Bồi dưỡng HSG 9 và ôn vào lớp 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (670.09 KB, 50 trang )
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
PhÇn I
: §¹i sè
Chuyªn ®Ị 1: C¨n Thøc rót gän biĨu thøc, chøng minh biĨu thøc
A. KiÕn thøc cÇn nhí:
- C¸ch ®Ỉt §KX§ cđa mét biĨu thøc
- C¸ch quy ®ång khư mÉu hai hay nhiỊu ph©n thøc
B. Bµi tËp
Rót gän C¸c c¨n thøc sau:
Bµi 1. T×m gi¸ trÞ c¸c biĨu thøc sau b»ng c¸ch biÕn ®ỉi, rót gän thÝch hỵp:
a,
9
196
49
16
81
25
b,
81
34
2.
25
14
2.
16
1
3
c.
567
3,34.640
d,
22
511.8106,21 −
Bµi 2. Ph©n tÝch c¸c biĨu thøc sau thµnh c¸c l thõa bËc hai:
a, 8+2
15
; b, 10-2
21
; c, 12-
140
d, 5 +
24
; e, 14+6
5
; g, 8-
28
Bµi 3. Ph©n tÝch thµnh thõa sè c¸c biĨu thøc sau:
a, 1 +
1553 ++
b,
21151410 +++
c,
6141535 −+−
d, 3 +
8318 ++
e, xy +y
1xx ++
g, 3+
x
+9 -x
Bµi 4. Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
a, (
10238 +−
)(
4,032 −
)
b, ( 0,2
3.)10(
2
−
+ 2
2
)53( −
c, (
714228 +−
).
7
+ 7
8
d, ( 15
+50
5
4503200 −
) :
10
e, 2
422
)1(5)3(2)32( −−−+−
g, (
6:)
3
216
28
632
−
−
−
h,
57
1
:)
31
515
21
714
(
−−
−
+
−
−
i,
1027
1528625
+
−++
Bµi 5. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau: a,
ba
ba
1
:
ab
abba
−=
−
+
( a, b > 0 vµ a
≠
b )
b, ( 1+
a1)
1a
aa
1)(
1a
aa
−=
−
−
−
+
(a > 0 vµ a
≠
1);c, (
a
a1
aa1
+
−
−
)(
a1
a1
−
−
)
2
=1 (a > 0 vµ a
≠
1)
d,
a
bab2a
ba
.
b
ba
22
42
2
=
++
+
(a+b>0, b
≠
0)
Bµi 6. Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau:
a,
2
a4a129a9 ++−−
víi a = -9 ; b, 1 +
4m4m
2m
m3
2
+−
−
víi m<2
c,
a4a25a101
2
−+−
víi a=
2
; d, 4x-
1x6x9
2
++
víi x=-
3
e, 6x
2
-x
6
+1 víi x =
2
3
3
2
+
Bài 7:Rót gän C¸c biĨu thøc sau:
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
3
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
42
44
2
−
+−
=
x
xx
A
144
1
:
21
1
14
5
21
2
1
22
++
−
−
−
−
−
+
−=
xx
x
x
x
x
x
B
xy
y
yx
yx
yx
yx
C
−
−
+
−
−
−
+
=
2
2222
xxxxx
D
−
+
+
−
−
+
+
−
=
1
1
1
1
1
1
:
1
1
1
1
−
+
+
−
−
−
=
1
2
1
1
:
1
1
x
xxxx
x
E
a
x
xa
a
x
xa
F 22
22
+
+
+−
+
=
Gỵi ý:
Khi lµm c¸c bµi to¸n nµy cÇn:
- §Ỉt §KX§?
- Quy ®ång khư mÉu, råi lµm gän kÕt qu¶ thu ®ỵc
1
2
2
1
2
2
khix
A
khix
≥
=
−
<
2
1 2
B
x
=
−
2 y
C
x y
=
−
1
D
x
=
1x
E
x
−
=
Mét sè lo¹i to¸n thêng kÌm theo bµi to¸n rót gän
I.TÝnh to¸n mét biĨu thøc ®¹i sè
Ph ¬ng ph¸p:
§Ĩ tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc P(x), biÕt x=a, ta cÇn:
+Rót gän biĨu thøc P(x).
+ Thay x=a vµo biĨu thøc võa rót gän
*VÝ dơ:
xx
xxx
A
32
96
2
2
−
+−+
=
TÝnh gi¸ trÞ cđa A biÕt
18=x
.
22
1
22
1
−−
−
+−
=
aa
B
TÝnh gi¸ trÞ cđa B biÕt(a-6)(a-3)= 0
4
5
:
2
3
2
2
22
−
−
+
−
−
+
=
xxx
x
x
x
x
C
TÝnh gi¸ trÞ cđa C biÕt 2x
2
+3x =0
12
12
:
1
1
.
1
1
1
2
2
3
++
+
+
++
−
+
−
=
xx
x
x
xx
x
x
x
D
TÝnh gi¸ trÞ cđa D biÕt x=
2007
2005
( )
9
961
2
2
−
++−
=
x
xxx
E
TÝnh E biÕt
16=x
4
4·2
2
2
−−
−
=
xx
xa
F
TÝnh F biÕt x=
a
a
+
1
.
§¸p ¸n:
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
4
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
1
khi 3
3
3
(2 3)
x
x
A
khi x
x x
≥
=
<
−
;
4
2
B
a
−
=
+
& B=-4/5
( 2) 2
&
5 5
x
C C
x
− +
= =
1
1
x
D
x
+
=
−
1
x -3
3
1- x
khi x < -3
x -3
x
khi
x
E
−
≥
−
=
II.T×m gi¸ trÞ cđa biÕn (Èn) khi biÕt gi¸ trÞ cđa biĨu thøc:
Ph ¬ng ph¸p:
§Ĩ t×m gi¸ trÞ cđa x khi biÕt gi¸ trÞ cđa P(x) =a , ta cÇn :
+ Rót gän biĨu thøc P(x)
+ Gi¶i ph¬ng tr×nh P(x) =a.
• VÝ dơ:
−
+
−
+
−
−=
1
1
1
1
.
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a
A
a) T×m a ®Ĩ A>0 b) TÝnh gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ A=0
+
−
−
−
+
+
−
−
−
=
13
23
1:
19
8
13
1
13
1
x
x
x
x
xx
x
B
T×m x khi B=6/5
−−+
−
−
+
+=
1
2
1
1
:
1
1
xxxx
x
x
x
x
C
a) TÝnh C biÕt x=
324 +
b)T×m x khi C >1.
−
+
−
−
+
+
−
−
−
+
=
1
2
11
1
:
1
1
1
1
2
x
x
x
xx
x
x
x
D
a) TÝnh D khi x=
324 +
b)T×m x ®Ĩ D=-3
E=
−
−−
−
+−
1
1
1:
1
1
3
x
x
x
x
a) TÝnh E khi x=
14012 +
b) TÝnh x khi E >5
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
F
x x x x
− − +
= + −
+ − − +
a)Rót gän F b)TÝnh x ®Ĩ F=1/2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 3 1 4 2 3
1 3
x x x
G
x x
− − − −
=
+ −
a)Rót gän G
c)TÝnh G khi
223 +=x
b)T×m x ®Ĩ G >1
§¸p ¸n:
1
; 1
a
A a
a
−
= <
;a=1
1
; 4;
4
3 1
x x
B x x
x
+
= = =
−
1 6 3 3
; ; 1 or x < -2
1 3
x x
C C x
x
+ + +
= = >
−
2
;
1
x
D
x
−
=
+
2 1
; 0
2
x
E x
x
− −
= < <
;
7 9 5
2 3
x x
F
x x
+ −
=
+ −
2 3 2 2 1
; 2 x < -1;G =
1
2 2 1
x
G x or
x
+ −
= > =
+
+
III. T×m gi¸ trÞ cđa biÕn x biÕt P(x) tháa m·n ®iỊu kiƯn nµo ®ã
Ph ¬ng ph¸p:
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
5
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
Tríc hÕt h·y rót gän gi¸ trÞ cđa biĨu thøc, sau ®ã c¨n cø vµo ®iỊu kiƯn nªu ra cđa bµi to¸n
mµ lËp ln t×m ra lêi gi¶i, Ch¼ng h¹n:
T×m ®iỊu kiƯn cđa x ®Ĩ gi¸ trÞ cđa biĨu thøc lµ nguyªn?
Ta cÇn ®a biĨu thøc rót gän vỊ d¹ng : R(x)= f(x)+
( )
a
g x
sau ®ã lËp ln:
( ) ( ) g(x) R x Z a g x hay∈ ⇔ M
lµ íc cđa a (a lµ h»ng sè)
• VÝ dơ :
1)
( ) ( )
2
2
4 2 3
6 9
x x x
A
x x
− − −
=
− +
a) Rót gän A
b)TÝnh x∈Z ®Ĩ A∈Z?
2)
xxxx
x
B
−
+
−+
−
+
+
=
2
1
6
5
3
2
2
Rót gän B, TÝnh x∈Z ®Ĩ B∈Z?
3)
2
2
:
11
−
+
+
+
−
−
−
=
a
a
aa
aa
aa
aa
C
a)T×m a ®Ĩ biĨu thøc C kh«ng x¸c ®Þnh
b)Rót gän C
c) TÝnh a∈Z ®Ĩ C ∈Z?
4)
11
1
1
1
3
−
−
+
+−
+
−−
=
x
xx
xxxx
D
a)Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cđa D khi x=5
b)T×m gi¸ trÞ nguyªn d¬ng cđa x ®Ĩ D∈Z ?
5)E=
−
−−
−
+−
1
1
1:
1
1
3
x
x
x
x
:
x
x 2+
TÝnh x∈Z ®Ĩ E ∈Z?
§¸p ¸n:
4
3
3
A
x
= − −
−
;
4 2
1
2 2
x
B
x x
−
= = −
− −
;
2 4 8
2
2 2
a
C
a a
−
= = −
+ +
;
( )
2
1 1D x= − +
;
2 4
1
2 2
x
E
x x
−
= = −
+ +
IV. Mét sè thĨ lo¹i kh¸c
Bµi 1. Chøng minh r»ng:
a)
( )
2004200522006.20051
2
=+−
b)
2725725
3
3
=−−+
c)
ab
a
a
b
a
b
abaabb
a
bba
aba 11
1.
2
23223
2
32
2
+
=
−
−
−
−+−
−
+
−
Bµi 2. Cho B=
−
+
−
++
+
+
−
−
1
1
1
1
1
2
:1
x
x
xx
x
xx
x
a) Rót gän B
b)CMR : B>3 víi mäi x>0 ;x
1≠
.
Bµi 3. Cho C=
632ab
6
632
32
+++
−
−
−−+
+
ba
ab
baab
ba
a) Rót gän C b) CMR nÕu C=
81
81
−
+
b
b
th×
3
b
a
.
Bµi 4. Cho
( )
xxbb
xb
xb
xxbb
xb
xb
D
+
+
−
−
−
−
−
=
2
.
a) Rót gän D b) So s¸nh D víi
D
.
