
hàm số không xác định;
Khi
1m n+ ≠ −
thì
( )
( )
3 2

1
m n
f m n
m n
+ +
+ =
+ +
, khi
1m n+ = −
hàm số không xác định.
c)
4 2y x= −
, tính :

( ) ( )
1 4 2. 1 6f − = − − =
;
( )
0 4 2.0 4 2f = − = =
;
3 3
4 2. 1 1
2 2
f
 
= − = =
 ÷
 
;
( ) ( )

2
3 4 2 3 3 1 3 1 3 1f = − = − = − = −
;
Trang 20
Khi
4 2 0 2a a
− ≥ ⇔ ≤
⇒
( )
4 2f a a= −
; khi
2a
>
thì
4 2 0a
− <
hàm số không xác định.
Khi
2m n
+ ≤
⇒
( ) ( )
4 2f m n m n+ = − +
; khi
2m n
+ >
thì hàm số không xác định.
Ví dụ 3 : Tìm tập xác định của hàm số
a)
2 3y x= −

b)
3 2
1
x
y
x
−
=
+
c)
5y x= −
d)
3 2y x x= + + −
.
Bài giải
a)
2 3y x= −
, cho
x R
∈
bao giờ cũng xác định được
y
. Ta bảo hàm số xác định với mọi
x
.
b)
3 2
1
x
y

x
−
=
+
xác định khi
1 0x
+ ≠
⇔
1x
≠ −
;
c)
5y x= −
xác định khi
5 0x
− ≥
⇔
5x
≤
;
d)
3 2y x x= + + −
xác định khi
3 0
2 0
x
x
+ ≥



− ≥

⇔
3
2
x
x
≥ −


≤

⇔
3 2x
− ≤ ≤
.
Ví dụ 4 : Tìm tập xác định của hàm số
a)
2
2 3y x x= − −
b)
2 3
2
x
y
x
−
=
−
c)

2
2 3
4
3
x
y x
x
−
= − +
+
d)
( ) ( )
2 1
1 2
x
y
x x
+
=
+ −
e)
2
3 2 4 1 2y x x x x= − + + + − −
.
Bài giải
a)
2
2 3y x x= − −
xác định khi
2

2 3 0x x− − ≥
⇔
2
3 3 0x x x+ − − ≥
⇔
( ) ( )
1 3 1 0x x x+ − + ≥
⇔
( ) ( )
1 3 0x x+ − ≥
⇔ hoặc
1 0
3 0
x
x
+ ≥


− ≥

hoặc
1 0
3 0
x
x
+ ≤


− ≤


;
(a1)
1 0
3 0
x
x
+ ≥


− ≥

⇔
1
3
x
x
≥ −


≥

⇔
3x
≥
;
(a2)
1 0
3 0
x
x

+ ≤


− ≤

⇔
1
3
x
x
≤ −


≤

⇔
1x
≤ −
.
Vậy hàm số xác định với mọi
x
sao cho
1x ≤ −
hoặc
3x ≥
.
b)
2 3
2
x

y
x
−
=
−
xác định khi
2 3
0
2
x
x
−
≥
−
⇔ hoặc
2 3 0
2 0
x
x
− ≥


− >

hoặc
2 3 0
2 0
x
x
− ≤



− <

;
(b1)
2 3 0
2 0
x
x
− ≥


− >

⇔
3
2
2
x
x

≥



>

⇔
2x >

;
(b2)
2 3 0
2 0
x
x
− ≤


− <

⇔
3
2
2
x
x

≤



<

⇔
3
2
x ≤
.
Vậy hàm số xác định với mọi

x
sao cho
2x >
hoặc
3
2
x ≤
.
Trang 21
c)
2
2 3
4
3
x
y x
x
−
= − +
+
xác định khi
2
4 0
3 0
x
x

− ≥

+ ≠


⇔
( ) ( )
2 2 0
3
x x
x
 − + ≥


≠ −


⇔ hoặc
2 0
2 0
3
x
x
x
− ≥


+ ≥


≠ −

hoặc
2 0

2 0
3
x
x
x
− ≤


+ ≤


≠ −

;
(c1)
2 0
2 0
3
x
x
x
− ≥


+ ≥


≠ −

⇔

2
2
3
x
x
x
≤


≥ −


≠ −

⇔
2 2x
− ≤ ≤
;
(c2)
2 0
2 0
3
x
x
x
− ≤


+ ≤



≠ −

⇔
2
2
3
x
x
x
≥


≤ −


≠ −

không có
x
nào thỏa mãn.
Vậy hàm số xác định với mọi
x
sao cho
2 2x− ≤ ≤
.
d)
( ) ( )
2 1
1 2

x
y
x x
+
=
+ −
xác định khi
( ) ( )
2 1
0
1 2
x
x x
+
≥
+ −
⇔ hoặc
( ) ( )
2 1 0
1 2 0
x
x x
+ ≥



