Dai So To hop cac de thi (53 trang)

A. Bài toán đếm
A. Bài toán đếm
I. Đếm các số thoả mãn các tính chất nào đó hình thành từ
tập X
Bài 1 (ĐHLN - 97): Cho các chữ số 0;2;4;5;6;8;9. Hỏi từ đó có thể lập đợc bao nhiêu số:
a) Có 3 chữ số khác nhau
b) Có 4 chữ số khác nhau và có chữ số 5
Bài 2 (ĐHQG - 97): Từ 0;1;3;5;7 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không
chia hết cho 5
Bài 3 (HVNH - 99): Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và bốn chữ số còn lại là
2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu số nh thế nếu:
a) Năm chữ số 1 đợc xếp kề nhau
b) Các chữ số đợc xếp tuỳ ý
Bài 4 (ĐHCSND - 2000): Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9
Bài 5 (ĐHSP Vinh - 2000): Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó
chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trớc.
Bài 6 (ĐHSP Vinh - 99): Cho 8 chữ số 0;1;2; ;7. Từ 8 chữ số trên lập đợc bao nhiêu số mỗi số
gồm 4 chữ sô đôi một khác nhau và không chia hết cho 10.
Bài 7 (ĐHSP Vinh - 2000): Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của
mỗi số là số chẵn
Bài 8 (ĐH Huế - 2000): Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi từ đó có thể lập đợc bao nhiêu số
a) Chẵn có 4 chữ số khác nhau
b) Chia hết cho 5, có 3 chữ số và 4 chữ số khác nhau
c) Chia hết cho 9, có 3 chữ số và 4 chữ số khác nhau
Bài 9 (CĐSP HN - 99): Có 5 miếng bìa ghi một trong 5 chữ số 0;1;2;3;4. Lấy 3 miếng từ 5 miếng
bìa đặt lần lợt cạnh nhau từ trái sang phải đợc số gồm 3 chữ số. Có thể lập đợc bao nhiêu số có
nghĩa gồm 5 chữ số và trong đó có bao nhiêu số chẵn
Bài 10 (ĐHVL - 2000): Cho 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi từ tập 6 chữ số đó lập đợc bao nhiêu số:
a) Mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5
b) Mỗi số có 5 chữ số khác nhau
Bài 11 (ĐHNT - 2001): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm có 6 chữ số.

Hỏi trong các số đã lập có bao nhiêu số mà cả 2 chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau
Bài 12: Có bao nhiêu số có 7 chữ số khác nhau đợc lập từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 sao cho hai chữ
số chẵn không đứng liền nhau
Bài 13 (ĐHLN - 1999): Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi có thể lập đợc bao nhiêu số có 3 chữ số
khác nhau không chia hết cho 3
Bài 14 (HVBCVT - 99): Hỏi từ 10 chữ số 0;1;2; ;9 có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số
khác nhau sao cho trong các só đó luôn có mặt chữ số 0 và 1
Bài 15: Cho tập X =
{ }
1,2,3,4,5,6,7
. Tìm các số tự nhiên có 4 chữ số lấy từ tập X sao cho
a) Các chữ số đều khác nhau
b) Chữ số đầu tiên là chữ số 1
c) Không tận cùng bằng chữ số 6
Bài 16: Cho tập
{ }
X 1;2;4;6;7=
. Hỏi từ tập X có thể lập đợc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau
sau cho các số đó nằm trong khoảng
( )
200;600
Bài 17: Cho X =
{ }
1;2;3;4;5
. Hỏi từ tập X có thể lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau, khi
đó hãy tính tổng các số đó
Bài 18: Cho X =
{ }
2;4;5;6;9
. Hỏi từ tập X có thể lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau, khi

