BAI TAP HINH KO GIAN CO DAP AN

CHUY£N §Ị THĨ TÝCH
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
: Thể tích của mỗi khối đa diện là một số dương có tính chất sau :
a. Hai khối đa diện bằng nhau thì thể tích bằng nhau .
b. Nếu một khối đa diện được phân
1 Đònh nghóa
chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng
thể tích của các khối đa diện nhỏ đó .
c. Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì thể tích bằng 1 .
2 Thể tích của kh ối h
3
đáy
ĐL : V = abc với a,b,c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
ĐL : V = a vớ
ộp chữ nhật
3 Thể tích của khối chóp
i a là cạnh của hình lập phương

1
ĐL : V .S .h với h là chiều
3
=
đáy
cao
ĐL : V
4 Thể tích
S .h
của khối lă
với h là ch
ng trụ

iều cao=

B. VÍ DỤ
Vấn đề 1 : THỂ TÍCH KHỐI HỘP
1 Tính thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 2 , chiều dài
bằng 3 và chiều cao bằng 4 .
Giải
Ta có : V = 2.3.4 = 24

2 2
2 Tính thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 1 , chiều
dài bằng 3 và đường chéo của hình hộp hợp với mặt đáy một góc
30 .
Giải
ABC vuông tại B nên AC AB∆ = +
o
g
·
·
2
(ABCD) (ABCD)
BC 1 3 4 AC 2
Ta có : C'C (ABCD) C = hc C' AC = hc AC'
(AC';(ABCD)) C'AC 30
1 2
Vì C'AC vuông tại C nên C'C = AC.tan30 2.
3 3
2
Ta có : V = AB.BC.C'C = 1. 3. = 2
3

= + = ⇒ =
⊥ ⇒ ⇒
⇒ = =
∆ = =
o
o
g

3 Ba kích thước của một hình hộp chữ nhật làm thành một cấp số nhân có công bội là 2 . Thể tích bằng
64 . Tìm các kích thước đó .
Giải
Gọi kích thước nhỏ nhất là x với x
3 3 3
> 0 thì ba kích thước của hình hộp chữ nhật là x , 2x , 4x .
Vì : V = x.2x.4x = 8x . Theo đề : V= 64 8x 64 x 8 x 2 (nhận)
Vậy : Ba kích thước cần tìm là 2,4,8 .
⇔ = ⇔ = ⇔ =
- 1 -
2
4 Tính thể tích của khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 .
Giải
Gọi a là cạnh của hình lập phương ta có diện tích của một mặt của hình lập phương là a
Theo đề : Tổ
2 2
3 3
ng diện tích các mặt bằng 24 hay S = 6a 24 a 4 a 2
Vậy thể tích của hình lập phương là V = a = 2 8
= ⇔ = ⇔ =
=
5 Các đường chéo của các mặt bên của một hình hộp chữ nhật bằng 5, 10, 13 . Tính thể tích hình

2 2 2
2 2 2
2 2 2
hộp đó .
Giải
Gọi hình hộp đã cho là ABCD.A'B'C'D' có
AC = 5,AB' 10,AD' 13 .
Đặt :AB a,AD b,AA' c ta có :
a b AC 5
a 1
b c AD' 13 b 2
c 3
c a AB' 10
Vậy thể tích của kh
= =
= = =

+ = =

=

 
+ = = ⇔ ⇔ =
 
 
=
+ = =




ối hộp chữ nhật là V= abc = 1.2.3 = 6
6 Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm 2cm thì thể tích của nó tăng thêm 98cm. Khi đó tính
độ dài cạnh của hình lập phương .
Giải
Gọi a (với a > 0) là cạnh của hình lập
3
3
3 3 2
phương . Khi đó thể tích của hình lập
phương là V = a .
Thể tích của hình lập phương khi cạnh tăng thêm 2cm là V' = (a+2)
a 3 (nhận)
Theo đề : V' V = 98 (a+2) a 98 a 2a 15 0
a 5
=
− ⇔ − = ⇔ + − = ⇔
= − (loại)
Vậy cạnh của hình lập phương đã cho là a = 3cm



7 Đáy của hình hộp đứng là hình thoi cạnh a , góc nhọn 60 . Đường chéo lớn của đáy bằng đường
chéo nhỏ của hình hộp . Tính thể tích của hình hộp .
Giải
ABCD là hình thoi cạnh
o
g
·
a và BAD 60 ABD là tam giác đều cạnh a
BD a

a 3
AC 2AO 2. a 3
2
Theo đề : Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của hình
hộp nên AC = B'D = a 3
B'BD vuông tại B nên
= ⇒ ∆

=

⇒

= = =


∆
o
g
g
2 2 2 2 2
2 3
ABCD ABD
BB' B'D BD 3a a a 2
a 3 a 6
Vậy V= S .BB' 2.S .BB' 2. .a 2
4 2
= − = − =
= = =

8 Cho hình hộp với sáu mặt đều là hình thoi cạnh a , góc nhọn bằng 60 . Tính thể tích của hình hộp.
Giải
Gọi hình hộp đã cho là ABCD.A'B'C'D' . Kẻ A'K AB và A'H (ABCD) suy ra A'H BD
⊥ ⊥ ⊥
o
·
·
(1)
Vì BD AC,BD A'C' nên BD (AA'C'C) (2)
Từ (1),(2) suy ra H AC .
1
A'KA vuông tại K có A'AK 60 nên AK = a
2
a 3
AKH vuông tại K có AKH 30 nên AH =
3
a 6
A'H .
3
ABD là tam giác
⊥ ⊥ ⊥
∈
∆ =
∆ =
⇒ =
∆
o
o
g
g

g
2
ABD
a 3
đều cạnh a nên S
4
=
2 3
ABCD ABD
a 3 a 6 a 2
Vậy V = S .A'H 2S 'A'H 2. .
4 3 2
= = =
9 Đáy của một hình hộp là một hình thoi có cạnh bằng 6cm và góc nhọn bằng 45 , cạnh bên của hình
hộp dài 10cm và tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 .Tính thể tích của khối h
o
o
·
·
ABCD
ộp .
Giải
Gọi hình hộp đã cho là ABCD.A'B'C'D' với BAD 45 .
Kẻ A'H (ABCD) tại H thì A'AH 45
2
Ta có : S AB.AD.sin45 6.6. 18 2
2
10 2
A'HA vuông cân tại H nên A'H = 5 2
2