+ − >


hoặc

( ) ( )
2 1 0
1 2 0
x
x x
+ ≤



+ − <


;
(d1)
( ) ( )
2 1 0
1 2 0
x
x x
+ ≥



+ − >


⇔ hoặc
1
2
1 0

2 0
x
x
x

≥ −


+ >


− >


hoặc
1
2
1 0
2 0
x
x
x

≥ −


+ <


− <



o hoặc
1
2
1 0
2 0
x
x
x

≥ −


+ >


− >


⇔
1
2
1
2
x
x
x

≥ −



> −


>


⇔
2x >
;
o hoặc
1
2
1 0
2 0
x
x
x

≥ −


+ <


− <


⇔

1
2
1
2
x
x
x

≥ −


< −


<


không có
x
nào thỏa mãn.
(d2)
( ) ( )
2 1 0
1 2 0
x
x x
+ ≤




+ − <


⇔ hoặc
1
2
1 0
2 0
x
x
x

≤ −


+ >


− <


hoặc
1
2
1 0
2 0
x
x
x


≤ −


+ <


− >


Trang 22
o hoặc
1
2
1 0
2 0
x
x
x

≤ −


+ >


− <


⇔
1

2
1
2
x
x
x

≤ −


> −


<


⇔
1
1
2
x− < ≤ −
;
o hoặc
1
2
1 0
2 0
x
x
x


≤ −


+ <


− >


⇔
1
2
1
2
x
x
x

≤ −


< −


>


không có
x

nào thỏa mãn.
Vậy hàm số xác định với mọi
x
sao cho
1
1
2
x− < ≤ −
hoặc
2x
>
.
e)
2
3 2 4 1 2y x x x x= − + + + − −
xác định khi
2
3 2 0
4 1 0
2 0
x
x
x x

− ≥

+ ≥


− − ≥


⇔
2
3 2 0
4 1 0
2 2 0
x
x
x x x

− ≥

+ ≥


− + − ≥

⇔
( ) ( )
3 2 0
4 1 0
2 1 0
x
x
x x

− ≥

+ ≥



+ − ≥

⇔ hoặc
3 2 0
4 1 0
2 0
1 0
x
x
x
x
− ≥


+ ≥


+ ≥


− ≥

hoặc
3 2 0
4 1 0
2 0
1 0
x
x

x
x
− ≥


+ ≥


+ ≤


− ≤

.
(e1)
3 2 0
4 1 0
2 0
1 0
x
x
x
x
− ≥


+ ≥


+ ≥



− ≥

⇔
3
2
1
4
2
1
x
x
x
x

≤



≥ −


≥ −


≤

⇔
1 3

4 2
x− ≤ ≤
;
(e2)
3 2 0
4 1 0
2 0
1 0
x
x
x
x
− ≥


+ ≥


+ ≤


− ≤

⇔
3
2
1
4
2
1

x
x
x
x

≤



≥ −


≤ −


≥

không có
x
nào thỏa mãn.
Vậy hàm số xác định với mọi
x
sao cho
1 3
4 2
x− ≤ ≤
.
2. Đồ thị hàm số
Ví dụ 1 : Vẽ đồ thị hàm số
3y x=

.
Bài giải
Cho
0x =
⇒
3.0 0y = =
;
1x =
⇒
3y =
;
2x =
vẽ ⇒
Trang 23
3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
Cho hàm số
( )
y f x=
xác định trên tập các số thực R.
 Nếu giá trị của biến
x
tăng mà giá trị tương ứng của hàm số
y
cũng tăng thì hàm số
( )
y f x=
được gọi là hàm số đồng biến trên R.
 Nếu giá trị của biến
x
tăng mà giá trị tương ứng của hàm số

y
lại giảm thì hàm số
( )
y f x=
được gọi là hàm số nghịch biến trên R.
Cho hàm số
( )
y f x=
xác định trên tập D.
 Nếu
1 2 1 2
, :x x D x x∈ <
mà
( ) ( )
1 2
f x f x<
thì hàm số
( )
y f x=
đồng biến trên D.
 Nếu
1 2 1 2
, :x x D x x∈ <
mà
( ) ( )
1 2
f x f x>
thì hàm số
( )
y f x=

nghịch biến trên D.
Ví dụ 1 : Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số a)
1y x= −
b)
3 2y x= −
.
Bài giải
a)
1y x= −
xác định với mọi
x R
∈
.
1 2
,x x R∀ ∈
, giả sử
1 2
x x<
, tính
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
1 1f x f x x x x x− = − − − = −
Mà
1 2
x x<
⇒
1 2
0x x− <
⇒
( ) ( )

