378 BAI TOAN TICH PHAN SANG TAOdoc

CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN
13
I-SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI VI PHÂN
Tính các tích phân sau :
1)
∫








+
4
1
2
1
3
dx
x
x
; 2)
∫
4
6
2
2
sin
4

π
π
dx
x
; 3)
∫
+
1
0
1
2
3
x
dxx
; 4)
∫
−
5
2
1x
xdx
5)
∫
+
−
2
0
cos1
)1
2

(sinsin2
π
x
dxxx
; 6)
∫
+
1
0
3
)1(
2
x
dxx
; 7)
∫
+
1
0
1
3
x
e
dx
x
e
; 8)
∫
−
3

2
)1(
2
xx
dx
9)
∫
+






+−
2
1
1
2
11
4
2
x
dxxx
; 10)
∫
+++
−
1
0

)13
2
)(1
2
(
)3
2
3(
xxx
dxx
; 11)
∫
++
e
dx
x
xx
1
ln2
3
12)
∫
+−
+−+
2
2
1
2
2
4

1
23
dx
xx
xxx
; 13)
∫
−
+
e
x
e
dx
x
e
x
e
ln
2
1
2
)1
2
(
)
3
(
; 14)
( )
∫

+
3
4
2
cottan
π
π
dxxx
15)
∫
+
++−
3
1
)1(2
)1ln(22
dx
xx
xxxx
; 16)
∫
++
4
1
2
ln4
dx
x
xxxx

17)
[ ]
∫
+
2
4
)ln(sin1cot
π
π
dxxx
; 18)
∫
+






+++
1
0
1
2
1
2
ln
dx
x
xxx

19)
∫
+
−
2
1
)1
2
(2
1
2
dx
xx
x
; 20)
∫
+
−++
1
0
1
1)1ln(.
2
dx
x
e
x
e
x
e

x
e
; 21)
∫
+
2
3
ln
1
3
ln
e
e
dx
xx
x
22)
∫
3
4
4
sin
π
π
x
dx
; 23)
∫
+
4

0
)cossin2(
2
π
xx
dx
; 24)
∫
+
3
0
2
cos3
2
sin2
2sin
π
xx
xdx
25)
∫
−
−
+
−
1
1
2
2
ln

2
4
1
dx
x
x
x
; 26)
∫
3
0
cos3sin
π
xdxx
; 27)
∫
+
4
6
2
2
sin
2
3
sin4
π
π
dx
x
x

28)
∫
+
4
0
2
sin12sin
π
dxxx
; 29)
dx
x
xx
∫
++
4
0
cos
tan1sin
2
π
; 30)
∫
+
4
0
)sin4(cos2sin
π
dxxxx
31)

∫
−
6
0
2sin1
π
x
dx
; 32)
∫
+
2
0
sin1
π
x
dx
; 33)
∫
+
4
6
2sin
2cos1
π
π
dx
x
x

(13) Nguyễn Công Mậu
PHẦN TÍCH PHÂN
CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN
14
34)
∫
−
1
0
11
)1(2 dxxx
; 35)
∫
+
2
0
cos1
3
sin2
π
x
xdx
; 36)
∫
+
+−
1
0
1
3

)1
2
4(
x
dxxx
37)
∫
+
+
1
0
1
6
)1
4
(
x
dxx
; 38)
[ ]
∫
++
+
1
0
)
2
1ln(1
1
2

dxx
x
x
; 39)
∫
−
+
−
+
−
−
1
0
)ln()(
dx
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
40)
∫
4

6
2sin
)ln(tan
π
π
dx
x
x
; 41)
(
)
∫
+
2
0
6
cos
6
sin
π
dxxx
; 42)
∫
6
0
4
cos
π
xdx

43)
∫
6
0
3
cos
π
xdx
; 44)
(
)
∫
−
4
0
4
cos
4
sin
π
dxxx
; 45)
∫
π
0
2
sin.cos3cos dx
x
xx
46)

( )
∫
−
3
4
cot2tan
2
π
π
dxxx
; 47)
(
)
dxxtgxtg
∫
+
4
0
42
π
; 48)
∫
+
4
0
3tan
2
cos
1
π

dx
xx
49)
∫
−
1
0
)
7
1(
6
dxxx
; 50)
(
)
∫
−
2
0
5
2
cos32sin
π
dxxx
; 51)
∫
−
−
6
0

