các phương pháp so sanh phân số cực hay

Chủ đề 7 tiết 7-10 SO SÁNH PHÂN SỐ
I)Mục tiêu:
Để so sánh 2 phân số , tùy theo một số trường hợp cụ thể của đặc
điểm các phân số , ta có thể sử dụng nhiều cách tính nhanh và hợp
lí .Tính chất bắc cầu của thứ tự thường được sử dụng (
&
a c c m a m
thì
b d d n b n
> > >
), trong đó phát hiện ra một số trung gian để làm
cầu nối là rất quan trọng.Sau đây tôi xin giới thiệu một số phương
pháp so sánh phân số
II) chuẩn bò
Gv: giáo án
Hs:
III) dạy bài mới
PHẦN I: CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH .
Hoạt động của GV Hoạt động của Hs
I/CÁCH 1:
Ví dụ : So sánh
11 17
&
12 18
−
−
?
Gv hướng dẫnn cho Hs
Chú ý :Phải viết phân số dưới
mẫu dương .
II/CÁCH 2:

IIII/CÁCH 3:
Ví dụ : So sánh
11 17
&
12 18
−
−
?
11 33 17 17 34
&
12 36 18 18 36
− − − −
= = =
−

33 34 11 17
36 36 12 18
Vì
− − −
> ⇒ >
−
Quy đồng mẫu dương rồi so sánh các tử :tử nào lớn hơn thì phân số
đó lớn hơn
Quy đồng tử dương rồi so sánh các mẫu có cùng dấu “+” hay
cùng dấu “-“: mẫu nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn .
Quy đồng mẫu dương rồi so sánh các tử :tử nào lớn hơn thì phân số
đó lớn hơn
G cho Hs lê bảng giải và uốn năn
sai lầm cho Hs
Chú ý : Phải viết các mẫu

của các phân số là các mẫu
dương
vì chẳng hạn
3 4
4 5
−
<
−
do
3.5 < -4.(-4) là sai
IV/CÁCH 4:
1) Dùng số 1 làm trung gian:
a) Nếu
1&1
a c a c
b d b d
> > ⇒ >
b) Nếu
1; 1
a c
M N
b d
− = − =

mà M > N thì
a c
b d
>
• M,N là phần
thừa so với 1

của 2 phân
Ví dụ 1:
5 7
5.8 7.6
6 8
vì
< <
Ví dụ 2:
4 4
4.8 4.5
5 8
vì
− −
< − < −
Ví dụ 3: So sánh
3 4
& ?
4 5− −

Ta viết
3 3 4 4
&
4 4 5 5
− −
= =
− −
Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên
3 4
4 5
>

− −
(Tích chéo với các mẫu b và d đều là dương )
+Nếu a.d>b.c thì
a c
b d
>
+ Nếu a.d<b.c thì
a c
b d
<
+ Nếu a.d=b.c thì
a c
b d
=
Dùng số hoặc phân số làm trung gian .
số đã cho .
• Phân số nào
có phần thừa
lớn hơn thì
phân số đó
lớn hơn.
b) Nếu
1; 1
a c
M N
b d
+ = + =

mà M > N thì
a c

b d
<
M,N là phần thiếu hay phần bù
đến đơn vò của 2 phân số đó.
Phân số nào có phần bù lớn hơn
thì phân số đó nhỏ hơn.
Bài tập áp dụng :
Gv hướng dẫn cho Hs giải
Dùng 1 phân số làm trung
gian:
Gv:(Phân số này có tử là tử
của phân số thứ nhất , có mẫu
là mẫu của phân số thứ hai)
Ví dụ : Để so sánh
18 15
&
31 37
ta xét phân số trung gian
18
37
.
Vì
18 18 18 15 18 15
&
31 37 37 37 31 37
> > ⇒ >
*Nhận xét : Trong
hai phân số , phân số nào
vừa có tử lớn hơn , vừa có
Bài tập 1: So sánh

19 2005
& ?
18 2004
Ta có :
19 1 2005 1
1& 1
18 18 2004 2004
− = − =
1 1 19 2005
18 2004 18 2004
Vì > ⇒ >
Bài tập 2: So sánh
72 98
& ?
73 99
Ta có :
72 1 98 1
1& 1
73 73 99 99
+ = + =
1 1 72 98
73 99 73 99
Vì
> ⇒ <
Bài tập 3 : So sánh
7 19
& ?
9 17