Vậy thể tích hình
=
⊥ =
= = =
∆ =
o
o
o
2
ABCD
hộp là V = S .A'H 18 2.5 2 180(cm )= =

10 Với một tấm bìa hình vuông , người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12cm , rồi
gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp . Nếu dung tích của cái ho
3
äp đó là 4800cm , hãy
tính độ dài cạnh của tấm bìa .
Giải
Gọi x là cạnh của tấm bìa ( x > 24)
Khi gấp lại ta được một hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông có cạnh x 24
−
2
2 2
và chiều cao h = 12
Khi đó thể tích hình hộp là V = (x 24) .12
x 44 (nhận)
Theo đề : V = 4800 (x 24) .12 4800 (x 24) 400 x 24 20
x 4 (loại vì x > 24)
Vậy cạnh tấm bìa có độ dài 44
−


=
⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔

=

cm

·
ABD
11 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có ABCD là hình thoi cạnh a và BAD 60 , AB' hợp với đáy
(ABCD) một góc . Tính thể tích của hình hộp .
Giải
ABD là tam giác đều cạnh a nên S
=
α
∆
o
g
2
2 2
ABCD ABD
2
3
ABCD
a 3
4
a 3 a 3
S 2.S 2.
4 2

ABB' vuông tại B nên BB' = AB.tan atan
a 3 3
Vậy thể tích của hình hộp là V = S .BB' .atan a tan
2 2
=
⇒ = = =
∆ α = α
= α = α
g
Vấn đề 2 : THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
1 Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh bằng a .
Giải
Gọi khối tứ diện đều đã cho là ABCD . Khi đó ta coi đó chính là khối chóp A.BCD . Kẻ AH (BCD)
tại H thì là tâm của tam
⊥
2
2 2 2 2 2
ABCD A.BCD
giác đều BCD ( tâm của đường tròn ngoại tiếp )
2 2 a 3 a 3
Gọi M là trung điểm BC . Ta cóù : AH = AM .
3 3 2 3
AHD vuông tại H nên :
a 3 3a a 6
AH = AD AH a ( ) a
3 9 3
Vậy : V V
= =
∆
− = − = − =

= =
2 3
BCD
1 1 a 3 a 6 a 2
.S .AH . .
3 3 4 3 12
= =

Tứ diện có thể coi là một khối chóp theo 4 cách khác nhau .

Chú ý
Lấy 1 đỉnh là
:
m chu(

ẩn )

3 Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng 2 và các cạnh bên tạo với
mặt phẳng đáy một góc 60 . Tính thể tích của khối chóp .
Giải
Gọi khối chóp tam giác đều đã cho là
o
·
·
·
(ABC) (ABC)
S.ABC nên SA = SB = SC .
Kẻ SH (ABC) tại H thì H là tâm của tam giác đều ABC .
Gọi M là trung điểm BC .
Vì H = hc S AH = hc AS (SA;(ABC)) SAH 60

SHA vuông tại H có SAH 60 nên A
⊥
⇒ ⇒ = =
∆ =
o
o
2
ABC
ABC
1
H = SA.cos60 2. 1 ,
2
2 3 3
SH = AH.tan60 3 . Mặt khác : AH = AM AM .AH
3 2 2
2.AM 2 3
Mà ABC đều có đường cao AM nên AB = . 3
2
3 3
AB . 3 3 3
S
4 4
1
Vậy thể tích của khối chóp là V = .S .
3
= =
= ⇒ = =
∆ = =
⇒ = =
o

o
1 3 3 3
SH . . 3
3 4 4
= =
4 Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng 5 và các mặt bên tạo với mặt phẳng đáy một góc
45 . Tính thể tích của khối chóp .
Giải
Gọi khối chóp tam giác đều đã cho là
o
(ABCD) (ABCD)
S.ABC nên SA = SB = SC .
Kẻ SH (ABCD) tại H thì H là tâm của tam giác đều ABC .
Gọi N là trung điểm AB . Khi đó : CH AB hay NH AB (1)
Vì H = hc S NH = hc NS nên theo đlí ba đư
⊥
⊥ ⊥
⇒
·
·
2 2 2 2 2
ờng vuông ta có SN AB (2)
Từ (1),(2) ((SAB);(ABCD)) SNH 45
SNH vuông tại H , ta có : SH = NH.tan45 NH
SHC vuông tại H , ta có : SC = SH HC 5 NH (2NH) NH 1
Do đó : SH = NH = 1 . Vì A
⊥
⇒ = =
∆ =
∆ + ⇔ = + ⇔ =

∆
o
o
2 2
ABC
ABC
BC đều có đường cao CH nên CH = 3NH = 3 .
AB. 3 2CH 6
Mà CH = AB 2 3
2
3 3
AB . 3 (2 3) . 3
S 3 3
4 4
1 1
Vậy thể tích của khối chóp là V = .S .SH .3 3.1 3
3 3
⇒ = = =
⇒ = = =
= =
5 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA (ABC) . Mặt bên (SBC) tạo với
mặt phẳng đáy một góc . Tính thể tích khối chóp .
Giải
Gọi M là trung điểm BC , vì
⊥
α
∆
·
·
đl3đ

(ABC)
ABC đều nên AM BC (1)
Do AM = hc SM,AM BC SM BC (2)
Mặt khác : (SBC) (ABC) = BC (3)
Từ (1),(2),(3) ((SBC);(ABC)) = SMA
⊥
⊥
⊥ → ⊥
∩
⇒ = α
a 3
SAM vuông tại A nên SA = AH.tan = .tan
2
∆ α α

2 3
ABC
1 1 a 3 a 3 a
Vậy thể tích hình chóp là V= .S .SA . . .tan tan
3 3 4 2 8
= α = α
6 Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc .
Tính thể tích của khối chóp .
Giải
Gọi khối chóp tam giác đều đã cho là S.
α
·
·
·
(ABC) (ABCD)