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
6
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
Bµi 5. Cho
−
−
−
−
+
−
−
−
= 1
12
2
41
21
:1
41
4
x
x
x
x
x
xx
E
a) Rót gän E. b) T×m x ®Ĩ
2
EE >
. c) T×m x ®Ĩ
4
1
>E
Bµi 6. Cho
ab
ba
bab
b
bab
a
F
+
−
−
+
+
=
a) TÝnh F khi a=
324;324 −=+ b
b) CMR nÕu
5
1
+
+
=
b
a
b
a
th× F cã gi¸ trÞ kh«ng ®ỉi.
Bµi 7. Cho biĨu thøc: A
1
= (
x1
1
x1
1
+
+
−
) : (
x1
1
x1
1
+
−
−
) +
x1
1
−
a) Rót gän A
1
. b) TÝnh gi¸ trÞ cđa A
1
khi x=7+4
3
.
c) Víi gi¸ trÞ nµo cđa x th× A
1
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ?
Bµi 8. Cho biĨu thøc: A
2
=
22
2
)2x()1x2(
4)1x(
+−+
−−
a) T×m x ®Ĩ A
2
x¸c ®Þnh. b) Rót gän A
2
. c) T×m x khi A
2
=5.
Bµi 9. Cho biĨu thøc: A
3
= (
1x
1x
1x
1x
+
−
−
−
+
):(
1x
1
1x
x
1x
2
2
+
+
−
−
−
)
a) Rót gän A3 b) t×m gi¸ trÞ cđa A
3
khi x=
83 +
c) T×m x khi A3 =
5
Bµi 10. Cho biĨu : A
4
= (
aa
1aa
aa
1aa
+
+
−
−
−
):
2a
2a
−
+
a) Víi gi¸ trÞ nµo cđa a th× A
4
kh«ng x¸c ®Þnh. b) Rót gän A
4
.
c) Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cđa a th× A
4
cã gi¸ trÞ tù nguyªn ?
Bµi 11. Cho biĨu thøc: B
1
=
xx
xx2
1x
x
−
−
−
−
a) Rót gän B
1
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa B
1
khi x=3+
8
c) T×m x ®Ĩ B
1
> 0 ? B
1
< 0? B
1
=0
Bµi 12. Cho biĨu thøc: B
2
=
6a2
a3
6a2
3a
+
−
−
−
+
a) Rót gän B
2
b) T×m a ®Ĩ B
2
< 1? B
2
> 1?
Bµi 13. Cho biĨu thøc: B
3
= ( 1+
1x
x
+
):(
1xxxx
x2
1x
1
−−+
−
−
)
a) Rót gän B
3
b) T×m x ®Ĩ B
3
> 3? c) T×m x ®Ĩ B
3
=7.
Bµi 14. Cho biĨu thøc: B
4
= (
xx
1
1x
x
−
−
−
):(
1x
2
1x
1
−
+
+
)
a) Rót gän B
4
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa B
4
khi x=3+2
2
c) Gi¶i ph¬ng tr×nh B
4
=
5
Bµi 15. Cho biĨu thøc: B
5
= (
ab
a
ba
a
−
+
+
):(
ab2ba
aa
ba
a
++
−
+
)
a) T×m ®iỊu kiƯn cđa a ®Ĩ B
5
x¸c ®Þnh. b) Rót gän B
5
.
c) BiÕt r»ng khi a/b = 1/4 th× B5 = 1, t×m gi¸ trÞ cđa b.
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
7
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
Bµi 16. Cho biĨu thøc: C
1
=
4x4x4x4x −−+−+
a) Rót gän C
1
b) T×m x ®Ĩ C
1
= 4
Bµi 17. Cho biĨu thøc: C
2
=
ab
ba
aab
b
bab
a +
−
−
+
+
a) Rót gän C
2
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa C
2
khi a =
324 +
, b =
324 −
c) Chøng minh r»ng nÕu a/b = a+1/b+5 th× C
2
cã gi¸ trÞ kh«ng ®ỉi
Bµi 18. Cho biĨu thøc: C
3
=
6b3a2ab
ab6
6b3a2ab
b3a2
+++
−
−
−−+
+
a) Chøng minh r»ng
0b ≥∀
th× C
3
cã gi¸ trÞ kh«ng phơ thc vµo b
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh C
3
= -2.
c) T×m a ®Ĩ C
3
< 0? C
3
> 0?
d) T×m gi¸ trÞ nguyªn cđa a ®Ĩ C
3
cã gi¸ trÞ nguyªn.
e) Chøng minh r»ng nÕu C
3
= b+81/b-81,
khi ®ã b/a lµ mét sè nguyªn chia hÕt cho 3.
Bµi 19. Cho biĨu thøc: C
4
= (
1x2x
2x
1x
2x
++
+
−
−
−
).
2
1x2x
2
+−
a) X¸c ®Þnh x ®Ĩ C
4
tån t¹i. b) Rót gän C
4
c) Chøng minh r»ng nÕu 0 < x < 1 th× C
4
> 0.
d) T×m gi¸ trÞ cđa C
4
khi x = 0,16.
e) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa C
4
.
g) T×m x thc Z ®Ĩ C
4
thc Z.
Bµi 20. Cho biĨu thøc: C
5
=
3223
3223
yxyyxx
yxyyxx
−−+
+−−
a) Rót gän C
5
.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa C
5
khi x =
3
, y =
2
.
c) Víi gi¸ trÞ nµo cđa x, y th× C
5
= 1.
Bµi 21. Cho biĨu thøc: D
1
= (
x1
1
1xx
x
1xx
2x
−
+
++
+
−
+
):
2
1x −
a) Rót gän D
1
.
b) Chøng minh D
1
> 0 víi
1x,0x ≠≥∀
.
Bµi 22. Cho biĨu thøc: D
2
= (
xy
yx
yx
yx
33
−
−
+
−
−
):
yx
xy)yx(
2
+
+−
a) X¸c ®Þnh x, y ®Ĩ D
2
cã nghÜa. b) Rót gän D
2
.
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa D
2
. d) So s¸nh D
2
vµ
2
D
.
e) TÝnh gi¸ trÞ cđa D
2
khi x = 1,8 vµ y = 0,2.
Chuyªn ®Ị 2: Hµm sè bËc nhÊt y=ax+b
KiÕn thøc
:
Cho hµm sè y=ax+b (a≠0)
- Hµm sè ®ång biÕn khi a>0; nghÞch biÕn khi a<0
- NÕu to¹ ®é (x
0
;y
0
) cđa ®iĨm A tho¶ m·n hµm sè y=f(x) th× ®iĨm A thc ®å thÞ hµm sè nµy.
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
8
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
- Ngỵc l¹i, nÕu ®iĨm A(x
0
;y
0
) n»m trªn ®å thÞ cđa hµm sè y=f(x) th× to¹ ®é (x
0
;y
0
) cđa A tho¶ m·n hµm
sè y=f(x).
- Cho hai ®êng th¼ng (d
1
): y=ax+b & (d
2
): y= a
1
.x+b
1
(a ≠ 0 ; a
1
≠ 0)
+ (d
1
) // (d
2
)
⇔
a=a
1
& b≠ b
1
+ (d
1
)
≡
(d
2
)
⇔
a= a
1
& b= b
1
+ (d
1
) c¾t (d
2
)
⇔
a≠ a
1
& b≠ b
1
+ (d
1
) ┴ (d
2
)
⇔
a.a
1
=-1
Bµi tËp vËn dơng
Bµi 1:Cho hµm sè y= mx-2m+5.CMR hµm sè lu«n ®i qua ®iĨm cè ®Þnh víi mäi m.
Bµi 2: Cho ®êng th¼ng (d); y=(m-2)x-m+4.CMR (d) lu«n ®i qua ®iĨm cè ®Þnh víi mäi m
Bµi 3: Cho c¸c ®êng th¼ng (d
1
): y=mx-2(m+2) (m ≠ 0) vµ
(d
2
): y= (2m-3)x +(m
2
-1) (m≠ 3/2):
a) CMR: (d
1
) & (d
2
) kh«ng thĨ trïng nhau víi mäi m.
b) T×m m ®Ĩ (d
1
) // (d
2
); (d
1
) c¾t (d
2
); (d
1
) ┴ (d
2
)
Bµi 4: CMR: 3 ®êng th¼ng sau ®©y ®ång quy: (d
1
): y=-3x (d
2
): y=2x+5 (d
3
): y=x+4
Bµi 5: T×m m ®Ĩ ba ®êng th¼ng sau ®ång quy:(d
1
):y=x-4; (d
2
): y= -2x-1;(d
3
): y= mx+2
Bµi 6: TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi c¸c ®êng th¼ng :(d
1
): y=
1
3
x
;(d
2
):y=-3x ;(d
3
): y=-x+4
Bµi 7: Cho ®êng th¼ng (d
1
):y=4mx - (m+5) & (d
2
): y= (3m
2
+1)x+m
2
-4
a) CMR: (d
1
) lu«n ®i qua ®iĨm A cè ®Þnh vµ (d
2
) lu«n ®i qua ®iĨm B cè ®Þnh
b) TÝnh kho¶ng c¸ch AB. ; c) T×m m ®Ĩ (d
1
) // (d
2
)
Bµi 8. Cho hai hµm sè : y = (k + 1 )x + 3 vµ y = (3-2k)x +1
Víi gi¸ trÞ nµo cđa k th× ®å thÞ cđa hai hµm sè c¾t nhau? Song song víi nhau? Hai ®êng trªn cã thĨ trïng
nhau ®ỵc kh«ng ?
Bµi 9. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng :a. Cã hƯ sè gãc b»ng 3 vµ ®i qua ®iĨm P(
2
5
;
2
1
)
b. Cã tung ®é gèc b»ng -2,5 vµ ®i qua ®iĨm Q(1,5 ; 3,5)
c. §i qua hai ®iĨm®iĨm M(1 ; 2 ) vµ N (3 ; 6 )
d . Song song víi ®êng th¼ng y = 2x - 3 vµ ®i qua ®iĨm (
3
4
;
3
1
)
Bµi 10.Cho 3 ®êng th¼ng : y=2x+1(d
1
) ; y=-x-2 (d
2
); y=-2x-m (d
3
)
a. T×m to¹ ®é giao ®iĨm cđa hai ®êng th¼ng (d
1
) & (d
2
)
b. X¸c ®Þnh m ®Ĩ 3 ®êng th¼ng ®· cho ®ång quy
Bµi 11. a. VÏ ®å thÞ cđa c¸c hµm sè trªn cïng hƯ trơc to¹ ®é :y=2x (1);y=0,3x (2); y=-x+6 (3)
b. Gäi c¸c giao ®iĨm cđa ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh (3) víi c¸c ®êng th¼ng (1), (2) thø tù lµ A,B: t×m
to¹ ®é cđa c¸c ®iĨm A,B
c.TÝnh c¸c gãc cđa tam gi¸c OAB
Chuyªn ®Ị 3:Ph¬ng tr×nh vµ hƯ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt
BÊt ph¬ng tr×nh
I.Ph ¬ng tr×nh bËc nhÊt 1 Èn sè
Ph ¬ng ph¸p: ax+b=0
⇔
ax=-b
⇔
x=-b/a
NÕu ph¬ng tr×nh kh«ng cã d¹ng tỉng qu¸t th× cÇn biÕn ®ỉi ®a
vỊ d¹ng tỉng qu¸t råi tÝnh
* VÝ dơ:
Bµi 1:Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
9
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
a)
( ) ( )( )
223
2
−+=+ xxx
b)
( )( ) ( )( ) ( )( )
4
12
12
52
3
51 −+
=
++
−
++ xxxxxx
c)
0
22
3
1
12
22
1
2
=
+
+
++
+
−
− x
xx
x
x
* Ph ¬ng tr×nh d¹ng
)()( xgxf =
(1)
S¬ ®å gi¶i:
[ ]
2
( ) 0(2)
( ) ( )
( ) ( ) (3)
g x
f x g x
f x g x
≥
= ⇔
=
Gi¶i (3) råi ®èi chiÕu víi ®iỊu kiƯn(2) ®Ĩ lo¹i nghiƯm kh«ng thÝch hỵp,
nghiƯm thÝch hỵp lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh ®· cho.