Ta có

7 19 7 19
1
9 17 9 17
< < ⇒ <
mẫu nhỏ hơn thì phân số
đó lớn hơn (điều kiện các
tử và mẫu đều dương ).
*Tính bắc cầu :
&
a c c m a m
thì
b d d n b n
> > >
 Bài
tập
áp
dụng
:
a) h)
1999.2000 2000.2001
& ?
1999.2000 1 2000.2001 1
+ +
(Hướng dẫn : Từ câu a
→
c :Xét phân số trung gian.
Từ câu d
→
h :Xét phần bù đến đơn vò )
2) Dùng phân số xấp xỉ

làm phân số trung gian.
Ví dụ : So sánh
12 19
& ?
47 77
Ta thấy cả hai phân số đã
cho đều xấp xỉ với phân số
trung gian là
1
4
.
Ta có :
12 12 1 19 1 9 1 12 19
&
47 48 4 77 76 4 47 77
> = < = ⇒ >
Bài tập áp dụng :
Bài tập 1: So sánh
72 58
& ?
73 99
-Xét phân số trung gian là
72
99
,
ta thấy
72 72 72 5 8 72 58
&
73 99 99 99 73 99
> > ⇒ >

-Hoặc xét số trung gian là
58
73
,
ta thấy
72 58 58 58 72 58
&
73 73 73 99 73 99
> > ⇒ >
Bài tập 2: So sánh
*
1
& ;( )
3 2
n n
n N
n n
+
∈
+ +
Dùng phân số trung gian là
2
n
n
+
Ta có :
*
1 1
& ;( )
3 2 2 2 3 2

n n n n n n
n N
n n n n n n
+ +
< < ⇒ < ∈
+ + + + + +
Bài tập 3: (Tự giải) So sánh các phân số sau:
12 13
& ?
49 47

456 123
& ?
461 128
64 73
& ?
85 81

2003.2004 1 2004.2005 1
& ?
2003.2004 2004.2005
− −
19 17
& ?
31 35

149 449
& ?
157 457
67 73

& ?
77 83

Dùng phân số xấp xỉ làm
phân số trung gian để so
sánh :
11 16 58 36 12 19 18 26
) & ; ) & ; ) & ; ) &
32 49 89 53 37 54 53 78
13 34 25 74 58 36
) & ; ) & ; ) & .
79 204 103 295 63 55
a b c d
e f h
V/ CÁCH 5:
Gv cho bài tập Hs lên
bảng trình bày
Bài tập 1: So sánh

11 10
12 11
10 1 10 1
& ?
10 1 10 1
A B
− +
= =
− +
Ta có :
11

12
10 1
1
10 1
A
−
= <
−
(vì tử < mẫu)
⇒
11 11 11 10
12 12 12 11
10 1 (10 1) 11 10 10 10 1
10 1 (10 1) 11 10 10 10 1
A B
− − + + +
= < = = =
− − + + +
Vậy A < B .
Bài tập 2: So sánh
2004 2005 2004 2005
& ?
2005 2006 2005 2006
M N
+
= + =
+
Ta có :
2004 2004
2005 2005 2006

2005 2005
2006 2005 2006

>


+


>

+

Cộng theo vế ta có kết quả M > N.
Bài tập 3:So sánh
37 3737
&
39 3939
?
Giải:
37 3700 3700 37 3737
39 3900 3900 39 3939
+
= = =
+
(áp dụng
.
a c a c
b d b d
+

= =
+
)
Bài tập 1:
Sắp xếp các phân số
134 55 77 116
; ; ;
43 21 19 37

theo thứ tự tăng dần.
Giải: đổi ra hỗn số :
5 1 3 1 5
3 ;2 ; 4 ;3
43 21 19 37

Ta thấy:
13 5 5 1
2 3 3 4
21 43 37 19
< < <

Dùng tính chất sau với m
≠
0 :
* 1
a a a m
b b b m
+
< ⇒ <
+

* 1 .
a a a m
b b b m
+
= ⇒ =
+
Hướng dẫn giải:
Rút gọn A=1 , đổi B;C ra hỗn số
⇒
A<B<C.
Hướng dẫn giải:
-Rút gọn
5 1 138 1
1 & 1 .
4 4 137 137
M N M N
= = + = = + ⇒ >
( Chú ý:
690=138.5&548=137.4 )
Gợi ý: a) Quy đồng tử c) Xét
phần bù , chú ý :
10 100 100
41 410 413
= >
d)Chú ý:
53 530
57 570
=

Xét phần bù đến đơn vò
e)Chú ý: phần bù đến đơn
vò là:
1 1010 1010
26 26260 26261
= >
nên
55 134 116 77
21 43 37 19
< < <
.
Bài tập 2: So sánh
8 8
8 8
10 2 10
& ?
10 1 10 3
A B
+
= =
− −
Giải:
8 8
3 3
1 & 1
10 1 10 3
A B
= =
− −
mà