đó hãy tính tổng các số đó
Bài 19: Cho X =
{ }
0;1;2;3;4
. Hỏi từ tập X có thể lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau, khi
đó hãy tính tổng các số đó
Bài 20: Có thể lập đợc bao nhiêu số có 8 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, chữ số 3 xuất hiện
2 lần và các chữ số 4, 5, 6 xuất hiện mỗi chữ số 1 lần
Bài 21: Có thể lập đợc bao nhiêu số có 8 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, chữ số 3 xuất hiện
2 lần và các chữ số 0, 5, 6 xuất hiện mỗi chữ số 1 lần
Bài 22 (HVNHTPHCM - 1999): Xét những số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và bốn chữ số
còn lại là 2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu số nh thế nếu:
a) Năm chữ số 1 đợc xếp cạnh nhau
b) Các chữ số đợc xếp tuỳ ý
Bài 23 (HVBCVT - 1999): Hỏi từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số có 6 chữ
số khác nhau sao cho trong đó có mặt chữ số 0 và 1
Bài 24 (ĐH Huế - 2000): Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5. Từ các chữ số đã cho ta có thể lập đợc:
a) Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau
b) Bao nhiêu số chia hết cho 5 và có 3 chữ số khác nhau
c) Bao nhiêu số chia hết cho 9 và có 3 chữ số khác nhau
Thầy giáo: Đặng Công Sơn
1
Bài 25 (ĐHĐà Lạt - 2000): Từ 3 chữ số 0; 1; 2 có thể tạo đợc bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó có
đủ 3 chữ số trên
Bài 26: Có 5 thẻ đen và 5 thẻ trắng, đánh dấu mỗi loại theo các số 1,2,3,4,5. Có bao nhiêu cách sắp
xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau
Bài 27 (ĐHSPII - 2000): Có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 trong
đó chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số khác đều có mặt đúng một lần
Bài 28 (ĐHSP Vinh - 2000): Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho trong đó trong mi số đó chữ số
đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trớc nó

Bài 29 (ĐHKTQD - 2001): Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số
khác nhau và trong đó phải có chữ số 5
Bài 30 (ĐHNTTPHCM - Khối A - 2001): Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số có
6 chữ số khác nhau sao cho hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau
Bài 31 (ĐHQGTPHCM - 2001)
a) Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho trong đó có mặt chữ số 0 nhng không có mặt chữ
số 1
b) Có bao nhiêu số có 7 chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và
các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần
Bài 33 (ĐHSP II - 2001): Tính tổng tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đợc lập từ 6 chữ
số 1,3,4,5,7,8
Bi 34: Cho tp
{ }
X 0;1;2;4;5;6;7=
. Hi t tp X cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn
a) Chn cú 4 ch s phõn bit sao cho khụng bt u bi ch s 1
b) Chn cú 4 ch s khỏc nhau sao cho luụn cú mt ch s 1
c) Chn cú 4 ch s khỏc nhau sao cho luụn cú mt ch s 0 v 1
d) Chn cú 4 ch s khỏc nhau sao cho luụn cú mt ch s 0, 1 v chỳng luụn ng cnh nhau
e) cú 5 ch s sao cho ch s ng trc luụn ln hn ch s ng sau
f) cú 4 ch s sao cho ch s ng trc luụn nh hn ch s ng sau
Bi 35: Hi t 4 ch s 0, 2, 5, 6 cú th lp c bao nhiờu s cú 4 ch s. Tớnh tng ca cỏc s ú
Bi 36: Hi t 4 ch s 1, 2, 3, 4 cú th lp c bao nhiờu s cú 10 ch s sao cho ch s 1 xut
hin 5 ln, ch s 2 xut hin 3 ln cũn cỏc ch s khỏc mi ch s xut hin nhiu nht 1 ln
Bi 37: Hi t 6 ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6 cú th lp c bao nhiờu s cú 10 ch s sao cho ch s 1
xut hin 4 ln, ch s 2 xut hin 3 ln cũn cỏc ch s khỏc mi ch s xut hin nhiu nht 1 ln
Bi 38: Hi t 4 ch s 0, 1, 2, 3 cú th lp c bao nhiờu s cú 6 ch s sao cho ch s 0 xut
hin 2 ln, ch s 2 xut hin 3 ln cũn cỏc ch s khỏc mi ch s xut hin nhiu nht 1 ln
Bi 39: Hi t 4 ch s 0, 1, 2, 3 cú th lp c bao nhiờu s cú 8 ch s sao cho ch s 1 xut
hin 4 ln, ch s 2 xut hin 3 ln cũn cỏc ch s khỏc mi ch s xut hin nhiu nht 1 ln