ABC nên SA = SB = SC .
Kẻ SH (ABC) tại H thì H là tâm của tam giác đều ABC .
Gọi M là trung điểm BC .
Vì H = hc S AH = hc AS (SA;(ABC)) SAH
SHA vuông tại H có SAH nên AH = S
⊥
⇒ ⇒ = = α
∆ = α
2 2 2
ABC
A.cos a.cos .
SH = AH.tan acos .tan asin .
2 3 3
Mặt khác : AH = AM AM .AH acos
3 2 2
2.AM 2 3
Mà ABC đều có đường cao AM nên AB = . acos 3acos
2
3 3
( 3acos ) . 3 3 3a cos
S
4 4
Vậy thể tích
α = α
α = α α = α
⇒ = = α
∆ = α = α
α α
⇒ = =
2 2

3 2
ABC
1 1 3 3a cos 3
của khối chóp là V = .S .SH . .asin a cos sin
3 3 4 4
α
= α = α α
a 3
7 Khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , BC = a ; SA = SB = SC = và
2
mặt bên SAB hợp với đáy một góc 60
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) .
b
o
) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) .
c) Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Giải
a) Dựng SH (ABC)
a 3
Ta có : SA = SB = SC = HA = HB = HC
2
H là tâm của đường tròn ngoại
⊥
⇒
⇒
·
·
· ·
2
2 2 2 2 2

(ABC) (ABC)
tiếp ABC
Vì ABC vuông tại A nên H là trung điểm BC .
a 3 a 3a a 2
Do SH SB HB ( ) ( ) SH
2 2 4 2
b) Do SH (ABC) H hc S AH hc AS (SA;(ABC)) SAH 60
SH
SAH vuông tại H nên tanSAH 2 SAH
AH
∆
∆
= − = − = ⇒ =
⊥ ⇒ = ⇒ = ⇒ = =
∆ = = ⇒
o
acrtan 2=
c) Gọi M là trung điểm AB
·
·
(ABC) (ABC)
đlí 3 đ
2
Do SH (ABC) H hc S MH hc MS mà HM AB (1) vì HM // AC
MS AB (2)
Từ (1),(2) (SA;(ABC)) SAH 60
a 2 1 a 6 a 6
SHM vuông tại H , ta có : MH = SH.tan60 . AC 2MH ,
2 6 3
3

MB HB MH
⊥
⊥ ⇒ = ⇒ = ⊥
→ ⊥
⇒ = =
∆ = = ⇒ = =
= −
o
o
2 2 2
a a 6 a 3 a 3
( ) ( ) AB 2MB
2 6 6 3
= − = ⇒ = =

2 2 3
ABC ABC
1 1 a 3 a 6 a 2 1 1 a 2 a 2 a
S .AB.AC . . V .S .SH . .
2 2 3 3 6 3 2 6 2 12
⇒ = = = ⇒ = = =
8 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a . Gọi B' là
trung điểm của SB , C' là chân đường cao hạ từ A của SAC .
a) Tính thể tích khối chóp
∆
2 3
S.ABC ABC
S.ABC .
b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mp(AB'C') .
c) Tính thể tích khối chóp S.AB'C' .

HD
1 1 a a
a) Ta có : V .S .SA .a.
3 3 2 6
b) Ta có :
BC AB
BC (SAB) BC AB' (1)
BC SA
SAB c
= = =

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

∆
S.AB'C' AB'C'
ân tại A nên SB AB' (2)
Từ (1),(2) suy ra AB' (SBC) AB' SC . Mặt khác : AC' SC nên SC (AB'C')
c) Ta có
1 1
V .SC'.S .SC'.AB'.B'C'
3 6
SAB vuông cân tại A, ta có : SB = a 2,AB'
⊥
⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⊥
= =
∆ =g
2 2 2 2 2 2 2

2 2
2
3
1 a 2
SB' SB
2 2
SAC vuông cân tại A, ta có : SC = SA AC SA AB BC 3a SC a 3
SA a a 3
SA SC'.SC SC'
SC 3
a 3
a 2
B'C' SB' 6 a 6
2
B'C'
BC SC 6 6
a 3
1 a 3 a 2 a 6 a
Vậy V = . . .
6 3 2 6 36
= =
∆ + = + + = ⇒ =
= ⇒ = = =
= = = ⇒ =
=
g
9 Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều , mặt đáy có cạnh bằng 2 , cạnh bên bằng 11 .
Giải
Gọi hình chóp tứ giác đều là S.ABCD và H là tâm của mặt đáy ABCD .
Ta có : SH (AB⊥

2 2
2
ABCD
1
CD) tại H và AH = AC 2
2
Vì SHD vuông tại H nên SH = SD HD 11 2 3
1 1
Vậy V = .S .SH .2 .3 4
3 3
=
∆ − = − =
= =

10 Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 4 và diện tích
của một mặt bên bằng 2 . Tính thể tích của hình chóp đó .
SCD
2 2
Giải
Gọi hình chóp đã cho là S.ABCD , H là tâm của mặt
đáy ABCD và M là trung điểm của CD.
Cạnh đáy : a = 4 2
1
Mặt bên : S 2 .CD.SM 2 SM 2
2
Chiều cao : SH = SM HM 2 1 1
=
= ⇔ = ⇔ =
− = − =
g

g
g

ABCD
1 1 4
Vậy thể tích của khối chóp là V = .S .SH .4.1
3 3 3
= =
11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và đường chéo AC = 2 . Biết SA (ABCD) và
cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 . Tính thể
tích của khối chóp S.ABCD .
G
⊥
o
·
·
(ABCD) (ABCD)
2 2
ABCD
ABCD
iải
Vì SA (ABCD) A = hc S AC = hc SC
(SC;(ABCD)) SCA 30
3 2 3
SAC vuông tại A nên SA = AC.tan30 2.
2 3
AC
S AB ( ) 2
2
1 1 2 3 4 3

V = .S .SA .2.
3 3 3 9
⊥ ⇒ ⇒
⇒ = =
∆ = =
⇒ = = =
= =
o
o
g
g
12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,
cạnh SA vuông góc với mặt đáy và SA = AB = a .
a) Tính diện tích SBD theo a .
b) Chứng minh rằng : BD SC .
c) Tính góc tạo
∆
⊥
bởi SC và mặt phẳng (SBD) .
d) Tính thể tích khối chóp S.ABCD .
BCD
2
2 2 2 2
BCD
Giải
a) Ta có : SA (ABCD) . Gọi H là tâm của hình vuông ABCD .
1
Nối S và H thì SH BD (Đlí 3 đ ) nên S .BD.SH
2
a 2 a 6 1 a 6 a 3