2sin1
)1
2
cos2(
π
x
dxx
52)
∫
+
−
6
0
2
)3sin1(
cos)3
2
cos4(
π
x
xdxx
; 53)
∫






+

2
0
sin
cos
sin
π
dxx
x
ex
; 54)
∫
−
++
−
1
1
2
)1)(2(
48
dx
xx
x
55)
∫
+
2
0
sin1
sin
π

x
xdx
; 56)
∫
3
4
cos.sin
1
22
π
π
dx
xx
; 57)
∫
+
2
0
sincos
sin
π
xx
xdx
58)
∫
4
6
2sin
π
π

x
dx
; 59)
( )
∫
+
2
0
cos1
3
sin
π
dxxx
; 60)
( )
∫
+
2
0
sin1
4
cos
π
dxxx
II-PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
Tính các tích phân sau :
1)
∫
−
3

2
1
2
xx
dx
; 2)
∫
+
++
2
1
1
4
1
23
dx
x
xx
; 3)
∫
+
1
0
1
2
3
x
e
dx
x

e
; 4)
∫
+
3
1
1
2
xx
dx
5)
∫
+
−+
2
1
4
4
2
23
dx
x
xx
; 6)
∫
+
−
13
0
3

12
2
dx
x
x
; 7)
∫
−−
3
0
6cos
2
cos
sin
π
xx
xdx

8)
( )
∫
+
+
2
0
4
2
12
x
dxx

; 9)
∫
−
−
3
1
2
4
)1(
x
dxx
; 10)
∫
−
+
2
2
1
2
1
dx
x
x
; 11)
( )
∫
+
+
2
0

4
2
1
x
dxx
(14) Nguyễn Công Mậu
CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN
15
12)
∫
2
0
sin
.cos
π
dx
x
ex
; 13)
( )
∫
++
3
cos
0
sincos34
π
xdxxe
x
; 14)

∫
+
e
dx
x
xx
1
2
ln1ln

15)
∫
+
e
dx
x
xx
1
ln1ln
; 16)
∫






−
4
0

2
costan
3
sin
π
xdxxx
; 17)
∫






+
+
4
6
cos31
sin2
cot
π
π
dx
x
x
x
18)
∫









+
3
4
4
cos
1
4
sin
1
π
π
xx
; 19)
∫
+
++
1
0
1
6
)1
45
3(

x
dxxx
; 20)
∫
++
+++
3
1 1
24
12
23
4
dx
xx
xxx
21)
∫
+
+−
+−+
2
51
1
1
24
12
23
4
dx
xx

xxx
; 22)
∫
+
52
3
16
2
xx
dx
; 23)
∫
−
+
+
1
1
1
2
)
4
(
x
dxxx
24)
∫
−
+
+
1

1
1
2
)tan
4
(
x
dxxx
; 25)
∫
−
+
2
2
2
cos1
3
sin
π
π
x
xdx
; 26)
∫
−
+
1
1
1
10

x
xdx
; 27)
∫
−
+
4
4
cos1
3
sin
π
π
x
xdx
28)
∫
+
7
0
3
2
1
3
dxxx
; 29)
∫
++
+
1

0
23
2
)22(
xx
dxx
; 30)
∫
+
3
1
)1
2
(
4
xx
dx
; 31)
∫
−
4
3
10
)3(
2
dxxx
32)
∫
+
1

0
4
)1(
3
x
dxx
; 33)
∫
+
3ln
0
1
x
e
dx
; 34)
∫
2
3
sin
π
π
x
dx
; 35)
∫
4
0
6
cos

π
x
dx
36)
( )
∫








++






+
2
0
2
cos1
2
2
sin12sin
π

dxxxx
; 37)
∫






++
e
x
dxxx
1
2
ln41ln
38)
∫
π
0
sin.
2
cos xdxxx
; 39)
∫
+
π
0
2
sin1

sin
dx
x
xx
; 40)
∫
+
π
0
2
cos1
sin
dx
x
xx
; 41)
∫
6
0
2cos
2
tan
π
x
xdx
42)
∫
2
0
sin.2cos

2
π
xdxx
; 43)
∫
∈−
2
0
)(cos)s in1(
π
Nnxdxx
n
; 44)
∫
+
2
0
cossin
4sin
44
π
dx
xx
x
45)
∫
+
π
0
sin1

dx
x
x
; 46)
∫
2
0
.cos
sin
π
dxex
x
; 47)
∫
3
2
3
sin
π
π
xdxx
; 48)
∫
π
0
2
cos xdxx
49)
( )
∫

++
2
0
sin2cos2sin
π
dxxxx
; 50)
∫
−
+
2
0
sin34
cos2sin
π
dx
x
xx
; 51)
∫
++
−
2
0
sin312
)sin1(cos3
π
dx
x
xx

