chuyen de ham so

Gv: Nguyễn Văn Trình Tr ờng
THPT Hậu lộc I
Hàm số đa thức bậc ba
I.Một số tính chất của hàm bậc ba
1. Hàm số có cực đại ,cực tiểu


=
acb 4
2

>0
2. Hàm số đồng biến trên







>
0
0a
3. Hàm số nghịch biến trên






<

0
0a
4. Để tìm giá trị của điểm cực trị ( Đờng thẳng đi hai điểm cực trị) trong tr-
ờng hợp hoành độ cực trị là những số lẻ ,ta thực hiện phép chia đa thức y
cho y ta đợc:
y=y.g(x) +h(x)
ta có:
+Gọi
( )
0
; yx
o
là toạ độ điểm cực trịcủa đồ thi hàm số thì y(
)
0
x
=0
+Do đó: y (
)
0
x
=y(
)
0
x
.g(
)
0
x
+ h(

)
0
x
= h(
)
0
x

Khi đó : Đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thịhàm số có
dạng: y= h(x)
Chú ý: Nếu tìm đợc hai điểm cực trị lần lợt là A
);(
11
yx
và B
);(
22
yx
Thì đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng:
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx


=

5. Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng .
Thật vậy, thực hiện phép tinh tiến đồ thị theo véc tơ
OI
Với I là điểm uốn có toạ độ là:





+++=
=
dcxbxaxy
a
b
x
0
2
0
3
00
0
3
Công thức đổi hệ trục toạ độ là



+=
+=

0
0
yYy
xXx
Thay x,y vào phơng trình hàm số ta đợc:
Y+
dxXcxXbxXay
++++++=
)()()(
0
2
0
3
00
<=> Y=a
XxgX ).(
0
3
+
Hàm số này là hàm lẻ nên đồ thị nhận điểm I
( )
0
; yx
o
làm điểm uốn.
6.Tiếp tuyến tại điểm uốn:
1
Gv: Nguyễn Văn Trình Tr ờng
THPT Hậu lộc I
Tếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất nếu a>0

vàlớn nhất nếu a<0 trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
Thật vậy, ta có y=
a
bac
a
b
xacbxax
3
3
3
23
2
2
00
2
0

+






+=++
* nếu a>0 thì K
a
bac
NN
3

3
2

=
đạt đợckhi x
a
b
3
0
=
* nếu a>0 thì K
a
bac
LN
3
3
2

=
đạt đợckhi x
a
b
3
0
=
Mà y=6ax +b=0 <=> x=
a
b
3

nên x
a
b
3
0
=
chính là hoành độ điểm uốn
=> ĐPCM
7. Đồ thị hàm số cắt trục hoành.( Giao điểm của đồ thị với trục hoành)
*Bài toán1: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại3 điểm phân
biệt(hoặc phơng trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d = o có 3 nghiệm pb) , thông thờng ta
sử dụng các cách sau đây:
Cách 1(ph ơng pháp đại số) Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là
nghiệm của phơng trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = o do đó:
Ta có ax
3
+ bx
2
+ cx + d = o (a
)0

<=> (x-

)( a
)
2
lexx
++
=0
<=>



=++=
=
0)(
2
lexaxxg
x

(*) ycbt <= > pt (*) có 2 nghiệm pb x


<= >




>
0)(
0
*

g
Chú ý: Khi đó điểm A
)0;(

là mộtđiểm cố định của đồ thị hàm số.
Cách2.Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb

<=>



<
=
0)().(
0'
21
xyxy
y

2

Có 2 nghiệm pb
21
, xx
1
x
2
x
Gv: Nguyễn Văn Trình Tr ờng

THPT Hậu lộc I
* Bài toán2 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ d-
ơng( hoặc phơng trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d = o có 3 nghiệm dơng pb)
Cách1(ph ơng pháp đại số) Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là
nghiệm của phơng trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = o do đó:
Ta có ax
3
+ bx
2
+ cx + d = o (a
)0

<=> (x-

)( a
)
2
lexx
++
=0
<=>

=++=
>=
0)(
0
2
lexaxxg
x

(*) ycbt <= > pt (*) có 2 nghiệm dơng pb
x


<=>








>
>
>
0)(
0.
0
0

g
p
s
g
Cách2.Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ dơng
<=>





<
<
=
0)(.
0)().(
0'
21
oya
xyxy
y


* Bài toán3 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ âm
( Hoặc phơng trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d = o có ba nghiệm âm pb)