• VÝ dơ:
Bµi 2:Gi¶i ph¬ng tr×nh: a)
783 =−x
b)
xxx −=−+ 21
2
c)
( )
2
2 3 3 1x x− = −
* Ph ¬ng tr×nh d¹ng
)()()( xhxgxf =+
S¬ ®å gi¶i:- §Ỉt ®k cã nghÜa cđa ph¬ng tr×nh
0)(
0)(
0)(
≥
≥
≥
xh
xg
xf
- B×nh ph¬ng 2 vÕ , rót gän ®a vỊ d¹ng(1)
vÝ dơ:
Bµi 3:Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a)
xx −=+ 15
b)
xx −=+ 11
c)
22 10 2x x− − − =
d)
3 1 1 2x x+ − − =
Bµi 4:Gi¶i ph¬ng tr×nh
a)
5 1x x− = +
b)
3 1 10 1 5x x+ + − =
* Ph ¬ng tr×nh d¹ng
( ) ( ) ( )f x g x h x+ =
S¬ ®å gi¶i:
- §Ỉt ®k cã nghÜa cđa ph¬ng tr×nh
0)(
0)(
0)(
≥
≥
≥
xh
xg
xf
-B×nh ph¬ng hai vÕ(cã thĨ chun vÕ hỵp lÝ råi b×nh ph¬ng) sau ®ã cÇn ph¶i
®èi chiÕu nghiƯm võa t×m ®ỵc víi ®iỊu kiƯn!
• vÝ dơ:
Bµi 5:Gi¶i ph¬ng tr×nh
a)
5 3 2 7x x x+ + + = +
b)
1 7 12x x x+ − − = −
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
10
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
IV. BÊt ph ¬ng tr×nh
*D¹ng 1: BÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn a.x+b>0 hc a.x+b<0
+ Ph¬ng ph¸p: ax+b>0
⇔
ax>-b
⇔
x>-b/a nÕu a>0
x<-b/a nÕu a<0
+ VÝ dơ:
Bµi 6: Cho ph¬ng tr×nh:
32
16
3
1
52
xxx
x +
−
<
−
−−
a) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh
b) T×m nghiƯm nguyªn ©m cđa bÊt ph¬ng tr×nh.
D¹ng 2: BPT ph©n thøc
B
A
>0 ,BPT tÝchA.B>0
*C¸ch gi¶i: Mçi bÊt ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi 2 hƯ bpt :
0
0
0
0
A
B
A
B
<
<
>
>
*vÝ dơ:
Bµi 6: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
1)2x(3x-5) <0 2)
1
1
2
2
>
++
−
xx
xx
3)(x-1)
2
-4 <0
*D¹ng 3:
( )
( )
( )
f x a
f x a
f x a
= −
= ⇔
=
Bµi 7: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
14 +=− xx
*D¹ng 4:
( )
( )
( )
f x a
f x a
f x a
>
> ⇔
< −
hc
axfaaxf <<−⇔< )()(
Bµi 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1
2
4
2
2
≤
++
−
xx
xx
V.HƯ ph ¬ng tr×nh
* Ph¬ng ph¸p:
*vÝ dơ: Cho hƯ ph¬ng tr×nh
3 2
9 6 1
x my
x y
− =
− =
(1)
a) Gi¶i (1) khi m=
2
1
−
b)T×m m ®Ĩ (1) cã nghiƯm duy nhÊt
c) T×m m ®Ĩ (1) cã v« nghiƯm
d) T×m m ®Ĩ (1) cã nghiƯm
0
0
x
y
>
<
Bµi t©p
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
11
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
Bµi 1.Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh sau:
a)
25
20
5
5
5
5
2
−
=
+
−
−
−
+
x
x
x
x
x
b)
( )
( )
1
2
7
1
4
12
2
2
+≤−−
+ x
x
x
c)
836
2
=−x
d)
122
2
=+− xx
d)
e)
( )( )
1223 =+−+ xxx
f)
121 =−++ xx
g)
5144
2
=+−+ xxx
Bµi 2. Gi¶i c¸c hƯ ph¬ng tr×nh sau
a)
1
1
3
2
2
1
1
1
2
1
=
−
−
−
=
−
+
−
yx
yx
b)
5
43
1
11
=+
=−
yx
yx
c)
15
151
−+=
=−+−
xy
yx
d)
2
2
≥
−+
x
xx
e)
05
05)(3)(2
2
=−−
=−+−+
yx
yxyx
f)
1233
8)(3)(5
2
=+
=−+−
yx
yxyx
Bµi 3.Cho hƯ pt:
3
3
mx y
x my
+ =
+ =
a)T×m m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm(x;y)=(-2;5)
b)T×m m ®Ĩ hƯ cã v« sè nghiƯm; v« nghiƯm? ; c) T×m m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm
0
0
x
y
<
<
Bµi 4. Cho hƯ ph¬ng tr×nh:
2
mx my m
mx y m
+ =
+ =
(m: lµ tham sè)
a)Gi¶i vµ biƯn ln hƯ ph¬ng tr×nh; b)T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ hƯ cã nghƯm tháa m·n x>0;y<0.
Bµi 5.T×m m ®Ĩ hƯ ph¬ng tr×nh sau :
5
2 3 7
mx y
x my
− =
+ =
cã nghiƯm tháa m·n ®iỊu kiƯn: x>0; y<0
Bµi 6) T×m a ®Ĩ hƯ ph¬ng tr×nh:
3
· 4 6
x ay
a x y
+ =
+ =
cã n
0
tháa m·n x>1; y>0.
Bµi 7)T×m a ®Ĩ 3 ®êng th¼ng sau: (d
1
) 2x +y =5 (d
2
) 3x-2y =4 (d
3
) a x +5y =11 ®ång quy?
Bµi 8)Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh
2 3 8
3 1
x y
x y
+ =
− =
&
4 3 2
3
x y
x y
− = −
+ =
Bµi 9) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh sau: a)
2 2
5
5
x y xy
x y
+ + =
+ =
b)
30
35
x y y x
x x y y
+ =
+ =
c)
64
1 1 1
4
xy
x y
=
− =
d)
2 2
11
30
x xy y
x y xy
+ + =
+ =
e)
2 2
2 2
19
7
x y xy
x y xy
+ + =
+ − =
Bµi 10. Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh sau :
2
3 1
x y
x y
− =
+ =
2 0
3 1
x y
x y
+ =
+ =
{
1y3x2
2y3x
=−
=+
{
5y22x
101yx2
=−
−=+
=+
=+
2yx4
5y3x8
=+
=−
5yx2
3yx2
=−
=+
2yx
4
9
y
1
x
1
==
=+−
1
7
y
4
x
03yx
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
12
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
1 1
1
3 4
5
x y
x y
− =
+ =
=+
=+
36
5
y
1
x
1
4
3
y
6
x
5
=
−
+
−
=
−
−
−
1
1y
1
2x
1
1
1y
3
2x
2
=
−
+
+
=
−
−
+
3
yx
1
yx
1
1
yx
3
yx
2
Bµi 11. Gi¶i c¸c hƯ ph¬ng tr×nh : a.
=−++
=−−
05)yx(3)yx(2
05yx
2
b.
=−+−
=+
8)yx(3)yx(5
12y3x2
2
Bµi 12. Cho hƯ ph¬ng tr×nh :
=−
=+
)1(bayx2
)2(1byax
a. X¸c ®Þnh a,b ®Ĩ hƯ cã nghiƯm x=
2
,y=
3
; b. T×m a,b ®Ĩ hƯ v« sè nghiƯm
Bµi 13. Cho hƯ ph¬ng tr×nh :
=−+
=+
3yx)1a(
ayax
a. Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh víi a=-
2
b. X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt tho¶ m·n ®iỊu kiƯn x+y>0
Bµi 14.Cho hƯ ph¬ng tr×nh
=−
=+
aayx
1yax
; a. Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh víi a=
2
-1
b. Chøng minh hƯ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm víi mäi a
c. T×m a sao cho hƯ cã nghiƯm (x;y) tho¶ m·n x>0; y>0
Chuyªn ®Ị 4: ph¬ng tr×nh bËc hai- §Þnh lÝ vi Ðt vµ øng dơng
I.Ph¬ng tr×nh bËc hai
1) Ph ¬ng tr×nh bËc hai khut:
* Ph ¬ng ph¸p: Ph©n tÝch vÕ ph¶i thµnh nh©n tư, råi ®a vỊ d¹ng ph¬ng tr×nh tÝch.
* VÝ dơ: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau:
a) 2x
2
-50x =0b) 54x
2
=27x c)
2
4
53
2
2
−=
+
x
x
d)
4
12
3
2
2
1
222
−
=
−
−
− xxx
2) Ph ¬ng tr×nh d¹ng ®Çy ®đ:
* Ph ¬ng ph¸p: Gi¶i theo c«ng thøc nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc hai:
* VÝ dơ:Gi¶i ph¬ng tr×nh
a)
02
1
1
=+
+
+
+ x
x
x
x
b)
1
1
2
1
2
2
+
+=
−
x
x
x
c)
2
1 1 7
7 12 2 6 40x x x
+ =
+ + +
3)Ph ¬ng tr×nh gi¶i ® ỵc b»ng c¸ch ®Ỉt Èn sè phơ:
* VÝ dơ: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
a) (x
2
+2x)
2
-2(x
2
+2x) -3 =0 c) 4x
4
+12x
3
-47x
2
+12x+4=0
b) x
4
-5x
2
-6 =0 d) x
2
+
2
5
x
-
2
3
=0
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
13
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
Bµi tËp: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
a)(6x
2
-7x)
2
- 2(6x
2
-7x) -3 =0 ; b)(x+
x
1
)
2
-4,5(x+
x
1
) +5=0
c)(x-1)(x+2)(x+4)(x+7)=16 ; d)
2
2
8
1
x
x
x
+ =
÷
−
II.§iỊu kiƯn nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+bx+c =0
Ph ¬ng ph¸p:
Cho ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+bx+c = 0 (1)
+ §K ®Ĩ (1) v« nghiƯm:
0
0
a ≠
∆ <
+ §K ®Ĩ (1)Cã 2 nghiƯm pb:
0
0
a ≠
∆ >
+ §K ®Ĩ (1)Cã nghiƯm kÐp:
0
0
a ≠
∆ =
+ §K ®Ĩ (1)Cã 2 nghiƯm tr¸i dÊu: a.c<0
+ §K ®Ĩ (1)Cã nghiƯm:
0
0
a ≠
∆ ≥
+ §K ®Ĩ (1) cã 2n
0
d¬ng:
0
0
0
S
P
∆ ≥
>
>
+ §K ®Ĩ (1) cã 2n
0
©m:
0
0
0
S
P
∆ ≥
<
>
+ §K ®Ĩ (1)cã 2n
0
cïng dÊu:
0
0P
∆ ≥
>
(Khi ®ã nÕu Tỉng 2n
0
d¬ng th× 2n
0
mang dÊu d¬ng vµ ngỵc l¹i)
VÝ dơ:
Bµi 1:Cho ph¬ng tr×nh: (m-1)x
2
-2(m+1x + m-2=0 (1)
a) T×m m ®Ĩ (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m= 5
Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh :(m+2)x
2
+ 6mx + (4m +1)=0. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp?
Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh :m
2
x
2
+ mx +4 =0 . T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh v« nghiƯm?
Bµi 4:Cho ph¬ng tr×nh :x
2
-2(k-1)x + 2k -5 =0
a)CMR Ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiƯm?
b)T×m k ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã 2 nghiƯm cïng dÊu.Khi ®ã 2n
0
mang dÊu g×?
Bµi 5: X¸c ®Þnh k ®Ĩ pt :3x
2
- (2k+1)x +k
2
- 4 =0 cã 2 nghiƯm tr¸i dÊu?
Bµi 6: X¸c ®Þnh k ®Ĩ pt :x
2
- 2kx +2k -3 =0 cã hai nghiƯm ph©n bÞªt cïng dÊu?
Bµi 7:Cho pt : 2x
2
+14x +2m-3 =0
a)T×m m ®Ĩ pt cã 1 nghiƯm b»ng -
3
.T×m nghiƯm thø hai?
b) T×m m ®Ĩ pt cã hai nghiƯm tr¸i dÊu? NghiƯm nµo cã gi¸ trÞ tut ®èi lín h¬n?
Bµi 8: Cho pt: x
2
-2mx+2m-1=0
a) m=? ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
14
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
b) m=? ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm cïng dÊu.Khi ®ã 2 n
0
mang dÊu g×?
III.Bµi to¸n liªn quan gi÷a nghiƯm ph¬ng tr×nh vµ hƯ thøc Vi-Ðt
Ph ¬ng ph¸p:
NÕu pt bËc 2 :ax
2
+bx+c = 0
cã 2 nghiƯm x
1
, x
2
th× tỉng vµ tÝch c¸c nghiƯm ®ã lµ:
1 2
1 2
.
b
x x
a
c
x x
a
+ = −
=
T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc II cã nghiƯm tháa m·n mét ®iỊu kiƯn cho tríc. NÕu ®k
cho tríc cã chøa biĨu thøc x
1
2
+x
2
2
hc x
1
3
+x
2
3
th× cÇn ¸p dơng c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí:
x
1
2
+x
2
2
=(x
1
+x
2
)
2
-2x
1
x
2
x
1
3
+x
2
3
=(x
1
+x)
3
-3x
1
x
2
(x
1
+x
2
).
TÊt nhiªn c¸c gi¸ trÞ cđa tham sè rót ra tõ ®k , ph¶i tháa m·n ®k
0≥∆
VÝ dơ:
Bµi 1:Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x
2
- 2(m+1)x + m
2
+3 =0 (1)
a) T×m m ®Ĩ (1) cã 2 n
0
d¬ng?
b) T×m m ®Ĩ (1) cã 2 n
0
x
1
,x
2
tháa m·n
22
77
1
2
2
1
=+
x
x
x
x
Bµi 2:Cho ph¬ng tr×nh : x
2
+2kx+2-5k =0 (2) k: tham sè
a) T×m k ®Ĩ pt(2) cã n
0
kÐp?
b) T×m k ®Ĩ (1) cã 2 n
0
x
1
,x
2
tháa m·n x
1
2
+x
2
2
=10
Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x
2
- (2m+3)x + m -3 =0 (1)
a) CMR pt lu«n cã nghiƯm víi mäi x.
b) T×m m ®Ĩ pt cã mét nghiƯm gÊp ®«i nghiƯm kia?
Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh: x
2
-2(m+2)x +m+1 =0 (x lµ Èn)
a) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm tr¸i dÊu?
b) Gäi x
1
, x
2
lµ hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh. T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ: x
1
(1-2x
2
)+x
2
(1-2x
2
)=m
2
.
Bµi 5:Cho ph¬ng tr×nh mx
2
-(m-4)x +2m =0.
T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x
1
, x
2
tho¶ m·n: 2(x
1
2
+x
2
2
)-x
1
.x
2
=0.
Bµi 6:Cho ph¬ng tr×nh x
2
-(m-1)x +5m-6=0.
T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x
1
, x
2
tho¶ m·n: 4x
1
+3x
2
=1
Bµi 7:Cho ph¬ng tr×nh x
2
-2(m+1)x+m
2
+3=0.
T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x
1
, x
2
tho¶ m·n : 2(x
1
+x
2
)-3x
1
.x
2
+9=0.
T×m hƯ thøc liªn hƯ gi÷a c¸c nghiƯm kh«ng phơ thc vµo tham sè?
• Ph ¬ng ph¸p: Tõ biĨu thøc cđa ®Þnh lÝ Vi - Ðt ,ta tiÕn hµnh khư tham sè ®Ĩ thu ®ỵc biĨu thøc
kh«ng phơ thc vµo tham sè
VÝ dơ :
Bµi 1:Cho ph¬ng tr×nh: x
2
-(k-3)x +2k+1 =0 cã c¸c nghiƯm lµ x
1
,x
2
. T×m mét hƯ thøc liªn hƯ gi÷a c¸c
nghiƯm ®éc lËp víi k.
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
15
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
Bµi 2:Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x
2
- (2m+3)x + m -3 =0 cã c¸c nghiƯm lµ x
1
,x
2
. T×m mét hƯ thøc liªn hƯ
gi÷a c¸c nghiƯm ®éc lËp víi k.
Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: (m+1)x
2
-2(m-1)x+m =0. T×m mét hƯ thøc liªn hƯ gi÷a c¸c nghiƯm ®éc
lËp víi m?.
Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: (m-1)x
2
-2(m-2)
2
x +m+3=0. T×m mét hƯ thøc liªn hƯ gi÷a c¸c nghiƯm
®éc lËp víi m?.
LËp ph¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt hai nghiƯm cđa chóng
Ph ¬ng ph¸p:
- LËp tỉng x
1
+x
2
- LËp tÝch x
1
x
2
- Ph¬ng tr×nh cÇn t×m lµ X
2
-SX+P =0.
* VÝ dơ:
Bµi 1:LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiƯm lµ:a)
3
1
vµ
2
1
;b)
3
vµ
5
; c)
25 +
vµ
25 −
Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh: x
2
+px+q =0(1)
a) Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh biĨu thøc:
( ) ( )
2
2
2
1
322
1
322
1
+
+
+
=
xx
A
theo p vµ q
b)Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y lËp ph¬ng tr×nh bËc 2 theo y cã hai nghiƯm lµ:
1
1
1
1
1
−
+
=
x
x
y
;
1
1
2
2
2
−
+
=
x
x
y
c)Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh (1) vµ ph¬ng tr×nh x
2
+mx+n=0
cã nghiƯm chung th× :(n-q)
2
+(m-p)(mq-np)=0
Bµi tËp:
Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh x
2
-mx +m-1 =0(1)
a)CMR: (1) cã nghiƯm víi mäi m.T×m nghiƯm kÐp nÕu cã cđa (1) vµ gi¸ trÞ t¬ng øng cđa m.
b)§Ỉt A= x
1
2
+x
2
2
-6x
1
x
2
. - CMR : A=m
2
-8m +8.
-T×m m ®Ĩ A=8
Bµi 2:Cho ph¬ng tr×nh : (m-4)x
2
-2mx+m-2=0
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=18
b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt.
c) TÝnh x
1
3
+x
2
3
theo m?
Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh : x
2
-2(m+2)x+m+1=0 (1)
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=-3/2
b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm tr¸i dÊu
c) Gäi x1; x2 lµ hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh.T×m m ®Ĩ x
1
(1-2x
2
)+x
2
(1-2x
1
)=m
2
.
Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh : x
2
- 2mx+2m-1=0
a) CMR: Ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiƯm víi mäi m.
b) §Ỉt A= 2(x
1
2
+x
2
2
)-5x
1
x
2
1.CMR: A= 8m
2
-18m+9
2. T×m m ®Ĩ A=27
3. T×m m sao cho ph¬ng tr×nh nghiƯm nµy gÊp hai lÇn nghiƯm kia?
Chuyªn ®Ị 5: Mèi t¬ng quan gi÷a ®å thÞ
hµm sè bËc nhÊt vµ hµm sè bËc hai
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
16
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
Ph ¬ng ph¸p:
Cho Parabol (P): y=ax
2
vµ ®êng th¼ng (d): y=mx+b
- §K ®Ĩ (d) c¾t (P) t¹i 2 ®iĨm ph©n biƯt
⇔
ph¬ng tr×nh ax
2
=mx+b cã 2 nghiƯm ph©n biƯt
⇔∆
>0 (nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh chÝnh lµ hoµnh ®é cØa hai giao ®iĨm)
- §K ®Ĩ (d) Kh«ng c¾t (P)
⇔
ph¬ng tr×nh ax
2
=mx+b v« nghiƯm
⇔
∆
<0.
- §K ®Ĩ (d) tiÕp xóc víi (P)
⇔
ph¬ng tr×nh ax
2
=mx+b cã nghiƯm kÐp
⇔
∆
=0
(nghiƯm kÐp t×m ®ỵc ®ã chÝnh lµ hoµnh ®é tiÕp ®iĨm).
Bµi tËp:
Bµi 1: VÏ ®å thÞ (P) cđa hµm sè y=
2
x
2
.
T×m a vµ b ®Ĩ ®êng th¼ng y=ax+b ®i qua ®iĨm (0;-1) vµ tiÕp xóc víi (P).
Bµi 2: Cho hµm sè y=ax
2
cã ®å thÞ (P) ®i qua ®iĨm A(-2;4) vµ tiÕp xóc víi ®å thÞ (T) cđa hµm sè y= (m-
1)x- (m-1).
a) T×m a , m vµ to¹ ®é tiÕp ®iĨm.
b) VÏ (P) & (T) víi a, m võa t×m ®ỵc trªn cïng mỈt ph¼ng to¹ ®é.
Bµi 3:Cho ®êng th¼ng (d): y=k(x-1) vµ Parabol (P): y= x
2
-3x+2
a) CMR: (d) & (P) lu«n cã mét ®iĨm chung.
b) Trong trêng hỵp (d) tiÕp xóc (P), t×m to¹ ®é tiÕp ®iĨm.