52)
(
)
(
)
∫
−
+++
+++
2
1
42
2
4
2
48
2
5
3
2
dx
xxx
xxx
; 53)
(
)
∫
−
−+
0

2
sinsin2
2
sin
cos
π
xdxxx
x
e

(15) Nguyễn Công Mậu
CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN
16
54)
∫
+
3
1
ln.ln1
e
e
dx
x
xx
; 55)
∫
+
e
e
dx

x
xx
1
2
ln.ln1
; 56)
( )
∫
+
+
2
3
3
1
3
3
2
xx
dxx
57)
∫
−+
2
1
1
2
1
3
dx
x

x
; 58)
( )
∫
+
4
0
2
3
21
3
2
x
dxx
; 59)
∫
+
+
2
0
4
2
1
dx
x
x
60)
∫
−
1

0
)
4
1(
7
dxxx
Tổng quát :
∫
−
−
1
0
)1(
12
dx
mn
x
n
x
với m,n
N∈
61)
∫
+
2
1
)1(
m
xx
dx

; 62)
∫
+
2
0
2cos2
cos
π
x
xdx
; 63)
∫
+
2
0
cossin
sin
π
xx
xdx
III-PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN :
Tính các tích phân sau :
1)
∫
2
4
2
sin
cos
π

π
dx
x
xx
; 2)
∫








2
3
0
3
cos
π
dxx
; 3)
∫
2
0
sin
π
dxx
; 4)
∫

4
1
ln xdxx
5)
∫
1
0
2
. dx
x
ex
; 6)
∫
−
2
2
sin
2
π
π
xdxx
; 7)
∫
π
0
cos
2
xdxx
; 8)
∫

1
0
2. dx
x
x
9)
∫
+
4
0
2
sin).12(
π
xdxx
; 10)
∫
e
xdxx
1
2
ln
; 11)
∫
3
1
3
log xdxx
; 12)
∫
4

0
2
cos
π
dx
x
x
13)
∫
4
6
2
cos
sin
π
π
dx
x
xx
; 14)
∫
+
1
0
)1ln(. dx
x
e
x
e
; 15)

∫
4
6
2
sin
)ln(cos
π
π
dx
x
x
; 16)
∫






+
1
0
2
1
2
1
dx
x
17)
∫

π
e
dxx
1
)sin(ln
; 18)
∫
e
dx
x
x
1
2
ln
; 19)
∫
e
xdx
1
2
ln
; 20)
∫
1
0
4. dx
x
x
21)
∫

3
6
2
sin
π
π
dx
x
x
; 22)
∫
2
0
2
cos
π
xdxx
; 23)
∫
2
3
ln
e
e
dx
x
x
; 24)
∫
+

1
0
)1
2
ln( dxxx
25)
∫
4
0
2
tan
π
xdxx
; 26)
∫
+++
2
1
)2
2
ln()12( dxxxx
; 27)
∫
+
2
0
)sin1ln(cos
π
dxxx
28)

∫
+
2
0
)cos1ln(sin
π
dxxx
; 29)
∫
++
3
0
)
2
1ln( dxxx
; 30)
∫
1
0
.
2
dx
x
ex
(16) Nguyễn Công Mậu
CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN
17
31)
∫
2

0
sin
π
xdx
x
e
; 32)
∫
−
+
2
1
0
2
1
2
1
ln. dx
x
x
x
; 33)
∫
1
0
2
.
3
dx
x

ex
34)
∫
1
0
. dx
x
ex
; 35)
∫
−
2
)
ln
1
2
ln
1
(
e
e
dx
x
x
; 36)
∫
4
6
)ln(tan.cos
π

π
dxxx
37)
∫
3
0
2
cos
)ln(cos
π
dx
x
x
; 38)
( )
∫
+
1
0
2
1
.
dx
x
x
ex
; 39)
∫
+
1

0
1
2
2
dx
x
x
40)
∫
+
1
0
1
2
4
dx
x
e
x
e
; 41)
( )
∫
+
4
1
ln12 xdxx
; 42)
∫
+

+
4
0
2cos1
2sin
π
dx
x
xx
43)
∫
2
0
2sin
sin
π
xdx
x
e
; 44)
∫
4
0
3
cos
sin.
π
dx
x
x

tgx
e
; 45)
∫
π
0
2
cos xdxx
46)
∫
3
2
3
sin
π
π
xdxx
; 47)
∫
+
−
π
0
)2cos(
2
dxx
x
ex
; 48)
∫

−
+
1
0
)
2
1ln(`.
e
dxxx
49)
∫






+
4ln
0
2
2 xdx
x
e
x
e
; 50)
∫
+
3

0
2
1
3
x
dxx
; 51)
(
)
∫
−
2
1
.1
2
dx
x
ex
IV)PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHỤ:
Tính các tích phân sau :
1) I =
∫
+
2
0
sincos
sin
π
x
n

x
n
xdx
n
và J =
∫
+
2
0
sincos
cos
π
x
n
x
n
xdx
n
. ; 2)
∫
6
0
2cos
2
cos
π
x
xdx
3)
∫

+
4
3
2
cossin
2
cos
π
π
xx
xdx
; 4)
∫
+
2
0
cossin
sin
π
xx
xdx
; 5)
∫
π
0
sin
22
xdxx
(17) Nguyễn Công Mậu
PHƯƠNG PHÁP: + Giả sử ta phải tính tích phân I.