Cách1(Ph ơng pháp đại số) Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là
nghiệm của phơng trình: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = o do đó:
Ta có ax
3
+ bx
2
+ cx + d = o (a
)0

<=> (x-

)( a
)
2
lexx
++
=0
<=>



=++=
<=
0)(
0
2

lexaxxg
x

(*) ycbt <= > pt (*) có 2 nghiệm âm pb
x


<=>








>
<
>
0)(
0.
0
0

g
p
s
g
3
Có 2 nghiệm pb

0,0
21
>>
xx
y(cđ)
y(cđ)
1
x
2
x
y(0)
Gv: Nguyễn Văn Trình Tr ờng
THPT Hậu lộc I
Cách2 .Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ âm
<=>





<
<
=
0)(.
0)().(
0'
21
oya
xyxy
y

Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu: Tìm giá trị của tham số để phơng trình ax
3
+
bx
2
+ cx + d = o (*)
1. Có 3 nghiệm phân biệt
2. Có 3 nghiệm dơng pb
3. Có 3 nghiệm âm pb
Thì ta có thể sử dụng phơng pháp hám số :
- Đa phơng trình (*) về dạng: f(x)= h(m)
- Lập bảng biến thiên của hàm số y=f(x) ( Trên khoảng (
);
+
hoặc trên
khoảng
);(
+
o
hoặc trên khoảng
)0;(

) tuỳ theo yêu cầu của bài
toán là 1, 2 hay3.
- Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm của tham số.
Bài toán4 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tai 3 điểm có hoành độ
321
,, xxx

cách đều nhau.(Lập thành cấp số cộng)

Cách1. (PP đại số)
*ĐK cần : Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d =
o (*)
Giả sử pt(*) có 3 nghiêm
321
,, xxx
cách đều nhau ,khi đó ta có





=++
=+
a
b
xxx
xxx
321
231
2

<=>
a
b
x

3
2
=
Thay
a
b
x
3
2
=
vào phơng trình (*) ta tìm đợc tham số?
*ĐK đủ: Thay giá trị của tham số vừa tìm đợc vào phơng trình (*) , giải pt(*)
tìm ra nghiểmồi kết luận.
4
Có 2 nghiệm pb
0,0
21
<<
xx
Gv: Nguyễn Văn Trình Tr ờng
THPT Hậu lộc I
Cách2: Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm cáchđều nhau khi và chỉ khi điểm uốn
thuộc trục hoành( Vì điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị)
ta có x
a
b
3
0
=
là hoành độ điểm uốn

=>y(-
a
b
3
)=0 => Giá trị của tham số
8. Với Đờng thẳng (d) đi qua điểm I(
);
11
yx
và có hệ số góc m tiếp xúc với
đồ thị hàm số y=f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (C)
- lập pt đờng thẳng (d): y=m(x-
11
) yx
+
- Đờng thẳng (d) tiếp xúc với ( C ) <= > hệ pt sau có nghiệm





=++
+=+++
mcbxax
yxxmdcxbxax
23

)(
2
11
23
- Sử dụng pp thế để tìm ra hệ số góc m rồi thay vào phơng trình đờng
thẳng(d) ta đợc đờng thẳng cần tìm.
Chú ý : Đờng thẳng (d) trong trờng hợp này cũng chính là tiếp tuyến của
đồ thị hàm số. Do đó có thể sử dụng pp trên để giải bài toán viết pt tiếp
tuyến với ( C) đi qua điểm I(
);
11
yx
cho trớc.
9. Đồ thị hàm số y=f(x)= ax
3
+ bx
2
+ cx + d (C) tiếp xúc với đờng thẳng
y=kx+m
Khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghiệm:





=++
+=+++
kcbxax
mkxdcxbxax
23

2
23
10. Đặc biệt, Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành có thể sử dụng một trong
2 cách sau
Cách1. Đồ thị ( C ) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ phơng trình sau
có nghiệm :



=
=
0'
0
y
y
( Vì phơng trình của trục hoành là y=0)
Cách2.( PP đại số) Hoành độ giao điểm là nghiệm của pt: ax
3
+ bx
2
+ cx + d
=0
<= >(x-



=++=
=
=++
(*)0)(

0))(
2
2
lexaxxg
x
lexax


Ycbt <=> pt(*)có một nghiêm

=
x
hoặc có nghiệm kép x


5