Bi 40: T 6 ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5 cú th lp c bao nhiờu s cú 5 ch s khỏc nhau sao cho luụn
cú mt ch s 1 v 2 nhng hai ch s ny luụn khụng ng cnh nhau
Bi 41: Hi cú bao nhiờu s t nhiờn cú 7 ch s sao cho luụn cú mt 3 ch s 1, 2, 3 nhng trong
3 ch s ny khụng cú 2 ch s no ng cnh nhau
Bi 42: Cho tp
{ }
X 0;2;3;4;5;6;7=
. Hi t tp X cú th lp c bao nhiờu s cú 5 ch s khỏc
nhau m khụng ln hn 47035
II. Đếm số phơng án
I.1. Bài tập
Bài 1: Từ nhà đến trờng có 4 con đờng đi khác nhau. Nam muốn đi theo một đờng và về theo một
con đờng. Số cách chọn đờng đi và về của Nam là bao nhiêu
Bài 2: ở một phờng, từ A đến B có 10 đờng đi. Một ngời đi từ A đến B rồi trở về bằng con đờng
khác
a) Ngi ú cú bao nhiờu cỏch i
b) Bit t B v A cú 2 con ng mt chiu, hi ngi ú cú bao nhiờu cỏch i
c) Bit t A n B cú 3 con ng mt chiu, hi ngi ú cú bao nhiờu cỏch i
d) Bit t A n B cú 2 con ng 1 chiu, t B v A cú 3 con ng 1 chiu, hi ngi ú cú bao
nhiờu cỏch i
Bài 3: Có 6 tem th khác nhau và 7 bì th khác nhau. Ngời ta muốn chọn từ đó ra 3 tem th và 3 bì th
và dán 3 tem th đã chọn lên 3 bì th đã chọn, một bì th chỉ dán 1 tem th. Hỏi có bao nhiêu cách dán
Bài 4: Một lớp học có 46 học sinh gồm 26 nam và 20 nữ. Ngời ta muốn chọn ra một ban chấp hành
gồm 3 học sinh
a) Có bao nhiêu cách chọn ban chấp hành
b) Có bao nhiêu cách chọn ban chấp hành có 1 nam và 2 nữ
c) Có bao nhiêu cách chọn ban chấp hành có ít nhất 1 nam
Thầy giáo: Đặng Công Sơn
2
Bài 5 (CĐSP - 99): Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nữ và 10 học sinh nam. Chọn ra một tốp ca

gồm 5 học sinh, trong đó có ít nhất 2 nam và ít nhất 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
Bài 6 (ĐH Thái Nguyên - 2000): Một đội văn nghệ gồm 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn ra 5 ngời sao cho:
a) Có đúng 2 nam
b) Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ
Bài 7 (CĐSPHN - 2000): Nam đợc tặng 1 bó hoa có 8 bông hồng nhung và 6 bông hồng bạch.
Nam muốn chọn ra 10 bông sao cho có nhiều nhất 6 bông hồng nhung và ít nhất 3 bông hồng bạch.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn nh vậy
Bài 8 (ĐHHH - 1999): Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao
cho:
a) Bạn C ngồi chính giữa
b) Bạn A và E ngồi ở 2 đầu ghế
Bài 9 (ĐHY): Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn công
tác có 3 ngời cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách lập
Bài 10 (HVNH - D 2000): Trong một mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét tam giác có 3
đỉnh đợc lấy từ các đỉnh của H
a) Có tất cả bao nhiêu tam giác nh vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của H
b) Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H? Có bao nhiêu tam giác sao cho không có
cạnh nào là cạnh của H
Bài 11: Cho hai đờng thẳng d
1
và d
2
song song, trên d
1
lấy 17 điểm phân biệt, trên d
2
lấy 20 điểm
phân biệt. Tính số tam giác có đỉnh là 3 trong 37 đỉnh đã cho trên d
1

