Ôn thi đại số tổ hợp rất hay

Đại số tổ hợp
1. Cho đa thức P(x) = (1+x)
9
+ (1+x)
10
+ … + (1 + x)
14
có dạng khai triển là P (x) = a
0
+
a
1
x + … + a
14
x
14
. Hãy tính hệ số a
9
(Thủy Lợi 2 – 2000)
2. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Newton của
12
x
1
x






+

3. Tính hệ số của x
25
y
10
trong khai triển (x
3
+ xy)
15
4. Tìm số nguyên dương n sao cho số hạng thứ 5 của khai triển
6
n4
n
1
4
4
22








+
−
−
là 240
5. Tìm hệ số của số hạng chứa x
8

trong khai triển nhò thức Newton
n
5
3
x
x
1






+
. Biết rằng
)3n(7CC
n
3n
1n
4n
+=−
+
+
+
(n là số nguyên dương, x > 0 )
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử (A-2003)
6. Tìm số thực x cho biết số hạng thứ tư trong khai triển

6
12
1xlg
1
xx










+
+
là 200
7. a/ Tính A =
n
n
2
n
1
n
0
n
C...CCC
++++
b/ Tính B =

1n
n
n
n
1P
n
P
n
2
n
3
n
1
n
2
n
1
n
C
C
n...
C
C
P...
C
C
3
C
C
2C

−−
++++++
c/ Tính C =
n
n
n4
n
3
n
2
n
1
n
Cn)1(...C4C3C2C
−++−+−
8. a/ CMR :
( ) ( ) ( ) ( )
2
n
n2
2
n
n
2
1
n
2
0
n
CC...CC

=+++
b/ CMR :
nn
n
2
n
1
n
0
n
2C...CCC
=++++
c/ CMR :
nn
n
n3
n
32
n
21
n
0
n
7C6...C6C6C6C
=+++++
d/ CMR :
1n2
n2
5
n2

3
n2
1
n2
n2
n2
4
n2
2
n2
0
n2
C...CCCC...CCC
−
++++=++++
9. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
n
n
1n
2
n
3
1
n
2
0
n
C
1n
12

...C
3
12
C
2
12
C
+
−
++
−
+
−
+
+
(B-2003)
10. CMR :
1n
12
n1
C
...
k1
C
...
21
C
11
C
C

1n
n
n
k
n
2
n
1
n
0
n
+
−
=
+
++
+
++
+
+
+
+
+
11. Cho n là số nguyên dương, tính
S =
n
n
2
n
1

n
C
1n
1
...C
3
1
C
2
1
1
+
++++
12. a/ Tính
dx)x1(I
1
0
n2
n
∫
−=
với n∈N
b/ suy ra rằng :
)1n2(...5.3
n2...4.2
C
1n2
)1(
...C
5

1
C
3
1
C
n
n
n
2
n
1
n
0
n
+
=
+
−
+++−
13. a/ Tính
∫
+=
1
0
n
n
dx)x1(I
b/ Tính tổng
n
n

2
n
1
n
0
n
C
1n
1
...C
3
1
C
2
1
CS
+
++++=
14. Giải pt : a/
2
x2
2
x
A50A2
=+
n∈N
b/
x
2
7

CCC
3
x
2
x
1
x
=++
c/ P
2
x
2
– P
3
x = 8
d/ Đònh x và y sao cho
2:5:6C:C:C
1y
x
1y
x
y
1x
=
−+
+
e/ Tìm x và y sao cho :
( )
1:2:10C:A:yAA
1y

x
1y
x
1y
1x
y
1x
=+
−−
−
−−
GaoshangKSANB
1
Đại số tổ hợp
15. Tìm k sao cho các số
2k
7
1k
7
k
7
C,C,C
++
theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng.
16. Số 3528 có bao nhiêu ước số.
17. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức
17
4
3
3

2
x
x
1








+
với x ≠ 0 (2000-B – BKHN)
18. Với n là số nguyên dương, gọi a
3n-3
là hệ số của x
3n-3
trong khai triển thành đa thức của
( )
( )
n
n
2
2x1x
++
. tìm m để a
3n-3
= 26n (2003-D)
19. Cho khai triển nhò thức :

















++








=









+
−
−
−−
−
−
3
x
1n
2
1x
1
n
n
2
1x
0
n
n
3
x
2
1x
22C...2C22
+ … +
n

n
x
n
n
2C








−
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó
1
n
3
n
C5C
=
và số hạng thứ tư bằng
20
n
. Tính n và x (2002-A)
20. Cho đa giác đều A
1
A
2
… A

n
(n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (o). Biết rằng số tam
giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A
1
, A
2
, …,A
n
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có
các đỉnh là 4 trong 2n điểm A
1
, A
2
, A
n
. Tìm n. (2002-B)
21. Tìm số nguyên dương n sao cho
240C2...C4C2C
n
n
n2
n
1
n
0
n
=++++
(2002-D)
22. Hỏi từ 10 chữ số 0, 1,…., 9 có thể thành lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao
cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1. (BCVT. 99)

23. Cho tập hợp A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
a/ có bao nhiêu tập con X của A thõa điều kiện X chứa a và không chứa 2.
b/ có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập hợp A và
không bắt đầu bằng 123. (QG-TPA99)
24. 1/ Từ 12 học sinh ưu tú của 1 trường trung học, người ta muốn chọn ra 1 đoàn đại biểu có 5
người (gồm trưởng đoàn, thư ký và 3 thành viên) đi dự trại hè quốc tế. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn đoàn đại biểu nói trên (có giải thích).
2/ Xét dây số gồm 7 chữ số (mỗi chữ số được chọn từ các số 0, 1, 2,…,9) thỏa tính chất sau.
- Chữ số ở vò trí thứ 3 là 1 số chẵn.
- Chữ số cuối cùng không chia hết cho 5.
- Các chữ số ở những vò trí thứ 4, thứ 5, thứ 6 đôi một khác nhau. Hỏi có tất cả bao
nhiêu dãy số như vậy (có giải thích). (QG-TP.A
3
/98)
25. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ
ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp trong mỗi trường hợp sau.
a/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau. (QG-TP 99A)
26. 1/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0)
trong đó có mặt chữ số 0, nhưng không có mặt chữ số 1.
2/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số (chữ số đầu tiên phải khác 0), biết rằng chữ số 2
có mặt đúng 2 lần. Chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1
lần. (QG-TP-2001A)
27. Tìm tất cả số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn
chữ số đứng liền trước. (Vinh – 2000)
GaoshangKSANB
2
Đại số tổ hợp
28. Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số
chẵn. (Vinh – 2000)

29. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn
sách âm nhạc, và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh
A,B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
1/ Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại
văn học và âm nhạc. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tặng ?
2/ Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba thể loại văn học,
âm nhạc và hội họa đều còn lại ít nhất 1 cuốn. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tặng.
(QGTP.2000A)
30. Tính tổng S =
2000
2000
2
2000
1
2000
0
2000
C2001...C3C2C
++++
(ĐHAN-2000)
31. 1/ Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số đầu tiên là chữ
số lẽ.
2/ Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, trong đó có đúng 3 chữ chữ số lẽ và 3
chữ số chẵn (chữ số đầu tiên phải khác 0). (ĐHQG.TPHCM 2000/A)
32. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có
5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5. (KTQDHN A/2001)
GaoshangKSANB
3