ASH vuông tại A : SH SA AH a ( ) = S .a 2.
2 2 2 2 2
⊥
⊥ ⊥ =
∆ = + = + ⇒ = =
g
g
·
·
(SBD)
BD AC ( hai đường chéo hình vuông)
b) Ta có : BD (SAC) mà SC (SAC) nên BD SC
BD SA ( vì SA (ABCD))
c) Kẻ CK SH thì CK BD ( do BD (SAC)) CK (SBD) K= hc C (SC;(SBD)) = CSH
Áp dụng đlí

⊥
⇒ ⊥ ⊂ ⊥

⊥ ⊥

⊥ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⇒
· · ·
2 2 2
3
2
ABCD
hàm số cosin trong SCH ta được :
2 2 2 2
HC SH SC 2SH.SC.cosHSC cosHSC HSC acr cos .

3 3
1 1 a
d) V = .S .SA .a .a
3 3 3
∆
= + − ⇒ = ⇒ =
= =
12 (ĐHSPTpHCM-D2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD = a .
a) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD theo a .
b) Tính cosin của góc nhò diện (SBA,SAD) .
2
2 2
tp ABCD SAB
3
2 2 2 2 2
ABCD
HD
a 3
a) S S 4.S a 4. (1 3)a .
4
1 a 2 a 2 1 a 2 a 2
V = .S .SH , ta có : SH = SA HA a ( ) V= .a . =
3 2 2 3 2 6
= + = + = +
− = − = ⇒
g
g
·
b) Gọi M là trung điểm của SA , ta có : BM SA và DM SA = BMD là góc phẳng của nhò diện

(SAB,SAD) .
⊥ ⊥ ⇒ α
· · ·
2 2 2
2 2 2 2
Áp dụng đlí hàm số cosin trong BMD ta được :
3a 3a 3a 1
BD MB MD 2MB.MD.cosBMD 2a 2. .cosBMD cosBMD
4 4 4 3
∆
= + − ⇒ = + − ⇒ = −
13 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp với đáy một góc . Tính thể
tích của khối chóp tứ giác đều .
HD
Gọi hình chóp tứ giác đều là S.ABCD và
α
·
· · ·
3
2
ABCD
mặt đáy là hình
vuông ABCD có tâm H .
Kẻ đường cao SH , ta có SAH SBH SBH SBH
a 2
Xét SAH vuông tại H nên SH = AH .tan tan
2
1 1 a 2 a 2
Vậy V = .S .SH .a . tan tan
3 3 2 6

= = = = α
∆ α = α
= α = α
14 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các mặt bên hợp với đáy một góc . Tính thể
tích của khối chóp tứ giác đều .
α
·
2 3
ABCD
HD
Gọi hình chóp đã cho là S.ABCD , H là tâm của mặt
đáy ABCD và M là trung điểm của CD thì SMH
a
SH HM.tan tan
2
1 1 a 1
V .S .SH .a . tan a tan
3 3 2 6
= α
= α = α
= = α = α
·
15 (YHN-2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh
đáy AB = a và SAB . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và .
HD
Gọi H là tâm của đáy ABCD và M là trung điểm AB
= α α
đlí 3 đ
(ABCD) (ABCD)
2

2 2 2 2
2
2
.
Khi đó : SH (ABCD) và HM AB .
Vì H = hc S HM= hc SM SM AB
a a
SMA vuông tại M nên SH SM HM ( tan )
2 4
a a
(tan 1) SH ta
4 2
⊥
⊥ ⊥
⇒ → ⊥
∆ = − = α − =
= α − ⇒ =
2
3
2 2 2
ABCD
2
n 1
1 1 a a
Vậy V= .S .SH .a . tan 1 tan 1
3 3 2 6
Với điều kiện tan 1 0
4 2
α −
= α − = α −

π π
α − > ⇔ < α <
16 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao bằng a và các mặt bên là tam giác cân có góc ở
đỉnh bằng .α
·
2 2 2 2 2
2
2 2 2
HD
Gọi BSH = . Áp dụng đl cosin vào SBD và SBC :
BD 2SB (1 cos2 ) BC 2SB .sin
sin 1 cos
BC 2SB (1 cos ) cos cos
β ∆ ∆

= − β ⇔ = β
⇒ β = − α

= − α ⇔ α = β


g
2
2 2 2 2 2 2
ABCD
2
1 cos 1 cos
S BC 2HB 2a tan 2a . 2a .
cos
cos

− β − α
= = = β = =
α
β
g
2 2
2 2 2
3
ABCD
4a sin
2
S =
cos
4a sin sin
1 1 4a
2 2
V = .S .SH . .a .
3 3 cos 3 cos
α
⇒
α
α α
= =
α α
g
17 Tính thể tích của khối tám mặt đều có cạnh bằng a .
Giải
Gọi khối tám mặt đều đã cho là ABCDE và O là tâm của hình
vuông BCDE có cạnh bằng a .
Vì mặt BCDE chia khối tám mặ

3
2
ABCDEF ABCDE BCDE
t đều thành hai phần bằng nhau nên :
1 1 a 2 a 2
V = 2.V 2. .S .AO 2. .a .
3 3 2 3
= = =
18 Cho hình lập phương có cạnh bằng a . Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là tâm của
các mặt hình lập phương .
Giải . Khối lập phương có cạnh bằng a . Khi đó khối tám mặt đều được tạo thành có mặt chéo ABFD
a 2
có AF = a , BD = a . Dó đó : các cạnh bằng nhau và bằng
2
Thật vậy : AOB vuông tại O là tâm của khối tám mặt đều , cạnh :

∆
2 2 2 2
3
2
ABCDEF A.BCDE BCDE
a a a 2
AB = OA OB ( ) ( )
2 2 2
Vì mặt BCDE chia khối tám mặt đều thành hai phần bằng nhau nên :
1 1 a 2 a a
V = 2.V 2. .S .AO 2. .( ) .
3 3 2 2 6
( xem hình bài 17 )
+ = + =