và d
2
.
Bài 12: Đội tuyển học sinh giỏi của một trờng gồm 18 học sinh trong đó có 7 học sinh khối 12, 6
học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè
sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em đợc cử
Bài 13 (ĐH - Khối B - 2005): Một đội tình nguyện có 15 ngời gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách phân công đội tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam 1 nữ
Bài 14 (ĐH - Khối D - 2006): Đội thanh niên xung kích của một trờng phổ thông có 12 học sinh
gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ
sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nh vậy
Bài 15 (HVKTQS - 2000): Một đồn cảnh sát khu vực có 9 ngời. Trong ngày cần cử 3 ngời làm
nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 ngời làm nhiệm vụ ở địa điểm B, 4 ngời ở lại trực đồn. Hỏi có bao nhiêu
cách phân công
Bài 16 (HVQY - 2000): Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh vào một dãy 7 ô trống
a) Hỏi có mấy cách xếp khác nhau
b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp cạnh
nhau
Bài 17 (ĐHL - 1999): Một đoàn tàu có 3 toa I, II, III. Sân ga có 4 hành khách, có ít nhất 4 chỗ
trống
a) Có mấy cách xếp 4 khách lên 3 toa
b) Có mấy cách xếp 4 khách lên tàu có 1 toa có 3 trong 4 vị khách trên
Bài 18: Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn Toán, 4 cuốn Lý và 3
cuốn Hoá. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh, mỗi học sinh một cuốn
a) Hỏi thày giáo có bao nhiêu cách tặng
b) Nếu thày chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn thuộc hai thể loại Toán và Lý.
Hỏi thày giáo có bao nhiêu cách tặng
c) Nếu thày giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong 3 thể loại Toán, Lý, Hoá
đều còn lại ít nhất 1 cuốn. Hỏi thày giáo có bao nhiêu cách tặng nh vậy
d) Giả sử A, B, C, là 3 học sinh yêu Toán, D, E là hai học sinh yêu Lý và F là học sinh yêu

Hoá. Hỏi có bao nhiêu cách tặng sách sao cho học sinh yêu bộ môn nào thì đợc tặng loại sách ấy.
Hỏi có bao nhiêu cách tặng
Bài 19 (HVQS - 2000): Một lớp học có 20 học sinh trong đó có 14 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn một đội gồm 4 học sinh trong đó có:
a) Số nam và nữ bằng nhau
b) Có ít nhất 1 nữ
Bài 20 (ĐH Thái nguyên - 2000): Một đõi văn nghệ có 20 ngời, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn 5 ngời sao cho
a) có đúng 2 nam trong số 5 ngời đó
b) có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 ngời đó
Bài 21 (ĐH Cần Thơ - 2000): Có 9 viên bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng có kích thớc đôi một khác
nhau
a) có bao nhiêu cách chọn từ đó ra 6 viên bi trong đó có đúng 2 bi đỏ
b) có bao nhiêu cách chọn từ đó ra 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ
Bài 22 (HV Chính trị quốc gia - 2001):Một đội văn nghệ có 10 ngời trong đó có 6 nữ và 4 nam
a) có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành 2 nhóm có số ngời bằng nhau và mỗi nhóm có
số nữ nh nhau
b) có bao nhiêu cách chọn ra 5 ngời mà trong đó không có qua 1 nam
Bài 23: Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn các nớc Việt Nam 3 ngời, Lào 4 ngời, Cămpuchia 2 ng-
ời, Thái Lan 4 ngời và Trung Quốc 5 ngời. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi ngời sao cho ng-
ời cùng quốc tịch thì ngồi gần nhau
Thầy giáo: Đặng Công Sơn
3
Bài 24 (ĐHQG - 97): Cho 100000 chiếc vé đợc đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi các vé số gồm 5
chữ số khác nhau là bao nhiêu
Bài 25 (ĐHQGTPHCM - 2000): Từ 5 bông hồng vàng, 4 bông hồng đỏ và 3 bông hồng trắng. Ngời
ta muốn chọn ra bó hoa gồm 7 bông
a) có bao nhiêu cách chọn một bó hoa sao cho có đúng 1 bông hồng đỏ
b) có bao nhiêu cách chọn một bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3
bông hồng đỏ

