boi duong HSG 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (550.04 KB, 58 trang )

GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
Tuần:
Ngày sọan: /2/09
Ngày dạy: /2/09
Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi
Môn : Toán lớp 9
I. Mục tiêu
- Giúp học sinh hệ thống lại đợc những kiến thức đã học.
- Phát triển t duy cho học sinh.
II. Tiến trình lên lớp
A. ổn định.
B. Kiểm tra
C. Bài tập
Câu 1 : a) Tính A =
322
1
322
1

+
++
b) So sánh :
2008 2009
2009 2008
+
và
2008 2009+
Câu 2 : a) Giải phơng trình : x
2

+ x + 12
1
+
x
= 36
b) Tìm các số nguyên x , y sao cho : y=
54
2
++
xx
Câu 3 :
a) Biết a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh phơng trình :
x
2
+ ( a - b - c )x + bc = 0 vô nghiệm
b) Cho M = x
2
+ y
2
+ 2z
2
+ t
2
; với x , y , z , t là số tự nhiên .
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tơng ứng của x,y,z,t biết rằng:

=++
=+
10143
21
222
222
zyx
tyx
Câu 4 :
1
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
Cho đoạn thẳng AB=2a , trên AB lấy một điểm C tuỳ ý . Vẽ đờng tròn tâm I đờng
kính AC và vẽ đờng tròn tâm K đờng kính BC . MN là tiếp chung ngoài của hai đờng
tròn (M
)(),( KNI

) ; Cx là tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn .
a) Chứng minh các đờng thẳng AM,BN,Cx đồng quy tại một điểm D .
b) Xác định vị trí của điểm C trên AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn
nhất .
Câu 5 :
Chứng minh rằng nếu
ba
+
> 2 thì phơng trình sau có nghiệm
2ax
2

+ bx +1 - a = 0
Hớng dẫn trả lời
Câu 1 :
Giáo viên vừa hớng dẫn vừa yêu cầu học sinh làm theo giáo viên.
a) A =
3242
2
3242
2

+
++
( Nhân tử và mẫu với
2
)
=
33
2
33
2
)13(2
2
)13(2
2

+
+
=

+

++

=
2
39
)3333(2
=

++

b)Hỏi: Em nào làm đợc bài này?
Ta có
2008 2009
2009 2008
+
=
2009 1 2008 1
2009 2008
+
+
=
=
2009 1 2008 1
2009 2009 2008 2008
+ +
=
= (
2008 2009+
)+
1 1

( )
2008 2009

Ta thấy
1 1
2008 2009
2008 2009
< >
Do đó
1 1
2008 2009

>0 ;
2
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
suy ra (
2008 2009+
)+
1 1
( )
2008 2009

>
2008 2009+
Vậy
2008 2009
2009 2008

+
>
2008 2009+

Câu 2 :
a) Gợi ý: Dùng phơng pháp đặt ẩn phụ để làm.
x
2
+ x + 12
1
+
x
= 36
x(x+1)+ 12
1
+
x
= 36
KX : x
1

Đặt
1+x
= t
0

; phơng trình trở thành :
( t
2

- 1 )t
2
+ 12t = 36
t
4
- ( t - 6 )
2
= 0 ; suy ra (t
2
- t + 6)(t
2
+ t - 6) = 0
Phơng trình t
2
- t + 6 = 0 vô nghiệm
Phơng trình t
2
+ t - 6 = 0 có nghiệm là t
1
= -3< 0 (loại)
t
2
= 2 > 0
Với t = 2 thì
1
+
x
=2 ; từ đó tìm đợc nghiệm của phơng trình là :
x = 3
b) x

2
+ 4x + 5 = (x+2)
2
+1 > 0 với mọi x , nên y xác định với mọi x ;
từ đó ta cũng có y > 0 .
Bình phơng 2 vế y=
54
2
++
xx
ta đợc :
y
2
= (x+2)
2
+1
(y + x + 2)(y - x - 2 ) = 1
Vì x,y là số nguyên nên (y + x + 2) và (y - x - 2 ) cũng nhận giá trị nguyên . Ta
thấy tổng và tích của 2 biểu thức này là dơng nên ta có :

=
=++
12
12
xy
xy
; từ đó ta tìm đợc (x=-2;y=1)

Câu 3 :
3
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
a) (1đ)