+ Ta đưa vào tích phân phụ J sao cho việc tính I + J
thực hiện được dễ dàng.
+ Tính I+J và I-J
Nếu I+J=a và I-J=b thì I= ½(a+b)
CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN
18
6)
∫
+
4
0
tan1
π
x
dx
; 7)
∫
−
+
1
0
x
e
x
e
dx
x
e
; 8)
∫

2
0
sin
2
π
xdxe
x
9)
∫
6
0
2cos
sin
2
π
dx
x
x
; 10)
∫
+
2
0
3
sin
3
cos
cos
4
sin

π
xx
xdxx
tổng quát
)(;
2
0
sincos
cos
1
sin
Zn
x
n
x
n
xdxx
n
∈
∫
+
+
π
.
V)TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ :
(18) Nguyễn Công Mậu
PHƯƠNG PHÁP: Giả sử phải tính tích phân I =
∫
β
α

dxxf )(
,trong đó :
f(x) =
)0,(;


)(
)(
01
1
1
01
1
1
≠
++++
++++
=
−
−
−
−
nm
n
n
n
n
m
m
m

m
ba
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
*Khi m
≥
n thì chia P(x) cho Q(x) để được tổng của một đa thức với một phân thức
thực sự (phân thức đúng).
*Khi m < n thì f(x) là một phân thức đúng.
Vì mỗi đa thức bậc n với hệ số thực Q(x) luôn phân tích được thành tích những thừa
số là nhò thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai vô nghiệm trong đó có thể có những
thừa số trùng nhau .Do vậy trong các phân thức đúng ta chú ý đến bốn dạng phân
thức cơ bản sau :
Dạng I:
ax
A
−
; Dạng II :
k
ax
A
)( −
; Dạng III :
qpxx
BAx
++
+
2

; Dạng IV:
k
qpxx
BAx
)(
2
++
+
Trong đó k
N∈
; k
≥
2và A,B,a,p,q
∈
R ; p
2
- 4q < 0 (tức là x
2
+px+q vô nghiệm).
*Một phân thức đúng có thể phân tích thành tổng của những phân thức cơ bản nêu
trên (Dùng phương pháp đồng nhất hai đa thức).
Tổng quát cho cách phân tích :

γδβα
)()()()(
)(
)(
)(
22
slxxqpxxbxax

xP
xQ
xP
++++−−
=

+
−
++
−
+
−
=
α
α
)(

)(
2
21
ax
A
ax
A
ax
A
γ
γγ
δ
δδ

β
β
)(

)(

)(

)(
22
11
22
11
2
21
slxx
QxP
slxx
QxP
qpxx
NxM
qpxx
NxM
bx
B
bx
B
bx
B
++

+
++
++
+
+
++
+
++
++
+
+
−
++
−
+
−
+
.
*Cách tính tích phân của các phân thức dạng cơ bản :
Dạng
caxAdx
ax
A
+−=
−
∫
ln
.
Dạng
∫ ∫

+−
+−
=−−=
−
+−−
cax
k
A
axdaxAdx
ax
A
kk
k
1
)(
1
)()(
)(
Dạng
∫ ∫ ∫
+
+=
++
+
22
21
2
at
dt
b

u
du
bdx
qpxx
BAx
với b
1
,b
2
,a là hằng số.
Dạng
∫ ∫ ∫
+
+=
++
+
kkk
at
dt
b
u
du
b
qpxx
BAx
)()(
22
21
2
CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN

19
Tính các tích phân sau:
1)
∫
+−
2
1
2
22xx
dx
; 2)
∫
+−
−
2
1
2
22
)12(
xx
dxx
; 3)
∫
+
2
0
22
)4(x
dx
; 4)

∫
+
2
1
4
)1(xx
dx
5)
∫
+
+
1
0
2
1
)2(
x
dxx
; 6)
∫
++
−
1
0
2
)1)(2(
)24(
xx
dxx
; 7)