1 2
0f x f x− <
⇒ hàm số
1y x= −
đồng biến trên R.
b)
3 2y x= −
xác định với mọi
x R
∈
.
1 2
,x x R∀ ∈
, giả sử
1 2
x x<
, tính
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
3 2 3 2 2f x f x x x x x− = − − − = − −
Mà
1 2
x x<
⇒
1 2
0x x− <
⇒
( ) ( )
1 2
0f x f x− >

⇒ hàm số
3 2y x= −
nghịch biến trên R.
Ví dụ 2 : Cho hàm số
2
2 2y x x= + −
.
a) Chứng minh rằng hàm số
y
đồng biến khi
1x > −
, nghịch biến khi
1x < −
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y
.
Bài giải
a)
2
2 2y x x= + −
xác định với mọi
x R∈
.
1 2
,x x R∀ ∈
, giả sử
1 2
x x<
:

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2f x f x x x x x x x x x− = + − − + − = − + +
Mà
1 2
x x<
⇔
1 2
0x x− <
và
1 2
, 1x x > −
⇔
1 2
2 0x x+ + >
⇒
( ) ( )
1 2
0f x f x− <
⇒ hàm số
2
2 2y x x= + −
đồng biến khi
1x > −
.
Mà
1 2

x x<
⇔
1 2
0x x− <
và
1 2
, 1x x < −
⇔
1 2
2 0x x+ + <
⇒
( ) ( )
1 2
0f x f x− >
⇒ hàm số
2
2 2y x x= + −
nghịch biến khi
1x > −
.
b)
( )
( )
2
2 2
2 2 2 1 3 1 3 3,y x x x x x x
= + − = + + − = + − ≥ − ∀
⇒ hàm số
2
2 2y x x= + −

đạt giá
trị nhỏ nhất bằng
3−
khi
1x = −
.
Ví dụ 3 : Tìm hàm số
( )
y f x=
biết
a)
( )
1 2 1f x x+ = −
b)
( )
2
3 1f x x x− = − −
c)
2
1 1 4
2 4
x x x
f
− + −
 
=
 ÷
 
Bài giải
a) Đặt

1t x
= +
⇔
1x t
= −
⇒
( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 3f x f t t t+ = = − − = −
, vậy
2 3y x= −
.
b) Đặt
3t x
= −
⇔
3x t
= −
⇒
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
3 3 3 1 5 5f x f t t t t t− = = − − − − = − − +
;
Trang 24
Vậy
2
5 5y x x= − − +
.
c) Đặt
1

2
x
t
−
=
⇔
2 1x t
= +
⇒
( )
( ) ( )
2
1 4 2 1 2 1
1
2 4
t t
x
f f t
+ + − +
−
 
= =
 ÷
 
( )
( )
2
2
2
1 8 4 4 4 1

4 4 4
1
4 4
t t t
t t
f t t t
+ + − + +
− + +
= = = − + +
;
Vậy
2
1y x x= − + +
.
HÀM SỐ BẬC NHẤT
1. Khái niệm hàm số bậc nhất
Hàm số bậc nhất là hàm số được xác định bởi công thức
y ax b= +
, trong đó a, b là hai số
thực cho trước và
0a
≠
.
2. Tính chất
 Hàm số bậc nhất
, 0y ax b a= + ≠
xác định với mọi giá trị của
x R∈
.
 Hàm số bậc nhất

, 0y ax b a= + ≠
đồng biến khi
0a >
, nghịch biến khi
0a <
.
Ví dụ 1 : Các hàm số sau hàm số nào là hàm số bậc nhất ? Hãy xác định các hệ số a, b của
các hàm số bậc nhất.
a)
3 2y x= −
b)
1 5y x= −
c)
( )
3y x x= −
d)
( )
2 1 3y x= − +
e)
( )
2
2 1 3 2y x x x= − + −
f)
( )
2
1y x x x= − +
g)
1
y x
x

= +
.
Bài giải
a)
3 2y x= −
là hàm số bậc nhất với
3, 2a b= = −
.
b)
1 5y x= −
là hàm số bậc nhất với
5, 1a b= − =
.
c)
( )
2
3 3y x x x x= − = −
không là hàm số bậc nhất.
d)
( )
2 1 3 2 3 2y x x= − + = + −
là hàm số bậc nhất với
2, 3 2a b= = −
.
e)
( )
2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2 3 2y x x x x x x x= − + − = − + − = −
là hàm số bậc nhất với
2, 3a b= − =