Bµi 4: Cho hµm sè y=
2
-1
x
2
(P)
a) VÏ (P).
b) T×m m ®Ĩ ®êng th¼ng y= 2x+m c¾t (P) t¹i 2 ®iĨm ph©n biƯt A & B.
T×m to¹ ®é 2 ®iĨm A vµ B ®ã.
Bµi 5: Cho Parabol (P): y=3x
2
. LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng
(∆) song song víi ®êng th¼ng (d): y=-2x vµ tiÕp xóc víi (P).
Bµi 6: Cho (P): y=
2
1
2
x
vµ hai ®êng th¼ng (d
1
): y=2x-2 vµ (d
2
): y= ax-1.
a) VÏ (P) & (d
1
) trªn cïng mỈt ph¼ng to¹ ®é vµ t×m to¹ ®é giao ®iỴm cđa chóng
b) BiƯn ln theo a sè giao ®iĨm cđa (P) & (d
2
)
c) T×m a ®Ĩ 3 ®å thÞ trªn cïng ®i qua mét ®iĨm.
d) Chøng tá r»ng ®êng th¼ng ®i qua A(-1;2) lu«n c¾t (P) t¹i 2 ®iĨm ph©n biƯt.
Chuyªn ®Ị 6: T×m GTLN >NN cđa mét biĨu thøc
Ph ¬ng ph¸p 1:
BiÕn ®ỉi biĨu thøc ®· cho sao cho cã chøa sè h¹ng lµ lòy thõa bËc ch½n
( lµ mét biĨu thøc kh«ng ©m) råi tïy theo dÊu tríc biĨu thøc ®ã lµ d¬ng
(hay ©m) mµ biĨu thøc ®· cho lµ nhá nhÊt (hay lín nhÊt).
Ch¼ng h¹n
:
A=(ax+b)
2
+m
m≥
th× minA=m khi vµ chØ khi x=
a
b−
A=-(ax+b)
2
+M
M≤
th× maxA =M khi vµ chØ khi x=
a
b−
VÝ dơ1: T×m GTNN cđa biĨu thøc A= m
2
-6m+11.
Ta cã: A= m
2
-6m+11=(m-3)
2
+2 . Do =(m-3)
2
≥
0 nªn A==(m-3)
2
+2
≥
2
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
17
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
dÊu “=” x¶y khi m-3=0 ⇔ m=3.
VËy GTNN cđa A lµ 2 khi m=3.
VÝ dơ 2: T×m GTLN cđa biĨu thøc B= -4x
2
-8x+5
Ta cã: B= -4x
2
-8x+5=-(4x
2
+8x-5)=-[(2x+1)
2
-6]=- (2x+1)
2
+6
≤
6
VËy GTLN cđa B lµ 6 khi 2x+1=0 ⇔ x=-1/2.
• Ph ¬ng ph¸p 2:Ph¬ng ph¸p t×m miỊn gi¸ trÞ cđa mét hµm sè
VÝ dơ: T×m GTLN & GTNN cđa biĨu thøc:
1
1
2
2
++
+
xx
x
§Ỉt y=
1
1
2
2
++
+
xx
x
, ta cÇn t×m GTNN>LNcđa y?
⇔ y(x
2
+x+1)=x
2
+1 ⇔ (y-1)x
2
+yx+y-1=0 (1) - §©y lµ ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x
+) y-1=0 ⇔ y=1: (1) cã d¹ng:x=0 (kh«ng cã GTLN hay GTNN)
+) y -1
≠
0 ⇔ y
≠
1: §Ĩ tån t¹i GTNN & GTLN th× (1) ph¶i cã nghiƯm ⇔ ∆
≥
0.
∆ = y
2
-4(y-1)
2
=(-y+2)(3y-2)
≥
0 ⇒
2
2
3
y≤ ≤
⇒ GTNN lµ
2
3
GTLN lµ 2.
Khi ®ã x=
2( 1) 2(1 )
y y
y y
− =
− −
víi y=2/3 th× x=1
víi y=2 th× x=-1
VËy: GTNN lµ
2
3
Khi x=1 ; GTLN lµ 2 Khi x=-1
Ph ¬ng ph¸p 3: Ph¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc C«si:
+ víi
0;0 ≥≥ ba
ta cã
ab
ba
≥
+
2
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a=b.
• HƯ qu¶: + NÕu a+b =S th×
42
2
S
ab
S
ab ≤⇔≤
. VËy ab ®¹t GTLN lµ
ba
S
=⇔
4
2
+ NÕu ab =P th× a+b
P2≥
.VËy a+b ®¹t GTNN lµ
baP =⇔2
VÝ dơ: Cho biĨu thøc
( )( )
xx
P
−+
=
53
8
víi -3<x<5 T×m x ®Ĩ P ®¹t GTNN.T×m GTNN ®ã.
Gi¶i : Tõ -3<x<5⇒ P>0. §Ỉt E=
( ) ( )
3 5x x+ −
P ®¹t GTNN th× E ®¹t GTLN ⇔
( ) ( )
3 5x x+ −
®¹t GTLN.
XÐt (x+3)+(5-x)=8 (h»ng sè) ⇒
( ) ( )
3 5x x+ −
≤
8
4
2
=
dÊu‘=’khi (x+3)=(5-x)⇒ x=1(TM).
⇒
( ) ( )
8 8
2
4
3 5
P
x x
= ≥ =
+ −
. GTLN cđa P lµ 2 vµ ®¹t ®ỵc khi x=1
*Bµi tËp
Bµi 1: T×m GTLN>NN nÕu cã cđa c¸c biĨu thøc sau:
a) -x
2
+2x+5 b) 2x
2
-x+3 c)
1
1
2
+− xx
d)
12
5
−+ x
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
18
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
Bµi 2: T×m x,y,z ®Ĩ c¸c biĨu thøc sau ®¹t GTNN. T×m GTNN ®ã
a) M=x
2
+4y
2
+z
2
-2x+8y-6z+15 b) N = 2x
2
+2xy +y
2
-2x+2y+2
Bµi 3: Cho biĨu thøc :
x
x
Q
3
72
2
+
=
víi x>0. T×m x ®Ĩ Q ®¹t GTNN.T×m GTNN ®ã.
Bµi 4: T×m GTLN & GTNN cđa biĨu thøc: y=
722
3
2
+−+ xx
Bµi 5: Gi¶ sư x
1
vµ x
2
lµ hai nghiƯm cu¶ ph¬ng tr×nh x
2
-2(m-1)x+m
2
-m -0 (1)
T×m GTNN cđa tỉng S= x
1
2
+x
2
2
Bµi 6: Cho ph¬ng tr×nh : x
2
- 2(m-3)x -2(m-1) =0 (1).
a) CMR (1) lu«n cã hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m.
b) Gäi x
1
vµ x
2
lµ hai nghiƯm cu¶ ph¬ng tr×nh.T×m GTNN cđa tỉng S= x
1
2
+x
2
2
.
Bµi 7: Gäi x
1
, x
2
lµ hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh 2x
2
-3mx-2 =0
T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ x
1
2
+x
2
2
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt?
Bµi 8: T×m GTLN>NN nÕu cã cđa c¸c biĨu thøc sau:
A= x
2
+3x+4 B=-3x
2
+4x+1 C=
23
5
2
−− x
Bµi 9: T×m GTNN cđa biĨu thøc: M=3y
2
+x
2
+2xy+2x+6y-5
Bµi 10:T×m GTLN & GTNN cđa biĨu thøc:
a)
2
2
20072
x
xx
y
+−
=
;b)
1
1
2
2
+−
++
=
xx
xx
y
;c)
2
13
1
x
y
−−
=
Bµi 11: Cho 2 biÕn sè d¬ng x vµ y . BiÕt x+y=6.T×m GTNN cđa
yx
Q
22
+=
Chuyªn ®Ị 7: BÊt ®¼ng thøc
I. Ph¬ng ph¸p chøng minh trùc tiÕp dïng ®Þnh nghÜa:
* §N: A
≥
B
⇔
A- B
≥
0
Nªn khi chøng minh A
≥
B ta:
- LËp hiƯu A-B
-Chøng tá r»ng A-B
≥
0 b»ng c¸ch biÕn ®ỉi A-B thµnh tÝch cđa nh÷ng thõa sè
kh«ng ©m hc tỉng c¸c b×nh ph¬ng.v.v.
VÝ dơ: Chøng minh r»ng 2(a
2
+b
2
)
≥
(a+b)
2
∀
a,b
Gi¶i: XÐt hiƯu 2(a
2
+b
2
) -(a+b)
2
=a
2
-2ab+b
2
=(a-b)
2
≥
0
∀
a,b.