∫
+
+−−
−−
132
3
2
2
)52)(1(
)332(
xxx
dxxx

8)
∫
+
1
0
22
)1(x
dx
; 9)
∫
+
+
1
0
22
)1(
)43(

x
dxx
; 10)
∫
+−
++
3
2
3
2
23
333
dx
xx
xx
; 11)
∫
−
++
3
2
3
2
)1(
1
dx
x
xx
12)
∫

−
1
0
8
3
2x
dxx
;13)
∫
+
+
+
2
26
1
4
2
1
)1(
x
dxx
& 14)
∫
++
+
3
1
24
2
1

)1(
xx
dxx
& 15)
∫
++
−
1
0
24
2
43
)2(
xx
dxx
&
16)
∫
+
−
2
1
4
2
1
)1(
x
dxx

Dạng tổng quát :

VI)TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯNG GIÁC :
(19) Nguyễn Công Mậu
Để tính I
k
=
∫
+
k
at
dt
)(
22
ta có : I
k
=
∫
+
k
at
dt
)(
22
∫ ∫
−
+
=
+
−+
=

−122222
222
2
)(
1
)(
)(1
kk
at
dt
a
dt
at
tat
a

∫
+
−
k
at
tdt
t
a )(
2
.
2
1
222







−
+−
+=
−
−
− 1
1222
1
2
)()1(2
11
k
k
k
I
at
t
ka
I
a

110
.
−

+=⇒
kk
IAAI
(1)
Dựa vào (1) ta tính được I
k
qua I
k-1
, I
k-1
qua I
k-2
,…,I
2
qua I
1
.Trong đó I
1
=
∫
+
22
at
dt
Chú ý :
∫
+
−
k
at

tdt
t
a )(
2
.
2
1
222






−
+−
=
−
−
1
1222
)()1(2
1
k
k
I
at
t
ka
tính nhờ phương pháp tích

phân từng phần

∫
+±
±
β
α
dx
abxx
ax
224
2
A)Tích phân dạng:
∫
dxxxF )cos;(sin
Trong đó F(sinx;cosx) là một phân thức hữu tỉ đối với sinx và cosx.
1)Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số chẵn đối với sinx và cosx tức là :
F(sinx;cosx) = F(-sinx;-cosx) thì đặt t = tanx (hay t = cotx)
2)Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với sinx tức là:
F(-sinx;cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = cosx.
3)Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với cosx tức là:
F(sinx;-cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = sinx.
CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN
20
(20) Nguyễn Công Mậu
CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN
21
(21) Nguyễn Công Mậu
4)Nếu F(sinx;cosx) không thoả mãn ba dạng trên thì đặt t = tanx/2 và biểu diễn
Sinx ;cosx theo t bỡi công thức :

2
1
2
sin
t
t
x
+
=
và
2
2
1
1
cos
t
t
x
+
−
=

B)Tích phân dạng :
∫
xdx
n
x
m
cos.sin
với

Znm ∈,
1)Nếu có ít nhất một trong hai số m,n lẻ,chẳng hạn :
+ Nếu m lẻ (có thể xem là hàm số lẻ theo sinx) thì đặt t = cosx
+ Nếu n lẻ (Có thể cem là hàm số lẻ theo cosx) thì đặt t = sinx
2)Nếu cả hai số m,n đều chẵn và dương thì dùng công thức hạ bậc sau để biến
đổi hàm số dưới dấu tích phân:

xxx 2sin
2
1
cossin =
;
2
2cos1
sin
2
x
x
−
=
;
2
2cos1
cos
2
x
x
+
=
3)Nếu m,n đều chẵn và có ít nhất một số âm (có thể xem là hàm số chẵn theo

sinx và cosx )thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)
C)Tích phân dạng :
∫
bxdxax cos.cos
;
∫
bxdxax cos.sin
;
∫
bxdxax s in.sin
Dùng công thức lượng giác để biến đổi tích thành tổng.Dựa vào các công thức:

[ ]
xbaxbabxax )cos()cos(
2
1
cos.cos −−+=

[ ]
xbaxbabxax )cos()cos(
2
1
sin.sin −−+−=

[ ]
xbababxax )sin()sin(
2
1
sin.sin −++=

D)Một số phương pháp giải quyết những tích phân đặc biệt:
1)Nếu f(x) là hàm số lẻ thì
∫
−
a
a
dxxf )(
= 0 .Cách tính loại tích phân này bằng cách
đổi biến x = -t.
2)Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a+b-x) = f(x) thì
∫
+
=
∫
b
a
dxxf
ba
b
a
dxxxf )(
2
)(
( thường gặp :
∫
=
∫
π
π
π

0
)(sin
2
0
)(sin dxxdxxxf
)
Cách tính loại tích phân này là: đổi biến t = a+b-x (dạng thừơng gặp t =
x−
π
)
3)Cho a > 0 ,f là hàm số chẵn liên tục và xác đònh trên R thì :