Bài 26: Một lớp học có 40 học sinh cần cử ra ban cán sự lớp có 1 lớp trởng, 1 lớp phó và 3 uỷ viên.
Hỏi có bao nhiêu cách lập ra ban cán sự lớp
Bài 27 (ĐH Thăng Long - 1999): Một hộp đựng 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ
đánh số từ 1 đến 5, 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4
a) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu cùng màu? 3 quả cầu cùng số?
b) Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác màu? 3 quả cầu khác màu và khác số
Bài 28 (HVKTQS - 1998): Có n học sinh nam và n học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn. Có bao
nhiêu cách xếp để không có học sinh cùng giới ngồi cạnh nhau
Bài 29: Cần phải chia lớp học có 40 học sinh thành 4 tổ 1, 2, 3, 4, mỗi tổ 10 ngời. Hỏi có bao nhiêu
cách chia
Bài 30 (ĐHQGTPHCM D - 1999): Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau. Trong đó có
2 cuốn sách môn toán, 4 cuốn môn văn, 6 cuốn môn anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả
các cuốn sách đó lên kệ dài, nếu mọi cuốn sách đợc xếp kề nhau, những cuốn sách cùng môn đợc
xếp cạnh nhau
Bài 31 (ĐHQGTPHCM A - 1998): Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế.
Ngời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trờng A và 6 học sinh trờng B vào bàn nói trên. Hỏi có
bao nhiêu cách xếp trong mỗi trờng hợp sau
a) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi gần nhau hoặc đối diện nhau thì khác trờng với nhau
b) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trờng với nhau
Bài 32: Một cặp vợ chồng mời 2n ngời bạn dự tiệc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp đặt chỗ ngồi trên
bàn tròn sao cho vợ luôn ngồi chỗ đối diện với vợ
Bài 33 (ĐH Huế - Khối A - 1999): Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng, 6 bi vàng. Ngời ta chọn từ hộp
đó 4 viên bi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ 3 màu
Bài 34 (HVKTQS - 2001): Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao
nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 học sinh sao cho ở mỗi tổ có học sinh giỏi và
mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá
Bài 35 (ĐH Nông nghiệp - Khối A - 2001): Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành 1 hàng
dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ
Bài 36 (ĐHSPTPHCM - 2001): Cho A là một tập hợp có 20 phần tử
a) Có bao nhiêu tập con của A

b) Có bao nhiêu tập con khác rỗng của A có số phần tử là một số chẵn
Bài 37:
1) Tìm số giao điểm tối đa của
a) 10 đờng thẳng phân biệt
b) 6 đờng tròn phân biệt
2) Từ kết quả của câu 1 hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập các đờng nói trên
Bài 38: Cho đa giác lồi n cạnh. Xác định n để đa giác có số đờng chéo gấp đôi số cạnh
Bi 39: Cho a giỏc u 30 cnh, tớnh s cỏc tam giỏc cú cỏc nh l nh ca a giỏc u ng thi
cỏc tam giỏc ú khụng cú cnh no l cnh ca a giỏc u
Bài 40: Cho đa giác đều 2n cạnh. Biết rằng số tam giác mà 3 đỉnh của nó là các đỉnh của đa giác
đều gấp 20 lần số hình chữ nhật mà 4 đỉnh của nó cũng là đỉnh của đa giác đều. Tìm số cạnh của đa
giác đều đó
Bi 41: Mt t cú 12 hc sinh trong ú cú 5 nam v hai n, trong s ú cú 1 hc sinh nam tờn l
An, mt bn n tờn l Bỡnh, cn thnh lp mt i gm 5 ngi
a) Hi cú bao nhiờu cỏch thnh lp
b) Hi cú bao nhiờu cỏch thnh lp sao cho cú 2 nam 3 n
c) Hi cú bao nhiờu cỏch thnh lp sao cho cú ớt nht 1 nam
d) Hi cú bao nhiờu cỏch thnh lp sao cho An v Bỡnh khụng ng thi cú mt
B. Các bài toán về ĐT, BĐT, PT, BPT liên quan đến
B. Các bài toán về ĐT, BĐT, PT, BPT liên quan đến
Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp
Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp
I. Rút gọn biểu thức
I.1. Bài tập
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
2009! 2007
A .
2008! 2007! 2009
=

Thầy giáo: Đặng Công Sơn
4
b)
( )
10
49
10 11
49 49
12! 5! 4!
39A
B
38A A 13!4!

= +
+
c)
2
5 4 3 2
5
4 3 2 1
5 5 5 5
P P P P
C A
A A A A

= + + +
ữ

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a)
( )
( )
5!m! 1
A . 2 m
m 2 !4! m
=

Â
b)
n
k 1
B k.k!
=
=

c)
6 5
n n
4
n
A A
C , 6 n
A
+
= < Ơ
d)
8 9 10
n 2 15 15 15
k 10

n n k 17
P C 2C C
D
A .P C
+

+ +
= +
I.2. Bài tập củng cố
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
3 7!4! 8! 9!
A .
2 10! 3!5! 2!7!