= = =
19 Cho khối tứ diện đều có cạnh bằng a . Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là trung
điểm của các cạnh của khối tứ diện đều .
Giải . Khối tám mặt đều được tạ
a
o thành có các cạnh bằng nhau và bằng
2
Thật vậy : Gọi P,Q,R lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD,BC .
Khi đó : PQ vuông góc với AB, CD . Tam giác APQ vuông tại P .
Ta có : PQ =
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2
2
ABCDEF
a 3 a a 2
AQ AP ( ) ( )
2 2 2
a
PRQ vuông tại R và PQ = RP RQ 2RP PQ
2
a a a 2
RP cạnh RP = đường cao AO = .
4 2 4
Mặt BCDE chia khối tám mặt đều thành hai phần bằng nhau nên :
V = 2
− = − =
∆ + ⇔ = =
⇒ = ⇒ ⇒

3
2
A.BCDE BCDE
1 1 a a 2 a 2
.V 2. .S .AO 2. .( ) .
3 3 2 4 24
= = =
·
a 5
20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD 60 , SA = SC = , SB = SD.
2
a) Tính thể tích của khối chóp .
=
o
tp

b) Chứng minh rằng : (SAC) (SBD) .
c) Tính S của hình chóp .
Giải
a) Gọi O = AC BD
⊥
∩
(ABCD)
SA SC
SO AC,AC (ABCD)
Ta có : SB SD SO (ABCD)
SO BD,BD (ABCD)
O là trung điểm AC và BD
O hc S SO là đường cao của S.ABCD
a 3

OA = ( đường cao ABD đều cạnh a )
2
SOA vuông tại O

=

 ⊥ ⊂
= ⇒ ⇒ ⊥
 
⊥ ⊂



⇒ = ⇒
∆
∆
g
g
2 2
2 2
2
ABCD ABD
2 3
ABCD
5a 3a a 2
, ta có : SO = SA AC
4 4 2
1 1 a 2 a 3
S 2S 2. .OA.BD 2. . .a
2 2 2 2

1 1 a 2 a 3 a 6
V = .SO.S . .
3 3 2 2 12
b) Chứng minh : (SAC) (SBD)
AC BD (đ/c hình thoi)
Ta có : AC SO ( vì SO (ABCD))
SO
− = − =
= = = =
⇒ = =
⊥
⊥
⊥ ⊥
g
tp SCD ABCD
SCD
SCD
AC (SBD)
(SAC) (SBD)
AC (SAC)
(SBD)
c) S 4S S ( Vì SCD = SBC = SAB = SAD )
SD SC DC a( 3 5 2)
Tính S : Vì nửa chu vi p =
2 2
Áp dụng công thức He-rông ta được : S p(p S


 ⊥
⇒ ⇒ ⊥

 
⊂


⊂

= + ∆ ∆ ∆ ∆
+ + + +
=
= −
g
2
2 2
2 2
SCD
2 2 2
tp
D)(p SC)(p DC)
a
p SD ( 5 2 3) (1)
4
a
p SC ( 3 5 2) (2)
4
a
p DC ( 3 5 2) (3)
4
a 11
a a
Vậy : S [( 3 5) 2][4 ( 3 5) 60 16

16 16 8
a 11 a 3 a
S ( 11 3)
2 2 2
− −
− = + −
− = − +
− = + −
= + − − − = − =
⇒ = + = +
Vấn đề 3 : THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
2 3
ABC
1 Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2a . Tính thể tích của lăng
trụ .
Giải
Gọi lăng trụ tam giác đều là ABC.A'B'C'
a 3 a
Ta có : V = AA'.S 2a.
4
= =
3
2
2
2 Một lăng trụ đứng có chiều cao 20cm . Mặt đáy của lăng trụ là một tam
giác vuông có cạnh huyền 13cm , diện tích là 30cm . Tính diện tích xung
quanh và diện tích toàn phần c
2
ABC
ủa hình lăng trụ .

Giải
Gọi hình lăng trụ là ABC.A'B'C'
ABC vuông tại B , AC = 13cm
S 30cm ,AA' 20cm
Gọi x,y là hai cạnh góc vuông của ABC . Điều kiện : 0 < x,y < 13 .
∆
= =
∆
g
2 2 2
2
2
2
xq
3
tp xq đáy
x y 13 169
(x y) 2xy 169
Theo đề :
1
xy 60
xy 30
2
(x y) 169 2xy 289 x y 17
Vậy : S CVi đáy cạnh bên = (17+13) 20 = 600cm
S S 2.S 600 2.30 660cm

+ = =

 

+ − =
⇔
 
=
=




→ + = + = ⇒ + =
= × ×
= + = + =
3 Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37,13,30 và diện
tích xung quanh bằng 480 . Tính thể tích của khối lăng trụ .
Giải
Chu vi đáy của khối lăng trụ : 2p = 37+13+30 = 80 p = 40 .
480
Chiếu cao của khối lăng trụ : h = 6
80
Áp dụng công thức Hê-rông , diện tích đáy của khối lăng trụ là :
S = 40(40 37)(40 13)(40 30) 180
Vậy thể tích khối l
⇒
=
− − − =
ăng trụ : V = S.h = 1080 .
4 Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13,14,15, cạnh bên tạo với đáy một góc 30 và
có chiều cao bằng 8 . Tính thể tích của khối lăng trụ .
Giải
Gọi khối lăng t

o
·
·
(ABC) (ABC)
rụ là ABC.A'B'C' . Kẻ A'H (ABC) tại H .
Ta có : H = hc A' AH = hc AA' (AA';(ABC)) A'AH 30
Đáy ABC có nửa chu vi : p = 21 .
Diện tích : S = 21(21 13)(21 14)(21 15) 84
A'HA vuông tại
⊥
⇒ ⇒ = =
− − − =
∆
o
1
H : A'H = AA'.sin30 8. 4
2
Thể tích : V = S.h = 336
= =
o
5 Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 19,20,37, chiều cao của khối lăng trụ bằng trung
bình cộng của các cạnh đáy . Tính thể tích của khối lăng trụ .
Giải
Nửa g
19 20 37
chu vi đáy : p = 38
2
Diện tích đáy : S = 38(38 19)(38 20)(38 37) 114
19 20 37 76
Chiều cao : h =