Theo ®Þnh nghÜa ⇒ 2(a
2
+b
2
)
≥
(a+b)
2
(®pcm)
Bµi tËp vËn dơng
1) CMR: (a+b)
2
≥
4ab 2) CMR: NÕu a
≥
b th× a
3
≥
b
3
3) CMR: a
2
+b
2
+c
2
≥
ab+bc+ca 4) CMR:
2
2
2
2 x
1
x
x
+
≥ ∀
+
II. Ph¬ng ph¸p biÕn ®ỉi t¬ng ®¬ng
§Ĩ chøng minh A
≥
B, ta dïng tÝnh chÊt cđa B§T, biÕn ®ỉi t¬ng ®¬ng B§T cÇn chøng
minh ®Õn mét ®¼ng thøc ®· biÕt lµ ®óng
VÝ dơ: CMR :
1 1 4
, 0x y
x y x y
+ ≥ ∀ >
+
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
19
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
Gi¶i:
( ) ( )
2 2
1 1 4 x + y 4
x + y 4 x - y 0
xy
xy
x y x y x y
+ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
+ +
§óng
, , 0x y∀ >
nªn
1 1 4
, 0x y
x y x y
+ ≥ ∀ >
+
(®pcm)
Bµi tËp vËn dơng
1) CMR:
2
2
4 5
0
1
x x
x
x
− +
> ∀
+
2) CMR:
2
4
1
1 2
a
a
a
≤ ∀
+
3) CMR: NÕu p,q>0 th×:
2 2
p q
pq
p q
+
≥
+
4) CMR: 3x
2
+y
2
+z
2
≥
2x(y+z+1)
, ,x y z∀
5) CMR:
2006 2007
2006 2007
2007 2006
+ > +
6) CMR: NÕu x+4y=1 th× : x
2
+4y
2
≥
1
5
7) CMR: NÕu 2x+4y=1 th× : x
2
+y
2
≥
1
20
8)Cho a≠0.Gi¶ sư x
1
, x
2
lµ hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh
2
2
1
4 0
2
x x
a
− − =
.CMR:
4 4
1 2
2 2x x+ ≥ +
III.Ph¬ng ph¸p sư dơng gi¶ thiÕt hc mét B§T ®· biÕt
- Sư dơng B§T C«sy:
, 0
2
a b
ab a b
+
≥ ∀ ≥
- Sư dơng B§T Bunhiac«psci:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
x, yax by a b x y+ ≤ + + ∀
- C¸c hƯ qu¶ cđa B§T C«sy:
+)
1 1 4
, 0x y
x y x y
+ ≥ ∀ >
+
+)
( )
2
1 4
x, y
xy
x y
≥ ∀
+
+)
1 1 1 9
x, y,z
x y z x y z
+ + ≥ ∀
+ +
VÝ dơ: Cho 3 c¹nh cđa ∆ ABC cã ®é dµi lÇn lỵt lµ a,b,c vµ chu vi lµ 2p=a+b+c
CMR:
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c
+ + ≥ + +
÷
− − −
Gi¶i: ta cã p-a, p-b, p-c >0 nªn ¸p dơng B§T
1 1 4
, 0x y
x y x y
+ ≥ ∀ >
+
, ta cã:
1 1 4 1 1 4 1 1 4
; ;
1 1 1 1 1 1
2 4 dpcm
p a p b c p b p c a p c p a b
p a p b p c a b c
+ ≥ + ≥ + ≥
− − − − − −
⇒ + + ≥ + + ⇒
÷
÷
− − −
• Ghi chó: Khi sư dơng B§T nµo ®Ĩ gi¶i th× cÇn chøng minh tríc råi míi vËn dơng
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
20
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
Bµi tËp vËn dơng:
Bµi 1:Cho 2 sè d¬ng a,b tho¶ m·n a+b=1. CMR:
2 2
1 1
6
ab a b
+ ≥
+
(cã thĨ hái: T×m GTNN cđa biĨu thøc
A=
2 2
1 1
ab a b
+
+
)
Bµi 2:Cho 2 sè d¬ng a,b. CMR:
( )
2
2 2
1 1 1
4 4 8a b ab
a b
+ ≥
+
+
Bµi 3: Cho x>y, xy=1. CMR:
2 2
2 2
x y
x y
+
≥
−
Bµi 4:Cho x>0; y>0 tho¶ m·n ®iỊu kiƯn
1 1 1
2x y
+ =
.T×m GTNN cđa biĨu thøc A=
x y+
Chuyªn ®Ị 8: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh
hc hƯ ph¬ng tr×nh
.Ph ¬ng ph¸p:
B íc 1: Chän Èn sè (ghi râ ®¬n vÞ vµ ®Ỉt ®k cho Èn sè)
B íc 2: - BiĨu thÞ c¸c ®¹i lỵng ®· biÕt vµ cha biÕt qua Èn sè
- Sư dơng mèi liªn hƯ gi÷a c¸c d÷ kiƯn cho tríc trong bµi ®Ĩ
thiÕt lËp ph¬ng tr×nh(hc hƯ ph¬ng tr×nh)
B íc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh ( hc hƯ ph¬ng tr×nh)
B íc 4: NhËn ®Þnh kÕt qu¶, thư l¹i vµ tr¶ lêi
Bµi tËp vËn dơng:
Bµi 1. T×m hai sè biÕt tỉng cu¶ hai sè b»ng 59, hai lÇn cđa sè nµy hơn ba lÇn cđa sè kia lµ 8.
Bµi 2. Cho mét sè cã hai ch÷ sè, nÕu ®ỉi chç hai ch sè cđa nã th× ®ỵc mét sè lín h¬n sè ®· cho lµ 63.
Tỉng cđa sè ®· cho vµ sè míi t¹o thµnh b»ng 99. T×m sè ®· cho?
Bµi 3. Ph©n tÝch sè 270 ra thõa sè mµ tỉng cđa chóng b»ng 33
Bµi 4. mét s©n trêng h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 340m, 3 lÇn chiỊu dµi h¬n 4 lÇn chiỊu réng lµ 20m. TÝnh
chiỊu dµi vµ chiỊu réng cđa s©n trêng
Bµi 5. TØ sè gi÷a c¹nh hun vµ mét c¹nh gãc vu«ng cđa mét tam gi¸c vu«ng lµ
3
5
c¹nh cßn l¹i dµi 8cm.
TÝnh c¹nh hun
Bµi 6. B¶y n¨m tríc, ti mĐ b»ng 5 lÇn ti con céng thªm 4 n¨m nay ti mĐ võa ®óng gÊp 3 lÇn ti
con. Hái n¨m nay mçi ngêi bao nhiªu ti?
Bµi 7. H«m qua mĐ Lan ®i chỵ mua 5 qu¶ trøng gµ vµ 5 qu¶ trøng vÞt hÕt 10000
®
H«m nay mĐ lan mua 3
qu¶ trøng gµ vµ 7 qu¶ trøng vÞt chØ hÕt 9600
®
mµ gi¸ trøng th× vÉn nh cò. Hái gi¸ mçi qu¶ trøng mçi lo¹i
lµ bao nhiªu?
Bµi 8. Trong mét phßng häc cã mét sè ghÕ, nÕu xÕp mçi ghÕ 3 häc sinh th× 6 häc sinh kh«ng cã chç,
nÕu xÕp mçi ghÕ 4 häc sinh th× thõa mét ghÕ.
Hái líp cã bao nhiªu ghÕ vµ bao nhiªu häc sinh?
Bµi 9. Trªn c¸nh ®ång cÊy 60ha lóa gièng míi vµ 40ha lóa gièng cò thu ho¹ch ®ỵc tÊt c¶ 460 tÊn thãc.
Hái n¨ng xt mçi lo¹i lóa trªn 1ha lµ bao nhiªu. BiÕt r»ng 3ha trång lóa míi thu ho¹ch ®ỵc Ýt h¬n 4 ha
trång lóa cò lµ 1 tÊn
Bµi 10. Mét ®éi xe cÇn chuyªn chë 120 tÊn hµng h«m lµm viƯc cã hai xe ph¶i ®iỊu ®i n¬i kh¸c nªn mçi
xe ph¶i chë thªm 16 tÊn. Hái ®éi cã bao nhiªu xe?
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
21
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
Bµi 11. Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc tõ ®Þa ®iĨm A ®Õn ®Þa ®iĨm B mçi giê « t« thø nhÊt ch¹y nhanh
h¬n « t« thø hai 12km. Nªn ®Õn ®Þa ®Øªm B tríc « t« thø hai lµ 100 phót. TÝnh vËn tèc cđa mçt « t« biÕt
qu·ng ®êng AB dµi 240km
Bµi 12. Hai « t« A vµ B khëi hµnh cïng mét lóc tư hai tØnh c¸ch nhau 150km ®i ngỵc chiỊu vµ gỈp nhau
sau 2h. T×m v©n tèc cđa mçi « t«. BiÕt r»ng nÕu vËn tèc cđa « t« A t¨ng thªm 5 km/h vµ vËn tèc « t« B
gi¶m ®i 5 km/h th× vËn tèc cđa « t« A b»ng 2 lÇn vËn tèc « t« B.
Bµi 13. Mét « t« ®i t A ®Õn B. Cïng mét lóc « t« thø hai ®i tõ B ®Õn A víi vËn tèc b»ng
3
2
vËn tèc cđa «
t« th nhÊt. Sau 3h chóng gỈp nhau. Hái mçi « t« ®i c¶ qu·ng ®êng AB mÊt bao l©u?
Chuyªn ®Ị 8: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh
hc hƯ ph¬ng tr×nh ( TiÕp theo)
Bµi 14. Mét « t« du lÞch ®i tõ A ®Õn C. Cïng mét lóc tõ ®Þa ®iĨm B n»m trªn AC cã mét « t« v©n t¶i
còng ®i ®Õn C sau 5h hai « t« gỈp nhau tai C. Hái « t« du lÞch ®i tõ A ®ªn B hÕt bao l©u. BiÕt r»ng v©n
tèc cđa « t« t¶i b»ng 3/5 v©n tèc cđa « t« du lÞch.
Bµi 15. Hai ngêi thỵ cïng x©y mét bøc têng trong 7h12phót th× xong nÕu ngêi thø nhÊt lµm trong 5h vµ
ngêi thø 2 lµm trong 6h th× c¶ hai x©y ®¬c 3/4 bøc têng. Hái mçi ngêi lµm mét m×nh th× bao l©u song
bøc têng?
Bµi 16. Hai c«ng nh©n cïng s¬n cưa cho mét c«ng tr×nh trong 4 th× xong viƯc. NÕu ngêi thø nhÊt lµm
mét m×nh trong 9 ngµy, råi ngêi thø 2 ®Õn cïng lµm tiÕp trong mét ngµy n÷a th× xong viƯc. Hái mçi ngêi
lµm mét m×nh th× bao l©u xong viƯc.
Bµi 17. Trong th¸ng ®Çu 2 tỉ c«ng nh©n s¶n xt ®ỵc 800 chi tiÕt m¸y sang th¸ng thø 2 tỉ mét s¶n xt
vỵt møc 15%, tỉ hai s¶n xt vỵt møc 20% do ®ã ci th¸ng c¶ hai s¶n xt ®ỵc 945 chi tiÕt m¸y. Hái
r»ng trong th¸ng ®Çu mçi tỉ s¶n xt ®ỵc bao nhiªu chi tiÕt m¸y.
Bµi 18. Cho mét dung dÞch chøa 10% mi. NÕu pha thªm 200g níc th× ®ỵc mét dung dÞch 6%. Hái cã
bao nhiªu gam dung dÞch ®· cho?
Bµi 19. Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bĨ th× sau 4
5
4
giê bĨ ®Çy
mçi giê lỵng níc cđa vßi mét ch¶y ®ỵc b»ng 1
2
1
lỵng níc ch¶y ®ỵc cđa vßi hai . Hái mçi vßi ch¶y riªng
th× trong bao l©u ®Çy bĨ
Bµi 20. Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ tØnh A ®Õn tØnh B c¸ch nhau 50km sau ®ã 1h30’ mét ngêi ®i xe m¸y còng
®i tõ A ®Õn B sím h¬n 1h .TÝnh vËn tèc cđa mçi xe .BiÕt r»ng vËn tèc xe m¸y gÊp 2,5lÇn vËn tèc xe ®¹p .
Bµi 21. Mét ngêi ®i xe m¸y tõ A ®Õn B víi vËn tèc trung b×nh 30km/h khi ®Õn B ngêi ®ã nghØ 20phót r«×
quay trë vỊ A víi vËn tèc trung b×nh 25km/h TÝnh qu·ng ®êng AB biÕt r»ng thêi gian c¶ ®i lÉn vỊ lµ
5h50’
Bµi 22. Hai ngêi thỵ cïng lµm mét c«ng viƯc trong 16h th× song nÕu ngêi thø nhÊt lµm trong 3h vµ ngêi
thø hai lµm trong 6h th× hä lµm ®ỵc 25% c«ng viƯc .Hái mçi ngêi lµm mét m×nh thi song c«ng viƯc
trong bao l©u .