=
ữ


b)
2 5
5 10
2 5
A A
B
2P 14P
= +
c)
( )
3 2

5 4 3 2
4 3 2 1
5 5 5 5
21 P P
C
P P P P
20
A A A A

=

+ + +
ữ

d)
12 11
10 9
49 49
17 17
10 8
49 17
A A
A A
D
A A
+
+
=
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a)

( )
( )
( )
2
m 2 !
7!
A .
4! m 1 !
m m
+
=

+

b)
n
2
k 1
B
k!

=


c)
2 n
1
n n
n
1 n 1

n n
C C
C C 2 n.
C C

= + + +
d)
5 6 7
n 1 15 15 15
k 7
n n k 17
P C 2C C
D
A P C
+

+ +
= +
II. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
I.1. Bài tập
Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
1 1 1 1
2
1! 2! 3! n!
+ + + + <
b)
n 1 *
n! 2 , n

Ơ
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
k k k 1
n n 1 n 1
A A kA


= +
b)
( )
k 1
k
n 1
n
nC
C 1 k n; n, k
k


= Ơ
c)
( )
k k 1 k 2 k
n n n n 2
C 2C C C 2 k n; k, n

+
+ + = Ơ
Thầy giáo: Đặng Công Sơn

5
d)
( )
k k 1 k 2 k 3 k
n n n n n 3
C 3C 3C C C 3 k n; k, n

+
+ + + = Ơ

e)
( ) ( )
2
n 1 1
n! n 1 ! n 2 !
= +

f)
( )
n 1 2 3 n 1
P 1 P 2P 3P n 1 P

= + + + + +
I.2. Bài tập củng cố
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
( )
n 2 n 1 2 n
n k n k n k
A A k .A k 2; n, k

+ +
+ + +
+ = Ơ
b)
( ) ( )
k k 1 k
n n n
n.C k 1 C kC 0 k n; k, n
+
= + + Ơ
c)
( ) ( )
k k
0 1 2 3 k k
n n n n n n 1
C C C C 1 C 1 C

+ + + =

d)
k n k n k 1
m 2n 1 2n 1
k 1 n
n k 2 2n 1
C C C
1
C 2 C

+ +
+

+ + +

=
Bài 2 (ĐHQG - D - 1999): Chứng minh rằng với k, n
Â
,
2 k n
luôn có:
( ) ( )
k k 2
n n 2
k k 1 C n n 1 C


=
Bài 3: Chứng minh rằng với k, n
, 4 k n Â
ta có:
k k 1 k 2 k 3 k 4 k
n n n n n n 4
C 4C 6 4C C C

+
+ + + + =
Bài 4: Chứng minh rằng:
k k 1 k 2 k 3 k 2 k 3
n n n n n 2 n 3
2C 5C 4C C C C
+ + + + +
+ +

+ + + = +
Bài 5: Cho n, m, k là các số nguyên không âm với
k m n
. CMR:
m k k m k
n m n n k
C .C C .C


=
Bài 6: Cho
0 m k n
k,m, n





Â
. Chứng minh rằng:
k 0 k 1 1 k m m k
n m n m n m n m
C .C C .C C .C C

+
+ + + =
III. Phơng trình bất ph ơng trình hệ ph ơng trình
Iii.1. bài tập
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
1)

( )
( )
n! n 1 !
1
n 1 ! 6

=
+
2)
( )
( )
n 1 !
72
n 1 !
+
=

3)
3
n
A 20n=
4)
5
n 3 n n 5
P 720A .P
+
=
5)
x 3 3
x 8 x 6

C 5A
+
+ +
=
6)
6 5 4
n n n
A A A+ =
7)
1 2 3 2
x x x
C 6C 6C 9x 14x+ + =
Bài 2: Giải các bất phơng trình sau:
1)
( )
4 n! n 1 ! 50 + + <
2)
3
n
A 15 15n+ <
3)
2 2 3
2x x x
1 6
A A C 10
2 x
+
4)
3 2
n n

A A 12< +
5)
( )
( )
( )
( ) ( )
n 1 ! n. n 1 !
1 5
. 5
n 2 n 1 n 1 !.4! 12 n 3 . n 4 !2!