3 3
76
Vậy thể tích của khối lăng trụ là V = Sh = 114. 2888
3
+ +
=
− − − =
+ +
=
=
g
g
·
6 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC vuông tại A , AC = a , ACB = 60 .Đường thẳng
BC , tạo với mp(AA C C) một góc 30 .
a) Tính độ dài đoạn thẳng AC .
′ ′ ′
∆
′ ′ ′
′
o
o

b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho .
·
·
(AA'C'C)
(AA'C'C)
Giải
a) Tính AC'

ABC vuông tại A nên AB = AC.tan60 a 3
Ta có : AB AC,AB AA' AB (AA'C'C) A= hc B
AC'= hc BC' (BC';(AA'C'C)) BC'A 30
∆ =
⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒
⇒ ⇒ = =
o
o
g
g
2 2 2 2
2
ABC
2
3
ABC.A B C ABC
AB a 3
AC'B vuông tại A AC' = 3a
1/ 3
tan30
b) AA'= AC' A'C' (3a) a 2 2a
a 3
S
2
a 3
Vậy : V AA'.S 2 2a. a 6
2
′ ′ ′
∆ ⇒ = =
− = − =

=
= = =
o
g
g
2 2 3
ABCC'B' ABC.A'B'C' AA'B'C'
7 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có các cạnh đều bằng a ,
AA' (ABC) . Tính thể tích của khối ABCC'B' .
Giải
a 3 1 a 3 a 3
V V V a. .a.
4 3 4 6
⊥
= − = − =
8 Cho lăng trụ xiên ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a .Hình chiếu vuông góc của A lên mp
(ABC) trùng với trung điểm I của BC , cạnh bên tạo với đáy một góc 60 . Tính thể
′ ′ ′
o
ABC
tích của khối lăng
trụ này .
Giải
Theo đề : A'I (ABC)
A'I là đường cao của khối lăng trụ nên V = A'I.S
a 3
ABC đều có đường cao AI =
2
⊥
⇒

∆
·
·
·
(ABC) (ABC)
2 3
ABC
Vì I = hc A' AI = hc AA'
(AA';(ABC)) A'AI 60
a 3 3a
A'IA vuông tại I nên A'I = AI.tanA'IA . 3
2 2
3a a 3 3 3a
Vậy : V = A'I.S .
2 4 8
⇒
⇒ = =
∆ = =
= =
o
9 (BT20-P28sgk) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A'
cách đều ba điểm A,B,C , cạnh bên AA' tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 .
a) Tính the
o
å tích của khối lăng trụ đó .
b) Chứng minh rằng mặt bên BCC'B' là một hình chữ nhật .
c) Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ .
Giải
a) Gọi O là tâm của tam giác đều ABC .
·

2 3
ABC
Vì A'A = A'B = A'C
nên A'O mp(ABC) .
Vậy : A'AO 60
a 3
Từ đó ta có : A'O = AO.tan60 AO. 3 . 3 a
3
a 3 a 3
Vậy thể tích cần tìm là V = S .A'O .a
4 4
⊥
=
= = =
= =
o
o
2
xq AA'B'B BB'C'C
b) Vì BC AO nên BC AA' hay BC BB' . Vậy : BB'C'C là hình chữ nhật
c) Gọi H là trung điểm của AB . Ta có :
a 3
S 2.S S 2.A'H.AB BB'.BC (2 13 )
3
⊥ ⊥ ⊥
= + = + = +
10 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông tại B và AB = a , BC = 2a , AA' = 3a.
Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với CA' lần lượt cắt các đoạn thẳng CC' và BB' tại M và N .
3
C.A'AB A'.ABC ABC

a) Tính thể tích khối chóp C.A'AB .
b) Chứng minh rằng : AN A'B .
c) Tính thể tích khối tứ diện A'.AMN .
d) Tính diện tích AMN .
Giải
1 1
a) V V .S .AA' .a.2a.3a a
3 6
b) Ta có :
⊥
∆
= = = =
A'.AMN M.AA'N M.AA'B
CB AB,CB AA' (do AA' (ABC)) , suy ra : CB (A'AB)
Mặt khác : AN CA' ( do CA' (AMN)) .
Suy ra : AN A'B (đlí 3 đường )
c) Ta có : V V V ( Vì NB//AA')

⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥
= =
C.AA'B
3
3 2
A'.AMN
AMN
2
2 2 2
= V ( do MC//(AA'B))

= a .
3.V
3a a 14
d) S
A'I 3
(3a)
a (2a) (3a)
= = =
+ +
11 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' cạnh đáy a , góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng
(BB'C'C) bằng .
a 3
a) Chứng minh rằng : AB' = .
2sin
b) Tính diện tích xung quanh của lăng
ϕ
ϕ
·
trụ .
c) Tính thể tích của lăng trụ .
Giải
a) Gọi I là trung điểm của BC .
AI BC
Ta có : AI (BB'C'C) AB'I và AI B'I
AI BB'
AI a 3
AB'I vuông tại I , ta có : AB' = .
sin 2sin
b) AB'


⊥
⇒ ⊥ ⇒ = ϕ ⊥

⊥

∆ =
ϕ ϕ
∆
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2 2
xq
2 3
2 2
ABC
3a 3a
B vuông tại B nên BB' AB' AB a = (3 4sin )
4sin 4sin
a a 3a
BB' = 3 4sin S = 3a. 3 4sin = 3 4sin .
2sin 2sin 2sin
a 3 a a 3
c) V= S .BB' . 3 4sin 3 4sin
4 2sin 8sin
= − = − − ϕ
ϕ ϕ
⇒ − ϕ ⇒ − ϕ − ϕ
ϕ ϕ ϕ