= (a-b-c)
2
- 4bc = a
2
+ b
2
+c
2
- 2ab - 2ac + 2bc - 4bc
= a
2
+ b
2
+c
2
- 2ab - 2ac - 2bc =
= a
2
- a(b+c) + b
2
- b(a+c) + c
2
- c(a+b)

Vì a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên :
0 <a<(b+c) ; suy ra a
2
< a(b+c) ; do đó a
2
- a(b+c) < 0
0 <b<(a+c) ; suy ra b
2
< b(a+c) ; do đó b
2
- b(a+c) < 0
0 <c<(a+b) ; suy ra c
2
< c(a+b) ; do đó c
2
- c(a+b) < 0
Từ đó suy ra

< 0 . Vậy phơng trình vô nghiệm .
b) Từ hệ

=++
=+
(**)10143
*)(21
222

222
zyx
tyx
; cộng vế với vế ta đợc :
2(x
2
+ y
2
+ 2z
2
+ t
2
) - t
2
= 122 ;
suy ra M=
2
61
2
122
22
tt
+=
+
; do đó Min M = 61 khi t = 0
Với t = 0 từ (*) suy ra x
2
- y
2
= 21 hay (x-y)(x+y)= 21

Có 2 trờng hợp xảy ra :
+

=
=

=+
=
10
11
21
1
y
x
yx
yx
(loại vì không thoả mãn (**) )
+

=
=

=+
=
2
5
7
3
y
x
yx
yx
, thay vào (**) ta tìm đợc z=4
Vậy Min M=61 khi x=5,y=2,z=4,t=0
Câu 4 :
4
Q
I
m CB = 3 cm
Distance A to C B = 0 cm
m AC = 5 cm
O
N
M
KC
B
x
A
D
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS

A
Hải Đờng
a)
Gọi D là giao điểm của AM và BN
Q là giao điểm của MN và Cx .
Theo tính chất của tiếp tuyến ta có
QM=QC=QN ;
Từ đó suy ra

MCN vuông .
Tứ giác DMCN có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật ;
Mà Q là trung điểm của MN , suy ra Q là trung điểm của DC .
Vậy AM,BN,Cx đồng quy tại D.
b)
Gọi O là trung điểm của AB , Suy ra DO=
2
AB
=a
S
DMCN
=DM.DN=
===
DCAB
DC
DBDA
DC
DB
DC
DA
DC

..
.
4422

222
2333
a
a
a
a
DC
AB
DC
===
;
Từ đó ta có S
DMCN
lớn nhất bằng
2
2
a
khi DC=a ; lúc đó C

O .
Câu 5 :
Giả sử phơng trình vô nghiệm , ta có :

= b

2
- 8a(1-a) < 0 (1) , do đó 0 < b
2
< 8a(1-a) hay a(1-a) > 0
Từ đó ta có 0 <a < 1 , suy ra
a
= a .
Từ (1) , ta lại có
b
< 2
)1(2 aa

, vậy
=+<+
)1(22 aaaba
=
1)12(1)1()1(222
2
+=++
aaaaaa
(2)
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki , ta có :
(
[ ]
)1()12()1.1.2()12
22
aaaaaa
+++=+
= 3 (3)
Kết hợp (2) với (3) , ta có :

ba
+
< 3 -1 = 2 ; trái với giả thiết .
Vậy phơng trình có nghiệm .
Hỏi: Trong bài học hôm nay các em đã dùng những đơn vị kiến thức nào?
5
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
Học sinh trả lời:
D. Bài tập về nhà.
Bài 1.
Rút gọn biểu thức A =
24923013
+++
Bài 2.
Chứng minh rằng với x > 0, x

1, biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
1
.
11
2
+
+

+

+
++
x
xxxxx
xx
xx
xx
xx
.
Bài 3.
Giải phơng trình: (2x + 1)
2
(x + 1)x = 105
III. Lu ý khi sử dụng giáo án.
- Những bài khó cho học sinh trao đổi theo nhóm để tìm ra lời giải cho bài toán đó.
- Những dạng mới cho học sinh ghi kiến thức áp dụng cho dạng đó
..
..
..
6
GV: Ngun Qc ViƯt -TRêng THCS
A
H¶i §êng