∫
=
∫
−
=
∫
−
+
dx
b

xf
b
b
dxxf
b
b
x
a
dxxf
0
)()(
2
1
1
)(
.Cách tính loại tích phân này là: đổi biến x = -t
• Chú ý: vì f là hàm số chẵn nên
dx
b
xf
b
b
dxxf
∫
=
∫
−
0
)(2)(
.Cách chứng minh điều này

như sau:
dx
b
xf
b
dxxf
b
b
dxxf
∫∫
−
+=
∫
−
0
)(
0
)()(
rồi tính
∫
−
0
)(
b
dxxf
bằng cách đặt x=-t

CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN
22
Bài tập : Tính các tích phân sau :

1)
∫
4
0
6
cos
π
x
dx
; 2)
∫
2
6
4
sin
π
π
x
dx
; 3)
∫
4
0
4
π
xdxtg
; 4)
∫
2
3

4
sin
3
cos
π
π
x
dx
5)
∫
+
2
0
)sin(sin
54
π
dxxx
; 6)
∫
+
4
0
)tan(tan
34
π
dxxx
; 7)
∫
+
2

0
cos)sin(sin
223
π
xdxxx
;
8)
∫
+
+
4
0
)
cos
sin
coss in1
2cos
(
3
π
dx
x
x
xx
x
; 9)
∫
+
π
0

)5sin(cos3s in dxxxx
; 10)
∫
−
+
3
0
sin1
sin1
π
dx
x
x

11)
∫
+
2
6
sin
)cos1(
π
π
x
dxx
; 12)
∫
4
0
4

cos
2
sin
π
dx
x
x
; 13)
∫
3
6
4
cos
4
sin
π
π
xx
dx
; 14)
∫
3
4
3
cos
3
sin
π
π
xx

dx
15)
(
)
∫
++
π
2
0
sin1
2
sin dxxx
; 16)
∫
++
2
0
cossin1
π
xx
dx
; 17)
∫
+
2
0
cos1
3
sin4
π

x
xdx
18)
∫
+
π
0
2
cos1
3
sin
dx
x
xx
; 19)
∫
+
π
0
2
sin1
sin
dx
x
xx
; 20)
∫
−
+
+

2
2
12
cos
2
π
π
dx
x
xx
21)
∫
−
+
+
1
1
2
36
1
sin
dx
x
xx
; 22)
∫
−
+
+
4

4
13
4
cos
4
sin
π
π
dx
x
xx
; 23)
∫
+
4
0
tan1
π
x
dx
24)
∫
3
0
2cos
tan
π
dx
x
x

; 25)
∫
4
0
tan
6
π
xdx
; 26)
∫
+
2
0
cos2
π
x
dx

27)
∫
+
4
0
4
sin
4
cos
2sin
π
dx

xx
x
; 28)
∫
3
4
3
cossin
π
π
xx
dx
; 29)
∫
+
4
0
2
sin1cos
sin
π
dx
xx
x
30)
∫
3
6
4
π

π
xtg
dx
; 31)
∫
2
0
3coscos
3
π
xdxx
; 32)
∫
2
0
4cossin
2
π
xdxx
33)
∫
+
2
0
cos23
π
x
dx
; 34)
∫

+
2
0
sin1
3
cos4
π
x
xdx
; 35)
∫
2
0
4sin2coscos
π
xdxxx
36)
∫
+
π
0
2cos7
sin
dx
x
xx
; 37)
∫
4
2

0
sin
π
xx
;38)
∫
++
+−
2
0
3cos2sin
)1cos(sin
π
xx
dxxx
(22) Nguyễn Công Mậu
CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN
23
VII)TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ :
Bài tập : Tính các tích phân sau :
1)
∫
+
−
81
1
)1
4
(
8

4
dx
xx
xx
; 2)
∫
+++
15
0
3
11 xx
dx
; 3)
∫
+
3
1
1
2
xx
dx

(23) Nguyễn Công Mậu
Gọi F là một hàm hữu tỉ theo biến x.
1)VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I =
∫







dx
r
s
x
m
q
x
n
p
xxF , ,,,
*Cách giải : Ở đây chỉ số các căn thức là n,m,…r .Gọi k = BCNN(n,m,…,r).
Đổi biến số x = t
k
.
2) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I =
∫








+
+
dx
n

dcx
bax
xF ,
*Cách giải : Đổi biến số t =
n
dcx
bax
+
+
.
3) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I =
∫






++ dxcbxaxxF
2
,
*Cách giải thứ nhất : Đổi biến số t =
cbxax ++
2
.