= − ϕ = − ϕ
ϕ ϕ
·
·
12 (QGHN-D2000) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác ABC cân tại A , ABC ;
BC hợp với mặt đáy (ABC) một góc . Gọi I là trung điểm cạnh AA .
Biết BIC = 90 .
′ ′ ′
= α
′ ′
β
o
2 2
a) Chứng tỏ rằng BIC là tam giác vuông cân .
b) Chứng minh : tan + tan 1α β =
(ABC) (ABC)
Giải
a) Gọi H là trung điểm của BC .
ABC cân tại A nên AH BC (1)
Mặt khác : AI (ABC) A = hc I AH = hc IH (2)
Từ (1) , (2) suy ra : IH BC ( Đlí 3 đường )
∆ ⊥
⊥ ⇒ ⇒
⊥ ⊥
BIC vuông tại I , có đường cao IH vừa là trung tuyến nên cân tại I .⇒ ∆
·
(ABC) (ABC)
2 2
2 2 2 2
AH 2AH

b) AHB vuông tại H cho tan =
BH BC
Mặt khác : C = hc C' BC = hc BC' C'BC
CC' AA'
BCC' cho tan =
BC BC
AA' BC
Mặt khác : IAH vuông tại H cho IA AH IH AH
4 4
B
Chia hai vế cho
∆ α =
⇒ ⇒ = β
∆ β =
∆ + = ⇒ + =
2 2 2
2 2
2 2
C AA' 4AH
ta được : 1 tan tan 1
4
BC BC
+ = ⇔ α + β =
Vấn đề 4 : TỈ SỐ THỂ TÍCH
1 (Bài 23-P29 SGK)Cho khối chóp tam giác S.ABC . Trên ba đường thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy ba
điểm A', B', C' khác với S . Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A'B'C' .
V SA SB SC
Chứng minh rằng : . .
V' SA' SB' SC'
Giải

Gọi H , H' theo thứ tự là hình chiếu vuông góc
của A,A' lên mặt phẳng (SBC) . Ta có : S,H,H'
thẳng hàng , vì chúng cùng
=
ABC
SB'C'
nằm trên hình chiếu
vuông góc của tia SA lên mặt phẳng (SBC) .
1
.AH.S
V SA SB SC
3
Khi đó : . .
1
V' SA' SB' SC'
.A'H'.S
3
= =
3
A'B'C'D'
ABCD
2 (Bài 25-P29 SGK) Chứng minh rằng nếu có phép vò tự tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện
V
A'B'C'D' thì k
V
Giải
Gỉa sử có phép vò tự V tỉ số k tứ diện ABCD thàn
=
2
B'C'D'

h tứ diện A'B'C'D' . Khi đó :
V biến đường cao AH của hình chóp ABCD thành đường cao A'H' của hình chóp A'B'C'D' .
Do đó : A'H' = k AH
V biến BCD thành B'C'D' nên S k∆ ∆ =
g
g
BCD
B'C'D'
3
2
A'B'C'D'
ABCD
BCD
.S
1
.S .A'H'
V
3
Suy ra : k . k k .
1
V
.S .AH
3
= = =
3 (Bài 1-P30 SGK) Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V . Gọi B' và D' lần lượt là trung điểm của AB
và AD . Mặt phẳng (CB'D') chia khối tứ diện thành hai phần . Tính thể tích của
1 2
mỗi phần đó .
Giải
Gọi V là thể tích của phần chứa điểm A và V là thể tích phần còn lại .

Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích , ta có :
A.B'CD'
1
2 A.BCD
A.B'CD' A.BCD A.B'CD' 1
2
V
V
AB' AC AD' 1 1 1 1
. . . .
V V AB AC AD 2 1 2 4
1 1 1
V V V V V V
4 4 4
3
Suy ra : V V
4
= = = = ⇒
⇒ = ⇒ = ⇒ =
=
1 2 3 4
4 (Bài 2-P30 SGK) Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Hãy tính
thể tích của hình tứ diện có các đỉnh là trọng tâm của các mặt
của tứ diện đã cho .
Giải
Gọi G ,G ,G ,G và G lần lươ
1 2 3 4
1 2 3 4
1 1 2 3 4
(G; )

3
G G G G
G G G G
ABCD
ït là trọng tâm của các ABC, ABD, ACD, BCD và của tứ diện ABCD.
1
Xét phép vò tự tâm G tỉ số k = , ta có : V (ABCD) (G G G G )
3
V
1 1 1 1
Suy ra : . . hay V
V 3 3 3 27
−
∆ ∆ ∆ ∆
− =
= = =
V
27
5 (Bài 16-P28 SGK) Hãy chia một khối tứ diện thành hai khối tứ diện sao cho tỉ số thể tích của hai
khối tứ diện này bằng một số k > 0 cho trước .
Giải
Lấy điểm E trên cạnh AC s
BDE
A.BDE
C.BDE
BDE
ao cho AE = kCE .
Hạ AM , AN lần lượt vuông góc với mp(BDE) tại M và N.
1
.AM.S

V
AM AE
3
Khi đó : k
1
V CN CE
.CN.S
3
= = = =
5 (Bài 24-P29 SGK) Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình
hành, M là trung điểm của cạnh SC . Mặt phẳng (P) đi qua
AM , song song với BD chia khối chóp thành hai phần .Tính
tỉ số thể tích của hai phần đó .
Giải
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD và G là giao của SO với AM
SG 2
thì G là trọng tâm của SAC . Vậy :
SO 3
Vì mp(P) song song với BD nên nó cắt mp(SBD) theo
∆ =
S.AB'
giao tuyến
B'D' đi qua G và B'D'//BD ( với B' SB,D' SD)
SB' SD' SG 2
Suy ra :
SB SD SO 3
Mp(P) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần : khối
chóp S.AB'MD' và khối đa diện ABCDB'MD'
V
Ta có :

∈ ∈
= = =
D' S.AB'D'
S.ABD S.ABCD
S.MB'D' S.MB'D'
S.CBD S.ACBD
S.AB'MD' S.AB'D' S.MB'D' S.AB'MD'
S.ACBD S.ACBD ACB
V
SA SB' SD' 2 2 4 2
. . .
V SA SB SD 3 3 9 V 9
V V
SM SB' SD' 1 2 2 2 1
. . . .
V SC SB SD 2 3 3 9 V 9
V V V V
2 1 1
Suy ra :
V V 9 9 3 V
= = = ⇒ =
= = = ⇒ =
+
= = + = ⇒
DB'MD'
1
2
Chu ù ý : Để áp dụng được công thức tính tỉ số của thể tí
khối đa diệ
ch thì buộc phải

chia đã cho thành các n khối tứ diện
=
6 (Bài 22 - P28 SGK) Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' .
Gọi M là trung điểm của AA' . Mặt phẳng đi qua M,B',C chia khối
lăng trụ thành hai phần . Tính tỉ số thể tích của hai phần đó .
Giải
Gọi a là cạnh của ABC và V là thể tích của khối lăng trụ :∆