Tn:
Ngµy säan: /2/09
Ngµy d¹y: /2/09
§Ị tỉng hỵp kiÕn thøc häc sinh giái
M«n : To¸n líp 9
I. Mơc tiªu
- Gióp häc sinh hƯ thèng l¹i ®ỵc nh÷ng kiÕn thøc ®· häc.
- Ph¸t triĨn t duy cho häc sinh.
- KiĨm tra sù vËn dơng cđa häc sinh
- RÌn mét sè d¹ng to¸n khã
II. TiÕn tr×nh lªn líp
A. ỉn ®Þnh.
B. KiĨm tra
C. Bµi tËp
Bài 1
Cho hai số nguyên dương a và b
( )
a b≥
đều không chia hết cho 5 .
Chứng minh rằng a
4
– b
4

M
5.
Bài 2 :
a) Rút gọn :
( )
2 1 : 1 1x x x

− − − −
b) Tính :
( ) ( )
4 15 . 10 6 . 4 15+ − −
Bài 3 :
Cho a > 2 ; b > 2 . Chứng minh rằng : ab > a + b
Bài 4 :
Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức sau :
A =
2 1 2 1x x x x
+ − + − −
Bài 5 :
7
GV: Ngun Qc ViƯt -TRêng THCS
A
H¶i §êng
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC nhọn . Chứng minh rằng :
4 S
ABC

≤
AM.BC + BM.CA + CM.AB
---*---
HƯỚNG DẪN
Bài 1 :
Gi¸o viªn: C¸c em mn lµm ®ỵc bµi to¸n nµy chóng ta ph¶i vËn dơng tÝnh chÊt chia
hÕt mµ c¸c em ®· häc ë líp 6.
Hái: Em nµo lµm ®ỵc bµi nµy?
Häc sinh: Suy nghÜ lµm.
Ta có bài toán phụ sau :

; 5n n
/
∈Ζ M
Chứng minh rằng : n
4
– 1
M

5
Do : n
4
– 1 = ( n
2
– 1 ).( n
2
+ 1 )
n
/
M
5
⇒
n chia 5 dư
±
1 hoặc
±
2
• Nếu n chia 5 dư
±
1
⇒

n
2
chia 5 dư 1
⇒
n
2
– 1
M
5
Do đó : n
4
– 1
M
5
• Nếu n chia 5 dư
±
2
⇒
n
2
chia 5 dư 4
⇒
n
2
+ 1
M
5
Do đó : n
4
– 1

M
5
Áp dụng cho bài toán trên :
Do : a
4
– 1
M
5 và b
4
– 1
M
5
Hái: Em h·y cho biÕt b¹n ®· dïng nh÷ng kiÕn thøc nµo ®Ĩ lµm bµi tËp trªn?
Bài 2 :
Gi¸o viªn gäi hai em lªn b¶ng lµm.
Häc sinh lªn b¶ng lµm.
a) Rút gọn :
( )
2 1 : 1 1x x x
− − − −

( )
( ) ( )
≠ ≥
= − − − −
= − − − −
2
: 2; 1
2 1 : 1 1
1 1 : 1 1

ĐK x x
x x x
x x
8
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng

( )
=

> >

= =

< <

> >

= =

< <

1 1 : 1 1
1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 2
x x

Neỏu x Neỏu x
Neỏu x Neỏu x
Neỏu x Neỏu x
Neỏu x Neỏu x
b) Tớnh :
( ) ( )
4 15 10 6 4 15+
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
(
)
= +
= +
= +
= +
= +
= + = +
= + = =
2
2
2
2
4 15 . 5 3 . 2. 4 15
4 15 . 5 3 . 2. 4 15
4 15 . 5 3 . 8 2 15

4 15 . 5 3 . 5 3
4 15 . 5 3 . 5 3
4 15 . 5 3 4 15 . 8 2 15
4 15 . 4 15 .2 4 15 .2 2
Baứi 3 :
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 ; 0 . 2. 1
2 ; 0 . 2. 2
1 2
: . . 2. 2.
2 . 2.
.
Do a b neõn a b b
vaứ b a neõn a b a
Tửứ vaứ
Ta ủửụùc a b a b a b
a b a b
a b a b ẹPCM
> > >
> > >
+ > +
> +
> +
Baứi 4 :
Giáo viên hớng dẫn
Các em dùng bất đẳng thức sau để làm bài này.

a b a b+ +
9
A'
F
E
M
CB
A
•
GV: Ngun Qc ViƯt -TRêng THCS
A
H¶i §êng

( ) ( )
2 2
2 1 2 1
: 1
1 2 1 1 1 2 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2
A x x x x
ĐK x
A x x x x
A x x
A x x
Ápdụngbất đẳngthức a b a b tacó
A x x x x
= + − + − −
≥