*Cách giải thứ hai : Biến đổi
cbxax ++
2
theo một trong ba kết quả sau :

cbxax ++
2
=
22
uA −
(1)
cbxax ++
2
=
22
uA +
(2)
cbxax ++
2
=
22
Au −
(3)
(Trong đó A là hằng số dương ; u là một hàm số của x )
-Với (1) thì đổi biến u = Acost. Với 0
π
≤≤ t
(hoặc u = Asint , với
22
ππ
≤≤
−
t
)
-Với (2) thì đổi biến u = Atant. Với

22
ππ
<<
−
t
-Với (3) thì đổi biến u = A/cost. Với 0
π
≤≤ t
và t
2
π
≠
4) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I =
∫
+++
+
dx
cbxaxnmx
x
2
)(
)(
βα
.
*Cách giải : Đổi biến số t =
nmx +
1
CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN
24
4)

∫
++
3
1
12
2
2 xxx
dx
; 5)
∫
+++
17
10
54
2
)2( xxx
dx
; 6)
∫
−−
−
11
6
12
2
x
dxx
7)
∫
−+

1
0
2
1 xx
dx
; 8)
∫
−++
3
1
11 xx
dx
; 9)
∫
+
−
1
2
1
1
11
dx
x
x
x
10)
∫
+−
3
2

)1)(1( xx
dx
; 11)
∫
+++
15
0
3
11 xx
xdx
; 12)
∫
+++
1
0
22)1(
2
dxxxx

13)
∫
−
1
5
1
2
2 xxx
dx
; 14)
∫

− −++
0
3
2
2
23)1( xxx
dx
;15)
∫
−
1
0
4
4 x
xdx
& 16)
16)
∫
−
1
0
6
4
2
x
dxx
Tổng quát :
∫
−
−

n
a
n
xa
dx
n
x
2
0
22
1
với
2; ≥∈ nNn
17)
∫
++
1
0
2
1)1
2
( xx
dx
; 18)
∫
+
e
xx
xdx
1

ln1
ln
; 19)
( )
∫
−
22
3
62
3
2
2xx
dx
20)
∫
−
1
2
1
6
2
1
x
dxx
; 21)
∫
−
3
32
1

2
1
x
dxx
; 22)
∫
−
5
1
3
1
2
x
dxx
23)
∫
+
3
1
2
2
1
x
dxx
; 24)
∫
−
1
0
)1(

52
dxx
; 25)
∫
−
1
0
1
23
dxxx
26)
∫
−
2
2
1
25
xx
dx
; 27)
∫
+
1
0
1
25
dxxx
; 28)
∫
−

3
0
2
3
2
dxxx
29)
∫
−
−
+
0
1
1
1
dx
x
x
; 30)
∫
+
3
0
2
3
1x
dxx
; 31)
∫
−+

2
1
2
1
2
xx
xdx
32)
∫
−
3
2
2
1dxx
; 33)
∫
−
2
1
2
1dxx
; 34)
∫
+
1
0
42 x
xdx
; 35)
∫

−+
5
2
2
45 xx
dx
*chú ý: Đối với tích phân câu 32 &33 có thể dùng công thức sau để giải quyết :

∫
+++=
+
ckxx
kx
dx
2
2
ln
; riêng câu 33 có thể giải bằng cách đặt x =
tcos
1
(24) Nguyễn Công Mậu
CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN
25
BÀI TẬP
( DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI )
Tính các tích phân sau:
1)
∫
e
dx

x
x
1
3
2
ln
; 2)
∫
+
2
1
)
sin
ln(cos
π
dx
x
x
xx
; 3)
∫
3
0
)ln(c os.2sin
π
dxxx
4)
∫
2
0

2
sincos
π
xdxxx
; 5)
∫
π
0
sin
2
cos xdxxx
; 6)
∫






+
+
2
0
cos
sin31
π
xdxx
x
e
7)