2 3
ABC.A'B'C' ABC
a 3 a 3
V = V AA'.S a.
4 4
= = =
3
C.ABB'M ABB'M
3
C.ABB'M
3 3
CC'B'A'M
Kẻ CH vuông góc với AB , ta có :
1 1 a 3 1 a a 3
V' = V .CH.S . . (a ).a
3 3 2 2 2 8
a 3
V
V'
8
Do đó : 1
V V V'

a 3 a 3
4 8
= = + =
= = =
−
−
6 (Bài 5 - P31 SGK) Cho khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' và M là trung điểm của cạnh AB . Mặt phẳng
(B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần . Tính tỉ số thể tích hai phần đó .
Giải
G
3
LT
a 3
ọi a là cạnh của lăng trụ , ta có : V
4
Gọi I là giao điểm của đường thẳng MB' và đường thẳng AA' , N là giao điểm của IC' và AC .
Thiết diện của khối lăng trụ khi cắt bơ
=
1 2
ûi mp(B'C'M) là hình thang cân B'C'NM . Mặt phẳng (B'C'M)
chia khối lăng trụ thành hai phần .
Gọi V là thể tích của phần chứa cạnh AA' và V là thể tích phần còn lại .
Gỉa sử kho
1 AMN.A'B'C' I.A'B'C' I.AMN A'B'C' AMN
ABC.A'B'C' 1 2
1
ái lăng trụ có đáy là S và chiều cao AA' = h . Khi đó :
1 1
V V V V .S .IA' .S .IA
3 3

1 1 S 7 7 7
= .S.2h . .h Sh V (V V )
3 3 4 12 12 12
Từ đó suy ra : 12V 7(
= = − = − =
− = = = +
=
1
1 2
2
V
7
V V )
V 5
+ ⇔ =
C. BÀI TẬP
1 Cho hình chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là tam giác đều nằm trong hai mặt phẳng vuông góc
nhau . Biết BC = a , tính thể tích của khối chóp S.ABC .
3
a
ĐS : V =
8
2 Cho hình chóp S.ABC có SA AB, SA BC , BC AB . Biết AB = BC a 3, SA = a .Tính thể
tích của khối chóp S.ABC .
⊥ ⊥ ⊥ =
3
a
ĐS : V =
2
3 Một khối chóp tam giác có các cạnh đáy bằng 6,8,10 . Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và tạo với

đáy góc 60 . Tính th
o
ể tích khối chóp đó . ĐS : V = 16 3
µ
a 3
4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , A 60 , SA = SB = SD = .
2
a) Tính thể tích của khối chóp .
=
o
3
S.ABCD
2
tp tp
a 5
V =
12
b) Chứng minh rằng : (SAC) (SBD) .
a
c) Tính S của hình chóp . S ( 2
2
⊥
= + 2 3)
5 Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SB = b . Tính thể tích hình
chóp ấy .
HD : Kẻ SH (ABC) thì H là tâm của tam giác đều ABC và M là trung điể⊥ m BC , ta được :

2
2 2 2 2
a 3 1 a 3

AM = ,SH 9b 3a V 9b 3a
3 3 36
= − ⇒ = −
6 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA=2a , tam giác ABC vuông ở C có cạnh huyền AB = 2a . Gọi
H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB .
a) Tính thể tích của khối chóp
3
H.ABC
a 3
H.ABC . V
7
b) Chứng minh rằng : AH SB và SB (AHK) .
c) Tính thể tích khối chóp S.AHK .
=
⊥ ⊥
3
H.ABC
2a 3
V
21
7 Tính thể tích của khối hộp ABCD.A B C D . Biết khối chóp C.C B D là một tứ diện đều cạnh a .

=
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
3
a 2
V =
2
8 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hai mặt bên (SAB) và (SAC)
vuông góc với đáy và SA = 2a .

a) Tính thể tích của khối chóp . b)
∆
tp
3 2
tp
Tính S của khối chóp .
a 3 a
Đáp số : a) V= b) S (8 3 19)
6 4
= + +
9 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích là 2 . Trên đường thẳng vuông góc với mặt đáy tại A , ta lấy
điểm S , mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy một góc 30 ,mặt bên (SDC) tạo với
o
mặt đáy một góc 60 .
a) Tính thể tích của khối chóp . b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp .
c) Tính góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy .

o
·
xq
30
2 2
Đáp số : a) V = b) S 2(1 3) c) SCA arctan
3 10
10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc mặt đáy, SA=
= + =
·
2
SBD
AB= a.

a) Tính diện tích SBD theo a .
b) Chứng minh rằng : BD SC .
c) Tính (SC,(SBD)).
d) Tính thể tích hình chóp .
a 3
Đáp số : a) S c) HS
2
∆
⊥
=
·
3
S.ABCD
2 2 a
C = arccos d) V
3 3
=
3
11 Cho hình lăng trụ đều ABC.A B C có chiều cao h và hai đường thẳng B C,BC vuông góc với nhau .
h 3
Tính thể tích lăng trụ đó. V=
4
′ ′ ′ ′ ′
12 (A2-QGTP.HCM-2000) Cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên đường thẳng d vuông góc với
mp(ABC) tại A lấy điểm M . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , K là trực tâm của tam giác BMC
a) Chứng minh rằng : MC (BHK) , HK (BMC) .
b) Khi M thay đổi trên d , Tìm GTLN của thể tích tứ diện KABC .
⊥ ⊥
3
a

V =
48
1
13 Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CM = CD . Tính tỉ số thể tích của hai tứ
3
diện ABMD và ABMC .
ABDM
ABCM
V
Đáp số : 2
V
=
14 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C . Tính tỉ số thể tích của khối chóp A.BB C C và khối
lăng trụ ABC.A B C

′ ′ ′ ′ ′
′ ′ ′
A.BB'C'C
ABC.A'B C
V
2
Đáp số :
V 3
′ ′
=