+


+


6)
n n 2
13 13
C C
+
<
7)
n 3
n 1
4
n 1 3
C
1

A 14P


+
<
Bài 3: Giải các hệ phơng trình sau:
Thầy giáo: Đặng Công Sơn
6
1)
x x
y y
x x
y y
2A 5C 90
5A 2C 80

+ =


=


2)
y 3 y 2
5x 5x
y 2 y 3
4x 5x
7A A
4C 7C

=


=


3)
x 1
y
y x 1
y
x
x 2
A
C 126
P
P 720
+

+

+ =



=

Bài 4: Tìm x, y sao cho

( )
y y 1 y 1 y 1
x 1 x 1 x x
A yA : A : C 10 : 2 :1


+ =
Bài 5: Giải hệ bất phơng trình
2
2x
x y
*
A y 12
P 6
x,y
+

+






Ơ
Iii.2. bài tập củng cố
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
1)
( )
n!

n 3 !
20n
=
2)
5 4
n n 2
A 18A

=
3)
( ) ( )
n! n!
3
n 2 ! n 1 !
=

4)
2 2
x 2x
2A 50 A+ =
5)
( )
3 2
n n
A 5A 2 n 15+ = +
6)
y 1
x 1 x y
x 1
A .P

72
P
+
+

=
7)
( )
2 2
x x x x
P A 72 6 A 2P+ = +
8)
10 9 8
x x x
A A 8A+ =

9)
3 2
n n n 1
1
A 3A P
2
+
+ =
10)
x 1 x 2 x 10
x x x
C C C 1023

+ + + =

11)
k k 2 k 1
14 14 14
C C 2C
+ +
+ =
12)
1 2 3
x x x
7
C C C x
2
+ + =
Bài 2: Giải các bất phơng trình sau:
1)
n! 999
<

2)
( )
3
n!
n 10
n 2 !
+

3)
1
n 1
n 2 n 1

A
143
0
P 4P
+
+
<
4)
6 4
n n
C C<
5)
n 2 n 1
n 1 n 1
C C 100

+ +

6)
2 2
x 1 x
2C 3A 30
+
+ <
7)
4 3 2
n 1 n 1 n 2
5
C C A 0
4

<
Thầy giáo: Đặng Công Sơn
7
8)
2 2 3
2x x x
1 6
A A C 10
2 x
+
9)
2 2
x 1 x
2C 3A 30
+
+ <
10)
4 3 2
x 1 x 1 x 2
5
C C A 0
4

<
Bài 3: Tìm n nguyên dơng biết
n 5
k 3
n 3 n k
P

A .P 240
+
+
+
=
Bài 4: Giải các hệ phơng trình sau:
1)
y y
x x
y y
x x
A 3C 80
A 2C 40

+ =


=


2)
5
x y 3 x y x y 5
x y
P 720A P
P 120
x,y
+ + + +

=

=




Â
3)
y y
x x
y y
x x
2A C 180
A C 36

+ =


=


Bài 5: Tìm x và y sao cho
y y 1 y 1
x 1 x x
C : C : C 6 : 5 : 2
+
+
=
C. công thức khai triển nhị thức Niutơn

I. Giá trị của hệ số trong khai triển Niutơn
i.1. phơng pháp
i.2. bài tập
Bi 1: Khai trin
( )
5
x 2+
Bi 2: Khai trin
( )
5
2x 1-
Bài 3: Tìm số hạng thứ 5 trong khai triển của
( )
9
x 3
Bài 4: Tìm hệ số của x
6
trong khai triển của
( )
11
1 3x
Bài 5: Tìm hệ số của
8 9
x y
trong khai triển của
( )
17
2x 3y
Bài 6: Tìm hệ số của x
15

trong khai triển của
( )
12
2
3x x
Bài 7: Tìm hệ số của x
11
trong khai triển của
10
2
2
x
x


ữ

Bài 8: Tỡm h s khụng ph thuc vo x trong khai trin ca
10
1
2x
x
ổ ử
ữ
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ố ứ
Bi 9: Tỡm h s khụng ph thuc vo x trong khai trin ca
15
3
2
2
x
x
ổ ử
ữ
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Thầy giáo: Đặng Công Sơn
8
Bi 10: Tỡm h s ca x
8
trong khai trin ca
( )
6
2
1 x x+ +
i.3. bài tập củng cố
Bài 1: Tìm số hạng thứ 6 của khai triển:
( )
12

2x 1
Bài 2: Tìm số hạng thứ 10 trong khai triển:
( )
15
2 x
Bài 3: Tìm số hạng thứ 7 trong khai triển:
14
2
y
y