= − + − + + − − − +
= − + + − −
= − + + − −
+ ≥ +
= − + + − − ≥ − + + − − = =
( ) ( )
1 1 1 1 0
2 1 2
1
2 1 2
x x
A x
x
Vậy Mim A khi x

− + − − ≥

= ⇔ ⇔ ≤ ≤

≥


= ≤ ≤
Bài 5 : Cho điểm M nằm trong tam giác ABC nhọn Chứng minh
rằng :
4.S
ABC

≤
AM . BC + BM . CA + CM . AB

Kéo dài AM cắt cạnh BC tại A’
Vẽ BE
⊥
AM tại E ( E
∈
AM )
CF
⊥
AM tại F ( F
∈
AM )
Ta có : BE. AM
≤
BA’. AM (1)
CF. AM
≤
CA’. AM (2)
10
GV: Ngun Qc ViƯt -TRêng THCS
A
H¶i §êng
Lấy (1) + (2) vế theo vế
Ta được : BE. AM + CF. AM
≤
BA’. AM + CA’. AM
Hay : ( BE + CF ). AM
≤
AM ( BA’ + CA’)
Nên : ( BE + CF ). AM
≤

AM . BC
Do đó ta có tổng diện tích :
2 ( S
ABM
+ S
ACM
)
≤
BC. AM
⇔
S
ABM
+ S
ACM

1
2
≤
BC. AM (*)
Tương tự ta chứng minh được :
⇔
S
ABM
+ S
CBM

1
2
≤
AC. BM (**)

⇔
S
ACM
+ S
CBM

1
2
≤
AB. CM (***)
Cộng vế theo vế (*) , (**), (***) cho ta
2(S
ABM
+ S
ACM
+ S
CBM
)
1
2
≤
( BC. AM + AC. BM + AB. CM )

⇔
2 . S
ABC

1
2

≤
( BC. AM + AC. BM + AB. CM )
⇔
4 . S
ABC

≤
BC. AM + AC. BM + AB. CM ( ĐPCM)
D. Bµi tËp vỊ nhµ.
Bµi 1 :
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa
2
2
3 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
.
Bµi 2.
Cho a, b ≥ 0 tho¶ m·n :
1
=+
ba
. Chøng minh r»ng: ab(a + b)
2
≤

64
1
.
DÊu b»ng x¶y ra khi nµo ?
Bàµi3: Cho biĨu thøc.
P =
( ) ( )
3
a1
2
2
a
a12
1
a12
1
−
+
−
−
+
+
a) Rót gän P.
b) Tìm Min P.
Bài 2: Cho x, y lµ hai sè kh¸c nhau tháa m·n: x
2
+ y = y
2
+ x
Tính gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : P =

1 -xy
xy
2
y
2
x
++
III. Lu ý khi sư dơng gi¸o ¸n.
11
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
- Những bài khó cho học sinh trao đổi theo nhóm để tìm ra lời giải cho bài toán đó.
- Những dạng mới cho học sinh ghi kiến thức áp dụng cho dạng đó
..
..
..
Tuần:
12
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
Ngày sọan: /2/09
Ngày dạy: /2/09
Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi
Môn : Toán lớp 9
I. Mục tiêu
- Giúp học sinh hệ thống lại đợc những kiến thức đã học.
- Phát triển t duy cho học sinh.
- Kiểm tra sự vận dụng của học sinh

- Rèn một số dạng toán khó
II. Tiến trình lên lớp
A. ổn định.
B. Kiểm tra
C. Bài tập
Bài 1: Chứng minh rằng nếu phơng trình bậc hai
2
. . 0a x b x c
+ + =
có hai nghiệm dơng
1 2
;x x
thì phơng trình
2
0cx bx a
+ + =
cũng có hai nghiệm
3 4
;x x
đồng thời:
1 2 3 4
4x x x x+ + +
.
Bài 2:
1. Cho a; b; c là các số thực đôi một khác nhau. Rút gọn biểu thức sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b c
A
a b a c b c b a c a c b
= + +

2. Cho các số thực dơng x; y; z thoả mãn:
3 3 3
3 0x y z xyz+ + =
.
Tính giá trị của biểu thức:
( ) ( ) ( )
27 6 2008
B x y y x z x
= + +
Bài 3:
1. Giải hệ phơng trình:

( )
2
2 2
2 3 0
1 4 5 3
x x y
x x x y x

=

= + +

2. Giải phơng trình:
( ) ( )
4 4

1 3 34x x
+ =
Bài 4: Cho đờng tròn (O; R) và một đờng thẳng d đi qua O. Lấy A và B là hai điểm
thuộc d sao cho OA = OB < R; M là điểm tuỳ ý trên (O; R) thoả mãn OM
không vuông góc với d đồng thời M không thuộc d. Các đờng thẳng MA, Mo,
MB Cắt (O; R) lần lợt tại Q, R, P (khác M). Đờng thẳng PQ cắt d tại S.
1. Chứng minh:
2 2 2
MA MB AB+ >
2. Chứng minh SR là tiếp tuyến của đờng tròn (O; R).
Bài 5:
13
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
1. Cho a; b là các số thực dơng thoả mãn: a + b =1. Chứng minh rằng:

2 2
1 1
6
.a b a b
+
+
2. Tìm tất cả các bộ số nguyên dơng x; y; z sao cho:
( )
2
2 2x y z x y
+ + +
là số
chính phơng.

Hớng dẫn giải
14
GV: NguyÔn Quèc ViÖt -TRêng THCS
A
H¶i §êng
15
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
bài đáp án
Bài 1 Hỏi: Hãy nêu cách làm của bài tập này?
Với
0
x
> 0 ta có :
2
0 0
2
0 0
1 1
0 0ax bx c a b c
x x
+ + = + + =
Do đó nếu
1 2
;x x
là nghiệm dơng của PT:
2
. . 0a x b x c

+ + =
thì :
3 4
1 2
1 1
;x x
x x
= =
là nghiệm của PT:
2
0cx bx a
+ + =
Ta có:
1 2 3 4 1 2
1 2
1 1
x x x x x x
x x
+ + + = + + +
.
Theo BĐT côsi:
1 2
1 2
1 1
2; 2x x
x x
+ +
(Vì
1 2
;x x

dơng)
Vậy:
1 2 3 4
4x x x x+ + +
.
Bài 2
1.
.( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
a b c b c a c a b
A
a b a c b c b c b a c a c a c b a b

= + +

=
( ) ( ) ( )
( )( )( )
a b c b c a c a b
a b a c b c

Ta có:a(b-c) + b(c - a) + c(a - b) = ab - ac + bc - ba + ca - cb = 0
Vậy A = 0
2.Phân tích
3 3 3 2 2 2
3 ( )(x y z xyz x y z x y z xy yz zx+ + = + + + +
.
Do x; y; z dơng nên x + y + z > 0
2 2 2

0x y z xy yz xz + + =
Mặt khác:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1
2 2 2
x y z xy yz xz x y y z z x
x y z
+ + = + +
= =
Vậy:
( ) ( ) ( )
27 6 2008
B x y y x z x
= + +
Hỏi: Em đã dùng kiến thức nào để làm bài này?
Bài 3
1.
( )
2
2 2
2 3 0
1 4 5 3
x x y
x x x y x

=

= + +

Nếu hệ có nghiệm (x; y) từ (1)
2
2 3y x x =
thay vào (2)
( )
( )
2
2 2 2
1 2 4 3 2 1 2 4 3x x x x x x
= + + +
(3)
Do 2x
2
- 4x + 3 > 0 và
( )
2
2 1 1x x
+

( )
( )
2
2 2
2 4 3 2 1 2 4 3x x x x x
+ + +
Vậy từ (3)
( )

2
2 2
1 2 4 3 2 0 2x x x x x
+ =
Với x = 2 thay vào hệ ta đVới x = 2 thay vào hệ ta đợc y = 2ợc y = 2ợc y = 2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 2Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 2
2. Đặt x - 2 = t, ta đợc phơng trình ơng trình ơng trình
( ) ( )
4 4
1 1 34t t
+ + =
16
(1)(1)
(2
)

A
EIK
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
D. Bài tập về nhà.
Cho biểu thức
P =

+

1a
2
1a
1
:
aa
1
1a
a
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi a = 3 + 2
2
c) Tìm các giá trị của a sao cho P < 0.
III. Lu ý khi sử dụng giáo án.
- Những bài khó cho học sinh trao đổi theo nhóm để tìm ra lời giải cho bài toán đó.