∫
+
e
x
dx
x
e
1
ln31
; 8)
∫






+
e
xdx
x
x
e
1
ln
1
ln2
; 9)
∫







+
e
dxx
x
x
e
1
ln
1
10)
∫
−
+
+
1
0
1
)1ln(
e
dx
x
x
; 11)
∫
+

2
0
.
2
sin3sin
π
dxxx
; 12)
∫
+
+
2
0
2
sin1
2sincos2
π
dx
x
xx

13)
∫
+
+
1
0
1
2
1

dx
x
x
; 14)
( )
∫
3
4
ln
cos
sin
4
2
π
π
dxtgx
x
x
; 15)
∫
+
+
3
0
2
1
1
2
.
3

x
dx
x
ex
16)
∫
4
0
3
cos
sin.
2
π
dx
x
xx
; 17)
∫






++
−
3
0
1
22

dxxx
x
ex
; 18)
∫








+
+
+
3
0
1
1
1
2
dx
x
x
ex

19)
∫
+

π
0
2
cos1
sin
dx
x
xx
; 20)
∫
+
22
0
1
2
ln. dxxx
; 21)
∫
−






++
π
π
dxxxx
2

sin
2
1

22)
∫
−








+
4
4
2
cos
1
2
π
π
dx
x
x
ex
; 23)
∫

+
1
0
1
2
dxx
; 24)
∫
+
2
1
35
xx
dx
25)
∫
+
1
0
5
)
2
1(
7
dx
x
x
Tổng quát :
∫
+

+
+
1
0
2
)
2
1(
12
dx
m
x
m
x
26)
∫
+






−
1
0
2
)
2
1(

2
1
dx
x
x
Tổng quát :
0,;
0
2
)
2
(
2
>
∫
+






−
ba
b
dx
xa
xa
27)
∫

−
−
+
0
1
1
1
dx
x
x
Tổng quát :
∫
−
−
+
0
a
dx
xa
xa
; với a > 0
28)
∫
−
1
0
)
4
1(
7

dxxx
Tổng quát :
∫
−
−
1
0
)1(
12
dx
mn
x
n
x
với m,n
N
∈
(25) Nguyễn Công Mậu
CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN
26
29)
∫
+
e
dx
x
xx
1
2
)1

2
(
ln
; 30)
∫
2
0
5
sincos
2
cos
π
xdxx
x
e
; 31)
( )
∫
+
4
0
1ln
π
dxtgx
32)
( )
∫









+
+
+
2
0
cos1
cos1
sin1
ln
π
dx
x
x
x
; 33)
∫
+
2
3
2
3
2
2
29
dx

x
x
; 34)
∫
++
2
0
3cossin
π
xx
dx
35)
∫
+
2
0
sin(cos
π
xdxx
x
e
; 36)
∫
++
1
0
1
24
2
xx

xdx
; 37)
∫
+
++
1
0
2
1
)1ln(
dx
x
xx

38)
∫






++
1
0
2
1ln dxxx
; 39)
∫
+

2
0
)sin1ln(cos
π
dxxx
; 40)
∫
+
2
0
)sin1ln(sin
π
dxxx
41)
∫
+
3
0
1
. dx
x
ex
; 42)
∫
4
6
)ln(cotcos
π
π
dxgxx

; 43)
∫
2
0
)ln(cos
2
cos
1
π
dxx
x
44)
∫
+
1
0
2
)1(
.
dx
x
x
ex
; 45)
∫
−
1
0
3
.

4
dx
x
ex
; 46)
∫
+
+
2
0
cos1
sin
π
dx
x
xx

47)
∫
+
2
0
3
2
4
3
x
dxx
; 48)
∫

++
+−
π
0
3cos2sin
1cossin
dx
xx
xx
; 49)
∫
+
4
0
4
cos
4
sin
2sin
π
dx
xx
x
50)
∫
+
2
0
3
cos

3
sin
sin
4
cos
π
dx
xx
xx
; 51)
∫








−
2
0
)(cos
2
)(sin
2
cos
1
π
dxxtg

x
; 52)
∫
+
2
0
cos2
π
x
dx
53)
∫
2
0
5sin
3
cos
π
xdxx
tổng quát :
1
1
2
0
)2s in(cos
+
=
∫
+
n

xdxnx
n
π
54)
∫
π
0
5sin
3
cos xdxx
tổng quát :
n
nxdxx
n
2
0
coscos
π
π
=
∫
55)
∫
−
−−
−
3
2
6
2

.
3
)12( dx
xx
ex
tổng quát :
0
2
1
2
.
12
)2( =
∫
+++
+
x
x
dx
cbxax
e
n
bax
; với :
x
1
,x
2
là 2 nghiệm phân biệt của ax
2

+bx+c ;a
Nn ∈≠ &0
56)
dx
x
x
xxx
∫
−
++
++
2
2
2
1)15(
)
2
1ln(
& 57)
∫
−
++
1
1
2
)1)(1( xe
dx
x
& 58)
∫

−
−+
2
3
2
3
2
1)13( x
dx
x
Tổng quát :
∫
=
∫
−
+
b
dxxf
b
b
x
a
dxxf
0
)(
1
)(
; với f(x) là hàm số chẵn (a,b > 0).
(26) Nguyễn Công Mậu
CHUYÊN ĐỀ :TÍCH PHÂN

28
(28) Nguyễn Công Mậu