Bµi 23. Cho mét sè cã hai ch÷ sè .Tỉng hai ch÷ sè cđa chóng =10 ,tÝch hai ch÷ sè Êy nhá h¬n sè ®· cho
lµ 12 .T×m sè ®· cho
Bµi 24. Trong mét phßng häp cã 360 ghÕ ®ỵc xÕp thµnh c¸c d·y vµ sè ghÕ trong mçi d·y ®Ịu b»ng nhau
.Cã mét lÇn phßng häp ph¶i xÕp thªm mét d·y ghÕ vµ mçi d·y t¨ng mét ghÕ ®Ĩ ®đ chç cho 400 ®¹i
biĨu .Hái b×nh thêng trong phßng cã bao nhiªu d·y ghÕ
Bµi 25. Qu·ng ®¬ng AB dµi 150km mét «t« ®i tõ A ®Õn B vµ nghØ l¹i ë B 3h15’ råi trë vỊ A hÕt tÊt c¶ 10h .TÝnh
vËn tèc cđa «t« lóc vỊ .BiÕt r»ng vËn tèc lóc ®i lín h¬n vËn tèc lóc vỊ lµ 10km/h
Bµi 26. Mét sè m¸y su«i dßng 30km vµ ngỵc dßng 28km hÕt mét thêi gian b»ng thêi gian mµ sè m¸y ®i
59,5km trªn mỈt hå yªn lỈng .TÝnh vËn tèc cđa xng khi ®i trong hå .BiÕt r»ng vËn tèc cđa níc ch¶y
trong s«ng lµ 3km/h.
Bµi 27. Mét bÌ nøa tr«i trªn s«ng sau ®ã 5h20’ mét xng m¸y ®i theo vµ ®i ®ỵc 20km th× gỈp bÌ nøa
.TÝnh vËn tèc bÌ nøa BiÕt r»ng xng m¸y ch¹y nhanh h¬n bÌ nøa 12km/h
Chuyªn ®Ị 8: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh
hc hƯ ph¬ng tr×nh ( TiÕp theo)
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
22
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
Bµi 28: Ngêi ta dù ®Þnh chia 73 häc sinh thµnh mét sè tỉ nhÊt ®Þnh ®Ĩ tham gia ho¹t ®éng hÌ. Sau khi
chia sè häc sinh cho mçi tỉ th× thÊy thõa ra 1 häc sinh. LÇn thø hai chia thªm mçi tỉ 1 ng êi th× thiÕu 7
häc sinh. Hái sè tỉ dù ®Þnh vµ sè häc sinh cđa mçi tỉ lóc chia lÇn ®Çu.
Bµi 29:Hai c¹nh gãc vu«ng cđa mét ∆ vu«ng h¬n kÐm nhau 14 cm.TÝnh c¸c c¹nh cđa ∆ ®ã biÕt chu vi
cđa nã lµ 60cm.
Bµi 30Cho mét thưa rng h×nh ch÷ nhËt. NÕu t¨ng thªm mçi c¹nh 10m th× diƯn tÝch míi b»ng
2
3
diƯn
tÝch cò.NÕu gi¶m mçi c¹nh ®i 10 m th× diƯn tÝch míi b»ng
3
5
diƯn tÝch cò.
Bµi 31: Hai vßi níc cïng ch¶y ®Çy mét bĨ kh«ng cã níc trong 3h45’. NÕu ch¶y riªng rÏ, mçi vßi ph¶i
ch¶y trong bao nhiªu l©u ®Ĩ bĨ ®Çy.BiÕt r»ng vßi sau ch¶y l©u h¬n vßi tríc 4giê.
Bµi 32:Qu·ng ®êng H¶i Phßng – Hµ Néi dµi 105 km.Mét « t« ®i tõ H¶i Phßng ®i Hµ néi víi vËn tèc ®·
®Þnh.Lóc vỊ, mçi giê «t« ®i nhanh h¬n lóc ®i lµ 7km nªn thêi gian vỊ Ýt h¬n lóc ®i lµ nưa giê. TÝnh vËn
tèc lóc ®i cđa «t«?
Bµi 33: Mét sè cã hai ch÷ sè mµ tỉng hai ch÷ sè ®ã b»ng 13.nÕu ta thªm 34 vµo tÝch hai ch÷ sã ®ã, ta sÏ
®ỵc mét sè viÕt theo thø tù ngỵc l¹i. T×m sè ®ã?
Bµi 34:Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B trong 1 giê. Lóc vỊ ngêi ®ã ®i ®ỵc
1
3
qu·ng ®êng víi vËn t«c h¬n
lóc ®i lµ 2km/h.PhÇn ®êng cßn l¹i, ngêi ®ã rót vËn tèc xng thµnh Ýt h¬n lóc ®i 1km/h, lóc vỊ chËm h¬n
lóc ®i lµ 40gi©y. TÝnh qu·ng ®êng AB?
Bµi 35: Hai ngêi thỵ cïng lµm mét c«ng viƯc. NÕu lµm riªng rÏ mçi ngêi nưa c«ng viƯc th× tỉng sè giê
lµm viƯc lµ 12 h30.NÕu hai ngêi cïng lµm th× hai ngêi chØ lµm c¶ viƯc ®ã trong 6giê. Nh vËy, lµm riªng
rÏ c¶ c«ng viƯc, mçi ngêi ph¶i mÊt bao nhiªu giê?
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
23
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
PhÇn II
: H×nh häc
Chuyªn ®Ị 1: NhËn biÕt h×nh, t×m ®iỊu kiƯn cđa mét h×nh
hƯ thøc lỵng trong tam gi¸c vu«ng.
Ph ¬ng ph¸p;
- C¸c ph¬ng ph¸p nhËn biÕt tam gi¸c c©n.
- C¸c ph¬ng ph¸p nhËn biÕt tam gi¸c ®Ịu
- C¸c ph¬ng ph¸p nhËn biÕt tam gi¸c vu«ng
- C¸c ph¬ng ph¸p nhËn biÕt tam gi¸c vu«ng c©n
- C¸c ph¬ng ph¸p nhËn biÕt h×nh thang, h×nh thanh c©n
- C¸c ph¬ng ph¸p nhËn biÕt h×nh b×nh hµnh
- C¸c ph¬ng ph¸p nhËn biÕt h×nh ch÷ nhËt
- C¸c ph¬ng ph¸p nhËn biÕt h×nh thoi
- C¸c ph¬ng ph¸p nhËn biÕt vu«ng
Bµi tËp vËn dơng:
Bµi 1. T×m x, y,z trong mçi h×nh sau :
c)
Bµi 2. Chän kÕt qu¶ ®óng trong c¸c kÕt qu¶ díi ®©y :
a, Trong (h×nh 1) sinx b»ng :
A, 5/3 B, 3/5 C, 5/4 D, 3/4
b, Trong (h×nh 2) sinQ b»ng :
A,
RS
PR
B,
SR
PS
C,
QR
PR
D,
QR
SR
Bµi 3. Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A . VÏ h×nh vµ thiÕt lËp c¸c hƯ thøc tÝnh tØ sè lỵng gi¸c cđa
gãc B. Tõ ®ã suy ra c¸c hƯ thøc tÝnh tØ sè lỵng gi¸c cđa gãc C
Bµi 4. gi¶i tam gi¸c vu«ng ABC BiÕt
A
ˆ
= 90
0
AB=5 ,BC=7
Bµi 5. TÝnh c¸c gãc cđa mét tam gi¸c vu«ng biÕt tØ sè gi÷a hai c¹nh gãc vu«ng lµ 13:21
Bµi 6. Dùng gãc x BiÕt sinx = 3/5
Bµi 7. Dùng gãc x BiÕt cotgx = 1/2
Bµi 8 Cho tam gi¸c DEF cã ED = 7cm gãc D = 40
0
gãc F = 58
0
kỴ ®êng cao EI cđa tam gi¸c ®ã
. H·y tÝnh (lÊy 3 ch÷ sè thËp ph©n)
a).§êng cao EI
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
24
x
9 25
y
x 10
8
a)
b)
x
y
z
4 5
x
3cm H.1
5cm
4cm
h2
Q
R
S
P
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
b). C¹nh EF
Bµi 9: Gäi O lµ giao ®iĨm hai ®êng chÐo h×nh b×nh hµnh ABCD. M vµ N lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AD
vµ BC; BM vµ DN c¾t AC lÇn lỵt ë P vµ Q.
a) So s¸nh c¸c ®o¹n AP, PQ, QC. ; b) Tø gi¸c MPNQ lµ h×nh g×?
c) TÝnh tØ sè
CA
CD
®Ĩ MPNQ lµ h×nh ch÷ nhËt.;d) TÝnh
·
ACD
®Ĩ MNPQ lµ h×nh thoi.
e) ∆ ACD ph¶i cã g× ®Ỉc biƯt ®Ĩ MPNQ lµ mét h×nh vu«ng?
Bµi 10: Cho nưa ®êng trßn ®êng kÝnh AB. Gäi K lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung AB.Gäi M lµ mét ®iĨm
n»m trªn cung AK, N lµ mét ®iĨm n»m trªn d©y cung BM sao cho BN=AM.
Chøng minh r»ng:
a)∆ AMK = ∆ BNK; b)∆ MKN lµ ∆ vu«ng c©n vµ MK lµ tia ph©n gi¸c ngoµi cđa
·
AMN
c)Khi ®iĨm M chun ®éng trªn cung AK th× ®êng vu«ng gãc víi BM kỴ tõ N lu«n lu«n ®i qua mét
®iĨm cè ®Þnh ë trªn tiÕp tun cđa nưa ®êng trßn t¹i B.
Bµi 11: Cho hinh fvu«ng ABCD.LÊy B lµm t©m, b¸n kÝnh AB, vÏ
1
4
®êng trßn phÝa trong h×nh
vu«ng.lÊy AB lµ ®êng kÝnh, vÏ
1
2
®êng trßn phÝa trong h×nh vu«ng. Gäi P lµ ®iĨm t ý trªn cung AC
(kh«ng trïng víi A vµ C). H vµ K lÇn lỵt lµ h×nh chiÕu cđa P trªn AB vµ AD; PA vµ PB c¾t nưa ®êng trßn
t¹i I vµ M.
c) Chøng minh I lµ trung ®iĨm cđa AP
d) Chøng minh PH,BI,AM ®ång quy t¹i mét ®iĨm
e) Chøng minh PM=PK=AH
f) Chøng minh tø gi¸c APMH lµ h×nh thang c©n
g) T×m vÞ trÝ cđa ®iĨm P trªn cung AC ®Ĩ ∆ APB ®Ịu
Chuyªn ®Ị 2: Chøng minh mét sè ®iĨm n»m trªn ®êng trßn
tø gi¸c néi tiÕp
Ph ¬ng ph¸p;
- Ph¬ng ph¸p chøng minh 4 ®iĨm n»m trªn mét ®êng trßn
- Ph¬ng ph¸p chøng minh 5 ®iĨm n»m trªn mét ®êng trßn
1.Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó
2. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc dối bằng 180
0
3. Chứng minh từ hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau
4. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng nhau
5. Sử dụng định lý đảo về hệ thức lượng trong đường tròn
Nếu M là giao điểm của AB và CD và thoả mãn AM.MB = CM.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp
đường tròn
6. Trong trường hợp phải chứng minh từ 5 điểm trở lên cùng nằm trsên một đường tròn ta
chọn 3 điểm nào đó cố định ,rồi kết hợp với một điểm thứ tư để chứng minh 4 điểm nằm trên
đường tròn và cứ tiếp tục như vậy chứng minh tiếp .