- Những dạng mới cho học sinh ghi kiến thức áp dụng cho dạng đó
..
..
..
Tuần:
Ngày sọan: /2/09
Ngày dạy: /2/09
Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi
Môn : Toán lớp 9
17
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
I. Mục tiêu
- Giúp học sinh hệ thống lại đợc những kiến thức đã học.
- Phát triển t duy cho học sinh.
- ôn lại một số kiến thức về giải phơng trình
II. Tiến trình lên lớp
A. ổn định.
B. Kiểm tra
C. Bài tập
Giáo viên treo bảng phụ có hệ thống các bài tập sau
Học sinh quan sát và làm từng bài một.
Bài 1:
1) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n thoả mãn: n
2
+ 2006 là số
chính phơng.
2) Giải phơng trình:
( )

22
2
+
x
=
15
3
+
x
Bài 2:
Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện sau:
5
2
+
x
+
1

x
+ x
2
=
5
2
+
y
+
1

y

+ y
2

Chứng minh rằng: x = y
Bài 3:
Gọi a là tham số thực sao cho phơng trình x
2
- 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân
biệt là x
1
và x
2
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
2
2
12
2
21
2
33
33 a
axax
axax
a
++
+
++
Bài 4:
Gọi O là tâm đờng tròn tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác

ABCD. Qua A, B, C, D lần lợt vẽ các đờng thẳng d
A
, d
B
, d
C
, d
D
sao cho d
A
OA, d
B
OB, d
C
OC, d
D
OD. Các cặp đờng thẳng d
A
và d
B
, d
B
và d
C
, d
C
và d
D
, d
D

và d
A
tơng ứng cắt nhau tại các điểm K, L, M, N.
1) Chứng minh rằng ba điểm K, O, M thẳng hàng.
2) Đặt OK = k, OL = l, OM = m. Tính độ dài ON theo k, l, m.
Hớng dẫn giải
18
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
Bài 1.1
Hỏi: Khi nào đựơc gọi là số chính phơng?
Học sinh: Số chính phơng là bình phơng của số tự nhiên.
Học sinh len bảng làm.
Giả sử tồn tại số tự nhiên n thoả mãn n
2
+ 2006 là số chính phơng
thì n
2
+ 2006 = m
2
với m là số tự nhiên => (m-n)(m+n) = 2006 (*).
Khi đó:
- nếu m và n khác tính chẵn lẽ thì (m-n)(m+n) lẻ . Mâu thuẫn với (*)
- nếu m và n cùng tính chẵn lẽ thì (m-n)(m+n) chia hết cho 4, nhng 2006 không chia
hết cho 4. Cũng mâu thuẫn với (*)
Tóm lại giả sử trên không đúng.
Vậy không tồn tại số tự nhiên n thoả mãn n
2
+ 2006 là số chính phơng.

Bài 1.2
Hỏi: Hãy nêu điêù kiện xác định của phơng trình?
Học sinh:
ĐK: x
3
+ 1 0 (*).
Biến đổi phơng trình đã cho (1) <=>
( )
22
2
+
x
=
)1)(1(5
2
++
xxx
Hỏi: Em hãy đặt ẩn phụ để giải phơng trình này?
Học sinh:
Đặt
)1(
+
x
= u;
)1(
2
+
xx
= v (1) => u
2

+ v
2
= x
2
+ 2.
Khi đó (1) trở thành: 2(u
2
+ v
2
) = 5u.v
=> u = 2v ; u = v/2
Thay vào (1); giải các phơng trình; tìm đợc: x =
2
375
+
và x =
2
375

Thử và thấy các giá trị trên thoả mãn điều kiện (*)
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm: x =
2
375
+
và x =
2
375

Bài 2
Giáo viên hớng dẫn: Biến đổi đa phơng trình về dạng tích.

Giả sử có x, y thoả mãn
5
2
+
x
+
1

x
+ x
2
=
5
2
+
y
+
1

y
+ y
2
19
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
=> x 1; y 1
- Nếu x=1=y thì x = y (đpcm !)
- Nếu x, y không đồng thời = 1 thì bằng cách nhân với BT liên hợp, đợc:
5