8 8
3 3
10 1 10 3
A B
< ⇒ <
− −
Ta thấy:
13 13 35 35
5 5 4 4
17 27 37 47
> > >

⇒
17 27 37 47
( )
98 148 183 223
a c b d
vì
b d a c
< < < < ⇒ >
Bài tập 4: So sánh các phân số :
3535.232323 3535 2323
; ;
353535.2323 3534 2322
A B C
= = =
?
Bài tập 5: So sánh

( )

2
2
5 11.13 22.26
138 690
& ?
22.26 44.54 137 548
M N
−
−
= =
− −
Bài tập 1:
So sánh các phân số sau bằng cách hợp lý:
7 210 11 13 31 313 53 531 25 25251
) & ; ) & ) & ) & ) &
8 243 15 17 41 413 57 571 26 26261
a b c d e
Bài tập 2: Không thực hiện phép tính ở mẫu
, hãy dùng tính chất của phân số để
so sánh các phân số sau:
244.395 151 423134.846267 423133
) &
244 395.243 423133.846267 423134
a A B
− −
= =
+ +
Bài tập 3: So sánh
3
3 3

33.10 3774
&
2 .5.10 7000 5217
A B= =
+
Bài tập 4: So sánh
2 3 4 4 2 3
4 3 5 6 5 6 4 5
5 & 5 ?
7 7 7 7 7 7 7 7
A B
= + + + + = + + + +
Bài tập 5:So sánh
VI/CÁCH 6:
GV: cho bài tập Hs lên bảng
trình bày
Gợi ý: Quy đồng tử rồi so sánh .
1919.171717 18
&
191919.1717 19
M N
= =
?
Bài tập 6: So sánh
17 1717
& ?
19 1919
Bài tập 7: Cho a,m,n
∈
N

*

.Hãy so sánh :
10 10 11 9
& ?
m n m n
A B
a a a a
= + = +
Giải:
10 9 1 10 9 1
&
m n n m n m
A B
a a a a a a
   
= + + = + +
 ÷  ÷
   
Muốn so sánh A & B
,ta so sánh
1
n
a
&
1
m
a
bằng cách xét
các trường hợp sau:

Với a=1 thì a
m
= a
n

⇒
A=B
Với a
≠
0:
Nếu m= n thì a
m
= a
n

⇒
A=B
Nếu m< n thì a
m
< a
n

⇒
1 1
m n
a a
>
⇒
A < B
Nếu m > n thì a

m
> a
n

⇒
1 1
m n
a a
<
⇒
A >B
Bài tập 8: So sánh P và Q,
biết rằng:
31 32 3 3 60
. . & 1.3.5.7 59
2 2 2 2
P Q
= =
?
30 30
31 32 33 60 31.32.33 60 (31.32.33.60).(1.2.3 30)
. .
2 2 2 2 2 2 .(1.2.3 30)
(1.3.5 59).(2.4.6 60)
1.3.5 59
2.4.6 60
P
Q
= = =
= = =

Vậy P = Q
Bài tập 9:
So sánh
7.9 14.27 21.36 37
& ?
21.27 42.81 63.108 333
M N
+ +
= =
+ +
Giải: Rút gọn
7.9 14.27 21.36 7.9.(1 2.3 3.4) 37 : 37 1
&
21.27 42.81 63.108 21.27.(1 2.3 3.4) 333 : 37 9
M N
+ + + +
= = = =
+ + + +
Vậy M = N
Bài tập 10:
Sắp xếp các phân số
21 62 93
; &
49 97 140

Đổi phân số lớn hơn đơn vò ra
hỗn số để so sánh :
+Hỗn số nào có phần nguyên
lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn.
+Nếu phần nguyên bằng nhau

thì xét so sánh các phân số
kèm theo.
Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta được
2 3 4 9
36 3 6 36 36
x y
< < <
⇒
2 < 3x < 4y < 9
Do đó x=y=1 hay
x=1 ; y=2 hay x=y=2
PHẦN II: CÁC BÀI TẬP
TỔNG HP .
(Gv Gợi ý: a) Quy đồng tử c)
Xét phần bù , chú ý :
10 100 100
41 410 413
= >
d)Chú ý:
53 530
57 570
=

Xét phần bù đến đơn vò
e)Chú ý: phần bù
đến đơn vò là:
1 1010 1010
26 26260 26261
= >
)

Gv Hướng dẫn giải:Sử
dụng tính chất a(b + c)= ab +
theo thứ tự tăng dần ?
Gợi ý: Quy đồng tử rồi so sánh .
Bài tập 11: Tìm các số nguyên x,y biết
:
1 1
18 12 9 4
x y
< < <
?