Bµi tËp vËn dơng:
Bµi 1 Từ một điểm M nằm ngồi (o) kẻ các tuyến qua tâm MAB và các tiếp tuyến MC,MD , gọi
K là giao điểm của AC và BD .
C/m 4 điểm B,C,M,K cùng thuộc một đường tròn ,xác định tâm đường tròn đó
Bµi 2.Gọi AB là đường kính của (o) từ A kẻ hai dây bất kì cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
25
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
ở E và F và cắt đường tròn ở C và D . Chứng minh tứ giác DCEF nội tiếp
Bµi 3. Cho hình bình hành ABCD (
CBA
ˆ
>90
0
)
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC,BD.
A
’
là hình chiếu của DS trên BC, B
’
là hình chiếu của D trên AC, C
’
là hình chiếu cuả D trên
AB. Chứng minh O nằm trên đường tròn ngoại tiếp ∆A
’
B
’
C
’
.
Bµi 4.Cho ∆ABC ngoại tiếp đường tròn (O) gọi D và E là hai tiếp điểm.Trên AB và AC.Các
đường phân giác của góc B và C cắt đường thẳng DE tại N và M.
Chứng minh rằng 4 điểm B,M,N,C cùng nằm trên một đường tròn.
Bµi 5.Cho ∆ABC (AB=AC),M thay đổi trên cạnh BC. Các đường thẳng qua M và song song
với các cạnh bên AB,AC lần lượt cắt AB và AC ở Q và P.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
tâm giác ABC.Chứng minh.
a, Tứ giác APOQ nội tiếp.
b, Điểm đối xứng của M qua PQ nằm trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
Bµi 6. Cho tam gi¸c ®Ịu ABC trªn nưa mỈt ph¼ng bê BC kh«ng chøa ®Ønh A lÊy ®iĨm D sao cho DB=DC
vµ gãc DCB b»ng 1/2gãc ACB
Chøng minh tø gi¸c ABDC néi tiÕp
Bµi 7. S lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cung AB cđa ®êng trßn t©m 0 Trªn d©y AB lÊy hai ®iĨm E vµ H c¸c ®êng
th¼ng SH vµ SE c¾t ®êng trßn t¹i C vµ D .Chøng minh tø gi¸c EHCD néi tiÕp
Bµi 8. Tø gi¸c ABDC néi tiÕp ®êng trßn t©m O .E lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cung AB hai d©y EC,EB c¾t AB t¹i
P vµ Q c¸c d©y AD,EC c¾t nhau t¹i I ,c¸c d©y BC vµ ED c¾t nhau t¹i K .Chøng minh r»ng
a. Tø gi¸c CDIK néi tiÕp ; b. Tø gi¸c CDQP néi tiÕp
Bµi 9. Cho tam gi¸c ABC c¸c ®ưêng ph©n gi¸c trong cđa gãc B vµ gãc C c¾t nhau t¹i S .C¸c
®ưêng ph©n gi¸c ngoµi cđa gãc B vµ gãc C c¾t nhau t¹i E . Chøng minh BSCE lµ tø gi¸c néi tiÕp
Bµi 10. Cho tam gi¸c c©n ABC ®¸y BC vµ gãc A =20
o
Trªn nưa mỈt ph¼ng bê AB kh«ng chøa C lÊy D
sao cho DA=DB vµ gãc DAB =40
o
.Gäi E lµ giao ®iĨm cđa AB vµ CD .Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi
tiÕp
Bµi 11. Cho hai ®o¹n th¼ng AC vµ BD c¾t nhau t¹i E biÕt AE.EC =BE.ED .Chøng minh 4 ®iĨm A,B,C,D
cïng n»m trªn mét ®ưêng trßn.
Bµi 12. Cho ®ưêng trßn t©m O .SA ,SB lµ hai tiÕp tun cđa ®ưêng trßn t¹i A vµ B KỴ d©y BC .§êng
kÝnh vu«ng gãc víi AC c¾t BC t¹i I .Chøng minh r»ng :
a. 4 ®iĨm S,A,I,B cïng n»m trªn ®êng trßn
b. Tø gi¸c SAOI néi tiÕp
Bµi 13.Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O tia ph©n gi¸c cđa gãc BAC c¾t BC t¹i I vµ c¾t ®êng
trßn tai P ,kỴ ®ưêng kÝnh PQ c¸c tia ph©n gi¸c cđa gãc ACB vµ gãc ABC c¾t AQ t¹i E vµ F .Chøng minh
4 ®iĨm B,C,E,F n»m trªn mét ®ưêng trßn
Bµi 14.Cho tam gi¸c ABC cã c¸c gãc nhän . Gäi H lµ Trùc t©m .P,M,N lµ ch©n c¸c
®êng cao h¹ tõ A,B,C xng BC ,AC,AB .Chøng minh r»ng
a. C¸c tø gi¸c AM HN vµ BMNC néi tiÕp
b. Gäi D,E,F lÇn lưỵt lµ c¸c ®iĨm ®èi xøng cđa H qua AC,AB,BC .
Chøng minh r»ng 6 ®iĨm A,E,B,F,C vµ D cïng n»m trªn mét ®êng trßn
Bµi 15. Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C .Gäi D lµ h×nh chiÕu cđa C trªn AB ®êng trßn t©m O
®êng kÝnh CD c¾t c¹nh AC,BC t¹i E vµ F.Gäi M lµ giao ®iĨm thø hai cđa BE víi ®êng trßn ,K lµ giao
®iĨm cđa AC vµ MF ,P lµ giao ®iĨm cđa EF vµ BK .
Chøng minh r»ng : 4 ®iĨm B,M,F,P cïng thc mét ®êng trßn .
Bµi 16: Cho ∆ ABC, c¸c ®êng cao BE vµ CF c¾t nhua t¹i H. Gäi H’ lµ ®iĨm ®èi xøng cđa H qua BC.
T×m c¸c tø gi¸c néi tiÕp cã trong h×nh vÏ.
Bµi 17: Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau t¹i hai ®iĨm A vµ B. §êng th¼ng AO
c¾t ®êng trßn (O) vµ (O’) lÇn lỵt t¹i C vµ C’. §êng th¼ng AO’ c¾t ®êng trßn (O) vµ (O’) lÇn lỵt t¹i D vµ
D’ Chøng minh r»ng:
a) C, B, D’ th¼ng hµng
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
26
Tµi liƯu «n thi vµo líp10-THPT
b) ODC’O’ néi tiÕp
c) §êng th¼ng CD vµ ®êng th¼ng D’C’ c¾t nhau t¹i M. Chøng minh: MCBC’ néi tiÕp.
Bµi 18: Cho ®êng trßn t©m O, ®êng kÝnh BC. lÊy ®iĨm A trªn ®êng trßn sao cho AB>AC. Dùng h×nh
vu«ng ABED ë miỊn ngoµi ∆ ABC. Gäi F lµ giao ®iĨm cđa AE víi ®êng trßn vµ K lµ giao ®iĨm cđa CF
vµ ED. Chøng minh:
a) B,K, D, C cïng thc mét ®êng trßn.
b) AC=EK
Bµi 19: Cho h×nh thang ABCD néi tiÕp trong ®êng trßn (O). C¸c ®êng chÐo AC vµ BD c¾t nhau t¹i E.
C¸c c¹nh AD, BC kÐo dµi c¾t nhau t¹i F. Chøng minh r»ng:
a) A,D,E, O cïng thc mét ®êng trßn.
b) Tø gi¸c AOCF néi tiÕp
c) MNCP lµ h×nh b×nh hµnh trong ®ã M, N lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa BD, AC vµ P lµ ch©n ®êng
cao h¹ tõ B xng CD.
Chuyªn ®Ị 3: Chøng minh tam gi¸c ®ång d¹ng
vµ chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc
Ph ¬ng ph¸p;
- Sư dơng c¸c trêng hỵp cđa tam gi¸c ®ång d¹ng ®Ĩ chøng minh hai tam
gi¸c ®ång d¹ng
- Sư dơng ®Þnh lÝ Ta LÐt vµ hƯ qu¶; tÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c cđa tam
gi¸c; c¸c c¸ch biÕn ®ỉi tû lƯ thøc ®Ĩ chøng minh c¸c ®¼ng thøc h×nh
häc.
- Mn chøng minh mét ®¼ng thøc mµ mçi vÕ lµ tÝch c¶u hai ®o¹n
th¼ng, ch¼ng h¹n: MA.MB=MC.MD ta cã thĨ dïng c¸c ph¬ng ph¸p
sau ®©y:
+ Chøng minh mçi vÕ cïng b»ng mét tÝch thø ba
+ Chøng minh hai tam gi¸c MAC vµ MDB (hc hai tam gi¸c MAD vµ
MCB)
(Trêng hỵp ®Ỉc biƯt: MT
2
=MA.MB th× chøng minh
∆
MTA
:
∆
MBT)
+ Sư dơng c¸c hƯ thøc trong
∆
vu«ng
Bµi tËp vËn dơng:
Bµi 1: Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc ngoµi víi nhau t¹i M. mét ®êng th¼ng c¾t ®êng trßn t¹i A,
B vµ tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i C. C¸c tai AM , MB c¾t ®êng trßn (O’) lÇn lỵt t¹i E vµ D. Tia CM c¾t
®êng trßn (O) t¹i I.
a) Chøng minh
∆
AIB
:
∆
ECD
b) TiÕp tun chung cđa hai ®êng trßn kỴ tõ M c¾t t¹i P.
Chøng minh PC
2
=PA.PB
Bµi 2: Cho nưa ®êng trßn t©m O, dêng kÝnh AB=2R vµ mét ®iĨm M trªn nưa ®êng trßn (M kh¸c A,B).
TiÕp tun t¹i M c¾t nưa ®êng trßn, c¾t c¸c tiÕp tun t¹i A, B lÇn lỵt ë C vµ E.
c) CMR: CE=AC+BE
d) CMR: AC.BE= R
2
e) CM:
∆
AMB
:
∆
COE
Bµi 3: Cho gãc vu«ng xOy. Trªn Ox ®Ỉt ®o¹n OA=a.Dùng ®êng trßn (I; R) tiÕp xóc víi Ox t¹i A vµ c¾t
Oy t¹i hai ®iĨm B,C. Chøng minh c¸c hƯ thøc:
a)
2 2 2
1 1 1
AB AC a
+ =
b) AB
2
+AC
2
=4R
2
Bµi 4: Cho h×nh vu«ng ABCD. Tõ A kỴ mét ®êng th¼ng t¹o víi AB gãc
α
(0
0
<
α
<45
0
). §êng th¼ng nµy
c¾t c¹nh BC t¹i M vµ c¾t ®êng th¼ng DC t¹i I.
a) Chøng minh hƯ thøc: Sin
2
α
+Cos
2
α
=1
b) TÝnh biĨu thøc
2 2
1 1
AM AI
+
theo a lµ c¹nh cđa h×nh vu«ng.
= = = = = = = Trang: = = = == = = = = =
GV: Huỳnh Mạnh Dũng– THCS Nguyễn Trường Tộ – CưM’Gar - Daklak
27