2
+
x
+
1

x
+ x
2
=
5
2
+
y
+
1

y
+ y
2
<=>
<=> (
5
2
+
x
-
5
2
+

y
) + (
1

x
-
1

y
) + (x
2
- y
2
) = 0
<=>(x
2
- y
2
)/(
5
2
+
x
+
5
2
+
y
) +(x - y)/(
1

x
+
1

y
)+(x
2
-y
2
) = 0
<=> (x - y).((x+y)/(
5
2
+
x
+
5
2
+
y
) +1/(
1

x
+
1

y
) +x+y)= 0

<=> x - y = 0 <=> x = y
(vì : (x+y)/(
5
2
+
x
+
5
2
+
y
) + 1/(
1

x
+
1

y
) + x + y > 0)
Vậy nếu x, y thoả mãn đẳng thức trên thì x = y
Chú ý: Có thể ch/m x = y bằng cách loại trừ các khả năng x < y; x > y
Bài 3
Giáo viên: Trong bài này áp dụng bất đẳng thức cô si để làm.
Do phơng trình x
2
- 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x
1
và x
2

nên ta có : 9a
2
+ 4a
> 0 (1) ; x
1
2
- 3ax
1
- a = x
2
2
- 3ax
2
- a = 0 ; x
1
+ x
2
= 3a
=> x
1
2
= 3ax
1
+ a ; x
2
2
= 3ax
2
+ a (2)
Khi đó: A =

2
2
12
2
21
2
33
33 a
axax
axax
a
++
+
++
=
2
2
2
2
49
49 a
aa
aa
a
+
+
+

Theo (1) thì 9a
2

+ 4a > 0 nên áp dụng BĐT Côsi, ta đợc A 2.
A = 2 <=> 9a
2
+ 4a = a
2
<=> a = -1/2.
Dễ kiểm tra thấy với a = -1/2 thì x
1
= -1 và x
2
= -1/2
Vậy A
nhỏ nhất
= 2, đạt đợc khi a = -1/2 ; x
1
= -1 và x
2
= -1/2
4. 1)
Học sinh lên bảng vẽ hình
Giáo viên gọi ý để học sinh trả lời từng ý một.
Hỏi: Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta cần chứng minh điều gì?
20
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
Học sinh: để chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta đi chứng minh góc tạo bởi 3 điểm đó
bằng góc bẹt.
Hỏi: Em nào chứng minh đợc điều này?
Học sinh: Lên bảng làm:

Dễ thấy AKBO, BLCO, CMDO và DNAO là các tứ giác nội tiếp.
và các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD tơng ứng là phân giác các góc A, B, C, D của tứ
giác ABCD.
Có KOL + LOM = - OKB - OLB + - OLC - OMC
= - BAO - BCO + - CBO - CDO
= 2 - ( A + B + C + D )/2 = 2 - =
Từ đó suy ra các điểm K, O, M thẳng hàng
4. 2
Giáo viên: Chứng minh tơng tự nh trên ta đợc ba điểm naof thẳng hàng?
Học sinh: Chứng minh tơng tự ta đợc ba điểm N, O, L thẳng hàng.
Giáo viên cho học sinh lên bảng làm.
Học sinh lên bảng làm.
Chứng minh tơng tự nh trên, ta đợc N, O, L thẳng hàng.
Ta chứng minh tứ giác KLMN nội tiếp. Thật vậy, có:
NKL + NML = AKO + OKB + DMO + OMC
= (1/2).( A + B + C + D ) = 2
Từ đó chứng minh đợc OK.OM = ON.OL
Do đó ON = (OK.OM)/OL hay ON = k.m/l
Giáo viên chột lại: Hãy nêi những kiến thức đã dùng trong bài hôm nay?
D. Bài tập về nhà.
Giáo viên chép lên bảng bài tập về nhà cho học sinh chép vào vở ghi.
Baì 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a
2
+3b
2
= 10ab.
Tính giá trị của biểu thức: P =
ba
ba
+

21
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
B i 2: Cho x > y > 0 và 2x
2
+2y
2
= 5xy
Tính giá trị của biểu thức E =
yx
yx
+

B i 3: 1) Cho a + b + c = 0
CMR: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz

0
Tính giá trị củ biểu thức:
M =
222
z

xy
y
xz
x
yz
++
\III. Lu ý khi sử dụng giáo án.
- Giáo viên cho học sinh tự suy nghĩ cá nhân để làm các bài tập trong buổi học.
..
..
..
Tuần:
Ngày sọan: /2/09
Ngày dạy: /2/09
Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi
Môn : Toán lớp 9
I. Mục tiêu
22
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
- Giúp học sinh hệ thống lại đợc những kiến thức đã học.
- Phát triển t duy cho học sinh.
- Giáo viên đa một số công thức về đẳng thức, bất đẳng thức mà học sinh cha đợc
học.
II. Tiến trình lên lớp
A. ổn định.
B. Kiểm tra
C. Bài tập
Giáo viên treo bảng phụ có các bài tập sau