ữ

Bài 4: Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển của
( )
10
x 3
Bài 5: Tìm hệ số x
7
trong khai triển của
( )
13
2 5x
Bài 7: Tìm hệ số của
25 10
x y

trong khai triển
( )
15
3
x xy+
Bài 8: Trong khai triển nhị thức
10
1
x
x

+
ữ

với
x 0
, hãy tìm số hạng không phụ thuộc x
Bài 9: Tìm hệ số của x
3
trong khai triển
12
1
2x
x


ữ

với
x 0

Bài 10: Tìm hệ số không phụ thuộc x trong khai triển
8
2
x
x


ữ

Bài 11: Tìm hệ số không phụ thuộc vào x trong khai triển
9
2
3
2x
x


ữ

Bài 12: Tìm hệ số tự do trong khai triển nhị thức Niutơn
15
2
3
1
2x
x


ữ

Bài 13: Tìm hệ số của x
4
trong khai triển nhị thức Niutơn
12
1
2x
x


ữ

Bài 9: Cho
( )
10
2 2 20
0 1 2 20
1 x 2x a a x a x a x+ + = + + + +
a) Tính
1 0 1 20
S a a a= + + +
b) Tính
2 20
2 0 1 2 20
S a 2a 2 a 2 a= + + +
c) Tính a
17
.
Bài 10: Tính hệ số của x
6
trong khai triển của

( )
10
2
1 x x +
C. Nhị thức Niutơn
C. Nhị thức Niutơn
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau
1)
0 1 2 2007 2008
1 2008 2008 2008 2008 2008
S C C C C C= + + + + +
2)
0 1 2 2 2008 2008
2 2008 2008 2008 2008
S C 2C 2 C 2 C= + + + +
3)
2008 0 2006 2 2 2006 2008
3 2008 2008 2008 2008
S 2 C 2 C 2 C C= + + + +
4)
2007 1 2005 3 2007
4 2008 2008 2008
S 2 C 2 C 2C= + + +
5)
0 1 2 2 n n
5 n n n n
S C 3C 3 C 3 C= + + + +
6)
2 4 6 2n
6 2n 2n 2 n 2n

S C C C C= + + + +
7)
11 12 21
7 21 21 21
S C C C= + + +
8)
1 2 2 2n 1 2n 1 2n 2n
8 2n 2n 2n 2n
S 1 10C 10 C 10 C 10 C

= + +
9)
8 8 0 7 7 1 7 8
9 8 8 8 8
S 2 3 C 2 3 C 2.3.C C= + + + +
10)
9 9 0 8 8 1 8 9
10 9 9 9 9
S 2 5 C 2 5 C 2.5C C= + +
11)
2n 0 2 n 2 2 2n 4 4 2n
11 2n 2n 2n 2n
S 2 C 2 C 2 C C

= + + + +
Thầy giáo: Đặng Công Sơn
9
12)
2n 1 1 2n 3 3 2n 5 5 2n 1
11 2n 2n 2n 2n

S 2 C 2 C 2 C 2C

= + + + +
13)
( )
k
2008 2008 2007 2007 k k 2 2 1
13 2008 2008 2008 2008 2008
S 2 C 2 C 1 2 C 2 C 2C= + + +
14)
10 10 10 9 9 9 9 9 10 10
14 10 10 10 10
S 2 5 C 2 .5 .3.C 2.5.3 C 3 C= + +
Đáp số: 1)
2008
2
2)
2008
3
3)
2008
3 1
2
+
4)
2008
3 1
2

5)

n
4
6)
2n 1
2 1


7)
20
2
8)
2n
9
9)
8
7
10)
9
9
11)
n
3 1
2
+
12)
n
3 1
2

13) 0 14)

10
7
Bài 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
1,
0 2 1 10 9 11 10
1 10 10 10 10
S 2C 2 C 2 C 2 C= + + + +
2,
7 8 6 7 2 1
2 8 8 8 8
S 3 C 3 C 3C C= + + + +
3,
12 0 11 1 4 8 3 9
3 9 9 9 9
S 3 C 3 C 3 C 3 C= + + + +
4,
2 0 3 1 4 2 12 10 13 11
4 11 11 11 11 11
S 4 C 4 C 4 C 4 C 4 C= + +
Thầy giáo: Đặng Công Sơn
10