.
f)
( )
2 2 2
1y x x x x x x x= − + = − − = −
là hàm số bậc nhất với
1, 0a b= − =
.
g)
2
1 1x
y x
x x
+
= + =
không là hàm số bậc nhất.
Ví dụ 2 : Với giá trị nào của m thì hàm số sau là hàm số bậc nhất ?
a)
( ) ( )
2 2y m x= − +
b)
( )
5 1y m x= − −
c)
1
3,5
1
m
y x
m

+
= +
−
Bài giải
a)
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 4y m x m x m= − + = − + −
là hàm số bậc nhất khi
2 0m
− ≠
⇔
2m
≠
.
Vậy với
2m
≠
thì hàm số
( ) ( )
2 2y m x= − +
là hàm số bậc nhất.
b)
( )
5 1 5 5y m x mx m= − − = − − −
là hsố bậc nhất khi
5 0m− ≠
⇔
5 0m
− >
⇔

5m
<
.
Vậy với
5m
<
thì hàm số
( )
5 1y m x= − −
là hàm số bậc nhất.
Trang 25
c)
1
3,5
1
m
y x
m
+
= +
−
là hàm số bậc nhất khi
1
0
1
m
m
+
≠
−

⇔
1 0
1 0
m
m
+ ≠


− ≠

⇔
1
1
m
m
≠ −


≠

.
Vậy với
1
1
m
m
≠ −


≠


thì hàm số
1
3,5
1
m
y x
m
+
= +
−
là hàm số bậc nhất.
Ví dụ 3 : Với giá trị nào của m thì hàm số sau là hàm số bậc nhất ?
a)
( )
2
4 3y m x= − +
b)
( )
2
2 3 1y m m x m= + − + −
Bài giải
a)
( )
2
4 3y m x= − +
là hàm số bậc nhất khi
2
4 0m− ≠
⇔

( ) ( )
2 2 0m m− + ≠
⇔
2, 2m m≠ ≠ −
.
Vậy với
2m
≠ ±
thì hàm số
( )
2
4 3y m x= − +
là hàm số bậc nhất.
b)
( )
2
2 3 1y m m x m= + − + −
là hàm số bậc nhất khi
2
2 0m m+ − ≠
⇔
( ) ( )
1 2 0m m− + ≠

⇔
1, 2m m≠ ≠ −
.
Vậy với
1, 2m m≠ ≠ −
thì hàm số

( )
2
2 3 1y m m x m= + − + −
là hàm số bậc nhất.
Ví dụ 4 : Cho hàm số
( )
, 0y f x ax a= = ≠
.
a) Nghiệm lại các hệ thức
( ) ( )
1 1
f kx kf x=
và
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
f x x f x f x+ = +
b) Các hệ thức trên còn đúng với hàm số
( )
; , 0y f x ax b a b= = + ≠
?
Bài giải
a) Vì
( )
, 0y f x ax a= = ≠
nên
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
f kx a kx k ax kf x= = =
;

( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
f x x a x x ax ax f x f x+ = + = + = +
.
b) Xét
( )
, 0y f x ax b a= = + ≠
ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
f kx a kx b k ax b k ax b kf x= + = + ≠ + =
đẳng
thức không còn đúng cho hàm số
( )
, 0y f x ax b a= = + ≠
;
Tương tự đẳng thức này
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
f x x a x x ax ax f x f x+ = + = + = +
không còn đúng
nữa.
Ví dụ 5 : Cho hàm số bậc nhất
( )
1 5 1y x= − −
.
a) Hàm số trên đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao ?
b) Tính giá trị của hàm số
y
khi biến

1 5x = +
.
b) Tính giá trị của biến
x
khi
5y =
.
Bài giải
a) Vì hàm số bậc nhất
( )
1 5 1y x= − −
có hệ số
1 5 0a = − <
nên nó là hàm số nghịch biến
b) Khi biến
1 5x = +
thì
( ) ( ) ( )
2
2
1 5 1 5 1 1 5 1 5y = − + − = − − = −
.
b) Khi
5y =
thì
( )
1 5 1 5x− − =
⇔
( )
1 5 1 5x− = −

⇔
1x
=
.
Ví dụ 6 : Với giá trị nào của m thì hàm số sau đồng biến, nghịch biến ?
a)
( )
2 3y m x= − +
b)
( )
3 2 1y m x m= − + −

c)
( )
2
6 3y m m x= + − +
d)
( )
2
3 6 2 2 1y m m m x m= + − − − +
Bài giải