Học sinh suy nghĩ làm từng bài một
Bài 1 Cho : M = x
2
+ y
2
+xy-3x-3y+2011. Với giá trị nào của x,y thì M đạt giá trị nhỏ
nhất. Tìm giá trị đó?
Bài 2 Chứng minh rằng
1 1 1
... 2
2 1 3 1 ( 1)n n
+ + + <
+
với mọi n

N*
Bài 3
Giải phơng trình
a/
2
6 10x x
+
+
2
6 18x x
+
= 6x -5-x
2
b/
2 3

2( 2) 5 1x x+ = +
Bài 4 Chứng minh rằng x, y, z,
x
+
y
+
z
đều là các số hữu tỉ thì
x
,
y
,
z
cũng là các số hữu tỉ.
Bài 5
1/ Chứng minh rằng nếu một đởng thẳng không đi qua gốc toạ độ, cắt trục hoành tại
điểm có hoành độ bằng a, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b thì đờng thẳng đó
có dạng
1.
y
b
+ =
x
a
2/Cho đờng thẳng (m 2)x + (m 1)y = 1
a/ Chứng minh rằng đờng thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
c/ Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng là lớn nhất.
Bài 6 Cho tam giác OAB (OA = OB). Vẽ đờng cao OH, AK biết OA = a,
ã
AOH

=
.
23
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
a/ Tính các cạnh tam giác AKB theo a và

.
b/ Tính các cạnh của các tam giác OKA và AKB theo a và 2

. Từ đó biểu diễn sin2

, cos2

theo sin

, cos

.
Bài 7 :
Cho hình vuông ABCD. O là một điểm thuọc miền trong hình vuông sao cho OA :
OB : OC = 1 : 2 : 3. Tính số đo góc AOB ?
=============================
Hớng dẫn trả lời
Hỏi : Hãy nêu cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?
Học sinh : Ta phải chứng minh biểu thức đó lớn hơn hoặc bằng một hằng số.
Học sinh lên bảng làm.
Bài 1 Ta có: M = (x

2
2x + 1) + (y
2
+ xy + 1) + xy x y + 1 + 2008 = (x
1)
2
+ (y 1)
2
+ (x 1)(y 1) + 2008 = (x 1)
2
+
2008)1(
4
3
2
1
).1(2
4
)1(
2
2
++

+

y
y
x
y
=

20082008)1(
4
3
)2
1
()1(
2
2
++

+
y
y
x

Vậy M có giá trị nhỏ nhất là 2008 khi

==
=
=

+
1.y x
01
0
2
1
1
y
y
x

Bài 2
Giáo viên hớng dẫn học sinh công htức sau.
Để ý rằng:

+
=
+
=
+
1
11
)1(
)1(

1
kk
k
kk
k
kk
=

+
+

+

1
11
1

11
kkkk
k

<
k

+
=

+

1
11
2
2

.
1
11
kkkkk
Giáo viên yêu cầu học sinh lên bảng làm.
Học sinh lên bảng làm.
Do đó :

<
2
1
1
1
2
12
1
;

<
3
1
2
1
2
23
1
... ;

+
<
+
1
1
1
1
2
)1(
1
nnn
24
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS

A
Hải Đờng
Cộng các bđt trên, ta có:
2
1
1
12
)1(
1
...
13
1
12
1
<

+
<
+
+++
nnn
(đpcm)
Bài 3 :

Giáo viên gợi ý học sinh làm bài. Dùng tính chất đối nghịch để làm bài này.
Ta chứng minh một vế không lớn hơn 4 một vế không nhỏ hơn 4
a) Ta có VT Không lớn hơn 4, VP không nhỏ hơn 4 , vậy pt trình có nghiệm
khi và chỉ khi hai vế cùng bằng 4. Từ đó ta tìm đợc x = 3 .
b) Ta có
( )
( )
( )
11511215)2(2
2232
++=++++=+
xxxxxxxx

Hãy dùng phơng pháp đặt ẩn phụ để làm !
Học sinh lên bảng làm.
Đặt
ax
=+
1
;
bxx
=+
1
2
với a, b
0

Đa pt về dạng
( )

( )
=+=+
abbaabba 25452
2
22
( )( )
022
=
baba
Giải pt ta tìm đợc x =
2
375
+
và x =
2
375

Bài 4:
Giáo viên vừa chữa vừa h ỡng dẫn cho học sinh.
Đặt t =
x
+
y
+
z

Q, Ta có:
x