Bài tập 12: So sánh

7 6 5 3
1 1 3 5
) & ; ) &
80 243 8 243
a A B b C D
       
= = = =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       

Giải: p dụng công thức:
( )
.
&
n
n

n
m m n
n
x x
x x
y y
 
= =
 ÷
 
7 7 7 6 6
4 28 5 30 28 30
5 5 3 3
3 15 5 15
1 1 1 1 1 1 1 1 1
) & ;
80 81 3 3 243 3 3 3 3
3 3 243 5 5 125
) & .
8 2 2 243 3 3
a A B Vì A B
b C D
         
= > = = = = = > ⇒ >
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
       
= = = = = =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       

Chọn
15
125
2
làm phân số trung gian
,so sánh
15
125
2
>
15
125
3

⇒
C > D.
Bài tập 13: Cho

1 3 5 99 2 4 6 100
. . & . .
2 4 6 100 3 5 7 101
M N
= =
a)Chứng minh: M < N
b) Tìm tích M.N
c) Chứng minh:
1
10
M <
Giải: Nhận xét M và N đều có 45 thừa số

a)Và
1 2 3 4 5 6 99 100
; ; ;
2 3 4 5 6 7 100 101
< < < <

nên M < N
b) Tích M.N
1
101
=
c)Vì M.N
1
101
=

ac
+Viết
244.395=(243+1).395=243.395
+395
Gv Hướng dẫn cho Hs giải
mà M < N
nên ta suy ra được : M.M <
1
101
<
1
100
tức là M.M <
1

10
.
1
10

⇒
M <
1
10
IV) Hướng dẫn ở nhà;
PHẦN II: CÁC BÀI TẬP TỔNG HP .
Bài tập 1: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lý:
7 210 11 13 31 313 53 531 25 25251
) & ; ) & ) & ) & ) &
8 243 15 17 41 413 5 7 571 26 26261
a b c d e
(Gợi ý: a) Quy đồng tử c) Xét phần bù , chú ý :
10 100 100
41 410 413
= >
d)Chú ý:
53 530
57 570
=
Xét phần bù đến đơn vò
e)Chú ý: phần bù đến đơn vò là:
1 1010 1010
26 26260 26261
= >
)

Bài tập 2: Không thực hiện phép tính ở mẫu , hãy dùng tính
chất của phân số để so sánh các phân số sau:
244.395 151 423134.846267 423133
) &
244 395.243 423133.846267 423134
a A B
− −
= =
+ +
Hướng dẫn giải:Sử dụng tính chất a(b + c)= ab + ac
+Viết 244.395=(243+1).395=243.395+395
+Viết 423134.846267=(423133+1).846267=…
+Kết quả A=B=1

53.71 18 54.107 53 135.269 133
) ; ; ?
71.52 53 53.107 54 134.269 135
b M N P
− − −
= = =
+ + +
(Gợi ý: làm như câu a ở trên ,kết quả M=N=1,P>1)
Bài tập 3: So sánh
3
3 3
33.10 3774
&
2 .5.10 7000 5217
A B= =
+

Gợi ý: 7000=7.10
3
,rút gọn
33 3774 :111 34
&
47 5217 :111 47
A B
= = =
Bài tập 4: So sánh
2 3 4 4 2 3
4 3 5 6 5 6 4 5
5 & 5 ?
7 7 7 7 7 7 7 7
A B
= + + + + = + + + +
Gợi ý: Chỉ tính
2 4 4 2 4 4
3 6 153 6 5 329
&
7 7 7 7 7 7
+ = = + = =
Từ đó kết luận dễ dàng : A < B
Bài tập 5:So sánh
1919.171717 18
&
191919.1717 19
M N
= =
?
Gợi ý: 1919=19.101 & 191919=19.10101 ; Kết quả M>N

⇒
Mở rộng : 123123123=123.1001001 ;…
Bài tập 6: So sánh
17 1717
& ?
19 1919
Gợi ý: +Cách 1: Sử dụng
.
a c a c
b d b d
+
= =
+
; chú ý :
17 1700
19 1900
=
+Cách 2: Rút gọn phân số sau cho 101….
Bài tập 7: Cho a,m,n
∈
N
*
.Hãy so sánh :
10 10 11 9
& ?
m n m n
A B
a a a a
= + = +
Giải:

10 9 1 10 9 1
&
m n n m n m
A B
a a a a a a
   
= + + = + +
 ÷  ÷
   
Muốn so sánh A & B ,ta so sánh
1
n
a
&
1
m
a
bằng cách xét các
trường hợp sau:
a) Với a=1 thì a
m
= a
n

⇒
A=B
a) Với a
≠
0:
• Nếu m= n thì a

m
= a
n

⇒
A=B
• Nếu m< n thì a
m
< a
n

⇒
1 1
m n
a a
>
⇒
A < B
• Nếu m > n thì a
m
> a
n

⇒
1 1
m n
a a
<
⇒
A >B

Bài tập 8: So sánh P và Q, biết rằng:
31 32 33 60
. . & 1.3.5.7 59
2 2 2 2
P Q
= =
?
30 30
31 32 33 60 31.32.33 60 (31.32.33.60).(1.2.3 30)
. .
2 2 2 2 2 2 .(1.2.3 30)
(1.3.5 59).(2.4.6 60)
1.3.5 59
2.4.6 60
P
Q
= = =
= = =
Vậy P = Q
Bài tập 9: So sánh
7.9 14.27 21.36 37
& ?
21.27 42.81 63.108 333
M N
+ +
= =
+ +
Giải: Rút gọn
7.9 14.27 21.36 7.9.(1 2.3 3.4) 37 : 37 1
&

21.27 42.81 63.108 21.27.(1 2.3 3.4) 333 : 37 9
M N
+ + + +
= = = =
+ + + +
Vậy M = N
Bài tập 10: Sắp xếp các phân số
21 62 93
; &
49 97 140
theo thứ tự tăng
dần ?
Gợi ý: Quy đồng tử rồi so sánh .
Bài tập 11: Tìm các số nguyên x,y biết:
1 1
18 12 9 4
x y
< < <
?
Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta được
2 3 4 9
36 36 36 36
x y
< < <
⇒
2 < 3x < 4y <
9
Do đó x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2.
Bài tập 12: So sánh
7 6 5 3

1 1 3 5
) & ; ) &
80 243 8 243
a A B b C D
       
= = = =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
Giải: p dụng công thức:
( )
.
&
n
n
n
m m n
n
x x
x x
y y
 
= =
 ÷
 
7 7 7 6 6
4 28 5 30 28 30
5 5 3 3
3 15 5 15
1 1 1 1 1 1 1 1 1
) & ;

80 81 3 3 243 3 3 3 3
3 3 243 5 5 125
) & .
8 2 2 243 3 3
a A B Vì A B
b C D
         
= > = = = = = > ⇒ >
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
       
= = = = = =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
Chọn
15
125
2
làm phân số trung gian ,so sánh
15
125
2
>
15
125
3

⇒
C > D.
Bài tập 13: Cho

1 3 5 99 2 4 6 100
. . & . .
2 4 6 100 3 5 7 101
M N
= =
a)Chứng minh: M < N b) Tìm tích M.N c) Chứng
minh:
1
10
M <
Giải: Nhận xét M và N đều có 45 thừa số
a)Và
1 2 3 4 5 6 99 100
; ; ;
2 3 4 5 6 7 100 101
< < < <
nên M < N
b) Tích M.N
1
101
=
c)Vì M.N
1
101
=
mà M < N nên ta suy ra được : M.M <
1
101
<
1

100
tức là M.M <
1
10
.
1
10

⇒
M <
1
10
Bài tập 14: Cho tổng :
1 1 1

31 32 60
S = + + +
.Chứng minh:
3 4
5 5
S
< <
Giải: Tổng S có 30 số hạng , cứ nhóm 10 số hạng làm thành một
nhóm .Giữ nguyên tử , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác lớn hơn
thì giá trò của phân số sẽ giảm đi. Ngược lại , nếu thay mẫu bằng
một mẫu khác nhỏ hơn thì giá trò của phân số sẽ tăng lên.
Ta có :
1 1 1 1 1 1 1 1 1

31 32 40 41 42 50 51 52 60

S
     
= + + + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
⇒
1 1 1 1 1 1 1 1 1

30 30 30 40 40 40 50 50 50
S
     
< + + + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
hay
10 10 10
30 40 50
S < + +
từc là:
47 48
60 60
S
< <
Vậy
4
5
S <
(1)
Mặt khác:
1 1 1 1 1 1 1 1 1

40 40 40 50 50 50 60 60 60
S
     
> + + + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
⇒
10 10 10
40 50 60
S > + +
tức là :
37 36
60 60
S
> >
Vậy
3
5
S
>
(2).
Từ (1) và (2) suy ra :đpcm.
……….OOO……….